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第一讲有理数培优2

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- 1 -

第一讲

有理数

和绝对值有关的问题

例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：

则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）

A．-3a B． 2c－a

C．2a－2b D． B

练习:表示数a、b、c、d的点在数轴上的位置，如图所示：

化简│b-c│-│a-2c│-•│d+b│+│d│．

例2．已知：zx0，0xy，且xzy， 那么yxzyzx

的值（ ）

A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号

练习：计算|12006-12005|+|12007-12006|-|12007-12005|。

例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

练习：如果0abc，求||||||abcabc的值。

例4．（整体的思想）方程xx20082008 的解的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个

练习：绝对值不小于3但小于5的所有整数的乘积为________； 例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相反数，试求下式的值．

1111112220072007abababab

练习：若│a-1│+│ab-2│=0，求11(1)(1)(2004)(2004)abab的值．

若x=-2，化简│x+1│-│x+2│+│x+3│-│x+4│+…-│x+10│得（ ）

（A）2x+7 （B）2x-7 （C）-2x-7 （D）-2x+7

例6．已知a与b互为相反数，且│a-2b│=32，求代数式2221aabbaabb的值．

练习：已知a2+│5a-4b+3│=0，求a2006-8b3的值．

已知式子||||||abababab的最大值为p，最小值为q，求代数式669p-q2的值．

计算问题

（1）mnnm=m1+n1（2）)1(1nn=n1-11n 课外拓展训练·培优新方法 类型：期末专题复习 七年级·数学

- 2 - （3）)(mnnm=n1-mn1（4）)2)(1(2nnn=)1(1nn-)1)(2(1nn

2．常用代数公式：

（1）完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2 ，（a-b）2=a2-2ab+b2

（2）平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

（3）1+2+3+…+n=2)1(nn

（4）12+22+32+…+n2=6)12)(1(nnn

例1. （1-21-31-…-20071）（21+31+…+20081）-（1-21-31-…-20081）（21+31+…+20071）

练习：计算：（1+20011+20021+20031）*（20011+20021+20031+20041）-（1+20011+20021+20031+20041）*（20011+20021+20031）

例2. 计算：100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+…+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1

练习：

(1)1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006

(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；

例3. 计算 222133599101 练习：1111142870130208

例4. 化简：111()(2)(3)(9)122389xyxyxyxy并求当

2,x9y时的值。

例5. 计算11121123112341123100

练习：1. 953821164153136.(|...|) 2. |()|()|()|7384121814612

3. {||[||(||||)]}637236 4. 1625233434231213141612075.().

5. ()()914725212112318432015485253112

- 3 - 培优训练

数形结合

1、已知是有理数，且012122yx，那以yx的值是（ ）

A．21 B．23 C．21或23 D．1或23

2、如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数为1，则点A表示的数为（ ）

Ａ．7 Ｂ．3 Ｃ．3 Ｄ．2

3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数dcba,,,且102ad，那么数轴的原点应是（ ）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点

4、数dcba,,,所对应的点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，那么ca与db的大小关系是（ ）

A．dbca B．dbca C．dbca D．不确定的

5、不相等的有理数cba,,在数轴上对应点分别为A，B，C，若cacbba，那么点B（ ）

A．在A、C点右边 B．在A、C点左边 C．在A、C点之间 D．以上均有可能

6、设11xxy，则下面四个结论中正确的是（ ）

A．y没有最小值 B．只一个x使y取最小值

C．有限个x（不止一个）使y取最小值 D．有无穷多个x使y取最小值

7、在数轴上，点A，B分别表示31和51，则线段AB的中点所表示的数是 。

8、若0,0ba，则使babxax成立的x的取值范围是 。

9、x是有理数，则22195221100xx的最小值是 。

10、已知dcba,,,为有理数，在数轴上的位置如图所示： 且,64366dcba求cbabda22323的值。

绝对值

1、如图，有理数ba,在数轴上的位置如图所示：

则在4,2,,,2,babaababba中，负数共有（ ）

A．3个 B．1个 C．4个 D．2个

2、若m是有理数，则mm一定是（ ）

A．零 B．非负数 C．正数 D．负数

3、如果022xx，那么x的取值范围是（ ）

A．2x B．2x C．2x D．2x

4、ba,是有理数，如果baba，那么对于结论（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数，其中（ ）

A．只有（1）正确 B．只有（2）正确 C．（1）（2）都正确 D．（1）（2）都不正确

5、已知aa，则化简21aa所得的结果为（ ）

A．1 B．1 C．32a D．a23

6、已知40a，那么aa32的最大值等于（ ）

A．1 B．5 C．8 D．9

7、已知cba,,都不等于零，且abcabcccbbaax，根据cba,,的不同取值，x有（ ）

A．唯一确定的值 B．3种不同的值 C．4种不同的值 D．8种不同的值

8、满足baba成立的条件是（ ）

A．0ab B．1ab C．0ab D．1ab

9、若52x，则代数式xxxxxx2255的值为 。 Oabdc1 0 A 2 B 5

C

DCBABC0DA-10a-2b1

- 4 - 10、若0ab，则ababbbaa的值等于 。

11、已知cba,,是非零有理数，且0,0abccba，求abcabcccbbaa的值。

12、已知dcba,,,是有理数，16,9dcba，且25dcba，求cdab的值。

有理数的运算

1、a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，则200820092007ba= 。

2、计算：（1）199919971971751531= ；

（2）243431622825.0= 。

3、若a与b互为相反数，则abba199799189822= 。

4、计算：9897983981656361434121= 。

5、计算：10987654322222222222= 。

6、9998,19991998,9897,19981997这四个数由小到大的排列顺序是 。

7、计算：86.66.68686.06284.3114.3=（ ）

A．3140 B．628 C．1000 D．1200

8、3028864215144321等于（ ）

A．41 B．41 C．21 D．21 9、计算：45.41892235.2465=（ ）

A．25 B．310 C．920 D．940

10、（2009鄂州中考）为了求2008322221的值，可令S＝2008322221，则2S＝20094322222 ，因此2S-S＝122009，所以2008322221＝122009仿照以上推理计算出2009325551的值是（ ）

A、152009 B、152010 C、4152009 D、4152010

11、2004321,,,aaaa都是正数，如果200432200321aaaaaaM，200332200421aaaaaaN，那么NM,的大小关系是（ ）

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【初数】有理数B级(共2讲)_第01讲_有理数的概念和运算

【初数】有理数B级(共2讲)_第01讲_有理数的概念和运算

有理数的概念和运算

第1页，共19页 一、正数和负数 一、 正数与负数 像2，0.7，13等大于0的数（“”通常省略不写）叫做正数；像3.5，1，12这样在正数前面加上“”（读作“负号”，“”不能省略）的数叫做负数． 注意：（1）0既不是正数，也不是负数；（2）“”可以省略，“”不能省略． 二、绝对值 一、 利用绝对值的代数意义去绝对值号 化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据题设所给的条件，判断绝对值符号内的数a（或式子a）的正负（即0a，0a还是0a）；然后根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号． 二、 利用零点分段法去绝对值号 对于含多个绝对值的情况，我们往往用零点分段法计算化简． 例如：化简12xx． 第一个绝对值内部为1x，当1x时第一个绝对值为零；第二个绝对值内部为2x，当2x时第二个绝对值为零．我们将1、2称为是零点，这两个零点将整个数轴分为三部分（如图），我们对这三个部分进行分类讨论． 当1x时，1x、2x均为负值，于是12123xxxx； 当12x时，1x为非负值、2x为负值，于121221xxxxx； 当2x时，1x、2x均为非负值，于是12123xxxx． 零点是我们分类的依据，因为这些零点确定了每个绝对值内部的正、负． 三、有理数奇葩题 0 2 有理数的概念和运算 知识点 有理数的概念和运算

第2页，共19页 倒数和负倒数：乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数． 乘积是1的两个数互为负倒数，0没有负倒数． 如：2的倒数是12，负倒数是12；43的倒数是34，负倒数是34． 四、数轴 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 注意：原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可． 数轴与有理数的关系 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都是有理数，如． 在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．正数都在原点的右侧，负数都在原点的左侧．正数都大于“0”，负数都小于“0”，正数大于负数． 五、有理数比较大小 1. 利用数轴比较大小 在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．正数都在原点的右侧，负数都在原点的左侧．正数都大于“0”，负数都小于“0”． 2. 利用绝对值比较大小 在数轴上，离原点越近的点所对应的数的绝对值越小，离原点越远的点所对应的数的绝对值越大．由于数轴上左边的数总比右边的数大，因此：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 3. 作差法比较大小 0abab，0abab，0abab． 4. 作商法比较大小 若0a，0b，1aabb，1aabb，1aabb． 5. 取倒数法比较大小 分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小：分母大的反而小； 分母一样，通过比较分子从而判定两数的大小：分子大的数大． 6. 特殊值法 对于选择、填空题，可以用特殊值的方法进行判断． 六、有理数的加法 二、 有理数的加法法则 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．如35358． 2. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．如：3131312． 3. 一个数同0相加，仍得这个数． 有理数的概念和运算

七年级数学上册第一单元《有理数》-解答题专项经典题(专题培优)(2)

七年级数学上册第一单元《有理数》-解答题专项经典题(专题培优)(2)

一、解答题

1．计算：

（1）2411(10.5)2--23

（2）6÷（-2）3-|-22×3|+3÷2×12+1；

解析：（1）23；（2）-11

【分析】

（1）先计算乘方及括号，再计算乘法，最后计算加减法；

（2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法．

【详解】

（1）2411(10.5)2--23

=111(2)23

=113

=23；

（2）6÷（-2）3-|-22×3|+3÷2×12+1

=116(8)123122

=3312144

=-11．

【点睛】

此题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序及运算法则是解题的关键．

2．计算

①115112236

②32112114132

③524312(4)()12(152)2

④213132123242834 ⑤222019111()22(1)2

解析：①-2；②458；③-10；④-9；⑤-13．

【分析】

①先去括号和绝对值，在进行加减运算即可．

②先运算乘方，去括号，再将除法改为乘法，最后进行混合运算即可．

③先运算乘方，再去括号，最后进行混合运算即可．

④先运算乘方，利用乘法分配律去括号，再将除法改为乘法，最后进行混合运算即可．

⑤先运算乘方，再将除法改为乘法，再去括号，去绝对值，最后进行混合运算即可．

【详解】

①原式14171236

386176666

2．

②原式3274()(3)()48

2798

458．

③原式3132(4)12(1516)4

181214

10．

④原式1171542242424834

有理数培优题

有理数培优题

六年级下数学有理数章节 培优训练题(解答题专项)

1.计算：++++„+．

2.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，求+m2﹣3cd的值

3.有理数a、b、c在数轴上的位置如图：

（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，

a+b 0，c﹣a 0．

（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．

4.（1）阅读下面材料：

点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．

当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；

当A，B两点都不在原点时，

①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；

②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；

③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；

综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；

②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|=2，那么x为 ；

③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是

．

④当x=

时，|x+1|+|x﹣2|=5．

5.同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：

（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是 ，

（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为 ．

（3）如果|x﹣2|=5，则x=

．

（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是

有理数培优训练(二)A

有理数培优训练(二)A

有理数培优训练（二）A

一、选择题：

1、下列说法不正确的是（ ）

A.、0小于所有正数; B、0大于所有负数

C、0既不是正数也不是负数 D、0没有绝对值

2、下列说法正确的是（ ）

A、正数和负数互为相反数 B、a的相反数是负数

C、相反数等于它本身的数只有0 D、a的相反数是正数

3、有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则20062006ab等于( )．

A、0 B、1 C、 1 D、2

4、设a是最小的自然数，b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数，则abc等于（ ）

A、 1 B、0 C、1 D、2

5、如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内填入适当的数，使它们折成正方体后相对的面上的两个数互为倒数，则填入正方形A，B，C•的三个数依次为（ ）．

A、12，13，1 B、13，1，12

C、1，12，13 D、1，13，12

6、下列说法正确的是（ ）

A、两个负数相减，等于绝对值相减。 B、两个负数的差一定大于零。

C、负数减去正数等于两个负数相加 D、正数减去负数，等于两个正数相减。

7、若三个不等的有理数的和为0，则下面结论正确的是（ ）

A、三个数全为0 B、最少有两个加数为负数

C、至少有一个加数为负数 D、最少有两个加数为正数

8、若a、b互为相反数，那么aa必是（ ）

A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数

9、若M=－16－57+48+12－78，N=81.26－93.8+8.74+11，则（ ）

A、M＞N B、M≤N C、M＜N D、M≥N