2020-2021学年九年级上学期期末数学提高训练题 (33)(含答案解析)

江苏省常州市三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．一元二次方程的应用（共1小题）1．（2022秋•常州期末）常州大剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张50元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票将会减少20张．要使门票收入达到60500元，票价应定为多少元？二．三角形综合题（共1小题）2．（2022秋•常州期末）如果三角形一个内角的2倍与另一个内角的和等于90°，那么我们称这样的三角形为“类互余”三角形．（1）若△ABC是“类互余”三角形，∠C＞90°，∠A＝40°，则∠B＝ ；（2）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，D是AC上的一点，CD＝1，AD＝3，△ABD是“类互余”三角形吗？请说明理由；（3）如图2，在△ABC中，，tan∠ABC＝2，D是CB延长线上的一点．若△ABD 是“类互余”三角形，求BD的长．三．正方形的性质（共1小题）3．（2021秋•常州期末）【问题】老师上完《7.3特殊角的三角函数》一课后，提出了一个问题，让同学们尝试去探究75°的正弦值．小明和小华经过思考与讨论，作了如下探索：【方案一】小明构造了图1，在△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，∠C＝45°．第一步：延长BA，过点C作CD⊥BA，垂足为D，求出DC的长；第二步：在Rt△ADC中，计算sin75°．【方案二】小华构造了图2，边长为a的正方形ABCD的顶点A在直线EF上，且∠DAF ＝30°．第一步：连接AC，过点C作CG⊥EF，垂足为G，用含a的代数式表示AC和CG的长；第二步：在Rt△AGC中，计算sin75°．请分别按照小明和小华的思路，完成解答过程．四．直线与圆的位置关系（共1小题）4．（2021秋•常州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）判断DE所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝4，ED＝2，求⊙O的半径．五．圆的综合题（共2小题）5．（2020秋•常州期末）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．（1）当t＝1时，⊙M的半径是 cm，⊙M与直线CD的位置关系是 ；（2）在点P从点A向点B运动过程中．①圆心M的运动路径长是 cm；②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．6．（2021秋•常州期末）如图1，边长为6cm的等边△ABC中，AD是高，点P以cm/s 的速度从点D向A运动，以点P为圆心，1cm为半径作⊙P，设点P的运动时间为ts．（1）当⊙P与边AC相切时，求t的值；（2）如图2，若在点P出发的同一时刻，点Q以1cm/s的速度从点B向点C运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．过点Q作BA的平行线，交AC于点M．当QM 与⊙P相切时，求t的值；（3）在运动过程中，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，直接写出t的取值范围．六．相似三角形的性质（共2小题）7．（2020秋•常州期末）如图，已知△OAB，点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（3，0）．（1）求sin∠AOB的值；（2）若点P在y轴上，且△POA与△AOB相似，求点P的坐标．8．（2021秋•常州期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．（1）在△ABC中，∠A＝30°．①如图1，若∠B＝100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；②如图2，若∠B＝90°，BC＝1，则△ABC的“形似线段”的长是 ；（2）如图3，在△DEF中，DE＝4，EF＝6，DF＝8，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．七．相似三角形的判定（共1小题）9．（2022秋•常州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC．（1）过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接BD，△ADE与△ABD相似吗？为什么？八．作图-相似变换（共1小题）10．（2021秋•常州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（2，1）、（4，1）．（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△ABC，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1；（2）借助网格，在图中画出△ABC的外接圆⊙P，并写出圆心P的坐标 ；（3）将△ABC绕（2）中的点P（3）将△ABC绕点P顺时针旋转90°，则点A运动的路线长是 ．九．方差（共2小题）11．（2020秋•常州期末）某商店1～6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如表（表Ⅰ）所示（单位：台）：第1周第2周第3周第4周第5周第6周甲9101091210乙1312711107现根据表Ⅰ数据进行统计得到表Ⅱ：平均数中位数众数甲 10 乙10　7（1）填空：根据表Ⅰ的数据补全表Ⅱ；（2）老师计算了乙品牌冰箱销量的方差：S乙2＝[（13﹣10）2+（12﹣10）2+（7﹣10）2+（11﹣10）2+（10﹣10）2+（7﹣10）2]＝（台2）．请你计算甲品牌冰箱销量的方差，根据计算结果，建议商家可多采购哪一种品牌冰箱？为什么？12．（2021秋•常州期末）“119”全国消防日，某校为强化学生的消防安全意识，组织了“关注消防，珍爱家园”知识竞赛，满分为100分．现从八、九两个年级各随机抽取10名学生组成八年级代表队和九年级代表队，成绩如下（单位：分）：八年级代表队：80，90，90，100，80，90，100，90，100，80；九年级代表队：90，80，90，90，100，70，100，90，90，100．（1）填表：代表队平均数中位数方差八年级代表队90 60九年级代表队 90 （2）结合（1）中数据，分析哪个代表队的学生竞赛成绩更好？请说明理由；（3）学校想给满分的学生颁发奖状，如果该校九年级一共有600名学生且全部参加了知识竞赛，那么九年级大约有多少名学生可以获得奖状？一十．列表法与树状图法（共3小题）13．（2020秋•常州期末）学校为了丰富学生课余生活，开设了社团课．现有以下社团：A．篮球、B．机器人、C．绘画，学校要求每人只能参加一个社团，甲和乙准备随机报名一个社团．（1）甲选择“机器人”社团的概率是 ；（2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个社团的概率．14．（2021秋•常州期末）小丽的爸爸积极参加社区志愿服务，根据社区安排，志愿者将被随机分配到以下小组中的一个：A组（交通疏导）、B组（环境消杀）、C组（便民代购），开展服务工作．（1）小丽的爸爸被分配到C组的概率是 ；（2）若小丽的班主任刘老师也参加了该社区的志愿者队伍，那么刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的概率是多少？请用画树状图或列表的方法写出分析过程．15．（2022秋•常州期末）学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣．该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种．学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组．（1）甲选择“搭虹豆架”小组的概率是 ；（2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个小组的概率．江苏省常州市三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．一元二次方程的应用（共1小题）1．（2022秋•常州期末）常州大剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张50元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票将会减少20张．要使门票收入达到60500元，票价应定为多少元？【答案】55元．【解答】解：设票价应定为x元，由题意得：x[1200﹣20（x﹣50）]＝60500，解得：x1＝x2＝55．答：票价应定为55元．二．三角形综合题（共1小题）2．（2022秋•常州期末）如果三角形一个内角的2倍与另一个内角的和等于90°，那么我们称这样的三角形为“类互余”三角形．（1）若△ABC是“类互余”三角形，∠C＞90°，∠A＝40°，则∠B＝　25°或10°　；（2）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，D是AC上的一点，CD＝1，AD＝3，△ABD是“类互余”三角形吗？请说明理由；（3）如图2，在△ABC中，，tan∠ABC＝2，D是CB延长线上的一点．若△ABD 是“类互余”三角形，求BD的长．【答案】（1）25°或10°；（2）是，理由见解析；（3）或6．【解答】解：（1）∵∠C＞90°，∴∠A+∠B＜90°∵△ABC是“类互余”三角形，∠A＝40°，∴∠A+2∠B＝90°或2∠A+∠B＝90°，∴∠B＝25°或∠B＝10°，故答案为：25°或10°．（2）△ABD是“类互余”三角形，理由如下，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，D是AC上的一点，CD＝1，AD＝3，∴AC＝AD+DC＝4，∴，∴＝，又∵∠C＝∠C，∴△ACB∽△BCD，∴∠CBD＝∠A，设∠CBD＝∠A＝α，则∠ADB＝∠ABC﹣∠CBD＝（90°﹣α）﹣α＝90°﹣2α，∴2∠A+∠ABD＝2α+90°﹣2α＝90°，∴△ABD是“类互余”三角形；（3）设∠ADB＝α，依题意，△ABD是“类互余”三角形，∠ABD＞90°，当2∠ADB+∠BAD＝90°时，如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，则∠BAD＝90°﹣α，∴∠EAB＝α，∴∠EAB＝∠ADB，∵tan∠ABC＝2，，设AE＝2a，则BE＝a，∴，解得：a＝2，∴AE＝4，BE＝2，∵∠EAB＝∠ADB，∴，∴ED＝8，∴BD＝DE﹣BE＝8﹣2＝6；当∠ADB+2∠BAD＝90°，如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AD于点F，则∠BAD＝α，∠ADB＝90°﹣2α，∴∠EAB＝∠BAD＝α，∴BF＝BE＝2，设BD＝x，则ED＝2+x，∵，∴，即，解得：．即或6．三．正方形的性质（共1小题）3．（2021秋•常州期末）【问题】老师上完《7.3特殊角的三角函数》一课后，提出了一个问题，让同学们尝试去探究75°的正弦值．小明和小华经过思考与讨论，作了如下探索：【方案一】小明构造了图1，在△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，∠C＝45°．第一步：延长BA，过点C作CD⊥BA，垂足为D，求出DC的长；第二步：在Rt△ADC中，计算sin75°．【方案二】小华构造了图2，边长为a的正方形ABCD的顶点A在直线EF上，且∠DAF ＝30°．第一步：连接AC，过点C作CG⊥EF，垂足为G，用含a的代数式表示AC和CG的长；第二步：在Rt△AGC中，计算sin75°．请分别按照小明和小华的思路，完成解答过程．【答案】【方案一】．【方案二】．【解答】解：【方案一】如图1，过点A作AQ⊥BC于点Q，在△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，∵∠C＝45°．AC＝2，∴AQ＝CQ＝AC＝，∵∠B＝30°，∴BQ＝AQ＝，∴BC＝BQ+QC＝+，∴CD＝BC＝，∵∠DAC＝∠B+∠ACB＝75°，∴sin75°＝＝．【方案二】如图2，延长CB交FE于点H，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝a，∵∠DAF＝30°．∴∠BAH＝60°，∴∠H＝30°，∴AH＝2AB＝2a，∴BH＝AB＝a，∴CH＝BH+BC＝a+a＝（+1）a，∴CG＝CH＝，∵∠GAC＝∠CAD+∠DAF＝75°，∴sin75°＝＝＝．四．直线与圆的位置关系（共1小题）4．（2021秋•常州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）判断DE所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝4，ED＝2，求⊙O的半径．【答案】（1）直线DE与⊙O相切，理由见解析；（2）．【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切；理由：连接OD，∵∠CAB的平分线是AD，∴∠CAD＝∠DAB．∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥OD，∵∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°．∵OD是⊙O的半径，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接BD，∵ED＝2，AE＝4，∴AD＝＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠EAD＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴＝，∴AB＝5，∴⊙O的半径为．五．圆的综合题（共2小题）5．（2020秋•常州期末）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．（1）当t＝1时，⊙M的半径是 cm，⊙M与直线CD的位置关系是　相离　；（2）在点P从点A向点B运动过程中．①圆心M的运动路径长是　5　cm；②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，过M作KN⊥AB于N，交CD于K，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥CD，∴⊙M的直径是PQ，KN⊥CD，当t＝1时，AP＝3，CQ＝4，∵AB＝6，BC＝8，∴PB＝6﹣3＝3，BQ＝8﹣4＝4，∴PQ＝＝5，∴⊙M的半径为cm，∵MN∥BQ，M是PQ的中点，∴PN＝BN，∴MN是△PQB的中位线，∴MN＝BQ＝×4＝2，∴MK＝8﹣2＝6＞，∴⊙M与直线CD的位置关系是相离；故答案为：，相离；（2）①如图2，由P、Q运动速度与AB，BC的比相等，∴圆心M在对角线BD上，由图可知：P和Q两点在t＝2时在点B重合，当t＝0时，直径为对角线AC，M是AC的中点，故M运动路径为OB＝BD，由勾股定理得：BD＝＝10，则圆心M的运动路径长是5cm；故答案为：5；②如图3，当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则EF⊥AD，EF⊥BC，则BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，∴PQ＝10﹣5t，∴PM＝＝FM＝5﹣t，△BPQ中，ME＝PB＝3﹣t，∵EF＝FM+ME，∴5﹣t+3﹣t＝6，解得：t＝；（3）如图4，过D作DG⊥PQ，交PQ的延长线于点G，连接DQ，∵∠APD＝∠NBQ，∠NBQ＝∠NPQ，∴∠APD＝∠NPQ，∵∠A＝90°，DG⊥PG，∴AD＝DG＝8，∵PD＝PD，∴Rt△APD≌Rt△GPD（HL），∴PG＝AP＝3t，∵PQ＝10﹣5t，∴QG＝3t﹣（10﹣5t）＝8t﹣10，∵DC2+CQ2＝DQ2＝DG2+QG2，∴62+（4t）2＝82+（8t﹣10）2，∴3t2﹣10t+8＝0，（t﹣2）（3t﹣4）＝0，解得：t1＝2（舍），t2＝．6．（2021秋•常州期末）如图1，边长为6cm的等边△ABC中，AD是高，点P以cm/s 的速度从点D向A运动，以点P为圆心，1cm为半径作⊙P，设点P的运动时间为ts．（1）当⊙P与边AC相切时，求t的值；（2）如图2，若在点P出发的同一时刻，点Q以1cm/s的速度从点B向点C运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．过点Q作BA的平行线，交AC于点M．当QM 与⊙P相切时，求t的值；（3）在运动过程中，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，直接写出t的取值范围．【答案】（1）t＝3﹣；（2）（﹣）或（+）；（3）t的取值范围为0≤t＜或t＝3﹣或3﹣＜t≤3．【解答】解：（1）设⊙P与边AC相切点E，连接PE，如图，则PE⊥AC．∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，∴BD＝＝3cm，∠DAC＝∠BAC＝30°．∴AD＝＝3，由题意得：PD＝tcm，∴AP＝AD﹣PD＝（3﹣t）cm．在Rt△APE中，∵sin∠PAE＝，∴AP＝．∴3﹣t＝．解得：t＝3﹣．∴当⊙P与边AC相切时，t的值为3﹣．（2）设QM与⊙P相切于点E，①当点E在AD的左侧时，设QM与AD交于点F，如图，连接EP，过点M作MH⊥AD于点H，∵QM与⊙P相切于点E，∴EP⊥QM．∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°．∵QM∥AB，∴∠QFD＝∠BAD＝30°．∵∠AFM＝∠QFD，∴∠AFM＝30°．∴∠FAM＝∠AFM＝30°．∴AM＝FM．∵MH⊥AD，∴AH＝FH＝．由题意得：BQ＝t，DP＝t，∵∠B＝∠BAC＝60°，AB∥QM，∴四边形ABQM为等腰梯形，∴AM＝BQ＝t．∴AH＝AM•cos∠DAC＝t．∴AF＝2AH＝2t．∵EP⊥QM，∠EFP＝30°，∴FP＝2EP＝2．∵AF+FP+PD＝AD，∴t+2+t＝3．解得：t＝﹣；②当点P在AD的右侧时，设QM与AD交于点F，如图，连接EP，过点M作MH⊥AD于点H，∵QM与⊙P相切于点E，∴EP⊥QM．∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°．∵QM∥AB，∴∠QFD＝∠BAD＝30°．∵∠AFM＝∠QFD，∴∠AFM＝30°．∴∠FAM＝∠AFM＝30°．∴AM＝FM．∵MH⊥AD，∴AH＝FH＝．由题意得：BQ＝t，DP＝t，∵∠B＝∠BAC＝60°，AB∥QM，∴四边形ABQM为等腰梯形，∴AM＝BQ＝t．∴AH＝AM•cos∠DAC＝t．∴AF＝2AH＝2t．∵EP⊥QM，∠EFP＝30°，∴FP＝2EP＝2．∵AF+DP﹣FP＝AD，∴t+t﹣2＝3．解得：t＝+．综上，当QM与⊙P相切时，t的值为（﹣）或（+）．（3）①当0≤PD＜1时，此时⊙P与BC相交，⊙P与BC边有两个公共点，符合题意，∴此时t的取值范围为0≤t＜；②当1＜PD＜3﹣2时，此时⊙P与△ABC的三边均相离，没有公共点；③当PD＝3﹣2时，此时⊙P与AB，AC边相切，此时⊙P与△ABC的边共有两个公共点；∴由（1）知：t＝3﹣；④当3﹣2＜PD＜3﹣1时，此时⊙P与AB，AC边均相交，此时⊙P与△ABC的边共有四个公共点；⑤当3﹣1＜PD≤3时，此时⊙P与AB，AC边均相交，但各只有一个交点，符合题意，∴此时t的取值范围为：3﹣＜t≤3．综上，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，t的取值范围为0≤t＜或t＝3﹣或3﹣＜t≤3．六．相似三角形的性质（共2小题）7．（2020秋•常州期末）如图，已知△OAB，点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（3，0）．（1）求sin∠AOB的值；（2）若点P在y轴上，且△POA与△AOB相似，求点P的坐标．【答案】（1）．（2）（0，3）或（0，）．【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥OB于H．∵A（2，2），∴AH＝OH＝2，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝．（2）由（1）可知，∠AOP＝∠AOB＝45°，OA＝2，当△AOP∽△AOB时，＝，可得OP′＝OB＝3，∴P′（0，3），当△AOP∽△BOA时，＝，∴＝，∴OP＝，∴P（0，），综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，3）或（0，）．8．（2021秋•常州期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．（1）在△ABC中，∠A＝30°．①如图1，若∠B＝100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；②如图2，若∠B＝90°，BC＝1，则△ABC的“形似线段”的长是　或　；（2）如图3，在△DEF中，DE＝4，EF＝6，DF＝8，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．【答案】（1）①作图见解析部分；②或；（2）3．【解答】解：（1）①如图1中，线段CM即为所求；②如图2中，当BH⊥AC时，线段BH是“形似线段”，∵∠ABC＝90°，BC＝1，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝2，AB＝BC＝，∵•AB•BC＝•AC•BH，∴BH＝＝．当CM平分∠BCA时，线段CT是“形似线段”，在Rt△CBT中，CT＝＝．综上所述，△ABC的“形似线段”的长是或；（2）如图3中，当△DEG∽△DFE时，＝，∴＝，∴EG＝3，当△FEG∽△FDE时，＝，∴＝，∴EG＝3，∴EG＝3．七．相似三角形的判定（共1小题）9．（2022秋•常州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC．（1）过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接BD，△ADE与△ABD相似吗？为什么？【答案】（1）见解析；（2）△ADE∽△ABD，理由见解析．【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求，理由如下，连接OD，∵弦AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）△ADE∽△ABD，理由如下，连接BD，如图，∵弦AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴AC⊥DE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠AED＝∠ADB，∴△ADE∽△ABD．八．作图-相似变换（共1小题）10．（2021秋•常州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（2，1）、（4，1）．（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△ABC，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1；（2）借助网格，在图中画出△ABC的外接圆⊙P，并写出圆心P的坐标　（3，4）　；（3）将△ABC绕（2）中的点P（3）将△ABC绕点P顺时针旋转90°，则点A运动的路线长是　π　．【答案】（1）作图见解析部分；（2）作图见解析部分，P（3，4）．（3）π．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，点P即为所求，P（3，4），故答案为：（3，4）；（3）∵PA＝＝，∴的长＝＝π．故答案为：π．九．方差（共2小题）11．（2020秋•常州期末）某商店1～6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如表（表Ⅰ）所示（单位：台）：第1周第2周第3周第4周第5周第6周甲9101091210乙1312711107现根据表Ⅰ数据进行统计得到表Ⅱ：平均数中位数众数甲　10　10　10　乙10　10.5　7（1）填空：根据表Ⅰ的数据补全表Ⅱ；（2）老师计算了乙品牌冰箱销量的方差：S乙2＝[（13﹣10）2+（12﹣10）2+（7﹣10）2+（11﹣10）2+（10﹣10）2+（7﹣10）2]＝（台2）．请你计算甲品牌冰箱销量的方差，根据计算结果，建议商家可多采购哪一种品牌冰箱？为什么？【答案】（1）10、10、10.5；（2）建议商家可多采购甲品牌冰箱，理由见解答．【解答】解：（1）甲品牌销售数量从小到大排列为：9、9、10、10、10、12，所以甲品牌销售数量的平均数为＝10（台），众数为10台，乙品牌销售数量从小到大排列为7、7、10、11、12、13，所以乙品牌销售数量的中位数为＝10.5（台），补全表格如下：平均数中位数众数甲101010乙1010.57故答案为：10、10、10.5；（2）建议商家可多采购甲品牌冰箱，∵甲品牌冰箱销量的方差＝×[（9﹣10）2×2+（10﹣10）2×3+（12﹣10）2]＝1，S2＝，乙∴＜S乙2，∴甲品牌冰箱的销售量比较稳定，建议商家可多采购甲品牌冰箱．12．（2021秋•常州期末）“119”全国消防日，某校为强化学生的消防安全意识，组织了“关注消防，珍爱家园”知识竞赛，满分为100分．现从八、九两个年级各随机抽取10名学生组成八年级代表队和九年级代表队，成绩如下（单位：分）：八年级代表队：80，90，90，100，80，90，100，90，100，80；九年级代表队：90，80，90，90，100，70，100，90，90，100．（1）填表：代表队平均数中位数方差八年级代表队90　90　60九年级代表队　90　90　80　（2）结合（1）中数据，分析哪个代表队的学生竞赛成绩更好？请说明理由；（3）学校想给满分的学生颁发奖状，如果该校九年级一共有600名学生且全部参加了知识竞赛，那么九年级大约有多少名学生可以获得奖状？【答案】（1）90、90、80；（2）八年级代表队的学生竞赛成绩更好，理由见解答；（3）九年级大约有180名学生可以获得奖状．【解答】解：（1）将八年级代表队成绩重新排列为80，80，80，90，90，90，90，100，100，100，所以其中位数为＝90，九年级代表队成绩的平均数为＝90，所以其方差为×[（70﹣90）2+（80﹣90）2+5×（90﹣90）2+3×（100﹣90）2]＝80，故答案为：90、90、80；（2）八年级代表队的学生竞赛成绩更好，理由如下：∵八、九年级代表队的学生的竞赛成绩的平均数相等，而八年级代表队的学生的竞赛成绩的方差小于九年级，成绩更加稳定，∴八年级代表队的学生竞赛成绩更好；（3）600×＝180（名），答：九年级大约有180名学生可以获得奖状．一十．列表法与树状图法（共3小题）13．（2020秋•常州期末）学校为了丰富学生课余生活，开设了社团课．现有以下社团：A．篮球、B．机器人、C．绘画，学校要求每人只能参加一个社团，甲和乙准备随机报名一个社团．（1）甲选择“机器人”社团的概率是 ；（2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个社团的概率．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）甲选择“机器人”社团的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有9个等可能的结果，甲、乙两人选择同一个社团的结果有3个，∴甲、乙两人选择同一个社团的概率为＝．14．（2021秋•常州期末）小丽的爸爸积极参加社区志愿服务，根据社区安排，志愿者将被随机分配到以下小组中的一个：A组（交通疏导）、B组（环境消杀）、C组（便民代购），开展服务工作．（1）小丽的爸爸被分配到C组的概率是 ；（2）若小丽的班主任刘老师也参加了该社区的志愿者队伍，那么刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的概率是多少？请用画树状图或列表的方法写出分析过程．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）小丽的爸爸被分配到C组的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的结果有3种，∴刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的概率为＝．15．（2022秋•常州期末）学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣．该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种．学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组．（1）甲选择“搭虹豆架”小组的概率是 ；（2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个小组的概率．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）甲选择“搭虹豆架”小组的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一个小组的结果有4种，∴甲、乙两人选择同一个小组的概率为＝．。

2020-2021学年新疆喀什地区九年级第一学期期末数学试卷一、单项选择题（共9小题）.1．下列四个图案中，是中心对称图形的为（）A．B．C．D．2．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（）A．y＝（x﹣1）2+4B．y＝（x﹣4）2+4C．y＝（x+2）2+6D．y＝（x﹣4）2+6 3．一元二次方程2x2﹣x+1＝0根的情况是（）A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断4．在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（）A．πB．πC．πD．π5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点A恰好在ED的延长线上，∠ABC ＝110°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°6．如图，在正六边形转盘中，有两个正三角形涂有阴影，OA为可绕O点自由转动的指针，转动指针（若指针恰好停在分界线上，则重新转动），指针落在有阴影的区域内的概率为（）A．B．C．D．7．如图，⊙O的半径为13，弦AB＝24，P是弦AB上的一个动点，不在OP取值范围内的是（）A．4B．5C．12D．138．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4B．5C．6D．79．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②a+c＜b；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0．其中正确结论的有（）A．①②③B．②③C．②③④D．③④二、填空题（共6小题）.10．在平面直角坐标系中，点M（2，1）和点M′（﹣2，1）关于对称．11．抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标是．12．九年级数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：x…56789…y… 3.53 3.557.5…根据表格上的信息回答：该二次函数y＝ax2+bx+c在x＝4时，y＝．13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BOD＝110°，则∠BCD的度数是．14．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的半径是cm．15．已知方程x2+5x﹣6＝0的解是x1＝1，x2＝﹣6，则方程（2x+3）2+5（2x+3）﹣6＝0的解是．三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答时应在答题卷的相应位置处写出文字说明，证明过程或演绎步骤）16．用配方法解方程：2x2﹣3x+1＝0．17．如图，已知△ABC中，A（﹣3，3），B（﹣4，0），C（﹣1，1）．（1）如果△A1B1C1与△ABC关于原点对称，点A1对应点A，点B1对应点B，点C1对应点C，请直接写出A1、B1、C1三个点的坐标；（2）请在如图所示的网格内画出满足条件的△A1B1C1．18．已知二次函数y＝x2﹣6x+21．（1）将y＝x2﹣6x+21化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标．19．为改善群众生活环境，促进资源循环，提升全民文明素养，垃圾分类陆续在全国各地开展．如图，垃圾一般可分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾四类，分别记为A，B，C，D．甲拿了一袋有害垃圾，乙拿了一袋厨余垃圾，随机扔进并排的4个垃圾桶．（1）直接写出甲扔对垃圾的概率；（2）请补全所列表格，然后利用表格中的信息求出甲、乙两人同时扔对垃圾的概率．乙/甲A B C DA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（，）（，）（，）C（A，C）（，）（，）（，）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）20．某专卖店销售核桃，进价为每千克40元，售价每千克60元，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克，要想平均每天获利2240元，同时尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价多少元？21．如图△ABC中∠A＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE 是⊙O的切线．22．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如果设点P的坐标为（n，n+2），则点C的坐标可表示为；（3）请用含有n的式子表示PC的长，并确定PC长度的最大值．23．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A，B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、点E，接DC并延长交y轴于点F，过点D作DH⊥x轴于点H．若点D、F的坐标分别是（6，﹣1），（0，1）．（1）求证：△FOC≌△DHC；（2）判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由．参考答案一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，请按答题卷中的要求作答）1．下列四个图案中，是中心对称图形的为（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．解：A、图形不是中心对称图形；B、图形不是中心对称图形；C、图形不是中心对称图形；D、图形是中心对称图形；故选：D．2．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（）A．y＝（x﹣1）2+4B．y＝（x﹣4）2+4C．y＝（x+2）2+6D．y＝（x﹣4）2+6【分析】直接根据平移规律作答即可．解：将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣3）2+2+2，即y＝（x﹣4）2+4；故选：B．3．一元二次方程2x2﹣x+1＝0根的情况是（）A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．解：△＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，所以方程无实数根．故选：C．4．在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（）A．πB．πC．πD．π【分析】利用弧长公式计算即可．解：弧长＝＝π，故选：A．5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点A恰好在ED的延长线上，∠ABC ＝110°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°【分析】由旋转的性质可知△ABC≌△EDC，所以可得∠EDC＝∠ABC＝110°，进而可求出∠ADC的度数．解：∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，∴△ABC≌△EDC，∴∠EDC＝∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠EDC＝70°，故选：D．6．如图，在正六边形转盘中，有两个正三角形涂有阴影，OA为可绕O点自由转动的指针，转动指针（若指针恰好停在分界线上，则重新转动），指针落在有阴影的区域内的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据概率公式求出即可．解：∵正六边形被分成相等的6部分，阴影部分占2部分，∴指针落在有阴影的区域内的概率为＝．故选：B．7．如图，⊙O的半径为13，弦AB＝24，P是弦AB上的一个动点，不在OP取值范围内的是（）A．4B．5C．12D．13【分析】过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝12，则利用勾股定理可计算出OH＝5，然后利用垂线段最短得到OP的范围，从而可对各选项进行判断．解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝12，在Rt△OAH中，OH＝＝＝5，∵P是弦AB上的一个动点，∴5≤OP≤13．故选：A．8．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4B．5C．6D．7【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．解：设共有x个班级参赛，根据题意得：＝15，解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去），则共有6个班级参赛．故选：C．9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②a+c＜b；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0．其中正确结论的有（）A．①②③B．②③C．②③④D．③④【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据图象和x＝2的函数值即可确定4a+2b+c 的取值范围，根据对称轴为直线x＝1可以确定2a+b＝0是否成立．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，即﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；根据图象知道当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故②正确；根据图象知道当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③正确；∵对称轴x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，故④正确．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案填在答题卷中相应的横线上）10．在平面直角坐标系中，点M（2，1）和点M′（﹣2，1）关于y轴对称．【分析】根据两点的坐标特点得出答案即可．解：∵点M的坐标是（2，1），点M′的坐标是（﹣2，1），∴点M和点M′关于y轴对称，故答案为：y轴．11．抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标是（0，﹣3）．【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标．解：∵抛物线y＝x2﹣3，∴抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标是：（0，﹣3），故答案为：（0，﹣3）．12．九年级数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：x…56789…y… 3.53 3.557.5…根据表格上的信息回答：该二次函数y＝ax2+bx+c在x＝4时，y＝5．【分析】根据二次函数的图象关于对称轴对称并观察表格知当x＝4和当x＝8时的函数值相等，据此可以求得当x＝4时的函数值．解：∵二次函数的图象关于对称轴对称，且观察表格知x＝5和当x＝7时的函数值相等，∴当x＝4和当x＝8时的函数值相等，∵当x＝8时y＝5，∴当x＝4时y＝5．故答案为5．13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BOD＝110°，则∠BCD的度数是125°．【分析】根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝×110°＝55°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣55°＝125°，故答案为：125°．14．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的半径是5cm．【分析】先根据垂径定理构造出直角三角形，再根据勾股定理得出方程，解方程即可．解：设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示：则AB＝8cm，CD＝2cm．连接OC，交AB于D点．连接OA．∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，AB＝10﹣2＝8（cm），∴OC⊥AB，∴AD＝AB＝4（cm），设半径为Rcm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，即该光盘的半径是5cm．故答案为：5．15．已知方程x2+5x﹣6＝0的解是x1＝1，x2＝﹣6，则方程（2x+3）2+5（2x+3）﹣6＝0的解是x1＝﹣1，x2＝﹣．【分析】先把方程（2x+3）2+5（2x+3）﹣6＝0看作关于（2x+3）的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3＝1或2x+3＝﹣6，然后解两个一元一次方程即可．解：把方程（2x+3）2+5（2x+3）﹣6＝0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3＝1或2x+3＝﹣6，所以x1＝﹣1，x2＝﹣．故答案为x1＝﹣1，x2＝﹣．三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答时应在答题卷的相应位置处写出文字说明，证明过程或演绎步骤）16．用配方法解方程：2x2﹣3x+1＝0．【分析】利用配方法得到（x﹣）2＝，然后利用直接开平方法解方程．解：x2﹣x＝﹣，x2﹣x+＝﹣+，（x﹣）2＝x﹣＝±，所以x1＝，x2＝1．17．如图，已知△ABC中，A（﹣3，3），B（﹣4，0），C（﹣1，1）．（1）如果△A1B1C1与△ABC关于原点对称，点A1对应点A，点B1对应点B，点C1对应点C，请直接写出A1、B1、C1三个点的坐标；（2）请在如图所示的网格内画出满足条件的△A1B1C1．【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征点，写出A1、B1、C1三个点的坐标；解：（1）A1（3，﹣3）、B1（4，0）、C1（1，﹣1）；（2）如图，△A1B1C1为所作；．18．已知二次函数y＝x2﹣6x+21．（1）将y＝x2﹣6x+21化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标．【分析】（1）提取二次项系数后加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标即可．解：（1）y＝x2﹣6x+21＝（x2﹣12x+42）＝（x﹣6）2+3；（2）对称轴为直线x＝6，顶点坐标为（6，3）．19．为改善群众生活环境，促进资源循环，提升全民文明素养，垃圾分类陆续在全国各地开展．如图，垃圾一般可分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾四类，分别记为A，B，C，D．甲拿了一袋有害垃圾，乙拿了一袋厨余垃圾，随机扔进并排的4个垃圾桶．（1）直接写出甲扔对垃圾的概率；（2）请补全所列表格，然后利用表格中的信息求出甲、乙两人同时扔对垃圾的概率．乙/甲A B C DA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾正确的概率；（2）先补全所列表格，得出所有可能，再利用概率公式求出答案．解：（1）甲扔对垃圾的概率为；（2）补全所列表格：乙/甲A B C DA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两人同时扔对垃圾的只有1种结果，∴甲、乙两人同时扔对垃圾的概率为，故答案为：B，B；C，B；D，B；B，C；C，C；D，C．20．某专卖店销售核桃，进价为每千克40元，售价每千克60元，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克，要想平均每天获利2240元，同时尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价多少元？【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．解：设每千克核桃应降价x元，（60﹣40﹣x）（100+10x）＝2240，解得，x1＝4，x2＝6，∵尽可能让利于顾客，∴x＝6，即每千克核桃应降价6元．21．如图△ABC中∠A＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE 是⊙O的切线．【分析】要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，AD，求证∠ODE＝90°即可．【解答】证明：连接AD、DO；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵E是AC的中点，∴DE＝AE（直角三角形中斜边中线等于斜边一半），∴∠EAD＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝∠EAD+∠DAO＝∠CAB＝90°．∴OD⊥DE．∵以AB为直径的⊙O交BC于D，∴OD是半径，∴DE是⊙O的切线．22．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如果设点P的坐标为（n，n+2），则点C的坐标可表示为（n，2n2﹣8n+6）；（3）请用含有n的式子表示PC的长，并确定PC长度的最大值．【分析】（1）已知B（4，m）在直线y＝x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B 两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过待定系数法即可求得解析式；（2）根据题意知，点P、C的横坐标相同，所以将点P的横坐标代入函数解析式即可求得点C的坐标；（3）设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，化成顶点式即可．解：（1）∵B（4，m）在直线y＝x+2上，∴m＝4+2＝6，∴B（4，6）．∵A（，），B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx+6上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x+6；（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6）．故答案是：（n，2n2﹣8n+6）；（3）∵P（n，n+2），C（n，2n2﹣8n+6），∴PC＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），＝﹣2n2+9n﹣4，＝﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴当n＝时，线段PC最大且为．23．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A，B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、点E，接DC并延长交y轴于点F，过点D作DH⊥x轴于点H．若点D、F的坐标分别是（6，﹣1），（0，1）．（1）求证：△FOC≌△DHC；（2）判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据点D、F的坐标分别是（6，﹣1），（0，1），得到DH＝OF，然后根据AAS即可证得△FOC≌△DHC；（2）结论：⊙P与x轴相切．只要证明PC⊥x轴即可．【解答】（1）证明：∵点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，﹣1），∴DH＝OF，在△FOC与△DHC中，，∴△FOC≌△DHC（AAS）；（2）解：⊙P与x轴相切．理由如下：如图，连接CP．∵△FOC≌△DHC，∴DC＝CF，∵AP＝PD，∴CP∥AF，∴∠PCE＝∠AOC＝90°，即PC⊥x轴．又PC是半径，∴⊙P与x轴相切．。

2020-2021学年九年级上学期期末数学提高训练题 (14)一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.方程3x2−4x−1=0的二次项系数和一次项系数分别为()A. 3和4B. 3和−4C. 3和−1D. 3和12.下列对一元二次方程x2+x−3=0根的情况的判断，正确的是()A. 有两个不相等实数根B. 有两个相等实数根C. 有且只有一个实数根D. 没有实数根3.关于二次函数y=2x2+4x−1，下列说法正确的是()A. 图象与y轴的交点坐标为(0,1)B. 图象的对称轴在y轴的右侧C. 当x<0时，y的值随x值的增大而减小D. y的最小值为−34.已知m、n是关于x的一元二次方程x2−3x+a=0的两个解，若mn=−4，则a的值为()A. −10B. 4C. −4D. 105.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥PC于D点，且AC=13，CD=5，AB=12√2，则⊙O的直径等于()A. 13√2 B. 15√2 C. 13√2 D. 1726.当x>0时，函数y=−6的图象在()xA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.函数y=3x2+1的最小值为()A. 0B. 1C. 2D. 38.如果反比例函数y=k−1的图象经过点(−1,−2)，则k的值是()xA. 2B. −2C. −3D. 39.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是()A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°10.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示.下列结论： ①4ac<b2; ②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3; ③3a+c>0; ④当y>0时，x的取值范围是−1<x<4; ⑤当x<0时，y随x的增大而增大.其中正确的个数是()A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.方程5x2=4x的根是______ ．12.二次函数y=x2−4x−3的顶点坐标是(______ ，______ ).13.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=12，则四边形ABCD的周长为______．14.如图，从一个直径为1m的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为______m.15.如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_________．16.17.如图，一张扇形纸片OAB中，半径OA为2，点C是AB̂的中点，现将这张扇形纸片沿着弦AB折叠，点C恰好与圆心O重合，则图中阴影部分的面积为_____．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.先化简，再求值m2−4m+4m−1÷(3m−1−m−1)，其中m=√2−2．四、解答题（本大题共7小题，共66.0分）18.已知关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+m2−1=0．(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1 , x2，且满足(x1−x2)2=16−x1x2，求实数m的值．19.已知：如图，在正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．(1)求证：EF=AE−BE．(2)连接BF，如果AFBF =DFAD，求证：EF=EP．20.如图，△ABC内接于⊙O，过点B的切线BE//AC，点P是优弧AC上一动点(不与A，C重合)，连接PA，PB，PC，PB交AC于D．(1)求证：PB平分∠APC；(2)当PD=3，PB=4时，求AB的长．21.某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查(问卷调查表如图所示)，将调查结果整理后绘制成如下两幅均不完整的统计图表．最受欢迎的校本课程问卷调查表您好！这是一份关于您最喜欢的校本课程问卷调查表，请在表格中选择一个(只能选一个)您最喜欢的课程选项，在其后空格内扣“√”，非常感谢您的合作．选项校本课程A“3D”打印B数学史C诗歌欣赏D陶艺制作校本课频数(人)频率程A360.45B0.25C16bD8合计|a1请根据图中信息，解答下列问题：(1)统计表中的a=________，b=________；(2)“D”对应扇形的圆心角的度数为________°；(3)根据调查结果，估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；(4)小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”“B”“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．22.如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=mx 与y=nx(x>0,0<m<n)的图象上，对角线BD//y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4．(1)当m=4，n=20时．①若点P的纵坐标为2，求点A和点B的坐标．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．(2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．23.小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆。

2020-2021学年河南省焦作市九年级（上）期末数学试卷（北师大版）一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案前的代号字母填涂在答题卷上指定位置.1．（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似2．（3分）某几何体的主视图和左视图完全一样均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”．现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同的概率为（）A．B．C．D．4．（3分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆5．（3分）关于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根6．（3分）在如图所示的网格中，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，位似中心是点O，则四边形ABCD与四边形NPMQ的位似比是（）A．1：2B．2：1C．1：D．：17．（3分）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A．B．C．D．8．（3分）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（）A．S B．S C．S D．S9．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（）A．B．C．3D．210．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AD，若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，若△ABE的面积为24，则k的值为（）A．6B．12C．16D．24二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）关于x的方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．12．（3分）一个密闭不透明的口袋中只有质地均匀大小相同的白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小华往口袋中放入10个红球，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球，估计这个口袋中白球的个数约为个．13．（3分）如图，在边长为4cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于2，则k的值为．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为．三、解答题（本大题共8题，共75分）16．（8分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．17．（9分）国庆黄金周期间，甲、乙两名同学分别想从云台山、青天河、青龙峡3个景点中随机选择2个景点去游览．（1）求甲同学选择的2个景点是云台山、青天河的概率是．（2）甲、乙两名同学选择的2个景点恰好相同的概率是多少？请用树状图或表格表示．18．（9分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测（结果精确到0.1m）．得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．19．（9分）请阅读下列材料，并完成相应的任务．三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图1，任意锐角ABC可被看作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E，交DA的延长线于点F，若EF＝2AB，则射线BF是∠ABC的一条三等分线．证明：如图2取EF的中点G，连接AG…任务：（1）完成材料中的证明过程．（2）如图3，矩形ABCD中，对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线交于点F．若BF＝AC，求∠F的度数．20．（9分）如图1是一种手机平板支架．由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE ＝90mm，托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，≈1.732）21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，6），过点A的直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于B，C两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的3倍，求此直线的函数表达式．22．（10分）某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？23．（11分）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB ＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，则∠AEB＝；线段AE，EC，BE的数量关系为．（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出∠AEB的度数及线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由．（3）当α＝120°，tan∠DAB＝时，请直接写出的值．2020-2021学年河南省焦作市九年级（上）期末数学试卷（北师大版）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案前的代号字母填涂在答题卷上指定位置.1．（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，故选：D．2．（3分）某几何体的主视图和左视图完全一样均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：几何体的主视图和左视图完全一样均如图所示则上面的几何体从正面看和左面看的长度相等，只有等边三角形不可能，故选：C．3．（3分）如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”．现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：用A1、A2分别表示两张印有中国国际进口博览会的标志，用B表示一张印有进博会吉祥物“进宝”．一次性随机抽取两张，所有可能出现的情况如下：共有6种等可能出现的结果，有4种两张卡片图案不相同，∴P（两张卡片图案不相同）＝＝，故选：D．4．（3分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFDC重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形，故选：A．5．（3分）关于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根【解答】解：∵（x﹣3）（x+2）＝p2（p为常数），∴x2﹣x﹣6﹣p2＝0，∴△＝b2﹣4ac＝1+24+4p2＝25+4p2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣6﹣p2＜0，∴一个正根，一个负根．故选：C．6．（3分）在如图所示的网格中，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，位似中心是点O，则四边形ABCD与四边形NPMQ的位似比是（）A．1：2B．2：1C．1：D．：1【解答】解：如图，连接OD，OQ，∵四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，位似中心是点O，∴四边形ABCD与四边形NPMQ的位似比＝OD：OQ＝：2＝1：2．故选：A．7．（3分）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB＝＝，AC＝＝3，∵S△ABC＝AC•BD＝×3•BD＝×1×3，∴BD＝，∴sin∠BAC＝＝＝．故选：B．8．（3分）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（）A．S B．S C．S D．S【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，∵点E是线段BC的中点，∴EF、EG都是△OBC的中位线，∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝S；故选：B．9．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（）A．B．C．3D．2【解答】解：如图，延长BF交CD的延长线于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，AB∥CD，∴∠H＝∠ABF，∵EF∥AB，∴EF∥CD，∵E是边BC的中点，∴EF是△BCH的中位线，∴BF＝FH，∵∠BFC＝90°，∴CF⊥BF，∴CF是BH的中垂线，∴BC＝CH＝8，∴DH＝CH﹣CD＝3，在△ABF和△GHF中，，∴△ABF≌△GFH（ASA），∴AB＝GH＝5，∴DG＝GH﹣DH＝2，故选：D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AD，若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，若△ABE的面积为24，则k的值为（）A．6B．12C．16D．24【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为矩形，∴O为对角线AC，BD交点，OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠OAE，∴∠OAD＝∠EAD，∴∠ODA＝∠EAD，∴BD∥AE，∴S△ABE＝S△AOE＝24．设点A坐标为（m，），∵AF＝EF，即F为AE中点，∴点F纵坐标为，将y＝代入y＝得x＝2m，∴点F坐标为（2m，），∴点E横坐标为2×2m﹣m＝3m，即点E坐标为（3m，0）．∴S△AOE＝OE•y A＝×3m×＝24，解得k＝16．故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）关于x的方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m ＞﹣1且m≠0．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0且m≠0，∴4+4m＞0且m≠0，∴m＞﹣1且m≠0，故答案为：m＞﹣1且m≠0．12．（3分）一个密闭不透明的口袋中只有质地均匀大小相同的白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小华往口袋中放入10个红球，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球，估计这个口袋中白球的个数约为4个．【解答】解：设袋子中白球有x个，根据题意，得：＝，解得x≈4，经检验x＝4是分式方程的解，所以袋子中白球的个数约为4个，故答案为：4．13．（3分）如图，在边长为4cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为8cm2．【解答】解：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BF，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°＝2（cm），∴BF＝2BT＝4（cm），∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF＝•EF•BF＝×4×4＝8（cm2），故答案为8．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于2，则k的值为6．【解答】解：设OC＝a，则C（a，0），∵OC＝OB，∴B（5a，0），CB＝4a，过点A作AE⊥x轴于点E，则∠AEC＝∠DOC＝90°，∵∠ACE＝∠DCO，∴△COD∽△CEA，∴，∵AB＝AC，点A在反比例函数图象上，∴A（3a，），CE＝2a，∴，∴OD＝，∵S△BCD＝＝2，∴k＝6．故答案为：6．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝，即P A+PB的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共8题，共75分）16．（8分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．【解答】证明：（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD∴∴BD2＝AD•CD（2）∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12∴MC2＝MB2+BC2＝28∴MC＝2∵BM∥CD∴△MNB∽△CND∴，且MC＝2∴MN＝17．（9分）国庆黄金周期间，甲、乙两名同学分别想从云台山、青天河、青龙峡3个景点中随机选择2个景点去游览．（1）求甲同学选择的2个景点是云台山、青天河的概率是．（2）甲、乙两名同学选择的2个景点恰好相同的概率是多少？请用树状图或表格表示．【解答】解：把云台山、青天河、青龙峡3个景点分别记为A、B、C，（1）画树状图如图：共有6个等可能的结果，甲同学选择的2个景点是云台山、青天河的结果有2个，∴甲同学选择的2个景点是云台山、青天河的概率为＝，故答案为：；（2）画树状图如图：共有9种等可能出现的结果，其中甲、乙两名同学选择的2个景点恰好相同的有3种，∴甲、乙两名同学选择的2个景点恰好相同的概率为＝．18．（9分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测（结果精确到0.1m）．得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．【解答】解：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，∴MA∥CD∥BN，∴EC＝CD＝x米，∴△ABN∽△ACD，∴＝，即＝，解得：x＝6.125≈6.1．经检验，x＝6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米19．（9分）请阅读下列材料，并完成相应的任务．三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图1，任意锐角ABC可被看作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E，交DA的延长线于点F，若EF＝2AB，则射线BF是∠ABC的一条三等分线．证明：如图2取EF的中点G，连接AG…任务：（1）完成材料中的证明过程．（2）如图3，矩形ABCD中，对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线交于点F．若BF＝AC，求∠F的度数．【解答】（1）证明：如图2，取EF的中点G，连接AG，∵四边形BCAD是矩形，∴AD∥BC，∠DAC＝90°，∴∠F＝∠CBF，∠EAF＝90°，∵点G是EF的中点，∴AG＝EF＝FG，∴∠F＝∠GAF，∵EF＝2AB，∴AG＝AB，∴∠ABG＝∠AGB＝∠F+∠GAF＝2∠F＝2∠CBF，∴∠ABC＝3∠CBF，∴射线BF是∠ABC的一条三等分线；（2）解：取AC的中点H，连接BH，如图2所示：∵四边形BCAD是矩形，∴∠CBA＝∠CBE＝90°，∵BF是∠CBE的角平分线，∴∠FBE＝∠CBE＝×90°＝45°，∵∠FBE＝∠F AB+∠F，∴∠F AB+∠F＝45°，∵∠CBA＝90°，点H是AC的中点，∴BH＝AH＝BF＝AC，∴∠HAB＝∠HBA，∠BHF＝∠F，∴∠BHF＝2∠HAB，∴∠F＝2∠HAB，∴∠F AB＝∠F，∴∠F+∠F＝45°，∴∠F＝30°．20．（9分）如图1是一种手机平板支架．由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE ＝90mm，托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，≈1.732）【解答】解：如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，由题意可知，AC＝80，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×＝40mm＝FM，∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°，∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44（mm），∴AM＝AF+FM＝51.44+40≈120.7（mm），答：点A到直线DE的距离约为120.7mm．21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，6），过点A的直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于B，C两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的3倍，求此直线的函数表达式．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，6），∴m＝2×6＝12，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）∵直线y＝kx+b过点A，∴2k+b＝6，∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，∴B（﹣，0），C（0，b），∵△AOB的面积为△BOC的面积的3倍，∴×6×|﹣|＝3××|﹣|×|b|，∴b＝±2，当b＝2时，k＝2，当b＝﹣2时，k＝4，∴直线的函数表达式为：y＝2x+2或y＝4x﹣2．22．（10分）某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？【解答】解：（1）设4月份售出B型小家电x台，根据题意，得（50﹣40）×40﹣（40﹣32）x≥800．解得x≥50．答：4月份售出B型小家电至少50台；（2）设两种型号的小家电都降价y元，根据题意得：（50﹣y﹣40）（40+10y）+（40﹣y﹣32）（50+15y）＝965．整理，得5y2﹣26y+33＝0．解得y1＝3，y2＝2.2．为了让消费者得到更多的实惠，所以y＝3符合题意．答：两种型号的小家电都降价3元．23．（11分）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB ＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，则∠AEB＝45°；线段AE，EC，BE的数量关系为AE＝EC+BE．（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出∠AEB的度数及线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由．（3）当α＝120°，tan∠DAB＝时，请直接写出的值．【解答】解：（1）连接AC，如图①所示：∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，∴∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A、B、E、C四点共圆，∴∠AEB＝∠ACB，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∴∠AEB＝45°，∴AE＝EC+BE；故答案为：45°；AE＝EC+BE．（2）AE＝BE+CE，理由如下：在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，∴∠ABD＝∠FBE，∵∠ABC＝120°，∴∠FBE＝120°，∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF＝×（180°﹣∠FBE）＝×（180°﹣120°）＝30°，∵BH⊥EF，∴∠BHE＝90°，FH＝EH，在Rt△BHE中，BH＝BE，FH＝EH＝BH＝BE，∴EF＝2EH＝2×BE＝BE，∵AE＝EF+AF，AF＝CE，∴AE＝BE+CE；（3）分两种情况：①当点D在线段CB上时，在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：由（2）得：FH＝EH＝BE，∵tan∠DAB＝，∴AH＝3BH＝BE，∴CE＝AF＝AH﹣FH＝BE﹣BE＝BE，∴；②当点D在线段CB的延长线上时，在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示：同①得：FH＝EH＝BE，AH＝3BH＝BE，∴CE＝AF＝AH+FH＝BE+BE＝BE，∴；综上所述，当α＝120°，tan∠DAB＝时，的值为或．。

2020-2021学年湖南省怀化市鹤城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1．（4分）将方程3x2＝﹣6x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、6、8B．3、﹣6、﹣8C．3、﹣6、8D．3、6、﹣8 2．（4分）已知反比例函数y＝的图象过点P（2，﹣3），则该反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限3．（4分）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜3B．m≤3C．m＞3D．m≥34．（4分）若A（3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点都在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y1＜y3＜y2D．无法确定5．（4分）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2＝389B．389（1+x）2＝438C．389（1+2x）＝438D．438（1+2x）＝3896．（4分）为了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间（每组的时间值包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于（）A．50%B．55%C．60%D．65%7．（4分）如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB＞AC），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC的有（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．＝D．＝8．（4分）正方形网格中，△ABC如图放置，其中点A、B、C均在格点上，则（）A．tan B＝B．cos B＝C．sin B＝D．sin B＝9．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，AE：ED＝2：1，则△BDE与△ABC的面积比为何？（）A．1：6B．1：9C．2：13D．2：15二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测试高度，计算平均数和方差的结果为＝13，，s甲2＝3.6，s乙2＝4.2，则小麦长势比较整齐的是．12．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且，则k的值为．13．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝，则AB的长为．14．（4分）如图所示，AB⊥BD，CD⊥BD，BO＝4，BD＝12．15．（4分）如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B 处时，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处米．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，∠AOB＝30°，AB＝BO（x ＜0）的图象经过点A，若S△ABO＝，则k的值为．三、解答题（本大题8个小题，共计86分）17．（10分）解一元二次方程：（1）4x2﹣121＝0；（2）（x﹣2）（x﹣4）＝5．18．（10分）计算：（1）cos30°﹣cos60°+sin245°；（2）（2020﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|+3tan30°．19．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，2），B（n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．20．（10分）钓鱼岛位于我国东海，是我国自古以来的固有领土，有“花鸟岛”之美称．如图，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点21．（10分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB•CE．（1）说明：△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．22．（10分）某校为了解九年级男同学的中考体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？23．（12分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，PQ的长度等于cm？（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．24．（14分）如图1，在矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，且点G在线段AB的左侧，连接BG．（1）求证：△ADE∽△ABF；（2）若AB＝20，AD＝10，设DE＝x①求y与x的函数关系式；②当时，求x的值；（3）如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S1，当时，求DC：DE的值．2020-2021学年湖南省怀化市鹤城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1．（4分）将方程3x2＝﹣6x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、6、8B．3、﹣6、﹣8C．3、﹣6、8D．3、6、﹣8【解答】解：将方程3x2＝﹣7x+8化为一元二次方程的一般形式为：3x2+6x﹣8＝7，其二次项系数、常数项分别为3、6．故选：D．2．（4分）已知反比例函数y＝的图象过点P（2，﹣3），则该反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（2，∴k＝2×（﹣3）＝﹣6＜5，∴该反比例函数经过第二、四象限．故选：C．3．（4分）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜3B．m≤3C．m＞3D．m≥3【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣3×3×m＞0，解得m＜6．故选：A．4．（4分）若A（3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点都在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y1＜y3＜y2D．无法确定【解答】解：∵k＝﹣1＜0，∴反比例函数的两个分支在二、四象限，y随x的增大而增大，∵2＞0，∴y1＜4，∵﹣2＜﹣1＜8，∴0＜y2＜y6，∴y1＜y2＜y2，故选：A．5．（4分）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2＝389B．389（1+x）2＝438C．389（1+2x）＝438D．438（1+2x）＝389【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元2元，由题意，得：389（6+x）2＝438．故选：B．6．（4分）为了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间（每组的时间值包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于（）A．50%B．55%C．60%D．65%【解答】解：该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数是：×100%＝60%；故选：C．7．（4分）如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB＞AC），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC的有（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．＝D．＝【解答】解：∵∠A＝∠A，∴当∠APC＝∠ACB或∠ACP＝∠B或AC：AB＝AP：AC或AC2＝AB•AP时，△ACP∽△ABC．故选：D．8．（4分）正方形网格中，△ABC如图放置，其中点A、B、C均在格点上，则（）A．tan B＝B．cos B＝C．sin B＝D．sin B＝【解答】解：由图可知，AC＝2；AB＝＝；根据三角函数的定义，A、tan B＝＝；B、cos B＝＝＝；C、sin B＝＝＝；D、sin B＝＝＝．故选：D．9．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE＝BC＝，∴△BEF∽△DAF，∴＝，∴EF＝AF，∴EF＝AE，∵点E是边BC的中点，由矩形的对称性得：AE＝DE，∴EF＝DE，则DE＝3x，∴DF＝＝2x，∴tan∠BDE＝＝＝；故选：A．10．（4分）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，AE：ED＝2：1，则△BDE与△ABC的面积比为何？（）A．1：6B．1：9C．2：13D．2：15【解答】解：∵AE：ED＝2：1，∴AE：AD＝6：3，∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴S△ABE：S△ACD＝4：7，∴S△ACD＝S△ABE，∵AE：ED＝5：1，∴S△ABE：S△BED＝2：4，∴S△ABE＝2S△BED，∴S△ACD＝S△ABE＝S△BED，∵S△ABC＝S△ABE+S△ACD+S△BED＝8S△BED+S△BED+S△BED＝S△BED，∴S△BDE：S△ABC＝2：15，故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测试高度，计算平均数和方差的结果为＝13，，s甲2＝3.6，s乙2＝4.2，则小麦长势比较整齐的是甲．【解答】解：∵s甲2＝3.3，s乙2＝4.8，∴s甲2＜s乙2，∴小麦长势比较整齐的是甲，故答案为：甲．12．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且，则k的值为﹣2．【解答】解：根据题意得：x1+x2＝﹣7，x1x2＝k﹣4，x12+x42﹣x1x2＝（x1+x2）7﹣3x1x7＝4﹣3（k﹣7）＝13，∴k＝﹣2，经检验，k＝﹣2符合题意，故答案为：﹣5．13．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝，则AB的长为3+．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+．故答案为：3+．14．（4分）如图所示，AB⊥BD，CD⊥BD，BO＝4，BD＝1210．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠D＝∠B＝90o，∵∠DOC＝∠BOA，∴△AOB∽△COD，∴，∵AB＝3，BO＝4，∴，∴CD＝5，在Rt△DOC中，OC＝＝＝10，故答案为：10．15．（4分）如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B 处时，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处2米．【解答】解：由FB∥AP可得，△CBF∽△CAP，∴，即，解得AP＝4，由GD∥AP可得，△EDG∽△EAP，∴，即，解得ED＝5，故答案为：2．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，∠AOB＝30°，AB＝BO（x ＜0）的图象经过点A，若S△ABO＝，则k的值为﹣3．【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示．∵∠AOB＝30°，AD⊥OD，∴＝cot∠AOB＝，∵∠AOB＝30°，AB＝BO，∴∠AOB＝∠BAO＝30°，∴∠ABD＝60°，∴＝cot∠ABD＝，∵OB＝OD﹣BD，∴＝，∴＝，∵S△ABO＝，∴S△ADO＝|k|＝，∵反比例函数图象在第二象限，∴k＝﹣8故答案为：﹣3．三、解答题（本大题8个小题，共计86分）17．（10分）解一元二次方程：（1）4x2﹣121＝0；（2）（x﹣2）（x﹣4）＝5．【解答】解：（1）4x2﹣121＝5，x2＝，所以x8＝﹣，x2＝；（2）整理得，x2﹣6x＝﹣8，x2﹣6x+3＝﹣3+9，即（x﹣7）2＝6，x﹣4＝±，所以x1＝5+，x2＝8﹣．18．（10分）计算：（1）cos30°﹣cos60°+sin245°；（2）（2020﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|+3tan30°．【解答】解：（1）原式＝﹣×+×（）5＝﹣+＝；（2）原式＝3﹣3+2﹣+3×＝﹣2+2﹣+＝0．19．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，2），B（n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【解答】解：（1）把A（﹣3，2）代入，∴反比例函数解析式为；把B（n，﹣6）代入，解得n＝5，∴B点坐标为（1，﹣6），把A（﹣7，2），﹣6）代入y4＝kx+b，得，解方程组得，∴一次函数解析式为y＝﹣5x﹣4；（2）当x＝0时，y＝﹣7x﹣4＝﹣4，﹣4），∴△AOB的面积＝．20．（10分）钓鱼岛位于我国东海，是我国自古以来的固有领土，有“花鸟岛”之美称．如图，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：根据题意得：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴CA＝CB，∵CB＝50×2＝100（海里），∴CA＝100（海里），在Rt△ADC中，∠ACD＝60°，∴CD＝AC cos60°＝100×＝50（海里），答：船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．21．（10分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB•CE．（1）说明：△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB2＝DB•CE∴∴∴△ADB∽△EAC．（2）∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD＝∠E，∵∠DAE＝∠BAD+∠BAC+∠CAE，∴∠DAE＝∠D+∠BAD+∠BAC，∵∠BAC＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝70°，∴∠D+∠BAD＝70°，∴∠DAE＝∠D+∠BAD+∠BAC＝70°+40°＝110°．22．（10分）某校为了解九年级男同学的中考体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？【解答】解：（1）抽取的学生数：16÷40%＝40（人）；抽取的学生中合格的人数：40﹣12﹣16﹣4＝8，合格所占百分比：5÷40×100%＝20%，优秀人数：12÷40×100%＝30%，如图所示：（2）成绩未达到良好的男生所占比例为：20%+10%＝30%，所以估计成绩未达到良好有600×30%＝180（名）．23．（12分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，PQ的长度等于cm？（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．【解答】解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（4＜x≤3.5）此时AP＝xcm，BP＝（8﹣x）cm，由，得，整理得：x5﹣5x+4＝4，解得：x＝1或x＝4（舍）；答：8秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）设经过t秒后，PQ的长度等于2＝BP2+BQ7，即40＝（5﹣t）2+（2t）2，解得：t＝﹣1（舍去）或4．则3秒后，PQ的长度为；（3）假设经过t秒后，△PBQ的面积等于5cm2，即，，整理得：t2﹣7t+7＝0，由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜8，则原方程没有实数根，所以△PQB的面积不能等于7cm2．24．（14分）如图1，在矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，且点G在线段AB的左侧，连接BG．（1）求证：△ADE∽△ABF；（2）若AB＝20，AD＝10，设DE＝x①求y与x的函数关系式；②当时，求x的值；（3）如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S1，当时，求DC：DE的值．【解答】（1）证明：∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ABF＝∠D＝90°，∴∠EAF＝∠BAD，∴∠F AB＝∠DAE，∵∠ABF＝∠D＝90°，∴△ADE∽△ABF；（2）①如图1，过点G作GH⊥BF于H，∵∠GHF＝∠C＝90°，∴GH∥EC，∵点G为EF的中点，∴FG＝GE，∴FH＝HC，∴EC＝2GH＝7y，∵DE+EC＝CD＝AB＝20，∴x+2y＝20，∴；②∵，∴设EC＝8k，BG＝5k，∵EC＝6GH，∴GH＝4k，由勾股定理得：BH＝3k，∴FH＝CH＝4k+10，∴FB＝6k+10，∵△ADE∽△ABF，∴，∵，x＝20﹣8k，∴，∴，∴；（3）如图2，连接BE，CD＝BC＝b．∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，设DE＝a，CD＝BC＝b，∵∠F AB＝∠EAD，AD＝AB，∴△ADE≌△ABF，∴BF＝DE＝a，∴，∵S＝b2，S＝5S1，∴b2＝4b2﹣a2﹣ab，∴b3﹣ab﹣a2＝0，∴，解得：，∴．。

2020-2021学年北师大新版九年级上册数学期末复习试卷一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．方程x2﹣6x+5＝0较小的根为p，方程5x2﹣4x﹣1＝0较大的根为q，则p+q等于（）A．3B．2C．1D．22．如图所示几何体的左视图正确的是（）A．B．C．D．3．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数C．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃4．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2 6．若，则的值为（）A．1B．C．D．7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB ＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（）A．4B．5C．6D．88．如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，下列说法：①BD ＝2GE；②AF＝2FD；③△AGE与△BDF面积相等；④△ABF与四边形DCEF面积相等，结论正确的是（）A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④9．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为（5，4）B．AB＝ADC．a＝﹣D．OC•OD＝1610．正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，旗杆AB的高度为米．12．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A'B'O．若点A的坐标是（1，2），则点A'的坐标是．13．在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如表所示，则两次摸出的球都是红球的概率是．14．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为xm，则可列方程为．15．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，过点B、C分别作AB、BC的垂线相交于点D，延长AC、BD相交于点E，若tan∠BDC＝2，则DE＝．三．解答题（共3小题，满分22分）17．计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．18．如图，是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，每个扇形上分别标上，1，﹣1三个数字．小明转动转盘，小亮猜结果，如果转盘停止后指针指向的结果与小亮所猜的结果相同，则小亮获胜，否则小明获胜．（1）如果小明转动转盘一次，小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是．（2）如果小明连续转动转盘两次，小亮猜两次的结果都是“正数”，请用画树状图或列表法求出小亮获胜的概率．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE ∥BD，BE与CE交于点E．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）当∠ABD＝60°，AD＝2时，求BE的长．四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）20．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）五．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：销售单价x（元）121416每周的销售量y（本）500400300（1）求y与x之间的函数关系式；（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？六．解答题（共3小题，满分34分）22．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A （1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）若点P为x轴上一点，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标．23．【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．【问题情境】如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．小明在分析解题思路时想到了两种平移法：方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；【尝试应用】（1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC 的值；（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF，连结DE分别交线段BC，PC于点M，N．①求∠DMC的度数；②连结AC交DE于点H，求的值．24．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．解：方程x2﹣6x+5＝0较小的根为p＝1，方程5x2﹣4x﹣1＝0较大的根为q＝1，则p+q＝2，故选：B．2．解：从几何体的左面看所得到的图形是：故选：A．3．解：A、在“石关、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”为，不符合这一结果，故此选项错误；B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率是＝＝0.5，符合这一结果，故此选项正确；C、从一个装有1个红球2个黄球的袋子中任取一球，取到的是黄球的概率为：，不符合这一结果，故此选项错误；D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25，不符合这一结果，故此选项错误；故选：B．4．解：由题意可知：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，故选：B．5．解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x+3）2；故选：C．6．解：∵，∴＝2＝2﹣＝；故选：B．7．解：作CE⊥x轴于E，∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，∴OA＝CE＝2，∵∠ABO+∠CBE＝90°＝∠OAB+∠ABO，∴∠OAB＝∠CBE，∵∠AOB＝∠BEC，∴△AOB∽△BEC，∴＝，即＝，∴BE＝4，∴OE＝5，∵点D是AB的中点，∴D（，2）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，∴k＝×2＝5．故选：B．8．解：∵中线AD，BE相交于点F，∴BD＝CD，AE＝CE，BF＝2EF，AF＝2FD，②正确；∵EG∥BC，∴△BDF∽△EGF，∴＝＝2，∴BD＝2GE，①正确；∵AF＝2FD，∴△ABF的面积＝2△BDF的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，△BDF的面积＝△ABC的面积，∵EG∥BC，AE＝CE，∴△AGE∽△ADC，＝，∴＝（）2＝，∴△AGE的面积＝△ADC的面积△ABC的面积，∴△AGE与△BDF面积不相等，③不正确；∵BD＝CD，AE＝CE，∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝△ABC的面积＝△ABE的面积＝△BCE的面积，∴△ABD的面积＝△BCE的面积，∴△ABD的面积﹣△BDF的面积＝△BCE的面积﹣△BDF的面积，即△ABF与四边形DCEF面积相等，④正确；故选：D．9．解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，∴A（0，4），∵对称轴为直线x＝，AB∥x轴，∴B（5，4）．故A无误；如图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5，∵AB∥x轴，∴∠BAC＝∠ACO，∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，∴∠ACO＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝5，∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，∴C（8，0），∵对称轴为直线x＝，∴D（﹣3，0）∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，∴AD＝5，∴AB＝AD，故B无误；设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），∴a＝﹣，故C无误；∵OC＝8，OD＝3，∴OC•OD＝24，故D错误．综上，错误的只有D．故选：D．10．解：∵BF∥AD∴△BNF∽△DNA∴，而BF＝BC＝1，AF＝，∴AN＝，又∵AE＝BF，∠EAD＝∠FBA，AD＝AB，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠AED＝∠BFA∴△AME∽△ABF∴，即：，∴AM＝，∴MN＝AN﹣AM＝．故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．解：过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝1.2m，∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，∴＝，即＝，解得：AE＝3m，∴AB＝AE+BE＝3+1.2＝4.2（m）．故答案为：4.2．12．解：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以﹣2，故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（﹣2，﹣4），故答案为：（﹣2，﹣4）．13．解：根据图表可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有4种，则两次摸出的球都是红球的概率为；故答案为：．14．解：设人行通道的宽度为xm，则两块矩形绿地可合成长为（30﹣3x）m、宽为（24﹣2x）m的大矩形，根据题意得：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．故答案为：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．15．解：∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF＝BD，∵EF＝5，∴BD＝10，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40，故答案为：40．16．解：作CF⊥BD于F，作AG⊥BC于G，如图所示：∵AB＝AC＝9，AG⊥BC，∴BG＝CG，∵BE⊥AB，CD⊥BC，∴∠ABG+∠CBD＝90°，∠CBD+∠BDC＝90°，∴∠ABG＝∠BDC，∴tan∠ABG＝＝tan∠BDC＝＝2，∴AG＝2BG，BC＝2CD，设BG＝x，则AG＝2x，在Rt△ABG中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝92，解得：x＝，∴BC＝2BG＝，CD＝BC＝，∴BD＝＝＝9，∵CF⊥BD，∴△BCD的面积＝BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，∴DF＝＝＝，∵AB⊥BD，CF⊥BD，∴CF∥AB，∴△CFE∽△ABE，∴＝，即＝，解得：DE＝3；故答案为：3．三．解答题（共3小题，满分22分）17．解：原式＝2×﹣××+（）2＝﹣+＝．18．解：（1）∵每个扇形上分别标上，1，﹣1三个数字，其中是“正数”的有2个数，∴小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是；故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有9种等情况数，其中两次的结果都是“正数”的有4种，∴小亮获胜的概率是．19．（1）证明：∵BE∥AC，CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形OBEC是矩形；（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB，OB＝OD，OA＝OC，∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AD＝AB＝2，∴OD＝OB＝，在Rt△AOD中，AO＝＝＝3∴OC＝OA＝3，∵四边形OBEC是矩形，∴BE＝OC＝3．四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）20．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝37°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan37°＝≈0.75．∴AE＝40，∵AB＝57，∴BE＝17∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝17．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝17，∴BC＝EF＝30﹣17＝13．答：教学楼BC高约13米．五．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），，得，即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；（2）由题意可得，w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，∵a＝﹣50＜0∴w有最大值∴当x＜16时，w随x的增大而增大，∵12≤x≤15，x为整数，∴当x＝15时，w有最大值，此时，w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．六．解答题（共3小题，满分34分）22．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2）把A（1，2）代入反比例函数y＝，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y＝，解得，，，∴B（2，1）；（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），∵A（1，2），∴AC＝＝2，过A作AD⊥x轴于D，∴OD＝1，CD＝AD＝2，当AP＝AC时，PD＝CD＝2，∴P（﹣1，0），当AC＝CP＝2时，△ACP是等腰三角形，∴OP＝3﹣2或OP＝3+2∴P（3﹣2，0）或（3+2，0），当AP＝CP时，△ACP是等腰三角形，此时点P与D重合，∴P（1，0），综上所述，所有点P的坐标为（﹣1，0）或（3﹣2，0）或（3+2，0）或（1，0）．23．解：（1）①平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：由平移的性质得：FG∥BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，∴四边形BFGH是平行四边形，∴BH＝FG，∵FG⊥AE，∴BH⊥AE，∴∠BKE＝90°，∴∠KBE+∠BEK＝90°，∵∠BEK+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBH，在△ABE和△CBH中，，∴△ABE≌△CBH（ASA），∴AE＝BH，∴AE＝FG；②平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，∴FH＝BC，∠FHG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝90°，∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，∵FG⊥AE，∴∠HFG+∠AKF＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠HFG，在△ABE和△FHG中，，∴△ABE≌△FHG（ASA），∴AE＝FG；（2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：∴∠AOC＝∠FDC，设正方形网格的边长为单位1，则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，根据勾股定理可得：CF＝＝＝，CD＝＝＝2，DF＝＝＝5，∵（）2+（2）2＝52，∴CF2+CD2＝DF2，∴∠FCD＝90°，∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝＝＝；（3）①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，∴DC＝GB，∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°∴DC＝AD＝AP＝GB，∴AG＝BP＝BE，在△AGD和△BEG中，，∴△AGD≌△BEG（SAS），∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，∴∠EGD＝90°，∴∠GDE＝∠GED＝45°，∴∠DMC＝∠GDE＝45°；②如图3﹣2所示：∵AC为正方形ADCP的对角线，∴∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，∴AC＝AD，∵∠HCM＝∠BCA，∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，∴△ADH∽△ACB，∴＝＝＝．24．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PF＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，四边形AEBD∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．。

内江市2020—2021学年度第一学期九年级期末考试数 学第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是( ) A. 3与18 B. 63与28 C 5.0与32 D.12与72 2. 下列计算正确的是( )A.2)2(-=-2 B. 532=+ C. 2332=⨯ D. 22223=-3. 用配方法解方程x 2+6x+4=0时，原方程变形为( )A. (x+3)2=9B. (x+3)2=13C. (x+3)2=5D. (x+3)2=44. 如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地ABCD 上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度. 设道路 宽度为x 米，则根据题意可列方程为( )A. (80-2x )(36-x )=260×6B. 36×80-2×36x -80x =260×6C. (36-2x )(80-x )=260D. (80-2x )(36-x )=265. 下列时间中是不可能事件的是( ) A. 抛掷一枚硬币50次，出现正面的次数为40次B. 从一个装有30只黑球的不透明袋子中摸出一个球为黑球C. 抛掷一枚质地均匀的普通正方体骰子两次，出现点数之和等于13D. 从一副没有大小王的扑克牌中任意抽出一张牌恰为黑桃K6. 在△ABC 中，∠C=90º，AB=10，tanA=43，则BC 的长为( ) A. 27 B. 6 C. 8 D. 107. 如图，商用手扶梯AB 的坡比为1:3，已知扶梯的长 AB 为12米，则小明乘坐扶梯从B 处到A 处上升的高度AC 为( ) A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 12米8. 如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点 是O ，OE:EA=32，则S 四边形EFGH : S 四边形ABCD =( ) A. 94 B. 254 C. 32 D. 52 9. 当b -c =3时，关于的一元二次方程2x 2-bx+c =0的根的情况为( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定10.已知-1＜a ＜0，化简4)1(4)1(22+---+a a a a 的结果是( ) C A B A D B CD C A BEFGH OA. a 2-B. -2aC. 2aD. a2 11.如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点， 点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，∠EPF=140º，∠EFP=( ) A. 50º B. 40º C. 30º D. 20º 12.如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，连接AE ， DF ⊥AE 于点F ，连接CF ，FG ⊥CF 于点G ，下列结论：①CF=CD ；②G 为AD 中点；③△DCF ∽△AGF ；④AF:EF=2:3. 其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共72分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.） 13.二次根式21-x 中x 的取值范围是_______. 14.如图，点O 为正方形的中心，点E 、F 分别在正方形的边上， 且∠EOF=90º，随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为_________. 15. 已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=______. 16.观察下列一组方程：①x 2-x =0；②x 2-3x +2=0；③x 2-5x +6=0；④x 2-7x +12=0；·······它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数.我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”. 若x 2+kx +56=0也是“连根一元二次方程”，则k 的值为______，第n 个方程为 .三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤.）17.(本小题满分10分)(1)计算：.30tan 6)20213(212745sin 02︒+-+-︒ (2)解方程：(x -3)2=2(x -3).18.（本小题满分8分）如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED 交AB 于点G 、交DA 的延长线于点F. (1)求证：△ECD ∽△DEF ；(2)若CD=4，求AF 的长.A F DB EC F E O B E CF A DF CG E A B D D E A F B C P19.（本小题满分8分）某数学小组为调查某学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A(乘坐电动车)、B(乘坐普通公交车或地铁)、C(乘坐学校的定制公交车)、D(乘坐家庭汽车)、E(步行或其他)”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的扇形统计图和条形统计图，请结合统计图回答下列问题：(1)本次调查中一共调查了 名学生；扇形统计图中，E 选项对应的圆心角是 度；(2)请将条形统计图补充完整；(3)若甲、乙两名学生放学时从A 、B 、C 三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率.20.（本小题满分9分）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人机在A 处测得正前方河流的左岸C 处的俯角为α，无人机沿水平线AF 方向继续飞行50米至B 处，测得正前方河流的右岸D 处的俯角为30°. 线段AM 的长为无人机距地面的铅直高度，点M 、C 、D 在同一直线上. 其中tan α=2，MC=503米.(1)求无人机的飞行高度AM ；(结果保留根号) (2)求河流的宽度CD.(结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)选项 30 A B C D E 60 20 100 80 60 40 20 0 人数 40 A C B 30% D E α A B F 30° M C D21.（本小题满分9分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次.(1)求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯. 2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？22.（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB，垂足为D.(1)图1中共有对相似三角形，写出来分别为；(2)已知AB=5，AC=4，请你求出CD的长；(3)在(2)的情况下，如果以AB为轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系(如图2)，若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒，是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.CA D B图1yCA OB x图2内江市2020—2021学年度第一学期九年级期末考试数学解析第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是( ) A. 3与18 B. 63与28 C 5.0与32 D.12与72 解析：考查二次根式的化简及同类二次根式的定义. 难度：★A. 2318=；B. 7363=，7228=；C. 2215.0=，63132=；D. 3212=，2672=. 故选B . 2. 下列计算正确的是( ) A.2)2(-=-2 B. 532=+ C.2332=⨯ D. 22223=- 解析：考查二次根式的有关运算. 难度：★ A. 2)2(2=-；B. 2与3不是同类二次根式，不能加减；C. 632=⨯；故选D .3. 用配方法解方程x 2+6x+4=0时，原方程变形为( )A. (x+3)2=9B. (x+3)2=13C. (x+3)2=5D. (x+3)2=4解析：考查配方法解方程. 难度：★根据等式性质，得x 2+6x+9=5，(x+3)2=5. 故选C .4. 如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地ABCD 上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度. 设道路 宽度为x 米，则根据题意可列方程为( )A. (80-2x )(36-x )=260×6B. 36×80-2×36x -80x =260×6C. (36-2x )(80-x )=260D. (80-2x )(36-x )=26 解析：考查列一元二次方程解应用题. 难度：★★由题意，用平移的思路(如右图)得到长(80-2x )米、宽(36-x )米的矩形草坪，选A .5. 下列时间中是不可能事件的是( )A. 抛掷一枚硬币50次，出现正面的次数为40次B. 从一个装有30只黑球的不透明袋子中摸出一个球为黑球C. 抛掷一枚质地均匀的普通正方体骰子两次，出现点数之和等于13D. 从一副没有大小王的扑克牌中任意抽出一张牌恰为黑桃K解析：考查“统计与概率”的事件分类. 难度：★A.“抛掷一枚硬币50次，出现正面的次数为40次”是随机事件；B.“从一个装有30只黑球的不透明袋子中摸出一个球为黑球”是必然事件；D.“从一副没有大小王的扑克牌中任意抽出一张牌恰为黑桃K ”是随机事件；质地均匀的普通正方体骰子点数最大是6，所以C.“抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，出现点数之和等于13”是不可能事件. 故选C .6. 在△ABC 中，∠C=90º，AB=10，tanA=43，则BC 的长为( ) AD B CA. 27B. 6C. 8D. 10 解析：考查对直角三角形性质的综合应用. 难度：★★ 如图，因为在Rt △ACB 中，∠C=90º，tan ∠A=43， 设BC=3k ，AC=4k ，则由勾股定理得AB=5k =10，解得k =2，则BC=3×2=6，故选B .7. 如图，商用手扶梯AB 的坡比为1:3，已知扶梯的长 AB 为12米，则小明乘坐扶梯从B 处到A 处上升的高度AC 为( ) A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 12米解析：考查对直角三角形性质的综合应用. 难度：★★由题意得在Rt △ACB 中，∠C=90º，tan ∠ABC=33，则∠ABC=30º. 而AB=12米，则AC=21AB=21×12=6米. 故选A . 8. 如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点 是O ，OE:EA=32，则S 四边形EFGH : S 四边形ABCD =( ) A. 94 B. 254 C. 32 D. 52 解析：主要考查“位似图形的面积比等于位似比的平方”. 难度：★由OE:EA=32，得OE:OA=52. 而四边形ABCD 与四边形EFGH 位似， 则S 四边形EFGH : S 四边形ABCD =254)52(2=，故选B . 9. 当b -c =3时，关于的一元二次方程2x 2-bx+c =0的根的情况为( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定解析：主要考查等式性质、代数式的变形及一元二次方程根的判别式. 难度：★★由b -c =3变形得b =3+c ，代入Δ=(-b )2-8c=(3+c )2-8c=c 2-2c +9=(c -1)2+8.无论c 为何实数，(c -1)2≥0，则(c -1)2+8恒为正数，即Δ＞0. 故选A .10.如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点， 点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，∠EPF =140º，∠EFP=( ) A. 50º B. 40º C. 30º D. 20º解析：考查三角形的中位线性质、等边对等角及三角形内角和定理. 难度：★★由E 、F 、P 分别是AB 、CD 、BD 的中点，得PE 、PF 分别是BC 、AD 的中位线，则PE=0.5BC ，PF=0.5AD. 又AD=BC ，则PE=PF. 而∠EPF=140º，则∠EFP=(180º-140º)÷2=20º. 故选D .11.已知-1＜a ＜0，化简4)1(4)1(22+---+aa a a 的结果是( ) A. a 2- B. -2a C. 2a D. a2 B C A C A B D C A B E F G H O D EA FBC P解析：考查实数的比较、代数式的恒等变形及二次根式的化简. 难度：★★★由-1＜a ＜0，得-1＜a 1＜0且a 1＜a ，得a+a 1＜0，a -a 1＞0. 则.211)1()1(4)1(4)1(2222a a a a a a a a a a a a a =++-=+--=+---+故选C . 12.如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，连接AE ， DF ⊥AE 于点F ，连接CF ，FG ⊥CF 于点G ，下列结论：①CF=CD ；②G 为AD 中点；③△DCF ∽△AGF ； ④AF:EF=2:3. 其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析：考查图形综合应用，主要有相似三角形、全等三角形、 直角三角形、等腰三角形、正方形的有关知识. 难度：★★★由已知，依次可得Rt △ABE 中，BE:AB:AE=1:2:5；△DFA ∽△ABE ；AF:DF:AD=1:2:5；过点C 作CH ⊥DF 于点H ，易得△CHD ≌△DFA ，进而得DH=FH ，故①CF=CD 成立；又FG ⊥CF ，则∠CFH=∠GFA ，而∠CFH=∠CDH ，∠CDH=∠GAF ，所以∠GFA=∠GAF ，得GA=GF ，同理得GD=GF ，则GA=GD ，故②G 为AD 中点成立；得③△DCF ∽△AGF 成立；设正方形的边长为2，则AE=5，AF=55252=，EF=AE -AF=553， 故④AF:EF=2:3成立. 故选D .第Ⅱ卷（非选择题 共72分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请讲最后答案直接填在题中的横线上.）13.二次根式21-x 中x 的取值范围是_______. 解析：考查二次根式的存在性. 难度：★.由21-x ≥0且x -2≠0，得x -2＞0，即x ＞2. 14.如图，点O 为正方形的中心，点E 、F 分别在正方形的边上，且∠EOF=90º，随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为_________. 解析：考查正方形的中心对称性及概率问题. 难度：★. 如图，米粒落在图中阴影部分的概率为25%.15.已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=______. 解析：主要考查相似多边形的性质及一元二次方程的求解. 难度：★★★.由题意得四边形ABEF 为正方形.设FD=x ，则AD=(1+x ).由四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，得AD:AB=CD:DF ，即(1+x ):1=1:x ，整理得x 2+x -1=0，解得x =251±-(251--舍去)，则AD=2511251+=++-. A F D B E CF CG EA B DH F O16.观察下列一组方程：①x 2-x =0；②x 2-3x +2=0；③x 2-5x +6=0；④x 2-7x +12=0；·······它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数.我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”. 若x 2+kx +56=0也是“连根一元二次方程”，则k 的值为______，第n 个方程为 . 解析：考查阅读理解能力. 难度：★★★由“连根一元二次方程”的定义k 的值为-7-8=-15；一次项系数依次为：-1=-(1+0)；-3=-(2+1)；-5=-(3+2)；-7=-(4+3)；·······；常数项依次为：0=1×0；2=2×1；6=3×2；12=4×3；·······；所以第n 个方程为x 2-(n +n -1)x +n (n -1)=0，即x 2-(2n -1)x +n 2-n =0.三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤.）17.(本小题满分10分)(1)计算：.30tan 6)20213(212745sin 02︒+-+-︒ (2)解方程：(x -3)2=2(x -3). 解：原式=33612133)22(2⨯+⨯+- 解：(x -3)2-2(x -3)=0 =32213321++- (x -3)(x -3-2)=0 =31- x -3=0，x -5=0x 1=3，x 2=518.（本小题满分8分）某数学小组为调查某学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A(乘坐电动车)、B(乘坐普通公交车或地铁)、C(乘坐学校的定制公交车)、D(乘坐家庭汽车)、E(步行或其他)”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的扇形统计图和条形统计图，请结合统计图回答下列问题：(1)本次调查中一共调查了 名学生；扇形统计图中，E 选项对应的圆心角是 度；(2)请将条形统计图补充完整；(3)若甲、乙两名学生放学时从A 、B 、C 三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率.解：（1）总人数是60÷30%=200人，E 选项对应的圆心角是360×40÷200=72度；（2）C(乘坐学校的定制公交车)有200-20-60-30-40=50人，如图；（3）画树状图如右图： 开始共有9个等可能的结果，其中甲、乙两名学生恰好选择同一种 交通工具回家的结果有3个， 甲 A B C∴甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率为93，即31. 乙 A B C A B C A B C A C B 30% D E 选项 30 A B C D E 60 20 100 80 60 40 20 0 人数 40 5019.（本小题满分8分）如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED 交AB 于点G 、交DA 的延长线于点F. (1)求证：△ECD ∽△DEF ；(2)若CD=4，求AF 的长.(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，EF ⊥ED ，∴∠C=∠FED=90º. ∵BC ∥AD ，∴∠CED=∠EDF,∴△ECD ∽△DEF.(2)解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠C=90º，AD=BC=CD=4.∵E 为BC 的中点，∴CE=0.5BC=2. 在Rt △DCE 中，由勾股定理得DE=.5242CD CE 2222=+=+∵△ECD ∽△DEF ，∴CE:DE=DE:DF ，∴DF :5252:2=，解得DF=10.∵AD=4，∴AF=DF -AD=10-4=6.20.（本小题满分9分）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人机在A 处测得正前方河流的左岸C 处的俯角为α，无人机沿水平线AF 方向继续飞行50米至B 处，测得正前方河流的右岸D 处的俯角为30°. 线段AM 的长为无人机距地面的铅直高度，点M 、C 、D 在同一直线上. 其中tan α=2，MC=503米.(1)求无人机的飞行高度AM ；(结果保留根号) (2)求河流的宽度CD.(结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：过点B 作BN ⊥MD 于点N.由题意可知，∠ACM=α，∠BDM=30°，AB=MN=50. (1)在Rt △AMC 中，tan ∠ACM=tan α=2，MC=503，∴AM=2MC=1003，即BN=1003.答：无人机的飞行高度AM 为1003米.(2)在Rt △BND 中，∵tan ∠BDN=tan30°=DN BN ， ∴DN=1003÷33=300，∴DM=DN+MN=300+50=350， ∴CD=DM -MC=350-503≈264.答：河流的宽度CD 约为264米.21.（本小题满分9分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次.B E CF A D α A B F 30° M N C D(1)求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯. 2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？解：(1)设年平均增长率为x ，由题意得20(1+x )2=28.8，解得x 1=20%，x 2=-2.2(舍去).答：华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率为20%.(2)设每杯售价定为a 元，由题意得(a -6)[300+30(25-a )]=6300，解得a 1=21，a 2=20∴为了让顾客获得最大优惠，a 应取20.答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额.22.（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90º，CD ⊥AB ，垂足为D.(1)图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 ；(2)已知AB=5，AC=4，请你求出CD 的长；(3)在(2)的情况下，如果以AB 为轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系(如图2)，若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒，是否存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)3；△ABC ∽△ACD ，△ABC ∽△CBD ，△ACD ∽△CBD .(2)∵在Rt △ACB 中，∠ACB=90º，AB=5，AC=4， ∴BC=.345AC AB 2222=-=-∵S △ABC =21AB·CD=21AC·BC ， ∴CD=512AB BC AC =⋅. (3)存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ 理由如下：在△BOC 中，∵∠COB=90º，BC=3，OC=2.4，∴OB=1.8 分两种情况：①当∠BQP=90º时，如图2①，此时△PQB ∽△，∴BC BQ AB BP =, ∴353t t =-， 解得t =89，即BQ=CP=89， ∴BP=BC -CP=3-89=815. A O B x 图2① C A D B 图1 C y P Q在△BPQ 中，由勾股定理得PQ=，23)89()815(BQ BP 2222=-=- OQ=OB -BQ=-5989=4027. ∴点P 的坐标为(4027，23)； ②当∠BPQ=90º时，如图2②，此时△QPB ∽△ACB ， ∴AB BQ BC BP =, ∴533t t =-， 解得t =815，即BQ=CP=815， ∴BP=BC -CP=3-815=89. 过点P 作PE ⊥x 轴于点E.∵△QPB ∽△ACB ，∴AB BQ CO PE =, 即PE:512=815:5，∴PE=109. 在△BPE 中，BE=，4027)109()89(PE PB 2222=-=- ∴OE=OB -BE=-594027=89, ∴点P 的坐标为(89，109), 综上可得，点P 的坐标为(4027，23)；(89，109). A O B x图2② C y P Q E。

2020-2021学年九年级上学期期末数学提高训练题 (9)一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M(√5,2)，那么cosα的值是()A. √52B. 23C. 2√55D. √532.下列关于二次函数y=x2−3的图象与性质的描述，不正确的是()A. 该函数图象的开口向上B. 函数值y随着自变量x的值的增大而增大C. 该函数图象关于y轴对称D. 该函数图象可由函数y=x2的图象平移得到3.如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连结EF，DE，DF，M是FE中点，连结MC，设FE与DC相交于点N.则4个结论：①DE=DF；②∠CME=∠CDE；③DG2=GN⋅GE；④若BF=2，则MC=√2；正确的结论有()个A. 4B. 3C. 2D. 14.如图，⊙O的半径为2，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧怡好经过圆心O，则折痕AB的长为()A. 1B. 2C. √3D. 2√35.如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB=2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD 的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN=∠HFG；③FN=2NK；④S△AFN：S△ADM=1：4.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个(k为常数，且k≠0)的图象大致是()6.在同一平面直角坐标系中，函数y=x−k与y=kxA. B.C. D.7.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为(k≠0)图象经过点C.且OE的中点．DE与BC交于点F.若y=kxS△BEF=1.则k的值为()A. 18B. 20C. 24D. 288.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x−10234y50−4−30下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x=2；③当0<x<4时，y>0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1,2)，B(x2,3)是抛物线上两点，则x1<x2，其中正确的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）9.抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx+3−t=0(t为实数)在−1<x<4的范围内有实数根，则t的取值范围是______．(a>0)与10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−2ax+83y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M.P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为______．11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD⏜上一点，且DF⏜=BC⏜，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC=105∘，∠BAC=25∘，则∠E的度数为．12.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE//BC，AE=1，CE=2.DE：BC=______．13.如图，AB是以点O为圆心的圆形纸片的直径，弦CD⊥AB于点E，AB=10，BE=3.将阴影部分沿着弦AC翻折压平，翻折后，弧AC对应的弧为G，则点O与弧G所在圆的位置关系为______．14.已知二次函数y=x2−3x+a的图象与坐标轴有两个交点，这两个交点坐标是______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）)−115.计算：2sin30°−(π−√2)0+|√3−1|+(1216.如图，在锐角△ABC中，小明进行了如下的尺规作图：AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q；①分别以点A、B为圆心，以大于12②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．(1)小明所求作的直线DE是线段AB的______；(2)联结AD，AD=7，sin∠DAC=1，BC=9，求AC的长．7x2−x+217.已知函数y=−12x2−x+2写成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(1)用配方法将函数y=−12(2)直接填空：函数图象的开口方向是_________，对称轴是___________，顶点坐标为________；当x_________时，y随x的增大而减小．18.(1)已知a2=b3=c4，求2a−b+3c3a−2b+c的值；(2)如图，在△ABC中，AB=AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△ABC∽△PAC(不写画法，保留作图痕迹)，并证明△ABC∽△PAC．19.如图，抛物线y=−x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA=OB，点G为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；(2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标y Q的取值范围．20.如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM=1，sin∠DMF=3，求AB的长．521.如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，C为BD⏜的中点，AC与BD相交于点E，(1)求证：DC2=CE⋅AC；(2)若AE=2，CE=1，求⊙O的半径；(3)若AB=8，tan∠ACD=√7，求四边形ABCD的面积．3(x<0)的图象交于点A(−1,m)，与x轴交于点B(1,0) 22.直线y=kx+b与反比例函数y=2x(1)求m的值；(2)求直线AB的解析式；(3)若直线x=t(t>1)与直线y=kx+b交于点M，与x轴交于点N，连接AN，S△AMN=3，求2 t的值．23.如图1，在钝角△ABC中，点P为BC上的一个动点，连接PA，将射线PA绕点P逆时针旋转60°，交线段AB于点D.已知∠C=30°，CA=2√3cm，BC=7cm，设B，P两点间的距离为xcm，A，D两点间的距离ycm．小牧根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小牧探究的过程，请补充完整：(1)根据图形．可以判断此函数自变量x的取值范围是______；(2)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：通过测量．可以得到a 的值为______；(3)在图2平面直角坐标系xOy 中．描出表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (4)结合画出的函数图象，解决问题：当AD =3.5cm 时，BP 的长度约为______cm ．24. 已知抛物线方程y =ax 2+bx ，其顶点坐标为(3,−9)．(1)求抛物线的解析式； (2)直线y =k(x −3)−354与抛物线交于P ，Q 两点，点B(3,−354)，求证：1|PB|+1|QB|为定值(参考公式，已知A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，则A ，B 两点间的距离|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2．25. 据图回答问题(1)【问题发现】如图1，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EFC=90°，点E与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为___________；(2)【拓展研究】在(1)的条件下，将△CEF绕点C旋转，连接BE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；(3)【问题发现】当AB=AC=2，△CEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．x+3与直线CD:y=kx−2相交于点26.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB:y=−12M(4,a)，分别交坐标轴于点A、B、C、D，点P是线段CD延长线上的一个点．。

2020-2021学年辽宁省抚顺市新抚区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的为（）A．x2＝0B．x2﹣2y＝0C．2x﹣3＝0D．x2+＝﹣3 2．（3分）一元二次方程x（x+5）＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝5B．x1＝0，x2＝﹣5C．x1＝0，x2＝D．x1＝0，x2＝﹣3．（3分）点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上D．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球5．（3分）一个不透明的盒子中装有2个白球，6个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（）A．B．C．D．6．（3分）⊙O为△ABC的内切圆，那么点O是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线交点7．（3分）小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，△OCD是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若∠AOD＝90°，则∠BOC的度数是（）A．5°B．10°C．15°D．20°9．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．8B．10C．12D．1510．（3分）如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥的侧面积为cm2．12．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．13．（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球试验次100100050001000050000100000数36387201940091997040008“摸出黑球”的次数“摸出黑0.3600.3870.4040.4010.3990.400球”的频率（结果保留小数点后三位）根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是．（结果保留小数点后一位）14．（3分）点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，则∠ABC＝．15．（3分）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．16．（3分）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是．17．（3分）奥运五环是奥林匹克的标志，是由皮埃尔•德•顾拜旦设计的，图案中包含了圆和圆的位置关系有．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），弧AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A1A2是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；弧A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；弧A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…，称为正方形的“渐开线”，则弧A2019A2020的长是．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19．（10分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1；（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，写出B2和C2的坐标；（3）直接写出△ABC绕原点O顺时针旋转一周扫过的图形面积．20．（12分）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．（1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果：（2）求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．四、（每题12分，共24分）21．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CF为⊙O的切线，OE⊥AB于点O，分别交AC，CF于D，F两点．（1）求证：ED＝EC；（2）若EC＝1，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．22．（12分）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．（1）从中随机摸出一个小球，上面的数字不小于2的概率为．（2）从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的概率．五、（本题12分）23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作平行四边形GDEC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若DE＝17，CE＝13，求⊙O的半径．六、（本题12分）24．（12分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/件）606570销售量y（件）140013001200（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？七、解答题：（12分）25．（12分）如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．（1）△FGH的形状是；（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；（3）若BC＝2，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．八、（本题14分）26．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．2020-2021学年辽宁省抚顺市新抚区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的为（）A．x2＝0B．x2﹣2y＝0C．2x﹣3＝0D．x2+＝﹣3【解答】解：A、∵x2＝0是一元二次方程，∴选项A符合题意；B、∵x2﹣2y＝0含有两个未知数，∴x2﹣2y＝0不是一元二次方程，选项B不符合题意；C、∵2x﹣3＝0的未知数的最高次数是1，∴2x﹣3＝0不是一元二次方程，选项C不符合题意；D、∵x2+＝﹣3不是整式方程，∴x2+＝﹣3不是一元二次方程，选项D不符合题意．故选：A．2．（3分）一元二次方程x（x+5）＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝5B．x1＝0，x2＝﹣5C．x1＝0，x2＝D．x1＝0，x2＝﹣【解答】解：∵x（x+5）＝0，∴x＝0或x+5＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣5，故选：B．3．（3分）点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）【解答】解：∵点（﹣2，3）关于原点对称，∴点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．故选：C．4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上D．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球【解答】解：A、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件，不符合题意；B、任意买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件，不符合题意；C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意；D、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件，符合题意；故选：D．5．（3分）一个不透明的盒子中装有2个白球，6个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个白球，6个红球，共8个，摸到红球的概率为：＝．故选：A．6．（3分）⊙O为△ABC的内切圆，那么点O是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线交点【解答】解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别是E、F、D，连接OE，OD，OF，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC，OE＝OD＝OF，∴O是△ABC的三角的平分线的交点，故选：D．7．（3分）小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图，得∴共有8种情况，经过每个路口都是绿灯的有一种，∴实际这样的机会是．故选：B．8．（3分）如图，△OCD是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若∠AOD＝90°，则∠BOC的度数是（）A．5°B．10°C．15°D．20°【解答】解：根据旋转的定义可知∠AOC＝∠BOD＝40°，∵∠AOD＝90°，∴∠BOC＝90°﹣40°﹣40°＝10°，故选：B．9．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．8B．10C．12D．15【解答】解：连接OA、OD、OF，如图，∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，∴∠AOD＝＝90°，∠AOF＝＝120°，∴∠DOF＝∠AOF﹣∠AOD＝30°，∴n＝＝12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故选：C．10．（3分）如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：当0＜t≤2时，S ＝t2，当2＜t≤4时，S ＝t2﹣（2t﹣4）2＝﹣t2+8t﹣8，观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．故选：C．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）底面半径为3cm，母线长为5cm 的圆锥的侧面积为15πcm2．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×5×3÷2＝15πcm2．故答案为：15π．12．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞且k≠1．【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△＝22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，解得：k＞且k≠1．故答案为：k＞且k≠1．13．（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：100100050001000050000100000摸球试验次数“摸出黑36387201940091997040008球”的次数“摸出黑0.3600.3870.4040.4010.3990.400球”的频率（结果保留小数点后三位）根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是0.4．（结果保留小数点后一位）【解答】解：观察表格发现随着摸球次数的增多摸出黑球频率逐渐稳定在0.4附近，故摸到黑球的概率估计值为0.4；故答案为：0.4．14．（3分）点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，则∠ABC＝110°或30°．【解答】解：①如图1，∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的角，∴∠AOB＝2∠ACB，∵∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°，同理：∠BOC＝40°，∴∠BAC＝20°，∴∠ABC＝180°﹣50°﹣20°＝110°，②如图2，∵∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°，∠ABC＝AOC＝30°故答案为110°或30°．15．（3分）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≤3．【解答】解：∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，又∵当x≥1时，y随x的增大而增大，∴抛物线的对称轴x≤1．∵二次函数的解析式为y＝x2﹣（m﹣1）x+1，∴抛物线的对称轴为x＝≤1，解得：m≤3．故答案为m≤3．16．（3分）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是．【解答】解：由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，∴黑色方砖在整个地板中所占的比值＝＝，∴小球最终停留在黑色区域的概率是；故答案为：．17．（3分）奥运五环是奥林匹克的标志，是由皮埃尔•德•顾拜旦设计的，图案中包含了圆和圆的位置关系有外离和相交．【解答】解：由图案可知，图案中包含了圆和圆的位置关系有外离和相交，故答案为相外离和相交．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），弧AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A1A2是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；弧A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；弧A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…，称为正方形的“渐开线”，则弧A2019A2020的长是1010π．【解答】解：A（1，1），由题意得，A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，∴A4n（1，4n+1），A4n+1（4n+2，0），A4n+2（0，﹣（4n+2）），A4n+3（﹣（4n+3），1）．∵2019＝504×4+3，2020＝505×4，∴A2019的坐标为（﹣2019，1），A2020的坐标为（1，2021），∴弧A2019A2020的半径为2020．∴弧A2019A2020＝＝1010π，故答案为：1010π．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19．（10分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1；（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，写出B2和C2的坐标；（3）直接写出△ABC绕原点O顺时针旋转一周扫过的图形面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作，B2（4，﹣1），C2（1，﹣2）；（3）OB＝＝，OC＝＝，所以△ABC绕原点O顺时针旋转一周扫过的图形面积＝π×（）2﹣π×（）2＝12π．20．（12分）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．（1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果：（2）求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．【解答】解：（1）画树状图：由树状图知共有6种等可能结果；（2）小明恰好抽中B、D两个项目的只有1种情况，所以小明恰好抽中B、D两个项目的概率为．四、（每题12分，共24分）21．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CF为⊙O的切线，OE⊥AB于点O，分别交AC，CF于D，F两点．（1）求证：ED＝EC；（2）若EC＝1，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵CF为⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCA+∠ACE＝90°，∵OE⊥AB，∴∠OAC+∠ODA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠ACE＝∠ODA＝∠CDE，∴ED＝EC；（2）解：∵∠A＝30°，∠AOD＝90°，∴∠ADO＝∠CDE＝∠ACE＝60°，∴∠CED＝60°，∠EOC＝30°，∵∠OCE＝90°，∴OC＝CE•tan60°＝1×＝，∴图中阴影部分的面积＝S△COE﹣S扇形COD＝×OC×CE﹣＝．22．（12分）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．（1）从中随机摸出一个小球，上面的数字不小于2的概率为．（2）从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的概率．【解答】解：（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字所有等可能情况有：1，2，3，4，共4种，其中数字不小于2的情况有：2，3，4，共3种，则P（小球上写的数字不小于2）＝；故答案为：；（2）根据题意列表得：1234 1﹣﹣﹣（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）﹣﹣﹣（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）﹣﹣﹣（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）﹣﹣﹣所有等可能的数有12种，两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的情况有8种，则P（两次摸出小球上的数字和恰好是奇数）＝＝．五、（本题12分）23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作平行四边形GDEC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若DE＝17，CE＝13，求⊙O的半径．【解答】（1）DE是⊙O的切线；证明：连接OD，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠ABC＝45°，∴∠COD＝2∠ABC＝90°，又∵四边形GDEC是平行四边形，∴DE∥CG，∴∠EDO+∠COD＝180°，∴∠EDO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，∵四边形GDEC为平行四边形，∴DG＝CE＝13，CG＝DE＝17，∵∠DOG＝90°∴OD2+OG2＝DG2，即r2+（17﹣r）2＝132，解得r1＝5，r2＝12，当r＝5时，OG＝12，点G在⊙O外，∴r＝5不成立，舍去，∴r＝12．六、（本题12分）24．（12分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/件）606570销售量y（件）140013001200（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，，解得，，即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，解得，x1＝70，x2＝110，∵尽量给客户优惠，∴这种衬衫定价为70元；（3）由题意可得，w＝（x﹣50）（﹣20x+2600），＝﹣20x2+3600x﹣130000，w＝﹣20（x﹣90）2+32000，∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，∴，解得，50≤x≤75，∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下，∴当x＝75时，w取得最大值，此时w＝27500，答：售价定为75元时，可获得最大利润，最大利润是27500元．七、解答题：（12分）25．（12分）如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．（1）△FGH的形状是等边三角形；（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；（3）若BC＝2，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠B＝∠DCE＝60°，AB＝BC，CE＝CD，∴CE∥AB，∵BC≠CD，∴CE≠AB，∴四边形ABCE是梯形，∵点F，G分别是BC，AE的中点，∴FG是梯形ABCE的中位线，∴FG∥AB，∴∠GFC＝60°，同理：∠GHB＝60°，∴∠FGH＝180°﹣∠GFC﹣∠GHB＝60°＝∠GFC＝∠GHB，∴△FGH是等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）成立，理由如下：如图1，取AC的中点P，连接PF，PG，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝BC，CE＝CD，∠BAC＝∠ACB＝∠ECD＝∠B＝60°，又F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，∴FP＝AB，FC＝BC，CH＝CD，PG＝CE，PG∥CE，PF∥AB，∴FP＝FC，PG＝CH，∠GPC+∠PCE＝180°，∠FPC＝∠BAC＝60°，∠PFC＝∠B＝60°，∴∠FPG＝∠FPC+∠GPC＝60°+∠GPC，∠GPC＝180°﹣∠PCE，∴∠FCH＝360°﹣∠ACB﹣∠ECD﹣∠PCE＝360°﹣60°﹣60°﹣（180°﹣∠GPC）＝60°+∠GPC，∴∠FPG＝∠FCH，∴△FPG≌△FCH（SAS），∴FG＝FH，∠PFG＝∠CFH，∴∠PFH＝∠GFC+∠CFH＝∠GFC+∠PFG＝∠PFC＝60°，∴△FGH为等边三角形；（3）①当点D在AE上时，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2，∵△CDE是等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°，CE＝CD＝DE＝4，过点C作CM⊥AE于M，∴DM＝EM＝DE＝2，在Rt△CME中，根据勾股定理得，CM＝＝＝2，在Rt△AMC中，根据勾股定理得，AM＝＝＝4，∴AD＝AM﹣DM＝4﹣2＝2，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，连接BE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD＝2，∠ADC＝∠BEC，∵∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠BEA＝∠BEC﹣∠CED＝60°，过点B作BN⊥AE于N，∴∠BNE＝90°，在Rt△BNE中，∠EBN＝90°﹣∠BEA＝30°，∴EN＝BE＝1，∴BN＝EN＝，DN＝DE﹣EN＝3，连接BD，根据勾股定理得，BD＝＝＝2，∵点H是CD的中点，点F是BC的中点，∴FH是△BCD的中位线，∴FH＝BD＝，由（2）知，△FGH是等边三角形，∴△FGH的周长为3FH＝3，②当点D在AE的延长线上时，如图3，同①的方法得，FH＝，∴△FGH的周长为3FH＝3，即满足条件的△FGH的周长为3或3．八、（本题14分）26．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的关系式为y＝x2+2x﹣3．（2）设P的纵坐标为y．∵正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2．∴（32+y2）＝××3×|y|．解得：y＝±或＝±6．∴点P的坐标为：P1（0，）或P2（0，﹣）或P3（0，6）或P4（0，﹣6）．（3）设P（0，m），连接MN交AP于T，过点T作TJ⊥OA于J，过点P作PE⊥TJ于E，过点N作NF⊥TJ于F，过点M作MG⊥TJ于G．∵四边形AMPN是正方形，∴TA＝TP＝TM＝TN，AP⊥MN，∵A（﹣3，0），P（0，m），∴T（﹣，m），∵∠PET＝∠F＝∠PTN＝90°，∴∠PTE+∠NTF＝90°，∠NTF+∠TNF＝90°，∴∠PTE＝∠TNF，∴△PET≌△TFN（AAS），∴ET＝FN，PE＝TF，同法可证△PET≌△TGM，∴MG＝ET＝FN，GT＝PE＝TF，∴M（﹣﹣，+），N（﹣+，﹣），当点M在抛物线上时，+＝（﹣﹣）2+2（﹣﹣）﹣3，解得m＝±，当点N在抛物线上时，﹣＝（﹣+）2+2（﹣+）﹣3，解得m＝2±∴满足条件的点P的坐标是：（0，﹣3）或（0，）或（0，﹣）或（0，﹣）或（0，2﹣）或（0，2+）．。

2020-2021学年九年级上学期期末数学提高训练题 (1)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.用配方法解方程x2+4x−1=0时，原方程应变形为()A. (x+2)2=5B. (x+2)2=3C. (x−2)2=3D. (x−2)2=52.如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG.以下四个结论：①∠EAB=∠GAD；②△AFC∽△AGD；③2AE2=AH⋅AC；④DG⊥AC．其中正确的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点．若∠ADC=α(α为锐角)，则∠APB=()A. 180°−αB. 180°−2αC. 75°+αD. 3α4.若抛物线y=(x−m)2+(m+1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为()A. m>1B. m>0C. m>−1D. −1<m<05.如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=()A. 2B. 12C. 13D. 146.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=√32，∠B的平分线BD交AC于点D，若AD=16，则BC长为()A. 6B. 8C. 8√3D. 127.已知抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为A. B. C. D. 08.如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是()A. 27B. 47C. 37D. 579.若关于x的一元二次方程x2−2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是()A. B.C. D.10.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为()A. y=−6x B. y=−4xC. y=−2xD.y=2x11.已知二次函数y=a(x−1)2+b(a≠0)有最大值12，则a，b的大小比较为()A. a>bB. a<bC. a=bD. 不能确定12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②2a+b<0；③4a−2b+c<0；④a+b+2c>0，其中正确结论的个数为()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）13.如果等腰三角形的两边长分别是方程x2−10x+21=0的两根，那么它的周长为_____．14.抽检100瓶某品牌食用油的质量，其中不合格的有2瓶，估计任意抽一瓶该品牌食用油合格的概率是______．15.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是其内部一点，且满足∠DAE+∠CBE=135∘，点F为BC边上一点，点M是CD边的中点，连接EF、FM，则EF+FM的最小值为_______．16.如图，菱形OABC中，∠OCB=60°，点C坐标为(−2,0)，过点D(2,0)作直线l分别交AO、OB(x<0)的图象上，若△BEF和△ODG(即图中于点G、F，交BC于E，点E在反比例函数y=kx两阴影部分)的面积之比为4：3，则k值为______．17.如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=30°，直线l⊥AB.当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F.设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示，则四边形ABCD的周长是______．三、解答题（本大题共8小题，共69.0分）)−1；18.(1)计算：tan60°+2sin30°−(π−√2)0+|√3−tan45°|+(12(2)解方程：(x+1)(x−3)=2x−5．19.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB=12，BM=5，求DE的长．20.在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字−1，−2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为(x,y)．(1)用树状图或列表法列求点M(x,y)在第四象限的概率；(2)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M(x,y)能作⊙O切线的概率．21.一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的销售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表：(1)求y与x的函数关系式；(2)该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？(3)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w(元)最大？此时的最大利润为多少元？22.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，斜坡CD的坡度为5：12，高为DE，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为64°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中A、C、E在同一直线上．(1)求DE的长度；(2)求大楼AB的高度．(参考数据：sin64°≈0.9，tan64°≈2)(k≠0)的23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=kx 图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，OB=2√2，点A的纵坐标为4．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接MC，求四边形MBOC的面积．24. 如果MN⏜的两个端点M ，N 分别在∠AOB 的两边上(不与点O 重合)，并且MN ⏜除端点外的所有点都在∠AOB 的内部，则称MN⏜是∠AOB 的“连角弧”． (1)图1中，∠AOB 是直角，MN⏜是以O 为圆心，半径为1的“连角弧”． ①图中MN⏜的长是______，并在图中再作一条以M ，N 为端点、长度相同的“连角弧”； ②以M ，N 为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是______．(2)如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点M(1,√3)，点N(t,0)在x 轴正半轴上，若MN ⏜是半圆，也是∠AOB 的“连角弧”，求t 的取值范围．(3)如图3，已知点M ，N 分别在射线OA ，OB 上，ON =4，MN ⏜是∠AOB 的“连角弧”，且MN ⏜所在圆的半径为1，直接写出∠AOB 的取值范围．25. 如图①，已知抛物线y =ax 2+bx +3(a ≠0)与x 轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点C ，已知点P 为抛物线第一象限上一动点，连接PB 、PC 、BC ． (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的顶点坐标； (2)当△PBC 的面积最大时，求出点P 的坐标；(3)如图②，当点P 与抛物线顶点重合时，过点B 的直线y =kx −32与抛物线交于点E ，在直线BE 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得∠BEM =∠PBC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵x2+4x−1=0，∴x2+4x=1，则x2+4x+4=1+4，即(x+2)2=5，故选：A．常数项移到方程右边，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．本题主要考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．2.答案：D解析：解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴∠EAG=∠BAD=90°，∠FAG=∠AFG=∠DAC=∠ACB=45°，AF=√2AG，AC=√2AD，∴∠EAG−∠BAC=∠BAD−∠BAG，∴∠EAB=∠DAG，故①正确；∵AF=√2AG，AC=√2AD，∴AFAG =√2=ACAD，∵∠FAG=∠CAD=45°，∴∠FAC=∠DAG，∴△FAC∽△DAG，故②正确，∴∠ADG=∠ACB=45°，延长DG交AC于N，。