八年级数学全等三角形与动点问题

一、解题思路

1、利用图形想到三角形全等，相似及三角函数；

2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）；

3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据；

4、分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏；

5、动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路；

6、动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。

二、三角形全等之动点问题（题型讲解）

例题1、如图，AB=18 cm，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以2 cm/s 的速度向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发，沿 BA 以1 cm/s 的速度向点 A 运动。P，Q 两点同时出发，当点 P 到达点 B 时，点 P，Q 同时停止运动。设点 P 运动的时间为 t 秒，请回答下列问题：

（1）AP=2t ，QB=t （含t的式子表达）；

（2）在 P，Q 相遇之前，若 P，Q 两点相距 6 cm，则此时 t 的值为 4s 。

例题1图

知识点总结：

由点 速度已知 的运动产生的几何问题称为 动点 问题，这类问题的解决方法如下：

1、 研究 背景图形 ，标注；2、分析 运动过程 ，分段；3、表达 线段长度 ，建立等式 。

例题2、如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=10，点 E 为边 AD 上一点，且 AE=7。动点

P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿 BC 向点 C 运动，连接 AP，DP。设点 P 运动时间为 t 秒。

（1）当 t=1.5 时，△ABP 与 △CDE 是否全等？请说明理由；（2）当 t 为何值时，△DCP ≌ △CDE 。

例题2图

解：（1）当 t=1.5 时，△ABP ≌ △CDE；

理由如下：如图，由题意得 BP=2t

∴当 t=1.5 时，BP=3

∵AE=7，AD=10 ∴ DE=3 ∴ BP=DE

在矩形ABCD中 AB=CD，∠B=∠CDE

在 △ABP 和 △CDE 中

∵ AB=CD，∠B=∠CDE ， BP=DE

∴ △ABP ≌ △CDE（SAS）

（2）如图，由题意得 BP=2t

∵BC=10 ∴ CP=10 - 2t

若使△DCP≌△CDE，则需CP=DE

即10-2t=3，t=3.5

∴ 当 t=3.5 时，△DCP ≌ △CDE 。

例题3、如图，在等腰 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F 是 AB 边上的中点，点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动，且始终保持AD=CE。连接 DE、DF、EF。

（1）求证：△ADF ≌ △CEF ；

（2）试证明 △DFE 是等腰直角三角形 。

例题3图

证明：

（1）∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=CB ，F 是 AB 边上的中点

∴ CF ⊥AB , CF 平分 ∠ACB （等腰三角形中角平分线、中线、高 三线合一）

∴ AF=CF , ∠A=∠FCB=45°

在 △ADF 和 △CEF 中

∵ AF=CF , ∠A=∠FCB=45° ， AD=CE

∴ △ADF ≌ △CEF （SAS）

（2）由（1）知 △ADF ≌ △CEF 得 DF=EF ，∠AFD=∠CFE

∵ ∠AFD + ∠DFC=∠AFC=90°

∴ ∠CFE + ∠DFC=∠DFE=90°

∴ △DFE是等腰直角三角形

例题4、如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点 P 从点 A

出发以每秒1个单位的速度沿 AD 向点 D运动，动点 Q 从点 C 出发以每秒 2 个单位的速度沿 CB 向点 B 运动，P，Q 同时出发，当点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止，连接PQ，DQ 。设点 P 运动时间为 t 秒，试求当 t 为何值时，△PDQ ≌ △CQD 。

例题4图

解：如图，由题意得 AP=t，CQ=2t

∵ AD=12 ∴ DP=12 - t

要使 △PDQ ≌ △CQD，则需 DP=QC

即12 - t=2t ，t=4

∴ 当 t=4 时，△PDQ ≌ △CQD （SAS）

例题5、如图，在△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=8 cm，点 D 为 AB 的中点，动点 P 在线段 BC上以每秒 3 cm 的速度由点 B 向点 C运动，同时动点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A

运动。设点 P 运动时间为 t 秒，当 t 为何值时 △BPD ≌ △CQP ，试求此时 t 的值及动点 Q 的运动速度 。

例题5图

解：如图，由题意得 BP=3t

∵ BC=8 ∴ PC=8 - 3t

∵ AB=10，D 为 AB 中点

∴BD=1/2 AB=5

① 要使 △BDP ≌ △CPQ ，则需 BD=CP，BP=CQ

即 5=8 - 3t，t=1 ∴ CQ=3t=3

则 Q 的速度为 SQ=S / t=3 / 1=3 （cm/s）

即当 t=1，Q 的速度为每秒 3 cm 时，△BDP ≌ △CPQ 。

② 要使 △BDP ≌ △CQP，则需 BP=CP，BD=CQ

即 3t=8 - 3t，CQ=5 ∴ t=4/3

则 Q 的速度为 SQ=S / t=5 × 3/4=15/4 （cm/s）

即当 t=15/4 （cm/s），Q的速度为每秒 15/4 cm时，△BDP ≌ △CQP。

综上所述，当 t=1时，Q的速度为每秒3cm 或 t=4/3 时 ，Q的速度为每秒 15/4 cm时，△BPD ≌ △CQP 。

例题6（单动点问题）、如图，在矩形 ABCD 中，AB=DC=4，AD=BC=5。延长BC到 E，使 CE=2，连接DE。

动点 P从点 B 出发，以每秒2个单位的速度沿 BC-CD-DA 向终点 A 运动，设点 P 运动时间为 t 秒。

（1）请用含 t 的式子表达 △ABP 的面积 S；

（2）是否存在某个 t 值，使得△DCP和△DCE全等？若存在，请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由。

例题6图

解：（1）

① 当动点 P 在 BC上时，

如图，由题意得BP=2t（0≤ t ≤ 2.5）

∴ S△ABP=1/2 AB ? BP=1/2 × 4 × 2t=4t ；

② 当动点 P 在CD上时，（2.5 < t ≤ 4.5）

∴ S△ABP=1/2 AB ? BC=1/2 × 4 × 5=10 ；

③ 当动点 P 在 AD上时，由题意得AP=14-2t（4.5 < t ≤ 7）

∴ S△ABP=1/2 AB ? AP=1/2 × 4 × （14-2t）=28 - 4t 。

（2）

① 当动点 P 在 BC上时，

如图，由题意得BP=2t

要使△DCP≌△DCE，则需CP=CE

∵ CE=2 ∴ 5 - 2t=2，t=1.5

即当 t=1.5时，△DCP ≌ △DCE

② 当动点 P 在 CD 上时，不存在 t 使 △DCP 和 △DCE 全等

③ 当动点 P 在 AD 上时，由题意得 BC + CD + DP=2t

∵ BC=5，CD=4，∴DP=2t - 9

要使△DCP≌△CDE，则需DP=CE

即2t-9=2，t=5.5 即当 t=5.5 时，△DCP ≌ △CDE。

综上所述，当 t=1.5 或 t=5.5 时，△DCP 和 △DCE全等。

例题7（双动点问题）、如图，在矩形 ABCD 中，AB=CD=3 cm，AD=BC=5 cm，动点 P 从点 B 出发，以每秒1 cm的速度沿 BC 方向向点 C 运动，动点 Q 从点 C 出发，以每秒2 cm的速度沿 CD-DA-AB 向点 B 运动，P，Q 同时出发，当点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止，设点 P 运动时间为 t 秒。请回答下列问题：

（1）请用含 t 的式子表达△CPQ 的面积 S，并直接写出 t 的取值范围；

（2）是否存在某个t 值，使得△ABP和△CDQ全等？若存在，请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由。

例题7图

解：（1）

① 当动点 Q 在 CD上时，