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数据、模型与决策第八讲 层次分析法

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数学建模——层次分析法

数学建模——层次分析法

在大石头中的重量比）可用向量
且
n
w ( w1 , w2 ,..., wn
T 表示， )
. 显然， 的各个列向量与 w 1 A i
i 1
w
仅相差一个比例
因子。 一般地，如果一个正互反阵
A
满足 （8.2.4）
aij a jk aik , i, j, k 1, 2,..., n
则
3 计算权向量并做一致性检验
定理1
当
n 阶正互反阵 A的最大特征根 n，
时
当且仅
A为一致阵。 由于 连续的依赖于 aii ，则 比 n 大的越多， 的不 A
n
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因
素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引 起的判断误差越大。因而可以用
RI。方法为：
A1 , A2 ,, A500
2.则可得一致性指标 ： CI1 , CI 2 ,CI500
CI1 CI 2 CI500 RI 500
n RI
1 2 500 n 500 n 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
aii 1 ，如用 C1 , C2 ,..., Cn
2 构造成对比较矩阵
2.比较尺度 • 当比较两个可能具有不同性质的因素 Ci 和 C j 对于一个上层 因素 O 的影响时，Saaty提出用1—9尺度（见下表），即aij 的取值范围是1,2,,9 ，及其互反数1,1/ 2,,1/ 9 。其理由 如下：
重，景色次之，居住条件再次。 问题1.怎样由成对比较阵确定诸因素 C , C ,..., C 对上层因 1 2 n 素

数学建模——层次分析法

数学建模——层次分析法

数学建模——层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种用于复杂决策和评估问题的定量方法，旨在帮助决策者在多个准则和选项之间进行权衡和选择。

该方法由美国学者Thomas L. Saaty于1970年代初提出，已经广泛应用于管理、工程、经济学、环境科学等领域。

方法步骤：1.建立层次结构：将复杂的决策问题分解为不同层次的因素和准则，形成层次结构。

层次结构包括目标层、准则层和选择层。

2.创建比较矩阵：对每个层次内的准则和选择进行两两比较，确定它们之间的相对重要性。

使用尺度来表示两者之间的相对优先级，通常是1到9之间的数值。

3.计算权重：通过计算比较矩阵的特征向量，得出每个准则和选择的权重。

特征向量反映了每个准则和选择对目标的贡献程度。

4.一致性检验：检查比较矩阵的一致性，确保所做的两两比较是合理的。

如果比较矩阵不够一致，需要进行调整。

5.计算综合得分：将每个选择的权重与其所属准则的权重相乘，得出每个选择的综合得分。

综合得分反映了每个选择在整体目标中的重要性。

6.做出决策：根据综合得分，确定最佳选择。

较高的综合得分通常意味着更优选。

示例：选择旅游目的地假设你想选择一个旅游目的地，考虑了三个因素：景色美丽度、文化体验和交通便利性。

你将这三个因素作为准则，然后列出了三个潜在的旅游目的地：A、B 和C。

步骤：1.建立层次结构：2.目标层：选择最佳旅游目的地3.准则层：景色美丽度、文化体验、交通便利性4.选择层：A、B、C5.创建比较矩阵：比较准则之间的相对重要性，如景色美丽度相对于文化体验的比较，以及文化体验相对于交通便利性的比较。

使用1到9的尺度，表明一个因素比另一个因素重要多少。

6.计算权重：计算每个准则和每个选择的权重，使用特征向量法。

7.一致性检验：检查比较矩阵的一致性。

如果一致性不够，可能需要重新考虑比较。

8.计算综合得分：将每个选择的权重与其所属准则的权重相乘，得出每个选择的综合得分。

层次分析法数学建模

层次分析法数学建模
权重分配不合理
在某些情况下，层次分析法可能无法合理地分配权重，导致决策结果 与实际情况存在较大偏差。
无法处理动态变化
层次分析法主要用于静态决策问题，对于动态变化的决策问题处理能 力较弱。
05 结论与展望
结论
层次分析法是一种有效的决策分析方法，能够将复杂问题 分解为多个层次和因素，通过比较和判断各因素之间的相 对重要性，为决策提供依据。
实例三：风险评估问题
总结词
层次分析法在风险评估问题中，能够综合考虑风险的多种来源和影响因素，确定各因素之间的权重关 系，为风险的有效控制提供科学的依据。
详细描述
风险评估问题涉及到如何识别、评估和控制各种潜在的风险。层次分析法可以将风险的多种来源和影 响因素进行比较和判断，确定各因素之间的权重关系，为风险的有效控制提供科学的依据。同时，层 次分析法还可以用于制定风险应对策略和预案，提高组织的抗风险能力。
层次单排序与一致性检验
层次单排序
根据判断矩阵的性质和计算方法，计 算出各组成元素的权重值，并按照权 重值的大小进行排序。
一致性检验
对判断矩阵的一致性进行检验，以确 保各组成元素之间的相对重要性关系 符合逻辑和实际情况。
层次总排序与一致性检验
层次总排序
根据各层次的权重值和组成元素的权重值，计算出整个层次结构模型的权重值， 并进行总排序。
确定层次
根据问题的复杂程度和组 成元素的性质，将层次结 构划分为不同的层次，以 便于分析和计算。
判断矩阵的建立
确定判断标准
根据问题的特点和要求，确定判 断各组成元素之间相对重要性的 标准和方法。
构造判断矩阵
根据判断标准，构造出一个判断 矩阵，用于表示各组成元素之间 的相对重要性关系。

数学建模-层次分析法

数学建模-层次分析法

三、判断矩阵的一致性
定义1:设 如果满足下列二个条件：
则称 A 为互反矩阵。
定义2:设
A ( aij )m m，A 0,
1 (2) a ij , a ji
(1) a ii 1,
则称 A 为一致性矩阵。
N
TU
a ik ； i , j , k 1, 2, , m (3) a ij a jk
N
根据线性代数知识，3是矩阵A的最大特征值，G是矩阵A属于特征值3的特征向量。 因此，物体测重问题就转化为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，3个物体的
TU
AG 3G
-M
3 g1 g1 g1 / g1 g1 / g2 g1 / g3 g1 A G g2 / g1 g2 / g2 g2 / g3 g2 3 g2 3 g2 3G g / g g / g g / g g 3g g 3 1 3 2 3 3 3 3 3
人才培养 B2
可行性 B3
发展前景 B4
研 究 周 期 C5
财 政 支 持 C6
-M
课题1
课题N
6
1
AHP方法的基本原理
数学建模-层次分析法
二、判断矩阵及其特征向量
AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。 优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和 方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算
数学建模-层次分析法
三、判断矩阵的一致性
定理3:设 A 是一致性矩阵，则：
① 一致性正矩阵是互反正矩阵； ② A 的转置矩阵AT也是一致性矩阵；

决策模型层次分析法

决策模型层次分析法
一致性指标
随机一致性指标 RI=1.12 (查表)
一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1
通过一致性检验
>> a=[1,1/2,4,3,3;2,1,7,5,5;1/4,1/7,1,1/2,1/3;1/3,1/5,2,1,1;1/3,1/5,3,1,1] a = 1.0000 0.5000 4.0000 3.0000 3.0000 2.0000 1.0000 7.0000 5.0000 5.0000 0.2500 0.1429 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2000 2.0000 1.0000 1.0000 0.3333 0.2000 3.0000 1.0000 1.0000
目标层
O(选择旅游地)
P2 黄山
P1 桂林
P3 北戴河
准则层
方案层
C3 居住
C1 景色
C2 费用
C4 饮食
C5 旅途
例. 选择旅游地
如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.
w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)
组合权向量
记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
考察完全一致的情况
成对比较阵和权向量
成对比较完全一致的情况
满足
的正互反阵A称一致阵，如
A的秩为1，A的唯一非零特征根为n
A的任一列向量是对应于n 的特征向量
A的归一化特征向量可作为权向量
对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ，即
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量

数据模型与决策--层次分析法

数据模型与决策--层次分析法
在日常生活中也常会遇到，在多种类不同特征的商品中 选购。报考学校选择志愿。毕业时选择工作岗位等。
这一系列的问题，单纯靠构造一个数学模型来求解的方 法往往行不通，而用完全主观的定夺也常常表现为举棋不定 ，而最终选择不理想，甚至不满意的决策方案。
面对这样的问题，运筹学者开始了对人们思维决策过程 进行分析、研究。
数据、模型与决策
第八讲 层次分析法 主讲：邓旭东教授
教学内容
1
概述
2
层次分析法的基本原理
3
层次分析法的基本步骤
4
层次分析法的计算
5
层次分析法应用实例
学习目标
▪ 掌握层次分析法的基本思路 ▪ 掌握层次分析法的基本原理 ▪ 掌握层次分析法的基本步骤 ▪ 掌握求解正互反矩阵最大特征值及相应特征向
量的常用方法：幂法、方根法、和积法 ▪ 掌握判断矩阵的一致性检验步骤并能熟练运用 ▪ 能联系实际，建立系统递阶层次结构模型并构
断矩阵：
B1：B2为3
B1：B3为1
认为成果贡献比另二项稍重要，另二项差不多相同重要。
判断矩阵
B1
B1
1
A=
B2 1/3
B3
1
B2
B3
3
1
1
1/3
3
1
3.层次单排序及其一致性检验
(1) 单一准则下元素排序：
W的求向判量断为矩同阵一A的层最次大中特相征应值元λ素m对ax及于标上准一化层（次归中一某化个）因的素特相征对向重量要W性。的
(2) 判断矩阵的一致性概念： 判断矩阵是各元素均为正数的矩阵这种正矩阵有下列重要性质。
u2，定…理，⒈u设n)nT阶为方λm阵axA的为相正应矩特阵征，向λ量m。ax为A的最大模特征值，u =（u1， ⅰ、λmax > 0，ui > 0，i =1，2，…，n ⅱ、λmax是单特征根；（因此 u 除差一常数因子外是唯一的） ⅲ、A的任何其它特征值λ，有λmax>| λ|。

多目标决策模型：层次分析法(AHP)、代数模型、离散模型

层次分析法建模层次分析法〔AHP －Analytic Hierachy process 〕---- 多目标决策方法70 年代由美国运筹学家T ·L ·Satty 提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。

吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标〔因素〕结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。

传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述〔自然现象、社会现象〕现象的规律。

根本内容：〔1〕多目标决策问题举例AHP 建模方法〔2〕AHP 建模方法根本步骤〔3〕AHP 建模方法根本算法〔3〕AHP 建模方法理论算法应用的假如干问题。

参考书： 1、姜启源，数学模型〔第二版，第9章；第三版，第8章〕，高等教育2、程理民等， 运筹学模型与方法教程，〔第10章〕，清华大学3、?运筹学?编写组，运筹学〔修订版〕，第11章，第7节，清华大学一、问题举例：A ．大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择〞时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。

就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：① 能发挥自己的才干为国家作出较好奉献〔即工作岗位适合发挥专长〕； ② 工作收入较好〔待遇好〕；③ 生活环境好〔大城市、气候等工作条件等〕；④ 单位名声好〔声誉-Reputation 〕；⑤ 工作环境好〔人际关系和谐等〕⑥ 开展晋升〔promote, promotion 〕时机多〔如新单位或单位开展有后劲〕等。

问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？Ｂ.假期旅游地点选择 暑假有3个旅游胜地可供选择。

层次分析法

层次分析法简介层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统的、层次化的分析方法。

这种方法的特点就是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入研究的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。

是对难以完全定量的复杂系统做出决策的模型和方法。

层次分析法的原理：层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。

层次分析法的步骤，运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下四个步骤：（1）建立层次结构模型：将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按他们之间的相互关系分成最高层、中间层和最低层，绘制层次结构图。

最高层(目标层)：决策的目的、要解决的问题；中间层(准则层或指标层)：考虑的因素、决策的准则；最低层(方案层)：决策时的备选方案；（2）构造判断(成对比较)矩阵；表指标之间比较量化值规定因素i比因素j量化值同等重要 1.00稍微重要 3.00较强重要 5.00强烈重要7.00极端重要9.00稍微不重要0.33较强不重要0.20强烈不重要0.14极端不重要0.11两相邻判断的中间值2、4、6、8（3）层次单排序及其一致性检验；（4）层次总排序及其一致性检验；举例：某市中心有一座商场，由于街道狭窄，人员车流量过大，经常造成交通堵塞。

市政府决定解决这个问题，经过有关专家会商研究，制订三个可行方案：a1:在商场附近修建一座环形天桥；a2:在商场附近修建地下人行通道；a3:搬迁商场决策的总目标是改善市中心交通环境，根据当地具体条件和情况，专家组织拟定五个目标作为对可行方案的评价准则：C1：通车能力；C2：方便群众；C3：基建费用不宜过高；C4：交通安全；C5：市容美观。

层次分析法课件


A CI=0时, 为一致阵;CI越大A 的不一致程度越严重 .注 意到 A 的 n 个特征根之和恰好为 n ,所以CI相当于除 λ 外其余的特征根的平均值.
定义随机一致性指标 随机一致性指标
RI
A1 , A2 ,, A500
随机构造500个成对比较矩阵 则可得一致性指标
CI1 , CI 2 ,, CI 500
Z
A1 B1 A2
B2
A层m个因素A1 , A2 ,, Am ,
对总目标Z的排序为
Am
a1 , a2 ,, am
B层n个因素对上层A中因素为A j
的层次单排序为
Bn
b1 j , b2 j ,, bnj
( j = 1,2,, m)
B 层的层次总排序为: B1 : a1b11 + a2b12 + amb1m 即 B 层第 i 个因素对 B : a b + a b + a b 2 1 21 2 22 m 2m
2 构造成对比较矩阵
设某层有 n个因素, X = {x1 , x2 ,, xn } 要比较它们对上一层某一准则(或目标)的影响程度,确定 在该层中相对于某一准则所占的比重.(即把 n个因素对上 层某一目标的影响程度排序) 上述比较是两两因素之间进行的比较,比较时取1~9尺度. 1~9尺度. 1~9尺度 用
A1 A2 A3 A4 A5
1 2 1/2 1 4 7 1 2 3 3 5 3 5
A1, A2 , A3 , A4 , A5
分别表示 景色,费用, 居住,饮食, 旅途.
1/4 1/7 1/3 1/5 1/3 1/5
1/2 1/3 1 1 1 1
由上表,可得成对比较矩阵 1 1 4 3 3 2 1 7 5 5 2 A = 1 4 1 7 1 1 2 13 1 1 13 15 2 1 1 1 1 3 5 3 a12 = 1 表示景色 A 与费用 A2 之比为1:2,a = 4表示景色 A 2 13 1 1 与居住条件 A3 之比为4:1,…,可以看出,此人在选择旅 游地时,费用因素最重要,景色次之,居住条件再次. 旅游问题的成对比较矩阵共有6个(一个5阶,5个3阶). 问题: 问题:两两进行比较后,怎样才能知道,下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢?

层次分析法课件ppt


按行相加为：
Wi= 1nbij
(i =1,2,….n)
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
o对向量W=（ W1， W2…… Wn)t归一 化处理:
Wi=
Wi 1nWj
(i =1,2,….n)
层次分析法（AHP）具体步骤：
✓明确问题 在分析社会、经济的以及科学管
理等领域的问题时，首先要对问题有 明确的认识，弄清问题的范围，了解 问题所包含的因素，确定出因素之间 的关联关系和隶属关系。
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
9 两个元素比较，一元素比另一元素极端重要
2,4,6,8 表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度
1/bij 两个元素的反比较
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
判断矩阵B具有如下特征：
o bii = 1 o bji = 1/ bij o bij = bik/ bjk
j1
Wi
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
层次分析法（AHP）具体步骤：
✓层次总排序 利用层次单排序的计算结果，进
一步综合出对更上一层次的优劣顺序 ，就是层次总排序的任务。
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
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1.建立层次分析的结构模型
用AHP分析问题，首先要把问题条理化、层次化，构 造层次分析的结构模型。这些层次大体上可分为3类： (1) 最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分 博弈的分类 析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层； (2) 中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中 间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则 ，子准则，因此又称为准则层； (3) 最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、 决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。 层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素。
1.建立层次分析的结构模型 第九章 层次分析
目标层
合理选择科研课题A
准则层
成果贡献B1 应 用 价 值
人才培养B2
课题可行性B3 难 易 程 度 c3 研 究 周 期 c4 财 政 支 持 c5
科 学 意 义
c1
c2
课题D1 课题D2
方案层
课题D3
1.建立层次分析的结构模型
[例3] 设某港务局要改善一条河道的过河运输条件， 为此需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有轮渡。 此问题中过河方式的确定取决于过河方式的效益与代价 （即成本）。通常我们用费效比（效益/代价）作为选择方 案的标准。为此构造以下两个层次分析的结构模型。
1.建立层次分析的结构模型 第九章 层次分析
决策目标
准则1
子准则1
准则2
子准则2
…
准则m1
…
方案1
…
方案2
… 子准则m2 … … …
方案mr
1.建立层次分析的结构模型
注：层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元 素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中 部分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们 称之为递阶层次结构。 博弈的分类 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详 尽程度有关，一般可不受限制。 为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困 难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个，若多 于9个时，可将该层次再划分为若干子层。 [例1] 某顾客选购电冰箱时，对市场上正在出售的四种 电冰箱考虑6项准则作为评价依据，得到如下层次分析模型：
数据、模型与决策
第八讲 层次分析法
主讲：邓旭东教授
教学内容
1 2 3 概述 层次分析法的基本原理 层次分析法的基本步骤 层次分析法的计算 层次分析法应用实例
4
5
学习目标
掌握层次分析法的基本思路 掌握层次分析法的基本原理 掌握层次分析法的基本步骤 掌握求解正互反矩阵最大特征值及相应特征向 量的常用方法：幂法、方根法、和积法 掌握判断矩阵的一致性检验步骤并能熟练运用 能联系实际，建立系统递阶层次结构模型并构 建两两比较判断矩阵，解决一些评估类的问题
二、层次分析法的基本原理
1. 测度原理 层次分析法的核心是决策模型中因素的测度化。对 于复杂系统的决策模型来说，常常采用相对标度进行比 较，统一对有形与无形的、可定量与不可定量的因素进 行测度。 2. 递阶层次结构原理 一个复杂的结构问题可通过分解为它的组成部分或 因素来解决，即目标、约束准则、子准则、方案等。每 一个因素称为元素。按照属性的不同，把这些元素分组 形成互不相交的层次，上一层次的元素对相邻的下一层 次的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下 的逐层支配关系。具有这种性质的层次称为递阶层次。
一、概述
在管理中，人们常常需要对一些情况作出决策：例如企 业的决策者要决定购臵哪种设备，上马什么产品；经理要从 若干求职者中决定录用哪些人员；地区、部门官员要对人口 、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。 在日常生活中也常会遇到，在多种类不同特征的商品中 选购。报考学校选择志愿。毕业时选择工作岗位等。 这一系列的问题，单纯靠构造一个数学模型来求解的方 法往往行不通，而用完全主观的定夺也常常表现为举棋不定 ，而最终选择不理想，甚至不满意的决策方案。 面对这样的问题，运筹学者开始了对人们思维决策过程 进行分析、研究。 美国运筹学家，T.L.Saaty等人在九十年代提出了一种 能有效处理这类问题的实用方法，称之为层次分析法（AHP 法）。
三、层次分析法的基本步骤
(3) 层次单排序及其一致性检验 判断矩阵的特征向量经过归一化后即为各因素关于目标 的相对重要性的排序权值。利用判断矩阵的最大特征根，可 求CI和CR值，当CR＜0.1时，认为层次单排序的结果有满意的 一致性；否则，需要调整判断矩阵的各元素的取值。 (4) 层次总排序及其一致性检验 从目标层开始，逐层向下由各个元素的相对权重计算出 它们相对于总目标的组合权重，即绝对权重或全局权重。总 目标本身的绝对权重为1，其下面每一层元素的相对权重乘以 其所针对的上一层准则的绝对权重，既得到该元素的绝对权 重。
方案层
桥梁D1
隧道D2
渡船D3
1.建立层次分析的结构模型 第九章 层次分析
目标层
准则层
过河的代价A
经济代价B1
投 入 资 金 c1 操 作 维 护 c2 冲 击 渡 船 业 c3
社会代价B2
冲 击 生 活 方 式 c4 交 通 拥 挤 c5 居 民 搬 迁 c6
环境代价B3
汽 车 排 废 物 c7
一、概述
层次分析法（analytic hierarchy Process， AHP）是著名运筹学家、美国匹兹堡大学教授T. L. Saaty于20世纪70年代提出的一种系统分析方法， 是一种实用的多准则决策方法。其主要特征是，它 合理地把定性与定量的决策结合起来，按照思维、 心理的规律把决策过程层次化、数量化。 层次分析法的基本思路是把复杂问题分解成若 干因素，把这些因素按照支配关系分组形成有序的 递阶层次结构，并权衡其各个方面的影响，然后综 合人的判断，以决定诸因素相对重要性的先后次序 。
Au=nu (i， aijuj
，u满足4°
j 1
n

u
j 1
n
i

nu i )又由定理1及性质2°可知 λmax=n
3.层次单排序及其一致性检验
5°若A为判断矩阵，那么A对应于λmax =n 的标准化（归一化）特 征向量 u=(u1，u2，…，un)T 就是一组排序权向量。 （归一化 ui 1 ）由性质4°即知。 i 1 进一步地有如下定理 定理2、n阶正互反矩阵A=（aij)n×n是一致阵的充分必要条件为 λmax=n n Proof : aijuj maxui
1.建立层次分析的结构模型 第九章 层次分析
目标层
过河的效益A
准则层 经济效益B1
节 省 时 间 岸 收 间 入 商 业 c2 c3 当 地 商 业 c4 建 筑 就 业 c5 安 全 可 靠
c6
社会效益B2
交 往 沟 通
c7
环境效益B3
舒 适
c9
自 豪 感
c8
c1
进 出 方 便
c10
美 化
c11
n
wi 1
3.层次单排序及其一致性检验
定义：若正互反矩阵A满足aij· jk=aik a i ，j ，k =1，2，…，n 则称A为一致阵。 一致阵的重要性质：设A是一致阵， 1°A的转臵亦是一致阵； ∵ aij=1/aji ，aij=1 ，i ，j=1，2，…n； 由定义 aij· jk=aik a 则显然 2°A的每一行均为任意指定的另一行的正数倍，从而A的秩为1。（即只有 一个非零特征值，其余n-1个为0特征值）； 考虑第ⅰ行元素ai1，ai2，…，ain 对于第k行元素ak1，ak2，…，akn j=1 ，2，…，n， aij=aik· kj a 即第ⅰ行各元素分别为第k行各元素的aik倍。 3°A的最大特征根λmax= n，其余特征根皆为零； 4°设u=(u1，u2，…，un)T是A对应λmax的特征向量，则aij=ui /uj i ，j =1, 2, …, n 容易验证：对于n及向量u=(u1，u2，…，un)T 若aij=ui /uj ij 则
2、构造判断矩阵
例如在例2中，准则层B对目标层作因素两两比较，并可建立下面判 断矩阵： B1：B2为3 B1：B3为1 认为成果贡献比另二项稍重要，另二项差不多相同重要。 判断矩阵 B1 B2 B3
A=
B1 1 1/3 1
B2 3 1 3
B3 1 1/3 1
3.层次单排序及其一致性检验
(1) 单一准则下元素排序： 求判断矩阵A的最大特征值λmax及标准化（归一化）的特征向量W。 W的向量为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的 排序权重。有wi>0，i， 。 i 1 在构造判断矩阵时，各层元素间两两比较时，aij应有某种传递性质 ，即若甲比乙重要，乙比丙重要，合理地应有甲比丙更重要，在数值上 表示为aij·jk=aik a 即 若xi与xj相比aij=3，xj与xk相比ajk=2，那么 有传递性的判断应xj与xk相比，ajk=6 。 (2) 判断矩阵的一致性概念： 判断矩阵是各元素均为正数的矩阵这种正矩阵有下列重要性质。 定理⒈设n阶方阵A为正矩阵， λmax为A的最大模特征值，u =（u1， u2，…，un)T为λmax的相应特征向量。 ⅰ、λmax > 0，ui > 0，i =1，2，…，n ⅱ、λmax是单特征根；（因此 u 除差一常数因子外是唯一的） ⅲ、A的任何其它特征值λ，有λmax>| λ|。
对 水 的 污 染 c8 对 生 态 的 破 坏 c9
方案层
桥梁D1
隧道D2
渡船D3
2、构造判断矩阵
上、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元素Z（目标A或某个 准则Z）相联系的下层元素（x1，x2，…，xn)各在上层元素Z之中所占的 比重。 方法：每次取2个元素，如xi，xj，以aij表示 xi 和 xj 对Z的影响之 比。这里得到的A=(aij)n×n称为两两比较的判断矩阵。 Saaty建议用1～9及其倒数做为标度来确定aij的值，1～9比例标度的 含义： xi比xj强（重要）的程度 xi/ xj 相等 稍强 强 很强 绝对强 aij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1～9标度的理由：两两比较的心理习惯， 显然，判断矩阵A的元素有如下特征： 1° aij>0 2° aji=1/aij 3° aii=1 我们称判断矩阵A为正互反矩阵。