二项式定理 2019高考绝密资料

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2019年高考数学（理）精品资料：
1.7 排列组合二项式定理（讲）
考向一 两个计数原理、排列组合的综合应用
【高考改编☆回顾基础】
2017课标II 改编】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 .
【答案】36
【解析】
由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列33A 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有
种
方法.
2.【两个计数原理】【2018年新课标I 卷】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1
位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
【答案】16
【解析】
根据题意，没有女生入选有
种选法， 从6名学生中任意选3人有种选法， 故至少有1位女生入选，则不同的选法共
有种，故答案是16.
3.【计数原理、简单组合问题】【2018年浙江卷】从1，3，5
，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【答案】1260.
【解析】
若不取零，则排列数为
若取零，则排列数为 因此一共有个没有重复数字的四位数.
4.【计数原理、简单排列组合问题】【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，。

§10.3 二项式定理1．二项式定理2.二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1. C m n ＋1＝C m －1n＋C m n . (2)C m n ＝C n －mn .(3)当n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12n T +与112n T ++＋1项的二项式系数相等且最大．(4)(a ＋b )n 展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .知识拓展二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C nn .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是二项展开式的第k 项．( × ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( √ )(4)(a －b )n 的展开式第k ＋1项的系数为C k n an －k b k .( × ) (5)(x －1)n 的展开式二项式系数和为－2n .( × ) 题组二 教材改编2．[P31例2(1)](1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10答案 B解析 T k ＋1＝C k 5(2x )k ＝C k 52k x k ，当k ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40. 3．[P31例2(2)]若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．120答案 B解析 二项式系数之和2n ＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x 6－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 6x 6－2k，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.4．[P41B 组T5]若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6答案 B解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8. 题组三 易错自纠5．(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A ．C m nB ．C m ＋1nC ．C m －1nD ．(－1)m －1C m －1n答案 D解析 (x －y )n 二项展开式第m 项的通项公式为T m ＝C m －1n(－y )m －1x n －m ＋1，所以系数为C m －1n(－1)m －1. 6．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 B解析 由二项式定理知，a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，11)．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项， 所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6.7．(x y －y x )4的展开式中，x 3y 3项的系数为________． 答案 6解析 二项展开式的通项是T k ＋1＝C k 4(xy )4－k·(－y x )k ＝(－1)kC k 44222kk xy-+，令4－k 2＝2＋k2＝3，解得k ＝2，故展开式中x 3y 3的系数为(－1)2C 24＝6.题型一 二项展开式命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数典例 (1)(2017·全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2项的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 答案 C解析 因为(1＋x )6的通项为C k 6x k ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4. 因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30， 所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2项的系数为30. 故选C.(2)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( )A ．10B ．20C ．30D ．60答案 C解析 方法一 利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2项的系数为C 25C 13＝30.故选C.方法二 利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数典例 (1)(2018届海口调研)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12 C ．1 D ．2 答案 D解析 由题意得⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x 10－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 10x 10－2k ，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.(2)(2016·山东)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5项的展开式中x 5项的系数为－80，则实数a ＝________. 答案 －2解析 ∵T k ＋1＝C k 5(ax 2)5－k⎝⎛⎭⎫1x k ＝a 5－k C k 55102k x -，∴10－52k ＝5，解得k ＝2，∴a 3C 25＝－80，解得a ＝－2. 思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可． 跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．80 答案 C解析 因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40， x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80. 所以x 3y 3的系数为80－40＝40.故选C.(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7项的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 答案 12解析 设通项为T k ＋1＝C k 10x10－k a k，令10－k ＝7， ∴k ＝3，∴x 7项的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题典例 (1)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________. 答案 3解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3. (2)(2018·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________． 答案 1或－3解析 令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.(3)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________． 答案 255解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式的第k ＋1项为 T k ＋1＝C k n(x 2)n －k ·⎝⎛⎫－1x k＝C k n (－1)k x2n－3k，当k ＝5时，2n －3k ＝1，∴n ＝8. 对(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝28＝256. 又当x ＝0时，a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝255.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练 (1)(2017·岳阳模拟)若二项式⎝⎛⎭⎫3x 2－1x n 的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A ．－27C 39B ．27C 39 C ．－9C 49D ．9C 49答案 B解析 令x ＝1，得2n ＝512，所以n ＝9，故⎝⎛⎭⎫3x 2－1x 9的展开式的通项为T k ＋1＝C k 9(3x 2)9－k ⎝⎛⎭⎫－1x k＝(－1)k C k 9·39－k x 18－3k，令18－3k ＝0，得k ＝6.所以常数项为T 7＝(－1)6C 69·33＝27C 39.(2)(2017·绵阳模拟)(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|等于( ) A ．1 024 B ．243 C ．32 D ．24答案 A解析 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024.题型三 二项式定理的应用典例 (1)设a ∈Z 且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 答案 D解析 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ，∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a 能被13整除， ∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12.(2)(2017·安徽江南名校联考)设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017等于( ) A ．i B ．－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 C解析 x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017 ＝(1＋x )2 017－1＝i 2 017－1＝i －1. 思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．(2)利用二项式定理解决整除问题的思路 ①观察除式与被除式间的关系； ②将被除式拆成二项式； ③结合二项式定理得出结论．跟踪训练 (1)(2018·泉州模拟)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( ) A ．－1 B ．1 C ．－87 D ．87答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.(2)若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝________.答案 －1解析 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018，即a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1.二项展开式的系数与二项式系数典例 (1)若⎝⎛⎭⎫x －3x n 展开式的各项系数绝对值之和为 1 024，则展开式中含x 项的系数为________．(2)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4项的系数是－35，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________. 错解展示：(1)⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 展开式中， 令x ＝1可得4n ＝1 024，∴n ＝5， ∴⎝⎛⎭⎫x －3x n 展开式的通项T k ＋1＝(－3)k ·C k 5·532k x -，令5－3k2＝1，得k ＝1. 故展开式中含x 项的系数为C 15＝5.(2)a 1＋a 2＋…＋a 7＝C 17＋C 27＋…＋C 77＝27－1.错误答案 (1)5 (2)27－1 现场纠错解析 (1)在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1， 可得⎝⎛⎭⎫x －3x n 展开式的各项系数绝对值之和为4n ＝22n ＝1 024＝210，∴n ＝5. 故⎝⎛⎭⎫x －3x 5展开式的通项为 T k ＋1＝(－3)k·C k 5·532kx-，令5－3k2＝1，得k ＝1， 故展开式中含x 项的系数为－15. (2)∵(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 令x ＝0，∴a 0＝(－m )7.又∵展开式中x 4项的系数是－35， ∴C 37·(－m )3＝－35， ∴m ＝1，∴a 0＝(－m )7＝－1.在(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7中， 令x ＝1，得0＝－1＋a 1＋a 2＋…＋a 7， 即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1. 答案 (1)－15 (2)1纠错心得 和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和．1．已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212 答案 A解析 由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 2．在x 2(1＋x )6的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 答案 C解析 因为(1＋x )6的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6x k ，所以x 2(1＋x )6的展开式中含x 4的项为C 26x 4＝15x 4，所以系数为15.3．(2017·广州测试)使⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 3n (n ∈N *)展开式中含有常数项的n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 T k ＋1＝C k n (x 2)n －k ⎝⎛⎭⎫12x 3k＝12k C k n x 2n －5k ， 令2n －5k ＝0，得n ＝52k ，又n ∈N *，所以n 的最小值是5.4．(2017·邵阳模拟)(1＋3x )n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则x 4的二项式系数为( ) A ．21 B ．35 C ．45 D ．28答案 B解析 ∵T k ＋1＝C k n (3x )k ＝3k C k n x k ，由已知得35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n ＝7，因此，x 4的二项式系数为C 47＝35，故选B.5．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．20答案 C解析 设展开式中的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx·2－kx＝C k 6·(－1)k ·212x －3kx，∵12x －3kx ＝0恒成立，∴k ＝4， ∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 6．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4项的系数为15，则a 的值为( ) A ．－4 B.52 C ．4 D.72答案 C解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4项的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.7．(2018·漯河质检)若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n 等于( ) A.34(3n －1) B.34(3n －2) C.32(3n －2) D.32(3n －1) 答案 D解析 在展开式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ， 即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n －1)． 8.⎝⎛⎭⎫xy －1x 6展开式中不含x 的项的系数为________．(用数字作答) 答案 －20解析 ⎝⎛⎭⎫xy －1x 6展开式中不含x 的项为C 36(xy )3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－20y 3，故不含x 的项的系数为－20. 9．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.(用数字作答) 答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.10．(2017·广州五校联考)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则log 2a ＋log 2b ＝________. 答案 0解析 ⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6a 6－k ·b k x 12－3k ，令12－3k ＝3，则k ＝3，∴⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为C 36a 3b 3＝20，∴ab ＝1，∴log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )＝log 21＝0.11．(2017·抚顺一中月考)在⎝⎛⎭⎫x ＋a x 6(a >0)的展开式中，常数项的系数是60，则ʃa 0sin x d x 的值为________．答案 1－cos 2解析 由二项展开式的通项公式可知，T k ＋1＝C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎫a x k ＝a k C k 6x ， 令3－32k ＝0，得k ＝2，则T 3＝a 2C 26＝60， 所以a ＝2，所以ʃa 0sin x d x ＝－cos x |20＝1－cos 2.12．(2018·河南南阳模拟)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________.(用数字作答)答案 364解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12. 令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.13．若⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( ) A ．－40B ．－20C ．20D ．40答案 D解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的通项为T k ＋1＝C k 5·(2x )5－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·25－k ·C k 5·x 5－2k . 令5－2k ＝1，得k ＝2.令5－2k ＝－1，得k ＝3. 332k -∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25＋(－1)3·22·C 35＝80－40＝40.14.⎝⎛⎭⎫2x ＋3y －49的展开式中，不含x 的各项系数之和为________． 答案 －1解析 ⎝⎛⎭⎫2x ＋3y －49的展开式中不含x 的项为 C 99(2x )0⎝⎛⎭⎫3y －49＝⎝⎛⎭⎫3y －49，令y ＝1，得各项系数之和为(3－4)9＝－1.15．(2018·珠海模拟)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( )A ．45B ．60C ．120D ．210答案 C解析 因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.16．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中所有x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项．解 易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n . 由题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n ，可得n ＝8. (1)设展开式中的有理项为T k ＋1，由T k ＋1＝C k 8(x )8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫124x k ＝⎝⎛⎭⎫12k C k 81634k x -， ∴k 为4的倍数，又0≤k ≤8，∴k ＝0,4,8. 故有理项为T 1＝⎝⎛⎭⎫120C 0816304x-⨯＝x 4， T 5＝⎝⎛⎭⎫124C 4816344x-⨯＝358x ， T 9＝⎝⎛⎭⎫128C 8816384x -⨯＝1256x 2. (2)设展开式中T k ＋1项的系数最大，则⎝⎛⎭⎫12k C k 8≥⎝⎛⎭⎫12k ＋1C k ＋18且⎝⎛⎭⎫12k C k 8≥⎝⎛⎭⎫12k －1C k －18，可得k ＝2或k ＝3. 故展开式中系数最大的项为T 3＝⎝⎛⎭⎫122C 2816324x-⨯＝527x ， T 4＝⎝⎛⎭⎫123C 3816334x -⨯＝747x .。

2019年高考数学一轮复习：二项式定理二项式定理1．二项式定理(a ＋b )n ＝_____________________(n ∈N *)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(a ＋b )n 的二项展开式共有____________项，其中各项的系数____________(k ∈{0，1，2，…，n })叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用T k ＋1表示，即__________________．通项为展开式的第__________项．2．二项式系数的性质 (1)对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，____________，…，C n n ＝C 0n .(2)增减性与最大值二项式系数C k n ，当____________时，二项式系数是递增的；当____________时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，中间的一项____________取得最大值．当n 是奇数时，中间的两项____________和____________相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于________，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝________.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝________.自查自纠1．C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n an －k b k ＋…＋C n n b nn ＋1C k n C k n a n －k b k T k ＋1＝C k n an －k b kk ＋1 2．(1)C k n ＝C n －kn(2)k ＜n ＋12 k ＞n ＋12C n2n C n －12n Cn ＋12n(3)2n 2n 2n－1(2016·四川)设i 为虚数单位，则(x ＋i )6的展开式中含x 4的项为( )A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20ix 4D ．20ix 4解：由题可知，含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4.故选A.(2017·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35 解：(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C.(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80 解：原题即求(2x －y )5中x 2y 3与x 3y 2系数的和，即为C 35·22·(－1)3＋C 25·23·(－1)2＝40.故选C.(2016·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是____________．(用数字填写答案)解：展开式的通项为T r ＋1＝25－rC r 5x5－r2，令5－r2＝3，得r ＝4，故所求系数为2C 45＝10.故填10.(2016·天津)⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答)解：二项式展开式通项为T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r 8x16－3r，令16－3r ＝7，r ＝3，所以x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.故填－56.类型一 求特定项(1)⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40解：令x ＝1，可得a ＋1＝2，a ＝1，⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中1x 项的系数为C 3522(－1)3，x 项的系数为C 2523，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x (2x －1x)5的展开式中常数项为C 3522(－1)＋C 2523＝40.故选D.【点拨】①令x ＝1可得所有项的系数和；②在求出a 的值后，再分析常数项的构成，便可解得常数项．(2)(2015·安徽)⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案)解：由题意，二项式⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7展开的通项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r⎝⎛⎭⎫1x r＝C r7x 21－4r ，令21－4r ＝5，得r ＝4，则x 5的系数是C 47＝35.故填35.(3)(2017·浙江)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________．解：a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理，a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.故填16；4.【点拨】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其系数．(1)已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项，则含x 2项的系数为________．解：通项T r ＋1＝C r n xn －r3⎝⎛⎭⎫－12rx －r 3＝C r n⎝⎛⎭⎫－12r xn －2r3，因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，得n ＝10.令10－2r3＝2，得r ＝2，所以含x 2项的系数为C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454.故填454.(2)(2016·北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为____________．(用数字填写答案)解：展开式的通项T r ＋1＝C r 6·16－r ·(－2x )r ＝C r 6(－2x )r .令r ＝2得T 3＝C 26·4x 2＝60x 2，即x 2的系数为60.故填60.(3)(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A ．10B ．20C ．30D ．60解：在(x 2＋x ＋y )5的5个因式中，2个取x 2，剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故x 5y 2的系数为C 25C 13C22＝30，故选C.类型二 展开式的系数和问题在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和． 解：设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29，偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，所以奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，所以偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102. 【点拨】①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法．对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．②若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.(1)(2017浙江温州模拟)在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405解：由题意4n 2n ＝64，n ＝6，T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫3x r＝3r C r 6x6－3r2，令6－3r2＝3，得r ＝2，则x 3的系数为32C 26＝135.故选C.(2)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为____________．解：令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(4＋m )9，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝(m ＋2)9，所以有(4＋m )9(m ＋2)9＝39，即m 2＋6m ＋5＝0，解得m ＝－1或－5.故填－1或－5.(3)设⎝⎛⎭⎫22＋x 2n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝_______________________________.解：设f (x )＝⎝⎛⎭⎫22＋x 2n，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －a 1－a 3－a 5－…－a 2n －1)(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＋a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＝f (－1)·f (1)＝⎝⎛⎭⎫22－12n ·⎝⎛⎭⎫22＋12n＝⎝⎛⎭⎫－122n ＝⎝⎛⎭⎫14n .故填⎝⎛⎭⎫14n. 类型三 系数最大项问题已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992.(1)求⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 2n的二项式系数最大的项；(2)求⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 2n的展开式系数最大的项． 解：由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，所以2n ＝32(负值舍去)，解得n ＝5.(1)由二项式系数的性质知，⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C 510＝252.所以T 6＝C 510(2x )51x 5＝C 51025＝8 064.(2)设第r ＋1项的系数最大，因为T r ＋1＝C r 10(2x )10－r1xr ＝C r 10210－r x 10－2r， 所以⎩⎪⎨⎪⎧C r 10210－r ≥C r －110210－r ＋1，C r 10210－r ≥C r ＋110210－r －1， 得⎩⎪⎨⎪⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110， 即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r ，2（r ＋1）≥10－r ， 解得83≤r ≤113，因为r ∈N ，所以r ＝3.故系数最大的项是第4项，第4项为T 4＝C 31027x 4＝15 360x 4.【点拨】(1)求二项式系数最大项：①如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大；②如果n 是奇数，则中间两项(第n ＋12项与第n ＋12＋1项)的二项式系数相等并最大．(2)求展开式系数最大项：如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，从而解出r ，即得展开式系数最大的项．已知()x 23＋3x 2n的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等．(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解：(1)易知n ＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．所以T 3＝C 25()x 233·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35()x 232·(3x 2)3＝270x223.(2)设展开式中第r ＋1项的系数最大． T r ＋1＝C r 5·(x 23)5－r·(3x 2)r ＝C r 5·3r·x10＋4r3，故有⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1， 即⎩⎨⎧3r ≥16－r，15－r ≥3r ＋1.解得72≤r ≤92.因为r ∈N ，所以r ＝4，即展开式中第5项的系数最大．T 5＝C 45·x 23·(3x 2)4＝405x 263.类型四 整除问题与求近似值问题(1)已知2n ＋2·3n ＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值；(2)求1.028的近似值．(精确到小数点后三位) 解：(1)原式＝4·6n ＋5n －a ＝4(5＋1)n ＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C nn )＋5n－a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52)＋25n ＋4－a ，显然正整数a 的最小值为4.(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.【点拨】(1)利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”结合整除的有关知识来处理．注意：0≤余数<除数．(2)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．(1)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12解：512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝522 016＋C 12 016×522 015×(－1)＋…＋C 2 0152 016×52×(－1)2 015＋(－1)2 016＋a 能被13整除，只需(－1)2 016＋a ＝1＋a 能被13整除即可．因为0≤a <13，所以a ＝12.故选D.(2)设n ∈N *，n ≠1，求证33n －26n －1能被676整除．证明：33n －26n －1＝27n －26n －1＝(26＋1)n －26n －1＝26n ＋C 1n 26n －1＋C 2n 26n －2＋…＋C n －2n 262＋C n －1n 26＋C n n －26n －1＝262()26n －2＋C 1n 26n －3＋C 2n 26n －4＋…＋C n－2n＝676()26n －2＋C 1n 26n －3＋C 2n 26n －4＋…＋C n －2n而26n －2＋C 1n 26n －3＋C 2n 26n －4＋…＋C n －2n 为整数．故33n －26n －1能被676整除．类型五 特殊“三项式”(可化为二项式)的展开式求⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |－23展开式中的常数项． 解法一：原式＝（|x |2－2|x |＋1）3|x |3＝（|x |－1）6|x |3，所以 (1－|x |)6的展开式中|x |3的系数C 36(－1)3＝－20就是原式展开式中的常数项．解法二：将原式化为⎝⎛⎭⎫|x |－1|x |6，利用二项式定理求解．解法三：将原式看成三个|x |＋1|x |－2相乘，常数项只可能由|x |·1|x |·(－2)和(－2)3构成，可利用计数原理分成两类再求和．故所求为C 13·C 12·(－2)＋C 33·(－2)3＝－20.【点拨】三项式的展开式问题，通常可用解法二化为二项式问题，或者用解法三化为计数问题．(2015·江西模拟)若(x 2＋ax ＋1)6(a >0)的展开式中x 2的系数是66，则⎠⎛0a sin xdx 的值为____________．解：由题意可得(x 2＋ax ＋1)6的展开式中x 2的系数为C 16＋C 26a 2，故C 16＋C 26a 2＝66，所以a ＝2或a ＝－2(舍去)．故⎠⎛0a sin xdx ＝(－cosx )|20＝1－cos2.故填1－cos2.1．二项展开式的通项主要用于求二项式的指数、项和系数，在运用公式时要注意以下几点：(1)C k n an －k b k是第k ＋1项，而不是第k 项． (2)求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列出方程求出k ，再求所需的某项(有时需先求n )．计算时要注意n ，k 的取值范围及它们的大小关系．(3)求展开式的某一项的系数，先要准确地写出通项，特别要注意符号问题，然后将通项中的系数和字母分离．2．要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别．在(a ＋b )n 的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a ，b 的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定．3．对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意项与项结合的合理性和简捷性．4．二项式定理的应用方法(1)“赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路，也是证明有关组合数恒等式的重要方法．(2)“配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法．(3)整除问题要关注的是展开式的最后几项，求近似值问题关注的是展开式的前几项．(4)有些不等式的证明问题，也常借助二项式定理进行“放缩”处理．(5)要注意二项式定理的逆用，它常用于有关化简和求值问题．1．在⎝⎛⎭⎪⎫x －23x 4的展开式中，常数项为( )A ．－32B ．32C ．－24D ．24解：通项T r ＋1＝C r 4x 4－r (－2)r ·x －r 3＝C r 4(－2)rx 4－4r 3，令4－4r3＝0⇒r ＝3.故所求为－32.故选A. 2．(2015·南昌质检)在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28 解：由题意可知n ＝8， T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x 28－r⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝⎝⎛⎭⎫128－r (－1)r C r 8·x 8－4r3. 令8－43r ＝0，得r ＝6，⎝⎛⎭⎫122×(－1)6C 68＝7.故选B.3．(2017·广西联考)若二项式⎝⎛⎭⎫55x 2＋1x 6的展开式中的常数项为m ，则⎠⎛1m(x 2－2x )dx ＝( )A.13 B ．－13 C ．－23 D.23 解：因为二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫55x 26－r⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫556－r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，得r ＝4，所以m ＝⎝⎛⎭⎫552C 46＝3，所以⎠⎛1m (x 2－2x )dx ＝⎠⎛13(x 2－2x )dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2|31＝⎝⎛⎭⎫13×33－32－⎝⎛⎭⎫13－1＝23，故选D.4．(2016·贵州模拟)在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是( )A ．－25B ．－5C ．5D ．25 解：因为(x 2＋x ＋1)(x －1)＝x 3－1，所以原式可化为(x 3－1)(x －1)4.故展开式中，含x 4项的系数为C 34(－1)3－C 04＝－4－1＝－5.故选B.5．从⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1x 20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为( )A.521B.27C.310D.37解：⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1x 20的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 20(4x )20－k⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 20x 5－34k ，其中k ＝0，1，2，…，20.而当k ＝0，4，8，12，16，20时，5－34k 为整数，对应的项为有理项，所以从⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1x 20的展开式中任取一项，取到有理项的概率为P ＝621＝27.故选B.6．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 11)等于( )A ．27B ．28C ．7D ．8 解：令x ＝－1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝28，①；令x ＝－3得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 12＝0，②.①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝28，所以a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，所以log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝7.故选C.7．(2016·上海)在⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x n的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________．解：因为所有项的二项式系数之和为2n ， 所以2n ＝256，所以n ＝8，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(3x )8－r·⎝⎛⎭⎫－2x r＝(－2)r C r 8x 83－43r ，令83－43r ＝0，得r ＝2，所以T 3＝112.故填112.8．(2016·山东)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________．解：因为T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 5a 5－rx 10－52r ，所以由10－52r ＝5r ＝2，因此C 25a5－2＝－80a ＝－2.故填－2.9．求证：32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)．证明：因为32n ＋2－8n －9＝32·32n －8n －9＝9·9n －8n －9＝9(8＋1)n －8n －9＝9(C 0n 8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －1n ·8＋C nn ·1)－8n －9＝9(8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －2n 82)＋9·8n ＋9－8n －9 ＝9×82(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋64n＝64[9(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋n ]．所以32n ＋2－8n －9能被64整除．10．已知二项式⎝⎛⎭⎫12＋2x n.(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解：(1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0， 所以n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.所以T 4的系数为C 37×⎝⎛⎭⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝⎛⎭⎫123×24＝70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.所以T 8的系数为C 714×⎝⎛⎭⎫127×27＝3 432. (2)因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，所以n 2＋n －156＝0，所以n ＝12或n ＝－13(舍去)．设第k ＋1项的系数最大，因为⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12，所以⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.所以9.4≤k ≤10.4，所以k ＝10.所以展开式中系数最大的项为第11项，且T 11＝C 1012·⎝⎛⎭⎫122·210·x 10＝16 896x 10. 11. (1)已知(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 14x 14，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13的值． (2)已知(x ＋1)2(x ＋2)2 014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2 016(x ＋2)2 016，求a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 01622 016的值．解：(1)设f (x )＝(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4. 令x 分别取1，－1，则f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 13＋a 14＝1；f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－…－a 13＋a 14＝27.a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝f （1）－f （－1）2＝1－272＝－13.(2)依题意令x ＝－32，得⎝⎛⎭⎫－32＋12⎝⎛⎭⎫－32＋22 014＝a 0＋a 1⎝⎛⎭⎫－32＋2＋a 2⎝⎛⎭⎫－32＋22＋…＋a 2 016⎝⎛⎭⎫－32＋22 016，令x ＝－2得a 0＝0，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 01622 016＝⎝⎛⎭⎫122 016. 已知()1＋x ＋x 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n (n ∈N *)的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n ＝________. 解：因为(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n (n ∈N *)的展开式中没有常数项，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n的展开式中没有常数项，且没有x －1，x －2项.⎝⎛⎭⎫x ＋1x 3n的展开式的通项为T r ＋1＝C r n x n －4r，当n ＝2，3，4时，取r ＝1可知均不符合要求；当n ＝6，7，8时，取r ＝2可知均不符合要求；当n ＝5时，r 取0，1，2，3，4，5均不会产生x －1，x －2及常数项．故填5.。

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C【解析】由题可得522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通式为()521031552C C 2rr r rr r r T x x x --+⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，令1034r -=，得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，属于基础题．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，专题04 二项式定理由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-，可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=．故选C ．【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查二项式定理的通项公式及其应用，要求同学们熟练掌握并灵活应用二项式定理的通项公式，考查分类讨论的数学思想．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是利用通项公式求解指定的项；一种利用通项公式考查系数、指数问题，如常数项、2x 项的系数等．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，利用题意写出通项公式是关键，通项公式是解决本类问题的核心与灵魂． 【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下两步： 第一步：考查()na b +的展开式的通项公式其通项公式为1C r n r rr n T a b -+=，通项公式是后面进行讨论和计算的基础；第二步：结合代数式的整体进行考查结合题意，考查r 的某个值的特殊情形，据此分类讨论即可求得的系数． 【方法总结】 1．二项式()()na b n *+∈N 展开式()011222nn n n r n r rn nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们可以发现以下几个特点： （1）()na b +完全展开后的项数为()1n +；（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点．指数和为n ；（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1nx +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列．如果是()na b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开；（4）二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+= （注意是第1r +项）．2．二项式系数：项前面的01,,,nn n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的和为2n ；二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项．对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种．所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题．而二项式系数便是这个组合问题的结果． 3．系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数．注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数．二项式系数是展开式通项公式中的C rn ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定．而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数．例如：()521x +展开式中第三项为()32235C 21T x =⋅⋅，其中25C 为该项的二项式系数，而()322335C 2180T x x =⋅⋅=，化简后的结果80为该项的系数．（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为1时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同．例如()51x + 展开式的第三项为()32235C 1T x =⋅⋅，可以计算出二项式系数与系数均为10．4．有理项：系数为有理数，次数为整数的项，比如212,5x x就不是有理项． 5．()na b +与()na b -的联系 首先观察他们的通项公式，()na b +：1r n r r r n T C a b -+=；()n a b -：()()'11r rr n r r n r rr n n T C a b C a b --+=-=-．两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数．其绝对值相等．所以在考虑()na b -系数的绝对值问题时，可将其转化为求()na b +系数的问题．1．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】23(1)(31)x x -+的展开式中4x 的系数是 A ．27 B ．–27 C ．26 D ．–26【答案】B【解析】()()32131x x -+展开式中4x 的系数，1x -中的x 与()3231x +展开式中3x 项相乘，但()3231x +展开式中没有3x 项，1x -中的1-与()3231x +展开式中4x 项相乘，()21243C 327xx =，所以4x 的系数是27-，故选B ．【名师点睛】本题考查二项式的展开式与多项式相乘，得到项的系数，属于简单题．2．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】在102()x x-的二项展开式中，6x 的系数等于 A ．–180 B ．53- C ．53D ．180【答案】D【解析】102()x x-的二项展开式的通项公式为102110C (2)r r r r T x -+=-⋅⋅， 令1026r -=，求得2r =，可得6x 的系数为2210(21C )80-⋅=．故选D ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，考查二项展开式的特定项的系数的求法，属于基础题．3．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】若()52a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项等于–80，则a = A ．–2 B ．2 C ．–4 D ．4【答案】A【解析】由题意3325C (1)80a ⨯-=-，解得2a =-．故选A ．【名师点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则． 4．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为 A ．–80 B ．–40 C ．40 D ．80【答案】C【解析】要求()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数，则x y +中x 与()52x y -展开式中23x y 相乘，以及x y +中y 与()52x y -展开式中32x y 相乘，而()52x y -展开式中，23x y 项为()()233235C 240x y x y -=-，32x y 项为()()322325C 280x y x y -=．所以()()52x y x y +-的展开式中33x y 的项为333333408040x y x y x y -+=，故选C ．【名师点睛】本题考查二项式展开式与多项式相乘，其中某一项的系数，属于基础题．5．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ．15 D ．1【答案】C【解析】二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为66316621C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令630r -=，求得2r =，故展开式中的常数项为26C 15=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．6．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】设0sin d x a x π=⎰，则6a x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为__________．（用数字填写） 【答案】60【解析】0sin d x a x π=⎰cos πcos02=-+=，则662a x x ⎛⎛= ⎝⎝，展开式的通项为(6162rrr r T C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4r =时得到常数项为(2446260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为60．【名师点睛】本题考查了定积分的计算，考查了二项式定理的运用，考查了计算能力，属于基础题．7．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】二项式63x⎛⎝的展开式中4x 的系数为__________．（用数字作答） 【答案】15【解析】因为二项式63x⎛ ⎝的展开式的通项为()()()1718632216611kk kkk k kk T C x x C x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令71842k -=得4k =， 所以展开式中4x 的系数为()446115C -=．故答案为：15．【名师点睛】本题主要考查指定项的系数，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型． 8．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学】()()5211x x +-的展开式中的含5x 的系数为__________．（用数字作答） 【答案】11【解析】()()5211x x +-=()()55211x x x -+-而()51x -展开式的通项为()515C 1rr r r T x -+=-取3r =和5r =，得()51x -展开式中含3x 和5x 项的系数分别为10和1， 所以()()5211x x +-的展开式中的含5x 的系数为10+1=11．【名师点睛】本题考查了等价转化的数学思想，以及利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式指定项的系数问题，属于基础题．9．【贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试（二）数学】621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为__________． 【答案】15．【解析】通项公式T r +16C r =（x 2）6–r1()r x-=（–1）r 6C r x 12–3r，令12–3r ＝0，解得r ＝4．∴展开式中的常数项为46C =15．故答案为：15．【名师点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】()()341212x x +-展开式中4x 的系数为__________． 【答案】48【解析】因为()()()()()()333342221212141214214x x x x x x x+-=--=---，又()3214x-展开式的通项为()2134kk kk TC x +=-，令24k =得2k =，所以原式展开式中4x 的系数为()223448C -=．故答案为：48．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型． 11．【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”高考备考诊断联考数学】若6x ⎛+ ⎝⎭的展开式的常数项是45，则常数a 的值为__________． 【答案】3【解析】6a x ⎛+ ⎝⎭展开式的通项公式为6316·C r r r r T x -+=，令630r -=，求得2r =， 可得它的常数项为26C ·45a =，1545a ∴=，3a ∴= 故答案为：3．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12．【贵州省遵义市2019届高三年级第一次联考试卷数学】若二项式2nm x ⎫+⎪⎭展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则实数m 的值为__________． 【答案】2【解析】根据题意，2nm x ⎫⎪⎭展开式中二项式系数之和是32，有2n＝32，则n ＝5，则2nm x ⎫⎪⎭展开式的通项为T r +1＝5C r •）5–r•（2m x ）r ＝m r •5C r •552r x -，令552r-=0，可得r ＝1，则2nm x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为T 2＝m •15C ，则有m •15C ＝10，即m ＝2，故答案为：2．【名师点睛】本题考查二项式定理的应用，解题的关键是由二项式系数的性质求出n ，并得到该二项式的通项．13．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知(12)n x +的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式()211()nx x x++展开式中的常数项为__________． 【答案】35【解析】由()12nx +的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以6n =．多项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式：662166C C r r r r rr T x x x ---+==，其中0,1,2,,6r =．考虑61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项和含2x -的项： （1）令622r -=-，则4r =； （2）令620r -=，则3r =．故常数项为4366C C 152035+=+=．故答案为：35．【名师点睛】本题考查了二项式定理的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学】()()27231x x --的展开式中，3x 的系数为__________．【答案】–455【解析】依题意，3x 的系数为332217774C (1)12C (1)9C (1)455⨯⨯--⨯⨯-+⨯⨯-=-．故答案为：–455．【点睛】本题考查二项式定理，考查推理论证能力以及分类讨论思想，是基础题．15．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学】1(2)n x x-（n 为正整数）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含x 项的系数是__________． 【答案】560-【解析】依题意可知2128n =，解得7n =，()712x x --展开式的通项公式为()()()717727721C C 2rrrr r rr x x x ----⋅-=-⋅⋅⋅，当721r -=时3r =，故含x 项的系数为()3437C 12560-⨯⨯=-．故答案为：560-．【点睛】本小题主要考查二项式系数和，考查二项式展开式的通项公式以及二项式展开式中指定项的系数的求法，属于基础题．。

考点45 二项式定理一、选择题1.(2019·全国卷Ⅲ理科·T4)(1+2x2)(1+x)4的展开式中,x3的系数为()A.12B.16C.20D.24【命题意图】本题考查二项式定理的应用,意在考查考生二项式定理、数据的运算求解能力.【解析】选A.由题意可知含x3的项为1··1·x3+2x2··13·x=12x3,所以系数为12.二、填空题2.(2019·天津高考理科·T10)-展开式中的常数项为.【命题意图】本题考查二项式定理、二项式某项的系数,考查考生应用二项式定理解决与二项式某项有关的问题,考查考生的逻辑推理能力与运算求解能力.【解析】-的第r+1项为T r+1=(2x)8-r-=(-1)r28-4r x8-4r,令8-4r=0,解得r=2,即T3=T2+1=(-1)220x0=28.答案:283.(2019·浙江高考·T13)在二项式(+x)9的展开式中,常数项是,系数为有理数的项的个数是.【命题意图】本题主要考查二项展开式中的特定项.【解析】展开式通项是:T r+1=()9-r x r,所以常数项是T1=()9=16,若系数为有理数,则9-r为偶数,所以r为奇数,所以r可取1,3,5,7,9.答案:16 5三、解答题4.(2019·江苏高考·T22)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,n≥4,n∈N*.已知=2a2a4.(1)求n的值.(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2-3b2的值.【命题意图】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力.【解题指南】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定a2,a3,a4的值,然后求解关于n的方程可得n的值.(2)方法一:利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值,然后计算a2-3b2的值即可;方法二:利用(1)中求得的n的值,由题意得到(1-)5的展开式,最后结合平方差公式即可确定a2-3b2的值.【解析】(1)因为(1+x)n=+x+x2+…+x n,n≥4,所以a2==(-),a3==(-)(-),a4==(-)(-)(-).因为=2a2a4,(-)(-)=2×(-)×(-)(-)(-),所以解得n=5.(2)由(1)知,n=5.(1+)n=(1+)5=++()2+()3+()4+()5=a+b.方法一:因为a,b∈N*,所以a=+3+9=76,b=+3+9=44,从而a2-3b2=762-3×442=-32.方法二:(1-)5=+(-)+(-)2+(-)3+(-)4+(-)5=-+()2-()3+()4-()5.因为a,b∈N*,所以(1-)5=a-b.因此a2-3b2=(a+b)(a-b)=(1+)5×(1-)5=(-2)5=-32.。

九、计数原理与古典概率（二）二项式定理一、高考考什么？[考试说明]3．了解二项式定理，二项式系数的性质。

[知识梳理]1．二项式定理：011()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++，其中组合数r n C 叫做第r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项，其中第r +l 项1(0,1,2,r n r rr n T C a b r -+==⋅⋅⋅ ），会求常数项、某项的系数等2．二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mn n m n C C -=；（2）增减性与最大值：当12n r +≤时，二项式系数C rn 的值逐渐增大，当12n r +≥时, C rn 的值逐渐减小，且在中间取得最大值。

当n 为偶数时，中间一项（第2n＋1项）的二项式系数2n nC 取得最大值。

当n 为奇数时，中间两项（第21+n 和32n +项）的二项式系数1122n n nnCC-+=相等并同时取最大值。

（3）二项式系数的和：01rn n nC C C +++2nn n C ++=；0213n n n n C C C C ++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅ 12n -=。

3.展开式系数的性质：若()01n n na a a a bx x x =++++；令()()nf x a bx =+则：（1）展开式的各项系数和为()1f（2）展开式的奇次项系数和为1[(1)(1)]2f f --（3）展开式的偶次项系数和为1[(1)(1)]2f f +-二、高考怎么考？[全面解读]从考试说明来看，二项式定理主要解决与二项展开有关的问题，从考题来看，每一年均有一题，难度为中等，从未改变。

命题主要集中在常数项，某项的系数，幂指数等知识点上。

掌握二项式定理主要以通项为抓手，由通项可解决常数项问题、某项的系数问题，系数要注意二项式系数与展开式系数的区别。

（1）能用计数原理证明二项式定理.（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.一、二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n nn n n n a b a ab a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，共有n +1项，其中各项的系数C ({0,1,2,,})k n k n ∈L 叫做二项式系数.二项展开式中的C k n k kn a b -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第1k +项：1C k n k kk n T ab -+=. 注意：二项式系数是指0C n ，1C n ，…，C nn ，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a ，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．如()na bx +的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C rn ，而该项的系数是C rn rr n ab -.当然，某些特殊的二项展开式如(1)n x +，各项的系数与二项式系数是相等的．二、二项式系数的性质（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式C C m n mn n -=得到.（2）增减性与最大值.当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的；当12n k +>时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数2C nn最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数1122C,Cn n nn-+相等且最大.（3）各二项式系数的和.已知0122(1)C C C C C n k k n nn n n n n x x x x x +=++++++L L .令1x =，则0122C C C C n n n n n n =++++L .也就是说，()na b +的展开式的各个二项式系数的和为2n .（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即0213C C C C 2n n n n n -++=++=L L .三、必记结论（1）C kn kk n ab -是第＋1项，而不是第项．（2）通项公式中a ，b 的位置不能颠倒．（3）通项公式中含有a ，b ，n ，，T ＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.考向一 二项展开式通项的应用求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求,再将的值代回通项求解,注意的取值范围（0,1,2,,k n =L ）. （1）第m 项：：此时+1=m ,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.典例1 的展开式中,的系数为A ．60B ．-60C ．240D ．-240【答案】C 【解析】的展开式中第项为66C (2)r rr x y --, 令r =4，可得的系数为典例2 若a =d(e 为自然对数的底数),则二项式(-)6的展开式中的常数项为A ．-160B ．160C ．20D ．-20【答案】A典例3 已知关于的二项式(a-)n展开式的二项式系数之和为256,常数项为112,则a的值为A．1 B．±1C．2 D．±2【答案】D【解析】由题意得,二项式系数和为2n=256,即n=8,所以二项展开式的通项为T r+1=·(a)8-r·(-r=(-1)r·a8-r ·,令4803r-=，得r=6,所以T7=(-1)6·a2·=112,所以a=±2,故选D．1．(-2)6的展开式中2项的系数为A．240 B．-240 C．160 D．-1602．已知二项式(n(a>0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中2项的系数为84,则a的值为A．1 B ．C．2 D ．3．在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式的第四项；（2）求展开式的常数项.考向二求二项式系数和或各项的系数和二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b等于多少时, 应视具体情况而定,一般取“1,1-或0”,有时也取其他值.（1）形如(a＋b)n，(a2＋b＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令＝1即可．（2）对形如(a＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令＝y＝1即可．（3）若f()＝a0＋a1＋a22＋…＋a n n，则f()展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝(1)(1)2f f+-，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝(1)(1)2f f--.典例4 若(2+1)(-3)9=a0+a1(-2)+a2(-2)2+a3(-2)3+…+a11(-2)11,则a1+a2+…+a11的值为A．0 B．-5C．5 D．255【答案】C典例 5 已知(1-2)n的展开式中的二项式系数的和是64,则n=;若(1-2)n=a0+a1+a22+a33+…+a n n,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=.【答案】6729典例6在二项式n的展开式中, (1)若所有二项式系数之和为,求展开式中二项式系数最大的项．(2)若前三项系数的绝对值成等差数列,求展开式中各项的系数和.【解析】(1)由已知得01C C C 64nn n n +++=，264n =，6n ∴=，则展开式中二项式系数最大的项是63311303346115C 20282T x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)展开式的通项为2311C 2rn r r r n T x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0,1,,r n =.由已知02012111C ,C ,C 222n n n⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成等差数列，即12112C 1C 24n n ⨯=+， ∴n =8,在8中，令=1，得各项系数和为1.2564．在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为32,则的系数为A ．50B ．70C ．90D ．1205．已知(1-)4+4(1-)3+6(1-)2-4+5=a 0+a 1+a 22+a 33+a 44,那么a 2+a 4的值为 A ．9 B ．18 C ．25D ．416．已知二项式.（1）若,展开式中含项的系数为960,求的值;（2）若展开式中各项系数和为,且,求展开式的所有二项式系数之和.考向三 整除问题利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.典例7 利用二项式定理证明2n+2·3n+5n－4(n*∈N)能被25整除.7．被49除所得的余数是A．-14 B．0 C．14 D．351．(1+)7的展开式中2的系数是A．42 B．35 C．28 D．212．二项式62xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式的第二项是A．64B．﹣64 C．124D．﹣124 3．若实数a=2-,则a10-2a9+22a8- (210)A．32 B．-32 C．1024 D．512 4．已知(-)5的展开式中含4项的系数为30,则a=A．B．-C．-6 D．65．设二项式(6的展开式的常数项为m,则π2sin⎰5mx d的值为A．53B．53-C．13D．13-6．若=,则A．0 B．1 C．32 D．-17．若的展开式中的二项式系数和为的系数为,则PS为A．152B．154C．D．8．在的展开式中，各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为A．135 B．105C．30 D．159．已知(+)5的展开式的第三项为10,则y关于的函数图象的大致形状为A BC D10．已知(a+)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大,且含8的项的系数为,则常数项为A．552B．554C．558D．551611．在的展开式中,的系数为A．160 B．3840C．1080 D．160012．在(1-)n=a0+a1+a22+a33+…+a n n中,若2a2+a n-5=0,则自然数n的值是A．10 B．9C．8 D．713．(2+1)()9的展开式中,项的系数为A．-168 B．84C．-84 D．16814．(3-)n的二项展开式的各项系数的绝对值之和为729,则(-)n展开式中的二次项的系数是A．-60 B．60C．-30 D．3015．设(+)6的展开式中3的系数和常数项分别为a,b,在区间[0,300]上任取一个数,则a≤≤b 的概率是A．25B．35C．23D．3416．的展开式中,的系数为__________.17．若(1x-)n的展开式的各个二项式系数的和为256,则(1x-)n的展开式中的常数项为__________.18．的展开式中的系数与的系数之和等于__________.19．已知(-m)7=a0+a1+a22+…+a77的展开式中4的系数是-35,则a1+a2+…+a7=__________.20．的二项式中不含的项的系数为__________.21．已知(+)n展开式中的各项系数的和与其各个二项式系数的和之比为128,则n的值为__________.22．若(1+22)(1+)n的展开式中所有项的系数和为96,则展开式中含项的系数是. 23．若(2-)6(a>0)的展开式的常数项为960,则展开式中所有无理项的系数之和为.24．设(5-)n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,求展开式中二项式系数最大的项.25．求8912除以11的余数.26．在二项式(2-3y)9的展开式中,求(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)各项系数绝对值之和.27．在二项式的展开式中,(1)写出其中含的项;(2)如果第项和第项的二项式系数相等,求的值.28．二项式的二项式系数和为256.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中各项的系数和；（3）展开式中是否有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由.29．已知二项式.（1）若,展开式中含项的系数为960,求的值;（2）若展开式中各项系数和为,且,求展开式的所有二项式系数之和.1．（2018新课标全国Ⅲ理科）522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．802．（2016四川理科）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4的项为 A ．－154 B ．154 C ．－20i 4D ．20i 43．（2017新课标全国Ⅰ理科）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30D ．354．（2017新课标全国Ⅲ理科）()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为 A ．80- B ．40- C ．40D ．805．（2018浙江）二项式81)2x的展开式的常数项是___________． 6．（2018天津理科）在5(x -的展开式中，2x 的系数为 .7．（2017浙江理科）已知多项式32543212345(1)(2)x x x a x a x a x a x a +++++++=，则4a =________，5a =________．8．（2017山东理科）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .9．（2016新课标全国Ⅰ理科）5(2x 的展开式中，3的系数是 .（用数字填写答案）1．【答案】A2．【答案】A【解析】由展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，可知n=9，则展开式的通项公式为T r+1=()r=a9-r·a9-r(r=0,1,2,3,…,9), 令=2,则r=3,所以a9-3=a6=84,解得a=±1,因为a>0,所以a=1.3．【解析】二项式n的通项为1Crn rrr nT-+⎛=⎝12331C2rn rrnx-⎛⎫=-⎪⎝⎭，由前三项系数的绝对值成等差数列，得202111C C2C22n n n⎛⎫+-=⨯⎪⎝⎭,解这个方程得n＝8或n＝1(舍去).（1）展开式的第4项为：3233481C2T x⎛⎫=-=-⎪⎝⎭（2）当82033r-=,即r＝4时,常数项为448135C28⎛⎫-=⎪⎝⎭.4．【答案】C【解析】∵各项系数和与二项式系数和之比为32,∴∴∴通项公式为，令故的系数为5．【答案】C6．【解析】（1）的展开式的通项为,令,得，解得.7．【答案】B【解析】由题可得，=++，所以被49整除，所以余数为0.故选B ．1．【答案】D【解析】(1+)7的展开式的通项公式为T r+1=r,令r =2,得2的系数为=21. 2．【答案】D【解析】展开式的通项公式6162C rr r r T x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 令1r =,可得展开式的第二项为11562C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=412x -.选D ．3．【答案】A【解析】因为(a-2)10=a 10-2a 9+22a 8-…+210,a =2-,所以a 10-2a 9+22a 8-…+210=(-)10=32.4．【答案】C【解析】由题意，可转化为求(-)5的展开式中含3项的系数，(-)5的展开式的通项T r+1=5-r(-)r =5-2r(-a )r ,令5-2r =3,得r =1,所以(-a )1=30,解得a =-6.5．【答案】C 【解析】二项式(6的展开式的常数项为m =26C 2()4=15, 所以π20sin ⎰5mx d=π20sin ⎰3d=13-cos 3π20|=13-cos 3π2-(13-cos 0)=13,故选C ．6．【答案】A7．【答案】B【解析】的展开式的通项为, 令r=4，则，即p=240，又S=，则154 PS=.8．【答案】A【解析】因为在的展开式中，各二项式系数之和为64，即2n=64，所以n=6，二项展开式的通项63216C3rr rrT x-+=，令，则展开式中的常数项为9．【答案】D【解析】由题意得()5-2()2=10,故y=1(>0),得y=(>0).故选D．10．【答案】A11．【答案】B【解析】(2+3-4)5=(-1)5(+4)5,(-1)5的展开式中,的系数为,常数项为-1,(+4)5的展开式中,的系数为×44,常数项为45.因此(2+3-4)5的展开式中,的系数为×45-×44=3840.故选B．12．【答案】C【解析】由题意得,该二项展开式的通项公式为T r+1=·(-1)rr,∴a r=(-1)r·,∵2a2+a n-5=0,∴2(-1)2+(-1)n-5=0,即2+(-1)n-5=0,∴n-5为奇数,∴2,即2×,∴(n-2)(n-3)(n-4)=120,∴n=8.13．【答案】A【解析】()9的展开式的通项公式为T r+1=()9-r·(-)r=(-1)r,令=0,得r=3,令=1,得r=,舍去,所以(2+1)()9的展开式中,项为2·(-1)3=-168,所以项的系数为-168.14．【答案】B【解析】(3-)n的二项展开式的各项系数的绝对值之和就是(3+)n的二项展开式的各项系数之和,取=1,得(2+1)n=3n,则有3n=729=36,所以n=6.于是(-)6的二项展开式的通项T r+1=6-r(-)r=(-2)r6-2r.令6-2r=2,得r=2.所以二次项的系数为(-2)2=60.故选B．15．【答案】B【解析】(+)6=的展开式的通项公式为T+1=6-·2·=2,令6-=3,得=2,所以3的系数为a=22=60,令6-=0,得=4,则常数项b=24=240,由几何概型的概率计算公式可得a≤≤b的概率是240601803 30003005-==-.16．【答案】【解析】的展开式的通项为, 则的展开式中,的系数为17．【答案】70【解析】依题意得2n=256,解得n=8,所以T r+1=(1x)8-r·(-)r=(-1)r2r-8,令2r-8=0,则r=4, 所以T5=(-1)4=70,所以(1x-)n的展开式中的常数项为70.18．【答案】【解析】的展开式的通项为的系数与的系数之和等于.故填.19．【答案】120．【答案】【解析】展开式的通项为, 令,的二项式中不含的项的系数为.21．【答案】7【解析】令=1,得(+)n 的展开式中的各项系数的和为(1+3)n =4n ,又(+)n的展开式中的各个二项式系数的和为2n, 所以42nn =128,所以2n =128,解得n =7. 22．【答案】20【解析】令=1,则3×2n =96,得n =5, (1+22)(1+)n =(1+22)(1+)5=(1+)5+22(1+)5, 则(1+)5的展开式中含项的系数是=10, 22(1+)5的展开式中含项的系数是2=10, 故(1+22)(1+)n 的展开式中含项的系数为20. 23．【答案】-2048 【解析】(2-)6的展开式的通项T r+1=(2)6-r (-)r =26-r (-a )r ,当r =2时,第3项为常数项,所以T 3=24(-a )2=960, 因为a >0,所以a =2, 所以T r+1=,当r =1,3,5时为无理项,所以无理项的系数之和为-64(++)=-2048.24．【解析】依题意得,M =4n =(2n )2,N =2n ,于是有(2n )2-2n =240,(2n +15)(2n -16)=0, ∴2n =16=24,解得n =4.要使二项式系数最大,则=2,故展开式中二项式系数最大的项为T 3=(5)2·(-)2=1503.27．【解析】(1)展开式的通项1k T +=()41031012C kkkk x--,令10-43=2得=6. ∴含2x 的项是()410666631012C x-⨯-=662102C x =213440x . (2)∵3110C r -=110C r +，∴3r -1=r +1或 3r -1+r +1=10,∴r =1或r =52（舍去）. ∴r =1.28．【解析】因为二项式n的二项式系数和为256，所以，解得.（1）∵，∴展开式的通项82831881C C 2rrrrr r T x --+-⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭.∴二项式系数最大的项为4458135C 28T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；（2）令二项式中的，则二项展开式中各项的系数和为88111122256⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （3）由通项公式及且，得当时为有理项，系数分别为1181C 42⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，448135C 28⎛⎫-= ⎪⎝⎭，77811C 216⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 29．【解析】（1）的展开式的通项为,1．【答案】C 【解析】由题可得，令,则，所以.故选C.2．【答案】A【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6(i)x +可以写为6(i )x +，则其通项为66C i r rr x -，则含4x 的项为464446C i 15x x -=-． 3．【答案】C 【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+， 所以6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=， 故2x 的系数为151530+=，选C ．【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x 的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r 不同. 4．【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrr r T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=. 故选C ．【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 5．【答案】76．【答案】52【解析】结合二项式定理的通项公式有：35521551C C 2rrr r r r r T x x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝， 令3522r -=可得：2r =， 则2x 的系数为：225115C 10242⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭.7．【答案】16，4【解析】由二项式展开式可得通项公式为：223232C C 2C C 2r r m m m r m mr m x x x --+⋅=⋅⋅⋅， 分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=，取r m =，可得25124a =⨯=．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题． 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用． 8．【答案】4【解析】()13nx +的展开式的通项公式为1C (3)C 3r r r r rr n n T x x +==⋅，令2r =，得22C 354n ⋅=，解得4n =．【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等. 9．【答案】10【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1r T ,再确定r 的值,从而确定指定项系数.。