一个奇异值不等式的推广

矩阵范数三角不等式证明摘要：一、矩阵范数的概念和意义二、矩阵三角不等式的表述三、证明方法及步骤1.利用矩阵的奇异值分解2.利用Cauchy-Schwarz不等式3.利用矩阵的性质和向量范数的性质正文：【提纲】一、矩阵范数的概念和意义矩阵范数是矩阵的一种度量方式，它反映了矩阵元素的分布情况和矩阵的稀疏程度。

常见的矩阵范数有谱范数、行范数、列范数等。

在这些范数中，谱范数是最常用的一种，它等于矩阵所有奇异值的和。

【提纲】二、矩阵三角不等式的表述矩阵三角不等式是一个基本的矩阵性质，它表示为：对于任意矩阵A和B，有||A+B||≤||A||+||B||，其中||A||和||B||分别表示矩阵A和B的范数。

【提纲】三、证明方法及步骤证明矩阵三角不等式有多种方法，下面我们介绍三种常见的方法。

1.利用矩阵的奇异值分解：假设矩阵A可以表示为A=U*S*V^T，其中U和V是正交矩阵，S是奇异值矩阵。

那么，矩阵A的范数可以表示为||A||=||U*S*V^T||=||U||*||S||*||V||。

同样，矩阵B可以表示为B=W*T*X，其中W、T、X具有相同的结构。

那么，||A+B||=||U*(S+T)*V^T||=||U||*||S+T||*||V||。

根据奇异值分解的性质，我们知道||S+T||≤||S||+||T||，所以||A+B||≤||A||+||B||，证明了矩阵三角不等式。

2.利用Cauchy-Schwarz不等式：对于任意矩阵A和B，我们有：||A*B||=||(a11*b11+a12*b21+...+an1*bn1)+(a13*b12+a23*b22+...+an3*b n2)||≤||a11*b11+a12*b21+...+an1*bn1||+||a13*b12+a23*b22+...+an3*bn2||≤||a11||*||b11||+||a12||*||b21||+...+||an1||*||bn1||+||a13||*||b12||+||a23||*||b 22||+...+||an3||*||bn2||≤(||a11||+||a12||+...+||an1||)*(||b11||+||b21||+...+||bn1||)+(||a13||+||a23||+... +||an3||)*(||b12||+||b22||+...+||bn2||)≤(||a11||+||a12||+...+||an1||+||a13||+...+||an3||)*(||b11||+||b12||+...+||bn1||+||b21||+...+||bn2||)≤(||a11+a12+...+an1||+||a13+a23+...+an3||)*(||b11+b12+...+bn1||+||b21 +b22+...+bn2||)≤(||A||+||B||)*(||I||+||O||)其中，I是单位矩阵，O是零矩阵。

Schur补的性质及其相关应用学院：信息工程学院专业: 通信与信息系统姓名: 罗桃建学号: 6120140152摘要矩阵Ｓｃｈｕｒ补是矩阵理论中一个重要的知识点，在矩阵理论、统计分析、数值计算、线性方程组求解、区域分解方法、线性系统、控制论等问题的研究。

中都有着广泛的应用．本文主要研究矩阵Ｓｃｈｕｒ补理论在矩阵理论中的问题．利用矩阵的一些基本性质和数学研究中的一些基本方法讨论Schur补、schur多项式、schur不等式、schur积、广义schur补、矩阵schur补、实方阵schur稳定、schur凸函数的相关应用．关键词：Schur补；广义Schur补；schur多项式ABSTRACTMatrix Schur complement is one of the most important kens both in theory and applications,and it has wide applications in the study of Schur complement, Schur polynomial, Schur inequality, Schur product,generalized Schur complement, matrix Schur complement, nuclear Schur, Schur real square matrix a stable, Schur convex function.Key word: Schur complement, matrix Schur complement, Schur polynomial目录第一章绪论 (4)1.1基本概念及要研究的问题 (4)1.2 Schur不等式 (5)第二章Schur补性质和广义Schur补的性质 (6)2.1相关符号简介 (6)2.2矩阵Schur补的性质 (6)2.3 相关符号与引理简介 (7)第三章矩阵乘积之Schur补的奇异值估计 (9)3.1 相关符号与引理简介 (9)3.2本章小结 (10)第四章矩阵Schur补和实方阵Schur稳定、Schur凸函数的相关应用 (10)4.1 矩阵Schur补应用 (10)4.2 schur稳定 (11)4.3 schur凸函数 (11)参考文献 (13)附：对邹老师的看法： (14)第一章 绪 论1.1基本概念及要研究的问题矩阵Schur 补的概念是1917年L.Schur 在他的一篇文章中提出的，它在矩阵理论,统计分析，数值计算，线性方程组求解，区域分解方法，线性控制等领域都有着重大作用。

柯西不等式各种形式的证明及其应用
1.柯西不等式的证明：
柯西不等式的最常见的证明是基于构造内积的思路。

假设有两个n维
向量a=(a1,a2,…,an)和b=(b1,b2,…,bn)，我们可以定义它们的内积为a·b=a1b1+a2b2+…+anbn。

柯西不等式就是说，对于任意两个向量a和b，有，a·b，≤，a，b。

这个不等式可以通过构造内积的平方来进行证明。

具体的证明过程可以参考高等数学相关教材或参考资料。

2.柯西不等式的应用：
-线性代数：柯西不等式可以用来证明向量范数的性质，如欧几里得
范数和曼哈顿范数的非负性、三角不等式等。

-概率论：柯西不等式可以用来证明概率论中的一些重要定理，比如
马尔可夫不等式、切比雪夫不等式等。

-信号处理：柯西不等式可以用来证明信号处理中的一些重要性质，
比如能量守恒定理、奇异值分解等。

-函数分析：柯西不等式可以用来证明函数分析中的一些重要定理，
比如巴拿赫空间的完备性定理等。

-矩阵论：柯西不等式可以用来证明矩阵论中的一些重要性质，比如
矩阵的条件数、病态度等。

总之，柯西不等式是一条十分重要的不等式，具有广泛的应用价值。

它不仅是高等数学中的重要工具，还可以应用于其他学科的研究中。

通过
了解柯西不等式的证明和应用，我们可以更好地理解和运用它，进一步深
化数学和相关学科的学习。

矩阵2范数证明要证明矩阵的2范数是最大奇异值，需要进行如下步骤：1. 首先说明2范数满足范数的定义。

2. 其次，证明2范数是矩阵的最大奇异值。

1. 2范数是矩阵的一个范数，满足以下定义：- 非负性：对于任意的矩阵A，2范数总是非负的，即||A||2 >= 0。

- 零范数：当且仅当A矩阵的所有元素都为零时，2范数为0，即||A||2 = 0当且仅当矩阵A是零矩阵。

- 绝对鲁棒性：对于任意的标量c，2范数满足绝对鲁棒性，即||cA||2 = |c| ||A||2。

- 三角不等式：对于任意的矩阵A和B，2范数满足三角不等式，即||A+B||2 <= ||A||2 + ||B||2。

2. 然后我们证明2范数是矩阵的最大奇异值。

假设A是一个m×n的矩阵，其奇异值分解为A = UΣV^T，其中U是一个m×m的正交矩阵，V是一个n×n的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，对角线上的元素是矩阵A的奇异值。

由于U和V是正交矩阵，所以有U^TU = I和VV^T = I，其中I是单位矩阵。

则矩阵A的2范数定义如下：||A||2 = sup ||Ax||2 / ||x||2= sup ||(UΣV^T)x||2 / ||x||2= sup ||ΣV^T x||2 / ||x||2 (由于U是正交矩阵，不改变向量的2范数)= sup ||Σ(V^T x)||2 / ||x||2 (向量的2范数和矩阵对列运算的2范数相同)= sup ||Σy||2 / ||V^T x||2 (令y = V^T x)= sup ||Σy||2 / ||y||2 (由于V是正交矩阵，不改变向量的2范数)= sup sqrt(y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) / sqrt(y_1^2 +y_2^2 + ... + y_m^2)= sup sqrt(σ_1^2y_1^2 + σ_2^2y_2^2 + ... +σ_min(m,n)^2y_min(m,n)^2) / sqrt(y_1^2 + y_2^2 + ... + y_m^2) = sqrt(σ_1^2 + σ_2^2 + ... + σ_min(m,n)^2) (取y为第i列向量)由此可见，矩阵A的2范数就是矩阵A的最大奇异值，即||A||2 = σ_max(A)。

关于结构奇异值的一个注记
田玉平
【期刊名称】《自动化学报》
【年(卷),期】1996(022)001
【摘要】@@ 1引言rnDoyle在1982年提出的结构奇异值(μ)方法是分析和综合结构式不确定系统的有力工具[1,2].基于结构奇异值分析的小μ定理[2]给出了具有多个摄动块的线性动态系统鲁棒稳定的充要条件.
【总页数】3页(P126-128)
【作者】田玉平
【作者单位】东南大学自动控制系,南京,210096
【正文语种】中文
【中图分类】TP1
【相关文献】
1.关于PSL₂（8）结构的一个注记 [J], 陈顺民;
2.对“关于《矩阵奇异值的一个不等式》一文注记”的注记 [J], 杨忠鹏
3.关于内幂零群结构定理的一个注记 [J], 王玉婷;郝成功
4.由recollement导出的t-结构的一个注记 [J], 刘宏锦;刘利敏
5.关于稳定t结构的一个注记 [J], 孙永亮
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1范数2范数无穷范数不等式的证明【主题：范数和无穷范数的不等式证明】在数学中，范数是对向量进行度量的一种方式。

范数被广泛用于优化问题、线性代数和函数分析等领域。

而无穷范数是一种特殊类型的范数，它在计算机科学和工程领域中有重要的应用。

本文将深入探讨范数和无穷范数的定义、性质，并给出它们的不等式证明。

1. 范数的定义与性质1.1 范数的定义范数是对向量进行度量的一种方式，它将向量映射到非负实数。

对于一个向量x，范数记作∥x∥，其定义为：∥x∥ = (|x₁|^p + |x₂|^p + ... + |x_n|^p)^(1/p)其中，x₁, x₂, ..., x_n是向量x的元素，p是一个实数。

常见的范数有1范数、2范数和无穷范数。

1.2 1范数与2范数1范数是指向量元素绝对值的和，记作∥x∥₁。

2范数是指向量元素绝对值的平方和的开根号，记作∥x∥₂。

它们的定义分别为：∥x∥₁ = |x₁| + |x₂| + ... + |x_n|∥x∥₂ = (|x₁|² + |x₂|² + ... + |x_n|²)^(1/2)1.3 1范数与2范数的性质1范数具有比较特殊的性质，它是所有维度的绝对值之和。

而2范数则更多地关注向量各元素的平方和。

下面将详细介绍1范数和2范数的性质。

性质1：从凸性角度看待范数范数是一个凸函数，即对于任意的向量x和y，以及任意的实数0≤λ≤1，都有：∥λx + (1-λ)y∥ ≤ λ∥x∥ + (1-λ)∥y∥性质2：范数的卡西诺不等式对于任意的向量x和任意的正整数n，范数满足以下卡西诺不等式：∥x∥₁ ≤ ∥x∥₂ ≤ ∥x∥ₙ证明：考虑向量x的任意一维元素xᵢ，|xᵢ| ≤ (|x₁|² + |x₂|² + ... + |xᵢ|² + ... + |xₙ|²)^(1/2) = ∥x∥₂∑|xᵢ| ≤ ∥x∥₂由于这个不等式对向量x的任意维度成立，所以∥x∥₁ ≤ ∥x∥₂。

Von Neumann迹的不等式注记杨兴东;苏润青;徐玮玮;刘诗卉;丁三芹【摘要】通过矩阵分块,利用矩阵特征值与奇异值的性质,研究Von Neumann迹的不等式,推广了相关文献矩阵乘积之迹的不等式,并对有关文献作了补充.【期刊名称】《南京师大学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(041)001【总页数】5页(P5-8,16)【关键词】Von Neumann不等式;特征值;奇异值;迹;Frobenius范数【作者】杨兴东;苏润青;徐玮玮;刘诗卉;丁三芹【作者单位】南京信息工程大学数学与统计学院,江苏南京210044;南京信息工程大学数学与统计学院,江苏南京210044;南京信息工程大学数学与统计学院,江苏南京210044;南京信息工程大学数学与统计学院,江苏南京210044;南京信息工程大学数学与统计学院,江苏南京210044【正文语种】中文【中图分类】O151.21本文中,设a,b为实数,Re x表示复数x=a+ib的实部,即Re x=a,Im x=b表示复数x的虚部. Mm×n表示m行n列复矩阵的集合. I为单位矩阵,AH表示A的共轭转置矩阵. 如果A=AH,则称A为Herimite阵. 设λi(A)(i=1,…,n)为n阶矩阵A的特征值,当A为Herimite阵,且λi(A)≥0(i=1,…,n)时,则A称为 Herimite 半正定阵.σi(A)表示A的奇异值(i=1,…,n). 用diag(d1,…,dn)表示对角元素为d1,…,dn的对角矩阵. 记Mm×n上的矩阵Frobenius范数为这里tr A表示矩阵A的迹.关于矩阵的迹,1937年,Von Neumann提出了著名不等式[1]式中,A,B是n×n阶复矩阵. 此不等式不仅在数学分支如数值代数中具有重要意义,而且在信号处理、通信工程、系统工程等学科中也有着广泛的应用,国内外学者对此不等式的研究十分活跃[1-15].1975年,Mirsky L推广了Von Neumann迹的不等式,用双随机矩阵的性质在文献[2-3]中证明了如下等式(1)式中,U,V为酉矩阵,A,B为n阶复矩阵.1979年,Marshall和Olkin在文献[4]中利用控制不等式的性质对式(1)给出重新证明并作了进一步推广.2003年,Ben-Isral和Greville给出不等式[5]Re tr (HW)≤tr H,(2)式中,H为任意的Herimite半正定阵,W为酉矩阵.设A∈Mm×n,则A的奇异值分解为[6]A=P(Σ1,O)Q,(3)式中,Σ1=diag(σ1(A),…,σm(A)),σ1(A)≥…≥σm(A)≥0. O为m×(n-m)零矩阵. P,Q分别为m,n阶酉矩阵.设B∈Mn×m,则B的奇异值分解为[6](4)式中,Σ2=diag(σ1(B),…,σm(B)),σ1(B)≥…≥σm(B)≥0. R,S分别为n,m阶酉矩阵. 事实上,因为对于m×n矩阵A和n×m矩阵B,总有tr(AB)=tr(BA),所以不妨设m≤n,故本文中的奇异值分解假定m≤n.2007年,Komaroff N通过分解式(3)与(4)就n阶复方阵A、B对Von Neumann 不等式给出进一步的推广,获得如下不等式[7](6)式中,T=VPQWRS. 显然,当V=B=In时,式(5)与(6)分别为(8)式中,T=PQW.本文讨论A∈Mm×n,B∈Mn×m的一般情形,推广式(5)-(8),给出矩阵乘积之迹的另一表达式. 所获结论在数值代数等领域将会有重要应用.本文需要如下引理.引理1[8] 设A、B为n阶矩阵,则AB与BA有相同的特征值和迹.1 主要结论定理1 设A∈Mm×n,B∈Mn×m,W为n阶酉矩阵,V为m阶酉矩阵,A、B的奇异值分解如式(3)、(4)所示,m≤n,则(10)式中,证 V,P,S如分解式(3)与(4)所设,令则为n阶酉矩阵. 设为相应的零矩阵. 则由分解式(3)与(4)得且令则为酉矩阵. 由引理1得于是由式(5),我们有Re tr tr tr即不等式(9)成立,同理可证不等式(10).注1 同定理1的证明,当m≥n时,有式中,注2 设H为n阶Hermite半正定阵,则存在n阶矩阵A∈Mn×n,使H=AAH. 注意到|Re λi(W)|≤|λi(W)|≤1.我们有此即不等式(2).定理2 设A∈Mm×n,W∈Mn×m为列酉阵,即 WHW=Im,则(12)式中,证令为(n-m)×n阶零矩阵. 令其中W⊥为n×(n-m)阶列酉阵,且WHW⊥=O,则为n阶酉矩阵. 由A的奇异值分解式(3)得故由式(7)与引理1以及我们有Re tr (AW)=Re tr tr tr同理可证式(12).推论1 设A∈Mm×n,V为任m阶酉阵,W为n×m阶列酉阵,即WHW=Im则式中,为列酉阵,且WHW⊥=O.证由引理1,我们有tr(VAW)=tr(AWV). 因为W为n×m阶列酉阵,V为m阶酉阵. 所以WV为n×m 阶列酉阵. 于是由定理2即得所证.定理3 设A、B为n阶复矩阵,V、W为n阶酉阵,并设A、B的奇异值分解分别为A=PΣ1Q,B=RΣ2S,式中,P,Q,R,S为n阶酉矩阵,Σ1=diag(σ1(A),…σi,(A)),Σ2=diag(σ1(B),…,σi(B)).令T=VRSWQHPH. 则(13)证由式(5)有注意到|Re λ(T)|≤1,因而有所以上式两边开方即得证.注3 令Aσ=diag(σ1(A),…,σn(A)),Bσ=diag(σ1(B),…,σn(B)),则由定理3的证明我们有而不等式‖A-VBW‖F≥‖Aσ-Bσ‖F是文献[15]定理2中酉不变范数取Frobenius 范数之情形.[参考文献][1] VON NEUMANN J. Some matrix-inequalities and metrization of matric-space[J]. Tomsk Univ Rev,1937,1:286-300.[2] MIRSKY L. On the trace of matrix products[J]. Mathematische nachrichten,1959,20(3/6):171-174.[3] MIRSKY L. A trace inequality of John von Neumann[J]. Monatshefte für mathematik,1975,79(4):303-306.[4] MARSHALL A W,OLKIN I,ARNOLD B. Inequalities:theory of majorization and its applications[M]. New York:Springer Science and Business Media,2010:66-300.[5] BEN I A,GREVILLE T N E. Generalized inverses:theory and applications[M]. New York:Springer Science and Business Media,2003:227-229.[6] HORN R A,JOHNSON C R. Matrix analysis[M]. New York:Cambridge University Press,2012:67-140.[7] KOMAROFF N. Enhancements to the von Neumann trace inequality[J]. Linear algebra and its applications,2008(428):738-741.[8] WILKINSON J H. The algebraic eigenvalue problem[M].Oxford:Clarendon Press,1965:34-77.[9] WEYL H. Inequalities between the two kinds of eigenvalues of a linear transformation[J]. Proceedings of the national academy of sciences of the United States of America,1949,35(7):408.[10] BALL J M. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity[J]. Archive for rational mechanics and analysis,1976,63(4):337-403.[11] CIARLET P G. Mathematical elasticity. Mathematics and its applications[M]. Amsterdan:North-Holland Publishing Company,1988:199-265.[12] YANG X D,DIAO Z G,LIU S H. Some inequalities for sum of Hermitian matrices[J]. Mathematica appllcate,2015,28(3):475-480.[13] 王伯英,张福振. 矩阵乘积的特征值和奇异值的不等式[J]. 北京师范大学学报(自然科学版),1987(3):1-4.[14] 陈道琦. 关于半正定Hermite矩阵乘积迹的一个不等式[J]. 数学学报,1988,31(2):565-569.[15] WANG B Y,XI B Y,ZHANG F. Some inequalities for sum and product of positive semidefinite matrices[J]. Linear algebra and itsapplications,1999,293(1):39-49.。