人教A版高中数学高二选修1-1教案 椭圆及其标准方程

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2．1椭圆

2．1.1 椭圆及其标准方程

(教师用书独具)

●三维目标

1.知识与技能

(1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；

(2)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程．

2．过程与方法

(1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；

(2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力．

3．情感、态度与价值观

(1)通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神；

(2)通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美、几何图形的对称美，提高学生的审美情趣．

●重点、难点

重点：椭圆定义及其标准方程．

难点：椭圆标准方程的推导过程．

椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的，揭示了椭圆的本质属性，也是椭圆方程建立的基石．这给学生提供动手操作、合作学习的机会，通过实例使学生去探究椭圆的形成过程，进而顺理成章的可以推导出椭圆标准方程，以实现重、难点的化解与突破． 高中数学-打印版

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(教师用书独具)

●教学建议

本节课宜采取的教学方法是“问题诱导—启发讨论—探索结果”以及“直观观察—归纳抽象—总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合．引导学生学习方式发生转变，采用“激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究”的学习方式，形成师生互动的教学氛围．

学法方面，通过利用圆的定义及圆的方程的推导过程，从而启发椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导，让学生体会到类比思想的应用；通过利用椭圆定义探索椭圆方程的过程，指导学生进一步理解数形结合思想，产生主动运用的意识；通过揭示因椭圆位置的不确定性所引起的分类讨论，进行分类讨论思想运用的指导．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：按问题要求画出什么样的图形？⇒引导学生共同画图，观察、分析画出的图形的特点与满足的要求，引出椭圆定义.⇒通过观察椭圆的形状，结合定义，引导学生求出椭圆的标准方程，理解参数a，b，c的意义.⇒通过例1及其变式训练，使学生理解椭圆的定义，学会使用定义解决问题.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握用待定系数法求椭圆方程.⇒

(对应学生用书第19页)

课标解读 1.掌握椭圆的定义会用待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)

2．了解椭圆标准方程的推导、坐标法的应用．(难点)

椭圆的定义

【问题导思】

1．取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，高中数学-打印版

精心校对 移动笔尖，这时能在图板上画出一个圆．

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处(如图)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出什么样的一个图形？

【提示】 椭圆．

2．在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？

【提示】 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长．

把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

椭圆的标准方程

【问题导思】

观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？

【提示】 以椭圆两焦点F1、F2的直线为x(y)轴，线段F1F2的垂直平分线为y(x)轴建系．

焦点在x轴上 焦点在y轴上

标准

方程 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)

焦点 (－c,0)与(c,0) (0，－c)与(0，c)

a，b，c

的关系 c2＝a2－b2

(对应学生用书第20页)

椭圆定义的理解及简单应用

(1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，则到F1、F2两点的距离之和等于8的点的高中数学-打印版

精心校对 轨迹是________；

(2)椭圆x216＋y225＝1的两焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF1的周长为________．

【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定义求△ABF1的周长？

【自主解答】 (1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.

(2)由椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF1|＝2a，

∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝20，

∴△ABF1的周长为20.

【答案】 (1)线段F1F2 (2)20

1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的定义可知，集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0，c＞0，且a、c为常数．

当a＞c时，集合P为椭圆上点的集合；

当a＝c时，集合P为线段上点的集合；

当a＜c时，集合P为空集．

因此，只有|F1F2|＜2a时，动点M的轨迹才是椭圆．

2．注意定义的双向运用，即若|PF1|＋|PF2|＝2a(a＞|F1F2|)，则点P的轨迹为椭圆；反之，椭圆上任意点到两焦点的距离之和必为2a.

椭圆x225＋y29＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )

A．2 B．4

C．8 D.32 高中数学-打印版

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【解析】 如图，F2为椭圆右焦点，连MF2，则ON是△F1MF2的中位线，∴|ON|＝12|MF2|，

又|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，

∴|MF2|＝8，∴|ON|＝4.

【答案】 B

求椭圆的标准方程

求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)两焦点坐标分别为(－4,0)和(4,0)且过点(5,0)；

(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点．

【思路探究】 (1)焦点的位置确定了吗？怎样求出标准方程？(2)焦点位置不确定时该怎么办？有没有简便的求解方法？

【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x轴上，

∴设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，

∴2a＝5＋42＋

5－42＝10，

∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9，

故所求椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.

(2)法一 当椭圆的焦点在x轴上时，

设所求椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．

∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，

∴ 4a2＋0b2＝1，0a2＋1b2＝1.则 a＝2，b＝1.

∴所求椭圆的方程为：x24＋y2＝1； 高中数学-打印版

精心校对 当椭圆的焦点在y轴上时，

设方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．

∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，

∴ 0a2＋4b2＝1，1a2＋0b2＝1.则 a＝1，b＝2.与a＞b矛盾，故舍去．

综上可知，所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.

法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．

∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，

∴ 4m＝1，n＝1，∴ m＝14，n＝1，

综上可知，所求椭圆方程为x24＋y2＝1.

1．求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出a2、b2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量．

2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)和焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．

本例(2)若改为“经过(－23，1)和(3，－2)两点”，其他条件不变，试求椭圆的标准方程．

【解】 设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1

(m＞0，n＞0，m≠n)， 高中数学-打印版

精心校对 将点(－23，1)，(3，－2)代入上述方程得 12m＋n＝1，3m＋4n＝1，

解得 m＝115，n＝15，故所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.

求与椭圆有关的轨迹方程

已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，垂足为P′，点M在PP′上，并且PM→＝2MP→，求点M的轨迹．

【思路探究】 设动点Mx，y，Px0，y0→找M，P的关系→用点M坐标表示点P坐标→代入圆方程→得点M轨迹

【自主解答】 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y.

∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，

∴x20＋y20＝9.

将x0＝x，y0＝3y代入得x2＋9y2＝9，即x29＋y2＝1.

∴点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆x29＋y2＝1.

1．转代法(即相关点法)求轨迹方程：

有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称作“转代法”．

2．用转代法求轨迹方程大致步骤是：

(1)设所求轨迹上的动点P(x，y)，再设具有某种运动规律f(x，y)＝0上的动点Q(x′，y′)； 高中数学-打印版

精心校对 (2)找出P、Q之间坐标的关系，并表示为 x′＝φ1x，y，y′＝φ2x，y；

(3)将x′，y′代入f(x，y)＝0，即得所求轨迹方程．

设A、B是椭圆x225＋y216＝1与x轴的左、右两个交点，P是椭圆上一个动点，试求AP中点M的轨迹方程．

【解】 设P(x0，y0)，AP的中点M(x，y)，则 x＝x0－52，y＝y02，即 x0＝2x＋5，y0＝2y，代入椭圆方程x225＋y216＝1，

得2x＋5225＋y24＝1，

所以AP中点M的轨迹方程是2x＋5225＋y24＝1.

已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长为18，求这个三角形顶点A的轨迹方程．

【思路探究】 (1)解答本题时如何建系更简单？(2)由△ABC的周长为18能否得到A到B、C的距离之和为定值？这满足椭圆的定义吗？

【自主解答】 以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系．

由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)．

由|AB|＋|BC|＋|AC|＝18，

得|AB|＋|AC|＝10＞|BC|＝8.

因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a＝10，即a＝5，且点A不能在x轴上．

由a＝5，c＝4，得b2＝9.

所以点A的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)．