2019高考数学一轮复习 课时规范练2 不等关系及简单不等式的解法 理 新人教A版

课时规范练2 不等关系及简单不等式的解法基础巩固组1.已知a,b ∈R ,下列命题正确的是( ) A.若a>b,则|a|>|b| B.若a>b,则1a<1bC.若|a|>b,则a 2>b 2D.若a>|b|,则a 2>b 22.函数f(x)=1ln (-x 2+4x -3)的定义域是( )A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,3)3.已知实数a,b,c 满足b+c=6-4a+3a 2,c-b=4-4a+a 2,则a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b ≤c B.b ≤c<a C.b<c<a D.b<a<c4.使不等式2x 2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是 ( )A.x ≥0B.x<0或x>2C.x ∈{-1,3,5}D.x ≤-12或x ≥35.若函数f(x)=√1-mx -mx 2的定义域为R ,则实数m 的取值范围为( ) A.[-4,0] B.[-4,0) C.(-4,0) D.(-∞,4]∪{0}6.不等式x -2x 2-1<0的解集为( )A.{x|1<x<2}B.{x|x<2,且x ≠1}C.{x|-1<x<2,且x ≠1}D.{x|x<-1或1<x<2}7.若不等式mx 2+2mx-4<2x 2+4x 对任意x 都成立,则实数m 的取值范围是( ) A.(-2,2] B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,2]8.已知存在实数a 满足ab 2>a>ab,则实数b 的取值范围是 .9.已知关于x 的不等式ax 2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a 2+b 2-2b 的取值范围是 .综合提升组 10.已知不等式x -2ax+b >0的解集为(-1,2),m 是a 和b 的等比中项,则3m 2aa 3+2b3=()A.1B.-3C.-1D.311.若关于x 的不等式f(x)=ax 2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为( )12.若关于x 的不等式x 2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a 的取值范围是 . 13.对任意x ∈[-1,1],函数f(x)=x 2+(k-4)x+4-2k 的值恒大于零,则k 的取值范围是 . 14.已知二次函数f(x)=ax 2+x+1对x ∈[0,2]恒有f(x)>0,求a 的取值范围.创新应用组15.已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)<0的解集是 ( ) A.(-∞,-32)∪(12,+∞)B.(-32,12)C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D.(-12,32)16.若ax 2+bx+c<0的解集为{x|x<-1或x>3},则对于函数f(x)=cx 2+bx+a 应有( )A.f(5)<f(0)<f(-1)B.f(5)<f(-1)<f(0)C.f(-1)<f(0)<f(5)D.f(0)<f(-1)<f(5)17.已知f(x)={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,若对任意x ∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则t 的取值范围是 .课时规范练2 不等关系及简单不等式的解法1.D 当a=1,b=-2时,A 不正确,B 不正确,C 不正确;对于D,a>|b|≥0,则a 2>b2.故选D.2.D 由题意知{-x 2+4x -3>0,-x 2+4x -3≠1,解得{1<x <3,x ≠2.故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).3.A 由c-b=4-4a+a 2=(2-a)2≥0,得b ≤c,再由b+c=6-4a+3a 2,c-b=4-4a+a 2,得b=1+a 2,因为1+a 2-a=(a -12)2+34>0,所以b=1+a 2>a.所以a<b ≤c.4.C 不等式2x 2-5x-3≥0的解集是{x |x ≥3或x ≤-12},由题意,选项中x 的取值范围应该是上述解集的真子集,只有C 满足.5.A 由题意知对任意的x ∈R ,有1-mx-mx 2≥0恒成立,所以m=0或{-m >0,m 2+4m ≤0,故-4≤m ≤0,故选A.6.D 因为不等式x -2x 2-1<0等价于(x+1)(x-1)(x-2)<0, 所以该不等式的解集是{x|x<-1或1<x<2}.故选D. 7.A 原不等式等价于(m-2)x 2+2(m-2)x-4<0,当m=2时,对任意x 不等式都成立;当m-2<0时,Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0,解得-2<m<2,综上,得m ∈(-2,2].8.(-∞,-1) ∵ab 2>a>ab,∴a ≠0.当a>0时,有b 2>1>b,即{b 2>1,b <1,解得b<-1;当a<0时,有b 2<1<b,即{b 2<1,b >1,无解.综上,可得b<-1.9.[-45,+∞) ∵不等式ax 2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,∴a>0,b>0,且Δ=b 2-4a 2≤0.∴b 2≤4a 2.∴a 2+b 2-2b ≥b24+b 2-2b=54(b -45)2−45≥-45.∴a 2+b 2-2b 的取值范围是[-45,+∞).10.A ∵x -2ax+b >0的解集为(-1,2),∴a<0,(ax+b)(x-2)>0,即x=-b=-1,∴a=b. ∵m 是a 和b 的等比中项,则m 2=ab,∴3m 2aa 3+2b 3=1.11.B(方法一)由根与系数的关系知1a =-2+1,-ca=-2,解得a=-1,c=-2.所以f(x)=-x 2-x+2.所以f(-x)=-x 2+x+2=-(x+1)(x-2),图象开口向下,与x 轴的交点为(-1,0),(2,0),故选B. (方法二)由题意可画出函数f(x)的大致图象,如图.又因为y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y 轴对称,所以y=f(-x)的图象如图.12.(-∞,-2) 不等式x 2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x 2-4x-2)max .令g(x)=x 2-4x-2,x ∈(1,4),则g(x)<g(4)=-2,可得a<-2.13.(-∞,1) 函数f(x)=x 2+(k-4)x+4-2k 的图象的对称轴方程为x=-k -42=4-k 2. 当4-k<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k 不存在; 当-1≤4-k 2≤1,即2≤k ≤6时,f(x)的值恒大于零等价于f (4-k 2)=(4-k 2)2+(k -4)×4-k2+4-2k>0,即k 2<0,故k 不存在;当4-k2>1,即k<2时,f(x)的值恒大于零等价于f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.综上可知,当k<1时,对任意x ∈[-1,1],函数f(x)=x 2+(k-4)x+4-2k 的值恒大于零. 14.解 对x ∈[0,2]恒有f(x)>0,即ax 2>-(x+1), 当x=0时显然满足ax 2>-(x+1).当x ≠0时,a>-(x+1)x 2,即a>-1x −1x 2. 令t=1x ,则t ≥12,g(t)=-t 2-t=-(t +12)2+14(t ≥12),g(t)max =g (12)=-34,可知a>-34.∵f(x)=ax 2+x+1是二次函数,∴a ≠0. ∴a>-34,且a ≠0.15.A 由f(x)>0的解集为(-1,3),易知f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞),故由f(-2x)<0得-2x<-1或-2x>3,∴x>12或x<-32.16.D 由题意可知,-1,3是ax 2+bx+c=0的两个实数根,且a<0,∴-1+3=-b a ,-1×3=c a ,∴b a =-2,ca =-3.∴f(x)=cx 2+bx+a=a(-3x 2-2x+1)=-3a(x +13)2+43a.∵a<0,抛物线开口向上,且对称轴为x=-13,∴离对称轴越近,函数值越小.又|5-(-13)|=163,|0-(-13)|=13,|-1-(-13)|=23, ∴f(0)<f(-1)<f(5).17.[√2,+∞) (方法一)∵对任意x ∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,∴f(t+t)=f(2t)≥2f(t).当t<0时,f(2t)=-4t 2≥2f(t)=-2t 2,这不可能,故t ≥0.∵当x ∈[t,t+2]时,有x+t ≥2t ≥0,x ≥t ≥0,∴当x ∈[t,t+2]时,不等式f(x+t)≥2f(x),即(x+t)2≥2x 2, ∴x+t ≥√2x,∴t ≥(√2-1)x 对于x ∈[t,t+2]恒成立. ∴t ≥(√2-1)(t+2),解得t ≥√2.(方法二)当x<0时,f(x)=-x 2单调递增,当x ≥0时,f(x)=x 2单调递增,∴f(x)={x 2,x ≥0,-x 2,x <0在R 上单调递增,且满足2f(x)=f(√2x),∵不等式f(x+t)≥2f(x)=f(√2x)在[t,t+2]上恒成立,∴x+t ≥√2x 在[t,t+2]上恒成立,即t ≥(√2-1)x 在x ∈[t,t+2]恒成立,∴t ≥(√2-1)(t+2),解得t≥√2,故答案为[√2,+∞).。

第一节不等关系与不等式不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．知识点一实的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.必备方法比较大小的常用方法：(1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个的符号)．[自测练习]1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.答案：B知识点二不等式性质易误提醒1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c . 2．在乘法法则中，要特别注意“乘c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[自测练习]2．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：当c <0时，ac >bc 不成立，故A 不正确，当a ＝1，b ＝－3时，B 、C 均不正确，故选D.答案：D3．若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A.b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1aD.2a ＋b a ＋2b >a b解析：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a，故选C.答案：C4．已知a <0，－1<b <0，那么a ，ab ，ab 2的大小关系是________． 解析：⎭⎪⎬⎪⎫－1<b <0⇒0<b 2<1a <0⇒a <ab 2<0， 又ab >0，∴ab >ab 2>a . 答案：ab >ab 2>a考点一 利用不等式(组)表示不等关系|1．将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x ，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x 应满足的不等关系．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－x >0， 5－x ＋ 12－x >13－x ，5－x 2＋ 12－x 2< 13－x 2.2．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工，在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两台设备每月有效使用时分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设甲、乙两种产品的产量分别为x 件，y 件，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点： 关键点：准确将题目中的文字语言转为学符号语言．注意点：要注意“不超过”，“至少”，“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．考点二 不等式性质及应用|1．(2016·大庆质检)若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( )A.1a －b >1a B.1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：由a <b <0，可用特殊值法加以验证，取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a 不成立，选A. 答案：A2．(2016·武汉调研)若实a ，b ∈(0,1)，且满足(1－a )b >14，则a ，b 的大小关系是( )A ．a <bB ．a ≤bC ．a >bD ．a ≥b解析：∵a ，b ∈(0,1)，∴1－a >0，又(1－a )b >14，∴14<⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 22，12<1－a ＋b2，即b －a >0，故选A. 答案：A3．设a ，b 是实，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：法一：因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ a －b ab －1 ab，所以若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ a －b ab －1 ab>0，则充分性成立；当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立，故选A.法二：令函f (x )＝x ＋1x ，则f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x2，可知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函，在(－1,1)上为减函，所以“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的充分不必要条件，选A.答案：A运用不等式性质求解问题的两个注意点1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推判定失误．2．对于不等式的常用性质，要注意弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据．考点三 比较大小|(1)若实a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小；(2)比较a a b b 与a b b a (a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)的大小． [解] (1)a ＋2－31－a ＝－ a 2＋a ＋11－a，∵a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0，∴－(a 2＋a ＋1)<0，∴当1－a >0，即a <1时，－ a 2＋a ＋1 1－a <0，则有a ＋2<31－a .当1－a <0即a >1时，－ a 2＋a ＋1 1－a >0，则有a ＋2>31－a .综上知，当a <1时，a ＋2<31－a，当a >1时，a ＋2>31－a.(2)a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b， 当a >b >0时，ab>1，a －b >0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a ； 当b >a >0时，0<a b<1，a －b <0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a ； 当a ＝b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b＝1，∴a a b b ＝a b b a ，综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．比较两个(式)大小的两种方法(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推都要有充分的依据．(2)用作商法比较代式的大小一般适用于分式、指式、对式，作商只是思路，关键是简变形，从而使结果能够与1比较大小．已知实a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2.∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴1＋a 2>a ，∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a . 答案：A10.不等式变形中不等价致误【典例】 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．[解析] 法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ＝a －b ，f 1 ＝a ＋b得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －1 ＋f 1 ]，b ＝12[f 1 －f －1 ].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.法三：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4，确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10. [答案] [5,10][易误点评] 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．[防范措施] (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[跟踪练习] 若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．A 组 考点能力演练1．已知1a <1b<0，则下列结论错误的是( ) A ．a 2<b 2B.b a ＋a b >2 C ．ab >b 2 D ．lg a 2<lg ab解析：∵1a <1b <0，∴1b －1a ＝a －b ab>0，∴a －b >0， ∴ab －b 2＝(a －b )b <0，∴ab <b 2，故选C.答案：C2．已知实a ，b ∈(0,1)，且满足cos πa <cos πb ，则下列关系式成立的是( )A ．ln a <ln bB ．sin a <sin b C.1a <1bD ．a 3<b 3 解析：因为a ，b ∈(0,1)，则πa ，πb ∈(0，π)，而函y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，又cos πa <cos πb ，所以πa >πb ，即a >b ，由函y ＝ln x ，y ＝sin x ，y ＝1x，y ＝x 3的单调性知C 正确． 答案：C3．(2016·资阳一诊)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( )A ．若a >b ，则|a |>|b |B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：当a ＝1，b ＝－2时，A 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，B 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，C 不正确；对于D ，a >|b |≥0，则a 2>b 2，故选D.答案：D4．已知ab >0，则“b <1a ”是“a <1b”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由b <1a ，ab >0得ab 2<b ，又b 2>0，所以a <1b ，同由a <1b可得b <1a，故选C. 答案：C5．(2016·贵阳期末)下列命题中，正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<b c 2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B项，当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；C 项，∵a c 2<b c 2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误；故选C.答案：C6．若m <n ，p <q ，且(p －m )(p －n )<0，(q －m )(q －n )<0，则m ，n ，p ，q 的大小顺序是________．解析：把p ，q 看成变量，则m <p <n ，m <q <n ，即得m <p <q <n . 答案：m <p <q <n7．(2015·安庆二模)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b＋y ，③ax >by ，④a y >b x这四个式子中，恒成立的不等式有________(写出所有恒成立的不等式的序号)．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．又a y＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝b x，因此④不成立．由不等式的性质可推出②成立．答案：②8．如果0<a <b <c <d <e ，S ＝a b ＋c d ＋1e，则把变量________的值增加1会使S 的值增加最大(填入a ，b ，c ，d ，e 中的某个字母)．解析：显然变量a 或c 的值增加1会使S 的值增加，∵0<a <b <c <d <e ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋c d ＋1e －⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1d ＋1e ＝1b －1d ＝d －b bd >0，∴a ＋1b ＋c d ＋1e >a b ＋c ＋1d ＋1e，即当变量a 的值增加1会使S 的值增加最大．答案：a9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e a －c 2>eb －d 2. 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.∴(a －c )2>(b －d )2>0.∴0<1 a －c 2<1 b －d 2. 又∵e <0，∴e a －c 2>eb －d 2. 10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．B 组 高考题型专练1．(2013·高考天津卷)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(a －b )·a 2<0，则必有a －b <0，即a <b ；而a <b 时，不能推出(a －b )·a 2<0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分而不必要条件．2．(2012·高考湖南卷)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0， ∴c a >c b，故①正确．当c <0时，y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函，又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确．∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．答案：D3．(2014·高考山东卷)已知实x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析：根据指函的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．4．(2014·高考四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c 解析：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确．答案：D。

考点规范练2 不等关系及简单不等式的解法一、基础巩固1.已知a>b,c>d,且c,d都不为0,则下列不等式成立的是()A.ad>bcB.ac>bdC.a-c>b-dD.a+c>b+d2.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是()A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4}D.{a|0≤a≤4}3.若关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)4.若<0,则在下列不等式:①;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2中,正确的有()A.①④B.②③C.①③D.②④5.已知α∈0,β∈0,则2α-的取值范围是()A.0B.-C.(0,π)D.-6.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-<x<},则()A.A∩B=⌀B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B<0的解集为()7.不等式--A.{x|1<x<2}B.{x|x<2,且x≠1}C.{x|-1<x<2,且x≠1}D.{x|x<-1或1<x<2}8.若对任意x∈R,关于x的不等式mx2+2mx-4<2x2+4x恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,2]B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪[2,+∞)D.(-∞,2]9.若不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为()10.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是.11.已知关于x的不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a2+b2-2b的取值范围是.12.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则k的取值范围是.二、能力提升13.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B.若关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于()A.-3B.1C.-1D.314.已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是R,则实数a的取值范围是()A.-∞ -∪(1,+∞)B.-C.-D.-15.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.若要保证每天所赚的利润在320元以上,则销售价每件应定为()A.12元B.16元C.12元到16元之间D.10元到14元之间16.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是.17.若对一切x∈(0,2],不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0恒成立,则a的取值范围是.三、高考预测18.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是()A.-1<b<0B.b>2C.b<-1或b>2D.不能确定考点规范练2不等关系及简单不等式的解法1.D解析由不等式的同向可加性得a+c>b+d.2.D解析当a=0时,满足条件.当a≠0时,由集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,可知0-40得0<a≤4.综上,可知0≤a≤4.3.C解析关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),即不等式ax<b的解集是(1,+∞),所以a=b<0, 所以不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)<0,解得-1<x<3.故所求解集是(-1,3).4.C解析因为<0,a<0,b<0,则a+b<0,ab>0,所以,故①正确;令a=-1,b=-2,则|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln4>0,所以④错误;因为ab>0,b<a<0,又->-,所以a->b-,故③正确.综上所述,①③正确,故选C.5.D解析由题意得0<2α<π 0≤,∴-≤-≤0∴-<2α-<π.6.B解析∵x2-2x=x(x-2)>0,∴x<0或x>2.∴集合A与B在数轴上可表示为:由数轴可以看出A∪B=R,故选B.7.D解析因为不等式--<0等价于(x+1)(x-1)(x-2)<0,所以该不等式的解集是{x|x<-1或1<x<2}.故选D.8.A解析原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0在x∈R上恒成立,①当m=2时,对任意x∈R,不等式都成立;②当m≠2时,由关于x的不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0在x∈R上恒成立,可知-04--0解得-2<m<2.综上①②,得m∈(-2,2].9.B解析(方法一)由根与系数的关系,知=-2+1,-=-2,解得a=-1,c=-2.所以f(x)=-x2-x+2.所以f(-x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),它的图象开口向下,与x轴的交点为(-1,0),(2,0),故选B. (方法二)由题意可画出函数f(x)的大致图象,如图.又因为y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称,所以y=f(-x)的图象如图.10.(-∞,-1)解析∵ab2>a>ab,∴a≠0.当a>0时,有b2>1>b,即解得b<-1;当a<0时,有b2<1<b,即无解.综上可得b<-1.故b的取值范围是(-∞,-1).11.-4 ∞解析∵关于x的不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,∴a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤0.∴b2≤4a2.∴a2+b2-2b≥4+b2-2b=4-44≥-4.∴a2+b2-2b的取值范围是-4 ∞.12.(-∞,1)解析函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k图象的对称轴方程为x=--44.①当4<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k不存在.②当- ≤4≤ 即 ≤k≤ 时,f(x)的值恒大于零等价于f44-44+4-2k>0,即k2<0,故k不存在.③当4>1,即k<2时,f(x)的值恒大于零等价于f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.13.A解析由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A∩B={x|-1<x<2}.由根与系数的关系可知a=-1,b=-2,所以a+b=-3.14.D解析当a=1时,满足题意;当a=-1时,不满足题意;当a≠±1时,由关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,可知-0-4-0解得-<a<1.综上,-<a≤ .15.C解析设销售价定为每件x元,利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)].依题意有(x-8)[100-10(x-10)]>320,即x2-28x+192<0,解得12<x<16.所以每件销售价应定为12元到16元之间.16.(-∞,-2)解析关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max.令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)<g(4)=-2,∴a<-2.17.-∞ ∞解析∵x∈(0,2],∴a2-a≥.要使a2-a≥在x∈(0,2]时恒成立,则a2-a≥.∵x>0,∴由基本不等式得x+≥当且仅当x=1时,等号成立,即,故a2-a≥,解得a≤或a≥.18.C解析由f(1-x)=f(1+x),知f(x)的图象的对称轴为直线x=1, 即=1,故a=2.又可知f(x)在[-1,1]上为增函数,故当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2.当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立等价于b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.。

课时规范练2 不等关系及简单不等式的解法一、基础巩固组1.(2017安徽合肥模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是()A.若a>b,则|a|>|b|B.若a>b,则C.若|a|>b,则a2>b2D.若a>|b|,则a2>b22.(2017山东潍坊模拟,理4)函数f(x)=的定义域是()A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,3)3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是()A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4}D.{a|0≤a≤4}4.(2017贵州贵阳测试)下列命题正确的是()A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac>bc,则a>bC.若,则a<bD.若a>b,c>d,则a-c>b-d5.(2017重庆一中调研,理4)若a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是()A.a>b2B.C.D.a2>2b6.不等式<0的解集为()A.{x|1<x<2}B.{x|x<2,且x≠1}C.{x|-1<x<2,且x≠1}D.{x|x<-1或1<x<2}7.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意x都成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,2]B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪[2,+∞)D.(-∞,2]8.(2017陕西西安模拟)已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是.9.已知关于x的不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a2+b2-2b的取值范围是.10.已知a∈R,关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0的解集有下列四种说法:①原不等式的解集不可能为⌀;②若a=0,则原不等式的解集为(2,+∞);③若a<-,则原不等式的解集为;④若a>0,则原不等式的解集为∪(2,+∞).其中正确的个数为.〚导学号21500701〛11.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则k的取值范围是.二、综合提升组12.(2017吉林长春模拟)若<0,则在下列不等式:①;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2中,正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④13.若关于x的不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为()14.(2017河南郑州月考)已知实数x,y满足0<xy<4,且0<2x+2y<4+xy,则x,y的取值范围是()A.x>2,且y>2B.x<2,且y<2C.0<x<2,且0<y<2D.x>2,且0<y<215.(2017江西九江模拟)若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是.三、创新应用组16.(2017辽宁大连模拟)已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)<0的解集是()A.B.C.D.〚导学号21500702〛17.(2017湖北襄阳高三1月调研,理14)已知f(x)=若对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则t的取值范围是.课时规范练2不等关系及简单不等式的解法1.D当a=1,b=-2时,A不正确,B不正确,C不正确;对于D,a>|b|≥0,则a2>b2,故选D.2.D由题意知解得故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).3.D由题意知当a=0时,满足条件.当a≠0时,由集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,可知得0<a≤4.综上,可知0≤a≤4.4.C取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当c<0时,ac>bc⇒a<b,∴B错误;,∴c≠0,又c2>0,∴a<b,C正确;取a=c=2,b=d=1,可知D错误.5.A对于A,∵-1<b<1,∴0≤b2<1.∵a>1,∴a>b2,故A正确;对于B,若a=2,b=,此时满足a>1>b>-1,但,故B错误;对于C,若a=2,b=-,此时满足a>1>b>-1,但,故C错误;对于D,若a=,b=,此时满足a>1>b>-1,但a2<2b,故D错误.6.D因为不等式<0等价于(x+1)·(x-1)(x-2)<0,所以该不等式的解集是{x|x<-1或1<x<2}.故选D.7.A原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0,当m=2时,对任意x不等式都成立;当m-2<0时,Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0,∴-2<m<2.综上,得m∈(-2,2].8.(-∞,-1)∵ab2>a>ab,∴a≠0.当a>0时,有b2>1>b,即解得b<-1;当a<0时,有b2<1<b,即无解.综上可得b<-1.9∵不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,∴a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤0.∴b2≤4a2.∴a2+b2-2b+b2-2b=-∴a2+b2-2b的取值范围是10.3原不等式等价于(ax+1)(x-2)>0.当a=0时,不等式化为x-2>0,得x>2.当a≠0时,方程(ax+1)(x-2)=0的两根分别是2和-,若a<-,解不等式得-<x<2;若a=-,不等式的解集为⌀;若-<a<0,解不等式得2<x<-;若a>0,解不等式得x<-或x>2.故①不正确,②③④正确.11.(-∞,1)函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的图象的对称轴方程为x=-当<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k 不存在;当-11,即2≤k≤6时,f(x)的值恒大于零等价于f+4-2k>0,即k2<0,故k不存在;当>1,即k<2时,f(x)的值恒大于零等价于f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.12.C因为<0,故可取a=-1,b=-2.因为|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.综上所述,②④错误,故选C.13.B(方法一)由根与系数的关系知=-2+1,-=-2,解得a=-1,c=-2.所以f(x)=-x2-x+2.所以f(-x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),图象开口向下,与x轴的交点为(-1,0),(2,0),故选B.(方法二)由题意可画出函数f(x)的大致图象,如图.又因为y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称,所以y=f(-x)的图象如图.14.C由题意得由2x+2y-4-xy=(x-2)(2-y)<0,得又xy<4,可得故选C.15.(-∞,-2)不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max.令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)<g(4)=-2,∴a<-2.16.A由f(x)>0的解集为(-1,3),易知f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞),故由f(-2x)<0得-2x<-1或-2x>3,∴x>或x<-17.[,+∞)(方法一)∵对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,∴f(t+t)=f(2t)≥2f(t).当t<0时,f(2t)=-4t2≥2f(t)=-2t2,这不可能,故t≥0.∵当x∈[t,t+2]时,有x+t≥2t≥0,x≥t≥0,∴当x∈[t,t+2]时,不等式f(x+t)≥2f(x),即(x+t)2≥2x2,∴x+t x,∴t≥(-1)x对于x∈[t,t+2]恒成立.∴t≥(-1)(t+2),解得t(方法二)当x<0时,f(x)=-x2单调递增,当x≥0时,f(x)=x2单调递增,∴f(x)=在R上单调递增,且满足2f(x)=f(x),∵不等式f(x+t)≥2f(x)=f(x)在[t,t+2]恒成立,∴x+t x在[t,t+2]上恒成立,即t≥(-1)x在x∈[t,t+2]恒成立,∴t≥(-1)(t+2),解得t,故答案为[,+∞).。