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【精编版】中考数学专题训练——菱形的判定和性质

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中考专题训练——菱形的判定和性质1．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F 在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BA⊥AF，AD＝4，BC＝4，求BD和AE的长．2．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，BD＝2，试求BF的长．3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．5．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）7．已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C 作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AD＝3，AE＝5，则求菱形AECF的面积．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝2，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F分别是边AB，BC，CA的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B＝30°，AB＝12，求四边形AEDF的面积．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若EF＝6，AE＝5，求四边形AECF的面积．12．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．13．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，求BP的值．14．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE＝AD，连接BE、DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC＝6，求两条分割线段长度的和．16．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE 与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．（1）求证：AD＝EC；（2）若BC＝2AD，AB＝AO＝m，求证：S四边形ADCE＝m2．（其中S表示四边形ADCE 的面积）17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB 于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．18．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？19．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF 和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．（1）求证：BD＝EF；（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．参考答案：1．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F 在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BA⊥AF，AD＝4，BC＝4，求BD和AE的长．【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形AECF是菱形；（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理可得BD＝8，设DE＝x，则DF＝x，所以AF2＝AD2+DF2＝16+x2，BF＝BD+DF＝8+x，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD，∵DE＝DF，∴四边形AECF是菱形；（2）解：AD⊥BD，AD＝4，BA＝BC＝4，∴BD＝＝＝8，设DE＝x，则DF＝x，∴AF2＝AD2+DF2＝16+x2，∵BF＝BD+DF＝8+x，∴AB2+AF2＝BF2，∴（4）2+16+x2＝（8+x）2，∴x＝2，∴DE＝DF＝2，∴AE＝＝＝2．∴BD和AE的长分别为8和2．2．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，BD＝2，试求BF的长．【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得：DE＝CE，DF＝FC，证明△CGE≌△CGF （ASA），根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得：四边形DFCE是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边是菱形可得结论；（2）作辅助线，构建直角三角形，根据直角三角形30°的性质可得BH＝1，由勾股定理得：DH＝，根据△DHF是等腰直角三角形，可得DH＝FH＝，从而得结论．【解答】（1）证明：∵EF是DC的垂直平分线，∴DE＝EC，DF＝CF，∠EGC＝∠FGC＝90°，DG＝CG∵CD平分∠ACB，∴∠ECG＝∠FCG，∵CG＝CG，∴△CGE≌△CGF（ASA），∴GE＝GF，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是菱形；（2）解：过D作DH⊥BC于H，则∠DHF＝∠DHB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝1，在Rt△DHB中，DH＝＝，∵四边形DFCE是菱形，∴DF∥AC，∴∠DFB＝∠ACB＝45°，∴△DHF是等腰直角三角形，∴DH＝FH＝，∴BF＝BH+FH＝1+．3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD ＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．5．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S＝AC•DE进行解答．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD＝DB＝CD．∴EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，∴AD＝DB＝CD＝6．∴AB＝12，由勾股定理得．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE＝BC＝6．∴．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，据两直线平行，内错角相等可得∠ADB＝∠CBD，然后求出∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，再根据等角对等边可得AB＝AD，再根据等腰三角形三线合一可得BO＝DO，然后利用“角边角”证明△AOD和△COB全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BC，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；（2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，∴AB＝AD，设AC、BD相交于点O，又∵AC平分∠BAD，∴BO＝DO，AC⊥BD，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，∴图中所有与△CDE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．7．已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C 作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AD＝3，AE＝5，则求菱形AECF的面积．【分析】（1）首先利用AAS证明△CDF≌△AED，进而得到AE＝CF，于是得到四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到结论；（2）首先利用勾股定理求出DE的长，再利用对角线乘积的一半求出菱形的面积．【解答】证明：（1）∵CF∥AB，∴∠DCF＝∠DAE，∵PQ垂直平分AC，∴CD＝AD，在△CDF和△AED中∵，∴△CDF≌△AED，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵PQ垂平分AC，∴AE＝CE，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形AECF是菱形，∴△ADE是直角三角形，∵AD＝3，AE＝5，∴DE＝4，∴AC＝2AD＝6，EF＝2DE＝8，∴菱形AECF的面积为AC•EF＝24．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝2，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）只要证明△ECF，△ECB都是等边三角形，可得S菱形BCFE＝2•S△ECF；【解答】解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵EF＝BEBE＝2DE，∴EF＝BC＝BE，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，∵BE＝BC，∴四边形BCFE是菱形．（2）∵EF∥BC，∴∠F+∠BCF＝180°，∵∠BCF＝120°，∴∠F＝60°，∵FE＝FC＝CB＝EF，∴△ECF，△ECB都是等边三角形，∴S菱形BCFE＝2•S△ECF＝2××22＝2．9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解决问题；（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝×6＝3，∵AB＝5，AO＝3，∴BO＝＝＝4，∴BD＝2BO＝8，∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝24．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F分别是边AB，BC，CA的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B＝30°，AB＝12，求四边形AEDF的面积．【分析】（1）首先根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DF∥AB，ED＝AC，DF＝AB，进而可判定四边形AEDF是平行四边形，然后证明ED＝DF即可；（2）连接AD、EF，利用直角三角形的性质和菱形面积公式解答即可．【解答】（1）证明：∵E，D，F分别是边AB，BC，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，ED＝AC，DF＝AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB＝AC，∴ED＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）连接AD、EF，在△ABC中，AB＝AC，∴BD＝CD，AD⊥BC，在Rt△ABD中，∠B＝30°，AB＝12，∴AD＝6，EF＝BC＝BD＝，菱形AEDF的面积＝．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若EF＝6，AE＝5，求四边形AECF的面积．【分析】（1）运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”判定，已知EF⊥AC，AO＝OC，只需要证明OE＝OF即可，用全等三角形得出；（2）菱形的面积可以用对角线积的一半来表示，由已知条件，解直角三角形AOE可求AC、EF的长度．【解答】解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠1＝∠2．在△CFO和△AEO中，，∴△CFO≌△AEO（ASA）．∴OF＝OE，又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形AECF是菱形，EF＝6，∴OE＝EF＝4．在Rt△AEO中，∵tan∠OAE＝＝，∴OA＝5，∴AC＝2AO＝8，∴S菱形AECF＝EF•AC＝×6×8＝24．12．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S＝AC•DE进行解答．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD＝DB＝CD．∴EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，∴AD＝DB＝CD＝6．∴AB＝12，由勾股定理得AC＝6．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE＝BC＝6．∴S菱形ADCE＝＝＝18．13．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，求BP的值．【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得CF＝CD＝DE，可证得结论；（2）过P作PG⊥BC于G，在Rt△PGC中可求得PG和CG的长，则可求得BG的长，在Rt△BPG中，由勾股定理可求得BP的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠EDF＝∠CDF，∴∠DFC＝∠CDF，∴CD＝CF，同理可得CD＝DE，∴CF＝DE，且CF∥DE，∴四边形CDEF为菱形；（2）解：如图，过P作PG⊥BC于G，∵AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，且四边形CDEF为菱形，∴CF＝EF＝CD＝AB＝2，∠ECF＝∠BCD＝∠A＝60°，∴△CEF为等边三角形，∴CE＝CF＝2，∴PC＝CE＝1，∴CG＝PC＝，PG＝PC＝，∴BG＝BC﹣CG＝3﹣＝，在Rt△BPG中，由勾股定理可得BP＝＝＝，即BP的值为．14．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE＝AB＝AE，DF＝AC ＝AF，再根据AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE＝AF＝DE＝DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）设EF＝x，AD＝y，则x+y＝7，进而得到x2+2xy+y2＝49，再根据Rt△AOE中，AO2+EO2＝AE2，得到x2+y2＝36，据此可得xy＝，进而得到菱形AEDF的面积S．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，Rt△ACD中，DF＝AC＝AF，又∵AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3，设EF＝x，AD＝y，则x+y＝7，∴x2+2xy+y2＝49，①∵AD⊥EF于O，∴Rt△AOE中，AO2+EO2＝AE2，∴（y）2+（x）2＝32，即x2+y2＝36，②把②代入①，可得2xy＝13，∴xy＝，∴菱形AEDF的面积S＝xy＝．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE＝AD，连接BE、DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC＝6，求两条分割线段长度的和．【分析】（1）容易证三角形BCD为等边三角形，又DE＝AD＝BD，再证三角形DBE为等边三角形四边相等的四边形BCDE为菱形．（2）画出图形，证出BM+MN＝AM+MC＝AC＝6即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，∴BC＝AB，CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠BDC＝30°+30°＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵CO⊥AB，∴OD＝OB，∴DE＝BE，∵DE＝AD，∴CD＝BC＝DE＝BE，∴四边形BCDE为菱形；（2）解：作∠ABC的平分线交AC于N，再作MN⊥AB于N，如图所示：则MN＝MC＝BM，∠ABM＝∠A＝30°，∴AM＝BM，∵AC＝6，∴BM+MN＝AM+MC＝AC＝6；即两条分割线段长度的和为6．16．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE 与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．（1）求证：AD＝EC；（2）若BC＝2AD，AB＝AO＝m，求证：S四边形ADCE＝m2．（其中S表示四边形ADCE 的面积）【分析】（1）由AE∥BC，DE∥AB，可证得四边形ABDE为平行四边形，又由AD是边BC上的中线，可得AE＝CD，即可证得四边形ADCE是平行四边形，继而证得结论；（2）由BC＝2AD，易得四边形ADCE是菱形，继而求得S四边形ADCE＝m2．【解答】证明：（1）∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD＝CE；（2）∵BC＝2AD，BC＝2CD，∴AD＝CD，∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形，∵DE＝AB＝m，AC＝2AO＝2m，∴S四边形ADCE＝AC•DE＝m2．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB 于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．【分析】（1）易证四边形BFDE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB＝ED即可得到平行四边形BFDE是菱形；（2）设BF＝x，所以可得DE＝BE＝x，AE＝8﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AE2＝DE2+AD2，求出x的值即可．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB．∴∠ABD＝∠EDB．∴EB＝ED．∴平行四边形BFDE是菱形；（2）解：∵ED∥BF，∠C＝90°，∴∠ADE＝90°．设BF＝x，∴DE＝BE＝x．∴AE＝8﹣x．在Rt△ADE中，AE2＝DE2+AD2∴（8﹣x）2＝x2+42解得x＝3，∴BF＝3．18．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？【分析】（1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP＝∠EP A，得出AE＝EP，即可得出结论；（2）S菱形AEPQ＝EP•h，S平行四边形EFBQ＝EF•h，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，则EP＝EF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ．【解答】（1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，∴四边形AEPQ为平行四边形，∴∠BAD＝∠EP A，∵AB＝AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠CAD＝∠EP A，∴EA＝EP，∴四边形AEPQ为菱形．（2）解：P为EF中点，即AP＝AD时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ∵四边形AEPQ为菱形，∴AD⊥EQ，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴EQ∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形EFBQ为平行四边形．作EN⊥AB于N，如图所示：则S菱形AEPQ＝EP•EN＝EF•EN＝S四边形EFBQ．19．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF 和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．（1）求证：BD＝EF；（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．【分析】（1）证明∠BAD＝∠F AE，根据全等三角形的判定推出△BAD≌△F AE，即可得出答案；（2）求出∠ABD＝∠GBF，证明AB＝AD，即可证出四边形ABCD是菱形；（3）延长EA交BC于M，得EM⊥AD，求出EM＝AE+AM＝2+2，再根据面积公式即可求出．【解答】（1）证明：∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠F AD＝∠DAE+∠F AD，即∠BAD＝∠F AE，∵AB＝AF，AD＝AE，∴△BAD≌△F AE（SAS），∴BD＝EF．（2）∵∠GHF＝∠BFG，∴∠GFH＝∠GBF，由（1）可知∠GFH＝∠ABD，∴∠ABD＝∠GBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠GBF，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）延长EA交BC于M，∵∠DAE＝90°．∴EM⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴EM⊥BF，∵AB＝AF，BF＝4，∴BM＝FM＝2，∵∠BAF＝90°，∴，∴，∴，∴EM＝AE+AM＝2+2，∴＝＝4．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．【分析】（1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAF＝∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF 得出∠AFB＝∠AFD，最后进行简单的推算即可；（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC＝∠ACD，最后判断出四边相等；（3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可．【解答】证明：（1）在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE，∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD，理由：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，∵CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD．。

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中考试题精选《菱形的性质》(含答案)

中考试题精选《菱形的性质》(含答案)

中考试题精选《菱形的性质》（2013.3.21），则△ABC的周长等于（）2．（2012•孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）4．（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，5．（2012•山西）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥B*6．（2012•恩施州）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则B8．（2012•本溪）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点D10．（2011•聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面，则这个菱形的周长为_________．14．（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（﹣5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标_________．15．（2012•鄂尔多斯）如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是_________．16．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．17．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．*18．（2012•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．19．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．20．（2012•西藏）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC交CB的延长线于点E，AF⊥CD 交CD的延长线于点F．求证：AE=AF．21．（2012•南通）菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．22．（2012•江西）如图，已知两个菱形ABCD、CEFG，其中点A、C、F在同一直线上，连接BE、DG．（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；（2）证明：BE=DG．23．（2012•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．*24．（2012•佳木斯）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC 延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．*25．（2012•葫芦岛）如图1和2，四边形ABCD是菱形，点P是对角线AC上一点，以点P为圆心，PB为半径的弧，交BC的延长线于点F，连接PF，PD，PB．（1）如图1，点P是AC的中点，请写出PF和PD的数量关系：_________；（2）如图2，点P不是AC的中点，①求证：PF=PD．②若∠ABC=40°，直接写出∠DPF的度数．26．（2011•广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．求证：△ACE≌△ACF．27．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．28．（2010•扬州）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论．29．（2010•清远）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AD、CD上的两点，且AE=DF．求证：△ABE≌△DBF．30．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．《菱形的性质》练习题参考答案与试题解析CG BG=AB AB BE=AB=AB BAC=BAO=∠BAD=×CO=BO==5cm=×cm，∴==，解得×，×=××××．故选AB=×BO==4=9.A10．B11.C12.C13.2014．（8，0）或（，0）．OA=AC=OD=BD=OE=AD=OA=3：OP=，∴，）或（，）或（，x=×．故答案为：．16．OH=．AO AB．故答案为：．OB=BC BC=4，﹣×．BF=CF=BC中，∵中，∵中，中∵∠，，BEBE，∴=∴菱形的边长为×BE=。

(初中)数学《菱形的性质与判定》中考专项复习训练典型试题梳理汇总

(初中)数学《菱形的性质与判定》中考专项复习训练典型试题梳理汇总

（初中）数学《菱形的性质与判定》中考专项复习训练典型试题梳理汇总菱形的性质与判定基础同步过关知识点一：菱形的性质定理1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，则添加下列条件之一，不能使它成为菱形的是（）A.AB=ADB.AC=BDC.BD平分∠ABCD.AC∠BD2.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是。

3.如图，下列对菱形ABCD表述正确的有。

∠AC=BD；∠∠OAB=∠OBA；∠AC∠BD；∠有4条对称轴；∠AD=BD；∠∠OAB=∠OAD。

4.如图，四边形ABCD是菱形，AC BD相交于点O,AC=8，BD=6，DH∠AB于点H，则DH的长为。

第1题图第2题图第3题图第4题图5.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=120°，则菱形ABCD的面积是。

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,OE∠AB，垂足为E，若∠ADC=128°，则∠AOE的度数为（）A.62°B.52°C.68°D.64°7.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=3，点E是BC边上的一个动点（点E与点C不重合），点F,G分别是AE,CE的中点，则线段FG的长度为（）B.3第5第6题图第7题图知识点二：菱形的判定定理8.已知四边形ABCD中，AC∠BD，再补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（）A.AC=BDB.AB=BCC.AC与BD互相平分D.∠ABC=90°9.如图，将∠ABC沿BC方向平移得到∠DCE，连接AD.下列条件中，能够判定四边形ACED为菱形的是（）A .AB=BC B. AC=BC C.∠ABC=60° D.∠ACB=60°10.AC,BD相交于点O，点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，（写出一种即可）11.折纸游戏一直很受大家的欢迎，小丽同学要用一张矩形纸片折出一个菱形，她用沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）。

中考数学考点27菱形总复习(解析版)

中考数学考点27菱形总复习(解析版)

菱形【命题趋势】在中考中.菱形主要在选择题.填空题.解答题考查为主.并结合相似.锐角三角函数结合考查。

【中考考查重点】一、菱形的性质及判定二、菱形与折叠综合考点：菱形性质及判定一、菱形的概念和性质1.概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质：边：菱形的四条边都相等．对角线：菱形的两条对角线互相垂直.并且每一条对角线平分一组对角．菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半．二、菱形的判定1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）．2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）．3. 四条边相等的四边形是菱形（边）1.（2020春•澧县期末）如图.在菱形ABCD中.对角线AC、BD交于点O.E为AD的中点.菱形ABCD的周长为28.则OE的长等于（）A．3.5B．4C．7D．14【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为菱形.∴AB＝×28＝7.且O为BD的中点.∵E为AD的中点.∴OE为△ABD的中位线.∴OE＝AB＝3.5.故选：A．2.（2019春•西湖区校级月考）如图.菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点O.E是AD的中点.连接OE．若OE＝3.则菱形ABCD的周长是（）A．6B．12C．18D．24【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD为菱形.∴AC⊥BD.AB＝BC＝CD＝DA.∴△AOD为直角三角形．∵OE＝3.且点E为线段AD的中点.∴AD＝2OE＝6．C菱形ABCD＝4AD＝4×6＝24．故选：D．3.（2021春•泗水县期末）如图.四边形ABCD是菱形.AC＝12.BD＝16.AH⊥BC于H.则AH等于（）A．B．C．4D．5【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是菱形.AC＝12.BD＝16.∴CO＝AC＝6.BO＝BD＝8.AO⊥BO.∴BC＝＝10.∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×16×12＝96.∵S菱形ABCD＝BC×AH.∴BC×AH＝96.∴AH＝＝故选：B4.（2019•安徽模拟）如图.平行四边形ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.点E.F分别是OA.OC的中点.下列条件中.不能判断四边形BEDF是菱形的是（）A．AC⊥BD B．AC＝2BD C．AC平分∠BAD D．AB＝BC【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形.∴OA＝OC.OB＝OD.∵点E.F分别是OA.OC的中点.∴OE＝OF＝＝.∴四边形EBDF是平行四边形.添加AC⊥BD时.∵BO是△BEF的中线.∴BE＝BF.∴四边形EBFD是菱形.选项A正确；添加AC平分∠BAD.∴∠DAC＝∠BAC＝∠ACB.∴AD＝AB＝BC.在△ABE和△ADE中..∴△ABE≌△ADE（SAS）.∴BE＝DE.∴四边形EBFD是菱形.选项C正确；添加AB＝BC时.∴∠BAE＝∠BCF.在△BAE和△BCF中..∴△BAE≌△BCF（SAS）.∴BE＝BF.∴四边形EBFD是菱形.选项D正确；只有添加选项B不能判定四边形EBFD是菱形；故选：B．5.（2020春•南平期末）如图.在▱ABCD中.AC与BD交于点O.下列判断中不正确的是（）A．若AB＝BC.则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD.则▱ABCD是菱形C．若AC平分∠BAD.则▱ABCD是菱形D．若AC＝BD.则▱ABCD是菱形【答案】D【解答】解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断▱ABCD是菱形；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断▱ABCD是菱形；C、由AC平分∠BAD.可得四边相等.即可判断▱ABCD是菱形；D、由对角线相等的平行四边形是矩形.可判断▱ABCD是矩形．故选：D．6.（2020•兴庆区校级三模）如图.在菱形ABCD中.过点D作DE⊥AB于点E.作DF⊥BC于点F.连接EF.求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）若∠A＝60°.AD＝4.求△EDF的周长．【答案】（1）略（2）6．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形.∴AD＝CD.∠A＝∠C.∵DE⊥BA.DF⊥CB.∴∠AED＝∠CFD＝90°.在△ADE和△CDF.∵.∴△ADE≌△CDF；（2）∵△ADE≌△CDF.∴DE＝DF.∠ADE＝∠CDF.∵菱形ABCD.DE⊥AB于点E.∠A＝60°.∴∠ADC＝120°.∠ADE＝30°.∴∠EDF＝60°.∴△DEF是等边三角形.在Rt△AED中.∵AD＝4.∠A＝60°.∴DE＝2.∴△EDF的周长＝3DE＝6．7.（2021春•平舆县期中）如图.▱ABCD的对角线AC.BD相交于点O.且AB＝5.AC＝8.BD＝6.求证：▱ABCD是菱形．【答案】略【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形.且AC＝8.BD＝6.∴AO＝4.BO＝3.∵AB＝5.∴AB2＝AO2+BO2．∴△OAB是直角三角形．∴AC⊥BD．又∵四边形ABCD为平行四边形.∴四边形ABCD为菱形．8.（2020秋•会宁县期中）如图.在四边形ABCD中.BD为一条对角线.AD∥BC.AD＝2BC.∠ABD＝90°.E为AD的中点.连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC.若AC平分∠BAD.AB＝2.求菱形BCDE的面积．【答案】（1）略（2）2．【解答】（1）证明：∵E为AD的中点.∴AD＝2DE＝2AE.∵AD＝2BC.∴DE＝BC.又∵AD∥BC.∴四边形BCDE为平行四边形.∵∠ABD＝90°.E为AD中点.∴在Rt△ABD中.AD＝2BE.∴BE＝DE.∴四边形BCDE为菱形；（2）解：过点BF⊥AD于点F.如图所示：∵AC平分∠BAD.∴∠BAC＝∠DAC.又∵AD∥BC.∴∠BCA＝∠DAC.∴∠BCA＝∠BAC.∴AB＝BC.∴AB＝BC＝BE＝DE＝AE＝2.∴△ABE为等边三角形.∴∠BAE＝60°.∠BDA＝30°∴在Rt△ABD中.BD＝AB＝2∴在Rt△BDF中.BF＝BD＝.∴菱形BCDE的面积＝DE×BF＝2．1．（2019春•江岸区期中）菱形的边长为5.它的一条对角线的长为6.则菱形的另一条对角线的长为（）A．8B．6C．5D．4【答案】A【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形.∴AB＝5.AC⊥BD.AO＝CO＝AC＝3.BO＝DO＝BD.∴BO＝＝＝4.∴BD＝8故选：A．2．（2019秋•莲湖区期末）菱形的对角线不一定具有的性质是（）A．互相平分B．互相垂直C．每一条对角线平分一组对角D．相等【答案】D【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分.且每一条对角线平分一组对角.∴菱形的对角线不一定具有的性质是相等；故选：D．3．（2019•长春模拟）如图.在菱形ABCD中.E.F分别是AC.AD的中点.若EF＝2.则菱形ABCD的周长是（）A．8B．12C．16D．20【答案】C【解答】解：∵E.F分别是AC.AD的中点.∴EF为△ACD的中位线.∴CD＝2EF＝4.∵四边形ABCD为菱形.∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．故选：C．4．（2019春•滨海新区期末）如图.菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.E、F分别是AD、AB边上的中点.连接EF．若EF＝.OC＝2.则菱形ABCD的面积为（）A．B．4C．6D．8【答案】B【解答】解：∵E、F分别是AD、AB边上的中点.∴BD＝2EF＝2.∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD.AO＝CO＝2∴AC＝4∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝4故选：B．5．如图.点B.C分别是锐角∠A两边上的点.AB＝AC.分别以点B.C为圆心.以AB的长为半径画弧.两弧相交于点D.连接BD.CD.则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线平分一组对角的四边形是菱形C．一组邻边相等的四边形是菱形D．四条边相等的四边形是菱形【答案】D【解答】解：由作图得：BA＝BD.CA＝CD.∵AB＝AC.∴AB＝AC＝BD＝CD.∴四边形ACDB是菱形.故选：D．6.（2021春•长春期末）如图.在平行四边形ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.添加一个条件：使平行四边形ABCD是菱形．【答案】AB＝AD（答案不唯一）【解答】解：添加一个条件为：AB＝AD.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形.AB＝AD.∴平行四边形ABCD是菱形.故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．7.（2021春•上城区校级期中）如图.在△ABC中.点D、E、F分别在边BC、AB、CA上.且DE∥CA.DF∥BA.下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°.那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC.那么四边形AEDF是菱形；④如果AB＝AC.那么四边形AEDF是菱形．其中.正确的有．（只填写序号）【答案】①③【解答】解：∵DE∥CA.DF∥BA.∴四边形AEDF是平行四边形.故①正确；∵∠BAC＝90°.四边形AEDF是平行四边形.∴四边形AEDF是矩形.故②错误；∵AD平分∠BAC.四边形AEDF是平行四边形.∴四边形AEDF是菱形.故③正确；∵AB＝AC.四边形AEDF是平行四边形.不能得出AE＝AF.故四边形AEDF不一定是菱形.故④错误；故答案为：①③．8.（2021秋•长沙期末）如图.将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长.分别至点E和点F.且使AE＝CF．（1）求证：四边形EBFD是菱形；（2）若菱形EBFD的对角线BD＝10.EF＝24.求菱形EBFD的面积．【答案】（1）略（2）120【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BC.AO＝CO.BO＝DO.∵AE＝CF.∴AO+AE＝CO+CF.即EO＝FO.∵BO＝DO.EO＝FO.∴四边形EBFD是菱形；（2）解：∵四边形EBFD是菱形.BD＝10.EF＝24.∴菱形EBFD的面积＝BD•EF＝×10×24＝1209.（2020秋•龙泉驿区期末）如图1.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.D是AB边上任意一点.E是BC边上的中点.过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F.连接BF.CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）如图2.若D为AB中点.求证：四边形CDBF是菱形；（3）若∠FDB＝30°.∠ABC＝45°.BE＝4.求的△BDE面积．【答案】（1）略（2）略（3）4+4【解答】（1）证明：∵CF∥AB.∴∠ECF＝∠EBD．∵E是BC中点.∴CE＝BE．∵∠CEF＝∠BED.∴△CEF≌△BED（ASA）.∴CF＝BD.且CF∥AB.∴四边形CDBF是平行四边形．（2）∵D为AB中点.∠ACB＝90°.∴AD＝CD＝BD.且四边形CDBF是平行四边形.∴四边形CDBF是菱形.（3）如图.作EM⊥DB于点M.在Rt△EMB中.EM＝BE•sin∠ABC＝2.∴BM＝2在Rt△EMD中.∵∠EDM＝30°.∴DM＝ME＝2.∴BD＝2+2∴△BDE面积＝×BD×ME＝×2×（2+2）＝4+41．（2021•河南）关于菱形的性质.以下说法不正确的是（）A．四条边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形【答案】B【解答】解：A．菱形的四条边相等.正确.不符合题意.B．菱形的对角线互相垂直且平分.对角线不一定相等.不正确.符合题意.C．菱形的对角线互相垂直且平分.正确.不符合题意.D．菱形是轴对称图形.正确.不符合题意.故选：B．2．（2021•烟台）如图.在直角坐标系中.菱形ABCD的顶点A.B.C在坐标轴上.若点B的坐标为（﹣1.0）.∠BCD＝120°.则点D的坐标为（）A．（2.2）B．（.2）C．（3.）D．（2.）【答案】D【解答】解：∵菱形ABCD.∠BCD＝120°.∴∠ABC＝60°.∵B（﹣1.0）.∴OB＝1.OA＝.AB＝2.∴A（0.）.∴BC＝AD＝2.∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1.∴C（1.0）.D（2.）.故选：D．3．（2021•陕西）如图.在菱形ABCD中.∠ABC＝60°.连接AC、BD.则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设AC与BD交于点O.∵四边形ABCD是菱形.∴AO＝CO.BO＝DO.AC⊥BD.∠ABD＝∠ABC＝30°.∵tan∠ABD＝.∴.故选：D．4．（2021•绍兴）如图.菱形ABCD中.∠B＝60°.点P从点B出发.沿折线BC﹣CD方向移动.移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中.依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形【答案】C【解答】解：∵∠B＝60°.故菱形由两个等边三角形组合而成.当AP⊥BC时.此时△ABP为直角三角形；当点P到达点C处时.此时△ABP为等边三角形；当P为CD中点时.△ABP为直角三角形；当点P与点D重合时.此时△ABP为等腰三角形.故选：C．5．（2021•朝阳）如图.在菱形ABCD中.点E.F分别在AB.CD上.且BE＝2AE.DF＝2CF.点G.H分别是AC的三等分点.则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵BE＝2AE.DF＝2FC.∴.∵G、H分别是AC的三等分点.∴..∴.∴EG∥BC∴.同理可得HF∥AD..∴.故选：A．6．（2021•南充）如图.在菱形ABCD中.∠A＝60°.点E.F分别在边AB.BC上.AE＝BF ＝2.△DEF的周长为3.则AD的长为（）A．B．2C．+1D．2﹣1【答案】C【解答】解：如图.连结BD.作DH⊥AB.垂足为H.∵四边形ABCD是菱形.∴AB＝AD.AD∥BC.∵∠A＝60°.∴△ABD是等边三角形.∠ABC＝180°﹣∠A＝120°.∴AD＝BD.∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°.∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°.∵AE＝BF.∴△ADE≌△BDF（SAS）.∴DE＝DF.∠ADE＝∠FDB.∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°.∴△DEF是等边三角形.∵△DEF的周长是3.∴DE＝.设AH＝x.则HE＝2﹣x.∵AD＝BD.DH⊥AB.∴∠ADH＝∠ADB＝30°.∴AD＝2x.DH＝x.在Rt△DHE中.DH²+HE²＝DE².∴（x）²+（2﹣x）²＝（）².解得：x＝（负值舍去）.∴AD＝2x＝1+.故选：C．7．（2021•北京）如图.在矩形ABCD中.点E.F分别在BC.AD上.AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形.这个条件可以是（写出一个即可）．【答案】AE＝AF【解答】解：这个条件可以是AE＝AF.理由：∵四边形ABCD是矩形.∴AD∥BC.即AF∥CE.∵AF＝EC.∴四边形AECF是平行四边形.∵AE＝AF.∴四边形AECF是菱形.故答案为：AE＝AF．8．（2021•云南）如图.四边形ABCD是矩形.E、F分别是线段AD、BC上的点.点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠.则点E与点F重合．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若ED＝2AE.AB•AD＝3.求EF•BD的值．【答案】（1）略（2）4【解答】解：（1）证明：将△BED沿BD折叠.使E.F重合.∴OE＝OF.EF⊥BD.∵四边形ABCD是矩形.∴∠C＝90°.AD∥BC.∴∠ODE＝∠OBF.在△OBF和△ODE中..∴△OBF≌△ODE（AAS）.∴OB＝OD.∵OE＝OF.∴四边形BFDE是平行四边形.∵EF⊥BD.∴四边形BFDE是菱形．（2）如图.∵AB•AD＝3.∴S△ABD＝AB•AD＝.∵ED＝2AE.∴ED＝AD.∴S△BDE：S△ABD＝2：3.∴S△BDE＝.∴菱形BEDF的面积＝EF•BD＝2S△BDE＝2.∴EF•BD＝4．1．（2022•大渡口区模拟）若菱形的周长为8.高为2.则菱形的面积为（）A．2B．4C．8D．16【答案】B【解答】解：∵菱形的周长为8.∴边长＝2.∴菱形的面积＝2×2＝4.故选：B．2．（2021•安徽二模）四边形ABCD中.AD∥BC.点P.Q是对角线BD上不同的两点.若四边形APCQ是菱形.则下列说法中不正确的是（）A．BP＝DQ B．∠ABD＝∠ADB C．AB∥CD D．∠ABP＝∠BAP 【答案】D【解答】解：如图.连接AC.∵四边形ABCD是菱形.∴AP＝PC＝CQ＝AQ.AQ∥PC.AC⊥BD.∴∠AQP＝∠CPQ.∴∠AQD＝∠BPC.∵AD∥BC.∴∠ADQ＝∠CBP.在△ADQ和△CBP中..∴△ADQ≌△CBP（AAS）.∴AD＝BC.BP＝DQ.故选项A不合题意；又∵AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.∴AB＝CD.AB∥CD.故选项C不合题意；∵AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形.∴AB＝AD.∴∠ABD＝∠ADB.故选项B不合题意；故选：D．3．（2021•肇源县模拟）如图.两张等宽的纸条交叉重叠在一起.重叠的部分为四边形ABCD.若测得A.C之间的距离为3cm.点B.D之间的距离为4cm.则线段AB的长为（）A．2.5cm B．3cm C．3.5cm D．4cm【答案】A【解答】解：如图.过A作AR⊥BC于R.AS⊥CD于S.连接AC.BD交于点O.由题意知.AD∥BC.AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽.∴AR＝AS．∵AR•BC＝AS•CD.∴BC＝CD.∴平行四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD．OA＝OC＝AC＝（cm）.OB＝OD＝BD＝2（cm）.在Rt△AOB中.由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（cm）.故选：A．4．（2021•柳南区校级模拟）如图.平行四边形ABCD中.∠A＝110°.AD＝DC．E.F分别是边AB和BC的中点.EP⊥CD于点P.则∠PEF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°【答案】A【解答】解：∵平行四边形ABCD中.AD＝DC.∴四边形ABCD为菱形.∴AB＝BC.∠ABC＝180°﹣∠A＝70°.∵E.F分别为AB.BC的中点.∴BE＝BF.∠BEF＝∠BFE＝55°.∵PE⊥CD.AB∥CD.∴PE⊥AB.∴∠PEB＝90°.∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°.故选：A．5．（2021•海阳市一模）如图.在∠MON的两边上分别截取OA、OB.使OA＝OB；分别以点A、B为圆心.OA长为半径作弧.两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB ＝2cm.四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：根据作图.AC＝BC＝OA.∵OA＝OB.∴OA＝OB＝BC＝AC.∴四边形OACB是菱形.∵AB＝2cm.四边形OACB的面积为4cm2.∴AB•OC＝×2×OC＝4.解得OC＝4cm．故选：C．6．（2022•郑州一模）如图.菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点O.点P为AB边上一动点（不与点A.B重合）.PE⊥OA于点E.PF⊥OB于点F.若AC＝20.BD＝10.则EF 的最小值为．【答案】（1）略（2）2【解答】解：连接OP.∵四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.AO＝AC＝10.BD＝BD＝5.∴AB＝＝5.∵PE⊥OA于点E.PF⊥OB于点F.∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°.∴四边形OEPF是矩形.∴EF＝OP.∵当OP取最小值时.EF的值最小.∴当OP⊥AB时.OP最小.∴S△ABO＝OA•OB＝AB•OP.∴OP＝＝2.∴EF的最小值为2.故答案为：2．7．（2021•广东模拟）如图.点F.H是菱形ABCD的对角线BD上的两点.以FH为对角线作矩形EFGH.使点E.G分别在菱形ABCD的边AD.BC上．（1）求证：∠AEF＝∠CGH；（2）若E为AD中点.FH＝2.求菱形ABCD的周长．【答案】（1）略（2）8【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是矩形.∴EH＝FG.EH∥FG.∴∠GFH＝∠EHF.∵∠DHE+∠EHF＝180°.∠BFG+∠GFH＝180°.∴∠BFG＝∠DHE.∵四边形ABCD是菱形.∴AD∥BC.∴∠GBF＝∠EDH.在△BGF和△DEH中..∴△BGF≌△DEH（AAS）.∴∠AEF＝∠CGH；（2）解：连接EG.∵四边形ABCD是菱形.∴AD＝BC.AD∥BC.∵E为AD中点.∴AE＝ED.∵△BGF≌△DEH.∴BG＝DE.∴AE＝BG.AE∥BG.∴四边形ABGE是平行四边形.∴AB＝EG.∵四边形EFGH是矩形.FH＝2.∴EG＝FH＝2.∴AB＝2.∴菱形ABCD的周长为AD+AB+DC+BC＝4AB＝4×2＝8．8．（2021•昆明模拟）如图.在平行四边形ABCD中.CE⊥AB于E.CF⊥AD于F.且BE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接AC.若AB＝5.AC＝6.求四边形ABCD的面积．【答案】（1）略（2）24【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴∠B＝∠D.∵CE⊥AB于E.CF⊥AD于F.∴∠BEC＝∠DFC＝90°.在△BEC和△DFC中..∴△BEC≌△DFC（ASA）.∴BC＝CD.∴平行四边形ABCD是菱形．（2）连接BD交AC于O.如图所示：∵四边形ABCD是菱形.AC＝6.∴AC⊥BD.AO＝OC＝AC＝3.BO＝DO.∵AB＝5.AO＝3.∴BO＝.∴BD＝2BO＝8.∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝×6×8＝24．9．（2021•朝阳区一模）如图.BD是▱ABCD的对角线.且BD⊥BC.DE、BF分别是边AB、CD的中线．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若AB＝9.sin A＝.则点E、F之间的距离为．【答案】（1）略（2）3【解答】（1）证明：∵DE、BF分别是△ABD、△BCD的中线.∴BE＝AB.DF＝CD.∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥CD.AB＝CD.∴DF∥BE.DF＝BE.∴四边形DEBF是平行四边形.∵BD⊥BC.∴∠DBC＝90°.∵BF是△BCD的中线.∴BF＝CD＝DF.∴平行四边形DEBF是菱形；（2）解：连接EF交BD于O.如图所示：由（1）得：四边形DEBF是菱形.∴OE＝OF.OB＝OD.EF⊥BD.∵四边形ABCD是平行四边形.∴CD＝AB＝9.∠C＝∠A.∴sin C＝sin A＝.在Rt△BCD中.sin C＝＝.∴BD＝CD＝×9＝6.∴OB＝BD＝3.由（1）得：BF＝CD＝.∴OF＝＝＝.∴EF＝2OF＝3.故答案为：3．10．（2021•沈阳模拟）如图.在四边形ABCD中.AB∥DC.AB＝AD.对角线AC.BD交于点O.AC平分∠BAD.过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点F.连接OE（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝.BD＝2.请直接写出△OBE的面积为．【答案】（1）略（2）【解答】（1）证明：∵AB∥CD.AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∠CAB＝∠DCA.∵AC为∠DAB的平分线.∴∠CAB＝∠DAC.∴∠DCA＝∠DAC.∴CD＝AD.∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形.∴OA＝OC.BD⊥AC.OB＝BD＝1.∴∠AOB＝90°.∴OA＝＝＝3.∴AC＝2OA＝6.∵CE⊥AB.∴∠AEC＝90°＝∠AOB.又∵∠OAB＝∠EAC.∴△AOB∽△AEC.∴＝.即＝.解得：EA＝.∴BE＝EA﹣AB＝﹣＝.过O作OP⊥AE于P.则OP＝＝＝.∴△OBE的面积＝××＝.故答案为：．。

2021年九年级数学中考复习分类专题：菱形的判定与性质(一)

2021年九年级数学中考复习分类专题：菱形的判定与性质(一)

2021年九年级数学中考复习分类专题：菱形的判定与性质（一）一．选择题1．下列说法中不正确的是（）A．对角线垂直的平行四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直且相等D．菱形的邻边相等2．如图△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝8，则四边形AEDF的周长是（）A．24 B．32 C．40 D．483．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB ＝1，BC＝3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）A．2 B．C．D．4．如图平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°5．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是，那么sinα的值为（）A．B．C．D．6．如图，在∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB 于点D，再分别以C、D为圆心，OC的长为半径，两弧在∠AOB的内部交于点E，作射线OE，若OC＝10，OE＝16，则C、D两点之间距离为（）A．10 B．12 C．13 D．7．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（）A．10 B．12 C．16 D．188．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（）A．24 B．28 C．32 D．369．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF 的面积为（）A．1 B．2C．2D．410．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A 作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若CF＝6，AC＝AF+2，则四边形BDFG的周长为（）A．9.5 B．10 C．12.5 D．20二．填空题11．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重叠部分构成的四边形ABCD中，AB＝5，AC ＝4，则BD的长为．12．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，给出下列判断：①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，其中，结论正确的是（只需填写正确结论的序号）．13．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A 作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AB＝12，BC＝5，则四边形BDFG的周长为．15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC＝4，则四边形CODE的周长是．16．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．三．解答题17．如图，在四边形ABCD中，E、F分别为对角线BD上的两点，且BE＝DF．（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，则四边形ABCD是菱形吗？请说明理由？18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝4，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明理由．19．已知，在平行四边形ABCD中，点F是AB上一点，连接DF交对角线AC于E，连接BE．（1）如图1，若∠EBC＝∠EFA，EC平分∠DEB，求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）如图2，对角线AC与BD相交于点O，当点F是AB的中点时，直接写出与△ADF面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）．20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝5，AB＝12，求菱形ADCF的面积．21．已知，四边形ABCD是菱形，（1）若AB＝5，则菱形ABCD的周长＝；（2）如图①，AC、BD是对角线，则AC与BD的位置关系是．（3）如图②，点M、N分别在AB、AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点G、F分别在CD、BC上，MG与NF相交于点E．求证：四边形AMEN是菱形．22．如图，在四边ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角AC、BD交于O，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝2，BD＝4，求OE的长．参考答案一．选择题1．解：A．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；B．四边相等的四边形是菱形；正确；C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；D．菱形的邻边相等；正确；故选：C．2．解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，∴FA＝FD，∴平行四边形AEDF为菱形．∴AE＝DE＝DF＝AF＝8，∴四边形AEDF的周长＝4AF＝4×8＝32．故选：B．3．解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，∴四边形AGCH是平行四边形，在△ABG和△CEG中，，∴△ABG≌△CEG（AAS），∴AG＝CG，∴四边形AGCH是菱形，设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝3﹣x，在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴CG＝，∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝×1＝，即图中重叠（阴影）部分的面积为；故选：C．4．解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，∴四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，故选：A．5．解：如图，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵四边形ABCD的面积是1.5，∴BC×AE＝CD×AF，且AE＝AF＝1，∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵1.5＝CD×AF，∴CD＝，∴AD＝CD＝，∴sinα＝＝，故选：B．6．解：由作图过程可知：OC＝OD，OC＝CE＝DE，∵OC＝OD＝DE＝CE，∴四边形ODEC是菱形．如图，连接CD交OE于点F，∵四边形OCED是菱形，∴OE⊥CD，OF＝FE＝OE＝8，OC＝10，∴CF＝DF＝6，∴CD＝12．故选：B．7．解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝6，∴OA＝＝＝8，∴AE＝2OA＝16；故选：C．8．解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，∴FA＝FD，∴平行四边形AEDF为菱形．∵AF＝6，＝4AF＝4×6＝24．∴C菱形AEDF故选：A．9．解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，∴假设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO＝∠ECO，∵∠ECO＝∠ECB，∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，2BE＝CE，∴CE＝2x，∴2x＝3﹣x，解得：x＝1，∴CE＝2，利用勾股定理得出：BC2+BE2＝EC2，BC＝＝＝，又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，则菱形的面积是：AE•BC＝2．故选：C．10．解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD＝DF＝AC，∴四边形BGFD是菱形，设AF＝x，则AC＝x+2，FC＝6，∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即x2+62＝（2+x）2，解得：x＝8，故AC＝10，故四边形BDFG的周长＝4BD＝2×10＝20．故选：D．二．填空题（共6小题）11．解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接AC、BD交点为O．∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形；∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD．∴OB＝＝＝．∴BD＝2．故答案为：2．12．解：①∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠C＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠C＝∠BAD＝120°，∴∠B＝180°﹣∠C＝60°，故①正确；②∵∠D＝∠B＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，但是AE不一定等于AF，故②错误；③若AE＝AF，则BC•AE＝CD•AF，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，故③正确；④若平行四边形ABCD是菱形，则BC＝CD，∴BC•AE＝CD•AF，∴AE＝AF，故④正确；故答案为：①③④．13．解：根据作图，AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形，∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，∴AB•OC＝×2×OC＝4，解得OC＝4cm．故答案为：4．14．解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD＝DF＝AC，∴四边形BGFD是菱形，∴BG＝GF＝DF＝BD，∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，由勾股定理得：AC＝13，∵BD为△ACB的中线，∴BD＝AC＝，∴BG＝GF＝DF＝BD＝，故四边形BDFG的周长＝4GF＝26．故答案为：26．15．解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝AC＝2，OD＝BD，AC＝BD，∴OC＝OD＝2，∴四边形CODE是菱形，∴DE＝CE＝OC＝OD＝2，∴四边形CODE的周长＝2×4＝8；故答案为：8．16．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB∥CE，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∴四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，∴OB2+OC2＝BC2，∵AC＝2OC，BF＝2OB，∴AC2+BF2＝（2OC）2+（2OB）2＝4OC2+4OB2＝4BC2，又∵BC＝CD，∴AC2+BF2＝4CD2．故答案为：AC2+BF2＝4CD2．三．解答题（共6小题）17．（1）证明：连接AC交BD于点O，如图所示：∵四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，∵BE＝DF，∴OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：四边形ABCD是菱形，理由如下：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，由（1）知，四边形ABCD是平行四边形；∴四边形ABCD是菱形．18．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴CE＝AE，过点E作EH⊥AC于点H，∴CH＝AH∵AC＝4，∴CH＝2，∴CE＝；（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF与Rt△AGF中，，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∴四边形CEGF是菱形19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC＝∠EFA，∵∠EBC＝∠EFA，∴∠EBC＝∠EDC，∵EC平分∠DEB，∴∠DCE＝∠BCE，在△CED和△CEB中，，∴△CED≌△CEB（AAS），∴CD＝CB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD为菱形；（2）解：与△ADF面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）为△AOB、△BOC、△COD、△DFB；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OB，OC＝OD，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△ABD的面积，∵点F是AB的中点，∴△ADF的面积＝△DFB的面积＝△ABD的面积，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△DFB的面积＝△ADF的面积．20．（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD ＝BC ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形；（2）解：∵D 是BC 的中点，∴S 菱形ADCF ＝2S △ADC ＝S △ABC ＝AB •AC ＝．21．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝5，∴菱形ABCD 的周长＝20；故答案为：20；（2）∵四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 是对角线， ∴AC ⊥BD ，∴AC 与BD 的位置关系是垂直，故答案为：垂直；（3）证明：∵MG ∥AD ，NF ∥AB ，∴四边形AMEN 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵BM ＝DN ，∴AB ﹣BM ＝AD ﹣DN ，∴AM ＝AN ，∴四边形AMEN 是菱形．22．解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝4，∴OB＝BD＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，∴OA＝＝＝4，∴OE＝OA＝4．。