第一讲三角形的边及线段
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第⼀讲三⾓形的边及线段
第⼀讲 三⾓形的边及线段
知识要点1、三⾓形的概念
不在⼀条直线上的三条线段⾸尾顺次相接组成的图形叫做三⾓形。
组成三⾓形的线段叫做三⾓形的边，相邻两边所组成的⾓叫做三⾓形的内⾓，简称⾓，相邻两边的公共端点是三⾓形的顶点。2、三⾓形的三边关系
三⾓形的两边之和⼤于第三边，可⽤字母表⽰为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b
两边之差⼩于第三边。3. 三⾓形的三条重要线段
三⾓形的⾼
定义：从三⾓形的⼀个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂⾜间的线段叫做三⾓形的⾼（简称三⾓形的⾼）1.画出①、②、③三个△ABC 各边的⾼,并说明是哪条边的⾼.
三⾓形的中线
定义：在三⾓形中，连接⼀个顶点和它对边中点的线段叫做三⾓形的中线
三⾓形的⾓平分线
定义：三⾓形的⼀个⾓的平分线与这个⾓的对边相交，这个⾓的顶点和交点之间的线段叫做三⾓形的⾓平分线。4． 三⾓形的稳定性
三⾓形的三边长⼀旦确定，三⾓形的形状就唯⼀确定，这个性质叫做三⾓形的稳定性。四边形则不具有稳定性。 经典例题
例1.⼀个三⾓形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三⾓形的第三边的长可能是（ ）A ．3cm
B ．4cm
C ．7cm
D ．11cm
A B
C A B C B A
例2.有下列长度的三条线段能否组成三⾓形？为什么？(1)3，5，8；(2)5，6，10；(3)5，6，7. (4)5,6,12
例3.从长度分别为10cm、20cm、30cm、40cm的四根⽊条中，任取三根可组成三⾓形的个数是( )．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
例4.若三⾓形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是( )．(A)6＜l＜15 (B)6＜l＜16
(C)11＜l＜13 (D)10＜l＜16
例5.(1)⼀个等腰三⾓形的周长为18，若腰长的3倍⽐底边的2倍多6，求各边长．(2)已知等腰三⾓形的⼀边等于8cm，⼀边等于6cm，求它的周长．(3)⼀个等腰三⾓形的周长为30cm，⼀边长为6cm，求其它两边的长．
(4)有两边相等的三⾓形的周长为12cm，⼀边与另⼀边的差是3cm，求三边的长．
例6.如图，已知△ABC 的周长为16厘⽶，AD 是BC 边上的中线，AD=45
AB ，AD=4厘⽶，△ABD 的周长是12厘⽶，求△ABC 各边的长。
例7.AD 是△ABC 的中线，DE=2AE ，若△ABC 的⾯积是18cm 2，则△ABE 的⾯积=__________
例8.如图，在△ABC 中，AE 是⾓平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB 的度数．
例9、如图，在ΔABC 中，AD 是ΔABC 的⾼，AE 是ΔABC 的⾓平分线，已知∠BAC=820
，∠C=400，求∠DAE 的⼤⼩。
例10..如图，在△ABC 中，BD 是⾓平分线，BE 是中线，若AC=24cm ，则AE= cm ，若∠ABC=72°，则∠ABD=_____度．例11、在建筑⼯地我们常可看见如右图所⽰，⽤⽊条EF
固定矩形门框ABCD 的情形.这种做法根据( )A.两点之间线段最短
B.两点确定⼀条直线
C.三⾓形的稳定性
D.垂线段最短
例12、我们学校的⼤门是电动推拉门，这种门⼯作的原理
是根据四边形的 。
同步练习1、如果三条线段的⽐是：①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5，其中可构成三⾓形的有（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2、已知三⾓形两边长分别为4 cm 和9 cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）
A ．13 cm
B ．6 cm
C ．5 cm
D ．4 cm
3、为估计池塘两岸A 、B 间的距离，杨阳在池塘⼀侧选取了⼀点P ，测得PA =16
m ，PB =12 m ，那么AB 间的距离不可能是（）
A ．5 m
B ．15m
C ．20 m
D ．28m
4、⼀个三⾓形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满⾜上述条件的三⾓形个数为（）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
5、三⾓形的⾓平分线、中线和⾼都是（）
A．直线B．线段C．射线D．以上答案都不对
6、如图，如果把△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，那么折
痕（线段AD）是△ABC的（）A．中线B．⾓平分线
C．⾼D．既是中线，⼜是⾓平分线
7、如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，下列说法中，错误的是（）
A．△ABC中，AC是BC边上的⾼
B．△BCD中，DE是BC边上的⾼
C．△ABE中，DE是BE边上的⾼
D．△ACD中，AD是CD边上的⾼
8、若a、b、c表⽰△ABC的三边长，则|a-b-c|+|b-c-c|+|c-a-b|=________.
9、三⾓形的两边长分别为5 cm和12 cm，第三边与前两边中的⼀边相等，则三⾓形的周长为________.
10．在△ABC中，AD是中线，则△ABD的⾯积______△ACD的⾯积．（填“>”，“<”或“=”）11．在△ABC中，若∠A=30°，∠B=60°，则这个三⾓形为三⾓形；若∠A：∠B：∠C=1：3：5，这个三⾓形为三⾓形．（按⾓的分类填写）
12．⼀⽊⼯师傅有两根长分别为5cm、8cm的⽊条，他要找第三根⽊条，将它们钉成⼀个三⾓形框架，现有3cm、10cm、20cm三根⽊条，他可以选择长为cm的⽊条．13．若⼀个等腰三⾓形的两边长分别是3 cm和5 cm，则它的周长是____ _ cm．
14 、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB 与AC的和为14，求AB和AC的长．
拓展提⾼1、已知等腰三⾓形的⼀边长等于4，另⼀边长等于9，求这个三⾓形的周长。
2．(1)若三⾓形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围．
(2)若三边分别为2，x－1，3，求x的范围．
(3)若三⾓形两边长为7和10，求最长边x的范围．
(4)等腰三⾓形腰长为2，求周长l的范围．(5)等腰三⾓形的腰长是整数，周长是10，求它的各边长．
3．已知等腰三⾓形⼀腰上的中线将三⾓形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个等腰三⾓形的底边长和腰长．
4．如图，已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，且∠A=60°，
5．如图，AD为△ABC的中线，BE为三⾓形ABD中线，
（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的⾼；
（3）若△ABC的⾯积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？
6．已知△ABC中，∠BAC=100°．
（1）若∠ABC和∠ACB的⾓平分线交于点O，如图1所⽰，试求∠BOC的⼤⼩；
（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将⼀个⾓平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所⽰，试求∠BOC的⼤⼩；
（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线⾃下⽽上依次相交于O，O1，O2…，如图3
所⽰，试探求∠BOC的⼤⼩与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是⼏等分线的交线所成的⾓．
