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尺度不变的条件数约束的模型鲁棒性增强算法徐杨宇;高宝元;郭杰龙;邵东恒;魏宪【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2024(60)8【摘要】深度神经网络容易受到对抗样本的攻击,这一直威胁着其在安全关键的场景中的应用。
基于对抗样本是由神经网络的高度线性行为产生的这一解释,提出了一种基于尺度不变的条件数约束的模型鲁棒性增强算法。
在对抗训练过程中利用权重矩阵计算其范数,并通过对数函数获得尺度不变的约束项。
将尺度不变的条件数约束项纳入到对抗训练优化的外层框架中,经过反向传播迭代降低权重矩阵的条件数值,从而在良态的高维权重空间中进行神经网络的线性变换,以提高防御对抗扰动的鲁棒性。
该算法适用于卷积和Transformer两种架构的视觉模型,不仅在防御PGD、AutoAttack等白盒攻击时可以显著提高鲁棒精度,在防御黑盒攻击squareattack等算法时也能有效增强对抗鲁棒性。
在基于Transformer架构的图像分类模型上进行对抗训练时结合所提出的约束,权重矩阵的条件数值平均下降了20.7%,防御PGD攻击时可提高1.16个百分点的鲁棒精度。
与Lipschitz约束等同类方法相比,提出的算法还能提高干净样本的精度,缓解对抗训练造成的模型泛化性低的问题。
【总页数】8页(P140-147)【作者】徐杨宇;高宝元;郭杰龙;邵东恒;魏宪【作者单位】中国科学院福建物质结构研究所;中国科学院大学;福建师范大学计算机与网络空间安全学院;中国科学院海西研究院泉州装备制造研究中心【正文语种】中文【中图分类】TP183【相关文献】1.快速鲁棒性非线性尺度不变的特征匹配算子2.基于可变形多尺度变换的几何不变鲁棒图像水印算法3.增强目标模型鲁棒性的Mean-shift算法4.快速自适应鲁棒性尺度不变的特征检测子5.滤波器权值约束对自适应零限波束形成语音增强算法鲁棒性影响分析因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
逼近理论中的欧几里得范数与无穷范数在数学中，逼近理论是研究如何利用有限的信息来近似无限维度的事物的一门学科。
其中，范数是逼近理论中一个非常重要的概念。
范数是定义在向量空间上的一种函数，用于将向量的长度或大小表示为一个实数的方法。
在逼近理论中，欧几里得范数与无穷范数是最常用的两种范数。
欧几里得范数，也称为L2范数，定义为向量每个元素的平方和的平方根，即∥x∥2 = (Σxi²)¹/²。
这个范数衡量了向量的大小，并且在空间中呈现出圆形。
在二维平面上，这个圆形是一个圆，在三维空间中，则是一个球体。
无穷范数，也称为L∞范数，定义为向量每个元素的绝对值中的最大值，即∥x∥∞= max|xi|。
这个范数衡量了向量元素的最大值，并且在空间中呈现出正方形。
在二维平面上，这个正方形是一个正方形，在三维空间中，则是一个立方体。
欧几里得范数与无穷范数在逼近理论中有着不同的应用。
对于欧几里得范数，一个很有用的性质是它对分布在球体的向量的逼近效果很好。
具体而言，在任意向量空间中，对于任意一点p和半径r，存在一个单位球体使得所有距离p不超过r的点都在这个球体中。
因此，如果我们想要将一个向量逼近时，可以考虑在这个单位球体中进行。
而对于无穷范数，它对分布在正方形的向量的逼近效果很好。
具体而言，在任意向量空间中，存在一个最小的矩形并，使得所有的向量都在这个矩形并内。
因此，如果我们想要将一个向量逼近时，可以考虑在这个矩形并中进行。
除此之外，在实际应用中，两个范数有时候也可以结合起来使用。
例如，在信号处理中，人们常用的是L1范数和L2范数的结合，即L1-L2混合范数。
这个范数定义为∥x∥1,2 = Σ|xi| +β(Σxi²)¹/²，其中β是一个参数，用来平衡L1和L2的贡献。
这个范数可以综合L1范数和L2范数的优点，用于处理带有稀疏性和平滑性的信号。
总之，在逼近理论中，欧几里得范数和无穷范数是最为常用的两种范数，在实际问题中它们也有着不同的应用。
谈谈矩阵条件数及其几种计算方法摘要：矩阵条件数在数值分析领域中有重要作用，特别是在线郑治波性方程组和矩阵特征值扰动分析中有广泛的应用，条件数的大小就决定了方程组解的相对误差的大小，用条件数来判断方程组的解对于误差的敏感度是很有用的，它反映了方程组的状态。
关键词：矩阵条件数估计在生产实践和企业管理等实际问题中，经常会碰到许多大型线性方程组的求解问题，其系数阵a总是以抽样统计数据或以实验数据为基础。
统计技术的高低，实验仪器分辨率的高低等等都将给数据带来误差，而这种不可避免的误差，有时甚至是微小的变动也会引起解的极大波动，这时就称系数阵为“病态矩阵”。
对于这种“病态矩阵”一般的算法很难得出理想的结果。
我们知道，算法对误差的传播和积累有很大影响，为了减少这种影响，算法的选取是很重要的，这就是通常所说的算法的稳定性问题。
另一方面，方程组本身对计算中误差的积累也起着极其重要的作用，系数阵a的条件的好坏至关重要，如果问题是病态的，那么即使选择良好的计算方法，也不能指望有好的结果出现，因此判别原始方程组是否病态是十分重要的。
怎样有效地判别矩阵是否为病态矩阵？近几十年国内外许多从事计算数学的学者都在进行摸索研究，得知“条件数”与矩阵病态有密切关系。
“条件数”这一名词在上世纪五十年代初出现，主要用来衡量矩阵的病态程度，条件数越小，则矩阵的非奇异程度越高，称矩阵是良态的；条件数越大，则矩阵的非奇异程度越差，称矩阵为病态的。
另外，在数值分析中，常常要讨论矩阵扰动对一个给定矩阵的特征值的影响，条件数可以衡量矩阵的特征值经过扰动的偏离度，也是衡量矩阵a关于特征值问题是否良态的重要标志。
然而由于矩阵的阶数较大时，的计算量大导致应用定义计算矩阵条件数十分困难，因此，矩阵条件数的估计对研究各种矩阵问题有着重要意义。
1.条件数的提出（1）线性方程组的条件数考虑线性方程组的求解，其中用精确的计算求解得：若对常数列加入的摄动量，即考虑，所得解与之差是 .显然，对方程组的右端向量只不过改变了，而解却相差1806 .又如，设，，，由计算可知方程组和方程组的解分别为和 .由此可见，系数矩阵只产生的误差而解却产生300000 的误差。
索伯列夫空间逼近定理
索伯列夫空间逼近定理是数学分析中的一个重要定理，它涉及
到函数序列在特定条件下的逼近性质。
索伯列夫空间是一个拓扑向
量空间，而逼近定理则描述了在这样的空间中，可以找到一个函数
序列，它可以逼近该空间中的任意函数。
这个定理在实际问题中有
着广泛的应用，比如在数值分析、逼近论和偏微分方程等领域。
从数学角度来看，索伯列夫空间逼近定理可以被分为几个方面
来讨论。
首先，我们可以从定义和条件入手，详细阐述索伯列夫空
间的定义以及逼近定理的前提条件。
其次，我们可以讨论逼近定理
的具体表述，即如何通过一个函数序列来逼近索伯列夫空间中的函数。
接着，可以探讨逼近定理的证明思路和关键步骤，以及可能涉
及到的一些重要引理或定理。
此外，还可以从实际应用的角度来看，例如在信号处理中的应用，或者在数值计算中的意义等方面进行讨论。
除了数学角度，我们还可以从历史和发展的角度来探讨索伯列
夫空间逼近定理。
可以介绍该定理的提出者、发展历程以及对数学
分析和其他领域的影响。
此外，还可以从教学和学习的角度来探讨，比如逼近定理在数学教学中的作用和意义，以及在学习过程中的一
些案例或习题。
总的来说，索伯列夫空间逼近定理是数学分析中的一个重要定理，从数学角度、历史发展角度以及教学学习角度都有着深远的意义和影响。
通过全面地从多个角度来讨论这个定理，可以更好地理解和应用它。
CG算法的预处理技术：、为什么要对A进行预处理：其收敛速度依赖于对称正定阵A的特征值分布特征值如何影响收敛性：特征值分布在较小的范围内，从而加速CG的收敛性特征值和特征向量的定义是什么？（见笔记本以及收藏的网页）求解特征值和特征向量的方法：Davidson方法：Davidson 方法是用矩阵( D - θI)- 1( A - θI) 产生子空间，这里D 是A 的对角元所组成的对角矩阵。
θ是由Rayleigh-Ritz 过程所得到的A的近似特征值。
什么是子空间法：Krylov子空间叠代法是用来求解形如Ax=b 的方程，A是一个n*n 的矩阵，当n充分大时，直接计算变得非常困难，而Krylov方法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi 的迭代形式来求解。
这里的K(来源于作者俄国人Nikolai Krylov姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A的矩阵，而迭代形式的算法的妙处在于，它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。
如何取正定矩阵Mk为：Span是什么？:设x_(1,)...,x_m∈V ,称它们的线性组合∑_(i=1)^m?〖k_i x_i \|k_i∈K,i=1,2...m〗为向量x_(1,)...,x_m的生成子空间，也称为由x_(1,)...,x_m张成的子空间。
记为L（x_(1,)...,x_m），也可以记为Span（x_(1,)...,x_m）什么是Jacobi迭代法：什么是G_S迭代法：请见PPT《迭代法求解线性方程组》什么是SOR迭代法：什么是收敛速度：什么是可约矩阵与不可约矩阵？：不可约矩阵（irreducible matrix）和可约矩阵（reducible matrix）两个相对的概念。
定义1：对于n 阶方阵A 而言，如果存在一个排列阵P 使得P'AP 为一个分块上三角阵，我们就称矩阵A 是可约的；否则称矩阵A 是不可约的。
定义2：对于n 阶方阵A=(aij) 而言，如果指标集{1，2，...，n} 能够被划分成两个不相交的非空指标集J 和K，使得对任意的j∈J 和任意的k∈K 都有ajk=0, 则称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵A 是不可约的。
第五专题矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)一、行列式已知A p x q, B q x p,则|l p+AB| = |l q + BA|证明一：参照课本194 页，例4.3.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而l p+AB ，l q+BA 中不等于1 的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值(不等于1)的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
nn定义：tr(A) a ii i ，etrA=exp(trA)i 1 i 1性质：1. tr( A B) tr(A) tr(B) ，线性性质；2. tr(A T ) tr(A) ；3. tr(AB) tr(BA) ；14. tr(P 1AP) tr(A) ；5. tr(x H Ax) tr(Axx H),x 为向量；nn6. tr(A) i ,tr(A k) i k;i 1 i 1从Schur 定理(或Jordan 标准形) 和(4)证明；7. A 0,则tr(A) 0 ,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(即A B 0),则tr(A) tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B( A B i(A) i(B) )；9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得A k=0, 则tr(A)=0 (从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。
若干基本不等式对于两个m x n复矩阵A和B, tr(A H B)是m x n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式2[x,y] w [x,x]. [y,y]得定理：对任意两个m x n 复矩阵A 和B|tr(A H B)|2w tr(冲A) • tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
范数的三个条件1.引言1.1 概述概述部分的内容：范数是数学中一种度量向量的大小的方式。
它是向量空间中的一种函数，将向量映射为非负实数。
在实际应用中，范数经常被用来衡量向量的长度、大小或距离。
范数的概念在数学、物理、计算机科学等领域有着广泛的应用和重要的作用。
本文将介绍范数的三个条件。
在讨论这三个条件之前，我们将先对范数进行定义和讨论其基本性质。
然后，我们将详细讲解范数的三个条件，这些条件对于确定一个函数是否能称为范数至关重要。
最后，我们将总结范数的三个条件，并探讨应用范数的意义和价值。
通过学习本文，读者将能够对范数有更深入的理解，并能够应用范数解决实际问题。
无论是在数学研究中还是在工程应用中，范数都是一个十分重要的工具，对于理解和描述向量空间中的各种性质和关系具有重要意义。
接下来，我们将详细介绍范数的定义和基本性质。
1.2 文章结构论文结构的目的是使读者能够清晰地理解和掌握论文的主要内容和论证过程。
文章结构一般包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分是论文的开篇，用来引入论文的主题并说明研究的背景、意义和目的。
在本文中，引言部分的目的是介绍范数及其基本性质，并指出本文将重点讨论范数的三个条件。
正文部分是论文的核心内容，用来详细阐述和论证研究问题。
在本文中，正文部分将重点讨论范数的三个条件。
首先，将介绍范数的定义和基本性质，为读者建立起相关的基础知识。
然后，将详细分析并讨论范数的三个条件，分别从数学定义和性质的角度进行阐述和论证。
结论部分是论文的总结和回顾，用来归纳研究结果、总结讨论及提出展望。
在本文中，结论部分将对范数的三个条件进行总结，并强调范数在实践中的意义和价值。
同时，也可以对范数的应用领域进行展望，指出可能的研究方向和未来可探索的问题。
通过以上结构安排，读者可以从文章的标题、目录和各部分的内容中清晰地了解到本文的主要内容和论证结构，有助于读者理解和把握文章的逻辑性和连贯性。
1.3 目的本文的主要目的是探讨范数的三个条件。
