人教版必修四第二章测试题

高一数学 必修四第二章 教材精选习题班级：一年 班 出题教师：邱文鹏姓名： 做题时间：2013-4-22 1. (教材P 93 A-2) 已知：在ABC ∆中，11,33AM AB AN AC ==.求证：MN ∥BC ,并且13MN BC =2. (教材P 94 A-6) 根据下列各题中的条件，判断四边形ABCD 是那种四边形，（1）AD BC =；（2）AD ∥BC ,并且AB 与CD 不平行； （3）AB DC =，并且AB AD=。

3. (教材P 94 B-4) 已知,M N 分别是任意两条线段AB 和CD 的中点，求证：()12MN AD BC =+4. (教材P 99 B-2) 如图，已知,,M N P 分别是ABC ∆三边,,BC CA AB 上的点，且14BM BC =，11,44CN CA AP AB ==，如果AB a =，AC b =，选择基底{},a b，试写出下列向量在此基底下的分解式：,,MN MP NP .5.(教材P103 B-1)已知ABCD的三个顶点()()()1,2,3,1,0,2A B C--求顶点D的坐标.6.(教材P103 B-4)已知()()3,2,3,4A B--，求线段AB的坐标.7.(教材P105 B-2)已知()1,2a=和点()0,3A-，直线l通过点A 于向量。

求证:若动点(),P x y在l上，则它的坐标,x y满足方A B()3,2A --()3,4B MP 2P 1高一数学 必修四第二章 教材精选习题1. (教材P 93 A-2) 证明：因为MN AN AM =-，而13AN AC =，13AM AB =，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=.2. (教材P 94 A-6) （1）四边形ABCD 为平行四边形.证明：∵AD BC = ∴AD BC =且AD ∥BC∴四边形ABCD 为平行四边形.（2）四边形ABCD 为梯形. 证明：∵AD ∥BC ∴AD BC //又∵AB 与CD 不平行 ∴四边形ABCD 为梯形.（3）四边形ABCD 为菱形. 证明：∵A B D C =，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形又AB AD=∴四边形ABCD 为菱形.3. (教材P 94B-4) ∵()1=2MN MC MD + ,MC MA AC=+ ,MD MB BD =+,0MA MB +=∴ ()12MN AD BC =+4. (教材P 99 B-2) ()3131344444MN MC CN BC CA AB AC AC a b =+=+=--=-()131311444424MP MB BP CB BA AB AC AB a b =+=+=--=--31134444NP NA AP CA AB a b =+=+=-5. (教材P 103 B-1) 设(),D x y ∵BA CD =∴()()13,210,2x y ----=-- 解得：4,1x y =-=- ∴()4,1D --6. (教材P 103 B-4) 设AB 中点(),M x y ，三等分点为分别为()111,P x y ,()222,P x y则由中点公式知：3324,22M -+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭即()0,1M∵12,P P 为线段AB 三等分点∴113AP AB =,223AP AB = ∴ ()()1113,233,423x y ++=++ ， ()()2223,233,423x y ++=++即 ()()113,22,2x y ++= ， ()()223,24,4x y ++=解得：111x y =-⎧⎨=⎩ ，2212x y =⎧⎨=⎩ ∴()11,0P -,()21,2P 7. (教材P 105 B-2)由已知()()0,(3),3AP x y x y =---=+_ M（第2题(2)）（第2题(3)）AB∵动点()P x y在l上，直线l通过点A，且平行于,向量a∴AP∥a由向量平行的条件得：23=+x y∴点P的坐标,x y满足方程：230--=x y。

一、选择题1．设平面向量()a=1,2，()b=2,y -，若a b ，则2a b -等于（ ） A ．4 B ．5 C ．35 D ．45 2．已知函数()sin (0)2f x x a a π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（ ）A ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．30,(1,)3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．3,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞ 3．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N 是平面内两两互不相等的向量，121a a -=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ）A ．21-B ．2C ．21+D ．22+ 5．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，14DF DA =，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ）A ．1B ．6C ．5D ．26．如图，在平行四边形ABCD 中，点E F 、满足2,2BE EC CF FD ==，EF 与AC 交于点G ，设AG GC λ=，则λ=（ ）A ．97B ．74C ．72D ．927．如图，在平面直角坐标系xOy 中，原点O 为正八边形12345678PP P P P P P P 的中心，18PP x ⊥轴，若坐标轴上的点M （异于点O ）满足0i j OM OP OP ++=（其中1,8i j ≤≤，且i 、j N *∈），则满足以上条件的点M 的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88．已知向量a ，b 满足||3,||2a b ==，且对任意的实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，设a ，b 的夹角为θ，则tan θ的值为（ ）A 5B ．52-C ．5-D 59．已知ABC 中，3AB AC ==，且||||AB AC AB AC +=-，点D ，E 是BC 边的两个三等分点，则AD AE ⋅=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( ) A 33B 37 C 39 D 4111．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定 12．在ABC 中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和20FD FA +=，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15二、填空题13．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题：①若1AB λ=，1AC μ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心；③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上；④若1λμ+>，则点P 在ABC 外；⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内．其中真命题为______14．已知平面向量a ，b 不共线，且1a =，1a b ⋅=，记b 与2a b +的夹角是θ，则θ最大时，a b -=_______.15．已知在ABC 中，23AB =，5AC =，6A π∠=.若()0BE AC λλ=<，AE BE =，则AE BC ⋅=_____.16．已知平面非零向量,,a b c 两两所成的角相等，1a b c ===，则a b c ++的值为_____．17．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.18．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.19．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.20．已知平面单位向量a ，b 满足1a b -≤．设向量2a b +与向量2a b -的夹角为θ，则cos θ的最大值为______．三、解答题21．三角形ABC 中，D 为BC 上一点，2BD DC =，设AD a =，AC b =，可以用a ，b 来表示出AD ，方法如下：方法一：23AD AB A D BC B B ==++，∵BC AC AB =-，∴21212()33333AD AB AC AB AB AC a b =+-=+=+. 方法二：13AC CD AC AD CB =+=+，∵CB AB AC =-，∴11212()33333AD AC AB AC AB AC a b =+-=+=+. 方法三：如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点E ，过点D 作AB 的平行线，交AC 于点F ，则四边形AEDF 为平行四边形.∵//DF AB 且2BD DC =，∴13FD CD AB CB ==，13FD AE AB ==.∵//ED AC ，2BD DC =.∴23ED BD AC BC ==，得23ED AF AC ==.∴12123333AD AE ED AE AF AB AC a b =+=+=+=+. 请参照上述方法之一(用其他方法也可)，解决下列问题： （1）三角形ABC 中，D 为BC 的中点，设AB a =，AC b =，试用a ，b 表示出AD ；（2）设D 为直线BC 上任意一点(除B ､C 两点)，BD kDC =.点A 为直线BC 外任意一点，AB a =，AC b =，证明：存在唯一实数对λ，μ，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=.22．如图，在ABC 中，1AB AC ==，120BAC ∠=.（Ⅰ）求AB BC 的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP x AB y AC →→→=+，其中,x y R ∈. 求xy 的最大值.23．设向量()3cos ,2sin a θθ=-．（1）当43θπ=时，求a的值：（2）若()3,1b=-，且//a b，求22cos122sin4θπθ-⎛⎫+⎪⎝⎭的值．24．如图，在梯形ABCD中，E为DC的中点，//,,2AD BC BADπ∠=,3BDA BC BDπ∠==．（1）求AE BD⋅；（2）求AC与BD夹角的余弦值．25．已知向量()cos ,sinm x x=-，()3,3n=，[]0,xπ∈.（1）若m与n共线，求tan x的值；（2）若m与n的夹角为3π，求x的值.26．在平面直角坐标系xOy中，已知向量(1,2)a=-，(1,)b k=．（1）若()a a b⊥+，求实数k的值；（2）若对于平面xOy内任意向量c，都存在实数λ、μ，使得c a bλμ=+，求实数k的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用向量共线定理即可得出y，从而计算出2a b-的坐标，利用向量模的公式即可得结果.【详解】//,220a b y∴-⨯-=，解得4y=-，()()()221,22,44,8a b ∴-=---=，2248a b ∴-=+= D.【点睛】本题主要考查平面向量平行的性质以及向量模的坐标表示，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.2．B解析：B【分析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，找出a 所满足的条件，最后求得结果.【详解】由题意得24,(0,0),(,1),(3,1)2T a O A a B a a ππ==-，因为OAB 为钝角三角形，所以0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，即2310a -<，或2220a -+<，从而0a <或1a >． 故选：B.【点睛】该题考查的是有关利用钝角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题. 3．D解析：D【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2，所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上， 由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用. 4．C解析：C【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=． ∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=，∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值11==．故选C ．【点睛】 熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．5．C解析：C【分析】以,AD AB 为一组基底，表示向量,AE BF ，然后利用12AE BF ⋅=-，求得2cos 3BAD ∠=，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】 因为14AE AD DE AD AB =+=+，34BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133113444416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 223113cos 4416AD AB AD AB BAD =--⋅∠， 31117936cos 12448BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2cos 3BAD ∠=，∴sin BAD ∠== ∴梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠=．故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．C解析：C【分析】设H 是BC 上除E 点外的令一个三等分点，判断出G 是三角形CFH 的重心，得出,CG CO 的比例，由此得出λ的值.【详解】设H 是BC 上除E 点外的令一个三等分点，连接FH ，连接BD 交AC 于O ，则//BD FH .在三角形CFH 中，,CG FG 是两条中线的交点，故G 是三角形CFH 的重心，结合23 CH CFBH DF==可知24.5CGCO=，由于O是AC中点，故224.529CGAC==⨯.所以72AGCG=，由此可知72λ=，故选C.【点睛】本小题主要考查平行线分线段成比例，考查三角形的重心，考查比例的计算，属于中档题. 7．D解析：D【分析】分点M在x、y轴进行分类讨论，可得出点i P、j P关于坐标轴对称，由此可得出点M的个数.【详解】分以下两种情况讨论：①若点M在x轴上，则i P、()1,8,,jP i j i j N*≤≤∈关于x轴对称，由图可知，1P与8P、2P与7P、3P与6P、4P与5P关于x轴对称，此时，符合条件的点M有4个；②若点M在y轴上，则i P、()1,8,,jP i j i j N*≤≤∈关于y轴对称，由图可知，1P与4P、2P 与3P、5P与8P、6P与7P关于y轴对称，此时，符合条件的点M有4个.综上所述，满足题中条件的点M的个数为8.故选：D.【点睛】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题. 8．B解析：B【分析】因为对任意实数x ，不等式a xb a b+≥+恒成立，所以242240x a bx a b+⋅-⋅-≥对任意实数x恒成立，则0∆≤，即()2216(24)0a b a b⋅+⋅+≤，结合已知可得cosθ的值，进而可求出sinθ的值，从而可求出答案.【详解】由题意，a xb a b +≥⇔+22a xb a b +≥⇔+222220x b a bx a b b +⋅-⋅-≥， 对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，且||3,||2a b ==， ∴242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立，∴0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤， 又cos 6cos a b a b θθ⋅==，∴2144cos 16(12cos 4)0θθ++≤，即29cos12cos 40θθ++≤，∴2(3cos 2)0θ+≤，则2(3cos 2)0θ+=，解得2cos 3θ=-， 又0πθ≤≤，∴sin 3θ==， ∴sin 3tan 2cos 3θθθ===-. 故选：B .【点睛】本题主要考查了求三角函数值，考查向量数量积的运算，考查一元二次不等式的解与判别式的关系，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9．B 解析：B 【分析】由||||AB AC AB AC +=-知，0AB AC ⋅=，根据平面向量的线性运算可推出 2133AD AB AC =+，1233AE AB AC =+，故21123333AD AE AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开后代入数据进行运算即可. 【详解】解：∵||||AB AC AB AC +=-，∴0AB AC ⋅=，∵点D 是BC 边的三等分点， ∴11()33AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-2133AB AC =+. 同理可得，1233AE AB AC =+， ∴()2221122(3339)3AD AE AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⋅=+⋅+=+⎪⎝⎭2(99)49=⨯+=. 故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积运算、模的运算、平面向量基本定理，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意基底的选择.10．B解析：B 【分析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得3)y x =-，当该直线与直线BC 相交时，||AP 取得最大值．【详解】解：ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，510cos 25A ∴⨯⨯=，1cos 2A =，60A ∴=︒，90B =︒； 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，如图所示，5AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，(0,0)A ∴，(5,0)B ，(5C，，设点P 为(,)x y ，05x ，03y，3255AP AB AC λ=-， (x ∴，3)(55y =，20)(55λ-，(32λ=-，)-，∴32x y λ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，3)y x ∴=-，①直线BC 的方程为5x =，②，联立①②，得5x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时||AP 最大，||AP ∴ 故选：B ．【点睛】本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，属于中档题．11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．C解析：C 【分析】首先过D 做//DG CE ，交AB 于G ，根据向量加法的几何意义得到D 为BC 的中点，从而得到G 为BE 的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案. 【详解】如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G .因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点. 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点， 因为20FD FA +=，所以:1:2AF FD =.因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =. 又因为EG BG =，所以14AE EB =， 故14AE EB =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.二、填空题13．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④ 【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断. 【详解】 ①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.14．【分析】把表示为的函数利用函数的性质求出当最大时的值进而可求出的值【详解】设则所以易得当时取得最小值取得最大值此时故答案为：【点睛】本题考查平面向量的有关计算利用函数的思想求最值是一种常见思路属于中【分析】把cos θ表示为|b|的函数，利用函数的性质求出当θ最大时|b|的值，进而可求出a b -的值. 【详解】 设()0b x x =>，则()22·222b a b a b b x +=⋅+=+，22|2+|=448a b a a b b +⋅+=+，所以()2·2cos 28b a bb a bx θ+==++易得cos 0θ>，()()()2222222222211cos 124811411222263x x x x x x θ+===+⎛⎫-++--+⎪+++⎝⎭， 当24x =时，2cos θ取得最小值，θ取得最大值， 此时22||=212a b a a b b --⋅+=-=故答案为：3. 【点睛】本题考查平面向量的有关计算，利用函数的思想求最值是一种常见思路.属于中档题.15．-1【分析】利用已知可得从而求得即可得再运算向量的数量积的运算律即可【详解】解：如图∵∴∵∴在中∵∴∵∴∴故答案为：-1【点睛】本题考查向量的线性关系向量的数量积运算律属于中档题解析：-1 【分析】利用已知可得//BE AC ，6ABE BAE π∠=∠=，从而求得2AE BE ==，即可得25BE AC =-，再运算向量的数量积的运算律即可.【详解】解：如图，∵()0BE AC λλ=<，∴//BE AC ， ∵AE BE =，6A π∠=.∴在ABE △中，6ABE BAE π∠=∠=，∵23AB =，∴2AE BE ==，∵5AC =，∴25BE AC =-， ∴()()AE BC AB BEAC AB ⋅=+-()25AB AC AC AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭227273223512255555AB AC AB AC =⋅--=⨯⨯⨯--⨯ 1=-.故答案为：-1.【点睛】本题考查向量的线性关系，向量的数量积运算律，属于中档题.16．3或0【分析】由于三个平面向量两两夹角相等可得任意两向量的夹角是或由于三个向量的模已知当两两夹角为时直接算出结果；当两两夹角为时采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模【详解】由题意三个平面向量两两解析：3或0 【分析】由于三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是0或120︒，由于三个向量的模已知，当,,a b c →→→两两夹角为0时，直接算出结果；当,,a b c →→→两两夹角为120︒时，采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模． 【详解】由题意三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是0或120︒， 当,,a b c →→→两两夹角为0时，,,a b c →→→方向相同，则3a b c →→→++=； 当,,a b c →→→两两夹角为120︒时，由于1a b c ===， 则2222222a b c a b c a b a c b c→→→→→→→→→++=+++⋅+⋅+⋅111211cos120211cos120211cos1200=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=，则20a b c →→→++=，∴0a b c →→→++=. 综上a b c →→→++的值为3或0. 故答案为：3或0. 【点睛】本题考查平面向量的模的求法，涉及向量的夹角和向量的数量积运算，解题的关键是理解向量夹角的定义，考查运算能力.17．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：311【解析】 由13AN NC =,得14AN AC =. 设BP =n BN ,所以AP AB BP AB =+=+n BN =AB +n (AN AB -)=(1-n )14AB nAC +=m 211AB AC +. 由14n=211,得m=1-n=311. 18．9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题解析：9 【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案. 【详解】解：根据题意，如图建立直角坐标系，∴ ()0,3A ()4,0B ，()0,0C ， ∴ ()4,3AB =-，()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-，[]0,1λ∈，∴ ()()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.故答案为：9 . 【点睛】本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题.19．【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题解析：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知，得22222923a ab b a a b b +⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①，由+①②，得226a b +=，由不等式可知3a b ≤，再由-①②，得32a b ⋅=，最后由cos ,a b a b a b ⋅=可得解.【详解】由3a b +=，3a b -=，得()()2239b a a b ⎧⎪⎨⎪-==+⎩，即22222923a a b b a a b b +⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①由+①②，得226a b +=，即226a b += 由-①②，得32a b ⋅=由222a b a b +≥，得3a b ≤1cos ,2a b a b a b⋅=≥所以，0,3a b π≤≤.故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.20．【分析】设的夹角为由题可得则可化简得出即可求出最值【详解】是单位向量设的夹角为则由可得即可得则当时取得最大值为故答案为：【点睛】本题考查数量积的运算律解题的关键是先得出的夹角为满足的再将所求化为可求 解析：14-【分析】设,a b 的夹角为α，由题可得1cos 2α≥，则可化简得出cos θ=-求出最值. 【详解】,a b 是单位向量，1a b ∴==，设,a b 的夹角为α，则由1a b -≤可得21a b -≤，即222cos 1aa b b α-⋅⋅+≤，可得1cos 2α≥， 则()()22222222cos 224444a b a b a b a ba ab b a a b bθ+⋅-==+⋅-+⋅+⋅-⋅+==-=-当1cos2α=时，cosθ取得最大值为2114-.故答案为：21-.【点睛】本题考查数量积的运算律，解题的关键是先得出,a b的夹角为α满足的1cos2α≥，再将所求化为21cos32516cosθα=--可求.三、解答题21．（1）1122AD a b=+；（2）证明过程见详解.【分析】（1）根据题干中所给的方法，结合向量的线性运算，可分别求解；（2）根据题干中所给的方法，由向量的线性运算，用a，b表示出AD，即可得出结论成立.【详解】（1）因为D为BC的中点，方法一：12AD AB BD AB BC=+=+，∵BC AC AB=-，∴11221)22(221AD AB AC AB AB AC a b=+-=+=+；方法二：21AC CD ACAD CB=+=+，∵CB AB AC=-，∴111221)2(221AD AC AB AC AB AC a b=+-=+=+；方法三：如图所示，过点D作AC的平行线，交AB于点E，过点D作AB的平行线，交AC于点F，则四边形AEDF为平行四边形.∵//DF AB且BD DC=，∴21FD CDAB CB==，21FD AE AB==.∵//ED AC ，BD DC =.∴12ED BD AC BC ==，得12ED AF AC ==. ∴11212212AD AE ED AE AF AB AC a b =+=+=+=+； （2）因为D 为直线BC 上任意一点(除B ､C 两点)，BD kDC =，显然1k ≠-； 所以1k BD BC k =+，11CB k CD =+， 方法一：1AD AB BD AB BC kk =+++=，∵BC AC AB =-， ∴1111111()k k k AD AB AC AB AB AC a b k k k k k +++++=+-=+=+； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 方法二：11A AC CD AC CB D k =++=+，∵CB AB AC =-， ∴11111111()k k k k AD AC AB AC A k k B AC a b k ++=+-=+++=++； 即存在唯一实数对11k λ=+，1kk μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 方法三：若点D 位于点B 左侧，如图，过点D 作//DM AB ，过点A 作//AM BC ，交DM 于点M ，则AMDB 为平行四边形，1kAM BD BC k ==+，所以11()AD AB AM AB BC AB k k k k AC AB =++=-+++=111111k k AB AC a b k k k k ++++=+=+； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 若点D 位于点C 右侧，如图，过点D 作//DN AC ，过点A 作//AN BC ，交DN 于点N ，则ANDC 为平行四边形， 11AN CD BC k ==+，因此11A AC AN AC CB D k =++=+111111(1)k k k AB AC AB AB AC a b k k k k k +++=+++-+=+=， 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 若点D 位于BC 之间，则0k >；如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点P ，过点D 作AB 的平行线，交AC 于点Q ，则四边形APDQ 为平行四边形.∵//DQ AB 且BD DC =，∴11QD CD AB C k B =+=，11Q k D AP AB =+=， ∵//PD AC ，BD DC =.∴1PD BD AC BC k k =+=，得1k k PD AQ AC =+=. ∴111111AD AP AQ AB AC k k a b k k k k =+=++=++++； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 综上，存在唯一实数对λ，μ，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=.【点睛】思路点睛：利用平面向量的一组基底表示向量时，只需根据向量的线性运算法则，结合平面向量基本定理，逐步求解即可.22．（Ⅰ）32-；（Ⅱ）1. 【分析】(I ）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算；(II ）利用向量坐标运算，得到三角函数，根据三角函数求出最大值.【详解】（Ⅰ）()AB BC AB AC AB →→→→→⋅=⋅- 213122AB AC AB →→→=⋅-=--=-. （Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)B ，13(,)22C -. 设(cos ,sin )P θθ，[0,]3θ2π∈，由AP x AB y AC →→→=+，得13(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ=+-. 所以3cos ,sin 22y x y θθ=-=. 所以3cos sin 3x θθ=+，33y θ=， 2232311cos sin 2cos 2333xy θθθθθ+=+- 2311(2cos 2)3223θθ=-+ 21sin(2)363πθ=-+， 因为2[0,]3πθ∈，72[,]666πππθ-∈-. 所以，当262ππθ-=，即3πθ=时，xy 的最大值为1. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性质，属于中档题．23．（1）212；（2）23． 【分析】（1）直接利用三角运算结合向量模的运算法则计算得到答案.（2）根据向量平行得到1tan 2θ=，再化简利用齐次式计算得到答案. 【详解】（1）43θπ=，所以4433cos ,2sin ,332a ππ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎝⎭⎝， 所以2322a ⎛⎫== ⎪； （2）//ab ，则3cos 32sin 0θθ-+⨯=，所以1tan 2θ=， 故22cos 1cos 122sin cos tan 134θθπθθθθ-===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了向量模的运算，向量平行的应用，三角恒等变换，齐次式求值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.24．（1）0；（2）-【分析】（1）由BCD △为等边三角形得出2BC AD =，由向量的加法和减法运算得出13,22AE AB AD BD AD AB =+=-，再由向量的数量积公式得出AE BD⋅的值； （2）设AD a =，则3,2,AB BC BD a AC ====，由数量积公式得出AC BD ⋅，进而得出AC 与BD 夹角的余弦值．【详解】解：（1）因为//AD BC ，,,23BAD BDA BC BD ππ∠=∠== 所以BCD △为等边三角形，23BC AB AD == 又E 为DC 的中点所以1113()(),2222AE AC AD AB BC AD AB AD BD AD AB =+=++=+=- 则221313()02222AE BD AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅+=⎪⎝⎭ （2）设AD a =，则3,2,7AB a BC BD a AC a ====222(2)()2AC BD AB AD AD AB AB AD AB AD a ⋅=+⋅-=--⋅+=-设AC 与BD 的夹角为θ，则2cos 142AC BDAC BD θ⋅===-． 【点睛】本题主要考查了利用定义求向量的数量积以及夹角，属于中档题.25．（1）3-2）6π 【分析】（13sin =-x x ，进而可得结果.（2）由平面向量的数量积可得3cos -x x ，进而可得结果.【详解】（1）由//m n 3sin tan =-⇒=x x x（2）13cos 3sin cos 132π⋅=-=⋅⋅=⨯m n x x m n 可得1sin()32x π-=-，因为2[0,],[,]333ππππ∈-∈-x x 所以366πππ-=-⇒=x x【点睛】 本题考查了平面向量共线的坐标表示、平面向量数量积运算的坐标表示和三角恒等变换，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.26．（1）2k =-；（2）2k ≠-．【分析】（1）根据向量垂直，其数量积等于0，利用向量数量积公式得到对应的等量关系式，求得结果；（2）平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，其等价结果为向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，根据坐标关系得到结果.【详解】（1）若()a a b ⊥+，则有()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，又因为(1,2)a =-，(1,)b k =，所以222[(1)2](1)120a a b k +⋅=-++-⋅+=，即5120k -+=，解得2k =-；（2）对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+， 所以向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，所以121k -⋅≠⋅，即2k ≠-，k≠-.所以实数k的取值范围是2【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，平面向量基本定理，一组向量可以作为基底的条件，属于基础题目.。

以下是为⼤家整理的关于《⼈教版⾼⼆必修四数学第⼆章平⾯向量试题》的⽂章，供⼤家学习参考！第四部分练习与试卷2.1 平⾯向量的概念及其线性运算（练习）【练习⽬标】1、理解平⾯向量和向量相等的含义，理解向量的⼏何表⽰；2、掌握向量加、减法的运算，并理解其⼏何意义；3、掌握向量数乘的运算，并理解其⼏何意义，以及两个向量共线的含义；4、了解向量线性运算的性质及其⼏何意义。

【⾃我测试】1、下列命题中（1）与⽅向相同（2）与⽅向相反（3）与有相等的模（4）若与垂直其中真命题的个数是 ( )A、0B、1C、2D、32、已知AD、BE是 ABC的边BC、AC上的中线，且，，则为 ( )A、 B、 C、 D、3、O是平⾯上⼀定点，A、B、C是平⾯上不共线的三个点，动点P满⾜，则P的轨迹⼀定经过 ABC的( )A、外⼼B、内⼼C、垂⼼D、重⼼4、若⾮零向量、满⾜| + |=| — |，则与所成⾓的⼤⼩为_________________。

5、已知点M是 ABC的重⼼，若，求的值。

6、 ABC的外接圆的圆⼼为O，两条边上的⾼的交点为H，，求实数的值。

2.2 平⾯向量的坐标运算【练习⽬标】1、知识与技能：了解平⾯向量的基本定理及其意义、掌握平⾯向量的正交分解及其坐标表⽰；理解⽤坐标表⽰的平⾯向量共线的条件。

2、能⼒⽬标：会⽤坐标表⽰平⾯向量的加、减与数乘运算；3、情感⽬标：通过对平⾯向量的基本定理来理解坐标，实现从图形到坐标的转换过程，锻炼学⽣的转化能⼒。

【⾃我测试】1、下列命题正确的是（）A、 B、C、 D、2、已知正⽅形ABCD的边长为1，，则 = （）A、0B、3C、D、3、已知，则共线的条件是（）A、 B、 C、 D、或4、如图，在中D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则（）A、 B、 C、 D、5、若，则实数p、q的值为（）A、 B、 C、 D、6、已知A、B、C是坐标平⾯上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1），则是（）A、等腰三⾓形B、等腰直⾓三⾓形C、直⾓三⾓形D、以上都不对2.3 平⾯向量的数量积及其运算【学习⽬标】1．知识与技能：（1）理解向量数量积的定义与性质；（2）理解⼀个向量在另⼀个向量上的投影的定义；（3）掌握向量数量积的运算律；（4）理解两个向量的夹⾓定义；【⾃我测试】1、已知，，和的夹⾓为，则为（）A． B． C． D．2、已知向量，，若，则（）A． B． C． D．3、在△ABC中，a,b,c分别为三个内⾓A,B,C所对的边，设向量，若 ,则⾓A的⼤⼩为（）A. B. C. D.4、设是任意的⾮零平⾯向量，且它们相互不共线，下列命题：①②③不与垂直④其中正确的是（）A.①②B.②③C.③④D.②④5、若向量与的夹⾓为，，则向量的模为（）A. B. C. D.6、为锐⾓三⾓形的充要条件是（）A． B．C． D．7、设是两个⾮零向量，是在的⽅向上的投影，⽽是在的⽅向上的投影，若与的夹⾓为钝⾓，则（）A． B． C． D．8、在中，若且，则的形状是（）A．等边三⾓形 B．直⾓三⾓形 C．等腰⾮等边三⾓形 D．三边均不相等的三⾓形9、若，则与的夹⾓为； = ．10、已知， ,如果与的夹⾓为锐⾓,则的取值范围是11、 = 时，与垂直12、设向量其中，则的值是．13、已知向量与的夹⾓为，，则 = ．14、已知，⑴求与的夹⾓；⑵求；⑶若，，求的⾯积．15、已知向量且．⑴求及；⑵若的最⼩值是，求的值．2.4平⾯向量的应⽤【学习⽬标】1.经历⽤向量⽅法解决某些简单的平⾯⼏何问题、⼒学问题与其他⼀些实际问题的过程，体会向量是⼀种处理⼏何问题、物理问题等的⼯具，发展运算能⼒2.运⽤向量的有关知识对物理中的问题进⾏相关分析和计算，并在这个过程中培养学⽣探究问题和解决问题的能⼒1．在△ABC中，AB=a，AC=b，当a•b ＜0时，△ABC为（）Ａ．直⾓三⾓形Ｂ．锐⾓三⾓形Ｃ．钝⾓三⾓形Ｄ．等腰三⾓形2．若向量a、b、c满⾜a +b+c=0，|a|=3，|b|=1，|c|=4，则a b+b c+c a等于（）Ａ． 11 Ｂ． 12 Ｃ． 13 Ｄ． 143．已知点，则∠BAC 的余弦值为．4．已知，且a 与b的夹⾓为钝⾓，则x的取值范围是．5．的顶点为，重⼼．求：（1）边上的中线长；（2）边上的⾼的长．6．已知O为△ABC所在平⾯内的⼀点，且满⾜，试判断△ABC的形状．7．已知，设C是直线OP上的⼀点，其中O为坐标原点．（1）求使取得最⼩值时向量的坐标；（2）当点C满⾜（1）时，求cos∠ACB．8、已知O为△ABC所在平⾯内的⼀点，且满⾜，试判断△ABC的形状．9、已知，设C是直线OP上的⼀点，其中O为坐标原点．（1）求使取得最⼩值时向量的坐标；（2）当点C满⾜（1）时，求cos∠ACB．平⾯向量测试卷命题⼈：蓝承⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题4分，共32分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1、设向量，，则下列结论中正确的是（）A、 B、C、与垂直D、∥2、在平⾏四边形ABCD中，AC为⼀条对⾓线，若， ,则（）A．（3，5） B．（2，4） C、（－2，－4） D．（－3，－5）3、义平⾯向量之间的⼀种运算“ ”如下，对任意的，，令，下⾯说法错误的是（）A.若与共线，则B.C.对任意的，有D.4、已知向量a,b满⾜a•b＝0，|a|=1，|b|=2，则|2a－b|＝（）A、8B、4C、2D、05、在中，，．若点满⾜，则（）A． B． C． D．6、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（）A、8B、4C、 2D、17、中，点在上，平⽅．若，，，，则（）A、 B、 C、 D 、8、已知和点满⾜ .若存在实数使得成⽴，则 =（）A． 2 B. 3 C. 4 D. 5⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．9、如图，在中，，，则 = 。

一、选择题1．已知ABC 中，2AB AC ==，120CAB ∠=，若P 是其内一点，则AP AB ⋅的取值范围是（ ） A ．(4,2)--B ．(2,0)-C ．(2,4)-D ．(0,2)2．已知向量()2,3a =，()4,2b =，那么向量a b -与a 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．夹角是锐角D ．夹角是钝角3．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．34．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ） A 2B ．1C ．2D ．225．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +6．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b 方向上的投影是25，则实数m =（ ） A ．2± B ．2C ．5D 57．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ） A ．18-B ．116-C ．316-D ．08．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ） A ．20B ．4，42C ．16，0D ．4，09．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =，2BC =，0GA GB GC ++=，则AB CG=（ ）A ．3B ．5C ．2D ．10 10．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ） A ．1 B ．12C ．13 D ．2311．在ABC 中，2BAC π∠=，2AB AC ==，P 为ABC 所在平面上任意一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为（ ）A ．1B ．12-C ．－1D ．-212．在ABC 中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和20FD FA +=，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15二、填空题13．如图，已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为_______．14．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则GB GC ⋅=__________．15．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.16．在梯形ABCD 中，//AB CD ，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=︒，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=，14DQ DC λ=，则AP BQ ⋅的最大值为______.17．如图，边长为2的菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在线段BD 上运动，若1AB AO ⋅=，则AP PD ⋅的最大值为______.18．已知平面非零向量,,a b c 两两所成的角相等，1a b c ===，则a b c ++的值为_____．19．已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t的值为_____________.20．如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，2AB =，6BC =，1AD =，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的取值范围为_________．三、解答题21．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin m B C A B n B C A =++=-，且m n ⊥.（1）求角C 的大小；（2）若c =2a b +的取值范围.22．已知平面向量34,55a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2||2b =，a 与b 夹角为4π. （1）求向量a 在b 方向上的投影； （2）求a b -与a b +夹角的余弦值.23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，若122F F =，椭圆的离心率为12e =． （1）求椭圆的标准方程．（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA⋅的取值范围． 24．（1）已知非零向量1e 、2e 不共线，欲使12ke e +和12e ke +共线，试确定实数k 的值.（2）已知向量1a =，2b =，()()23a b a b +⊥-，求a 与b 夹角的大小.25．已知向量()cos ,sin m x x =-，()3,3n =，[]0,x π∈.（1）若m 与n 共线，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 26．已知单位向量1e ，2e ，的夹角为23π，向量12a e e λ=-，向量1223b e e =+. （1）若//a b ，求λ的值； （2）若a b ⊥，求||a .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】以A 为坐标原点，以过点A 垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求出()1B -，)1C-，设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以x 10y -<<，计算3AP AB y ⋅=--得最值，即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0A ，因为120CAB ∠=，所以30ABC ACB ∠=∠=， 可得2cos303= ，2sin301，所以()3,1B -- ，()3,1C-,设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以33,10x y <<-<<，()(),3,13AP AB x y x y ⋅=⋅--=--，当3x =1y =-时AP AB ⋅最大为((()3314-⨯--=， 当3,1x y ==-时AP AB ⋅最小为(()3312--=-，所以AP AB ⋅的取值范围是(2,4)-， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是建立直角坐标系，将数量积利用坐标表示，根据点(),P x y 是其内一点，可求出,x y 的范围，可求最值. 2．D解析：D 【分析】首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角. 【详解】因为()2,3a =，()4,2b =，222()23(2432)131410a b a a a b -⋅=-⋅=+-⨯+⨯=-=-<，所以向量a b -与a 的位置关系是夹角为钝角， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目.3．A解析：A 【解析】因为2299AP m AB BC⎛⎫=++⎪⎝⎭29mAB AC=+，设BP tBN=，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t=，故811199m t=-=-=，应选答案A．4．B解析：B 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21 P OPE PF=⋅-，求得OP的最大值，由此可求得PE PF⋅的最大值.【详解】如下图所示：由题可知正方形ABCD的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O，()()()()2221 PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P为ABCD的顶点时，2OP取得最大值2，所以PE PF⋅的最大值为1.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题. 5．D解析：D【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果.【详解】在ABC∆中，M是BC的中点，又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.6．A解析：A 【分析】根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合||cos a θ=，列出等式，即可解出答案. 【详解】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==，22(0,)a a b b m =+-=，所以20,,22m m a a b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，若向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )152m b a m a b θ=+⋅=⋅=， 所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是||||cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos ||||a ba b θ⋅=⋅（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是||a bb ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;（4）求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）. 7．C解析：C 【分析】建立平面直角坐标系，()0,P t ，2t ≤，则 223(2416⋅=-=--AP CP t t ，进而可求最小值. 【详解】以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，1(,0)2A ，1(,0)2B -，C ，设()0,P t ，其中t ≤1(,)2AP t =-，(0,)2CP t ==，223(2416⋅=-=--AP CP t t ，当4t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为316-． 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.8．D解析：D 【分析】利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值． 【详解】解：向量()a cos sin θθ=，，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ2sinθ+1），所以|2|a b -2＝（2cosθ2+（2sinθ+1）2＝8﹣cosθ+4sinθ＝8﹣8sin （3πθ-），所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0； 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．9．B解析：B 【解析】取BC 的中点E ，则2AB AC AE +=与向量AD 共线，所以A 、D 、E 三点共线，即ABC ∆中BC 边上的中线与高线重合，则10AB AC ==因为0GA GB GC ++=，所以G 为ABC ∆的重心，则2222() 2.32BC GA GE AC ==-=所以2101,12AB CE CG CG===∴== 本题选择B 选项.10．D解析：D 【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】 在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=， 又由3BC =，所以13BD BC =, 由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+, 又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力.11．C解析：C 【分析】以,AB AC 为,x y 建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值． 【详解】如图，以,AB AC 为,x y 建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2)A B C ，设(,)P x y ，(,)PA x y =--，(2,)PB x y =--，(,2)PC x y =--，(22,22)PB PC x y +=--，∴()22(22)(22)2222PA PB PC x x y y x x y y⋅+=----=-+-22112()2()122x y =-+--，∴当11,22x y ==时，()PA PB PC ⋅+取得最小值1-．故选：C ．【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示．12．C解析：C 【分析】首先过D 做//DG CE ，交AB 于G ，根据向量加法的几何意义得到D 为BC 的中点，从而得到G 为BE 的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案. 【详解】如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G .因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点. 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点， 因为20FD FA +=，所以:1:2AF FD =.因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =. 又因为EG BG =，所以14AE EB =， 故14AE EB =. 故选：C【点睛】本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.二、填空题13．1【分析】如图建系设P 点坐标则可得的坐标根据题意可得的表达式代入所求根据的范围利用三角函数求最值即可得答案【详解】取BC 中点O 以O 为原点OCOA 方向为x 轴y 轴正方向建系如图所示由题意得：所以如图以B 解析：1【分析】如图建系，设P 点坐标(cos ,sin )θθ，则可得,,AP AB AC 的坐标，根据题意，可得,λμ的表达式，代入所求，根据θ的范围，利用三角函数求最值，即可得答案.【详解】取BC 中点O ，以O 为原点，OC ，OA 方向为x 轴y 轴正方向建系，如图所示由题意得：2sin 603OA =︒=3),(1,0),(1,0)A B C -，如图以BC 为直径的半圆方程为：221(0)x y y +=≤，设(cos ,sin )P θθ，因为sin 0θ≤，所以[,2]θππ∈， 则(cos ,sin 3)AP θθ=-，(1,3),(1,3)AB AC =--=-， 因为AP AB AC λμ=+，所以cos sin 333θλμθλμ=-+⎧⎪⎨=--⎪⎩， 整理可得113cos 226131cos 22μθθλθθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以131113322(cos )cos sin()26222626πλμθθθθθ+=--++-=-+，因为[,2]θππ∈，所以713[,]666πππθ+∈， 当1366ππθ+=时，sin()6πθ+取最大值12， 所以2λμ+的最小值为31122-=， 故答案为：1【点睛】解题的关键是在适当位置建系，进而可得点的坐标及向量坐标，利用向量的坐标运算，即可求得2λμ+的表达式，再利用三角函数图像与性质求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.14．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求 解析：209-【解析】分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果. 详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()23,0C ， 由中心坐标公式可得：0023200,3G ⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭，即223,33G ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 据此有：223,33GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，423,33GC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：2422203333339GB GC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯+-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 15．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析：494【分析】 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】 解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅， 可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形，由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-，解得||2DA =，ABC∆的边长为4cos30︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，可得B(3,3),C(3,D(2,0)-，由||1AP=，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M 为PC中点，即有3cos (2M θ+， 则2223cos ||3=+2BM θ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝ 22(3cos )sin )376cos 444θθθθ--+=+= 3712sin 64πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=， 当sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494． 故答案为：494．【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．16．【分析】由题可知据平面向量的混合运算法则可化简得到；设函数由对勾函数的性质推出在上的单调性求出最大值即可得解【详解】根据题意作出如下所示图形：∵∴又P 和Q 分别在线段和上∴解得设函数由对勾函数的性质可 解析：54 【分析】 由题可知114CQ DC λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，据平面向量的混合运算法则可化简得到117524AP BQ λλ⋅=+-；设函数()117524f λλλ=+-，1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由对勾函数的性质推出()f λ在1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调性，求出最大值即可得解. 【详解】根据题意，作出如下所示图形：∵BP BC λ=，14DQ DC λ=，∴114CQ DQ DC DC λ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 又P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，∴011014λλ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，解得1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ()()()114AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC DC λλ⎡⎤⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 2111144AB BC AB DC BC BC DC λλλλ⎛⎫⎛⎫=⋅+-⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111722cos120121cos 04121cos12054424λλλλλλ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯︒+-⨯⨯⨯︒+⨯+-⨯⨯⨯︒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设函数()117524f λλλ=+-，1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由对勾函数的性质可知，()f λ在1,410⎡⎢⎣⎭上单调递减，在,110⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增， ∵114f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()514f =， ∴()()max 514f f λ==，即AP BQ ⋅的最大值为54. 故答案为：54. 【点睛】本题考查平面向量的应用，考查数量积的定义，考查函数的单调性与最值，属于中档题． 17．【分析】以为原点和分别为和轴建立的平面直角坐标系求得设得到即可求解【详解】以为原点和分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系设则因为可得联立方程组解答所以设则当时取得最大值最大值为故答案为：【点睛】本 解析：34【分析】以O 为原点，OC 和OD 分别为x 和y 轴建立的平面直角坐标系，求得(1,0),A D -，设(0,),[P t t ∈，得到23(24AP PD t ⋅=--+，即可求解.【详解】 以O 为原点，OC 和OD 分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(,0),(0,),0,0A a B b a b -->>，则224a b +=，因为1AB AO ⋅=，可得2(,)(,0)1a b a a -⋅==，联立方程组，解答1,a b ==(1,0),A D -，设(0,),[P t t ∈，则2233(1,))(44AP PD t t t t ⋅=⋅=-+=--+≤，当t =AP PD ⋅取得最大值，最大值为34. 故答案为：34.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，此类问题通常采取建立直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解，着重考查转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题. 18．3或0【分析】由于三个平面向量两两夹角相等可得任意两向量的夹角是或由于三个向量的模已知当两两夹角为时直接算出结果；当两两夹角为时采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模【详解】由题意三个平面向量两两 解析：3或0【分析】由于三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是0或120︒，由于三个向量的模已知，当,,a b c →→→两两夹角为0时，直接算出结果；当,,a b c →→→两两夹角为120︒时，采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模．【详解】由题意三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是0或120︒，当,,a b c →→→两两夹角为0时，,,a b c →→→方向相同，则3a b c →→→++=；当,,a b c →→→两两夹角为120︒时，由于1a b c ===，则2222222a b c a b c a b a c b c →→→→→→→→→++=+++⋅+⋅+⋅111211cos120211cos120211cos1200=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=，则20a b c →→→++=，∴0a b c →→→++=.综上a b c →→→++的值为3或0.故答案为：3或0.【点睛】本题考查平面向量的模的求法，涉及向量的夹角和向量的数量积运算，解题的关键是理解向量夹角的定义，考查运算能力.19．【分析】利用向量的数量积公式向量垂直的性质直接直解【详解】非零向量满足=⊥解得故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式向量垂直的性质等基础知识考查运算能力属于中档题解析：4-【分析】利用向量的数量积公式、向量垂直的性质直接直解．【详解】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭, n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭ 223||||034t n n →→=⨯+=, 解得4t =-，故答案为：4-【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，属于中档题.20．【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系利用向量的坐标表示再求取值范围【详解】如图建立平面直角坐标系当时取得最小值当时取得最大值所以的取值范围为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解 解析：11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先以点B 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示DM DN ⋅，再求取值范围.【详解】如图，建立平面直角坐标系，(A ，(D ，(),0M x ，()1,0N x +， (2,DM x =-，(1,DN x =-，[]0,5x ∈， ()()212335DM DN x x x x ⋅=--+=-+231124x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当32x =时，取得最小值114，当5x =时，取得最大值15， 所以DM DN ⋅的取值范围为11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】 关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解决数量积的范围问题.三、解答题21．（1）2C 3π=；（2）(323，. 【分析】（1）根据向量m n ⊥得到22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=，再由正弦定理将边化为角的表达式，结合余弦定理求得角C 的值．（2）利用正弦定理求的△ABC 的外接圆半径，将2a b +表示成A 与B 的三角函数式，利用辅助角公式化为角A 的函数表达式；再由角A 的取值范围求得2a b +的范围．【详解】（1）∵m n ⊥∴0m n ⋅=∴22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=∴222c a b ab =++ ∴1cos 2C =-又()0,C π∈ . ∴23C π= . （2）∵23C π=，3c = ∴△ABC 外接圆直径2R=2∴24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭4sin 3sin A A A =+-3sin 3A A =36A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴1sin ,162A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2a b +的取值范围是. 【点睛】 本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理、余弦定理的综合应用，辅助角公式化简三角函数表达式，知识点多，较为综合，属于中档题．22．(1). 【解析】试题分析：(1)由向量数量积的几何意义可求向量a 在b 方向上的投影;(2)由向量夹角公式可求a -b 与a +b 的夹角的余弦值试题(1)|a |=|(34,55)|=1 ∴向量a 在b 方向上的投影为a cosθ=a ?bb =2(2)cos<a -b ,a +b >=()()a b a b a b a b-+-+ |a -b |2=|a |2+|b |2-2ab =12,|a b -|=22. |a b +|2=|a |2+|b |2+2ab =52,|a b + (a b -)(a b +)=a 2-b 2=12cos<,a b a b -+>=()()a b a b a b a b-+-+=5. 23．（1）22143x y +=；（2）[0,12]. 【分析】（1）由椭圆的离心率及焦距，可得1,2c a ==，b =（2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，再将向量的数量积转化为坐标运算，研究函数的最值，即可得答案；【详解】解：（1）由题意，∵122F F =，椭圆的离心率为12e =， ∴1,2c a ==， ∴b =∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，∴()()22200001001232PF P x x y x A x y ⋅----+=+++=， ∵P 点在椭圆上，∴2200143x y +=，2200334y x =-， ∴21001354PF PA x x ⋅=++， 由椭圆方程得022x -≤≤，二次函数开口向上，对称轴062x =-<-，当02x =-时，取最小值0，当02x =时，取最大值12．∴1PF PA ⋅的取值范围是[0,12]． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、向量数量积的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题转化为二次函数的最值问题. 24．（1）1k =±；（2）3π. 【分析】（1）本题首先可以根据12ke e +和12e ke +共线得出()1212ke e e ke λ+=+，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据()()23a b a b +⊥-得出()()230a b a b +⋅-=，然后根据1a =以及2b =求出1cos 2θ=，最后根据[]0,θπ∈即可得出结果. 【详解】（1）因为12ke e +和12e ke +共线，非零向量1e 、2e 不共线，所以存在唯一实数λ使()1212ke e e ke λ+=+，即1212ke e e ke λλ+=+，则1k kλλ=⎧⎨=⎩，即21k =，1k =±， 故当1k =±时，12ke e +和12e ke +共线.（2）因为()()23a b a b +⊥-，所以()()22233520a b a b a a b b +⋅-=+⋅-=，令a 与b 夹角为θ， 因为1a =，2b =，所以2235231512cos 240a a b b θ+⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=，解得1cos 2θ=， 因为[]0,θπ∈，所以a 与b 的夹角3πθ=. 【点睛】 本题考查向量共线以及向量垂直的相关性质，若非零向量a 、b 共线，则存在唯一实数λ使λa b ，若非零向量a 、b 垂直，则0a b ⋅=，考查计算能力，是中档题.25．（1）3-2）6π 【分析】（13sin =-x x ，进而可得结果.（2）由平面向量的数量积可得3cos -x x ，进而可得结果.【详解】（1）由//m n 3sin tan 3=-⇒=-x x x（2）13cos 3sin cos 132π⋅=-=⋅⋅=⨯m n x x m n 可得1sin()32x π-=-，因为2[0,],[,]333ππππ∈-∈-x x 所以366πππ-=-⇒=x x【点睛】 本题考查了平面向量共线的坐标表示、平面向量数量积运算的坐标表示和三角恒等变换，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.26．（1）23-；（2 【分析】（1）由//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，建立方程组可得答案；（2）由已知求得12e e ⋅，再由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，可解得λ，再利用向量的模的计算方法可求得答案.【详解】（1）因为//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，即()121223e e t e e λ+=-，所以23t tλ=⎧⎨=-⎩，解得23λ=-； （2）由已知得122111cos 32e e π⋅=⨯⨯=-，由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，即()12+32302λλ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得4λ=， 所以124a e e =-，所以22121212||416821a e e e e e e =-=+-⋅=||21a =． 【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题.。

必修4 第二章 向量(一)一、选择题:1.下列各量中不是向量的是 （ ）A ．浮力B ．风速C ．位移D ．密度2．下列命题正确的是（ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a 、b 都是单位向量,则a =bC ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 44．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ）A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等D ．与相等6．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于( ) A ．3 B ．－3 C ．0 D ．2 7. 设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为 ( ) A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 8. 已知a 3=，b 23=,a ⋅b =-3，则a 与b 的夹角是( )A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒9.下列命题中，不正确的是( )A ．a =2aB ．λ(a ⋅b )=a ⋅(λb )C ．（a -b ）c =a ⋅c -b ⋅cD ．a 与b 共线⇔a ⋅b =a b10．下列命题正确的个数是( ) ①=+0 ②0=⋅0③=-④（a ⋅b ）c =a （b ⋅c ）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知P 1（2，3），P 2（-1，4），且12P P 2PP =，点P 在线段P 1P 2的延长线上，则P 点的坐标为( )A ．（34，-35） B ．（-34，35） C ．（4，-5）D ．（-4，5） 12．已知a 3=，b 4=，且（a +k b ）⊥（a -k b ），则k 等于( )A ．34±B ．43±C ．53±D ．54±二、填空题13．已知点A(－1,5)和向量a ={2,3},若AB =3a ,则点B 的坐标为 . 14．若3=OA 1e ，3=OB 2e ，且P 、Q 是AB 的两个三等分点，则=OP ，=OQ . 15．若向量a =（2，-x ）与b =（x, -8）共线且方向相反，则x= . 16．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120O ,而a 在e 方向上的投影为－2，则a = .三、解答题17．已知菱形ABCD 的边长为2,求向量AB －CB +CD 的模的长.18．设OA 、OB 不共线,P 点在AB 上.求证: OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R ．19．已知向量,,32,32212121e e e e e e 与其中+=-=不共线向量,9221e e -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线20．i、j是两个不共线的向量,已知AB=3i+2j，CB=i+λj, CD=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值.必修4 第二章 向量(一)必修4第三章向量(一)参考答案 一、选择题1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6. A 7. D 8．C 9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题 13．3 14．12e 2e +122e e + 15．4- 16．4三、解答题17．解析: ∵AB -CB +CD =AB +(CD -CB )=AB +BD =AD又|AD |=2 ∴|AB -CB +CD |=|AD |=218．证明: ∵P 点在AB 上,∴AP 与AB 共线.∴AP =t AB (t ∈R )∴OP =OA +AP =OA +t AB =OA +t (OB -OA )=OA (1-t )+ OB令λ=1-t ,μ=t ∴λ+μ=1∴OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R19．解析：222,2,,.2339,k R k λμλμλμλμλμ+=⎧=-∈=-⎨-+=-⎩解之故存在只要即可.20．解析: ∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j∵A 、B 、D 三点共线,∴向量AB 与BD 共线,因此存在实数μ,使得AB =μBD , 即3i +2j =μ［-3i +(1-λ)j ］=-3μi +μ(1-λ)j ∵i 与j 是两不共线向量,由基本定理得:⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=-=-312)1(33λμλμμ 故当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.第二章平面向量（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．2．【2017届北京房山高三上期末】已知向量31,2BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（ ） A.π6 B. π4 C. π3 D. 2π3【答案】C3.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=,故选：C. 4．已知向量，若，则实数m 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或【答案】C 【解析】∵向量，且∴， ∴.选C.5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e 【答案】C6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（ ） A. 4 B. 4- C. 2 D. 2- 【答案】A 【解析】()1,2A --, ()()0,1,5B C a -，三点共线ABACλ∴→=→即()()1162a λ=+，，()16{ 12a λλ==+ 16λ∴=, 4a = 故答案选A .7．【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（ ）A. 2B. 23C. 7D. 4 【答案】C8．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C ．9.【2018届福建省福安市一中上学期高三期中】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3- 【答案】D 【解析】()23,3a b -=，因为（2a b -）与c 互相垂直，则()233303a b c k k -⋅=+=⇒=-，选D.10.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A.322 B. 2 C. 322- D. 3152- 【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,252AB CD AB AB CD AB AB CD⋅=⋅== 故选B.11．【2018届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考】在矩形ABCD 中， 3AB =， 3BC =，2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（ ）A. 0B. 833C. 4-D. 4 【答案】C【解析】12．【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为 （ ） A. 3- B. 6- C. 2- D. 83- 【答案】B【解析】如图建立坐标系， (()()0,23,2,0,2,0A B C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--，()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y ∴⋅+=-⋅--=+-()222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦， ∴最小值为6-，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________． 【答案】12-【解析】由题意得()11:2:12λλ=-∴=-. 14.【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】已知单位向量a ， b 满足()1•232a a b -=，则向量a 与b 的夹角为__________． 【答案】60°（或3π） 【解析】因为()1232a a b ⋅-=，化简得： 2123232a a b a b -⋅=-⋅=，即12a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b⋅==⋅，又0,a b π≤≤，所以,3a b π=，故填3π. 15．【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点 O ，E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______【答案】2133a b +【解析】∵AC a =， BD b =，∴11112222AD AC BD a b =+=+. ∵E 是OD 的中点，∴＝，∴DF ＝AB .∴111111332266DF AB AC BD a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， ∴111121226633AF AD DF a b a b a b =+=++-=+. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________． 【答案】 1 []1,2【解析】如图，以D 为坐标原点，以DC ， DA 分别为x ， y 轴，建立平面直角坐标系， ()0,0D ， ()0,1DE x ， ()1,1B ， ()0,1CB ，()1,0C ， ()1,1DB ， ()0,1E x ， []00,1x ∈，∴1DE CB ⋅=， 01DE DB x ⋅=+，∵001x ≤≤，0112x ≤+≤，∴DE DB ⋅的取值范围为[]1,2，故答案为1， []1,2.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +） （1）求证： AB BC ⊥；【答案】(1)见解析(2) 12-或1 【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出AB BC ，算出AB BC ⋅（2）由向量的平行进行坐标运算即可. 试题解析：(1)依题意得， ()()2,3,3,2AB BC =-= 所以()23320AB BC ⋅=⨯+-⨯= 所以AB BC ⊥.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-． （1）求a b +与a b -的夹角； （2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值． 【答案】（1）34π；（2）1-． 【解析】（1）因为()1,2a =，()3,4b =-，所以()2,6a b +=-，()4,2a b -=- 所以2,64,22cos ,240204020a b a b -⋅-+-===-⨯⨯，由[],0,a b a b π+-∈，则3,4a b a b π+-=； （2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，又()13,24a b λλλ+=-+，所以13480λλ-++=，解λ=-.得：119．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求；（2）求与的夹角.【答案】(1) ;(2) 与的夹角为.【解析】试题分析：（1）向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开=0.∵是夹角为的两个单位向量，∴，(1)(2) ,,∴，∴与的夹角为.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.【答案】(1)；(2)，，.【解析】试题分析：（1）根据平面向量共线定理得到，由系数和等于1，得到即。

一、选择题1．已知点G 是ABC 的重心，(),AG AB AC R λμλμ=+∈，若120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-则AG 的最小值是（ ）ABC ．12D ．232．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（ ）AB．C ．10D ．203．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－14．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A ．1B ．25C ．5D ．35．已知非零向量a →，b →夹角为45︒，且2a =，2a b -=,则b →等于（）A ．B．2 CD6．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6B ．4C ．3D ．27．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CD ⋅=- B ．1233BD BC BA =+ C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为768．在ABC 中，4A π=，3B π=，2BC =，AC 的垂直平分线交AB 于D ，则AC CD ⋅=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．39．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b +B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +10．已知向量(6,4),(3,),(2,3)a b k c =-==-，若//a b ，则b 与c 的夹角的余弦值为（ ） A ．1213B ．1213-C ．45-D ．4511．已知ABC ∆为等边三角形，则cos ,AB BC =( ) A ．3-B ．12-C ．12D ．3 12．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 是AB 边上的中点，点F 是BC 边上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）A ．0,3⎡⎤⎣⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣ C ．3,3⎡⎤⎣⎦D ．[]0,3二、填空题13．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是以CD 为直径的半圆弧上一点，则AD AE ⋅的最大值为______．14．在梯形ABCD 中，//AB CD ，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=︒，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=，14DQ DC λ=，则AP BQ ⋅的最大值为______.15．已知向量(2,1)a =，(,1)b x y =-，且a b ⊥，若x ，y 均为正数，则21x y+的最小值是__________. 16．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 17．向量a ，b ，c 在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量a b λ+与c 共线，则||a b λ-=________．18．已知向量()()2,3,1,2==-a b ，若ma b +与2a b -平行，则实数m 等于______. 19．如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，2AB =，6BC =，1AD =，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的取值范围为_________．20．已知平面向量a ，b 满足1a =，2a b -与2b a -的夹角为120°，则2b 的最大值是_______.三、解答题21．在ABC 中，3AB =，6AC =，23BAC π∠=，D 为边BC 的中点，M 为中线AD 的中点.（1）求中线AD 的长；（2）求BM 与AD 的夹角θ的余弦值.22．已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<. （1）求向量a b +与a b -所成的夹角； （2）若k a b +与a k b -的模相等，求2αβ-的值（k 为非零的常数）.23．设()2,0a →=，(3b →=.（1）若a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值；（2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =，m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值.24．如图，在正ABC ∆中，2AB =，P ，E 分别是BC 、CA 边上一点，并且3CA EA =，设BP tBC =，AP 与BE 相交于F ．（1）试用AB ，AC 表示AP ； （2）求·AP BE 的取值范围．25．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若35b =，且//a b ，求b 的坐标；（2）若2c =，且()()2a c a c +⊥-，求a 与c 的夹角θ的余弦值. 26．ABC 中，点()2,1A 、()1,3B 、()5,5C . （1）若D 为BC 中点，求直线AD 所在直线方程； （2）若D 在线段BC 上，且2ABDACDSS=，求AD .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先根据重心得到()13AG AB AC =+，设0,0AB x AC y =>=>，利用数量积计算4xy =，再利用重要不等式求解()2219A AGB AC =+的最小值，即得结果. 【详解】点G 是ABC 的重心，设D 为BC 边上的中点，则()2133AG AD AB AC ==+， 因为120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-设0,0AB x AC y =>=>，则cos1202xy ︒=-，即4xy =，故()()()222211144249999AG x y x B AC y A =+-≥-=+=，即23AG ≥，当且仅当2x y ==时等号成立，故AG 的最小值是23. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于通过重心求得向量关系()13AG AB AC =+，利用数量积得到定值，才能利用重要不等式求最值，突破难点，要注意取条件的成立.2．D解析：D 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=，再计算()OA OB OP +⋅的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称，∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=．故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．3．A解析：A 【分析】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置． 【详解】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移， 到点A 时Z 最大，而由x+y=11x ⎧⎨=⎩可得A （1，0）， 此时Z max ＝2． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

1.已知平面向量« = （2m+l,3）, b =（2,m）,且&和5共线，则实数m的值等于3 3A. 2 或一？B.-2 22、下列各式不锤化为巫的是（）C. -2 或|D.(A) MB + AD - BM(C) (AD + MB) + (5C + CM) (B) (AB + CD)+ BC (D) -OA + OC + CD3、在四边形ABCD中，AB = a + 2b^BC = -4a-b^CD = -5a-3b,^中云、方不共线，则四边形ABCD是（）（A）梯形（B）矩形（C）菱形（D）正方形4 .已知平面上三点A、B、C满足屈=3, BC =4, G4 =5,则為• 5C + BCCA +CA AB的值等于A. 25B. —20C.25D. —105.已知m = (-5,3), n = (-1,2), 与2"+加互相垂直,3 3 8A. 一B.--C. 一8 8 3 则实数2的值等于（）8D.--36.已知向量Q = (3,4),方=(sina,cosa),且a 〃方,贝0 tan a -3 3A. -B.——4 4 7.下列说法中正确的是（）.4C.—3D.A.若& 〃方，贝屹与5方向相同B-若口<10，则a<bC.起点不同，但方向相同且模相等的两个向量相等D.所有的单位向量都相等&关于向量&、方，下列命题正确的是（）•A. \a -b t> la I -16 I B a • (b • c) = (a • b) • c C. a-b - a + (-6)D a 〃方o存在唯一的2 e R,使〃 =Aa9.已知la 1=2,10 1=3,I Q—0I=V7,则Q与方的夹角()(A)30°(B)60°(D)90°(C)45°—-110..已知M (3, —2), N(—5, -1),且MP = — MN,则点P 的坐标为2(A) (—&1) (B) (D) (8,-1)1 1.若O为平彳丁四边形ABCD的中心，AB = 4^, BC = 6e,，则3e2-2^等于().(A) AO (B)而(C) CO (D) DO12、a = (2,1),^ = (3,4),则向量N在向量方方向上的投影为( )(A)2亦舗)2 (C)亦(D) 10二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分)1 3 .已知两个非零向量云,方满足\a+b\ = \a-b\,则向量云，方的夹角大小为________________=1 4 .下列命题中：⑴如果非零向量万与方的方向相同或相反，那么a+b的方向必与万、長之一的方向相同；⑵如果万、方均为非零向量，贝ij|a+& |与0 | + ” |一定相等；(3)兀=2时,向量& =(兀,1), b = (4,x)共线且方向相同;(4)万H 6,万•長=0 • 3,则方=0其中假命题是______________ .1 5.已知平行四边形ABCD的对角线交于°,且AD = (3,7),Afi = (-2,l),则亦的坐标为 ________1 6、若问=1,同=2丰+习=J7,贝临与5的夹角0的余弦值为____________________________三解答题：(本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17、设平面内有四个向量N、b. x.y,满足a = y-x, b=2x-y ,云丄方，同= |&| = 1. ( 1 )用习、b 表示元、y；( 2 )若丘与孑的夹角为&,求cos&的值.18.如图，已知I刃U面1=1,1况^4,刃与亦的夹角为120。

必修四第二章第二单元卷A(平面向量的数量积 平面向量应用举例)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m·n ＝( ) A ．12 B ．12 2 C ．－12 2D ．－122．在△ABC 中，若AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →－CA →·BC →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形3．在以OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝( ) A ．4 3 B ．3 3 C.32D ．4 4．在四边形ABCD 中，A (1,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，C (2,3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，2，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．105．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )，若(a ＋c )⊥b ，则(a ＋b )·c ＝( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．46．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22C.1±102D.－3±2227．若向量a ，b ，c 两两所成的角均为120°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a ＋b 与向量a ＋c 的夹角θ的余弦值为( )A ．0B ．－3217C ．－32114 D.321148．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心9．若a ，b 是非零向量，且a⊥b ，|a|≠|b|，则函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是( )A ．一次函数且是奇函数B ．一次函数但不是奇函数C ．二次函数且是偶函数D ．二次函数但不是偶函数10．定义两种运算：x ⊗y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ；x ⊕y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤y ，y ，x >y .设a ，b 为两个平面向量，则下列不等式一定成立的是( )A ．|a ＋b|⊕|a －b|≤|a|⊕|b|B ．|a ＋b|⊕|a －b|≥|a|⊕|b|C ．|a ＋b|2⊗|a －b|2≥|a|2＋|b|2D ．|a ＋b|2⊗|a －b|2≤|a|2＋|b|2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD →在AB →方向上的投影为________．12．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a|＝1，|2a －b|＝10，则|b|＝________. 13．设O 为坐标原点，A (1,0)，B (1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，若OC →＝－2OA →＋λOB →，则λ＝________.14．下列说法中，正确的是________(填序号)．①平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋b |＝7； ②已知a ，b是平面内两个非零向量，则平面内任一向量c 都可表示为c ＝λa ＋μb ，其中λ，μ∈R ；③已知a ＝(sin θ，1＋cos θ)，b ＝(1，1－cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则a⊥b . 三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)已知单位向量e 1，e 2的夹角为π3，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角．已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)． (1)当x ，y 为何值时，a 与b 共线？(2)是否存在实数x ，y ，使得a⊥b ，且|a|＝|b|？若存在，求出xy 的值；若不存在，请说明理由．17．(本小题满分10分)设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，且|3a －2b|＝7. (1)求a 与b 夹角的大小； (2)求a ＋b 与b 夹角的大小； (3)求|3a ＋b||3a －b|的值．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 与向量m 的夹角为π4？若存在，请求出实数t ；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分10分)在△ABC 中，满足：AB →⊥AC →，M 是BC 的中点．(1)若|AB →|＝|AC →|，求向量AB →＋2AC →与向量2AB →＋AC →的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上任意一点，且|AB →|＝|AC →|＝2，求OA →·OB →＋OC →·OA →的最小值．必修四第二章第二单元卷参考答案(平面向量的数量积、平面向量应用举例)一、选择题1．C 解析：m·n ＝|m|·|n|cos 〈m·n 〉＝4×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－12 2. 2．C 解析：本题考查向量的加减运算及向量垂直的应用．由AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →－CA →·BC →⇒AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)，即AB →·CB →＝BC →·BC →，∴AB →·BC →＋BC →·BC →＝0，∴BC →·(AB →＋BC →)＝0，即BC →·AC →＝0，即BC →⊥AC →，∴△ABC 是直角三角形，故选C.3．D 解析：本题主要考查向量的减法运算、向量垂直的条件．因为AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)，且OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0，即－3＋k －1＝0，解得k ＝4，故选D.4．C 解析：本题考查向量垂直的判断以及向量的模长的求解．因为AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，故AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 的面积为|AC →||BD →|2＝12＋22×－42＋222＝5，故选C.5．C 解析：本题考查平面向量的数量积运算．因为a ＋c ＝(3,3m )，(a ＋c )⊥b ，所以(a ＋c )·b ＝3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，故(1,1)a =-r ，1(,1)2b =r ，1(2,)2c =-r ，所以a r +3(,0)2b =r ， 31()(,0)(2,)322a b c +=-=r r r ，故选C.6．A 解析：BQ →·CP →＝(BA →＋AQ →)·(CA →＋AP →)＝[BA →＋(1－λ)AC →]·(CA →＋λAB →)＝－32，所以4λ2－4λ＋1＝0.所以λ＝12.故选A.7．C 解析：本题考查向量夹角的求解方法及向量的数量积运算．∵(a ＋b )·(a ＋c )＝a 2＋a·b ＋a·c ＋b·c ＝1＋1×2×cos 120°＋1×3×cos 120°＋2×3×cos 120°＝－92，|a ＋b|＝a ＋b2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝12＋2×1×2×cos 120°＋22＝3，|a ＋c|＝a 2＋2a·c ＋c 2＝12＋2×1×3×cos 120°＋32＝7，∴cos θ＝a ＋b ·a ＋c |a ＋b||a ＋c|＝－923×7＝－32114，故选C.8．C 解析：|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，即点O 到三顶点距离相等，点O 是外心； NA →＋NB →＋NC →＝0，∴NA →＋NB →＝－NC →，根据加法法则可知点N 为重心；PA →·PB →＝PB →·PC →⇒PB →(PA →－PC →)＝PB →·CA →＝0，∴PB →⊥CA →，∴点P 为垂心．9．A 解析：∵a⊥b ，∴a·b ＝0.∴f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝x 2·a·b ＋(|b|2－|a|2)x－a·b ＝(|b|2－|a|)2·x .又∵|b|≠|a|，∴f (x )为一次函数，且是奇函数，故选A.10．C 解析：本题考查平面向量运算的几何意义及阅读理解能力．由已知，x ⊗y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y y ，x <y＝max{x ，y }；x ⊕y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤y y ，x >y＝min{x ，y }，根据向量运算的几何意义，可知min{|a ＋b|，|a －b|}与min{|a|，|b|}的大小不能确定，故排除A ，B ；而2max{|a ＋b|2，|a －b|2}≥|a ＋b|2＋|a －b|2＝2(|a|2＋|b|2)，所以|a ＋b|2⊗|a －b|2≥|a|2＋|b|2，故选C.二、填空题11．3 5 解析：本题考查向量的投影以及向量的坐标运算．因为AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，所以AB →·CD →＝(2,1)·(5,5)＝15，|AB |＝22＋12＝ 5.所以向量CD →在AB →方向上的投影为|CD →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|＝155＝3 5.12．3 2 解析：∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a·b ＝|a|·|b|cos 45°＝22|b|， |2a －b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3 2.13．1 解析：本题考查向量的坐标运算以及向量模的概念及方程思想的应用．由已知得OA →＝(1,0)，OB →＝(1，3)，所以|OA →|＝1，且OC →＝－2OA →＋λOB →＝(λ－2，3λ)，于是|OC →|＝λ－22＋3λ2＝4λ2－4λ＋4，又因为OA →·OC →＝|OA →|·|OC →|cos 120°，所以λ－2＝4λ2－4λ＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，两边平方得λ2－4λ＋4＝λ2－λ＋1，解得λ＝1.14．①③ 解析：本题主要考查平面向量基本定理及数量积运算．对于①，|a ＋b|2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝4＋2×2×1×cos 60°＋1＝7⇒|a ＋b |＝7，①正确；对于②，根据平面向量基本定理，可知作为基底的两个向量一定要不共线才行，②错误；对于③，因为a ＝(sin θ，1＋cos θ)，b ＝(1，1－cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以a·b ＝sin θ＋1＋cos θ·1－cos θ＝sin θ＋1－cos 2θ＝sin θ＋sin 2θ＝sin θ－sin θ＝0，即a⊥b ，③正确．三、解答题15．解：设a ，b 的夹角为θ， ∵单位向量的夹角为π3，∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos π3＝12.∴a·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝e 1·e 2＋e 22－2e 21－2e 1·e 2＝e 22－2e 21－e 1·e 2＝1－2－12＝－32，|a|＝a 2＝e 1＋e 22＝e 21＋e 22＋2e 1·e 2＝1＋1＋1＝3，|b|＝b 2＝e 2－2e 12＝e 22－4e 1·e 2＋4e 21＝1－4×12＋4＝ 3.∴cos θ＝a·b |a||b|＝－323×3＝－12.∵θ∈[0，π]， ∴θ＝2π3.16．解：(1)∵a 与b 共线，∴存在实数λ，使得a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝2λ，x ＋y －2＝－2λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ∈R ，∴当x ＝13，y 为任意实数时，a 与b 共线．(2)由a⊥b ⇒a·b ＝0⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0⇒x －2y ＋3＝0.① 由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝73，∴xy ＝－1或xy ＝359.∴存在实数x ，y ，使得a⊥b ，且|a|＝|b|，此时xy ＝－1或xy ＝359.17．解：(1)设a 与b 的夹角为θ， (3a －2b )2＝9|a|2＋4|b|2－12a·b ＝7， 又|a|＝|b|＝1，∴a·b ＝12，∴|a||b|cos θ＝12，即cos θ＝12.又θ∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3.(2)设a ＋b 与b 的夹角为α， ∵(a ＋b )·b ＝b 2＋a·b ＝1＋12＝32，|a ＋b|＝a 2＋b 2＋2a·b ＝3，|b|＝1，∴cos α＝a ＋b ·b |a ＋b||b|＝323＝32，又α∈[0，π]，∴a ＋b 与b 的夹角为π6.(3)(3a ＋b )2＝9|a|2＋6a·b ＋|b|2＝9＋3＋1＝13， (3a －b )2＝9|a|2－6a·b ＋|b|2＝9－3＋1＝7，∴|3a ＋b||3a －b|＝137＝917.18．解：(1)当α＝π4时，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，a·b ＝322，∴|m|＝a ＋t b2＝5＋t 2＋2t a·b ＝t 2＋32t ＋5＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋3222＋12，∴当t ＝－322时，|m |取得最小值．(2)假设存在满足条件的实数t .由条件得cos π4＝a －b ·a ＋t b|a －b||a ＋t b |，∵a⊥b ，∴|a －b|＝a －b2＝6，|a ＋t b |＝a ＋t b2＝5＋t 2，(a －b )·(a＋t b )＝5－t ，∴5－t 6·5＋t2＝22， ∴t 2＋5t －5＝0，且t <5，得t ＝－5±352，∴存在t ＝－5±352满足条件．19．解：(1)设向量AB →＋2AC →与向量2AB →＋AC →的夹角为θ，|AB →|＝|AC →|＝a ， ∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0，∴(AB →＋2AC →)·(2AB →＋AC →)＝2AB →2＋5AB →·AC →＋2AC →2＝4a 2， |AB →＋2AC →|＝AB →＋2AC→2＝AB →2＋4AB →·AC →＋4AC →2＝5a ，同理可得|2AB →＋AC →|＝5a ，∴cos θ＝AB →＋2AC →·2AB →＋AC →|AB →＋2AC →||2AB →＋AC →|＝4a 25a 2＝45.(2)∵AB →⊥AC →，|AB →|＝|AC →|＝2， ∴|AM →|＝1.设|OA →|＝x (0≤x ≤1)，则|OM →|＝1－x ，而OB →＋OC →＝2OM →，∴OA →·OB →＋OC →·OA →＝OA →·(OB →＋OC →)＝2OA →·OM →＝2|OA →|·|OM →|·cos π＝－2x (1－x )＝2x 2－2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－12，当且仅当x ＝12时，OA →·OB →＋OC →·OA →取得最小值－12.。