2020-2021学年杭州市滨江区九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
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2020-2021学年杭州市滨江区九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 下列说法正确的是( )
A. 调查某班学生的身高情况，适宜采用抽样调查
B. 对端午节期间市场上粽子子质量情况的调查采用全面调查
C. 小南抛两次硬币是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的率是1
D. 若𝑚、𝑛互为相反数，则𝑚+𝑛=0，这一事件是必然事件
2. 如图，抛物线𝑆1与𝑥轴交于点𝐴(−3,0)，𝐵(1,0)，将它向右平移2个单位得新抛物线𝑆2，点𝑀，𝑁是抛物线𝑆2上两点，且𝑀𝑁//𝑥轴，交抛物线𝑆1于点𝐶，已知𝑀𝑁=3𝑀𝐶，则点𝐶的横坐标为( )
A. 13 B. 12 C. 23 D. 1
3. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸分别在𝐴𝐵、𝐴𝐶边上，且𝐷𝐸//𝐵𝐶，如果𝐴𝐷：𝐷𝐵=3：2，那么𝐴𝐸：𝐸𝐶等于( )
A. 3：5
B. 3：1
C. 2：3
D. 3：2
4. 某轮船由西向东航行，在𝐴处测得小岛𝑃的方位是北偏东75°，继续航行7海里后，在𝐵处测得小岛𝑃的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛𝑃的距离𝐵𝑃是( )
A. 3.5海里 B. 4海里 C. 7海里 D. 14海里
5. 在比例尺为1：𝑛的某市地图上，𝐴，𝐵两地相距5𝑐𝑚，则𝐴、𝐵之间的实际距离为( )
A. 15𝑛𝑐𝑚 B. 125𝑛2𝑐𝑚 C. 5𝑛𝑐𝑚 D. 25𝑛2𝑐𝑚 6. 如图，△𝐴𝐵𝐶为圆𝑂的一个内接三角形，过点𝐵作圆𝑂的切线𝑃𝐵与𝑂𝐴延长线交于点𝑃，连接𝑂𝐵，已知∠𝐴𝐶𝐵=34°，则∠𝑃=( )
A. 17°
B. 27°
C. 32°
D. 22°
7. 如图，𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，点𝑃为𝐴𝐵延长线上的一点，过点𝑃作⊙𝑂的切线𝑃𝐸，切点为𝑀，过𝐴、𝐵两点分别作𝑃𝐸的垂线𝐴𝐶、𝐵𝐷，垂足分别为𝐶、𝐷，连接𝐴𝑀，则下列结论正确的个数是( )
①𝐴𝑀平分∠𝐶𝐴𝐵；
②𝐴𝑀2=𝐴𝐶⋅𝐴𝐵；
③若𝐴𝐵=4，∠𝐴𝑃𝐸=30°，则𝐵𝑀⏜的长为𝜋3；
④若𝐴𝐶=3，𝐵𝐷=1，则有𝐶𝑀=𝐷𝑀=√3．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. ⊙𝑂经过△𝐴𝐵𝐶的三个顶点，则下列说法正确的是( )
A. △𝐴𝐵𝐶是⊙𝑂的外接三角形，⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的内接圆
B. △𝐴𝐵𝐶是⊙𝑂的外接三角形，⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆
C. △𝐴𝐵𝐶是⊙𝑂的内接三角形，⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的内接圆
D. △𝐴𝐵𝐶是⊙𝑂的内接三角形，⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆
9. 若抛物线𝑦=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏与𝑥轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线𝑥=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )
A. (−3,−6) B. (−3,0) C. (−3,−5) D. (−3,−1)
10. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐴𝐷：𝐷𝐵=1：3，𝐵𝐶=8，那么𝐷𝐸的长为( ) A. 2
B. 4
C.
43
D.
83 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 计算：(3−𝜋)0−(−12)−2−𝑐𝑜𝑠30°=______．
12. 已知一个围棋盒子中装有7颗围棋子，其中3颗白棋子，4颗黑棋子，若往盒子中再放入𝑥颗白棋子和𝑦颗黑棋子，从盒子中随机取出一颗白棋子的可能性大小是14，则𝑦与𝑥之间的关系式是______．
13. 已知当𝑥1=𝑎，𝑥2=𝑏，𝑥3=𝑐时，二次函数𝑦=14𝑥2−𝑡𝑥对应的函数值分别为𝑦1，𝑦2，𝑦3，若正整数𝑎，𝑏，𝑐恰好是一个三角形的三边长，且当𝑎<𝑏<𝑐时，都有𝑦1<𝑦2<𝑦3，则实数𝑡的取值范围是______
14. 某校运动会上，张强同学推铅球时，铅球行进的高度𝑦(米)与水平距离𝑥(米)之间的函数关系式为𝑦=−112𝑥2+23𝑥+53，张强同学的成绩为______ 米．
15. 如图，∠𝐴𝑂𝐵=90°，∠𝐵=30°，以点𝑂为圆心，𝑂𝐴为半径作弧交𝐴𝐵于点𝐶，交𝑂𝐵于点𝐷，若𝑂𝐴=4，则阴影部分的面积为______．
16. 已知二次函数𝑦=𝑥2−2𝑚𝑥+𝑚2+2𝑚+1(𝑚为常数)，有下列四个结论：①当𝑥=𝑚+𝑎和𝑥=𝑚−𝑎时，对应的函数值相等；②当𝑚>−12时，二次函数的图象与𝑥轴有两个公共点；③若𝑚=−23，点𝐴(𝑡,𝑦1)，𝐵(𝑡−1,𝑦2)是二次函数图象上两点，则当𝑡>−1时，𝑦1<𝑦2；④二次函数的图象不经过第四象限，其中正确的结论有______ .(填序号)
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
17. 已知：⊙𝑂的半径为3𝑐𝑚，点𝑃和圆心𝑂的距离为6𝑐𝑚，经过点𝑃和⊙𝑂的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．
四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）
18. 小英和小明姐弟二人准备一起去观看端午节龙舟赛．但因家中临时有事，必须留下一人在家，于是姐弟二人采用游戏的方式来确定谁去看龙舟赛．游戏规则是：在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同．游戏时先由小英从口袋中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小明从口袋中摸出1个乒乓球，记下颜色．如果姐弟二人摸到的乒乓球颜色相同．则小英赢，否则小明赢．
(1)请用树状图或列表的方法表示游戏中所有可能出现的结果．
(2)这个游戏对游戏双方公平吗？请说明理由．
19. 如图，𝐴𝐵是⊙𝑂直径，𝐶𝐵是⊙𝑂的切线，切点为𝐵，𝑂𝐶平行于弦𝐴𝐷．
求证：𝐷𝐶是⊙𝑂的切线．
20. 如图，点𝐶是线段𝐴𝐵上的一点，𝐴𝐵=6，𝐴𝐶=2𝐵𝐶，𝐶𝐷为射线，且∠𝐴𝐶𝐷=120°，动点𝑀以每秒4个单位长度从点𝐶出发，沿射线𝐶𝐷作匀速运动，设运动时间为𝑥秒．
(1)当𝑥=12秒时，计算△𝐴𝐵𝑀的面积；
(2)探究：点𝑀运动过程中，当𝑥为何值时，△𝐴𝐵𝑀是以∠𝐵为直角的直角三角形，请说明理由．
(3)点𝑀运动过程中，∠𝐴𝑀𝐵和∠𝑀𝐴𝐵是否也可以为直角，请直接回答．
21. 如图，抛物线的顶点为𝐷(1,−2)，交𝑥轴于𝐴、𝐵(𝐴左𝐵右)两点，交𝑦轴于点𝐶，且𝐵(3,0)，坐标原点为𝑂，
(1)求抛物线解析式．
(2)连接𝑂𝐷、𝐵𝐷，在抛物线上确定点𝐸，使△𝐴𝐵𝐸的面积为△𝑂𝐵𝐷面积的43，求点𝐸的坐标．
(3)点𝑄为线段𝐷𝐵上一点，将坐标原点𝑂沿∠𝑂𝑄𝐵的平分线翻折得对称点𝑂1，若𝑄𝑂−𝑄𝐵=√2，求点𝑄的坐标．
22. 已知二次函数𝑦=(𝑎𝑏−2𝑏)𝑥2+2(𝑏−𝑎)𝑥+2𝑎−𝑎𝑏．
(1)求自变量𝑥=1时的函数值；
(2)若𝑎=7，𝑏=1，求该二次函数的图象与𝑥轴公共点的坐标；
(3)若该二次函数的图象与𝑥轴有且只有一个公共点，求1𝑎+1𝑏的值．
23. 如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐶、𝐷是⊙𝑂上两点，𝐴𝐶⌢=𝐵𝐶⌢.过点𝐵作⊙𝑂的切线𝑙，连接𝐴𝐶并延长交𝑙于点𝐸，连接𝐴𝐷并延长交𝑙于点𝐹．
(1)求证：𝐴𝐶=𝐶𝐸．
(2)若𝐴𝐸=8√2，sin∠𝐵𝐴𝐹=35 求𝐷𝐹长．
参考答案及解析
1.答案：𝐷
解析：解：𝐴选项，调查某班的学生的身高，人数不多，采用全面调查较好，因此𝐴不正确；
端午节市场上的粽子质量，数量较多，宜采取抽样调查，因此𝐵不正确；
虽然两次抛硬币正面都向上，但也不能说发生的概率是1，当第3次抛时，可能出现其他情况，因此𝐶不正确；若𝑚、𝑛互为相反数，则𝑚+𝑛=0，这一事件是必然事件是正确的．
故选：𝐷．
根据抽样调查、全面调查使用范围和特点对𝐴、𝐵选项做出判断，用随机事件发生的可能性对𝐶选项，用必然事件判断𝐷选项，从而得出答案．
考查抽样调查、全面调查适用的范围，必然事件、随机事件发生的可能性的知识，理解事件调查的方法、体会事件发生的可能性是解决问题的关键．
2.答案：𝐵
解析：解：∵抛物线𝑆1与𝑥轴交于点𝐴(−3,0)，𝐵(1,0)，
∴抛物线𝑆1的对称轴为直线𝑥=−3+12=−1，
∵抛物线𝑆1向右平移2个单位得新抛物线𝑆2，点𝑀，𝑁是抛物线𝑆2上两点，且𝑀𝑁//𝑥轴，交抛物线𝑆1于点𝐶，𝑀𝑁=3𝑀𝐶，
∴𝐶𝑁=2𝑀𝐶，𝐶𝑁=2，
∴𝑀𝑁=3，
∴点𝐶与在抛物线𝑆1上的对称点的距离为3，
∴点𝐶的横坐标为：−1+32=12，
故选：𝐵．
根据题意和二次函数的性质、平移的性质可以求得点𝐶的横坐标，本题得以解决．
本题考查了抛物线与𝑥轴的交点、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数和平移的性质解答．
3.答案：𝐷
解析：解：∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，
∴𝐴𝐸𝐶𝐸=𝐴𝐷𝐵𝐷=32， 故选：𝐷．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4.答案：𝐶
解析：解：如图，过𝑃作𝑃𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，
∵∠𝑃𝐵𝐷=90°−60°=30°，
且∠𝑃𝐵𝐷=∠𝑃𝐴𝐵+∠𝐴𝑃𝐵，∠𝑃𝐴𝐵=90−75=15°，
∴∠𝑃𝐴𝐵=∠𝐴𝑃𝐵，
∴𝐵𝑃=𝐴𝐵=7(海里)．
解法二：由题意，∠𝑃𝐴𝐵=90°−75°=15°，∠𝐴𝐵𝑃=150°，
∴∠𝐴𝑃𝐵=180°−15°−150°=15°，
∴∠𝑃𝐴𝐵=∠𝐴𝑃𝐵，
∴𝐵𝑃=𝐴𝐵=7(海里)．
故选：𝐶．
先过𝑃作𝐴𝐵的垂线𝑃𝐷，在直角△𝐵𝑃𝐷中可以求得∠𝑃𝐴𝐷的度数是30°，即可证明△𝐴𝑃𝐵是等腰三角形，即可求解．
此题考查的是解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．正确证明△𝐴𝑃𝐵是等腰三角形是解决本题的关键．
5.答案：𝐶
解析：解：设𝐴、𝐵之间的实际距离为𝑥，
则1：𝑛=5：𝑥，
解得𝑥=5𝑛，
故选：𝐶．
根据比例尺为1：𝑛，列出等式求解即可．
本题主要考查比例尺的应用．考查利用所学知识解决实际问题的能力．
