四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试理科数学试题(含答案和解析)

绝密★启用前 四川省部分学校2021-2022学年高三上学期开学考试数学（理科）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．复数()()3i 14i z =+-，则复数z 的实部与虚部之和是（ ） A ．12-B ．4-C ．10D ．182．在等差数列{}n a 中，2458a a a +==，则10a =（ ） A ．16B ．17C ．18D ．203．已知向量()3,a m =-，()2,3b =，若a b ⊥，则m =（ ） A ．2-B ．2C ．92-D ．924．已知集合{}|215A x x =->，()(){}|10B x x a x a =--+≥，若A B R =，则a 的取值范围是（ ） A ．[)4,+∞B ．[)3,+∞C ．(],4-∞D ．(],3-∞5．如果双曲线22221x y a b -=，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为黄金双曲线．现有一黄金双曲线()22210y C b b-=>，则该黄金双曲线C 的虚轴长为（ ） A ．2B ．4 CD．6．在732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，5x 项的系数是（ ）A ．280B ．280-C ．560D ．560-7．六氟化硫，化学式为6SF ，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a ，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（ ）A3B3C．3 D．38．已知函数()(ln 2f x x ax =++，若()27f =，则()2f -=（ ）A ．7-B ．3-C ．3D ．79．旅游是人们为寻求精神上的愉快感受而进行的非定居性旅行和游览过程中所发生的一切关系和现象的总和.随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2020年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的13.5%B ．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助游的青年人人数的一半C ．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比选择自助游的青年人多D ．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为8.75%10．已知函数()2cos 13f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>，若函数()f x 的三个相邻的零点分别为1x ，2x ，3x ()123x x x <<，且1223x x x x λ-=-，则λ=（ ）A ．5B ．5或15C ．2D ．2或1211．已知函数()ln f x x x a =-+恰有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,-+∞D ．()1,+∞12．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点全部在球O 的表面上，AB AC =，120BAC ∠=︒，三棱柱111ABC A B C -的侧面积为8+O 表面积的最小值是（ ） A ．4π B ．16πC ．163πD ．323π二、填空题13．已知函数()21,0,sin ,0,x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩则52π3f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n n S a n N +=-∈，则9S =________．15．小华、小明、小李小章去A ，B ，C 三个工厂参加社会实践，要求每个工厂都有人去，且这四人都在这三个工厂实践，则小华和小李都没去B 工厂的概率是________．16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线:10l x y --=与抛物线C 交于A ，B 两点（其中点A在x 轴上方），则AF FB=________．三、解答题17．北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示.女志愿者考核成绩频率分布表若参加这次考核的志愿者考核成绩在[]90,100内.则考核等级为优秀. （1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；（2）补全下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为考核等级是否是优秀与性别有关.参考公式：()()()()()2²n ad bc K a b a c c db d -=++++，其中n a bcd =+++. 参考数据：18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos 0b c A a C --=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC 的面积为ABC 外接圆面积的最小值．19．如图，在多面体ABCDEF中四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，22DE BF AB ==．（1）证明：平面//ABF 平面CDE ．（2）求平面ABF 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y C ab a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且122F F =，点M ⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()1,P t 为椭圆C 上一点，过点2F 的直线l 与椭圆C 交于异于点P 的A ，B 两点，若PAB △的面积是7，求直线l 的方程．21．已知函数()2e 2ln 2xf x x x x x =--+-．（1）求函数()f x 图象在1x =处的切线方程． （2）证明：()0f x >．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos ,12sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 50ρθρθ-+=.（1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()2,1P -，求PA PB +的值. 23．已知函数()2f x x =-. （1）求不等式()21f x x ≥-的解集； （2）若()1f x x a ≤++，求a 的取值范围.参考答案 1．B由复数乘法法则化复数为代数形式，得其实部与虚部后即得和． 解：由题意可得()()23i 14i 312i i 4i 711i z =+-=-+-=-，则复数z 的实部是7，虚部是11-，故复数z 的实部与虚部之和是7114-=-． 故选：B ． 2．C用基本量1,a d 表示题设条件，联立方程组可解得10a =，2d =，1019a a d =+即得解 解：等差数列{}n a 中，设首项为1a ，公差为d ，由2458a a a +==，得()()1113848a d a d a d ⎧+++=⎨+=⎩，解得10a =，2d =， 所以101918a a d =+=. 故选：C. 3．B转化a b ⊥为0a b ⋅=，用向量的坐标表示，即得解 解： ∵a b ⊥，∴630a b m ⋅=-+=，解得2m =. 故选：B. 4．A解不等式得集合,A B ，再由并集的结果确定不等关系，得参数范围． 解：由题意可得{}|3A x x =>，[)(],,1B a a =+∞⋃-∞-． 因为A B R =，所以13a -≥，即4a ≥．故选：A ．5．D由黄金双曲线的离心率求得b ，得虚轴长． 解：由题意可得22222221c a b a a +===⎝⎭，解得22b =，则b =C 的虚轴长为2b = 故选：D ． 6．C写出二项展开式的通项，令x 的指数为5，求出参数的值，代入通项即可得解. 解：732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，通项()()7321417722rr r r r rr T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． 令2145r -=，得4r =，故展开式中5x 项的系数为()44721635560C -=⨯=. 故选：C. 7．B由已知证得OE ⊥平面ABCD ，再根据棱锥的体积公式计算可求得答案. 解：解：如图，连接AC ，BD ，ACBD O =，连接OE ．因为AE CE =，BE DE =，所以OE AC ⊥，OE BD ⊥，所以OE ⊥平面ABCD ．因为2AB BC AE a ===，所以AC =．因为四边形ABCD 是正方形，所以12AO AC ==，则OE ，故该正八面体的体积为()231223a ⨯⨯=．故选：B.8．B由已知代入求得(5n 22l a +=，再代入可求得()2f -的值. 解：解：∵函数()(ln 2f x x ax =++，∴()(2ln 2227f a =++=，∴(5n 22l a +=，∴()(2ln 222ln 22f a a -=--+-=+(ln 222523a ⎡⎤=-++=-+=-⎣⎦， 故选：B. 9．A利用图表可知游客中老年人、中年人、青年人的人数比例以及选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数比例，即可判断. 解：青年人占总游客人数比例为120%35%45%--=，则2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的比例为45%30%13.5%⨯=，故A 正确，选择自助游中年人比例为25%35%8.75%⨯=，8.75%213.5%⨯>，故B 错误， 选择自助游老年人比例为20%20%0.044%⨯==，即选择自助游的老年人和中年人的人数之和比为4%8.75%12.75%13.75%+=<，故C 错误， 2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为4%8.75%13.5%16.25%++=，故D 错误. 故选：A 10．D令()0f x =，可得233x k ππωπ+=±，由于1x ，2x ，3x 为三个相邻的零点，分两种情况讨论，即得解 解：由()0f x =，得2cos 103x πω⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则233x k ππωπ+=±()k ∈Z .当1233x k ππωπ+=-()k ∈Z 时，2233x k ππωπ+=+()k ∈Z ，35233x k ππωπ+=+()k ∈Z ， 则1223x x πω-=，2343x x πω-=，故12λ=；当1233x k ππωπ+=+()k ∈Z 时，25233x k ππωπ+=+()k ∈Z ，37233x k ππωπ+=+()k ∈Z ， 则1243x x πω-=，2323x x πω-=，故2λ=. 综上，12λ=或2λ=. 故选：D 11．D由()0f x =分离参数得ln a x x =-+．引入新函数()ln g x x x =-+，由导数确定()g x 的单调性、极值，得出函数()g x 的变化趋势，从而得出结论， 解：令()ln 0f x x x a =-+=，得ln a x x =-+．设()ln g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-+=．由()0g x '>，得1x >；由()0g x '<，得01x <<．所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()()11g x g ≥=，即1a >．故选：D ． 12．B设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==，根据题意得出4ah =，设ABC 的外接圆半径为r 、球O 的半径为R ，根据勾股定理得出2R 的表达式，结合基本不等式即可得出结果. 解：设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==. 因为120BAC ∠=︒，所以BC =，则该三棱柱的侧面积为(28ah =+4ah =. 设ABC 的外接圆半径为r ，则2sin BCr a BAC==∠.设球O 的半径为R ，则2222222164244h h h R r a h ⎛⎫=+=+=+≥ ⎪⎝⎭（当且仅当h =，故球O 的表面积为2416R ππ≥. 故选：B13．74根据分段函数及诱导公式即得.解：由题意可得52π52ππsin sin 333f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭252π7134f f f ⎛⎛⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：74.14．1022利用1(2)n n n a S S n -=-≥结合11a S =确定数列{}n a 是等比数列，得公比，由等比数列前n 项和公式计算． 解：因为()22n n S a n N +=-∈，所以()11222n n S a n --=-≥，所以()11222n n n n n a S S a a n --=-=-≥，即12n n a a -=．因为11122a S a ==-，所以12a =，则{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故()910921222102212S ⨯-==-=-．故答案为：1022． 15．718求出总的分配方法数，再按B 去1人或2人分类求得小华和小李都没去B 工厂的方法数，然后由概率公式计算． 解：由题意可知总的分配情况有2343C A 6636=⨯=种，其中满足条件的情况有1122223222C C A +C A 14=种，故所求概率1473618P ==． 故答案为：718．16．3+作出抛物线的准线，把,AF BF 转化为点到准线的距离，利用平面几何及三角函数的定义的方法求解． 解：由题意可知直线l 经过焦点F ，设其倾斜角为θ，则cos θ=．如图，直线l '是抛物线C 的准线，作AA l ''⊥，BB l ''⊥，BE AA '⊥，则AA AF '=，A E BB BF ''==，故AE AF BF =-，AB AF BF =+．因为cos cos 2AE BAE ABθ∠===2AF BF AF BF -=+，则AF FB =故答案为：3+17．（1）男志愿者人数为5，女志愿者人数为13；（2）列联表见解析，有.（1）由频率分布表可求得m ，a ，b ，从而得培训考核等级为优秀的女志愿者的人数，由频率分布直方图可得培训考核等级为优秀的男志愿者的人数. （2）补全列联表，计算2K ，与表中数据比较大小可得结论. 解：解：（1）由频率分布直方图可得，培训考核等级为优秀的男志愿者人数为()0.0150.015405+⨯⨯=， 由频率分布表可得，10.050.3250.30.0750.25m =----=，400.2510a =⨯=，400.0753b =⨯=， 培训考核等级为优秀的女志愿者人数为10313+=. （2）22⨯列联表如下：∵2805271335 4.587 3.84118624040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为考核等级是否是优秀与性别有关. 18．（1）π3A =；（2）4π．（1）利用正弦定理和和差角公式求出1cos 2A =，即可求出角A 的大小；（2）由ABC的面积为12bc =．利用余弦定理和基本不等式求得a ≥ABC 外接圆的半径为r ，由正弦定理求得2r ≥，即可求出ABC 外接圆的面积的最小值解：（1）因为()2cos cos 0b c A a C --=，所以2sin cos sin cos cos sin 0B A C A C A --=，所以()2sin cos sin 0B A A C -+=，即2sin cos sin 0B A B -=．因为0πB <<，所以sin 0B ≠，所以1cos 2A =． 因为0πA <<，所以π3A =．（2）由（1）可知π3A =，则sin A =． 因为ABC的面积为1sin 2bc A ==12bc =． 由余弦定理可得222222cos 12a b c bc A b c bc bc =+==+-≥=，则a ≥设ABC 外接圆的半径为r，则24sin a r A =≥=，即2r ≥， 故ABC 外接圆的面积2π4πS r =≥，当且仅当b c ==即当b c ==ABC 外接圆面积的最小值为4π．19．（1）证明见解析；（2（1）根据线面垂直的性质证得//DE BF ，再由线面平行的判定证得//BF 平面CDE ，//AB 平面CDE ，从而由面面平行的判定得到平面//ABF 平面CDE ；（2）根据二面角的空间向量求解方法可求得答案．解：（1）证明：因为DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，所以//DE BF ．因为DE ⊂平面CDE ，BF ⊄平面CDE ，所以//BF 平面CDE ．因为四边形ABCD 是正方形，所以//AB CD ．因为CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ，所以//AB 平面CDE ．因为AB 平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，且AB BF B =，所以平面//ABF 平面CDE ．（2）解：由题意可知DA ，DC ，DE 两两垂直，则以D 为原点，分别以DA ，DC ，DE 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．设1AB =，则()1,0,0A ，()0,1,0C ，()0,0,2E ，()1,1,1F ，从而()1,1,1EF =-，()1,0,1CF =．设平面CEF 的法向量为(),,m x y z =，则00m CF x z m EF x y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+-=⎩，令1x =，得()1,2,1m =--． 平面ABF 的一个法向量为()1,0,0n =．故1cos ,6n mn m n m ⋅=== 即平面ABF 与平面CEF 20．（1）22143x y +=；（2）10x y ±-=． （1）利用待定系数法求出椭圆C 的标准方程；（2）对直线的斜率进行讨论：①当直线l 的斜率为0直接求出PAB △的面积；②当直线l 的斜率不为0或斜率不存在时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ．用“设而不求法”表示出PAB △的面积，解得m ，即可求出直线l 的方程.解：（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得2222222,331,4,c ab a bc =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =．故椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）因为()1,P t 在椭圆C 上，所以21143t +=，解得32t =． ①当直线l 的斜率为0时，24AB a ==，则PAB △的面积为11343222AB t =⨯⨯=．因为PAB △，所以直线l 的斜率为0不符合题意． ②当直线l 的斜率不为0或斜率不存在时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ． 联立221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2234690m y my ++-=． 则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+．故()212212134m AB y m +=-=+． 因为点P 到直线l的距离32m d ==， 所以()22121112234m AB d m +=⨯=+ 因为PAB △= 整理得4231320m m +-=，解得21m =，即1m =±．故直线l 的方程为1x y =±+，即10x y ±-=．21．（1）()2e 3e 1y x =--+；（2）证明见解析．（1）求出导函数()'f x ，计算斜率(1)f '后可得切线方程；（2）设()e 1x g x x =--，用导数证明()0>g x 在0x >时恒成立，即e 1x x >+，从而得ln 1x x >+，然后由不等式的性质可证明题设结论．解：（1）解：因为()2e 2ln 2x f x x x x x =--+-，所以()()21e 21x f x x x x'=+--+， 则()()111e 2212e 3f '=+--+=-．因为()1e 112e 2f =-+-=-，所以所求切线方程为()()()e 22e 31y x --=--，即()2e 3e 1y x =--+．（2）证明：设()e 1x g x x =--，则()e 1x g x '=-．由()0g x '>，得0x >；由()0g x '<，得0x <．所以()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号．因为e 1x x ≥+，所以ln e ln 1x x ≥+，所以ln 1x x ≥+，所以22ln 2x x ≥+．当0x >时，2e x x x x >+，所以2e 22ln 2x x x x x x +>+++，则2e 2ln 20x x x x x --+->，即()0f x >．22．（1）250x y -+=，()()22114x y ++-=；（2. （1）消参后，即可得到曲线C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线l 的普通方程；（2）首先写出直线l 的参数方程的标准方程的形式，代入曲线C 的直角坐标方程，得到t 的二次方程，利用韦达定理表示PA PB +.解：解：（1）因为2cos sin 50ρθρθ-+=，所以250x y -+=，所以直线l 的普通方程为250x y -+=（或25y x =+）.因为曲线C 的参数方程为12cos ,12sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数）， 所以曲线C 的普通方程为()()22114x y ++-=.（2）由题意可知直线l的参数方程为2,1x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.将直线l 的参数方程代入曲线C的方程得2214⎫⎫-+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即230t -=. 设A ，B 的参数分别是1t ，2t，则12t t +=，123t t =-. 故1212PA PB t t t t +=+=-===.23．（1）(],1-∞；（2）[]3,1--.(1)将()21f x x ≥-写成分段不等式组的形式，解不等式组即可；(2)根据题意将原不等式转化为21a +≤，解绝对值不等式即可. 解：解：（1）()21f x x ≥-等价于2,221x x x <⎧⎨-+≥-⎩或2,221,x x x ≥⎧⎨-≥-⎩解得1x ≤. 故不等式()21f x x ≥-的解集为(],1-∞.（2）()1f x x a ≤++，即21x x a -≤++，即21x x a --+≤. 因为22x x a a --+≤+，所以()1f x x a ≤++等价于21a +≤，解得31a -≤≤-.故a 的取值范围为[]3,1--.。

2021届四川省成都市石室中学高三一模数学（理）试题一、单选题1．已知集合x y z xyzM mm x y z xyz⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，则M 的子集个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案：D分,,x y z 都是正数，,,x y z 都是负数，,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数，,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数四种情况分别得出m 的值，从而求得集合M 的元素的个数，由此可得出集合M 的子集的个数.解：因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，所以当,,x y z 都是正数时，4m =； 当,,x y z 都是负数时，4m =-；当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =， 当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =， 所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8， 故选：D.2．若复数z 满足2021(1)1i z i +⋅=-，则其共轭复数z 的模为（ ）A ．1B ．1-C D ．2答案：A由复数的四则运算得出z ，再由模长公式得出共轭复数z 的模. 解：()1010202121010(1)i i i i i =⋅=⋅-=21(1)1211(1)(1)2i i i z i i i i ----====-++-,||1z i z ∴==故选：A3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093答案：D 解：试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项的和为n S ，则“0q ＞”是“2132S S S ⋅＜”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C由2132S S S ⋅＜可得出0q >，利用等价性即可判断.解：11S a =，()211S a q =+，()2311S a q q =++，故()()222222131111S S S a q q q a q ⎡⎤-⋅=+-++=⎣⎦，因为在等比数列{}n a 中，10a ≠，故21320S S S q ⋅<⇔>,故“0q ＞”是“2132S S S ⋅＜”的充要条件.故选：C ．点评：本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，属于基础题.5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个 A ．242610AB ．242610A AC ．()2142610CD ．()2142610C A先求从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数，再求出后接4个数字组成的方法数，由分步计数原理即可得结论．解：解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为()2126C，后接4个数字组成的方法数为410A，所以由分步计数原理可得不相同的牌照号码共有()2126C410A个.故选：D．6．已知圆柱形石材，底面圆半径为125-，高为5log9，若此石材可加工成体积最大的球体，则此球表面积为（）A．45πB．()254log3πC．()254log9πD．425π答案：A比较圆柱的底边直径与高的大小，从而确定此石材可加工成体积最大的球体的半径，再由表面积公式得出此球表面积.解：1255log9log51,251->=⋅=<，125log925-∴>⋅即1523log5->故此石材可加工成体积最大的球体的半径为125-即此球表面积为2124 455ππ-⎛⎫=⎪⎝⎭故选：A7．已知圆C的半径为2，在圆C内随机取一点M，则过点M的所有弦的长度都大于为（）A．1πB．34C．14D．12答案：C当M是弦中点时，弦长最短，利用垂径定理,得只要M点到圆心C的距离不大于1即可满足要求，由此可得M点所在区域，计算出该区域面积及已知圆面积后可得概率．解：当M是弦中点时，弦长最短，弦长为1CM=，所以过点M的所有弦的长度都大于M落在以点C为圆心，半径为1的圆内．则所求概率为221124Pππ⨯==⨯．点评：本题考查几何概型，解题关键是确定点M 所在的区域．利用弦长公式及垂径定理可确定．8．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x （ ） A ．是偶函数B ．其图象关于直线π2x =对称C ．在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．在区间π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦ 答案：D利用辅助角公式得出()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由已知条件求得ω的值，再利用函数图象变换求得函数()y g x =的解析式，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.解：()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由于函数()y f x =的零点构成一个公差为2π的等差数列，则该函数的最小正周期为π， 0ω>，则22πωπ==，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位， 得到函数()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象. 对于A 选项，函数()y g x =的定义域为R ，()()()2sin 22sin 2g x x x g x -=-=-=-， 函数()y g x =为奇函数，A 选项错误；对于B 选项，2sin 022g ππ⎛⎫==≠± ⎪⎝⎭，所以，函数()y g x =的图象不关于直线2x π=对称，B选项错误； 对于C 选项，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22x ππ≤≤，则函数()y g x =在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，C 选项错误；对于D 选项，当263x ππ≤≤时，4233x ππ≤≤，则sin 212x -≤≤，()2g x ≤≤.所以，函数()y g x =在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦，D 选项正确. 故选：D. 9．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠所对的边，若函数()32221()13f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则cos 2cos B B +的取值范围是（ ）A ．9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．9,08⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．9,08⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．91,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：B先求出()'f x ，根据条件可得()0f x '=有两个不同的实数根，从而其0∆>，得到222a c b ac +-<，由余弦定理得出cos B 的范围，再由余弦的二倍角公式结合二次函数的性质可得答案.解：由()222()2f x x bx a c ac '=+++-，根据()f x 有极值点，则()222()20f x x bx a c ac '=+++-=有两个不同的实数根.所以222440b a c ac，即222a c b ac +-<由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-=<，由0B π<<，所以11cos 2B -<<，2219cos 2cos 2cos cos 12cos 48B B B B B ⎛⎫+=+-=+- ⎪⎝⎭由11cos 2B -<<，则21992cos ,0488B ⎛⎫⎡⎫+-∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭所以cos 2cos B B +的范围是9,08⎡⎫-⎪⎢⎣⎭故选：B点评：关键点睛：本题考查导数与极值点的关系和余弦定理的应用、余弦的二倍角公式的应用，解答本题的关键是由条件得出()0f x '=有两个不同的实数根，从而其0∆>，得到222a c b ac +-<，由余弦定理得出11cos 2B -<<的范围，属于中档题. 10．已知圆()221:21C x y ++=，()222:249C x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ） ABC ．2D答案：B求出点C 的轨迹为椭圆，可知1C 为该椭圆的左焦点，利用椭圆的几何性质求出1minCC ，再利用勾股定理可求得CM 的最小值.解：易知圆1C 的圆心()12,0C -，圆1C 的半径为11r =，圆2C 的圆心()22,0C ，半径为27r =，12124C C r r =<-，所以，圆1C 内含于圆2C ，设圆C 的半径为R ，则1217CC R CC R ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，故121284CC CC C C +=<=，故圆心C 的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为1C 、2C ，设该椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为()20c c >，则28a =，可得4a =，24c =，可得2c =，b ∴==所以，点C 的轨迹方程为2211612x y +=.10CM C M ⋅=，则1CM C M ⊥且11C M =，由椭圆的几何性质可得1min2CC a c =-=，故2211min3CMCC C M=-=故选：B.点评：方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.11．设函数()x a f x e x +=+，()ln(3)4x a g x x e --=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使得()()200022x f x g x x -=--成立，则实数a 值为（ ）A ．2ln 2-+B ．1ln 2+C ．1ln 2--D ．2ln 2+答案：D 将问题转化为002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解，由均值不等式可得0044x ax aee +++≥，设()2ln(3)32x g x x x -=+-，求出其导数，得出单调区间，从而得出()()24g x g ≤-=，由等号成立的条件得出0ln 22x a =-=-，从而得出答案.解：由题意当03x >-时()()2000022x f x g x x -=--有解即0020000ln(43)22x ax a x ex x e x +++=--++-在()03x ∈-+∞，上有解. 即002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解.由0044x a x ae e+++≥=, 当且仅当004x ax aee++=，即0ln 2x a =-时取得等号.设()2ln(3)32x g x x x -=+-，则()()()()()231333243168333x x x x x x x g x x x x x x ++-+-+++---'=--===-++ 由()0g x '<，得2x >-，由()0g x '>，得32x -<<-， 所以()g x 在()3,2--上单调递增，在 ()2,-+∞上单调递减. 所以()()24g x g ≤-=要使得002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解. 则0ln 22x a =-=-时成立，即ln 22a =+ 故选：D点评：关键点睛：本题考查导数求最值，利用均值不等式求最值，解答本题的关键是由均值不等式得到0044x ax aee +++≥，当且仅当004x ax aee ++=时取得等号，设()2ln(3)32x g x x x -=+-，求出其导数，得出单调区间，从而得出()()24g x g ≤-=，由等号成立的条件得出0ln 22x a =-=-，属于中档题.12．已知棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -，棱1DD 中点为M ，动点P 、Q 、R 分别满足：点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，点Q 使得异面直线1AQ 、BC 所成角正弦值为定值2121，点R 使得134A RB π∠=．当动点P 、Q 两点恰好在正方体侧面11CDD C 内时，则多面体1RMPC Q 体积最小值为（ ）A ．5212B ．24C ．22D ．26答案：A由题意1M P C Q ，，，都在平面11DD C C 内，其中1M C ，为定点，由条件可得动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以11C D 为准线的抛物线在正方体侧面11CDD C 内的部分．动点Q 的轨迹是为以1D 为圆心，5为半径的14圆，先求出1MC QS 的最小值，1PC MS面积最小值，从而得出四边形1MPC Q 面积的最小值，再得出点R 到侧面11CDD C 的距离是最小值，从而得出答案. 解：由题意1M P C Q ，，，都在平面11DD C C 内，其中1M C ，为定点.点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，在正方体中，BC ⊥平面11DD C C , 故连接PC ,有PC BC ⊥,所以PC 为点P 到直线BC 的距离. 所以在平面11DD C C 上，点P 满足到点C 的距离等于到直线11C D 的距离.所以动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以11C D 为准线的抛物线在正方体侧面11CDD C 内的部分． 由11//A D BC ，所以异面直线1AQ 、BC 所成角为11QA D ∠（或其补角） 在正方体中，11A D ⊥平面11DD C C ,又1D Q ⊂平面11DD C C ，所以111A D D Q ⊥ 所以111121sin 21QD QA D AQ ∠==,又112A D = 所以114105cos 21QA D ∠=，则1111111tan 225QD QD QA D A D ∠=== 所以115QD =，即动点Q 的轨迹是为以1D 为圆心，15为半径的14圆．在四边形1MPC Q 中，111MPC Q MC Q MC P S S S =+,又21125MC =+=在平面11DD C C 内，取1CC 的中点O ，连接MO ,以1CC 为x 轴，MO 为y 轴 则直线1MC 的方程为：12yx +=-，即220x y ++=，()11,2D -- 则点Q 到直线1MC 222255512r --+-==+ 所以1MC QS的最小值为115225=. 动点P 的轨迹方程为：()240y x y =<，设2,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭所以点P 到直线1MC 的距离()2213212225525y y y d ++++==≥（当1y =-时取得等号）所以1PC MS面积最小值113352425MC P S ∆=⨯⨯=所以四边形1MPC Q 面积111MPC Q MC Q MC P S S S =+≥54点R 满足134A RB π∠=，又122A B =所以点R 在以1A B 为弦的劣弧上，由134A RB π∠=，则圆心角为2π. 其半径为2，圆心到1A B 的2所以圆弧上的点到1A B 的距离的最大值为22当劣弧所在的平面垂直于平面11DD C C 时，圆弧上的点到平面11DD C C 2所以动点R 到面11DD C C 2 所以多面体1RMPC Q 体积最小值为1552234⨯=故选：A点评：关键点睛：本题考查立体几何中的轨迹问题，体积的最值问题，异面直线成角，解答本题的关键是由条件得出动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以11C D 为准线的抛物线在正方体侧面11CDD C 内的部分．动点Q 的轨迹是为以1D 5为半径的14圆，由解析几何可得出点Q 到直线1MC的距离的最值，从而得出1MC QS的最小值，点P 到直线1MC的距离d =，从而得出1PC MS面积最小值，从而得出四边形1MPC Q 面积的最小值，属于难题.二、填空题13．已知方程()2221m x my -+=表示双曲线，则m 的取值范围是_______________________．答案：()0,2利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可. 解：解：因为方程()2221m x my -+=表示双曲线，所以()20m m -<，即02m <<， 所以m 的取值范围是()0,2， 故答案为：()0,2.14．若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_________．（用数字作答） 答案：52-利用已知条件求出n 的值，写出二项展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得出常数项的值.解：由于12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中共有7项，故17n +=，解得6n =，所以，612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为6621661122r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令620r -=，解得3r =，因此，展开式中的常数项为33461522T C ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭.故答案为：52-. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n a 在y x =上，[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021222S S S ⎡⎤++⋯+=⎢⎥⎣⎦_______________________． 答案：2020先求得n a n =，再求得n S ，进而求得20212nS ，然后用裂项求和求得122021202120212021+++222S S S ，最后根据其范围求得结果.解：依题意可得n a n =，所以数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n S +=， 因此202120211120212(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以， ()122021202120212021111111+++2021222122320212022120212021120212020,202120222022S S S ⎛⎫=⋅-+-++- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，故122021202120212021+++2020222S S S ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.点评：方法点睛： 本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．16．拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设ABC 代表旧城区，新的城市发展中心123,,O O O ，分别为正ACD △，正ABE △，正BCF △的中心､现已知2,30AB ACB ∠==，123O O O 则ABC 的面积为___________.答案：233连接12,CO CO ，易得122133,,30,3033CO AC CO BC O CB O CA ==∠=∠=，进而得到1290O CO ∠=，利用勾股定理得到2212AC BC +=，然后再利用余弦定理求得AC BC ⋅即可. 解：如图所示：连接12,CO CO ，由题意得：122133,,30,30CO CO O CB O CA =∠=∠=， 又因为30ACB ∠=， 所以1290O CO ∠=，12321233O O O S O ==， 解得122O O =，由勾股定理得2221212CO CO O O +=，即2221233AC O O ⎫⎫+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即2212AC BC +=，由余弦定理得2222cos30AB AC BC AC BC =+-⋅， 解得83AC BC ⋅=所以三角形ABC 的面积为123sin 3023ABCSAC BC =⋅=点评：关键点点睛：本题关键是证得1290O CO ∠=，再利用勾股定理和余弦定理求得AC BC ⋅而得解. 三、解答题17．在ABC 中，232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-． （1）求cosA 的值：（2）若a =5b =，求BA 在AC 方向上的投影． 答案：（1）3cos 5A =-；（2）35． （1）利用二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式将已知式化简，即可得到cos A 的值； （2）先利用余弦定理求出c ，也即是BA ，再根据投影的定义，求BA 在AC 方向上的投影，其中需要注意的是BA 和AC 的夹角是A 的补角. 解：解：（1）由232coscos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=- 可得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-， 即3cos()5A B B -+=-， 即3cos 5A =-，（2）由余弦定理可知2223525()5c c =+-⨯⨯-，解得1c =，7c =-（舍去）．向量BA 在AC 方向上的投影：3||cos()cos 5BA A c A π-=-=． 18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是1B B ，BC 的中点，（1）证明：1A E ，AB ，DF 三线共点；（2）线段CD 上是否存在一点G ，使得直线FG 与平面11A EC ，3若存在，请旨出点G 的位置，并求二面角11E AC G --的平面角的余弦值大小；若不存在，请说明理由． 答案：（1）证明见解析；（2）存在；点G 为CD 6（1）由公理二证明1A E ，DF 共面，再结合公理三得出1A E ，AB ，DF 三线共点；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出a 的值，再由向量法得出二面角11E AC G --的平面角的余弦值.解：（1）证明：1//EF A D 且1EF A D ≠1A E ∴，DF 共面∴设1A E DF P ⋂=则1P A E ∈，而1A E ⊂面11AA B BP ∴∈面11AA B B ；同理可得P ∴∈面ABCD∴点P 在面ABCD 与面11AA B B 的公共直线AB 上即1A E ，AB ，DF 三线共点（2）解：根据题意可知，1AA ，AB ，AD 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：11(0,0,2),(2,0,1),(2,2,2),(2,1,0)A E C F故111(2,0,1),(2,2,0)A E AC =-= 假设满足条件的点G 存在设(,2,0),(0,2)G a a ∈，则(2,1,0)FG a =- 设平面11A EC 的法向量为(,,)m x y z =则由111m A E m A C ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得，20220x z x y -=⎧⎨+=⎩不妨取2z =，则1x =，1y =-所以平面11A EC 的一个法向量为(1,1,2)m =- 设直线FG 与平面11A EC 的平面角为θ 则222222(2)1(1)1203sin cos ,(2)101(1)2m FGm FGa m FG a θ⋅-⨯+-⨯+⨯====-++⨯+-+化简得2210a a -+=，解得1a =．则1(1,0,2)GC =，设平面11AGC 的法向量为(,,)n x y z =由111n GC n AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，得+20220x z x y =⎧⎨+=⎩，取2x =-则平面11AGC 的一个法向量为(2,2,1)n =- 222cos ,636n n n m m m ⋅--+===⨯二面角11E AC G --的平面角的余弦值69点评：思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值.19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，P 为C 上的动点，Q 为P 在动直线(0)y t t =<上的投影.当PQF △为等边三角形时，其面积为43 （1）求C 的方程；（2）设O 为原点，过点P 的直线l 与C 相切，且与椭圆22142x y +=交于,A B 两点，直线OQ 与AB 交于点M .试问：是否存在t ，使得AM BM =恒成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）C 的方程为24x y =；（2）存在，1t =.（1）根据正三角形得三角形的边长，再根据抛物线的定义列方程组，解方程即可；（2）根据导数的几何意义得到直线l 的切线方程，切线与椭圆联立，根据韦达定理得,A B 的纵坐标的关系，再根据直线方程联立得点M 的纵坐标，由AM BM =可知点M 为,A B 的中点，根据中点坐标公式列方程，解方程即可求得结果.解：（1）设()00,P x y ，0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵PQF △为等边三角形时，其面积为∴21sin 23PQ π⨯=4PQ =， ∵Q 为P 在动直线(0)y t t =<上的投影，∴()0,Q x t ， 当PQF △为等边三角形时，PQ PF FQ ==，由抛物线的定义知，2pt =-， ∴0220200+42162p y x p x py ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得2p =， ∴C 的方程为24x y =；（2）设()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则2004x y =，()0,Q x t∵214y x =，∴12y x '=， ∴切线0001:2l yy x x x ，即001:2l yx x y ，00222000022112122242401y x x y x x x x y x y y ⎧=-⎪⎪⎛⎫⇒+⎨ ⎪⎝⎭⎪++⎪--⎩==， ∴0012201122x y x x x +=+， ∴000120100200022001112122242212x y y x x x x x y y y y y x x +=-+-=⨯-=++；∵()0,Q x t ，∴0:OQ tl y x x =-， 0020002212M t y x y t x y x t y x x y⎧=-⎪-⎪⇒=⎨-⎪=-⎪⎩， ∵AM BM =，且A ，M ，B 在同一条直线上，则点M 为AB 的中点，∴122M y y y =+，即0022004422t x t y y x =--+，则1t =.综上，存在t ，使得AM BM =恒成立，1t =. 点评：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.20．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：公司对近60天，每天揽件数量统计如表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？ 答案：(1)48125；(2)(i)15元；(ii)答案见解析.解：试题分析：()1先计算出包裹件数在101400~之间的天数为48，然后得到频率，估计出概率，运用二项分布求出结果(2)运用公式求出每件包裹收取的快递费的平均值(3)先将天数转化为频率，分别计算出不裁员和裁员两种情况的利润，从而作出比较 解析：（1）样本包裹件数在101400~之间的天数为48，频率484605f ==， 故可估计概率为45， 显然未来3天中，包裹件数在101400~之间的天数X 服从二项分布，即4~35X B ，⎛⎫ ⎪⎝⎭，故所求概率为223414855125C ⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭. （2）（i ）样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为15100=（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.（ii ）根据题意及（2）（i ），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元）， 将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260531001000⨯-⨯=（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为23552100975⨯-⨯=（元）. 因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.点睛：本题考查了频率和概率、平均值的实际应用，计算出频率来估计概率的取值，运用二项分布求出事件概率，在比较裁员与不裁员的情况下分别算出期望值，来比较利润的大小，从而为作出决策提供依据．21．已知函数2()x x f x xe ae =-（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，若不等式120x x λ+>恒成立.求正实数λ的取值范围.答案：（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1λ≥.（1）求导得到120x x ae +-=有两个不相等实根，令12()x x a h x e+==，计算函数单调区间得到值域，得到答案.（2）1x ，2x 是方程12xx a e +=的两根，故()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，化简得到()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫+---+< ⎪⎝⎭，设函数，讨论范围，计算最值得到答案.解：（1）由题可知2()(1)20x x f x x e ae '=+-=有两个不相等的实根， 即：120x x ae +-=有两个不相等实根，令12()xx a h x e +==， ()2(1)()x xx x e x e xh x e e -+-'==，x ∈R ，(,0)x ∈-∞，()0h x '>；(0,,)x ∈+∞，()0h x '<，故()h x 在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减，∴max ()(0)1h x h ==. 又(1)0h -=，(,1)x ∈-∞-时，()0h x <；(1,)x ∈-+∞时，()0h x >，∴2(0,1)a ∈，即10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，1x ，2x 是方程12x x a e+=的两根， ∴1210x x -<<<，则112200x x x x λλ+>⇔>->因为()h x 在(0,)+∞单减，∴()12x h x h λ⎛⎫<-⎪⎝⎭，又()()21h x h x =，∴()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭即111111x x x x e eλλ--++<，两边取对数，并整理得：()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫+---+< ⎪⎝⎭对1(1,0)x ∈-恒成立， 设()ln(1)ln 1(1)x F x x x λλλλ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，(1,0)x ∈-， 1(1)(1)()(1)1(1)()1x x F x xx x x λλλλλλ++-'=+-+=++--，当1λ≥时，()0F x '>对(1,0)x ∈-恒成立，∴()F x 在(1,0)-上单增，故()(0)0F x F <=恒成立，符合题意； 当(0,1)λ∈时，1(1,0)λ-∈-，(1,0)x λ∈-时()0F x '<， ∴()F x 在(1,0)λ-上单减，()(0)0F x F >=，不符合题意. 综上，1λ≥.点评：本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，(t ，α中的一个为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线:sin 13l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）当t 为参数，3πα=时，判断曲线1C 与直线l 的位置关系；（2）当α为参数，2t =时，直线l 与曲线1C 交于不同的两点A ，B ，若2(0)P ，，求11||||PA PB +的值答案：（1）曲线1C 与直线l 平行；（2）1．（1）首先将曲线1C 和直线l 的方程化简为直角坐标方程，再判断位置关系；（2）首先得到曲线1C 的普通方程，再得将直线l 的参数方程，利用t 的几何意义求11||||PA PB +的值. 解：（1）当t 为参数，3πα=时，曲线1C表示直线：1)y x =-由:sin()13l πρθ-=，得1:sin cos 12l ρθθ=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得2y =+ 因为斜率相等，所以曲线1C 与直线l 平行； （2）当α为参数，2t =时，曲线1C 的参数方程12cos ()2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数消去参数得曲线1C 的普通方程22(1)4x y，易知直线过(0,2)P ，故设直线l的参数方程为12()2x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 联立直线l 的参数方程与曲线1C 的普通方程，得2(231)10t t设,A B 对应的参数为12,t t ，则1212123,1t t t t故12121212121111231t t t t PA PBt t t t t t ．点评：方法点睛：本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点： 1.直角坐标系下的弦长公式()22121214AB k x x x x =++-或是()212122114y y y y k ++-；2.利用直线参数方程的几何意义可知12AB t t =-；3.极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长12AB ρρ=-.23．已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1．（1）求12a b+的最小值； （2）证明：2221+++ab b a b ＜5． 答案：（1）322+；（2）证明见解析. （1）利用基本不等式即可求得最小值；（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证． 解：（1）121222()332322a b a b a b z a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++⋅=+ ⎪⎝⎭， 当且仅当“2b a =”时取等号，故12a b+的最小值为322+ （2）证明：222222241155ab bab bb b a b a ++=+++++ )22225242221555ab ab b b b ab b a +==+⋅+⋅，当且仅当15,2a b ==时取等号，此时a +b ≠1． 故2221+++ab b a b 5． 点评：本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，以及利用基本不等式证明不等式，属基础题.。

x2 3开学考试模拟（一）（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2 + 3i1.在复平面内，复数z =对应的点的坐标为iA. (3, 2)B. (2, 3)C. (-2,3)D. (3, -2)2. 已知集合A={x y=ln(-x2-3x+4)},B={y y=22-x2 }，则A B=A. (-4, 4]B. (0,1)C. (-∞, 4]D. (-4, +∞)3．设命题p : ∀x ≤ 0 , =-x ，则⌝p 为A．∀x ≤ 0 , C．∀x > 0 , ≠-x=-xB．∃x0D．∃x0≤ 0 ,≤ 0 ,=-x≠-x4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田1面积所用的经验公式为:弧田面积=2(弦+矢)×矢,弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,2π现有圆心角为,半径等于20 米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据：3π≈3.14,≈1.73）A.220 平方米B. 246 平方米C. 223 平方米D.250 平方米5.已知双曲线8x2- 8 y2=-1有一个焦点在抛物线C : x2 = 2 py ( p > 0) 准线上，则p 的值为A．2 B．1 C．1D．1 2 46.已知正项递增等比数列{a n } 的前n 项和为S n ，若a +a = 20, a ⋅a= 64 ，则S6 =4 7 4 7A.313S9B.521 C.14D.157.右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入A.P = 3N1000B.P =3M1000C.P =3M2000D.P =3N2000 x2 x 2x2 x 23 3 2 2 3 6 15.已知函数 f (x ) = ⎪3 18. 已知 2 sin(θ -π) cos(π +θ ) = cos 2θ ，且sin θ ≠ 0 ，则tan(θ + 4 π) 的值为 6A.B.33C. 2 -D. 2 +9．某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为 S 1 ，其内切球的表面积为 S 2 ，且 S 1 = λS 2 ，则λ =A ．1B ．2C ．3 D ． 432310. 已知 AB 是半径为 2 的圆 M 的一条直径，四边形 ABCD 是圆 M 内接四边形， ∠CMD = 120，若 P在线段 CD 上（端点 C 、D 除外）运动，则 PA ⋅ PB 的取值范围A ． (0,3)B ． (1,3)C ．[-3,0)D ． (-3,3)x 2 y 2 x 2 y 211. 已知椭圆C 1 : a 2 + b 2 = 1(a > b > 0) ，双曲线C 2 : b 2 - a 2 - 2b 2= 1 ，F 1 , F 2 分别为C 2 的左、右焦点，P 为C 和C 在第一象限内的交点，若∆PF F 的内切圆的圆心的横坐标为 2，C 和C 的离心率之积为 3，1 2 1 21 2 2则该内切圆的半径为A . 4 - 2B . 4 + 2C . 4 - 2D . 4 - 2 12.已知函数 f (x ) = x e x则 m 的取值范围是+ln x +1 ，若关于 x 的方程 f 2 (x ) - mf (x ) + m 2-1 = 0 恰好有 4 个不相等的实根，xA ． (1, 1+1)e B ． (0, 1+1)eC. (1,2 3 ) 3D ． (0,2 3 )3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13.如图，动点 P （x ，y ）在平行四边形 ABCD 内部（含边界）运动，则z = 2x - 4 y 的最小值为.14.将 6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有 种放法.（用数字作答）⎧1 x 3 - ax +1, 0 ≤ x < 1,⎨ ，若 ⎪⎩a ln x , x ≥ 1,f (x ) ≥ f (1) 恒成立，则正实数a 的取值范围是.16. 已知 f (x ) = m sin ωx - cos ωx (m > 0,ω > 0) ， g (x ) = e x ， 若对 ∀x ∈ R ， ∃x ∈[0, ln 2] ， 使得f (x 1 ) ≤g (x 2 ) 成立，若 f (x ) 在区间[0,π ] 上的值域为[-1,2] ，则实数ω 的最大值为.36 6 6 3 2⎩ 三、解答题：（一）必考题：共 60 分 17.（本小题满分 12 分）已知数列{a }， a = 3 ，且对任意n ∈ N *，都有a n + a n +2 = an12n +1（1）设b n = a n +1 - a n ，判断数{b n }是否为等差数列或等比数列；a = 5 c =⎧⎪a n , n 为奇数{c } 2n S （2） 若 2 n ⎨⎪2a n -1, ，求数列 n 为偶数n 的前 项的和 2n .18.（本小题满分 12 分）某房产中介公司对 2018 年成都市前几个月的二手房成交量进行统计， y 表示 2018 年 x 月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：x i 1 2 3 4 5 6 7 8 y i1214202224202630（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到 0.01）；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动.若抽中“一等奖”获 5 千元奖金；抽中“二等奖”获 3 千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金.已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概 11 率为 ，获得“二等奖”的概率为 42，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额 X （千元）的分布列及数学期望.8 8 8参考数据：∑ x y = 850 ， ∑ x 2= 204 ， ∑ y 2= 3776 ，≈ 4.58 ， ≈ 5.57 .i ii =1ii =1ii =1∑ x i y i- n ⋅ x ⋅ y参考公式：相关系数 r = i =1nn∑ x 2- nx 2∑ y 2- ny2iii =1i =1n， 21 312 633 19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P -ABCD 中，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，∆PAD 是等边三角形，四边形 ABCD 是矩形， CD =，F 为棱 PA 上一点，且AF = λAP (0 < λ < 1) ，M 为 AD 的中点，四棱锥 P -ABCD 的体积为 . 31（1）若λ = ，N 是 PB 的中点，求证：平面 MNF // 平面 PCD ；2（2）是否存在λ ，使得平面 FMB 与平面 PAD 所成的二面角余弦的绝对值为? 1120.（本小题满分 12 分）x 2 y 2已知椭圆 C ： + a 2 b2= 1(a > b > 0) 上任意一点到其两个焦点 F 1 , F 2 的距离之和等于 2 5 ，焦距为 2c ，圆O : x 2 + y 2 = c 2 ， A , A 是椭圆的左、右顶点， AB 是圆O 的任意一条直径，四边形 A AA B 面积1212的最大值为2 5 .（1） 求椭圆 C 的方程；（2）如图，若直线l 1 : y = kx + m (m ≠ 0) 与圆O 相切，且与椭圆相交于M , N 两点，直线l 2 与l 1 平行且与椭圆相切于 P （ O , P 两点位于l 1 的同侧），求直线l 1 ， l 2 距离d 的取值范围.21 1 ⎩⎩ 21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = 1x 2+ m ln(1- x ) ，其中m ∈ R ．2（1）求函数 f (x ) 的单调区间；（2）若函数 f (x ) 存在两个极值点x ， x ，且 x < x ，证明： f (x ) + f (x ) > - ln 4 ． 1212124 4（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为⎧x = 3cos θ(θ为参数），P (x , y ) 是曲线 C 上的任意一点，⎨ y = 2sin θ 0 0⎧x = x 0 动点Q (x , y ) 满足⎨2 y = 3y，记Q (x , y ) 轨迹为 E ，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极轴建π立极坐标系， l 的极坐标方程为θ = 4（1）求 E 的普通方程；(ρ ∈ R ) ，A 点的极坐标为(5,0)（2）若l 与 E 交于 M ，N 两点，求∆AMN 的面积；23．选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x ) = x .(1)求不等式 f (x -1) + f (2x -1) ≤ 2x 的解集；1 4 9(2)若a > 0, b > 0, c > 0 ，且 + + = 1,证明: f (x + a ) + f (x - b - c ) ≥ 36 .a b c。

⽯室中学⾼2021届2020-2021学年度上期⼊学考试理科数学试卷⼀、选择题（共12⼩题；共60分）1.已知集合，则集合的元素个数是（）A．0B．1C．2D．32．i为虚数单位，，则的共轭复数为（）A.B． C.D．3．⽯室中学为了解1000名学⽣的身体素质，将这些学⽣编号为1，2，…，1000，从这些学⽣中⽤系统抽样⽅法等距抽取100名学⽣进⾏体质测验，若46号学⽣被抽到，则以下4名学⽣中被抽到的是（）A．8号学⽣B．200号学⽣C．616号学⽣D．815号学⽣4．函数的零点所在的⼤致区间是（）A．B．C．D．5．已知向量，，则是//的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件6．已知的内⻆的对边分别为，若，，，则为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数⼜在单调递减的函数是（）A．B．C．D．8．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，的⾯积为（）A．1B．C．2D．9.如图是⽤模拟⽅法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空⽩框内应填⼊（）A．B．C．D．10.已知，则的⼤⼩关系为（）A．B．C．D．11.某⼏何体的三视图如图所示，则该⼏何体外接球表⾯积为（）A．B．C．D．12.已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是（）A． B.C．D．⼆、填空题（共4⼩题；共20分）13.已知双曲线的离⼼率为2，则该双曲线的渐近线⽅程为_______________14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五⼈分五钱，令上⼆⼈所得与下三⼈等．问各得⼏何．”其意思为“已知甲、⼄、丙、丁、戊五⼈分5钱，甲、⼄两⼈所得与丙、丁、戊三⼈所得相同，且甲、⼄、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五⼈各得多少钱？”（“钱”是古代的⼀种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.15．已知是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则使得成⽴的的取值集合是___________．16.已知棱⻓为1的正⽅体，过对⻆线作平⾯交棱于点，交棱于点，则：①平⾯分正⽅体所得两部分的体积相等；②四边形⼀定是平⾏四边形；③平⾯与平⾯不可能垂直；④四边形的⾯积的最⼤值为.其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6⼩题；共70分）17.(本题满分12分)⽯室中学⾼三学⽣摸底考试后，从全体考⽣中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩()和物理成绩()，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点．经调查得知，考⽣由于重感冒导致物理考试发挥失常，考⽣因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到⼀些统计的值：其中分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，，与的相关系数．（Ⅰ）若不剔除两名考⽣的数据，⽤组数据作回归分析，设此时与的相关系数为．试判断与的⼤⼩关系（不必说理由）；（Ⅱ）求关于的线性回归⽅程，并估计如果考⽣参加了这次物理考试（已知考⽣的数学成绩为分），物理成绩是多少？附：回归⽅程中,。

2021年四川省成都市石室中学高考数学三诊试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={y|y=2x,x≤0}，B={−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {1}B. {0}C. {1,2}D. {−1,0}2.设i为虚数单位，若复数z满足(2+i)z=5，则|z|=()A. 5B. √55C. √5D. 2√53.若实数x，y满足约束条件{x+y−3≤0x−y+1≥0y≥0，则z=x+2y的最大值为()A. −1B. 1C. 3D. 54.下列说法错误的是()A. “a>1”是“1a<1”的充分不必要条件B. 在回归直线ŷ=0.5x−85中，变量x=200时，变量y的值一定是15C. 命题p：∃x0∈R，x02+x0+1<0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0D. 若α∩β=1，m⊂α，n⊂β，α⊥β，m⊥l，则m⊥n5.多项式(x−2x)(1−x)4的展开式中含x2项的系数为()A. −2B. −4C. 2D. 46.已知函数f(x)=ae x+x2的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=(2e+2)x+b，那么ab=()A. 2B. 1C. −1D. −27.已知函数f(x)=xsinx，则其大致图象是下列图中的()A.B.C.D.8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题(如7被3除余1：1被2除余1).现有这样一个整除问题：将1到100这100个正整数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则数列{a n }各项的和为( )A. 736B. 816C. 833D. 298009. 函数f(x)=sin(ωx +φ)(|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g(x)=sin3x 的图象，只需将f(x)的图象( )A. 向右平移π4个单位长度 B. 向左平移π4个单位长度 C. 向右平移π12个单位长度D. 向左平移π12个单位长度10. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P −ABC为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA =BC =4，AB =3，AB ⊥BC ，若三棱锥P −ABC 有一个内切球O ，则球O 的体积为( )A. A 9π2B. 9π4C. 9π16D. 9π11. 已知函数y =f(x −1)的图象关于x =1对称，满足f(2−x)=f(x)，且f(x)在(−1,0)上递减.若a =f(5−12)，b =f(−ln2)，c =f(log 318)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <c <bB. c <b <aC. a <b <cD. b <a <c12. 已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，过点F 1作斜率为√22的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以F 2为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √5二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 记S n 为递增等比数列{a n }的前n 项和，若a 1a 2a 3=8，a 4=a 3+4，则S 10的值为______ ．14. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，则向量a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 的夹角为______ ．15. 已知直线经过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F ，并交抛物线于A ，B 两点，则|AF|=4，且在抛物线的准线上的一点C 满足CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则p = ______ ． 16. 函数f(x)的定义域为D ，若满足：(1)f(x)在D 内是单调函数；(2)存在[m 2,n2]⊆D ，使得f(x)在[m 2,n2]上的值域为[m,n]，那么就称函数f(x)为“梦想函数”．若函数f(x)=log a (a x +t)(a >0,a ≠1)是“梦想函数”，则t 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且满足c =acosB −√33bsinA ．(I)求角A 的大小；(Ⅱ)若c =2，△ABC 的面积为√32，D 为边BC 的中点，求AD 的长度．18. 在如图所示的圆柱O 1O 2中，AB 为圆O 1的直径，C ，D 是AB⏜的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱O 1O 2的母线． (1)求证：FO 1//平面ADE ；(2)若BC =FC =2，求二面角B −AF −C 的余弦值．19.2021年3⋅15期间，某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元(含1万元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折：其余情况不打折.方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．(1)若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1万元，试从数学期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为√32，点P(√3,12)在椭圆M上．(1)求椭圆M的方程；(2)设O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上不同的三点，且O为△ABC的重心，探究△ABC面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由．21.已知函数f(x)=2x−alnx+4a，(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)令g(x)=f(x)−sinx，若存在x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2时，g(x1)=g(x2)，证明：x1x2<a2．22.直线l：ρcos(θ−π6)=2，圆C：ρ=2sinθ.以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy．(1)求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；(2)已知点P在圆C上，点P到直线l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．23.设函数f(x)=|3x−1|+|2x+2|的最小值M．(1)求M；(2)已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=9M，求证：(24a −1)(24b−1)(24c−1)≥8．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A ={y|y =2x ,x ≤0}={y|0<y ≤1}，B ={−1,0，1，2}， ∴A ∩B ={y|0<y ≤1}∩{−1,0，1，2}={1}． 故选：A ．求解指数函数的值域化简A ，再由交集运算得答案． 本题考查指数函数的值域，考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵复数z 满足(2+i)z =5， ∴z =52+i =5(2−i)(2+i)(2−i)=10−5i 4−i 2=2−i ．∴|z|=√4+1=√5． 故选：C ．利用复数的运算法则直接求解．本题考查复数的模的求法，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x −y +1=0x +y −3=0，解得A(1,2)，由z =x +2y ，化为y =−x2+z2，由图可知，当直线y=−x2+z2过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为5．故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．4.【答案】B【解析】解：当a>1，可得1a <1，即为充分条件，当1a<1时，可得a>1或a<0，即为不必要条件，故A选项正确，当变量x=200时，回归直线ŷ=0.5x−85=0.5×100−85=15，说明y的值在15附近波动，故B选项错误，特称命题的否定为全称命题，故C选项正确，∵α∩β=1，m⊂α，m⊥l，∴m⊥β，∵n⊂β，∴m⊥n，故D选项正确．故选：B．当a>1，可得1a <1，即为充分条件，当1a<1时，可得a>1或a<0，即为充分不必要条件，即可判断A选项，根据回归直线的定义即可判断B选项，特称命题的否定为全称命题，故可判断C选项，根据空间线面关系，即可判断D选项．本题考查了命题的真假判断，命题的否定，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：多项式(x−2x)(1−x)4的展开式中含x2项的系数为C41⋅(−1)−2C43⋅(−1)3=−4+8=4，故选：D．由题意利用通项公式，求得(x−2x)(1−x)4的展开式中含x2项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：f(x)=ae x+x2图象在(1,f(1))切线方程为y=(2e+2)x+b，由f(x)=ae x+x2，f′(x)=ae x+2x，f′(1)=ae+2=2e+2⇒a=2，f(1)=ae+1=2e+2+b⇒b=−1，ab=−2，故选：D．利用导数的几何意义、切点在曲线上、切点在切线上建立关于a，b的方程求解即可．本题考查导数的几何意义，考查在点切线的求法，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵f(−x)=−xsin(−x)=xsinx=f(x)，∴该函数为偶函数，故排除答案A，D，又∵f(3π2)=0而B选项中显然f(3π2)<0，因此排除B．故选：C．首先研究函数奇偶性排除选项A，D，接着利用特殊值的方法可以选择正确答案D．该道题目主要考察给定函数解析式，找函数图像，主要用到的方法有：判断奇偶性，代特殊值等方法．8.【答案】C【解析】解：“能被2除余1且被3除余1的数”即“被6除余1”，所有项为等差数列，通项为“a n=6n−5”，由题意知6n−5≤100，得n≤352，∴n≤17，a17=6×17−5=97，a1=1，∴S17=17(a1+a17)2=17(1+97)2=833．故选：C．“能被2除余1且被3除余1的数”即“被6除余1”，可建模为等差数列通项“a n= 6n−5”，可解决此题．本题考查等差数列通项公式及求和应用，考查数学运算能力及建模能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：由图象知函数的周期T=4(5π12−π4)=4×2π12=2π3，即2πω=2π3，得ω=3，则f(x)=sin(3x+φ)，由f(5π12)=sin(3×5π12+φ)=−1，得sin(5π4+φ)=−1，即5π4+φ=2kπ+3π2，得φ=2kπ+π4，k∈Z，∵|φ|<π2，∴当k=0时，φ=π4，即f(x)=sin(3x+π4)=sin3(x+π12)，为了得到g(x)=sin3x的图象，只需将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到y=sin3(x−π12+π12)=sin3x，故选：C．根据图象求出ω和φ的值，结合三角函数的图象变换关系，进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，求出三角函数的解析式以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：由题意，将鳖臑补形为长方体，如图根据PA=BC=4，AB=3，AB⊥BC，可得△PAC的面积为10，△BAC的面积为6，△BPC的面积为10，，△BAP的面积为6，三棱锥P−ABC有一个内切球半径为r，可得V P−ABC=13r(S PAC+S ABC+S PBC+S PAB)即13×S ABC×AP=13r×32解得r=34，∴球O的体积V=43πr3=9π16．故选：C．将鳖臑补形为长方体，利用等体积法即可内切球的半径r，从而求解球O的体积．本题考查球的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11.【答案】A【解析】解：由y=f(x−1)的图象关于x=1对称，可得f(x)是偶函数，即f(−x)=f(x)；∵f(2−x)=f(x)，即f(x+2)=f(−x)=f(x)，可得f(x)的周期T=2；f(x)在(−1,0)上递减，在(0,1)上递增．a=f(5−12)=f(√55)≈f(0.404)，b=f(−ln2)=f(ln2)≈f(0.69)，c=f(log318)=f(2+log32)=f(log32)≈f(0.63)，注：log32=lg2lg3=0.30.447≈0.63，则a<c<b．故选：A．由y=f(x−1)的图象关于x=1对称，可得f(x)是偶函数，f(2−x)=f(x)可得f(x)的周期T=2，f(x)在(−1,0)上递减．那么(0,1)上递增，只需比较√55，ln2和log32的大小即可得a，b，c的大小关系．本题考查了函数的性质和常见对数的估值计算．常见对数估值：lg2≈0.3，lg3≈0.477，ln2≈0.69.属于基础题．12.【答案】B【解析】解：取MN的中点P，因为以F2为圆心的圆过M，N，则MF2=NF2，连结F2P，则F2P⊥MN，设MF2=NF2=x，因为MF2−MF1=2a，则MF1=x−2a，又因为NF1−NF2=2a，则NF1=x+2a，所以MN=NF1−MF1=4a，则MP=NP=2a，故PF1=x，在Rt△F1F2P中，PF2=√4c2−x2，在Rt△MF2P中，PF2=√x2−4a2，所以√4c2−x2=√x2−4a2，解得x2=2a2+2c2，又直线的斜率为√22，则tan∠PF1F2=F2PF1P =√2b2√2a2+2c2=√22，所以c2−a2a2+c2=12，即c2=3a2，所以离心率e=ca=√3．故选：B．取MN的中点P，连结F2P，则F2P⊥MN，设MF2=NF2=x，利用双曲线的定义，结合勾股定理分别在Rt△F1F2P和Rt△MF2P中求出PF2，从而得到x2=2a2+2c2，再利用直线的斜率，列出等式，得到a，c的关系，即可得到答案．本题考查了双曲线的几何性质的理解和应用，解题的关键是寻找基本量a，b，c之间的等量关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】1023【解析】解：∵{a n}为等比数列，又∵a1a2a3=8，∴a23=8，a2=2，设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=a3+4，∴a2q2=a2q+4，即2q2=2q+4，解得q=−1，q=2，∵{a n}为递增的等比数列，∴q=−1(舍去)，q=2，∵a2=2a1，∴a1=a22=22=1，运用等比数列前n项和公式S n=a1(1−q n)1−q =1−2101−2=1023．故答案为：1023．根据已知条件，可推得a1=1，q=2，运用等比数列的前n项和公式，即可求解．本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】150°【解析】解：向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且a⃗与b⃗ 的夹角为π3，∴cos<(a⃗−b⃗ )，b⃗ >=(a⃗ −b⃗)⋅b⃗|a⃗ −b⃗|⋅|b⃗|=⃗ ⃗ 2√(a⃗−b⃗ )2⋅|b⃗ |=⃗ ⃗ ⃗ 2√a⃗2−2|a⃗|⋅|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >+b⃗ ⋅2=1×2×12−4√1−2×1×2×12+4⋅2=−√32．∴向量a⃗−b⃗ 与b⃗ 的夹角为150°．故答案为：150°．cos<(a⃗−b⃗ )，b⃗ >=(a⃗ −b⃗)⋅b⃗|a⃗ −b⃗|⋅|b⃗|，由此能求出向量a⃗−b⃗ 与b⃗ 的夹角．本题考查向量的夹角的求法，考查向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】2【解析】解：过A 作AD 垂直于准线于D ，过B 作BE 垂直于准线于E 点设准线与x 轴交于P ， 由抛物线的性质可得|AF|=|AD|=4， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得|BC|=2|BF|=|BE|， 所以∠DCA =30°， 所以|AC|=2|AD|=8，|CF|=|AC|−|AF|=8−4=4， 所以|PF|=12|CF|=2=p ， 故答案为：2．由抛物线的性质及向量的关系可得|AC|与|AF|的关系，进而可得p 的值． 本题考查抛物线的性质及向量的运算，属于中档题．16.【答案】(−14,0)【解析】解：(1)设u(x)=a x +t ，则y =log a u ，当a >1时，u(x)=a x +t 为增函数，y =log a u 也是增函数，则y =log a (a x +t)为增函数，当0<a <1时，u(x)=a x +t 为减函数，y =log a u 也是减函数，则y =log a (a x +t)为增函数，综上可得：y =log a (a x +t)为增函数，即f(x)在D 内是单调函数． (2)∵f(x)是单调递增函数，∴若f(x)=log a (a x +t)为“梦想函数”，则有{f(m2)=log a (a m2+t)=m f(n2)=log a (a n 2+t)=n ，即方程a x2+t =a x 有两个不同的正数解， 即可得(a x2)2−a x2−t =0有两个不同的正数解， 则有{△=1+4t >0x 1+x 2=1>0x 1x 2=−t >0，即{t >−14t <0，可得−14<t <0， 即t 的取值范围为(−14,0)， 故答案为：(--14，0)．根据复合函数单调性的关系先判断函数f(x)是单调递增函数，然后根据值域关系建立方程，然后转化为方程根的个数问题即可．本题主要考查函数值域的应用，结合复合函数单调性之间的关系，转化为一元二次方程根的分布问题是解决本题的关键，是中档题．17.【答案】解：(I)因为c =acosB −√33bsinA ．由正弦定理可得，sinC =sinAcosB −√33sinBsinA ，即sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =sinAcosB −√33sinBsinA ，因为sinB ≠0， 所以tanA =−√3， 因为A ∈(0,π)， 所以A =2π3，(II)因为S △ABC =12bcsinA =12×2b ×√32=√32，故b =1，由题意可得，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14[4+1+2×2×1×(−12)]=34， 故AD =√32．【解析】(I)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan A ，进而可求A ； (2)由已知结合三角形的面积公式可求b ，然后结合向量的线性运算及向量的数量积的性质可求．本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用及三角结合向量的综合应用，属于中档试题．18.【答案】(1)证明：连接O 1C ，因为EA ，FC ，都是圆柱O 1O 2的母线，所以AE//CF ，因为C ，D 是AB ⏜的两个三等分点，AB 为圆O 1的直径，所以AD//O 1C ，又因为AD ∩AE =A ，CF ∩O 1F =F ，所以平面AED//平面O 1CF ，又因为O 1F ⊂平面O 1CF ，所以FO 1//平面ADE ．(2)解：连接AC ，因为AB 为圆O 1的直径，所以AC ⊥BC ， 又因为CF ⊥平面ABC ，所以CF ⊥CB ，CF ⊥AC ， 所以CA 、CB 、CF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得各点坐标如下： C(0,0，0)，B(0,2，0)，F(0,0，2)，A(2√3,0，0)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,2，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ (−2√3,0，2)， 设平面ABF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2√3x +2y =0AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2√3x +2z =0，令x =1，则m ⃗⃗⃗ =(1,√3,√3)，平面ACF 的法向量为n⃗ =(0,1，0)， 所以二面角B −AF −C 的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√7⋅1=√217．【解析】(1)根据直线与平面平行的判定定理证明；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)选择方案一，若享受到7折，则需要摸出2个红球和1个黑球，故该顾客享受7折优惠的概率为C 22C 71C 103=7120；(2)若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 的可能取值为5000，7000，9000，10000， 所以P(X =5000)=C 22C 11C 103=1120，P(X =7000)=C 22C 71C 103=7120， P(X =9000)=C 11C 72C 103=740，P(X =10000)=1−1120−7120−740=91120，故E (X)=5000×1120+7000×7120+9000×740+10000×91120=288253≈9608.3元；若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则Z =10000−2000Y ， 由已知可得Y ～B(3,15)， 所以E(Y)=3×15=35，故E (Z)=E(10000−2000Y)=10000−2000E(Y)=8800元． 因为E(X)>E(Z)，故该顾客选择第二种抽奖方案更合算．【解析】(1)利用古典概型的概率公式求解即可；(2)先求出方案一的随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解，然后再利用方案二满足二项分布，由二项分布的数学期望公式求解，最后进行比较即可得到答案．本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，二项分布数学期望公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为点P(√3,12)在椭圆M 上，则(√3)2a 2+(12)2b 2=1，又离心率为√32，则ca =√32，结合a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=1， 所以椭圆M 的方程为x 24+y 2=1；(2)当直线AB 的斜率不存在时，则AB ⊥x 轴，点C 在x 轴上，|AB|=√3， 点C 到AB 的距离为3，故S △ABC =12|AB|⋅d =3√32； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，联立方程组{y =kx +mx 24+y 2=1，可得(4k 2+1)x 2+8kmy +4(m 2−1)=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则△=16(4k 2+1−m 2)>0，且x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2−44k 2+1，故y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m4k 2+1， 因为O 为△ABC 的重心，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(8km 4k 2+1,−2m4k 2+1)， 故点C(8km 4k 2+1,−2m4k 2+1)在椭圆上， 则有(8km 4k 2+1)24+(−2m4k 2+1)2=1，整理可得4m 2=4k 2+1，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅4√4k 2+1−m24k 2+1，又点O到直线AB的距离为d=√1+k2，所以S△ABC=3S△ABO=32|AB|d=6|m|√4k2+1−m24k2+1=6|m|√3m24m2=3√32．综上所述，△ABC面积为定值3√32．【解析】(1)利用点在椭圆上以及离心率结合a2=b2+c2，得到关于a，b，c的方程组，求出a，b的值，即可得到椭圆的标准方程；(2)先求出当直线AB斜率不存在时S△ABC的面积，当AB斜率存在时，设直线AB的方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，利用重心的性质求出点C的坐标，将点C代入椭圆方程得到k与m的关系，求出弦长|AB|以及O到直线AB的距离d，将△ABC的面积转化为△ABO表示，从而化简可得答案．本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，点到直线距离公式的运用，弦长公式的运用，重心性质的运用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2−ax =2x−ax，当a≤0时，f′(x)>0当a>0时，由f′(x)>0得x>a2，由f′(x)<0得0<x<a2，∴当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(0,a2)上单调递减，在(a2,+∞)单调递增．(2)证明：g(x)=2x−alnx−sinx+4a，∵g(x1)=g(x2)，∴2x1−alnx1−sinx1=2x2−alnx2−sinx2，∴a(lnx1−lnx2)=2(x1−x2)−(sinx1−sinx2)，令ℎ(x)=x−sinx，则ℎ′(x)=1−cosx≥0，∴ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，不妨设x1>x2>0，∵ℎ(x1)>ℎ(x2)，∴x1−sinx1>x2−sinx2∴−(sinx1−sinx2)>x2−x1，∴2(x1−x2)−(sinx1−sinx2)>2(x1−x2)+(x2−x1)=x1−x2，∴a(lnx1−lnx2)>x1−x2，∴a>x1−x2lnx1−lnx2，下面证明x 1−x2lnx 1−lnx 2>√x 1x 2，令t =x 1x 2(t >1)，只需证t−1lnt >√t ，只需证√t lnt >0，设m(t)=√tlnt(t >1)，则m′(t)=√t−1)22t √t>0，∴m(t)在(1,+∞)递增，∴m(t)>m(1)=0， 即x 1−x 2lnx 1−lnx 2>√x 1x 2成立，∴a >√x 1x 2， 即x 1x 2<a 2．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； (2)求出g(x)的解析式，根据g(x 1)=g(x 2)，得到a(lnx 1−lnx 2)=2(x 1−x 2)−(sinx 1−sinx 2)，令ℎ(x)=x −sinx ，结合函数的单调性求出a >x 1−x 2lnx 1−lnx 2，证明x 1−x 2lnx1−lnx 2>√x 1x 2成立即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是难题．22.【答案】解：(1)由ρcos(θ−π6)=2，得12ρsinθ+√32ρcosθ=2， 又{x =ρcosθy =ρsinθ，代入可得直线l 的直角坐标方程为：12y +√32x =2，即为y +√3x =4； 由圆C ：ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ， 又x =ρcosθ，y =ρsinθ，ρ2=x 2+y 2， ∴圆C 直角坐标方程为：x 2+(y −1)2=1；由x 2+(y −1)2=1得，圆C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)； (2)设点P 坐标为(cosα,1+sinα)， 则d 1=√3cosα+1+sinα−4|√(√3)2+12=|√3cosα+sinα−3|2=12(3−√3cosα−sinα)，又d 2=1+sinα，那么d 1+d 2=52+12sinα−√32cosα=sin(α−π3)+52，当α=5π6时，d 1+d 2取得最大值72．【解析】(1)把直线l 的极坐标方程展开两角差的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程，把圆的参数方程变形，化为直角坐标方程，再由平方公第21页，共21页 式可得其参数方程；(2)设点P 坐标为(cosα,1+sinα)，由点到直线的距离公式可得d 1，再求出d 2，作和后利用三角函数求最值可得d 1+d 2的最大值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.【答案】(1)解：f(x)=|3x −1|+|2x +2|={−5x −1,x <−1−x +3,−1≤x ≤135x +1,x >13，f(x)在(−∞,13]上单调递减，在[13,+∞)上单调递增，则f(x)的最小值为f(13)=−13+3=83，故M =83；(2)证明：a +b +c =9M =24，(24a −1)(24b −1)(24c −1)=(a +b +c a −1)(a +b +c b −1)(a +b +c c −1) =(b+c a )(a+c b )(a+b c )≥2√bc a ⋅2√ac b ⋅2√ab c =8abc abc =8．当且仅当a =b =c =8时等号成立．【解析】(1)写出分段函数解析式，由单调性求最小值，则M 可求；(2)由(1)可得M =83，代入a +b +c =9M =24，把24用a +b +c 代换，展开后利用基本不等式即可证明结论．本题考查分段函数最值的求法，考查不等式的证明，训练了基本不等式的应用，是中档题．。

2020-2021学年四川省成都市青羊区石室中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|−2≤x≤3}，B={x|2x−a≤0}，且A∩B={x|−2≤x≤1}，则a=()A. −4B. −2C. 2D. 42.抛物线y2=−8x的准线方程为()A. x=−2B. x=−1C. y=1D. x=23.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7=28，a2+a4=7，则a6=()A. 3B. 4C. 5D. 64.欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足(e iπ+i)⋅z=i，则|z|=()A. 1B. √22C. √32D. √25.2020年初，新型冠状病毒(COVID−19)引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的由表格可得y关于x的线性回归方程为ŷ=3x+â，则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)为()A. 4B. 1C. 0D. −16.已知向量a⃗，b⃗ 的夹角为2π3，a⃗=(1,2)，a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=0，则|b⃗ |等于()A. √5B. 2√5C. √153D. 2√1537.已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是()A. 若l//α，l⊥β，则α⊥βB. 若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC. 若l//α，l//β，则α//βD. 若α⊥β，l//α，则l⊥β8.已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象关于点(π6,0)成中心对称，且与直线y=a的两个相邻交点间的距离为π2，则下列叙述正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 函数f(x)图象的对称中心为(kπ+π6,0)(k∈Z)C. 函数f(x)的图象可由y=tan2x的图象向左平移π6得到D. 函数f(x)的递增区间为(kπ2−π3,kπ2+π6)(k∈Z)9.设f(x)=x+a和g(x)=lnx是定义在(0,+∞)上的函数，且图象都是一条连续不断的曲线.定义：d(f,g)=|f(x)−g(x)|min，则“a>2”是“d(f,g)>2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 圆C ：x 2+y 2−10x +16=0上有且仅有两点到双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( )A. (54,52)B. (√2,√5)C. (52,5√22) D. (√5,√2+1)11. 已知x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f(x)对定义域内任意x ，有f(x)+f(2+x)=0，f(x)+f(2−x)=0，且x ∈[−1,0]时，f(x)=x −[x]，则函数g(x)=f(x)+2√e x 在区间[−1,2021]的零点个数为( )A. 1009B. 1010C. 1011D. 1012 12. 2020年12月17日，嫦娥五号返回器在内蒙古安全着陆，激动人心!“切线数列”在航空航天中应用广泛，若数列{x n }满足x n+1=x n −f(x n)f′(x n)，则数列{x n }为函数f(x)的“切线数列”.若函数f(x)=x 2−3x +2的“切线数列“为{x n }，其中x n >2，数列{a n }满足a 1=2，a n =ln x n−2x n−1上，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2020=( )A. (12)2021−12B. 2⋅(12)2021−2 C. 22021−2D. 22021−1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在“一带一路”(英文：TheBel tan dRoad ，缩写B&R)知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为______．14. 已知a ，b ∈R +，若直线(a −1)x +2y −1=0与直线x +by +7=0互相垂直，则ab 的最大值等于______ ．15. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若△ABC 是边长为6√3的等边三角形，AA 1=5，则V的最大值为______ ．16. 已知定义在R 上的函数f(x)的图象连续不断，若存在常数t(t ∈R)，使得f(x +t)+tf(x)=0对任意的实数x 成立，则称f(x)是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是______ ．①若f(x)是t =12的回旋函数，则函数f(x)至少有一个零点；②若y =a x (a >1)为回旋函数，则t >0； ③函数f(x)=x 2不是回旋函数：④函数y =tanω1x(ω1>0)，函数y =sinω2x(ω2>0)是回旋函数，则ω1，ω2的取值的集合是相等的． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 在①csinB+C 2=asinC ，②2cosA(bcosC +ccosB)=a ，③(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c =(√3−1)b ，_____． (1)求C 的值；(2)若△ABC 的面积为3−√3，求b 的值．18.2020年4月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从成都到重庆的蔬菜运输业务.已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X(40≤X<200，单位：件)．蔬菜量X[40,80)[80,120)[120,160)[160,200)天数255010025(1)该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；(2)该物流公司拟一次性租赁−批货车专门运营从成都到重庆的蔬菜运输.已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车.若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元.该物流公司负责人甲提出的方案是租赁3辆货车，负责人乙提出的方案是租赁4辆货车，为使该物流公司此项业务的营业利润最大，应该选用哪种方案？19.如图(1)，在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BC=CE=EF=FD.沿BE，AF，将△CBE和△DAF折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图(2)．(1)试判断图(2)中直线CD与AB的位置关系，并说明理由；(2)若平面DFA∩与平面CEB=l，求直线l与平面DEF所成角的正弦值．20.已知函数f(x)=x2lnx−2x．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求证：存在唯一的x0∈(1,2)，使得曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为f(2)−f(1)(Ⅲ)比较f(1.01)与−2.01的大小，并加以证明．21. 设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，定义椭圆C 的“相关圆”方程为x 2+y 2=a 2b 2a 2+b 2.若抛物线y 2=4x的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形(Ⅰ)求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；(Ⅱ)过“相关圆”E 上任意一点P 作“相关圆”E 的切线与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点 (i)证明：∠AOB 为定值；(ii)连接PO 并延长交“相关圆”E 于点Q ，求△ABQ 面积的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =1−my =k(m −1)(m 为参数)，直线l 2的参数方程{x =ny =2+n k(n 为参数).若直线l 1，l 2的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C ．(1)求曲线C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l ：ρcos(θ−π6)=2，已知点P 在曲线C 上，点P 到直线l 和极轴的距离分别为d 1，d 2，求d 1+d 2的最大值．23. 已知函数f(x)=|2x −1|−|x −3|．(Ⅰ)解不等式f(x)>0；(Ⅱ)若不等式m 2−4|m|+|x −3|>f(x)对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|−2≤x≤3}，B={x|2x−a≤0}={x|x≤a2}，且A∩B={x|−2≤x≤1}，∴a2=1，解得a=2．故选：C．求出B={x|x≤a2}，由A∩B={x|−2≤x≤1}，得到a2=1，由此能求出a．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．抛物线y2=−8x的开口向左，2p=8，从而可得抛物线y2=−8x的准线方程．【解答】解：抛物线y2=−8x的开口向左，2p=8，∴抛物线y2=−8x的准线方程为x=p2=2故选D．3.【答案】C【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S7=28，a2+a4=7，∴7a1+21d=28，2a1+4d=7．解得：a1=52，d=12．则a6=52+5×12=5．故选：C．利用等差数列的通项公式求和公式直接计算即可得出答案．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．由已知可得e iπ=−1，再把(e iπ+i)⋅z=i变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的计算公式求解．【解答】解：由e iθ=cosθ+isinθ得e iπ=cosπ+isinπ=−1，则由(e iπ+i)⋅z=i，得z=i−1+i =i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=12−12i，∴|z|=√(12)2+(−12)2=√22． 故选：B ． 5.【答案】B【解析】解：x −=1+2+3+4+55=3，y −=2+7+9+13+145=9，则样本点的中心坐标为(3,9)，代入y ̂=3x +a ， 得a =9−3×3=0，∴线性回归方程为y ̂=3x ，取x =4，可得y ̂=12， 则此回归模型第4周的残差为13−12=1． 故选：B ．由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得a ，得到线性回归方程，取x =4求得y ^，进一步得到残差，则答案可求．本题考查线性回归方程，考查残差的求法，是基础题． 6.【答案】A【解析】解：∵向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为2π3，a ⃗ =(1,2)，a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=0， 所以：|a ⃗ |=√5；∴a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b⃗ =5+2×√5×|b ⃗ |⋅cos 2π3=0⇒|b⃗ |=√5； 故选：A ．由已知求出向量|a⃗ |，利用数量积公式可求． 本题考查了平面向量的数量积运算；熟练运用数量积公式是关键． 7.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了线线平行及面面垂直的判定定理，属中档题．由线线、线面平行及面面垂直的判定定理可得：设m ⊂α，且m//l ，由l ⊥β，则m ⊥β，则α⊥β，得解． 【解答】解：设m ⊂α，且m//l ，由l ⊥β，则m ⊥β，由面面垂直的判定定理可得：α⊥β.选项A 正确 若α⊥β，l ⊥α，则l //β或l ⊂β.选项B 错误 若l//α，l//β，α与β的关系不能确定.故C 错误 若α⊥β，l//α，l 与β的关系不能确定.故C 错误 即选项A 正确， 故选A ． 8.【答案】D【解析】解：∵f(x)与直线y =a 的两个相邻交点间的距离为π2， ∴函数f(x)的最小正周期为π2，A 错，∴ω=ππ2=2，∵图象关于点(π6,0)成中心对称，∴2×π6+φ=kπ2，k∈Z，0<φ<π2，∴φ=π6.∴f(x)=tan(2x+π6)，∴函数f(x)图象的对称中心为(kπ4−π12,0)，k∈Z，B错；∴函数f(x)的图象可由y=tan2x的图象向左平移π12得到，C错；∵−π2+kπ<2x+π6<π2+kπ，k∈Z∴函数f(x)的递增区间为(kπ2−π3,kπ2+π6)(k∈Z)，D对．故选：D．根据题意求出周期，求出ω和φ，然后根据正切函数的性质判断选项．本题考查正切函数的性质，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：根据题意，f(x)=x+a，g(x)=lnx，设F(x)=f(x)−g(x)=x−lnx+a，则F′(x)=1−1x =x−1x，在区间(0,1)上，F′(x)<0，F(x)为减函数，在区间(1,+∞)上，F′(x)>0，F(x)为增函数，则F(x)在(0,+∞)的最小值为F(1)=1−ln1+a=a+1，当a>−1时，F(x)>0恒成立，则f(x)的图象在g(x)的上方，此时d(f,g)=a+1>0，当a≤−1时，F(x)=0有解，f(x)与g(x)的图象有交点，此时d(f,g)=0，若“a>2”，则d(f,g)=a+1>3>2，则“a>2”是“d(f,g)>2”充分条件，反之，若d(f,g)>2，即a+1>2，解可得a>1，则“a>2”是“d(f,g)>2”的不必要条件，故“a>2”是“d(f,g)>2”的充分不必要条件，故选：A．根据题意，设F(x)=f(x)−g(x)=x−lnx+a，求出F(x)的导数，利用导数分析F(x)的单调性以及最小值，即可得d(f,g)的表达式，结合充分必要条件的定义分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的最值，涉及充分必要条件的判断，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：圆C：x2+y2−10y+16=0可化为x2+(y−5)2=9，∵圆C：x2+y2−10y+16=0上有且仅有两点到双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1，∴圆心到双曲线渐近线的距离大于2且小于4，由对称性不妨取双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=bax，即bx−ay=0，∴2<√a2+b2<4，即2<5ac<4，解得：54<ca<52．即双曲线离心率的取值范围是(54,5 2 ).故选：A．由圆的方程求出圆心坐标与半径，写出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得圆心到双曲线渐近线的距离大于且小于4，由此列式求解双曲线离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率e的取值范围，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：x∈[−1,0)时，[x]=−1，所以f(x)=x+1，因为f(x)+f(2+x)=0，所以f(x+2)=−f(x)，则有f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，故函数f(x)的周期为4，又f(x)+f(2−x)=0，则有f(x+2)=−f[2−(x+2)]=−f(−x)，又f(x+2)=−f(x)，所以f(−x)=f(x)，故函数f(x)为偶函数，令ℎ(x)=−ex2√e x，则ℎ′(x)=4√e x，令ℎ′(x)=0，解得x=2，当x<2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(−∞,2)上单调递减，当x>2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(2,+∞)上单调递增，所以，当x=2时，ℎ(x)min=ℎ(2)=−2√e2=−1，函数g(x)=f(x)+2√e x的零点个数等价于y=f(x)与y=ℎ(x)图象的交点个数，作出函数y=f(x)和y=ℎ(x)的图象如图所示，在区间[−1,3)内有2个交点，在[3,7)上有2个交点，即每个周期都有2个交点，将区间[−1,2021]分为两部分[−1,3)和[3,2021]，在[3,2021]上共有504个周期余前半个周期，而在[3,2021]上，每个周期的前半个周期都没有交点，后半个周期有2个交点，所以在区间[−1,2021]上的交点个数为2+504×2=1010，故函数g(x)=f(x)+2√e x在区间[−1,2021]的零点个数为1010个．故选：B．先利用新定义，求出f(x)的解析式，然后再利用已知的恒等式判断出函数f(x)时周期为4的偶函数，令ℎ(x)=−ex2√e x ，将函数g(x)=f(x)+ex2√e x在区间[−1,2021]的零点个数转化为函数y=f(x)与y=ℎ(x)图象的交点个数，利用导数研究函数y=ℎ(x)的性质，然后再同一坐标系内作出两条函数的图象，利用图象和函数的周期性进行分析求解，即可得到答案．本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了利用导数研究函数的性质、函数周期性与奇偶性的应用，对于函数零点个数问题，经常将它转化为两个图象的交点问题来研究，属于中档题． 12.【答案】C【解析】解：因为f(x)=x 2−3x +2，所以f′(x)=2x −3， 由题意可得x n+1=x n −f(x n )f′(x n)=x n −x n 2−3x n+22x n −3=x n2−22x n −3，所以x n+1−2xn+1−1=x n 2−22x n −3−2x n 2−22x n −3−1=x n 2−4x n+4x n2−2xn+1=(x n −2x n−1)2， 因为a 1=2，a n =ln x n−2x n−1，所以a n+1=ln x n+1−2x n+1−1=2ln x n−2x n−1=2a n ，所以数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列， 则a n =2n ， 所以S 2020=2(1−22020)1−2=22021−2．故选：C ．求出导函数f′(x)，可得x n+1=x n2−22x n−3，计算可得x n+1−2xn+1−1=(x n −2x n−1)2，从而求得a n+1=2a n ，可得数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式即可求解．本题主要考查函数与数列的综合，考查等比数列前n 项和公式，求出数列{a n }为等比数列是解题的关键，属于中档题．13.【答案】85【解析】解：在“一带一路”(英文：The Belt and Road ，缩写B&R)知识问答竞赛中， “江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示， 去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为： 84，84，84，86，87，∴所剩数据平均数为x −=15(84+84+84+86+87)=85， ∴所剩数据的方差为：S 2=15[(84−85)2+(84−85)2+(84−85)2+(86−85)2+(87−85)2]=85．故答案为：85．去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84，84，84，86，87，由此能求出所剩数据平均数和所剩数据的方差．本题考查平均数、方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】18【解析】解：∵直线(a −1)x +2y −1=0与直线x +by +7=0互相垂直， ∴(a −1)×1+2×b =0， 解得a +2b =1， ∵a ，b ∈R +， ∴2ab ≤(a+2b 2)2=14， 当且仅当2a =b ，即a =12，b =14时取等号， ∴ab 的最大值等于18． 故答案为：18．由直线(a −1)x +2y −1=0与直线x +by +7=0互相垂直，得到a +2b =1，再由a ，b ∈R +，利用基本不等式的性质能求出ab 的最大值．本题考查两数积的最大值的求法，考查直线与直线垂直、基本不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】1256π【解析】解：如图，等边三角形内切球的半径r =3>52，要使球的体积最大，则球与直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的上下底面相切， ∴球半径R =52，∴V max =43π×(52)3=1256π．故答案为：1256π.等边三角形内切球的半径r =3>52，要使球的体积最大，则球与直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的上下底面相切，球半径R =52，由此能求出V 的最大值．本题考查直三棱柱内的球的体积的最大值的求法，考查直三棱柱、三角形内切球、球的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 16.【答案】①③④【解析】解：对于①，若f(x)是t =12的回旋函数，则f(x +12)+12f(x)=0， 即f(x +12)=−12f(x)恒成立，∴f(x)⋅f(x +12)≤0，∴由零点存在性定理可得，函数f(x)在区间[x,x +12]上至少有一个零点，故①正确；对于②，若指数函数y =a x 为阶数为t 回旋函数，则a x+t +ta x =0，a t +t =0，∴t <0，故②错误； 对于③，若(x +a)2+ax 2=0对任意实数都成立，令x =0，则必须有a =0，令x =1，则有a 2+3a +1=0，a =0不是这个方程的解， 故假设不成立，该函数不是回旋函数，故③正确；对于④，∵函数y =tanω1x(ω1>0)，函数y =sinω2x(ω2>0)是回旋函数， ∴tanω1(x +t)+t ⋅tanω1x =0，sinω2(x +t)+t ⋅sinω2x =0， ∴ω1，ω2的取值的集合是相等的，故④正确． 故答案为：①③④．对于①，若f(x)是t =12的回旋函数，则f(x +12)+12f(x)=0，推导出f(x)⋅f(x +12)≤0，由零点存在性定理可得，函数f(x)在区间[x,x +12]上至少有一个零点；对于②，若指数函数y =a x 为阶数为t 回旋函数，根据定义求解，得矛盾结论；对于③，利用回旋函数的定义，令x =0，则必须有a =0；令x =1，则有a 2+3a +1=0，故可判断；对于④，由回旋函数定义、正切函数和正弦函数的性质求解．本题考查了新定义问题，解答此类问题时，首先必须要理解掌握这个新定义，再利用这个定义来解题，所以要解答本题，首先必须理解回旋函数的定义，属于中档题．17.【答案】解：(1)选①，csinB+C 2=asinC ，由正弦定理可得sinCsinB+C 2=sinAsinC ，因为C 为三角形内角，sinC >0， 所以sinB+C 2=sinA ，即cos A 2=2sin A 2cos A2，因为A 为三角形内角，A2∈(0,π2)， 所以sin A2=12，可得A2=π6，可得A =π3， 可得B =2π3−C ，又c =(√3−1)b ，由正弦定理可得sinC =(√3−1)sinB ，即sinC =(√3−1)sin(2π3−C)=3−√32cosC +√3−12sinC ， 可得sinC −cosC =0，即√2sin(C −π4)=0， 又C ∈(0,π)， 所以C −π4∈(−π4,3π4)，所以C −π4=0，即C =π4．选②，2cosA(bcosC +ccosB)=a ，由正弦定理可得2cosA(sinBcosC +sinCcosB)=sinA ， 所以2cosAsin(B +C)=2cosAsinA =sinA ， 因为sinA ≠0， 所以cosA =12，又A 为三角形内角，A ∈(0,π)， 所以A =π3，可得B =2π3−C ，又c =(√3−1)b ，由正弦定理可得sinC =(√3−1)sinB ，即sinC =(√3−1)sin(2π3−C)=3−√32cosC +√3−12sinC ，可得sinC −cosC =0，即√2sin(C −π4)=0， 又C ∈(0,π)， 所以C −π4∈(−π4,3π4)，所以C −π4=0，即C =π4．选③，(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ，由正弦定理可得(b −c)2=a 2−bc ，即b 2+c 2−a 2=bc ， 因此cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，又A 为三角形内角，A ∈(0,π)， 所以A =π3，可得B =2π3−C ，又c =(√3−1)b ，由正弦定理可得sinC =(√3−1)sinB ，即sinC =(√3−1)sin(2π3−C)=3−√32cosC +√3−12sinC ， 可得sinC −cosC =0，即√2sin(C −π4)=0， 又C ∈(0,π)， 所以C −π4∈(−π4,3π4)，所以C −π4=0，即C =π4．(2)因为△ABC 的面积为3−√3=12bcsinA =√34bc =3−√34b 2，所以解得b =2．【解析】(1)选①，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sinC >0，可得cos A2=2sin A2cos A2，结合范围A2∈(0,π2)，可得A ，可得B =2π3−C ，由正弦定理，两角差的正弦函数公式可得√2sin(C −π4)=0，结合范围C −π4∈(−π4,3π4)，可求C 的值．选②，由正弦定理，两角和的正弦公式，结合sinA ≠0，可得cosA =12，结合A ∈(0,π)，可求A ，可得B =2π3−C ，由正弦定理，两角差的正弦函数公式可得√2sin(C −π4)=0，结合范围C −π4∈(−π4,3π4)，可求C的值．选③，由正弦定理，余弦定理可求cosA =12，结合范围A ∈(0,π)，可求A ，可得B =2π3−C ，由正弦定理，两角差的正弦函数公式可得√2sin(C −π4)=0，结合范围C −π4∈(−π4,3π4)，可求C 的值．(2)由(1)利用三角形的面积公式即可解得b 的值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则：P(A)=75200=38，∴随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为：p =C 32(38)258+C 3138(58)2+C 30(58)3=485512；(2)由题意得每天配送蔬菜量X 在[40,80)，[80,120)，[120,160)，[160,200)的概率分别为18，14，12，18， 设物流公司每天的营业利润为Y ．若租赁3辆车，则Y 的可能取值为6000，3600，1200， P(Y =6000)=58，P(Y =3600)=14，P(Y =1200)=18， Y 6000 3600 1200P581418∴E(Y)=6000×58+3600×14+1200×18=4800元； 若租赁4辆车，则Y 的可能取值为8000，5600，3200，800，P(Y =8000)=18，P(Y =5600)=12，P(Y =3200)=14，P(Y =800)=18， Y 8000 5600 3200 800 P18121418∴E(Y)=8000×18+5600×12+3200×14+800×18=4700，∵4800>4700，∴为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车， 故选择负责人甲提出的方案．【解析】(1)记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P(A)=38，再由独立事件的的概率公式求3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；(2)由题意得每天配送蔬菜量X 在[40,80)，[80,120)，[120,160)，[160,200)的概率分别为18，14，12，18，设物流公司每天的营业利润为Y ，求出租赁3辆车及租赁4辆车营业利润Y 的期望，比较大小得结论． 本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频数分布表、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)CD//AB ，理由如下：连结CD ，分别取AF ，BE 的中点M ，N ，连结DM ，CN ，MN ，如图1，则有△ADF 与△BCE 都是等腰直角三角形且全等， 则DM ⊥AF ，CN ⊥BE ，DM =CN ，因为平面ADF ⊥平面ABEF ，平面ADF ∩平面ABEF =AF ，DM ⊂平面ADF ，DM ⊥AF ， 所以DM ⊥平面ABEF ， 同理可证CN ⊥平面ABEF ， 所以DM//CN ， 又因为DM =CN ，所以四边形CDMN 为平行四边形， 所以CD//MN ，因为M ，N 分别为AF ，BE 的中点， 所以MN//AB ， 所以CD//AB ；(2)因为DM//CN ，CN ⊄平面DFA ，DM ⊂平面DFA ， 所以CN//平面DFA ，因为CN ⊂平面CEB ，平面DFA ∩与平面CEB =l ， 所以CD//l ， 因为DM//CN ， 所以DM//l ，所以直线l 与平面DEF 所成的角即为直线DM 与平面DEF 所成的角， 在AB 边上取一点P ，使AP =AE ，由图(1)可知，四边形ADFP 为正方形，即AP =FP ， 因为M 为AF 的中点，所以MP ⊥MA ， 由(1)可知，MD ⊥平面ABEF ， 所以MA ，MP ，MD 两两垂直，以M 为坐标原点，直线MA ，MP ，MD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设AF =2，则M(0,0，0)，D(0,0，1)，A(1,0，0)，P(0,1，0)，F(−1,0，0)，所以FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)， 设平面DEF 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有{m⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅FE⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +z =0−x +y =0， 令x =1，则y =1，z =−1，所以m⃗⃗⃗ =(1,1,−1)， 设直线DM 与平面DEF 所成的角为θ，则sinθ=|cos <DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ ||DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=|0×1+0×1+1×(−1)|1×√1+1+1=√33， 故直线l 与平面DEF 所成角的正弦值为√33．【解析】(1)连结CD ，分别取AF ，BE 的中点M ，N ，连结DM ，CN ，MN ，通过翻折前的几何关系得到△ADF与△BCE 都是等腰直角三角形且全等，再利用面面垂直的性质定理得到DM ⊥平面ABEF ，同理可证CN ⊥平面ABEF ，再利用垂直于同一个平面的两条直线平行，从而可以证明四边形CDMN 为平行四边形，即可得到CD//MN ，再利用平面几何知识即可证明CD//AB ；(2)利用线面平行的判定定理得到CN//平面DFA ，再利用线面平行的性质定理得到CD//l ，从而得到直线l 与平面DEF 所成的角即为直线DM 与平面DEF 所成的角，M 为坐标原点，直线MA ，MP ，MD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，再求出直线DM 的方向向量和平面DEF 的法向量，然后利用线面角的求解公式计算即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了由平面图形翻折得到立体图形的应用，在求解空间角的时候，常会选用空间向量法进行求解，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，将空间角转化为空间向量的夹角进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=x2lnx−2x的定义域是(0,+∞)，导函数为f′(x)=2xlnx+x−2，所以f′(1)=−1，又f(1)=−2，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−x−1；(Ⅱ)证明：由已知f(2)−f(1)=4ln2−2，所以只需证明方程2xlnx+x−2=4ln2−2在区间(1,2)有唯一解．即方程2xlnx+x−4ln2=0在区间(1,2)有唯一解．设函数g(x)=2xlnx+x−4ln2，则g′(x)=2lnx+3．当x∈(1,2)时，g′(x)>0，故g(x)在区间(1,2)单调递增．又g(1)=1−4ln2<0，g(2)=2>0，所以存在唯一的x0∈(1,2)，使得g(x0)=0．综上，存在唯一的x0∈(1,2)，使得曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为f(2)−f(1)；(Ⅲ)f(1.01)>−2.01.证明如下：首先证明：当x>1时，f(x)>−x−1．设ℎ(x)=f(x)−(−x−1)=x2lnx−x+1，则ℎ′(x)=x+2xlnx−1．当x>1时，x−1>0，2xlnx>0，所以ℎ′(x)>0，故ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，所以x>1时，有ℎ(x)>ℎ(1)=0，即当x>1时，有f(x)>−x−1．所以f(1.01)>−1.01−1=−2.01．【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可得到所求切线的方程；(Ⅱ)求得f(2)−f(1)，只需证明方程2xlnx+x−2=4ln2−2在区间(1,2)有唯一解．设函数g(x)=2xlnx+x−4ln2，求得导数，判断单调性，结合函数零点存在定理，即可得证；(Ⅲ)f(1.01)>−2.01，设ℎ(x)=f(x)−(−x−1)=x2lnx−x+1，求得导数，单调区间，运用单调性可得f(x)>−x−1(x>1)．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查转化思想和函数零点存在定理的运用，考查构造函数法和化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，∴b=c=1，∴a2=1+1=2，∴椭圆C的方程为x22+y2=1．∴“相关圆”E的方程为x2+y2=23．证明：(Ⅱ)(i)当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x=√63，则A(√63,√63)，B(√63,−√63)，∴∠AOB=π2，当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立方程组{y =kx +mx 22+y 2=1，得x 2+2(kx +m)2=2， 即(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0，△=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−2)=8(2k 2−m 2+1)>0， 即2k 2−m 2+1>0，(∗) {x 1+x 2=−4km1+2k 2x 1x 2=2m 2−21+2k 2， ∵直线与圆相切， ∴d =2=√m 21+k 2=√23，∴3m 2=2+2k 2， ∴x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)(2m 2−2)1+2k 2−4k 2m 21+2k2+m 2 =3m 2−2k 2−21+2k 2=0，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴∠AOB =π2为定值．解：(ii)∵PQ 是“相关圆”的直径， ∴S △ABQ =12|AB||PQ|=√63|AB|， ∴要求△ABQ 的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围， 当直线AB 的斜率不存在时，由(i)知|AB|=2√63， |AB|=√(1+k 2)(x 1−x 2)2=√(1+k 2)⋅8(2k 2−m 2+1)(1+2k 2)2=√83⋅4k 4+5k 2+14k 4+4k 2+1=√83[1+k 24k 4+4k 2+1]， ①当k ≠0时，|AB|=√83(1+14k 2+1k 2+4)，∵4k 2+1k 2+4≥8，∴0<14k 2+1k 2+4≤18，∴83<83(1+14k 2+1k 2+1)≤3，∴23√6<|AB|≤√3，当且仅当k =±√22时，取“=”号．②当k =0时，|AB|=2√63.|AB|的取值范围为23√6≤|AB|≤√3，∴△ABQ 面积的取值范围是[43,√2].【解析】(Ⅰ)由抛物线y 2=4x 的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，得到b =c =1，由此能求出椭圆C 的方程． ∴“相关圆”E 的方程为x 2+y 2=23．(Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时，直线AB 方程为x =√63，∠AOB =π2；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，代入椭圆方程，得x 2+2(kx +m)2=2，由此利用根的判别式、韦达定理、直线与圆相切，结合已知条件推导出∠AOB =π2为定值．(ii)要求△ABQ 的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，由此利用椭圆弦长公式能求出△ABQ 面积的取值范围．本题考查椭圆方程的求法，考查相关圆的方程的求法，考查角为定值的与求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线与圆相切、椭圆弦长公式的合理运用． 22.【答案】解：(1)直线l 1的参数方程{x =1−my =k(m −1)(m 为参数)，转换为直线l 1的普通方程为y =k(−x)， 直线l 2的参数方程{x =n y =2+n k (n 为参数).转化为直线l 2的普通方程为y −2=2k ，联立直线l 1，l 2方程，消去参数k ，得曲线C 的普通方程为y(y −2)=−x 2， 整理得x 2+(y −1)2=1(x ≠0)．(2)直线l ：ρcos(θ−π6)=2，即为ρ(√32cosθ+12sinθ)=2，即√3ρcosθ+ρsinθ−4=0，由x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得√3x +y −4=0， 由x 2+(y −1)2=1(x ≠0)，可得C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数，且0≤α<2π，且α≠π2)， 可设P(cosα,1+sinα)， d 1=√3cosα+1+sinα−4|√3+1=|√3cosα+sinα−3|2=12(3−√3cosα−sinα)，又d 2=1+sinα，则d 1+d 2=52+12sinα−√32cosα=sin(α−π3)+52，当α=5π6时，sin(α−π3)取得最大值1， 则d 1+d 2取得最大值72．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)将直线l 的方程化为直角坐标方程，求得圆C 的参数方程，设出P 的坐标，由点到直线的距离公式可得d 1，d 1+d 2，结合三角函数的和差公式和最值，可得所求最大值．本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)>0即为|2x −1|>|x −3|， ∴|2x −1|2>|x −3|2，即4x 2−4x +1>x 2+9−6x ， ∴3x 2+2x −8>0，解得x >43或x <−2，,+∞)；∴不等式的解集为(−∞,−2)∪(43(Ⅱ)m2−4|m|+|x−3|>|2x−1|−|x−3|即m2−4|m|>|2x−1|−|2x−6|恒成立，由||2x−1|−|2x−6||≤|(2x−1)−(2x−6)|=5(x=3时等号成立)，可知m2−4|m|>5，解得|m|>5，∴m>5或m<−5，即实数m的取值范围为(−∞,−5)∪(5,+∞)．【解析】(Ⅰ)由f(x)>0得|2x−1|>|x−3|，两边平方后，化为一元二次不等式，解出即可；(Ⅱ)问题即为m2−4|m|>|2x−1|−|2x−6|恒成立，利用绝对值不等式的性质可得m2−4|m|>5，解出即可．本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式性质的运用，考查不等式的恒成立问题，考查分离变量思想，属于基础题．。