八年级数学全等三角形中的动点问题压轴题汇总

八年级数学全等三角形中的动点问题压轴题汇总

八年级数学全等三角形中的动点问题汇总

教学重点难点是如何利用熟悉的知识点解决陌生的问题。解决这类问题的思路如下：

1.利用图形想到三角形全等；

2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程和速度；

3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据；

4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏；

5.动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路；

6.动点类问题一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。

典型例题】

例1.在△ABC中，∠XXX为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。如果AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上运动时（与点B不重合），如图，线段CF、BD之间的位置关系为何，数量关系为何？请利用图2或图3予以证明（选择一个即可）。

例2.在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE、DF、EF。

1）求证：△ADF≌△CEF。

2）试证明△DFE是等腰直角三角形。

3）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由。

4）求△CDE面积的最大值。

变式如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE。连接DE、DF、EF。在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是（）

A．①②③B．①③C．①③④D．②③④

例3.正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G．E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF。

1）求证：DF=BF。

2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG、BE（如图（2）所示），在旋转过程中，请猜想线段DG、BE始终有什么数量关系和位置关系并证明你的猜想。

例4.已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点。

题目1：

如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动。若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，能否得出△BPD与△CQP全等的结论？请说明理由。如果点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

解答：

1.经过1秒后，无法得出△BPD与△CQP全等的结论。因为只知道点P和点Q的速度相等，但不知道它们运动的距离是否相等，也不知道它们的方向是否相同。

2.当点Q的运动速度为4cm/秒时，△BPD与△CQP全等。因为此时点P和点Q分别经过4cm和12cm的路程，且它们的方向相反。

题目2：

在等边△ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟。

1）请用t表示BP和BQ的长度；

2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形； 3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△XXX的哪条边上相遇？

解答：

1.设BP的长度为x，则BQ的长度为9-x。由于P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒，因此BP的长度为2t厘米，BQ的长度为5t厘米。因此，有2t=x，5t=9-x，解得x=6/7.因此，BP的长度为2t=12/7厘米，BQ的长度为9-x=45/7厘米。

2.设t秒后△PBQ为等边三角形，则BP=BQ。因此，有2t=9-x，5t=x，解得x=3.因此，t=3/5秒。

3.当P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动时，它们第一次相遇的位置为D点，即△BCD为等腰三角形。此时，有BP=BD，BQ=CD。因此，有2t=BD=9-CD，5t=CD，解得CD=45/7厘米，BD=18/7厘米。因此，经过3t=9/5秒后，点P和点Q第一次在边BC上相遇。

4.如图，AC为正方形ABCD的一条对角线，点E为DA边延长线上的一点，连接BE，在BE上取一点F，使BF=BC，过点B做BK⊥BE与B，交AC于点K，连接CF，交AB于点H，交BK于点G。

1) 证明：因为AC为正方形的对角线，所以AC垂直于BD且平分BD，即BD为AC的中垂线，所以BH=HD。又因为△BEF和△BCF中有BF=BC，∠BEF=∠BCF，EF=CF，所以△BEF和△BCF全等，所以∠XXX∠FEB，又因为BK⊥BE，所以∠XXX∠GBK，所以∠XXX∠GBK。因此，△BGC和△BHC全等，所以BH=BG。

2) 证明：因为BF=BC，所以∠BCF=∠XXX，又因为△BEF和△BCF全等，所以∠XXX∠BCF，所以∠XXX∠XXX。又因为BK⊥BE，所以∠XXX°-∠BEF，所以∠XXX∠XXX-∠XXX。因此，∠XXX∠XXX。又因为△BGC和△BHC全等，所以∠XXX∠XXX，所以∠XXX∠XXX∠XXX。又因为∠XXX∠GBK，所以∠BHC=2∠XXX。因此，△XXX和△FCE相似，所以XXX。

5.正方形四条边都相等，四个角都是90°。如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG。

1) 如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：

① 判断△ADG与△ABE是否全等，并说明理由：不全等。因为AD=AB=AE，但∠DAG≠∠BAE。

② 过点XXX，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，并说明理由：BE=CH。因为AEFG是正方形，所以AE=EF，又因为MN是直线，所以∠XXX∠EHN=90°，所以△XXX和△XXX相似，所以XXX。又因为AE=AB，所以HE=EB，所以HM=MB，所以XXX，所以FH=BM·HN/EB，又因为BM=BC，所以FH=BC·HN/EB。因为△BCH和△NEH全等，所以BC=NE，所以FH=NE·HN/EB，又因为NE=CH，所以FH=CH·HN/EB，所以BE=CH。

2) 如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：

① 判断△ADG与△ABE是否全等，不需说明理由。

② 过点XXX，垂足为点H，已知GD=4，求△XXX的面积：设AB=1，因为△ABE和△CGF全等，所以CG=AE=1，又因为△CGH和△DGH全等，所以GH=GD=4，又因为△XXX和△EHN相似，所以XXX，所以HM=2HE，又因为AE=1，所以HE=1/2，所以HM=1，又因为MN=2，所以HN=√3，所以HF=2√3，所以△CFH的面积为1/2·2√3·1=√3.

6.如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别为EB、CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形。

1) 当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE是否依然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由：不成立。因为旋转后的图形不再是等边三角形，所以CD≠BE。

2) 当△ADE绕点A旋转到图3位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由：是。因为旋转前后，△ADE和△AMN都是以AE为一边的等边三角形，所以△AMN也是等边三角形。当AB=2AD时，易知AD=1，AB=2，AE=√3，BE=2-√3，CD=2-√3，MN=√3-1，AM=AN=1/2，BM=BN=√3/2.所以△ADE的面积为√3/4，△ABC的面积为√3，△AMN的面积为(√3-1)/4，所以△ADE:△ABC:△AMN=1:4:√3-1.

7.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧做△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE。

1) 如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=45°。

2) 设∠BAC=α，∠BCE=β。

① 如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由：α+2β=135°。因为△ADE是等腰三角形，所以∠DAE=∠DEA=(180°-α)/2，所以∠AED=α/2.又因为∠DAE=∠BAC=α，所以∠DEC=2α，所以∠BCE=180°-3α，所以β=45°-α/3.因此，α+2β=135°。

② 当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：α+2β=180°。因为当D在BC上移动时，△ADE和△ABC都是等腰三角形，所以∠DAE=∠DEA=(180°-α)/2，所以∠DEC=2α，所以∠BCE=180°-3α，所以β=60°-α/3.因此，α+2β=180°。

8.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6cm，CB=CD，AB⊥BC，CD⊥AD，∠PCQ=60°，两边分别交线段AB、AD于点P、Q，把△PBC绕点C顺时针旋转120°得到△MDC。请在图中找出一对全等的三角形并加以证明（△PBC与△MDC除外）。

如图，连接AC，BD，PC，QC，MD，MC。

AB=AD，∠XXX∠ADC=90°，∴△ABC和△ADC全等，所以BC=DC。

AB⊥BC，CD⊥AD，∴AB∥CD，AD∥BC，∠XXX∠XXX，∠ABC=∠ADC=90°，∴ABCD是一个平行四边形。

BC=DC，∠BCD=120°，∠PCQ=60°，∴△BCP和△DCQ全等，所以∠XXX∠CQD。

BC=DC，∠BCD=120°，∠PCQ=60°，∴△BPC和△CQD全等，所以BP=CQ，PC=DQ。

BP=CQ，PC=DQ，∴BP+PC=CQ+DQ，∴BC=QD。

ABCD是平行四边形，∴AC=BD。

BP=CQ，PC=DQ，∴BP+PC=CQ+DQ，∴BP+CQ=PC+DQ，∴BC=PQ。