2014-2015学年河南省豫北名校联考高一(上)数学期末试卷 及解析

2013—2014学年豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（二） 数学（理科） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数f（x）＝，若f（a）＝－π，则f（－a）＝ A．0 B．1 C．π D．－π 2．已知cos（75°＋α）＝，则cos（30°－2α）的值为 A． B． C． D． 3．下列命题中，是真命题的是 A．∈R，≤0 B．∈R，＞ C．a·b＝0的充要条件是＝0 D．若p∧q为假，则p∨q为假 4．已知数列{}是等比数列，且a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋＝ A．16（1－）B．16（1－） C．（1－） D．（1－） 5．曲线f（x）＝，g（x）＝－2x以及直线x＝1所围成封闭图形的面积为 A． B．1 C． D．2 6．如图，P是△ABC所在的平面内一点，且满足＋＝，D，E是BP的三等分点，则 A．＝ B．＋＝ C．＋＝4 D．－＝－ 7．以表示等差数列{}的前n项和，若＞，则下列不等关系不一定成立的是 A．2a3＞3a4 B．5a5＞a1＋6a6 C．a5＋a4－a3＜0 D．a3＋a6＋a12＜2a7 8．函数f（x）的图象如图所示，若函数y＝2f（x－1） －c与x轴有四个不同交点，则c的取值范围是 A．（－1，2．5） B．（－1，5） C．（－2，2．5） D．（－2，5） 9．[x]为不超过实数x的最大整数，若数列＝3[] 的前n项和为，则S2014＝ A．2001 B．2002 C．2013 D．2014 10．已知函数f（x）＝sin（2x＋），其中为实数，若f（x）≤｜f（）｜对x∈R恒成 立，且f（）＞0，则f（x）的单调递减区间是 A．[kπ，kπ＋]（k∈Z） B．[kπ－，kπ＋]（k∈Z） C．[kπ＋，kπ＋]（k∈Z） D．[kπ－，kπ]（k∈Z） 11．设函数f（x）＝（sinx＋cosx），若0＜x＜2015π，则函数f（x）的各极大值之和为 A． B． C． D． 12．角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点 P，且tanα＝－；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆 交于第二象限内的点Q，且tanβ＝－2．对于下列结论：①P（－，－）；②＝ ；③cos∠POQ＝－；④△POQ的面积为，其中正确结论的编号是 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共4小题。

河南省郑州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共14个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）80﹣lg100的值为（）A．2B．﹣2 C．﹣1 D．2．（5分）点（1，2）到直线y=2x+1的距离为（）A．B．C．D．23．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=04．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的左（侧）视图的面积是（）A．2B．C．4D．25．（5分）若函数f（x）=，则f（f（e））（其中e为自然对数的底数）=（）A．0B．1C．2D．e ln26．（5分）两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离7．（5分）在同一坐标系中，当0＜a＜1时，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（）A．0.32＜log0.32＜20.3B．0.32＜20.3＜log0.32C．l og0. 32＜20.3＜0.32D．log0.32＜0.32＜20.39．（5分）函数y=log2（x2﹣3x+2）的递减区间是（）A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）10．（5分）函数y=的值域是（）A．C．（0，4）D．，则函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0）；③函数y=在（﹣∞，0）上是增函数；④方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数是2．所有正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共5小题，满分64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（12分）已知集合A={x|3≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}（1）求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值的集合．20．（12分）已知函数．（Ⅰ）若g（x）=f（x）﹣a为奇函数，求a的值；（Ⅱ）试判断f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．21．（13分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱长是底面边长为倍，O为底面对角线的交点，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）F为SD的中点，若SD⊥平面PAC，求证：BF∥平面PAC．22．（13分）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产意见“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益（单位：元）满足分段函数φ（x），其中φ（x）=，x是“玉兔”的月产量（单位：件），总收益=成本+利润（1）试将利用y元表示为月产量x的函数；（2）当月产量x为多少件时利润最大？最大利润是多少？23．（14分）已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标C（t，）（t∈R，t≠0）（1）求证：△AOB的面积为定值；（2）直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．河南省郑州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）80﹣lg100的值为（）A．2B．﹣2 C．﹣1 D．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：根据指数幂的性质以及对数的运算性质进行计算即可．解答：解；80﹣lg100=1﹣2=﹣1，故选：C．点评：本题考查了对数的运算性质，是一道基础题．2．（5分）点（1，2）到直线y=2x+1的距离为（）A．B．C．D．2考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：由点到直线的距离公式d==，故选：A．点评：本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．3．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0考点：两条直线平行的判定；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行，所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值解答：解：设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），∴1﹣0+c=0故c=﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；故选A．点评：本题属于求直线方程的问题，解法比较灵活．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的左（侧）视图的面积是（）A．2B．C．4D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知左视图与主视图形状完全一样是正三角形，可得结论．解答：解：由题意可知左视图与主视图形状完全一样是正三角形，因为主（正）视图是边长为2的正三角形，所以几何体的左（侧）视图的面积S==故选：B．点评：本题考查由三视图求面积、体积，求解的关键是根据所给的三视图判断出几何体的几何特征．5．（5分）若函数f（x）=，则f（f（e））（其中e为自然对数的底数）=（）A．0B．1C．2D．eln2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的解析式，求出函数值即可．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（e）=lne=1，∴f（f（e））=f（1）=21=2．故选：C．点评：本题考查了分段函数的求值问题，是基础题目．6．（5分）两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：由已知中两圆的方程：x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0，我们可以求出他们的圆心坐标及半径，进而求出圆心距|O1O2|，比较|O1O2|与R2﹣R1及R2+R1的大小，即可得到两个圆之间的位置关系．解答：解：圆x2+y2﹣1=0表示以O1（0，0）点为圆心，以R1=1为半径的圆；圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0表示以O2（2，﹣1）点为圆心，以R2=3为半径的圆；∵|O1O2|=∴R2﹣R1＜|O1O2|＜R2+R1，∴圆x2+y2﹣1=0和圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0相交故选B．点评：本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，若圆O1的半径为R1，圆O2的半径为R2，（R2≤R1），则当|O1O2|＞R2+R1时，两圆外离，当|O1O2|=R2+R1时，两圆外切，当R2﹣R1＜|O1O2|＜R2+R1时，两相交，当|O1O2|=R2﹣R1时，两圆内切，当|O1O2|＜R2﹣R1时，两圆内含．7．（5分）在同一坐标系中，当0＜a＜1时，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数和对数函数的图象即可得到答案解答：解：当0＜a＜1时，y=a﹣x是过（0，1）点的增函数，y=log a x是过（1，0）点的减函数，综上答案为C．故选：C点评：本题考查了指数函数和对数函数的图象，属于基础题8．（5分）三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（）A．0.32＜log0.32＜20.3B．0.32＜20.3＜log0.32C．l og0.32＜20.3＜0.32D．l og0.32＜0.32＜20.3考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵20.3＞1，0＜0.32＜1，log0.32＜0，∴log0.32＜0.32＜20.3，故选：D．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．9．（5分）函数y=log2（x2﹣3x+2）的递减区间是（）A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：设t=x2﹣3x+2，根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．解答：解：由x2﹣3x+2＞0，得x＜1或x＞2，设t=x2﹣3x+2，则y═log2t为增函数，则根据复合函数单调性之间的关系知要求函数y=log2（x2﹣3x+2）的递减区间，即求函数t=x2﹣3x+2的递减区间，∵t=x2﹣3x+2的递减区间为（﹣∞，1），∴函数y=log2（x2﹣3x+2）的递减区间是（﹣∞，1），故选：A．点评：本题主要考查函数单调性的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．10．（5分）函数y=的值域是（）A．C．（0，4）D．故选：B．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．（5分）偶函数f（x）的定义域为R，当x∈，则函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0）；③函数y=在（﹣∞，0）上是增函数；④方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数是2．所有正确命题的序号是③④（请将所有正确命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；集合．分析：当k=0时，A={﹣1}，即可判断①；由函数的定义域的定义，以及指数函数的单调性即可解得f（x）的定义域，即可判断②；通过函数y=的图象的平移和单调性即可判断③；运用函数与方程的转换，作出函数的图象，通过观察即可判断方程根的个数，即可判断④．解答：解：对于①，当k=0时，A={﹣1}，也符合题意，则①错；对于②，函数y=f（3x）的定义域为，即有﹣1≤x≤1，则，则y=f（x）的定义域应该是，则②错；对于③，y=的图象可由函数y=的图象向右平移1个单位得到，由于y=在（﹣∞，0）递增，则y=在（﹣∞，1）递增，则③对；对于④，在同一坐标系中作出y=2|x|，y=log2（x+2）+1的图象，由图可知有两个交点．故方程的实根的个数为2．则④对．故答案：③④．点评：本题考查函数的定义域的求法和单调性的判断，以及函数与方程的转化思想，考查集合的化简，属于基础题和易错题．三、解答题：本大题共5小题，满分64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（12分）已知集合A={x|3≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}（1）求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值的集合．考点：集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．专题：计算题；集合．分析：（1）显然A∩B={x|3≤x＜6}，再求∁R B={x|x≤2或x≥9}，从而求（∁R B）∪A={x|x≤2或3≤x＜6或x≥9}；（2）C⊆B，作数轴辅助，应有，从而解得．解答：解：（1）显然A∩B={x|3≤x＜6}，又∵B={x|2＜x＜9}，∴∁R B={x|x≤2或x≥9}，∴（∁R B）∪A={x|x≤2或3≤x＜6或x≥9}；（2）∵C⊆B，如图，应有解得2≤a≤8，故实数a的取值的集合为．点评：本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．20．（12分）已知函数．（Ⅰ）若g（x）=f（x）﹣a为奇函数，求a的值；（Ⅱ）试判断f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（I）根据f（x）表达式，得g（x）=，再根据奇函数的定义采用比较系数法即可求出实数a的值．（II）设0＜x1＜x2，将f（x1）与f（x2）作差、因式分解，得f（x1）＜f（x2），结合函数奇偶性的定义得到函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数．解答：解：（Ⅰ）∵∴g（x）=f（x）﹣a=，…（2分）∵g（x）是奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），即，解之得a=1．…（5分）（Ⅱ）设0＜x1＜x2，则=．（9分）∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，从而，（11分）即f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数．（12分）点评：本题给出含有分式的基本初等函数，讨论函数的单调性与奇偶性质．着重考查了函数的奇偶性的定义和用定义法证明单调性等知识，属于基础题．21．（13分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱长是底面边长为倍，O为底面对角线的交点，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）F为SD的中点，若SD⊥平面PAC，求证：BF∥平面PAC．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接SO，可证SO⊥AC，又SO∩BD=O，可证明AC⊥平面SBD，又SD⊂平面SBD，即可证明AC⊥SD．（Ⅱ）连接OP，可证OP⊥SD，又△SBD中，BD==SB，且F为SD中点，可证BF⊥SD，由OP，BF⊂平面BDF，可证OP∥BF，又OP⊂平面ACP，BD⊄平面ACP，BF⊄平面PAC，即可证明BF∥平面PAC．解答：证明：（Ⅰ）连接SO，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD且O为AC中点，又∵SA=SC∴SO⊥AC又∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，（5分）又∵SD⊂平面SBD，∴AC⊥SD．（7分）（Ⅱ）连接OP，∵SD⊥平面ACP，OP⊂平面ACP，∴OP⊥SD，（9分）又△SBD中，BD==SB，且F为SD中点，∴BF⊥SD，因为OP，BF⊂平面BDF，所以OP∥BF，（11分）又∵OP⊂平面ACP，BD⊄平面ACP，BF⊄平面PAC，∴BF∥平面PAC．（13分）点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的性质，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强，属于中档题．22．（13分）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产意见“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益（单位：元）满足分段函数φ（x），其中φ（x）=，x是“玉兔”的月产量（单位：件），总收益=成本+利润（1）试将利用y元表示为月产量x的函数；（2）当月产量x为多少件时利润最大？最大利润是多少？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）依题设总成本为20000+100x，从而由分段函数写出y=；（Ⅱ）当＜x≤400时，y=﹣（x﹣300）2+25000，则当x=300时，y max=25000；当x＞400时，y＜60000﹣100×400=20000，从而求最值．解答：解：（Ⅰ）依题设，总成本为20000+100x，则y=；（Ⅱ）当＜x≤400时，y=﹣（x﹣300）2+25000，则当x=300时，y max=25000；当x＞400时，y=60000﹣100x是减函数，则y＜60000﹣100×400=20000，所以，当x=300时，有最大利润25000元．点评：本题考查了分段函数在实际问题中的应用，属于中档题．23．（14分）已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标C（t，）（t∈R，t≠0）（1）求证：△AOB的面积为定值；（2）直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）根据圆的方程求出A，B的坐标即可证明△AOB的面积为定值；（2）根据直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，结合|OM|=|ON|，建立条件关系即可，求圆C的方程；（3）根据直线和圆相交以及点的对称性即可得到结论．解答：（1）证明：由题设知，圆C的方程为（x﹣t）2+（y﹣）2=t2+，化简得x2﹣2tx+y2﹣y=0，当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；当x=0时，y=0或，则B（0，），∴S△AOB=|OA|•|OB|=|2t|•||=4为定值．解：（2）∵|OM|=|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k===，∴t=2或t=﹣2．∴圆心为C（2，1）或C（﹣2，﹣1），∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5，由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2=5时，直线2x+y﹣4=0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（3）点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=﹣=3﹣=2．故|PB|+|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y=x，则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为（﹣，﹣）．点评：本题主要考查直线和圆的方程的综合应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

河南省大教育豫北联盟2014-201 5学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共有12道小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）已知集合，则A={{1，2，3，4，5，6}，B={y|y=，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，3，5} D．{1，2，3，4，5，6}2．（5分）设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c3．（5分）若幂函数y=x m是偶函数，且x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值可能为（）A．B．C．﹣2 D．24．（5分）已知函数f（x）的图象是连续不断的一条曲线，且满足 f（1）＞0，f（5）＜0，若 f（3）＞0．则f（x）在下列区间内必有零点的是（）A．（1，3）B．（3，5）C．（2，4）D．（3，4）5．（5分）一个何体的三视图如图所示，其中正视图是底边长为6，腰长为5的等腰三角形，侧视图是底边长为2的等腰三角影，则该几何体的体积为（）A．16 B．24 C．32 D．486．（5分）已知集合 A={2，﹣2}，B={x|x2﹣ax+4=0}，若A∪B=A，则实数a满足（）A．{a|﹣4＜a＜4} B．{a|﹣2＜a＜2} C．{﹣4，4} D．{a|﹣4≤a≤4}7．（5分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊄β，m⊥α，则m∥βD．若α∥β，m∥α，则m∥β8．（5分）如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为（）A．B．C．D．9．（5分）若一个球的体积为π，则该球的表面积为（）A．πB．πC．18πD．9π10．（5分）直线x﹣3y+5=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°11．（5分）已知直线 l过点（1，﹣1），且在两坐标轴上的截距之和为，则直线l的力方程为（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x+y﹣1=0C．x﹣2y﹣3=0 D．2x+y﹣1=0或x﹣2y﹣3=012．（5分）已知两直线y=2x与x+y+a=0相交于点A（1，b），则点A到直线ax+by+3=0的距离为（）A．B．C．4 D．二、填空题（本题共有4道小题，每小题5分．共20分，请将你的答案填在答题卡的横线处）13．（5分）已知集合U=A∪B={x|x∈N，x＜10}，A∩B={0，2，4}，A∩（∁U B）={1，5，7}，B=．14．（5分）若l＜x＜4，设 a=，b=，c=ln，则a，b，c从小到大的排列为．15．（5分）己知函数 f（x）=（其中x∈）的值域为，则a=．16．（5分）若函数f（x）满足，f（﹣x）=f（），则称f（x）为“负倒”变换函数，给出下列函数：①f（x）=x﹣；②f（x）=x+：③f（x）=x2﹣；④f（x）=其中所有属于“负倒”变换函数的序号是．三、解答题（本题共有6道小题，共70分．请将解答清晰准确完整的写在答题卡对应的区域．）17．（10分）已知集合 A={x∈R|x2﹣3x+2=0}，B={x∈Z|﹣1≤x﹣1≤2}C={1，a2+1，a+1}，其中a∈R．（Ⅰ）求A∩B，A∪B（Ⅱ）若A∩B=A∩C，求B∩C．18．（12分）已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）（Ⅰ）求函数f（x）+g（x）的定义域并判断其奇偶性；（Ⅱ）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的取值范围．19．（12分）已知奇函数f（x）=a﹣的图象经过点（1，1）（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并给出证明．20．（12分）在如图所示四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方式，PA=AB=1，E是PD上的点，PB∥平面AEC，（Ⅰ）确定点E的位置并证明AE⊥PC（Ⅱ）求三棱锥P﹣AEC的体积．21．（12分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，ADCD，AD=2BC=2CD=2，M，N，E分别为，AB，CD，AD的中点，将△ABE沿BE折起，使折叠后AD=1（1）求证：折叠后MN∥平面AED；（2）求折叠后四棱锥A﹣BCDE的体积．22．（12分）已知动圆P在x轴上截得的弦长为4，且过定点Q（0，2），动圆心P形成曲线L，（1）求证：曲线L是开口向上的抛物线．（2）若抛物线线y=ax2上任一点M（x0，y0）处的切线斜率为2ax0，过直线：l：y=x﹣2上的动点A作曲线L的切线，切点为B，C，求ABC面积的最小值及对应点A的坐标．河南省大教育豫北联盟2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12道小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）已知集合，则A={{1，2，3，4，5，6}，B={y|y=，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，3，5} D．{1，2，3，4，5，6}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由题意求出集合B，由交集的运算求出A∩B．解答：解：因为A={1，2，3，4，5，6}，所以B={y|y=，x∈A}={1，，，2，，}，则A∩B={1，2}，故选：A．点评：本题考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数的性质求出对数的取值范围即可．解答：解：c＞1，a＜1，b＜1，a=log32=，b=log52=，∵log23＜log25，∴1＞＞，故c ＞a ＞b ，故选：B点评： 本题主要考查函数值的大小比较，根据对数的运算法则和对数的换底公式是解决本题的关键．3．（5分）若幂函数y=x m 是偶函数，且x ∈（0，+∞）时为减函数，则实数m 的值可能为（）A ．B ．C ． ﹣2D ． 2考点： 幂函数的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 幂函数y=x m 是偶函数，且x ∈（0，+∞）时为减函数，可知m 为负偶数，即可得出．解答： 解：∵幂函数y=x m 是偶函数，且x ∈（0，+∞）时为减函数，∴m 为负偶数，∴实数m 的值可能为﹣2．故选：C ．点评： 本题考查了幂函数的性质，属于基础题．4．（5分）已知函数f （x ）的图象是连续不断的一条曲线，且满足 f （1）＞0，f （5）＜0，若 f （3）＞0．则f （x ）在下列区间内必有零点的是（）A ． （1，3）B ． （3，5）C ． （2，4）D ． （3，4）考点： 函数零点的判定定理．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 紧扣函数零点的判断定理判断．解答： 解：∵函数f （x ）的图象是连续不断的一条曲线，又∵f（1）＞0，f （5）＜0，f （3）＞0；∴f（1）f （3）＞0，f （1）f （5）＜0，f （3）f （5）＜0，∴f（x ）在区间（3，5）上必有零点，故选B ．点评： 本题考查了函数零点的判断定理的应用，属于基础题．5．（5分）一个何体的三视图如图所示，其中正视图是底边长为6，腰长为5的等腰三角形，侧视图是底边长为2的等腰三角影，则该几何体的体积为（）A ． 16B ． 24C ． 32D ． 48考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，分别求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=2×6=12，棱锥的高h==4，故棱锥的体积V==16，故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．6．（5分）已知集合 A={2，﹣2}，B={x|x2﹣ax+4=0}，若A∪B=A，则实数a满足（）A．{a|﹣4＜a＜4} B．{a|﹣2＜a＜2} C．{﹣4，4} D．{a|﹣4≤a≤4}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据A与B的并集为A，得到B为A的子集，分B为空集与不为空集两种情况考虑，分别求出求出a的范围即可．解答：解：由A∪B=A得，B⊆A，则B=∅或B≠∅，（1）当B=∅时，即有：△=a2﹣16＜0，解得﹣4＜a＜4，适合条件B⊆A，实数a满足：0＜a＜4；（2）当B≠∅时，且A={﹣2，2}，①若B={﹣2}，表明x2﹣ax+4=0有两个相等的实根﹣2，则（﹣2）2﹣a×（﹣2）+4=0，则a=﹣4，满足△=a2﹣16=0；②若B={2}，表明x2﹣ax+4=0有两个相等的实根2，则22﹣a×2+4=0，解得a=4，满足△=a2﹣16=0；③若B={﹣2，2}，表明x2﹣ax+4=0有两个的实根﹣2和2，则（﹣2）2﹣a×（﹣2）+4=0，22﹣a×2+4=0，则a不存在；综上得：所有满足条件的实数a组成的集合为，故选：D．点评：本题考查并集及其运算，集合的包含关系判断及应用，本题易错主要是忽略B=∅的情况，考查分类讨论思想．7．（5分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊄β，m⊥α，则m∥βD．若α∥β，m∥α，则m∥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间直线，平面直线平行或垂直的判定定理和性质定理进行判断即可．解答：解：A．同时垂直于一个平面的两个平面不一定垂直，可能平行也可能相交，故A错误，B．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m，n关系不确定，故B错误，C．若α⊥β，m⊄β，m⊥α，则m∥β，成立，D．若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，故D错误，故选：C点评：本题主要考查空间直线和平面直线平行或垂直的判断，利用相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键．8．（5分）如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由直观图作出正视图即可．解答：解：由题意，正视图为曲线构成，故选C．点评：本题考查了学生的空间想象力，属于基础题．9．（5分）若一个球的体积为π，则该球的表面积为（）A．πB．πC．18πD．9π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；球．分析：运用球的体积V=r3，解方程求得r，再由球的表面积为4πr2，计算即可得到．解答：解：一个球的体积为π，即为r3=，解得，r=．则球的表面积为4πr2=4=9π．故选D．点评：本题考查球的体积和表面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）直线x﹣3y+5=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：求出直线的斜率，根据倾斜角和斜率之间的关系即可得到结论．解答：解：直线斜截式方程为y=x+，即直线的斜率k=，∵tan30°=，∴直线的倾斜角为30°，故选：A点评：本题考查直线的倾斜角和直线的斜率之间的关系，本题解题的关键是知道两者之间的关系，比较基础．11．（5分）已知直线 l过点（1，﹣1），且在两坐标轴上的截距之和为，则直线l的力方程为（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x+y﹣1=0C．x﹣2y﹣3=0 D．2x+y﹣1=0或x﹣2y﹣3=0考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：设直线的截距式为：，把点（1，﹣1）代入可得：=1，又a+b=，联立解得即可．解答：解：设直线的截距式为：，把点（1，﹣1）代入可得：=1，又a+b=，联立解得或．∴直线l的力方程为=1，=1．∴2x+y﹣1=0或x﹣2y﹣3=0．故选：D．点评：本题考查了直线的截距式，属于基础题．12．（5分）已知两直线y=2x与x+y+a=0相交于点A（1，b），则点A到直线ax+by+3=0的距离为（）A．B．C．4 D．考点：点到直线的距离公式；两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：根据条件求出a，b，根据点到直线的距离即可求解．解答：解：∵两直线y=2x与x+y+a=0相交于点A（1，b），∴b=2且1+b+a=0，解得a=﹣3，b=2，则A（1，2），直线方程为﹣3x+2y+3=0，则点到直线的距离d==，故选：B点评：本题主要考查直线交点坐标的应用，利用点到直线的距离公式是解决本题的关键．二、填空题（本题共有4道小题，每小题5分．共20分，请将你的答案填在答题卡的横线处）13．（5分）已知集合U=A∪B={x|x∈N，x＜10}，A∩B={0，2，4}，A∩（∁U B）={1，5，7}，B={3，6，8，9}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先利用不等关系式化简全集U，再结合集合A与B的补集的交集，结合Venn图得到集合B即可．解答：解：U=A∪B={x|x∈N，x＜10}，={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∵A∩B={0，2，4}，A∩（∁U B）={1，5，7}，∴A={0，1，2，4，5，7}，∴B={3，6，8，9}故答案为：{3，6，8，9}点评：本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、集合的表示法、交集补集等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14．（5分）若l＜x＜4，设 a=，b=，c=ln，则a，b，c从小到大的排列为c＜a＜b．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算；对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数和对数函数的性质，即可得到结论．解答：解：若l＜x＜4，则＜且l＜＜2，ln＜ln2＜1，故c＜a＜b，故答案为：c＜a＜b点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和对数函数的性质是解决本题的关键．15．（5分）己知函数 f（x）=（其中x∈）的值域为，则a=．考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用分离常数法化简f（x）==a﹣，从而求参数．解答：解：f（x）==a﹣，∵x∈，∴∈，﹣∈；则由a﹣∈知，a﹣2=；故a=；故答案为：．点评：本题考查了函数的值域的应用，属于基础题．16．（5分）若函数f（x）满足，f（﹣x）=f（），则称f（x）为“负倒”变换函数，给出下列函数：①f（x）=x﹣；②f（x）=x+：③f（x）=x2﹣；④f（x）=其中所有属于“负倒”变换函数的序号是①④．考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，验证是否是“负倒”变换函数即验证f（﹣x）=f（）是否成立，从而对四个函数求解．解答：解：①f（﹣x）=﹣x+，f（）=﹣x；故f（﹣x）=f（），故成立；②f（﹣x）=﹣x﹣，f（）=+x，故不是；③f（﹣x）=x2﹣，f（）=﹣x2，故不是；④当x＞0时，f（﹣x）=﹣=，f（）=；当x＜0时，f（﹣x）=﹣x，f（）=﹣=﹣x；故f（﹣x）=f（），故f（x）=是“负倒”变换函数，故答案为：①④．点评：本题考查了学生对新定义的接受能力及应用能力，属于中档题．三、解答题（本题共有6道小题，共70分．请将解答清晰准确完整的写在答题卡对应的区域．）17．（10分）已知集合 A={x∈R|x2﹣3x+2=0}，B={x∈Z|﹣1≤x﹣1≤2}C={1，a2+1，a+1}，其中a∈R．（Ⅰ）求A∩B，A∪B（Ⅱ）若A∩B=A∩C，求B∩C．考点：交、并、补集的混合运算；并集及其运算；交集及其运算．专题：集合．分析：（Ⅰ）求出A中方程的解确定出A，求出B中不等式解集的整数解确定出B，求出A∩B，A∪B即可；（Ⅱ）求出A与B的交集得到A与C的交集，得到元素2属于C，代入求出a得到值，确定出C，即可求出B与C的交集．解答：解：（Ⅰ）由A中方程变形得：（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2，即A={1，2}，由B中不等式解得：0≤x≤3，x∈Z，即B={0，1，2，3}，∴A∩B={1，2}，A∪B={0，1，2，3}；（Ⅱ）∵A∩B={1，2}，且A∩B=A∩C，∴A∩C={1，2}，∴2∈C，若a+1=2，即a=1，可得a2+1=2，这与元素的互异性矛盾；若a+1≠2，a2+1=2，即a=﹣1时，C={0，1，2}，此时B∩C={0，1，2}．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．（12分）已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）（Ⅰ）求函数f（x）+g（x）的定义域并判断其奇偶性；（Ⅱ）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的取值范围．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用对数函数的性质求函数的定义域，利用函数奇偶性的定义去判断．（Ⅱ）需要分类讨论，当a＞1和0＜a＜1时，根据函数的单调性得到不等式，解得即可解答：解：（1）要使函数有意义，则有，解得﹣1＜x＜1．所以函数的定义域为（﹣1，1）．因为函数f（x）的定义域为（﹣1，1），关于原点对称．所以f（﹣x）=log a（1﹣x）+log a（1+x）=f（x），所以函数f（x）是偶函数．（Ⅱ）∵f（x）+g（x）＜0，∴log a（1﹣x2）＜0=log a1，当a＞1时，函数y=log a x为增函数，故1﹣x2＜1，解得x≠0，∴x的取值范围为（﹣1，0）∪（0，1）当0＜a＜1时，函数y=log a x为减函数，故1﹣x2＞1，解集为空集综上所述x的取值范围为（﹣1，0）∪（0，1）点评：本题主要考查了对数函数的定义和函数的奇偶性和单调性以及不等式的解法，属于基础题19．（12分）已知奇函数f（x）=a﹣的图象经过点（1，1）（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并给出证明．考点：函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：本题（Ⅰ）可以先根据函数f（x）是奇函数，通过特殊值法得到关于a、b的方程，从而求出ab的值，再验证函数f（x）是奇函数；（Ⅱ）直接用定义法判断并证明函数f（x）的单调性．解答：解：（Ⅰ）∵奇函数f（x）=a﹣的图象经过点（1，1），∴f（0）=0，f（1）=1，∴，，∴a=3，b=6．∴f（x）=3﹣．∴f（﹣x）=3﹣=3﹣=﹣3+=﹣f（x）．函数f（x）是奇函数，适合题意，∴a=3，b=6．（Ⅱ）函数f（x）在定义域R上是单调递增的函数．证明：在R上任取x1，x2，且x1＜x2，f（x2）﹣f（x1）=（3﹣）﹣（3﹣）=，∵x1＜x2，∴2，，，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）．∴函数f（x）是R上的增函数．点评：本题考查了函数的奇偶性的应用和函数单调性的定义，本题难度不大，但是要注意在解题过程中逻辑的严密性，本题属于中档题．20．（12分）在如图所示四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方式，PA=AB=1，E是PD上的点，PB∥平面AEC，（Ⅰ）确定点E的位置并证明AE⊥PC（Ⅱ）求三棱锥P﹣AEC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，利用线面平行的性质，可得点E的位置；利用直线与平面垂直的判定，证明AE⊥PC（Ⅱ）利用体积公式求三棱锥P﹣AEC的体积．解答：解：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，因为PB∥平面AEC，平面PBD∩平面ACE=OE，所以EO∥PB，因为O为BD中点，所以E为PD中点；因为E为PD的中点，PA=AB=AD，所以AE⊥PD，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，因为CD⊥AD∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，所以AE⊥平面PCD，所以AE⊥PC（Ⅱ）三棱锥P﹣AEC的体积=V P﹣ACD===．点评：本题考查直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定，考查三棱锥P﹣AEC的体积，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．21．（12分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，ADCD，AD=2BC=2CD=2，M，N，E分别为，AB，CD，AD的中点，将△ABE沿BE折起，使折叠后AD=1（1）求证：折叠后MN∥平面AED；（2）求折叠后四棱锥A﹣BCDE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据折叠前空间直线的位置关系结合线面平行的判定定理即可证明折叠后MN∥平面AED；（2）结合四棱锥的体积公式进行求解即可．解答：证明：（1）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，取AE的中点P，连接MP，DP，由M，N，P均为中点，则MP∥BE∥CD，且MP=BE=ND，∴四边形MNDP为平行四边形，则MN∥DP，∵MN⊄平面AED，DP⊂平面AED．∴MN∥平面AED，即折叠后MN∥平面AED．（2）在四棱锥A﹣BCDE中，取ED的中点Q，连接AQ，∵折叠前梯形ABCD中，E为AD的中点，AD=2BC=2CD=2，AD⊥CD，∴四边形BCDE为正方形，则BE⊥AD，在四棱锥A﹣BCDE中，BE⊥EA，BE⊥ED，∵EA∩DE=E，∴BE⊥平面AED，∵AQ⊂平面AED，得BE⊥AQ∵在△AED中，AE=AD=ED=1，∴AQ⊥ED，且AQ=，∵BE∩ED=E，∴AQ⊥平面BCDE，∴四棱锥A﹣BCDE的体积V=S BCDE•AD==．点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定以及空间四棱锥的体积公式的计算，考查学生的推理和证明能力．22．（12分）已知动圆P在x轴上截得的弦长为4，且过定点Q（0，2），动圆心P形成曲线L，（1）求证：曲线L是开口向上的抛物线．（2）若抛物线线y=ax2上任一点M（x0，y0）处的切线斜率为2ax0，过直线：l：y=x﹣2上的动点A作曲线L的切线，切点为B，C，求ABC面积的最小值及对应点A的坐标．考点：轨迹方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出动圆圆心C的坐标，由圆的半径、弦心距及半弦长的关系列式整理求得动圆圆心的轨迹C的方程；（2）设直线BC的方程为y=kx+b，代入抛物线方程，消去y得x2﹣4kx﹣4b=0，由此利用根的判别式、韦达定理、切线方程、点到直线的距离公式能求出△ABC面积的最小值及此时点A的坐标．解答：（1）证明：设C（x，y），由动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4得，|CA|2﹣y2=4，即x2+（y﹣2）2﹣y2=4，整理得：x2=4y．∴动圆圆心的轨迹C的方程为x2=4y，∴曲线L是开口向上的抛物线；（4分）（2）解：设直线BC的方程为y=kx+b，代入抛物线方程，消去y得x2﹣4kx﹣4b=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，且△=16k2+16b．…（6分）以点B为切点的切线的斜率为k P=x1，其切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣，同理过点C的切线的方程为y=x2x﹣，设两条切线的交点为A（x A，y A）在直线x﹣y﹣2=0上，解得x A=2k，y A=﹣b，即A（2k，﹣b），则：2k+b﹣2=0，即b=2﹣2k，…（8分）代入△=16k2+16b=16k2+32﹣32k=16（k﹣1）2+16＞0，∴|PQ|=4•，A（2k，﹣b）到直线PQ的距离为d=，…（10分）∴S△ABC=|BC|d=4|k2+b|=4=，∴当k=1时，S△ABC最小，其最小值为4，此时点A的坐标为（2，0）．…（12分）点评：本题考查了轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查三角形面积的最小值的求法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系解题，是2015届高考试卷中的压轴题．。

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cos
， sin
） ， 若| |=
．
19． （12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，SA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AD∥BC， SA=AB=BC=4，AD=2，M 为 SB 的中点． （1）求证：AM∥平面 SDC； （2）求三棱锥 S﹣CDM 的体积 VS﹣CDM．
2． （5 分）已知复数 z= A．第一象限
，则 在复平面内对应的点位于（ C．第三象限
B．第二象限
3． （5 分）在等差数列{an}中，若 2a3+a9=33，则数列{an}的前 9 项和等于（ A．95 B．100 满足| |= C．99 D．90
4． （5 分） 已知平面向量 的值为（ A． ） B．13
C．9 和 5
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D．9 和
7． （5 分）已知函数 f（x）=sin（2x+φ） （|φ|＜ （x）=sin2x 的图象，则只要将 f（x）的图象（ A．向左平移 C．向左平移 个单位 个单位
） ，且 f（ ）
）=1，为了得到 g
B．向右平移 D．向右平移 ）
个单位 个单位
15． （5 分）正三角形 ABC 的边长为 4，将它沿高 AD 翻折，使得点 B 与点 C 的距 离为 2，此时四面体 ABCD 的外接球的表面积为 ．
16． （5 分）对于函数 f（x） ，若存在区间 A=[m，n]，使得{y|y=f（x） ，x∈A}=A， 则称函数 f（x）为“可等域函数”，区间 A 为函数 f（x）的一个“可等域区间”， 给出下列四个函数： ①f（x）=sin x；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|1﹣2x|；④f（x）=lnx+1． ．