人教版高中数学高二选修1-1 椭圆及其标准方程

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精心校对 2.1.1 椭圆及其标准方程

问题导学

一、椭圆的定义及应用

活动与探究1

(1)椭圆x225＋y29＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为( )

A．5 B．6 C．4 D．10

(2)已知F1，F2是椭圆x216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．

迁移与应用

设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝______．

椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．

椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识，对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝12absin C把|PF1||PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|及余弦定理求出|PF1||PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．

二、椭圆的标准方程及应用

活动与探究2

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；

(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)；

(3)经过两点(2，－2)，－1，142．

迁移与应用

1．若方程x25－k＋y2k－3＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是__________． 高中数学-打印版

精心校对 2．两焦点坐标分别为(3,0)和(－3,0)且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为__________．

(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤可总结如下：①由焦点坐标确定方程是x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，还是y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)；②运用定义、平方关系等求出a，b．

(2)当焦点不确定时，可设方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)，这样可以避免讨论．

三、焦点三角形问题

活动与探究3

如图所示，已知椭圆的方程为x24＋y23＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．

迁移与应用

已知P是椭圆x225＋y29＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．

四、与椭圆有关的轨迹问题

活动与探究4

(1)已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，点M在PP′上，并且PM→＝2MP′→，求点M的轨迹．

(2)已知在△ABC中，|BC|＝6，周长为16，那么顶点A在怎样的曲线上运动？

迁移与应用

如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程． 高中数学-打印版 精心校对

解决与椭圆有关的轨迹问题，一般有两种方法：

(1)定义法 用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．

(2)相关点法

有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．

用相关点法求轨迹方程的步骤：

①设所求轨迹上的动点P(x，y)，再设具有某种运动规律f(x，y)＝0上的动点Q(x′，y′)；

②找出P，Q之间坐标的关系，并表示为 x′＝φ1x，y，y′＝φ2x，y；

③将x′，y′代入f(x，y)＝0, 即得所求轨迹方程．

答案：

课前·预习导学

【预习导引】

1．距离之和 常数 两个定点 两焦点间的距离

|MF1|＋|MF2|＝2a

预习交流1 (1)提示：当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，点M的轨迹不存在．

(2)提示：B

2．x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0) F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 高中数学-打印版

精心校对 a2＝b2＋c2

预习交流2 (1)提示：相同点：它们都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点距离的和均为2a．方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母不相等．

不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在x轴上的椭圆两焦点坐标分别为(－c,0)和(c,0)，焦点在y轴上的椭圆两焦点坐标分别为(0，－c)和(0，c)．当椭圆焦点在x轴上时，含x2项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y2项的分母大．

(2)提示：5 3 4 (4,0)，(－4,0)

课堂·合作探究

【问题导学】

活动与探究1 (1)思路分析：求出a→|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|→求出P到另一个焦点的距离

A 解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－5＝5．

(2)思路分析：结合图形，利用定义求第三边．

6 解析：由已知a2＝16，a＝4．

从而由椭圆定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，

∴△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝16．

又知三角形有两边之和为10，∴第三边的长度为6．

迁移与应用 43 解析：由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43．

活动与探究2 思路分析：(1)由已知可得a，c的值，由b2＝a2－c2可求出b，再根据焦点位置写出椭圆的方程． 高中数学-打印版

精心校对 (2)利用两点间的距离公式求出2a，再写方程；也可用待定系数法．

(3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置．也可利用椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0， A≠B)直接求A，B得方程．

解：(1)由题意可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，

所以a＝5，b＝a2－c2＝25－16＝3．

所以椭圆的标准方程为x225＋y29＝1．

(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y轴上，

所以可设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．

由椭圆的定义知2a＝4－02＋32＋22＋4－02＋32－22＝12，

所以a＝6．

又c＝2，所以b＝a2－c2＝42．

所以椭圆的标准方程为y236＋x232＝1．

(方法二)因为椭圆的焦点在y轴上，

所以可设其标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．

由题意得 18a2＋16b2＝1，a2＝b2＋4，解得 a2＝36，b2＝32.

所以椭圆的标准方程为y236＋x232＝1．

(3)(方法一)若椭圆的焦点在x轴上，

设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．

由已知条件得 4a2＋2b2＝1，1a2＋144b2＝1，解得 1a2＝18，1b2＝14.

所以所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1．

同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在． 高中数学-打印版

精心校对 综上，所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1．

(方法二)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．

将两点(2，－2)，－1，142代入，

得 4A＋2B＝1，A＋144B＝1，解得 A＝18，B＝14，

所以所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1．

迁移与应用

1．(3,4) 解析：由已知得 5－k>k－3，k－3>0，解得3＜k＜4．

2．x225＋y216＝1 解析：易知c＝3，a＝5，则b2＝a2－c2＝16．

又椭圆的焦点在x轴上，

∴所求椭圆的方程为x225＋y216＝1．

活动与探究3 思路分析：由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF1|，|PF2|的方程，求出|PF1|，|PF2|后，再求△PF1F2的面积．

解：由已知a＝2，b＝3，

所以c＝a2－b2＝4－3＝1，|F1F2|＝2c＝2，

在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°，

即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①

由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，

即|PF2|＝4－|PF1|，②

将②代入①解得|PF1|＝65．

∴12PFFS＝12|PF1|·|F1F2|·sin 120°

＝12×65×2×32＝335， 高中数学-打印版

精心校对 即△PF1F2的面积是353．

迁移与应用 解：在椭圆x225＋y29＝1中，

a＝5，b＝3，c＝4，

则|F1F2|＝8，|PF1|＋|PF2|＝10．①

由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°＝64．②

①2－②得

|PF1||PF2|＝12．

∴S＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝12×12×32＝33．

活动与探究4 (1)思路分析：先设出M的坐标(x，y)，用x，y表示出点P的坐标代入圆方程即可．

解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，

则x0＝x，y0＝3y．

因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，

所以x20＋y20＝9．

将x0＝x，y0＝3y代入圆方程，得x2＋9y2＝9．

即x29＋y2＝1．

又y≠0，

所以点M的轨迹是一个椭圆，且除去(3,0)和(－3,0)两点．

(2)思路分析：利用椭圆的定义解决，最后要注意检验．

解：由|AB|＋|BC|＋|AC|＝16，|BC|＝6，可得|AB|＋|AC|＝10＞6＝|BC|，

故顶点A在以B，C为焦点，到两焦点距离的和等于10的一个椭圆上运动，且除去BC直线与椭圆的两个交点．

迁移与应用