高考总复习教师用书：第10章第3讲二项式定理

第3讲二项式定理1．二项式定理2．二项式系数的性质3.常用结论(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.(3)C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋n C n n＝n2n－1.(4)C r m C0n＋C r－1m C 1n＋…＋Cm Crn＝Crm＋n.(5)(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(C n n)2＝C n2n.1．概念辨析(1)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(a＋b)2n中系数最大的项是第n项．( )(3)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )(4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.( )答案(1)√(2)×(3)√(4)×2．小题热身(1)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( )A.3516B.358C.354D ．105答案 B解析 二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 8(x )8－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k C k 8x 4－k， 令4－k ＝0，解得k ＝4，所以T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48＝358.(2)(x －y )n的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A ．C mn B ．C m ＋1n C ．C m －1n D ．(－1)m －1C m －1n答案 D解析 (x －y )n的二项展开式中第m 项的通项公式为T m ＝C m －1n (－y )m －1x n －m ＋1，所以系数为C m －1n ·(－1)m －1. (3)若(x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 0的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A解析 令x ＝0得，(－1)5＝a 0，即a 0＝－1.(4)若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x n的展开式中所有二项式系数之和为128，则n ＝________.答案 7解析 由题意，可知2n＝128，解得n ＝7.题型 一 二项展开式角度1 求二项展开式中的特定项或系数1．(1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80(2)(2019·茂名模拟)已知a ＝⎠⎛02πcos x d x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1ax 6展开式中，常数项为________． 答案 (1)C (2)20解析 (1)由题可得T r ＋1＝C r5(x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r .令10－3r ＝4，则r ＝2，所以C r 5·2r ＝C 25×22＝40，故选C .(2)因为a ＝⎠⎛02πcos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝1，⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋1ax 6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(ax)6－2r.令6－2r ＝0，解得r ＝3，代入得到常数项为20.角度2 已知二项展开式某项的系数求参数2．(1)已知(2＋ax)(1－2x)5的展开式中，含x 2项的系数为70，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2(2)记⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项的系数为b m .若b 3＝2b 4，则n ＝________.答案 (1)A (2)5解析 (1)(1－2x)5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r5·(－2x)r，所以(2＋ax)(1－2x)5的展开式中，含x 2项的系数为2×C 25(－2)2＋a C 15(－2)＝70，解得a ＝1. (2)T r ＋1＝C rn (2x)n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝2n －r C r n ·x n －2r .∵b 3＝2b 4，∴2n －2·C 2n ＝2·2n －3·C 3n .∴C 2n ＝C 3n ，∴n＝5.角度3 多项展开式3．(1)(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y)5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60(2)(2019·陕西黄陵中学模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋25展开式中x 2的系数为( )A ．120B ．80C ．20D ．45 答案 (1)C (2)A解析 (1)(x 2＋x ＋y)5＝[(x 2＋x)＋y]5的展开式中只有C 25(x 2＋x)3y 2中含x 5y 2，易知x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C .(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10.T r ＋1＝C r10(x)10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10x 5－r. 令5－r ＝2解得r ＝3. T 4＝C 310x 2＝120x 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋25展开式中x 2的系数为120.1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路 (1)利用通项公式将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项得所求．见举例说明1.2．求解形如(a ＋b)m(c ＋d)n的展开式问题的思路(1)若m ，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a ＋b)2(c ＋d)n＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d)n，然后分别求解．(2)观察(a ＋b)(c ＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x 2)5(1－x)2.(3)分别得到(a ＋b)m，(c ＋d)n的通项公式，综合考虑． 3．求形如(a ＋b ＋c)n 展开式中特定项的四步骤1．(2017·全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x)6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35 答案 C解析 因为(1＋x)6的通项为C r 6x r ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x)6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x2·C 46x 4. 因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x)6展开式中x 2的系数为30.故选C.2．若(1＋ax)7(a≠0)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则a ＝________. 答案 3解析 展开式的通项为T r ＋1＝C r7(ax)r，因为x 5与x 6系数相等，所以C 57a 5＝C 67a 6，解得a ＝3.3．(2018·河南鹤壁月考)(x －y)(x ＋2y ＋z)6的展开式中，x 2y 3z 2的系数为( ) A ．－30 B ．120 C ．240 D ．420 答案 B解析 [(x ＋2y)＋z]6的展开式中含z 2的项为C 26(x ＋2y)4z 2，(x ＋2y)4的展开式中xy 3项的系数为C 34×23，x 2y 2项的系数为C 24×22，∴(x－y)(x ＋2y ＋z)6的展开式中x 2y 3z 2的系数为C 26C 34×23－C 26C 24×22＝480－360＝120.故选B.题型 二 二项式系数的性质或各项系数的和1．(1－3x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________.答案 －33解析 令x ＝1得(－2)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－32. 令x ＝0得，1＝a 0；所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－33.2．(2018·九江模拟)已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求n ；(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项．解 (1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ，由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n ＝8(n ＝1舍去)．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r ＝2－r C r8x 4－3r4(r ＝0,1，…，8)，要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x2.(3)设第r ＋1项的系数为a r ＋1最大，则a r ＋1＝2－r C r8， 则a r ＋1a r ＝2－r C r82－－C r －18＝9－r 2r ≥1， a r ＋1a r ＋2＝2－r C r82－＋C r ＋18＝＋8－r≥1，解得2≤r≤3.当r ＝2时，a 3＝2－2C 28＝7，当r ＝3时，a 4＝2－3C 38＝7， 因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为结论探究1 举例说明1条件不变，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝________. 答案 1024解析 (1＋3x)5各项系数之和为|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|. 令x ＝1得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝45＝1024. 结论探究2 举例说明1条件不变，求a 0＋a 2＋a 4. 解 令x ＝1得(－2)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5， 令x ＝－1得45＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5， 两式相加得－32＋1024＝2(a 0＋a 2＋a 4)， 所以a 0＋a 2＋a 4＝496.1．赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于a ，b 的一切值都成立．因此，可将a ，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a ，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax ＋b)n，(ax 2＋bx ＋c)m(a ，b ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．(2)形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法(1)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)． (2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f ＋f －2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f－f －2.3．求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n中n 的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n 的式子，可以看作关于n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．见举例说明2.思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1即可求得答案.1．(2019·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．答案 －3或1解析 令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.2．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n的展开式的二项式系数和大992，则在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．答案 －8064 －15360x 4解析 由题意知，22n－2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，故2n＝32，解得n ＝5.由二项式系数的性质知，⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T 6＝C 510(2x )5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8064.设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k C k 10·210－k ·x 10－2k， 令⎩⎪⎨⎪⎧C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧C k10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－k ≥2k ，k ＋－k ，解得83≤k ≤113.∵k ∈Z ，∴k ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T 4＝－C 310·27·x 4＝－15360x 4.题型 三 二项式定理的应用1．设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12017x ＋C 22017x 2＋C 32017x 3＋…＋C 20172017x 2017等于( ) A ．i B ．－i C ．－1＋i D ．－1－i 答案 C 解析 x ＝2i1－i ＝2i ＋－＋＝－1＋i ，C 12017x ＋C 22017x 2＋C 32017x 3＋…＋C 20172017x2017＝(1＋x )2017－1＝i2017－1＝i －1.2．已知n 为满足S ＝a ＋C 127＋C 227＋C 327＋…＋C 2727(a ≥3)能被9整除的正数a 的最小值，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n 的展开式中，二项式系数最大的项为( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第11项 D ．第6项和第7项答案 B解析 由于S ＝a ＋C 127＋C 227＋C 327＋…＋C 2727＝a ＋227－1＝89＋a －1＝(9－1)9＋a －1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99＋a －1＝9×(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)＋a －2，a ≥3，所以n ＝11，从而⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中的系数与二项式系数只有符号差异，又中间两项的二项式系数最大，中间两项为第6项和第7项，且第6项系数为负，所以第7项系数最大．3．计算1.056.(精确到0.01)解 1.056＝(1＋0.05)6＝1＋6×0.05＋15×0.052＋…＝1＋0.3＋0.0375＋…≈1.34.二项式定理应用的常见题型及求解策略1．整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中关注展开式的最后几项，而求近似值则关注展开式的前几项．见举例说明2.2．二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式． 3．利用二项式定理进行近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n≈1＋nx .若精确度要求较高，则可使用更精确的公式(1＋x )n≈1＋nx ＋n n －2x 2.见举例说明3.1．(2018·银川模拟)C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C nn等于( ) A ．3nB ．2·3nC.3n2－1 D.3n－12答案 D解析 C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C n n ＝12(C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n )－12＝12(1＋2)n－12＝3n－12. 2．883＋6被49除所得的余数是( ) A ．－14 B ．0 C ．14 D ．35 答案 B解析 由二项式定理展开得 883＋6＝(7＋1)83＋6＝783＋C 183×782＋…＋C 8183×72＋C 8283×7＋1＋6 ＝72M ＋83×7＋7(M 是正整数) ＝49M ＋49×12 ＝49N (N 是正整数)．∴883＋6被49除所得的余数是0. 3．求0.9986的近似值．(精确到0.001)解 0.9986＝(1－0.002)6＝1－6×0.002＋15×0.0022＋…≈1－0.012＋0.00006≈0.988.易错防范 二项展开式中项的系数与二项式系数[典例] (2018·四川仁寿一中模拟)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405 答案 C解析 由题意4n2n ＝64，n ＝6，T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝3r C r 6x6－3r2，令6－3r2＝3，r ＝2,32C 26＝135.故选C.11。

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第十章 计数原理 10.3 二项式定理教师用书 理 新人教版1．二项式定理二项式定理 (a ＋b )n ＝C 错误!a n ＋C 错误!an －1b 1＋…＋C 错误!a n －k b k＋…＋C 错误!b n （n ∈N *）二项展开式的通项公式 T k ＋1＝C 错误!a n －k b k ,它表示第k ＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C 错误!（k ∈｛0，1,2，…，n ｝）2。

二项式系数的性质 (1）C 0，n ＝1，C 错误!＝1。

C 错误!＝C 错误!＋C 错误!. (2）C mn ＝C 错误!。

（3）n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；n 是奇数时，12+n T 与112n T ++项的二项式系数相等且最大．(4)C 错误!＋C 错误!＋C 错误!＋…＋C 错误!＝2n。

【知识拓展】二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n。

（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.（4）二项式的系数从C错误!，C错误!，一直到C错误!，C错误!.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1)C错误!a n－k b k是二项展开式的第k项．( ×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．（×)（3)（a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关．( √）(4)在（1－x）9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( ×)（5）若（3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128。

第3讲 二项式定理最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知 识 梳 理1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)；(2)通项公式：T r ＋1＝C r n an －r b r，它表示第r ＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C 0n ，C 1n ，…，C nn . 2.二项式系数的性质(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)C k n an －k b k是二项展开式的第k 项.( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a ＋b )n的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( )(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( )解析 二项式展开式中C k n a n －k b k是第k ＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(x －y )n的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A.C mn B.C m ＋1n C.C m －1nD.(－1)m －1C m －1n解析 (x －y )n展开式中第m 项的系数为C m －1n (－1)m －1.答案 D3.(选修2－3P35练习T1(3)改编) C 02 017＋C 12 017＋C 22 017＋…＋C 2 0172 017C 02 016＋C 22 016＋C 42 016＋…＋C 2 0162 016的值为( ) A.2 B.4C.2 017D.2 016×2 017 解析 原式＝22 01722 016－1＝22＝4.答案 B4.(2017·瑞安市质检)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________.解析 展开式通项为T r ＋1＝C r 9x 2(9－r )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r＝(－1)r12r C r 9x 18－3r(其中r ＝0，1，…，9) ∴T 4＝(－1)3123C 39x 9， 故第4项的二项式系数为C 39＝84，第4项的系数为 (－1)3123C 39＝－212. 答案 84 －2125.(2017·石家庄调研)(1＋x )n的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________. 解析 (1＋x )n的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n2＋1＝6，n ＝10.答案 106.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________.解析 T k ＋1＝C k5(x 2)5－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3k＝C k 5(－2)k x 10－5k .令10－5k ＝0，则k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.答案40考点一 求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项. (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)通项公式为T k ＋1＝C knx n －k3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12kx n －2k 3.因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10.(2)令10－2k 3＝2，得k ＝2，故含x 2的项的系数是C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝454.(3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为454x 2，－638，45256x －2.规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10B.20C.30D.60(2)(2016·全国Ⅰ卷)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________(用数字作答).(3)(2014·全国Ⅰ卷)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字作答).解析(1)法一(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.法二(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.∴x5y2可从其中5个因式中选两个因式取y，两个取x2，一个取x.因此x5y2的系数为C25C23C11＝30.(2)由(2x＋x)5得T r＋1＝C r5(2x)5－r(x)r＝25－r C r5x5－r2，令5－r2＝3得r＝4，此时系数为10.(3)(x－y)(x＋y)8＝x(x＋y)8－y(x＋y)8，∵x(x＋y)8中含x2y7的项为x·C78xy7，y(x＋y)8中含x2y7的项为y·C68x2y6.故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C78－C68＝C18－C28＝－20.答案(1)C (2)10 (3)－20考点二二项式系数的和与各项的系数和问题【例2】在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.解设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10. 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋…＋C1010＝29，偶数项的二项式系数和为C110＋C310＋…＋C910＝29.(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.规律方法 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.【训练2】 (1)(2017·岳阳模拟)若二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x 2－1x n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A.－27C 39 B.27C 39 C.－9C 49D.9C 49(2)(2017·义乌调研)(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( ) A.1 024B.243C.32D.24解析 (1)令x ＝1得2n＝512，所以n ＝9，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(3x 2)9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 9·39－r x 18－3r，令18－3r ＝0得r ＝6，所以常数项为T 7＝(－1)6C 69·33＝27C 39.(2)令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024. 答案 (1)B (2)A 考点三 二项式定理的应用 【例3】 (1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除；(2)用二项式定理证明2n>2n ＋1(n ≥3，n ∈N *).证明 (1)∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n－12－1＝25n－1＝32n －1＝(31＋1)n－1 ＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除. (2)当n ≥3，n ∈N *.2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C nn ＝2n ＋2>2n ＋1，∴不等式成立. 规律方法 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.(3)由于(a ＋b )n的展开式共有n ＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.【训练3】 求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数. 解 S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1 ＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2. ∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是整数， ∴S 被9除的余数为7.[思想方法]1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C nn ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关.2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. [易错防范] 1.通项T k ＋1＝C k n an －k b k是(a ＋b )n 的展开式的第k ＋1项，而不是第k 项，这里k ＝0，1，…，n .2.区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正.3.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念.。