第1讲-线段与角度的相关计算
- 格式：docx
- 大小：745.28 KB
- 文档页数：9
第1讲-线段与角度的相关计算
一、线
1．基本概念：
（1）直线：能够向两端无限延伸的线叫做直线．
表示方法：①直线可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序；
②直线也可以用一个小写字母来表示．
【例】如图1：可以记为直线AB或直线BA；
如图2：记为直线l．
图1 图2
（2）射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．
表示方法：①射线可以用两个大写字母来表示，第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点；
②射线也可以用一个小写字母来表示．
【例】如图3：记为射线OA，但不能记为射线AO；
如图4：记为射线l．
图3 图4
（3）线段：直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫做线段的端点．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
表示方法：①线段可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，不分先后顺序；
②线段也可以用一个小写字母来表示．
【例】如图5：可以记为线段AB或线段BA；
如图6：记为线段l．
图5
图6
（4）中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．
【例】如图7：点O是线段AB的中点，此时AOBOAB．
图7
2．公理：
（1）两点确定一条直线：经过两点有且只有一条直线；
（2）两点之间，线段最短：两点之间的连线中，线段最短．
二、角
1．定义：
（1）静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，可以无限延伸． lABlAO(5) lAB (6)lOBA（2）动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形叫做角．处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．
表示方法：①通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间．
②用一个大写字母来表示：这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角只有一个．
③用数字或希腊字母来表示：可以用希腊字母（，，，，, ...）表示角的大小。为避免混淆，符号π一般不用来表示角度。
【例】
AOB或BOA A
2．角的相关换算：
①1度=60分（=60'），1分秒（1=60'"）；
②1周角36，1平角，1直角；
③1周角2平角，1平角2直角．
3．相关概念
补角：如果两个角的和是，那么这两个角互为补角，简称互补．等角或同角的补角相等． 如果12=+，则1与2互补；反之，如果1与2互补，则12=+．
余角：如果两个角的和是9，那么这两个角互为余角，简称互余．等角或同角的余角相等． 如果12=9+，则1与2互余；反之，如果1与2互余，则12=9+．
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 射线OC是AOB的角平分线，2AOB．
【例1】
（1）下列说法正确的是（ ）
A．直线AB和直线BA是两条直线
B．射线AB和射线BA是两条射线
C．线段AB和线段BA是两条线段
D．直线AB和直线a不能是同一条直线
4()3()2()1()α1AAOBα1AAOB4()3()2()()α1Aα1A4()3()()()α1α14()()()()αα(8)21OBCA AOCB21 AOCB21（2）下列四个生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，
其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
（3）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D．按要求作图：
①画射线CD；②画直线AD；③连结AB；④直线BD与直线AC相交于点O．
【解析】（1）B；（2）D；（3）略．
【例2】
（1）补全下面解题过程．已知：如图，B、D是线段AC上两点，D是BC的中点，BDAC，cmBD，求线段AB的长．
解：∵BDAC，cmBD，（已知）
∴cmACBD．
∵D是BC的中点，（已知）
∴BC________BD________cm．（线段中点的定义）
∴ABAC________________cm．
（2）如图，在直线l的同侧有A、B两点，在直线l上找点C、D，分别使ACCB最小，DBDA最大．（不用说理由，保留作图痕迹即可）
【解析】（1）2，4，BC，6；（2）略．
ABDC•••• A••BDC B••A【例3】
（1）如图3-1，线段6cmAC，线段15cmBC，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得:1:2CNNB，则MN__________．
（2）如图3-2已知线段cmAB，点M为AB的中点，点P在MB上，点N为PB的中点，且cmNB，求PM的长．
图3-1
图3-2
【解析】（1）8cm；
（2）∵cmAB，点M为AB的中点，（已知）
∴cmBMAB．（线段中点的定义）
∵点N为PB的中点，且cmNB（已知）
∴cmBPNB．（线段中点的定义）
∴cmPMBMBP．
【例4】
（1）如图，M是线段AB上一点，cmAB，cmBM，C、D分别是AM、BM的中点．求CD的长．
（2）若把上题中的条件“cmBM”去掉，其它条件不变，你能求出CD的长度吗？若能，请求出CD的长度，若不能请说明理由．
（3）若M是线段AB延长线上一点，cmABa，C、D分别是AM、BM的中点，请画出相应的图形，并求出CD的长（用含a的代数式表出）．
【解析】（1）cmCD；（2）=cmCD；
（3）如图，∵C、D分别是AM、BM的中点，
∴CMAM，DMBM（线段中点的定义）
∴()cmCDCMDMAMBMABa．
【例5】
（1）延长线段AB到C，使BCAB，反向延长线段AB到D，使DAAB，若cmAB，则线段CD的长为___________．
（2）已知A，B，C三点在同一直线上，线段AB，D是线段AB的中点，且::BCAB，则线段CD的长为___________．
（3）已知A，B，C，D四点共线，若cmAB，cmBC，cmCD，画出图形，求AD的长．
【解析】（1）cmDC；（2）1.5cm或7.5cm； DCABM AMCNB ABPMN ABCMD（3）情况1：如图（1）cmAD．
情况2：如图（2）cmAD．
情况3：如图（3）()cmAD．
情况4：如图（4）()cmAD．
【例6】
已知关于m的方程()mm的解也是关于x的方程()xn的解．
（1）求m，n的值；
（2）已知线段ABm，在线段AB所在直线上取一点P，恰好使APnPB，点Q是PB的中点，求线段AQ的长． 【解析】（1）m，n；
（2）①如图1，点P在线段AB上时，
∵AB，APPB．
∴AP，
∴PBABAP．
∵点Q为PB的中点，∴PQPB．
∴AQAPPQ．
②如图2，点P在线段AB的延长线上时，
∵AB，APPB．
∴BPBP，得BP．
∵点Q为PB的中点，
∴BQBP．
∴AQABBQ．
综上，线段AQ的长为或．
（1）DCBA（2）ABCD（3）ABCD（4）ABCD
【例7】
（1）如图7-1，将一副三角板的直角顶点重合，可得，理由是等角（或同角）的________；若，则COB__________．
（2）一个角的补角比它的余角的4倍少，则这个角的度数为________．
（3）如图7-2，O是直线AB上的一点，AOD，AOC，OE平分BOD，则图中彼此互补的角共有______对．
图7-1
图7-2
【解析】（1）余角相等，130；
（2）55；
（3）根据题意可得，BOEEODDOC，BODEOC，互补的角只需满足和为这个数量关系即可，与位置无关，所以共有6对：AOE与BOE，AOE与EOD，AOE与DOC，AOD与BOD，AOD与EOC，AOC与BOC．
【例8】
如图，已知BOCAOC，OD平分AOB，且COD，求AOB的度数．
【解析】设AOC，则BOC，
∴AOBAOCBOC，
∵OD平分AOB，∴AODAOB，
∴CODAODAOC，
∵COD，∴，
∴AOB．
【例9】
如图所示，已知OM平分AOC，ON平分BOC．
（1）当AOB，BOC，求MON的度数；
（2）若AOB，BOC时，求MON的度数．
【解析】（1）∵AOB，BOC，
∴AOCAOBBOC．
又∵OM平分AOC，∴MOCAOC．
又∵ON平分BOC，∴NOCBOC． DCBAO CADOB
AOBCMN
