2019-2020学年安徽省宣城市高一下学期期末考试 数学(理科)

2019-2020学年安徽省宣城市高一下学期期末数学（理）试题一、单选题1．关于x 的不等式2(1)10(0)ax a x a -++><的解集为（ ）A ．11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ B ．11 x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭∣或 C ．1xx x 1a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭∣或 D ．11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】A【解析】不等式转化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，再根据两个根的大小关系，解不等式. 【详解】由2(1)10(0)ax a x a -++><，即()()()111010x ax x x a ⎛⎫-->⇔--< ⎪⎝⎭不等式对应方程的两个根11a <，所以不等式的解集是11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣. 故选：A ． 【点睛】本题考查含参不等式的解法，重点考查计算能力，属于基础题型，本题的易错点是当0a <时，两边同时除以a 时，不要忽略变号.2．已知()1sin 30cos 3αα︒+=+，则()sin 230α+︒=（ ）A ．79-B ．79C D ．【答案】B【解析】根据条件展开化简得到()1sin 303α-︒=，再利用角的变换，得到()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒，再利用二倍角公式化简求值.【详解】由()1sin 30cos 3αα︒+=+，得11cos cos 223ααα+=+，化简得()1sin 303α-︒=； ()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒ ()21712sin 301299α=--︒=-⨯=故选:B ． 【点睛】本题考查三角恒等变换，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.3．在正三棱柱111ABC A B C -中，M 为侧面11ABB A 的中心，N 为侧面11ACC A 的中心，P 为BC 的中点，则直线MN 与直线AP 所成的角为（ ） A ．0︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【解析】由题意画出图形，可得MN BC ，再由⊥AP BC ，得到AP MN ⊥，则答案可求. 【详解】 如图，∵M 为侧面11ABB A 的中心，N 为侧面11ACC A 的中心， ∴MNBC ，P 为BC 的中点，连接AP ，则⊥AP BC .∴AP MN ⊥，即直线MN 与直线AP 所成的角为90︒. 故选：D. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2 B ．3C ．269D ．259【答案】C【解析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.5．人体满足黄金分割比的人体是最美人体，0．618是黄金分割比m =的近似值，黄金分割比还可以表示为2cos72︒（ ）A ．4B 1C ．2D 1【答案】C【解析】根据2cos72m ︒=，结合三角函数的基本关系式，诱导公式和余弦的倍角公式，准确运算，即可求解. 【详解】根据题意，可得2cos72m ︒=， 则22cos722sin1442cos 271cos54cos54︒==︒-︒︒()2sin 90542cos542cos54cos54︒+︒︒===︒︒.故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式，诱导公式和余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（ ）A ．93+B ．83+C ．10D ．123+【答案】D【解析】根据三视图得出空间几何体的直观图，结合三角形、矩形和梯形的面积公式，即可求解. 【详解】由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体，如图所示， 则111111+ABCPC B CBC B ABB P ACC P S SS S S S=+++矩形梯形梯形3114222(21)2512422=⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯-⨯312=+． 故选：D ．【点睛】本题考查了几何体的三视图及表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解． 7．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =，1a cc a+=+，则B = （ ） A ．56π B ．6π C ．3π D ．2π 【答案】B【解析】根据正弦定理，边角互化可得2b ac =，再根据2221a c a c b c a ac+-+-=，利用余弦定理求角. 【详解】∵2sin sin sin B A C =，∴21b ac=，∴2221a c a c b c a ac+-+-==∴cos 2B =，又()0,πB ∈∴6B π=．故选:B ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解不等式，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.8．已知m ，0n >，4121m n+=+，则m n +的最小值为（ ） A ．72B ．7C ．8D ．4【答案】A【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 【详解】 ∵m ，0n >，4121m n+=+，∴()()4111411911554122122n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫++=+++⨯=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当411n m m n +=+且4121m n+=+，即2m =，32n =时取等号， 故m n +的最小值72. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了均值不等式求最值，“1”的变形使用，属于中档题.9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若tan C =cos A =，b =ABC 的面积为（ ）A ．BCD 【答案】B【解析】结合同角三角函数的基本关系可求出sin 4C =，cos 4C =，sin 8A =sin B ，结合正弦定理即可求出a ，进而可求出三角形的面积. 【详解】因为sin tan cos C C C ==22sin cos 1C C +=，解得sin C =，cos C =，又cos A =，所以sin A ==，故sin sin[()]sin()sin cos cos sin 8B AC A C A C A C π=-+=+=+=．因为sin sin a b A B=，b =，故sin 2sin b A a B ==，故11sin 2224ABC S ab C =⨯=⨯⨯=△． 故选:B ．本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦定理，考查了三角形的面积公式，属于中档题.10．已知数列{}n a 满足：11a =，()()2212121n n n a n a ++=-（*n ∈N ）.正项数列{}n c 满足：对于每个*n ∈N ，21n n c a -=，且21n c -，2n c ，21n c +成等比数列，则21n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ） A ．1nn + B ．221nn + C ．21nn + D ．21nn - 【答案】C【解析】运用数列的累乘法求得()221n a n =-，再由等比数列的中项性质可得2241n c n =-，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和.【详解】()()2212121n n n a n a ++=-（*n ∈N ）， 可得212121n n a n a n ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭，由11a =，可得321121n n n a a a a a a a a -=⋅⋅⋯ ()222235211211323n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 可得()22121n n c a n -==-， 由21n c -，2n c ，21n c +成等比数列，可得()()()2222222121212141n n n c c c n n n --==+=⋅-⋅-，可得2241n c n =-，则22,1,n n n c n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，所以()222111111111121412335212121n n n ⎛⎫+++=-+-++- ⎪---+⎝⎭- 11122121n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，等比数列，累乘法，数列求和，属于中档题. 11．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC 边上的中线BD =ABC 的周长为（ ） A ．15 B ．14C ．16D ．12【答案】A【解析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果. 【详解】由a ，b ，c 成等差数列可知，2b a c =+， 因为2C A =，所以sin sin 22sin cos C A A A ==，由正弦定理及余弦定理可得，22222b c a c a bc+-=⋅，所以2223bc ab ac a =+-， 所以32c a =，54b a =，若AC 边上的中线BD =所以2225379242a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解可得4a =，5b =，6c =， 故△ABC 的周长为15. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.12．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，AD BP ⊥，PA AC =，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为8π，则三棱锥P ACD -体积的最大值为（ ）A ．23B ．12C ．34D ．24【答案】A【解析】设AB a ，BC b =，由三棱锥P ABC -外接球的表面积为8π，可得出224a b +=.根据等体积法得()22432P ABC D A AB P CDC V abV V a b ----+==，利用基本不等式可求得三棱锥P ACD -体积的最大值. 【详解】设AB a ，BC b =，由三棱锥P ABC -外接球的表面积为8π，得外接球的半径2R =又PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，所以()2222222228AB BC AP AC AP AP R ++=+===，所以2AP =，所以224a b +=.因为PA ⊥平面ABC ，AD PB ⊥，所以24PB a =+224BD a=+，过D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面ABC ，所以//DE PA ，所以DE BD PA BP =，所以2224a DE a =+，所以 ()()()222221124423643432P ABC D ABCACD P ACD a ab abV V S PA DE ab V a a a b ---⎛⎫-=-=-== ⎪++⎝=+⎭△4223623a b b a =≤=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b b a =，即23a =26b =时，“=”成立，所以三棱锥P ACD -2. 故选：A.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关计算，等体积法的运用，属于较难题.二、填空题13．若圆台的母线与高的夹角为3π，且上下底面半径之差为4，则该圆台的高为________． 43【解析】设上、下底面半径分别为R 、r ，圆台高为h ，化简tan 3R r h π-=即得解. 【详解】设上、下底面半径分别为R 、r ，圆台高为h ， 根据轴截面可知tan 3R r h π-=，即43h= 所以43h =43【点睛】本题主要考查圆台的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，422n n n S S S +++=（*n ∈N ），且12S =，则20202021a a +=______.【答案】4或0【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，化简已知得()22121n n n n q a a a a +++++=+，再分类讨论即得解.【详解】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可直接求解. 由422n n n S S S +++=可得422n n n n S S S S +++-=-， 即4312n n n n a a a a +++++=+， ∴()22121n n n n qa a a a +++++=+，若210n n a a +++=则1q =-，此时()121n n a -=⋅-，若210n n a a +++≠，则1q =，此时2n a =， 故202020210a a +=或202020214a a +=. 故答案为：4或0 【点睛】本题主要考查等比数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．已知()2*2020,n a n tn n N t R =-+∈∈，若数列{}n a 中最小项为第3项，则t ∈________．【答案】(5,7)【解析】结合二次函数的图像和性质即可知57222t <<，从而可求出t 的取值范围. 【详解】因为()22020f x x tx =-+开口向上，对称轴为2tx =，则由题意知57222t <<， 所以(5,7)t ∈． 故答案为: (5,7). 【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了已知数列最小项求参数的取值范围，属于基础题.16．在ABC 中，cos cos A B +=，AB =sin sin A B +取最大值时，ABC 的外接圆半径为________．【答案】2【解析】设sin sin A B t +=与cos cos A B +=两边平方后相加，可得2322cos()A B t +=+-，即21cos()2t A B +-=，可知A B =时，sin sin =+t A B 最大，可得角C ，再利用正弦定理即可求解. 【详解】设sin sin A B t +=，则()2222sin sin sin sin 2sin sin t A B A B A B =+=++， 又因为()2223cos cos cos cos 2cos cos A B A B A B =+=++，所以222223sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos t A A B B A A B B +=+++++22cos()B A =+-，所以21cos()2t A B +-=，所以当A B =时，max 1=t ，23C π∠=，此时ABC 2=． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了正弦定理、二倍角公式、三角函数的性质、同角三角函数基本关系，属于中档题.三、解答题17．已知在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，ADE 为正三角形，1CE =，ACD △ （1）求CD 的长； （2）若12BAC π∠=，求ABC 的面积.【答案】（1）CD =（2）94-. 【解析】（1）直接利用三角形的面积公式和余弦定理的应用求出结果. （2）利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果. 【详解】解：（1）根据题意，如图所示：平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，ADE 为正三角形，1CE =，ACD △33设AD x =， 则()1331sin 6022ACD S x x =⋅⋅+⋅︒=△，解得2x =或3-（负值舍去）， 故2AD =.利用余弦定理：2222212cos120122122CD CE DE CE DE =+-⋅⋅⋅︒=++⨯⨯⨯， 解得7CD =（2）在BAD 中，33124ABD πππππ∠=---=，利用正弦定理sin sin AD AB ABD ADB =∠∠，解得232AB =. 所以1239333sin 2122ABC S π-=⨯=△. 【点睛】本题考查三角形的面积公式和正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题. 18．已知函数26()sin cos 4343f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求函数()f x 在区间3,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值； （2）若4cos 5θ=-，3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）最大值为42-；（2）100. 【解析】(1)由辅助角公式对函数解析式进行化简，求出23x π-的取值范围，从而可求出函数的最值.(2)结合同角三角函数的基本关系可求出sin θ，结合二倍角公式可求出sin 2θ，cos2θ，由两角差的正弦公式即可求出23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】 解：()4343f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin cos 22323x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦223x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．因为3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以25,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以2sin 3x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以23x π⎡⎛⎫-∈⎢⎪⎝⎭⎣⎦，故函数()f x 在区间3,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4（2）因为4cos 5θ=-，3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5θ==-，所以24sin 22sin cos 25θθθ==，227cos 2cos sin 25θθθ=-=，所以22sin 22323323f ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 2222θθ⎫=--⎪⎝⎭247425425100=-+=． 【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数最值的求解，考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了两角差了正弦公式，属于中档题.19．如图，在三棱锥D ABC -中，已知BCD ∆是正三角形，平面BCD ⊥平面ABC ，AB BC =，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且3AF FC =.（1）求证：AC ⊥平面DEF ；（2）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使//MN 平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，38CN CA =. 【解析】（1）取AC 中点H ，由三角形中位线和已知长度关系可知EH EC =且F 为CH 中点，三线合一得到EF AC ⊥；由面面垂直性质可得DE ⊥平面ABC ，由线面垂直性质知DE AC ⊥；由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）假设存在满足题意的点N ，由线面平行的性质可知//MN FO ；根据重心的性质可得到比例关系23CF CN =，即38CN AC =，从而可说明存在点N . 【详解】（1）取AC 中点H ，连接EH,E H 分别为,BC AC 中点 12EH AB ∴=又12EC BC =，AB BC = EH EC ∴= 3AF FC = 1142FC AC CH ∴==，即F 为CH 中点 EF AC ∴⊥BCD ∆为等边三角形，E 为BC 中点 DE BC ∴⊥ 平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC平面BCD BC = DE ∴⊥平面ABCAC ⊂平面ABC DE AC ∴⊥ ,DE EF ⊂平面DEF ，DEEF E = AC ∴⊥平面DEF（2）假设AC 上存在点N ，使得//MN 平面DEF连接CM ，交DE 于点O ，连接FO//MN 平面DEF ，MN ⊂平面CMN ，平面CMN 平面DEF FO =//MN FO ∴,CM DE 为等边BCD ∆的两条中线 O ∴为BCD ∆的重心 23CO CM ∴=23CF CN ∴=，即1243AC CN = 38CN AC ∴=∴存在点N ，满足38CN AC =时，//MN 平面DEF【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、存在性问题的求解，涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质定理、线面平行的性质定理的应用；解决本题中的线面平行的存在性问题的关键是能够假定存在后，利用线面平行的性质确定平面内与所证直线平行的直线，进而确定比例关系.20．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足90万箱时，21()402p x x x =+；当产量不小于90万箱时，8100()1012180p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【答案】（1）2160200,090281001980,90x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）90万箱.【解析】（1）根据当产量不足90万箱时，21()402p x x x =+；当产量不小于90万箱时，8100()1012180 p x xx=+-，分090x<<和90x≥两种情况，利用销售收入减固定成本再减另投入成本，建立分段函数模型.（2）当090x<<时，利用二次函数的性质求得最大值；当90x≥时，利用基本不等式求得最大值，然后从中取最大的即可.【详解】（1）当090x<<时，2211100402006020022y x x x x x⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭；当90x≥时，8100810010010121802001980y x x xx x⎛⎫⎛⎫=-+--=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2160200,090281001980,90x x xyx xx⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥⎪⎪⎝⎭⎩，（2）当090x<<时，221160200(60)160022y x x x=-+-=--+，∴当60x=时，y取最大值，最大值为1600万元；当90x≥时，810081001980198021800y x xx x⎛⎫=-+≤-⋅=⎪⎝⎭，当且仅当8100xx=，即90x=时，y取得最大值，最大值为1800万元．综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元．【点睛】本题主要考查函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．如图，四棱锥P ABCD-中，PA⊥底面ABCD，//AD BC，3AB AD AC===，4PA BC，M为线段AD上一点，2AM MD=，N为PC的中点.（1）证明：//MN 平面PAB ； （2）求点A 到平面PMN 的距离；（3）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2（3 【解析】（1）取PB 中点G ，连接,AG NG ，根据已知条件，可证四边形AMNG 为平行四边形，即可得证结论；（2）点A 到平面PMN 的距离，即为点A 到平面PCM 的距离，求出PCM ∆，ACM ∆的面积，P ACM A PCM V V --=等体积法，即可求出结论；（3）由（2）的结论，得出直线与平面所成的角，解直角三角形，即可求解. 【详解】（1）证明：取PB 中点G ，连接,AG NG ， ∵N 为PC 的中点，∴//NG BC ，且1N 22G BC ==， 又223AM AD ==，且//AD BC ， ∴//AM BC ，且12AM BC =， 则//NG AM ，且NG AM =，∴四边形AMNG 为平行四边形，∴//MN AG . 又∵AG ⊂平面PAB .MN ⊄平面PAB ， ∴//MN 平面PAB .（2）取BC 的中点H ，连接AH ，∵AB AC =，∴AH BC ⊥且AH =，∴四边形AHCM 是矩形， ∴CM AD ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CM ⊥，∴CM ⊥平面PAM 且CM AH ==， 过点A 作AF ⊥平面PMN 于F ， 则AF 即为点A 到平面PMN 的距离. ∵P ACM A PCM V V --=，∴1133ACM PCM S PA S AF ∆∆⋅=⋅，112422AF ⨯=⨯，∴5AF =.（3）连接,AN NF 由（2）知ANF ∠即为直线AN 与平面PMN 所成的角，在Rt PAC ∆中，4PA =，3AC =，∴5PC =， 又∵N 是PC 的中点， ∴1522AN PC ==， ∴85sin AF ANF AN ∠==， 所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到面距离，以及直线与平面所成的角，解题的关键是等体积法的应用，属于中档题.f22．已知等差数列{}n a 满足54a =，69218a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S 满足21n n S b =-.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若*n N ∀∈，1122(2)2n n a b a b a b n t +++-+恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1n a n =-，12n nb -=；（Ⅱ）[2,8].【解析】（Ⅰ）根据题设条件，列出方程组求得1,a d 的值，即可得到得出数列{}n a 的通项公式，再利用数列的递推关系，得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1(1)2n n n a b n -=-⨯，利用乘公比错位相减法，即可求解．【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为54a =，69218a a +=，可得114431818a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得101a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)1n a a n d n =+-=-，对于数列{}n b ，当1n =时，11121b S b ==-，解得11b =. 当2n ≥时，1121n n S b --=-，21n n S b =-， 两式相减，得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=， 所以{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n nb -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1(1)2n n n a b n -=-⨯.令1122n n n T a b a b a b =+++，当1n =时，10T =.当2n ≥时，12211222(2)2(1)2n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯，则23121222(2)2(1)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯.两式相减，得2312222(1)2n n n T n --=++++--⨯22(1)2(2)2212n n n n n -=--⨯=--⨯--， 得(2)22n n T n =-⋅+，而1n =时也符合该式，所以(2)22nn T n =-⋅+，故题中不等式可化为(2)2(2)nn n t -⨯≥-.（）， 当1n =时，不等式（）可化为2t -≥-，解得2t ≥； 当2n =时，不等式（）可化为00≥，此时t ∈R ； 当3n ≥时，不等式（）可化为2n t ≤，因为数列{}2n是递增数列，所以8t ≤，综上，实数t 的取值范围是[2,8]. 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.第 21 页共 21 页。

安徽省宣城七校2019-2020学年高一下学期联考理科数学试题一、单选题(★) 1. （）A．B．C．D．(★) 2. 关于 x的不等式的解集为（）A．B．C．D．(★) 3. 下列命题中，错误的命题为（）A．如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行B．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直C．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面D．过平面外一点，有且只有一条直线与该平面平行(★★) 4. 已知，，则下列各式正确的是（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知等差数列的通项公式为，则数列的前 n项和的最大值为（）A．158B．176C．135D．145(★★) 6. 在中，内角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，若，则的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定(★★) 7. 在前 n项和为的等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．(★★★) 8. 已知，，则（）A．B．C．D．(★★★) 9. 已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（）A．B．C．D．(★★★) 10. 如图，在六棱锥中，底面 ABCDEF为正六边形，，底面 ABCDEF， P为 OD的中点， Q为 OE的中点，下列说法正确的是（）A．的面积大于的面积B．直线AP与直线BQ互为异面直线C．平面OBC与平面OAF垂直D．直线OC与平面ABCDEF所成的角的正切值为(★★★)11. 已知，，，若的最小值为8，则正实数a的值为（）A．2B．C．3D．(★★★) 12. 如图，在体积为的四棱锥中，底面 ABCD为边长为2的正方形，为等边三角形，二面角为锐角，则四棱锥外接球的半径为（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13. 在中，内角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，，，，则中最长的边的边长为________.(★★) 14. 已知圆锥的侧面积为，高为4，则圆锥的底面半径为________.(★★★) 15. 已知锐角满足，则________.(★★★) 16. 已知数列是公比为的正项等比数列，，对于任意的，都存在，使得，则 q的值为________.三、解答题(★★★) 17. 已知.（1）解关于 x的不等式；（2）若时，恒成立求实数 a的取值范围.(★★★) 18. 在中，内角、、所对的边分别为、、，.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.(★★★) 19. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点，是边长为的等边三角形，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.(★★★) 20. 已知等差数列的前 n项和为，，且、、成等比数列. （1）求数列的通项公式；（2）若，令，若数列成等差数列，求正数 t的值.(★★★) 21. 在三棱锥中，，平面，为的中点，为的中点.（1）求证：；（2）若为的中点，请问线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请说明点 N的位置，并说明理由？若不存在，也请说明理由.(★★★) 22. 已知各项均为正数的数列的前 n项和为，，且.（1）求证：为常数列；（2）求数列的通项公式；（3）记，求数列的前 n项和.。

2019-2020学年安徽省宣城市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,7A =，集合{}1,2,4,6,7B =，则UA B ⋂=（ ）A ．{}2,3B ．{}3,5C ．{}3,4D ．{}2,7【答案】B【解析】根据交集、补集的定义计算可得. 【详解】 解:{}1,2,3,4,5,6,7,8U =,{}1,2,4,6,7B ={}U 3,5,8B =∴ {}2,3,5,7A = {}U3,5AB ∴=故选:B 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．已知(4,2)a =，b =（x ，6），且//a b ，则x = （ ） A ．12 B ．13 C ．14D ．15【答案】A【解析】根据向量平行有公式1221x y x y =，代入数据得到答案. 【详解】(4,2)a =，b =（x ，6），且//a b 则1221x y x y =即22412x x =⇒= 故答案选A 【点睛】本题考查了向量平行的计算，属于简单题.3．设函数()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】直接根据分段函数解析式计算可得. 【详解】 解：()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩ ()()233g 22log 1lo 31f ∴=-==()()()112122f f f e -∴===故选：C 【点睛】本题考查分段函数求函数值，考查指数以及对数的运算，属于基础题. 4．已知角α的终边过点()8,3p m --，4cos 5α=-，则m 的值为（ ） A ．12-B ．12C ．3-D ．32【答案】B【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m 的值． 【详解】解：由题意可得8x m =-，3y =-，2||649r OP m ==+，24cos 5649x r m α===-+， 解得12m =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．函数2||()24x x f x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数()f x 的奇偶性，可排除A 、B 选项，再根据()0,2x ∈时，()0f x <，()2,x ∈+∞时，()0f x >，可选出答案.【详解】由题意，函数2||()24x x f x =-的定义域为}{,2x x x ∈≠±R ，又()22||||()2424x x x x f x ---==--，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，可排除A 、B 选项；当()0,2x ∈时，2()024x x f x =<-；当()2,x ∈+∞时，2()024x x f x =>-，显然只有选项D 符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，常常利用函数的定义域、奇偶性、单调性及特殊值等方法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.6．设函数ln(1)y x =+与函数212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象交点坐标为00,x y ，则0x 所在的大致区间是（ ） A ．0,1 B ．1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】构造函数21()ln(1)2x f x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，判断函数()f x 的零点在哪个区间即可．【详解】解：根据题意，设21()ln(1)2x f x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()210ln1240f -⎛⎫=- ⎪=-⎭<⎝，()1ln 21ln 22210f -⎛⎫=- ⎪⎝=-<⎭()0ln 31ln 32120f ⎛⎫=- ⎪⎝=->⎭即()()120f f ⋅<∴函数()f x 存在零点()01,2x ∈，即函数ln(1)y x =+与函数212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭图象的交点横坐标0x 所在的区间为()1,2．故选：B ． 【点睛】本题考查了根据根的存在性定理判断函数零点的问题，属于基础题．7．设log a = 0.013b =， c =，则( ) A ．c a b << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】A【解析】试题分析：先和0比较，0.0122log log 10,30,lnln102a b c =>==>=<=得到c 最小；再与1比较0.01022log 21,33a b ===，得到b 最大．故选A ．【考点】指数函数、对数函数的单调性的应用，指数式、对数式比较大小． 8．已知()cos 70k -︒=，那么tan110︒=（ ）A ．B ．k-C ． D【答案】B【解析】首先根据同角三角函的基本关系求出()sin 70-︒与()tan 70-︒，再由诱导公式计算可得. 【详解】 解：()cos 70k -︒=()sin 70∴-︒==()()()2sin 701tan 70cos 70k k-︒∴---︒==-︒ ()()2tan110tan 18070ta 1n 70k k︒︒︒︒∴--=-==-故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题.9．在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+= A ．2 B ．2- C ．12 D ．12-【答案】D【解析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD ，BM ，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果. 【详解】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-， 因为M 是线段AD 的中点，所以：()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++， 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=，所以12λμ+=-.本题选择D 选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．10．若函数()21242f x x x =-+的定义域、值域都是[]2,2(1),b b >则（ ） A ．2b = B ．2b ≥C ．()1,2b ∈D ．()2,b ∈+∞【答案】A【解析】结合二次函数的性质，函数()21242f x x x =-+的对称轴为2x =， 结合题意和二次函数的性质可得：()22f b b =，即：()21222422b b b ⨯-⨯+=，整理可得：2320b b -+=， 解方程有：2b =或1b =(舍去)， 综上可得2b =. 本题选择A 选项.11．函数()y f x =，将其图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后再将它的图形沿x 轴向左平移2π个单位，得到函数1sin 2y x =的图象，则函数()y f x =的解析式是（ ）A ．1()cos 22xf x =-B ．1()cos 22x f x =C ．1()cos 22f x x =- D ．1()cos 22f x x =【答案】C【解析】此类题的做法一般是通过反变求出原来函数的解析式，由题意可由曲线与1sin 2y x =的图形沿x 轴向右平移2π个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到()y f x =的解析式，选出正确选项 【详解】解：由题意曲线与1sin 2y x =的图象沿x 轴向右平移2π个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到()y f x =的图形，故1sin 2y x =的图形沿x 轴向右平移2π个单位所得图形对应的函数解析式为1sin()22y x π=-，然后再将所得的曲线上的点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的一半，所得的图形对应的解析式为11sin 2cos 2222y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故选：C ． 【点睛】本题考查有函数的图象平移确定函数的解析式，本题解题的关键是对于变量x 的系数不是1的情况，平移时要注意平移的大小是针对于x 系数是1来说的，属于中档题． 12．黎曼函数（Riemannfunction ）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出.黎曼函数定义在区间0,1上，其基本定义是：[]1,,,()0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数只是不可以再约分的真分数当或者上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()(2)0f x f x +-=，当[]01x ∈，时，()()f x R x =，则103310f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．730-B ．27-C ．1330D ．1330-【答案】A【解析】由题意可知，(2)()()f x f x f x -=-=-，从而可求得函数的周期，然后结合已知区间上的函数解析式可求． 【详解】解：由题意可知，(2)()()f x f x f x -=-=-， 故(2)()f x f x +=即函数()f x 的周期2T =， 当[0.1]x ∈时，()()f x R x =， 则103232122310310310f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+⨯+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2111731031030f ⎛⎫=-+=-+=- ⎪⎝⎭．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用分段函数求解函数值，解题的关键是把所要求解函数的变量利用周期转化到已知区间上，属于中档题．二、填空题 13．函数()f x =的定义域为____________.【答案】()(]1,00,2-【解析】由对数式的真数大于0，二次根式的被开方数大于等于0，分母不为零，联立不等式组求解x 的取值集合得答案． 【详解】解：()ln(1)f x x =+()2010ln 10x x x ⎧-≥⎪∴+>⎨⎪+≠⎩解得12x -<≤且0x ≠，即()(]1,00,2x ∈-故答案为：()(]1,00,2-【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，属于基础题．14．已知向量,a b 是平面的一组基底，若2p a b =+，则p 在基底,a b 下的坐标为1,2，那么p 在基底,a b a b +-下的坐标为_____________.【答案】31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】设()()b p a a b λμ++-=，再根据2p a b =+得到方程组，解得. 【详解】解：设()()b p a a b λμ++-=，2p a b =+12λμλμ+=⎧∴⎨-=⎩解得3212λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故()()3122b p a a b +-=-，则p 在基底,a b a b +-下的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：31,22⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】本题考查向量的基底表示，向量相等的充要条件，属于基础题. 15．已知α为第三象限角且tan 3α=______________.【答案】【解析】根据同角三角函数的基本关系求出sin α，cos α，再用二倍角公式及平方关系化简求值. 【详解】 解：tan 3α=且α为第三象限角22sin tan 3cos sin cos 1ααααα⎧==⎪∴⎨⎪+=⎩解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩==sin cos sin cos 2222sincossincos2222αααααααα+-=+-+ 22sin cossincos2222sincossincos2222αααααααα++-=-+221sin 1sin sin cos 22αααα++-=-1sin 1sin cos ααα++-=-2cos α=-==故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题. 16．函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为_______________. 【答案】6【解析】函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数，令()5sin 22g x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log ||h x x =，转化函数()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的交点个数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象即可解答. 【详解】 解：函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，即方程25sin log ||022x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭的解，令()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，()2log ||h x x = 也就是函数()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的交点，在同一平面直角坐标系中画出()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的图象如下所示，由图可知()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =有6个交点，即25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭有6个零点.故答案为：6 【点睛】本题考查函数的零点，体现了转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题.三、解答题17．（131log 423321(3)ln 83log 4e π-+-- （2）化简3sin sin()cos 22()cos()cos tan()2f παπαπααπαπααπ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫---+ ⎪⎝⎭ 【答案】（1）π；（2）cos α-【解析】（1）根据对数的运算性质及指数幂的运算性质计算可得； （2）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简可得. 【详解】解：（131log 423321(3)ln 83log 4e π-+-- ()1323233ln 24log 2e π-=-++--()33242π=-++---π=（2）3sin sin()cos 22()cos()cos tan()2f παπαπααπαπααπ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫---+ ⎪⎝⎭()cos sin sin ()cos sin tan f ααααααα--∴=-sin sin ()cos sin tan cos f ααααααα--∴===- 【点睛】本题考查指数对数的运算，诱导公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.18．已知函数()cos()0,0,||2f x A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域. 【答案】（1）()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）[]0,3. 【解析】（1）由图可知31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩即可求出,A b ，再根据函数的最小正周期求出ω，又函数过点,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入即可求出ϕ从而得到函数解析式；（2）由x 的取值范围求出23x π+的范围，再由余弦函数的性质解答.【详解】解：（1）由图可知31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A b =⎧⎨=⎩2362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 2T ππω∴==解得2ω=()2cos(2)1f x x ϕ∴=++又函数过点,36π⎛⎫-⎪⎝⎭3662cos 21f ππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=++= -⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎦-⎭⎣即cos 13πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2,3k k Z πϕπ∴-=∈解得2,3k k Z πϕπ∴=+∈ ||2πϕ<，3πϕ∴=，()2cos 213f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭（2）,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦22,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦1cos 2,132x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]()0,3f x ∴∈【点睛】本题考查根据函数图象求函数解析式及余弦函数的性质的应用，属于基础题.19．已知集合{}2|11A a m a m =-<<+，函数2()log f x x a =-在区间1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭内有解时，实数a 的取值范围记为集合B ． （1）若2m =，求集合B 及AB ；（2）若A B ，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()2,2B =-，()2,5AB =-；（2）(]1,1m ∈-【解析】（1）根据函数2()log f x x a =-在区间1,44⎛⎫⎪⎝⎭内有解时求出参数a 的取值范围即得到集合B ，当2m =时带入求出集合A ，再根据并集的定义计算； （2）可判断集合A 不为空集，再由集合的包含关系得到不等式组解得. 【详解】解：函数2()log f x x a =-在区间1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭内有解时，即2log a x =在区间1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭内有解，因为函数()2log g x x =在区间1,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且211log 244g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()24log 42g ==()()2,2g x ∴∈-则()2,2a ∈-即()2,2B =-（1）当2m =时，{}{}()2|11|151,5A a m a m a a =-<<+=<<=，()2,2B =-()2,5A B ∴=-（2）因为()22217112024m m m m m ⎛⎫+--=-+=-+> ⎪⎝⎭ 所以A ≠∅若A B ，21212m m ⎧+≤∴⎨-≥-⎩解得11m -≤≤当1m =-时，A B =不符题意，舍去 故(]1,1m ∈- 【点睛】本题考查集合的运算，根据集合的包含关系求参数的取值范围，一元二次不等式的解法，属于基础题.20．已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角是23π. （1）求2a b -；（2）当2a b +与ka b -的夹角为钝角时，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）223a b -=；（2）117,,22k ⎛⎫⎛⎫∈---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）首先求出a b ⋅，再根据()2222244a b a ba ab b -=-=-⋅+代入计算可得；（2）依题意可得()()20a b ka b +⋅-<且()()22a b ka b a b ka b +⋅-≠-+-，得到不等式解得； 【详解】（1）||1a =，||2b =，a 与b 的夹角是23π. 2cos ,12cos13b b b a a a π∴⋅=<>=⨯⨯=- ()2222224441a b a ba ab b ∴-=-=-⋅+=⨯=（2）2a b +与ka b -的夹角为钝角()()20a b ka b ∴+⋅-<且()()22a b ka b a b ka b +⋅-≠-+-即()222120ka k a b b +-⋅-<，即()21870k k k ---=--<解得7k >-()2222ka b ka ka b b k -=-⋅+=+7k ∴+≠12k ≠-综上可得117,,22k ⎛⎫⎛⎫∈---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查向量的数量积的计算，向量夹角求参数的取值范围，属于中档题.21．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年. （1）求森林面积的年增长率；（2 （3）为使森林面积至少达到6a 亩至少需要植树造林多少年？ （参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）【答案】（1）11021x =-；（2）5年；（3）至少还需要26年. 【解析】（1）设增长率为x ，依题意可得()1012a x a +=解得；（2）设已经植树造林n 年，则110121na ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得；（3）设至少还需要m 年，则1101216m a a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭解得.【详解】解：（1）设增长率为x ，依题意可得()1012a x a += 所以()1110101012x ⎡⎤+=⎣⎦即11012x +=，解得11021x =-（2）设已经植树造林n 年，则110121na ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即1110222n =解得5n =，故已经植树造林5年.（3）设至少还需要m 年，则1101216ma a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭即11026m ≥即2221log 6log 2log 310m ≥=+解得lg 3101025.8lg 2m ≥+≈故至少还需要26年 【点睛】本题考查指数型函数模型的应用，指数对数的运算，属于基础题.22．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足：()()3xf xg x +=.（1）求()f x ，()g x 并证明：22()()(2)f x g x f x +=；（2）当[]3log 2,1x ∈时，不等式2(2)2()10f x ag x ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）)a ⎡∈-+∞⎣【解析】（1）首先根据奇偶性构造方程组求出()f x 与()g x 的解析式，再计算可得；（2）由题意可得223333221022x x x x a --+-⋅+⋅+≥，令33x x t -=-，则230t at ++≥对38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，参变分离再利用基本不等式求出参数的取值范围.【详解】解：（1）因为偶函数()f x 和奇函数()g x 满足：()()3xf xg x +=①.则()()3xf xg x --+-=即()()3xf xg x --= ②①加②得()332x x f x -+=，从而可得()332x xg x --=222222333333222()()x x x x x x f x g x ---⎛⎫⎛⎫∴++=+ -+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭()223322x xf x -+=22()()(2)f x g x f x ∴+=（2）2(2)2()10f x ag x ++≥即223333221022x x x xa --+-⋅+⋅+≥令33x x t -=-，[]3log 2,1x ∈且函数33x x y -=-在定义域上单调递增，38,23t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()222233332x x x x t --=-=+-230t at ∴++≥对38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即3a t t ∴≥--对38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()3h t t t =--，38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则()33h t t t t t ⎛⎫=--=-+≤-=- ⎪⎝⎭3t t =即t =时取等号a ∴≥-即)a ⎡∈-+∞⎣ 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，不等式恒成立问题，基本不等式的应用，属于难题.。

宣城市2019~2020学年度第二学期高一期末调研测试数学（理科）2020．7考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．第Ⅰ卷毎小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区．．．．．域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本卷命题范围：人教版必修2第一、二章，必修4第三章和必修5（除线性规划）．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于x 的不等式2(1)10(0)ax a x a -++><的解集为（ ） A ．11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B ．11 x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或 C ．1 1x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 D ．11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．已知()1sin 30cos 3αα︒+=+，则()sin 230α+︒=（ ）A ．79-B ．79C D ．3．在正三棱柱111ABC A B C -中，M 为侧面11ABB A 的中心，N 为侧面11ACC A 的中心，P 为BC 的中点，则直线MN 与直线AP 所成的角为（ ）A ．0°B ．45°C ．60°D ．90° 4．数列{}n a 的前n 项和为()*(21)n S n n n =-∈N，若173a aka +=，则实数k 等于（ ）A ．2B ．3C ．269 D ．2595．人体满足黄金分割比的人体是最美人体，0.618是黄金分割比m =的近似值，黄金分割比还可以表示为2cos72︒=（ ） A ．4 B1 C ．2 D1 6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（ ）A．9+ B．8+ C ．10 D．12+7．已知ABC △中，角A ，BC 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin BC A =，1a c c a+=+．则B =（ ） A ．56π B ．16π C ．3π D ．2π8．已知m ，0n >，4121m n+=+，则m n +的最小值为（ ） A ．72B ．7C ．8D ．4 9．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．若tan C =cos 8A =，b =时，则ABC △的面积为（ ）A． BCD10．已知数列{}n a 满足：11a =，()22*1(21)(21)n n n a n a n ++=-∈N ．正项数列{}nc 满足：对于每个*n N ∈，21n n c a -=，且21n c -，2n c ，21n c +成等比数列，则21n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前几项和为（ ）A ．1n n + B ．221n n + C ．21n n + D ．121n -11．ABC △中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC 边上的中线2BD =，则ABC △的周长为（ ） A ．15 B ．14 C ．16 D ．1212．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，AD BP ⊥，PA AC =．若三棱锥P ABC -外接球表面积为8π，则三棱锥P ACD -体积的最大值为（ ）A ．4 B ．12C ．4D ．3 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若圆台的母线与高的夹角为3π，且上下底面半径之差为4，则该圆台的高为________． 14．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，()*422n n n S S S n N+++=∈，且12S=，则20202021a a +=________．15．已知()2*2020,n a n tn n N t R =-+∈∈，若数列{}n a 中最小项为第3项，则t ∈________．16．在ABC △中，cos cos A B +=AB =sin sin A B +取最大值时，ABC △的外接圆半径为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，ADE △为正三角形，1CE =，ACD △的面积（1）求CD 的长；（2）若12BAC π∠=，求ABC △的面积． 18．（本小题满分12分）已知函数()4343f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求函数()f x 在区间3,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值． （2）若4cos 5θ=-，3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥D ABC -中，已知BCD △是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB BC a ==，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且3AF FC =．（1）求证：AC ⊥平面DEF（2）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN ∥平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足90万箱时，21()402p x x x =+；当产量不小于90万箱时，8100()1012180p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 中点．（1）证明：MN ∥平面P AB ； （2）求点A 到平面PMN 的距离；（3）求直线AN 与平面PMN 所成角的正切值． 22．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足54a =，69218a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足21n n S b =-． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若任意*n N ∈，1122(2)2n n a b a b a b n t +++-+恒成立，求实数t 的取值范围．宣城市2019~2020学年度第二学期高一期未调研测试·数学（理科）参考答案、提示及评分细则1．A 由2(1)10(0)ax a x a -++><，得11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故选A ．2．B 由()1sin 30cos 3αα︒+=+，得11cos cos 223ααα+=+，化简得()1sin 303α-︒=()()()sin 230sin 26090cos 260ααα︒+=-︒+︒=-︒ ()21712sin 301299α=--︒=-⨯=，故选B ．3．D ∵MN BC ∥，AP BC ⊥，∴MN AP ⊥，故选D ．4．C ∵(21)n S n n =-，数列{}n a 是首项为1公差为4的等差数列，∴43n a n =-，∴1259k +=⨯，得269k =，故选C ． 5．C()2sin 90542sin1442cos542cos54cos54cos54︒+︒︒︒=====︒︒︒，故选C 6．D 由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得C 到的几何体．111111ABC CBC B p PC B ACC P ABB S S S S S S =++++=矩形△△梯形梯形114222(21)2212422+⨯+⨯⨯+⨯+=．故选D ． 7．B ∵2sin sin sin B A C =，∴21b ac =，∴2221a c a c b c a ac+-+-==∴cos B =，∴6B π=．故选B ． 8．A 由4121m n+=+知14117((1))1((1))14112122m nm n m n m n ⎛⎛⎫+=++-=+++-++-= ⎪ +⎝⎭⎝． 当且仅当2m =，2n=时等号成立，故选A ． 9．B因为sin tan cos C C C==，且22sin cos 1C C +=，解得sin 4C =，cos 4C =，又cos 8A =，所以sin 8A =，故sin sin[()]sin()8B A C A C π=-+=+=，因为sin sin a b A B=，b =2a =，故11sin 2224ABC S ab C =⨯=⨯⨯=△B ．10．C 由212(21)(21)n n a n a n ++=-和累乘法可以知道2(21)n a n =-，所以221(21)n n c a n -==-，又21n c -，2n c ，21n c +成等比数列，所以2241n c n =-，所以22,1,n n n c n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，所以22211111111112141(2)12335212121nn n n n ⎛⎫+++=-+-++-= ⎪----++⎝⎭．故选C ． 11．A 由a ，b ，c 成等差数列知2b a c =+，又2C A =，所以sin sin 22sin cos C A A A ==，所以2223bc ab ac a =+-，所以32c a =，54b a =．若AC 边上的中线为BD =，所以2225379242a a a ⎛⎫⎛⎫+=+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎛⎫⎪⎝（也可以用余弦定理列方程），所以4a =，5b =，6c =，所以ABC △的周长为15．故选A ．12．D 设AB a =，BC b =，由三棱锥P ABC -外接球的表面积为8π，得外接球的半径R =又PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，所以22222222(2)8AB BC AP AC AP AP R ++=+===，所以2AP =，所以224a b +=．因为PA ⊥平面ABC ，AD BP ⊥，所以PB =2BD =，过D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面ABC ，所以DE PA ∥，所以DE BD PA PB=，所以2224a DE a =+，∴22112()2364P ACD P ABC D ABCABC a V V V S PA DE ab a ---⎛⎫=-=-=- ⎪+⎝⎭△ ()()222444233432623ab ab a b a a b b a ====⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b b a=，即a =，b =等号成立，三棱锥P ACD -体积的最大值为2，故选D ． 13 设上、下底面半径分别为R 、r ，圆台高为h ，根据轴截面可知tan 3R r h π-=，即4h=以3h =． 14．0或 4 设等比数列{}n a 的公比为q ，由422n n n S S S +++=，得422n n n n S S S S +++-=-，即4321n n n n a a a a +++++=+，所以()22121n n n n q a a a a ++++⋅+=+，若210n n a a +++=，则1q =-，此时12(1)n n a -=⋅-；若210n n a a +++≠，则1q =，此时2n a =，所以202020210a a +=或者202020214a a +=．15．(5,7) 由题意和数列图象可以知道57222t <<，所以(5,7)t ∈． 16． 2 设sin sin A B t +=，所以222223sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos 22cos()t A A B B A A B B A B +=+++++=+-，所以21cos()2t A B +-=，所以当A B =时，max 1t =，23C π∠=，此时ABC △2=．17．解：（1）设AD x =，则1AC x =+，∵2ACD S =△，∴11sin (1)2222AD AC DAC x x ⋅⋅⋅∠=⋅⋅+⋅=．∴2x =或3x =-（舍），即2AD =； 2分在ACD △中，222221,2cos602322372CD AC AD AC AD =+-⋅⋅︒=+-⨯⨯⨯=，∴CD = 5分 （2）∵12BAC π∠=，23AEB π∠=，∴4ABE π∠=．在ABE △中，由正弦定理得sin sin AB AEAEB ABE=∠∠，AB = 7分∵sin sinsin 12464BAC πππ⎛⎫∠==-= ⎪⎝⎭8分∴119sin 3212244ABC S AB AC π-=⋅⋅⋅=⋅=△． 10分 18．解：1()sin 33233f x x x x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3分因为3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以25,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，2sin 32x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦4分所以22324x π⎡⎛⎫--∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，故函数()f x 在区间3,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦最小值为2-． 6分 （2）因为4cos 5θ=-，3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5θ=-，所以24sin 22sin cos 25θθθ==． 227cos 2cos sin 25θθθ=-=8分 所以22sin 2sin 2323323f ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1247sin 2cos 2222425425100θθ⎫=--=-+⨯=⎪⎪⎝⎭12分 19．解：（1）取AC 的中点H ，∵AB BC =，∴BH AC ⊥． ∵3AF FC =，∴F 为CH 的中点∵E 为BC 的中点，∴EF BH ∥．则EF AC ⊥ ∵BCD △是正三角形，∴DE BC ⊥． ∵AB ⊥平面BCD ，∴AB DE ⊥． ∵AB BC B =，∴DE ⊥平面AB C ．∴DE AC ⊥． 4分 ∵DEEF E =，∴AC ⊥平面DEF ． 6分（2）存在这样的点N ，当38CN CA =时，MN ∥平面DEF ．连CM ，设CM DE O =，连OF ．由条件知，O 为BCD △的重心，23CO CM =． ∴当23CF CN =时，MN OF ∥，∴313248CN CA CA =⨯=． 12分 20．解：（1）当090x <<时，2211100402006020022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭；当90x ≥时，8100810010010121802001980y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3分 ∴2160200,090281001980,90x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩5分（2）当090x <<时，221160200(60)160022y x x x =-+-=--+， ∴当60x =时，y 取最大值，最大值为1600万元； 8分 当90x ≥时，8100198019801800y x x ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭， 当且仅当8100x x=，即90x =时，y 取得最大值，最大值为1800万元． 11分 综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元． 12分 21．证明：（1）取PB 中点G ，连接AG ，NG ，∵N 为PC 的中点，∴NG BC ∥，且12NG BC =， 1分又∵223AM AD ==，4BC =，且AD BC ∥． ∴AM BC ∥，且12AM BC =，则NG AM ∥且NG AM =， 2分 ∴四边形AMNG 为平行四边形，∴MN AG ∥，又AG ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，∴MN ∥平面P A B ． 4分解：（2）取BC 的中点H ，连接AH ，∵AB AC =，∴AH BC ⊥且AH =，∴四边形AHCM 是矩形，∴CM AM ⊥， ∵PA CM ⊥，P A ，AM ⊂平面P AM ，PAAM A =，∴CM ⊥平面P AM ，且CM AH ==过点A 作AF ⊥平面PMN 于F ，则AF 即为点A 到平面PMN 的距离． 6分 ∴P ACM A PCM V V --=，∴1133ACM PCM S PA S AF ⋅=⋅△△， ∴点A 到平面PMN的距离AF =9分 （3）连接AN ，NF ，由（2）知ANF ∠即为直线AN 与平面PMN 所成的角，在Rt PAC △中，4PA =，3AC =，5PC =，又N 是PC 的中点，1522AN PC ==，10NF =，∴直线AN 与平面PMN 所成角的正切值为tan AF ANF NF ∠== 12分 22．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则114431818a d a d +=⎧⎨+=⎩解得101a d =⎧⎨=⎩．所以1(1)1n a a n d n =+-=-． 2分 对于数列{}n b ，当1n =时，11121b S b ==-，所以11b =． 当2n ≥时，由21n n S b =-，①可知1121n n S b --=-，②①-②得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=，故{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n b -=． （2）设1122n n n T a b a b a b =+++，由（1）知，当1n =时，10T =， 5分当2n ≥时，2211222(2)2(1)2n n n T n n --=⨯+⨯++-⋅+-⋅，③23121222(2)2(1)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅，④③-④得21222(1)2n n n T n --=+++--⋅ 6分∴22(1)2(2)2212nn n n T n n --=--⋅=--⋅--，∴(2)22n n T n =-⋅+， 当1n =时也符合该式，所以(2)22n n T n =-⋅+， 7分 故题中不等式可化为(2)2(2)nn n t -⋅-，(*) 8分当1n =时，不等式(*)可化为2t --，2t ， 9分 当2n =时，不等式(*)可化为00，此时t R ∈， 10分 当3n ≥时，不等式(*)可化为2nt ，因为数列{}2n是递增数列，所以8t ≤． 11分综上，实数t 的取值范围是[2,8]． 12分。

2019-2020学年安徽省宣城市职业高级中学高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆柱的一个底面积为，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（）A． B． C． D．参考答案：A略2. 已知幂函数f（x）=λ?xα的图象过点P(，)，则λ+α=（）A．2 B．1 C．D．参考答案：C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数定义求出λ=1，再由待定系数法求出α，由此能求出λ+α．【解答】解：∵幂函数f（x）=λ?xα的图象过点，∴，解得，∴λ+α=1+=．故选：C．3. 设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（﹣2），f（3），f（﹣π）的大小顺序是（）A．f（3）＞f（﹣2）＞f（﹣π）B．f（﹣π）＞f（﹣2）＞f（3）C．f（﹣2）＞f（3）＞f（﹣π）D．f（﹣π）＞f（3）＞f（﹣2）参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的单调性和奇偶性，求得f（﹣2），f（3），f（﹣π）的大小顺序．【解答】解：f（x）是R上的偶函数，则f（﹣2）=f（2），f（﹣π）=f（π），再根据f（x）在[0，+∞）上单调递增，可得f（2）＜f（3）＜f（π），即f（﹣2）＜f（3）＜f（﹣π），故选：D．4. 在△ABC中，则最短边的边长为（）A．B．C．D．参考答案：B略5. 已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是（）A．0＜m≤4B．0≤m≤1C．m≥4D．0≤m≤4参考答案：D【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的定义域是全体实数，得到mx2+mx+1≥0恒成立，即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）=的定义域是一切实数，则等价为mx2+mx+1≥0恒成立，若m=0，则不等式等价为1≥0，满足条件，若m≠0，则满足，即，解得0＜m≤4，综上0≤m≤4，故选：D6. 长方体ABCD- A1B1C1D1，AB=1，AD=2，AA1=3，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为A. B. C. D.参考答案：A【分析】由题，找出，故(或其补角)为异面直线与所成角，然后解出答案即可.【详解】如图，连接，由，(或其补角)为异面直线与所成角，由已知可得，则．．即异面直线与所成角的余弦值为．故选：A．【点睛】本题考查了异面直线的夹角问题，找平行线，找出夹角是解题的关键，属于较为基础题.7. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g （x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求出函数的解析式，利用坐标变换求解即可．【解答】解：由函数的图象可知：T=4×=π．ω==2．x=时，函数的最大值为：2．A=2，2=2sin（+φ），由函数的图象可得φ=．为了得到g（x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）=2sin[2（x+）]的图象向右平移个长度单位．故选：B．8. 三个数的大小关系为（）A. B.C. D.参考答案：A9. 设P，Q是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P⊙Q＝{x|x∈P∪Q，且如果Q＝{y|y＝4x，x＞0}，则P⊙Q＝()．A．[0,1]∪(4，＋∞) B．[0,1]∪(2，＋∞)C．[1,4] D．(4，＋∞)参考答案：C略10. 设是定义在 (-￥，+￥)上的偶函数,且它在[0，+￥)上单调递增,若,,，则的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点为内一点，满足；，，又，则_参考答案：略12. 在△ABC中，已知，，，则B=_______.参考答案：45°【分析】利用正弦定理直接求解即可.【详解】在中，由正弦定理可得，又，，，所以，即或，又因为，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，注意三角形中“大边对大角”的性质，属于基础题.13. 等差数列中，已知，则．参考答案：3．14. 设公比为的等比数列{}的前项和为，若，则＝________．参考答案：15. 已知实数a,b满足：，. 则下列四个结论中正确的结论的序号是______▲____.①点(a,b)在一条定直线上；②；③；④．参考答案：①④令，则，两方程相加可得，∵，∴，∴，故点在定直线上。

2019—2020学年度高一年级第二学期期末教学质量检测数学试卷（满分：150分考试时间：120分钟考试范围：必修三、必修五）温馨提示：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，鲍用23铅笔把对应的准考证号涂黑.2.选择题每小题选出答案后，用23铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案；不能答在试卷上.3.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）1.设ct>b , a , b , ccR则下列命题为真命题的是（）A. ac~ >bc~B. ?>1C. a-c>b-cD. >b1b2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球77 1T3.已知A4BC中，A = —, B = ~, a=i,则力等于（）6 4A. 2B. 1C. ^3D. 724.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（）1112A. 一B. 一C. —D.—6 2 3 35.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1, 2,…，1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A. 8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生6. A ABC 内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a =用,b = 2, A = 60°，则c=()A. ?B. 1C. 73D. 27.若关于x的不等式x2-3ax + 2> 0的解集为(-oo,l)o(m,+oo),则a + m等于( )A. -1B. 1C. 2D. 38.等差数列｛%｝的前n项和记为S n,若a2+a4+a l5的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是D. S l5A. S7B. $8C.§3Z218B 1009 c 2020 2019 ' 2019 ' 2021 10.在左ABC 中，内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c,已知（a+b —c ）（a+b+c ）=3ab,且c=4,则△ABC 面积的最大值为（）A . Q0 2^3D. ^3 11. 若正数x, y 满足x+3y=5xy,则3x+4y 的最小值是（）D. 612, 公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次 比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？ ”在上述问题中，第一人分得玉米（）810 _7101010 2021B.4右C史4■ 810-7")二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）13.一组数据：3, 4, 6, 7, 10,其方差14. A ABC的内角A, B,。

2019-2020学年安徽省宣城市六校高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知三个数4，x，16成等比数列，则x＝（）A．±8B．8C．±4D．42．和直线l都平行的直线a，b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．平行、相交或异面3．cos15°+sin15°的值等于（）A．B．C．D．4．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱AA1，BB1的中点，过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则（）A．MF∥NEB．四边形MNEF为梯形C．四边形MNEF为平行四边形D．A1B1∥NE5．在△ABC中角A、B、C所对的边是a、b、c，且a＝2b sin A，则角B＝（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．在正项等比数列{a n}中，若a6，3a5，a7依次成等差数列，则{a n}的公比为（）A．2B．C．3D．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，B＝，△ABC的面积等于2，则b的大小为（）A．2B．C．4D．9．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＜a n+1，n∈N*，a4•a14＝9，a8+a10＝10，则数列{a n}的公比为（）A．B．C．2D．310．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（）①平面PB1D⊥平面ACD1；②A1P∥平面ACD1；③异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是；④三棱锥D1﹣APC的体积不变．A．①②B．①②④C．③④D．①④11．已知等差数列{a n}中，前m项（m为偶数）和为126，其中偶数项之和为69，且a m﹣a1＝20，则数列{a n}公差为（）A．﹣4B．4C．6D．﹣612．已知球O是直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球，若AA1＝AC＝BC，BA＝BC＝1，则球O的体积为（）A．πB．πC．4πD．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省宣城市2019-2020学年高一下学期期末调研考试（理）试题考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将『答案』答在答题卡上．第Ⅰ卷毎小题选出『答案』后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的『答案』标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的．．．．．．．．．『答案』．．．．无效，在试题卷、草稿纸上．．．．．．．．．．．．作答无效．．．．． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本卷命题范围：人教版必修2第一、二章，必修4第三章和必修5（除线性规划）．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于x 的不等式2(1)10(0)ax a x a -++><的解集为（ ）A ．11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．11 x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或C ．1 1x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或D ．11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 2．已知()1sin 30cos 3αα︒+=+，则()sin 230α+︒=（ ）A ．79-B ．79C D ． 3．在正三棱柱111ABC A B C -中，M 为侧面11ABB A 的中心，N 为侧面11ACC A 的中心，P 为BC 的中点，则直线MN 与直线AP 所成的角为（ ）A ．0°B ．45°C ．60°D ．90°4．数列{}n a 的前n 项和为()*(21)n S n n n =-∈N，若173a a ka +=，则实数k 等于（ ）A ．2B ．3C ．269D ．2595．人体满足黄金分割比的人体是最美人体，0.618是黄金分割比12m =的近似值，黄金分割比还可以表示为2cos72︒，则22cos 271=︒-（ ）A ．4B 1C ．2D 16．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（ ）A ．9+B ．8+C ．10D ．12+7．已知ABC △中，角A ，BC 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B C A =，1a c c a+=+．则B =（ ）A ．56πB ．16πC ．3πD ．2π 8．已知m ，0n >，4121m n +=+，则m n +的最小值为（ ） A ．72B ．7C ．8D ．49．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若tan C =cos A =，b =时，则ABC △的面积为（ ）A ．BC D10．已知数列{}n a 满足：11a =，()22*1(21)(21)n n n a n a n ++=-∈N ．正项数列{}nc 满足：对于每个*n N ∈，21n n c a -=，且21n c -，2n c ，21n c +成等比数列，则21n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前几项和为（ ） A ．1n n + B ．221n n + C ．21n n + D ．121n - 11．ABC △中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC边上的中线2BD =，则ABC △的周长为（ ） A ．15 B ．14 C ．16 D ．1212．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，AD BP ⊥，PA AC =．若三棱锥P ABC -外接球表面积为8π，则三棱锥P ACD -体积的最大值为（ ）A．4 B ．12C．4 D．3 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若圆台的母线与高的夹角为3π，且上下底面半径之差为4，则该圆台的高为________． 14．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，()*422n n n S S S n N +++=∈，且12S =，则20202021a a +=________．15．已知()2*2020,n a n tn n N t R =-+∈∈，若数列{}n a 中最小项为第3项，则t ∈________． 16．在ABC △中，cos cos A B +=AB =当sin sin A B +取最大值时，ABC △的外接圆半径为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）已知在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，ADE △为正三角形，1CE =，ACD △的面积为2． （1）求CD 的长；（2）若12BAC π∠=，求ABC △的面积．18．（本小题满分12分）已知函数()433f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求函数()f x 在区间3,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值． （2）若4cos 5θ=-，3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．如图，在三棱锥D ABC -中，已知BCD △是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB BC a ==，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且3AF FC =．（1）求证：AC ⊥平面DEF（2）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN ∥平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足90万箱时，21()402p x x x =+；当产量不小于90万箱时，8100()1012180p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 中点．（1）证明：MN ∥平面P AB ；（2）求点A 到平面PMN 的距离；（3）求直线AN 与平面PMN 所成角的正切值．22．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足54a =，69218a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足21n n S b =-．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若任意*n N ∈，1122(2)2n n a b a b a b n t +++-+恒成立，求实数t 的取值范围．参考『答案』1．A由2(1)10(0)ax a x a -++><，得11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故选A ． 2．B由()1sin 30cos 3αα︒+=+，得11cos cos 223ααα+=+，化简得 ()1sin 303α-︒=()()()sin 230sin 26090cos 260ααα︒+=-︒+︒=-︒ ()21712sin 301299α=--︒=-⨯=，故选B ． 3．D∵MN BC ∥，AP BC ⊥，∴MN AP ⊥，故选D ．4．C∵(21)n S n n =-，数列{}n a 是首项为1公差为4的等差数列，∴43n a n =-，∴1259k +=⨯，得269k =，故选C ． 5．C ()2sin 90542sin1442cos542cos54cos54cos54︒+︒︒︒=====︒︒︒，故选C6．D由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得C 到的几何体．111111ABC CBC B p PC B ACC P ABB S S S S S S =++++=矩形△△梯形梯形114222(21)221222+⨯+⨯⨯+⨯+=．故选D ． 7．B∵2sin sin sin B A C =，∴21b ac =，∴2221a c a c b c a ac +-+-==∴cos 2B =，∴6B π=．故选B ． 8．A 由4121m n+=+知14117((1))1((1))14112122mn m n m n m n ⎛⎛⎫+=++-=+++-++-= ⎪ +⎝⎭⎝当且仅当2m =，2n =时等号成立，故选A ．9．B因为sin tan cos C C C==，且22sin cos 1C C +=，解得sin 4C =，cos 4C =，又cos 8A =，所以sin 8A =，故sin sin[()]sin()8B A C A C π=-+=+=， 因为sin sin a b A B=，b =2a =， 故11sin 222ABC S ab C =⨯=⨯⨯=△B ． 10．C由212(21)(21)n n a n a n ++=-和累乘法可以知道2(21)n a n =-，所以221(21)n n c a n -==-， 又21n c -，2n c ，21n c +成等比数列，所以2241n c n =-，所以22,1,n n n c n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，所以22211111111112141(2)12335212121n n n n n ⎛⎫+++=-+-++-= ⎪----++⎝⎭． 故选C ． 11．A由a ，b ，c 成等差数列知2b ac =+，又2C A =，所以sin sin 22sin cos C A A A ==，所以2223bc ab ac a =+-，所以32c a =，54b a =．若AC 边上的中线为BD =， 所以2225379242a a a ⎛⎫⎛⎫+=+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎛⎫⎪⎝（也可以用余弦定理列方程），所以4a =，5b =，6c =，所以ABC △的周长为15．故选A ．12．D设AB a =，BC b =，由三棱锥P ABC -外接球的表面积为8π，得外接球的半径R =又PA ⊥平面ABC ，A BBC ⊥，所以22222222(2)8AB BC AP AC AP AP R ++=+===，所以2AP =，所以224a b +=．因为PA ⊥平面ABC ，AD BP ⊥，所以PB =2BD =，过D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面ABC ，所以DE PA ∥，所以DE BD PA PB=，所以2224a DE a =+， ∴22112()2364P ACD P ABC D ABC ABC a V V V S PA DE ab a ---⎛⎫=-=-=- ⎪+⎝⎭△ ()()222444233432623ab ab a b a a b b a ====⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b b a=，即a =b =P ACD -体积的最大值为2，故选D ． 13 设上、下底面半径分别为R 、r ，圆台高为h ，根据轴截面可知tan 3R r h π-=，即4h =所以3h = 14．0或4设等比数列{}n a 的公比为q ，由422n n n S S S +++=，得422n n n n S S S S +++-=-，即4321n n n n a a a a +++++=+，所以()22121n n n n q a a a a ++++⋅+=+，若210n n a a +++=，则1q =-，此时12(1)n n a -=⋅-；若210n n a a +++≠，则1q =，此时2n a =，所以202020210a a +=或者202020214a a +=．15．(5,7) 由题意和数列图象可以知道57222t <<，所以(5,7)t ∈． 16． 2设sin sin A B t +=，所以 222223sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos 22cos()t A A B B A A B B A B +=+++++=+-所以21cos()2t A B +-=，所以当A B =时，max 1t =，23C π∠=，此时ABC △2=． 17．解：（1）设AD x =，则1AC x =+，∵2ACD S =△，∴11sin (1)2222AD AC DAC x x ⋅⋅⋅∠=⋅⋅+⋅=． ∴2x =或3x =-（舍），即2AD =； 2分在ACD △中，222221,2cos602322372CD AC AD AC AD =+-⋅⋅︒=+-⨯⨯⨯=，∴CD = 5分（2）∵12BAC π∠=，23AEB π∠=，∴4ABE π∠=．在ABE △中，由正弦定理得sin sin AB AE AEB ABE=∠∠，AB = 7分∵sin sin sin 12464BAC πππ⎛⎫∠==-= ⎪⎝⎭ 8分∴11sin 32122ABC S AB AC π=⋅⋅⋅==△． 10分 18．解：1()sin 33233f x x x x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 23x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3分 因为3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以25,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，2sin 3x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦4分所以23x π⎡⎛⎫-∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，故函数()f x 在区间3,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为4最小值为2-． 6分 （2）因为4cos 5θ=-，3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5θ=-， 所以24sin 22sin cos 25θθθ==．227cos 2cos sin 25θθθ=-= 8分所以2222323323f ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1247sin 22222425425100θθ⎫=--=-+=⎪⎪⎝⎭ 12分 19．解：（1）取AC 的中点H ，∵AB BC =，∴BH AC ⊥．∵3AF FC =，∴F 为CH 的中点∵E 为BC 的中点，∴EF BH ∥．则EF AC ⊥∵BCD △是正三角形，∴DE BC ⊥．∵AB ⊥平面BCD ，∴AB DE ⊥．∵AB BC B =，∴DE ⊥平面AB C ．∴DE AC ⊥． 4分∵DE EF E =，∴AC ⊥平面DEF ． 6分（2）存在这样的点N ，当38CN CA =时，MN ∥平面DEF ．连CM ，设CM DE O =，连OF ．由条件知，O 为BCD △的重心，23CO CM =． ∴当23CF CN =时，MN OF ∥， ∴313248CN CA CA =⨯=． 12分20．解：（1）当090x <<时，2211100402006020022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭；当90x ≥时，8100810010010121802001980y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3分∴2160200,0902********,90x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩5分 （2）当090x <<时，221160200(60)160022y x x x =-+-=--+， ∴当60x =时，y 取最大值，最大值为1600万元； 8分当90x ≥时，8100198019801800y x x ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭， 当且仅当8100x x=，即90x =时，y 取得最大值，最大值为1800万元． 11分 综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元． 12分21．证明：（1）取PB 中点G ，连接AG ，NG ，∵N 为PC 的中点，∴NG BC ∥，且12NG BC =， 1分 又∵223AM AD ==，4BC =，且AD BC ∥． ∴AM BC ∥，且12AM BC =，则NG AM ∥且NG AM =， 2分 ∴四边形AMNG 为平行四边形，∴MN AG ∥，又AG ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，∴MN ∥平面P A B ． 4分22. 解：（2）取BC 的中点H ，连接AH ，∵AB AC =，∴AH BC ⊥且AH =，∴四边形AHCM 是矩形，∴CM AM ⊥，∵PA CM ⊥，P A ，AM ⊂平面P AM ，PA AM A =，∴CM ⊥平面P AM ，且CM AH ==过点A 作AF ⊥平面PMN 于F ，则AF 即为点A 到平面PMN 的距离． 6分∴P ACM A PCM V V --=，∴1133ACM PCM S PA S AF ⋅=⋅△△， ∴点A 到平面PMN的距离5AF =． 9分 （3）连接AN ，NF ，由（2）知ANF ∠即为直线AN 与平面PMN 所成的角，在Rt PAC △中，4PA =，3AC =，5PC =，又N 是PC 的中点，1522AN PC ==，NF =， ∴直线AN 与平面PMN所成角的正切值为tan AF ANF NF ∠== 12分 22．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则114431818a d a d +=⎧⎨+=⎩解得101a d =⎧⎨=⎩．所以1(1)1n a a n d n =+-=-． 2分对于数列{}n b ，当1n =时，11121b S b ==-，所以11b =．当2n ≥时，由21n n S b =-，①可知1121n n S b --=-，②①-②得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=，故{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以12n n b -=．（2）设1122n n n T a b a b a b =+++，由（1）知，当1n =时，10T =， 5分当2n ≥时，2211222(2)2(1)2n n n T n n --=⨯+⨯++-⋅+-⋅，③23121222(2)2(1)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅，④ ③-④得21222(1)2n n n T n --=+++--⋅ 6分∴22(1)2(2)2212nn n n T n n --=--⋅=--⋅--，∴(2)22n n T n =-⋅+， 当1n =时也符合该式，所以(2)22n n T n =-⋅+， 7分 故题中不等式可化为(2)2(2)n n n t -⋅-，(*) 8分 当1n =时，不等式(*)可化为2t --，2t ， 9分当2n =时，不等式(*)可化为00，此时t R ∈， 10分 当3n ≥时，不等式(*)可化为2n t ，因为数列{}2n是递增数列， 所以8t ≤． 11分综上，实数t 的取值范围是[2,8] 12分。

绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,7A =，集合{}1,2,4,6,7B =，则UA B ⋂=（）A ．{}2,3B ．{}3,5C ．{}3,4D ．{}2,7答案：B根据交集、补集的定义计算可得. 解：解:{}1,2,3,4,5,6,7,8U =,{}1,2,4,6,7B ={}U 3,5,8B =∴ {}2,3,5,7A = {}U3,5AB ∴=故选:B 点评：本题考查集合的运算，属于基础题.2．已知(4,2)a =，b =（x ，6），且//a b ，则x =（） A ．12 B ．13C ．14D ．15答案：A根据向量平行有公式1221x y x y =，代入数据得到答案. 解：(4,2)a =，b =（x ，6），且//a b 则1221x y x y =即22412x x =⇒= 故答案选A 点评：本题考查了向量平行的计算，属于简单题.3．设函数()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f 的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：C直接根据分段函数解析式计算可得. 解： 解：()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩ ()()233g 22log 1lo 31f ∴=-==()()()112122f f f e -∴===故选：C 点评：本题考查分段函数求函数值，考查指数以及对数的运算，属于基础题. 4．已知角α的终边过点()8,3p m --，4cos 5α=-，则m 的值为（） A ．12-B ．12C ．3-D ．3 答案：B由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m 的值． 解：解：由题意可得8x m =-，3y =-，2||649r OP m ==+，24cos 5649x r m α===-+， 解得12m =， 故选：B ． 点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．函数2||()24x x f x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：D先判断函数()f x 的奇偶性，可排除A 、B 选项，再根据()0,2x ∈时，()0f x <，()2,x ∈+∞时，()0f x >，可选出答案.解：由题意，函数2||()24x x f x =-的定义域为}{,2x x x ∈≠±R ，又()22||||()2424x x x x f x ---==--，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，可排除A 、B 选项；当()0,2x ∈时，2()024x x f x =<-；当()2,x ∈+∞时，2()024x x f x =>-，显然只有选项D 符合题意. 故选：D. 点评：本题考查函数图象的识别，常常利用函数的定义域、奇偶性、单调性及特殊值等方法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.6．设函数ln(1)y x =+与函数212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象交点坐标为00,x y ，则0x 所在的大致区间是（） A ．0,1 B ．1,2C ．()2,3D ．()3,4答案：B构造函数21()ln(1)2x f x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，判断函数()f x 的零点在哪个区间即可．解：解：根据题意，设21()ln(1)2x f x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()210ln1240f -⎛⎫=- ⎪=-⎭<⎝，()1ln 21ln 22210f -⎛⎫=- ⎪⎝=-<⎭()0ln 31ln 32120f ⎛⎫=- ⎪⎝=->⎭即()()120f f ⋅<∴函数()f x 存在零点()01,2x ∈，即函数ln(1)y x =+与函数212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭图象的交点横坐标0x 所在的区间为()1,2．故选：B ． 点评：本题考查了根据根的存在性定理判断函数零点的问题，属于基础题．7．设log a =0.013b =，ln c =，则() A ．c a b << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<答案：A试题分析：先和0比较，0.0122log log 10,30,lnln102a b c =>==>=<=得到c 最小；再与1比较0.01022log 21,33a b ===，得到b 最大．故选A ．【考点】指数函数、对数函数的单调性的应用，指数式、对数式比较大小． 8．已知()cos 70k -︒=，那么tan110︒=（）A ．B ．C ． D答案：B首先根据同角三角函的基本关系求出()sin 70-︒与()tan 70-︒，再由诱导公式计算可得. 解： 解：()cos 70k -︒=()sin 70∴-︒==()()()2sin 701tan 70cos 70k k-︒∴---︒==-︒ ()()2tan110tan 18070ta 1n 70k k︒︒︒︒∴--=-==-故选：B 点评：本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题.9．在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+= A ．2 B ．2- C ．12 D ．12-答案：D由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD ，BM ，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果. 解：如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-， 因为M 是线段AD 的中点，所以：()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++， 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=，所以12λμ+=-.本题选择D 选项.点评：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．10．若函数()21242f x x x =-+的定义域、值域都是[]2,2(1),b b >则（） A ．2b = B ．2b ≥C ．()1,2b ∈D ．()2,b ∈+∞答案：A结合二次函数的性质，函数()21242f x x x =-+的对称轴为2x =， 结合题意和二次函数的性质可得：()22f b b =，即：()21222422b b b ⨯-⨯+=，整理可得：2320b b -+=， 解方程有：2b =或1b =(舍去)， 综上可得2b =. 本题选择A 选项.11．函数()y f x =，将其图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后再将它的图形沿x 轴向左平移2π个单位，得到函数1sin 2y x =的图象，则函数()y f x =的解析式是（） A ．1()cos 22xf x =- B ．1()cos 22xf x =C ．1()cos 22f x x =-D ．1()cos 22f x x =答案：C此类题的做法一般是通过反变求出原来函数的解析式，由题意可由曲线与1sin 2y x =的图形沿x 轴向右平移2π个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到()y f x =的解析式，选出正确选项解：解：由题意曲线与1sin 2y x =的图象沿x 轴向右平移2π个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到()y f x =的图形，故1sin 2y x =的图形沿x 轴向右平移2π个单位所得图形对应的函数解析式为1sin()22y x π=-，然后再将所得的曲线上的点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的一半，所得的图形对应的解析式为11sin 2cos 2222y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故选：C ． 点评：本题考查有函数的图象平移确定函数的解析式，本题解题的关键是对于变量x 的系数不是1的情况，平移时要注意平移的大小是针对于x 系数是1来说的，属于中档题． 12．黎曼函数（Riemannfunction ）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出.黎曼函数定义在区间0,1上，其基本定义是：[]1,,,()0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数只是不可以再约分的真分数当或者上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()(2)0f x f x +-=，当[]01x ∈，时，()()f x R x =，则103310f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．730-B ．27-C ．1330D ．1330-答案：A由题意可知，(2)()()f x f x f x -=-=-，从而可求得函数的周期，然后结合已知区间上的函数解析式可求． 解：解：由题意可知，(2)()()f x f x f x -=-=-， 故(2)()f x f x +=即函数()f x 的周期2T =， 当[0.1]x ∈时，()()f x R x =， 则103232122310310310f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+⨯+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2111731031030f ⎛⎫=-+=-+=- ⎪⎝⎭．故选：A ． 点评：本题主要考查了利用分段函数求解函数值，解题的关键是把所要求解函数的变量利用周期转化到已知区间上，属于中档题． 二、填空题 13．函数()ln(1)f x x =+的定义域为____________.答案：()(]1,00,2-由对数式的真数大于0，二次根式的被开方数大于等于0，分母不为零，联立不等式组求解x 的取值集合得答案． 解：解：()f x =()2010ln 10x x x ⎧-≥⎪∴+>⎨⎪+≠⎩解得12x -<≤且0x ≠，即()(]1,00,2x ∈-故答案为：()(]1,00,2-点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，属于基础题．14．已知向量,a b 是平面的一组基底，若2p a b =+，则p 在基底,a b 下的坐标为1,2，那么p 在基底,a b a b +-下的坐标为_____________.答案：31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭设()()b p a a b λμ++-=，再根据2p a b =+得到方程组，解得. 解：解：设()()b p a a b λμ++-=，2p a b =+12λμλμ+=⎧∴⎨-=⎩解得3212λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故()()3122b p a a b +-=-，则p 在基底,a b a b +-下的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭点评：本题考查向量的基底表示，向量相等的充要条件，属于基础题. 15．已知α为第三象限角且tan3α=______________.答案：根据同角三角函数的基本关系求出sin α，cos α，再用二倍角公式及平方关系化简求值. 解： 解：tan 3α=且α为第三象限角22sin tan 3cos sin cos 1ααααα⎧==⎪∴⎨⎪+=⎩解得sin 10cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）或sin 10cos 10αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩==sin cos sin cos 2222sincossincos2222αααααααα+-=+-+ 22sin cossincos2222sincossincos2222αααααααα++-=-+221sin 1sin sin cos 22αααα++-=-1sin 1sin cos ααα++-=-2cos α=-==故答案为：点评：本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题. 16．函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为_______________. 答案：6 函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数，令()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，()2log ||h x x =，转化函数()5sin 22g x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的交点个数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象即可解答. 解：解：函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，即方程25sin log ||022x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭的解，令()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，()2log ||h x x = 也就是函数()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的交点，在同一平面直角坐标系中画出()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的图象如下所示，由图可知()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =有6个交点，即25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭有6个零点.故答案为：6 点评：本题考查函数的零点，体现了转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题.三、解答题17．（1）计算31log 423321(3)ln 83log 4e π-++-- （2）化简3sin sin()cos 22()cos()cos tan()2f παπαπααπαπααπ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫---+ ⎪⎝⎭ 答案：（1）π；（2）cos α-（1）根据对数的运算性质及指数幂的运算性质计算可得； （2）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简可得. 解：解：（1）31log 423321(3)ln 83log 4e π-++-- ()1323233ln 24log 2e π-=-++--()33242π=-++---π=（2）3sin sin()cos 22()cos()cos tan()2f παπαπααπαπααπ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫---+ ⎪⎝⎭()cos sin sin ()cos sin tan f ααααααα--∴=- sin sin ()cos sin tan cos f ααααααα--∴===- 点评：本题考查指数对数的运算，诱导公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题. 18．已知函数()cos()0,0,||2f x A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域. 答案：（1）()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）[]0,3. （1）由图可知31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩即可求出,A b ，再根据函数的最小正周期求出ω，又函数过点,36π⎛⎫-⎪⎝⎭，代入即可求出ϕ从而得到函数解析式； （2）由x 的取值范围求出23x π+的范围，再由余弦函数的性质解答.解：解：（1）由图可知31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A b =⎧⎨=⎩2362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 2T ππω∴==解得2ω=()2cos(2)1f x x ϕ∴=++又函数过点,36π⎛⎫-⎪⎝⎭3662cos 21f ππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=++= -⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎦-⎭⎣即cos 13πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2,3k k Z πϕπ∴-=∈解得2,3k k Z πϕπ∴=+∈||2πϕ<，3πϕ∴=，()2cos 213f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭（2）,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦22,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦1cos 2,132x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]()0,3f x ∴∈点评：本题考查根据函数图象求函数解析式及余弦函数的性质的应用，属于基础题.19．已知集合{}2|11A a m a m =-<<+，函数2()log f x x a =-在区间1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭内有解时，实数a 的取值范围记为集合B ． （1）若2m =，求集合B 及AB ；（2）若A B ，求实数m 的取值范围. 答案：（1）()2,2B =-，()2,5AB =-；（2）(]1,1m ∈-（1）根据函数2()log f x x a =-在区间1,44⎛⎫⎪⎝⎭内有解时求出参数a 的取值范围即得到集合B ，当2m =时带入求出集合A ，再根据并集的定义计算； （2）可判断集合A 不为空集，再由集合的包含关系得到不等式组解得. 解：解：函数2()log f x x a =-在区间1,44⎛⎫⎪⎝⎭内有解时，即2log a x =在区间1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭内有解，因为函数()2log g x x =在区间1,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且211log 244g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()24log 42g == ()()2,2g x ∴∈-则()2,2a ∈-即()2,2B =-（1）当2m =时，{}{}()2|11|151,5A a m a m a a =-<<+=<<=，()2,2B =-()2,5A B ∴=-（2）因为()22217112024m m m m m ⎛⎫+--=-+=-+> ⎪⎝⎭所以A ≠∅若A B ，21212m m ⎧+≤∴⎨-≥-⎩解得11m -≤≤当1m =-时，A B =不符题意，舍去故(]1,1m ∈- 点评：本题考查集合的运算，根据集合的包含关系求参数的取值范围，一元二次不等式的解法，属于基础题.20．已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角是23π. （1）求2a b -；（2）当2a b +与ka b -的夹角为钝角时，求实数k 的取值范围. 答案：（1）223a b -=；（2）117,,22k ⎛⎫⎛⎫∈---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）首先求出a b ⋅，再根据()2222244a b a ba ab b -=-=-⋅+代入计算可得；（2）依题意可得()()20a b ka b +⋅-<且()()22a b ka b a b ka b +⋅-≠-+-，得到不等式解得； 解：（1）||1a =，||2b =，a 与b 的夹角是23π. 2cos ,12cos13b b b a a a π∴⋅=<>=⨯⨯=- ()2222224441a b a ba ab b ∴-=-=-⋅+=⨯=（2）2a b +与ka b -的夹角为钝角()()20a b ka b ∴+⋅-<且()()22a b ka b a b ka b +⋅-≠-+-即()222120ka k a b b +-⋅-<，即()21870k k k ---=--<解得7k >-()2222ka b ka ka b b k -=-⋅+=+7k ∴+≠12k ≠-综上可得117,,22k ⎛⎫⎛⎫∈---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点评：本题考查向量的数量积的计算，向量夹角求参数的取值范围，属于中档题.21．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年. （1）求森林面积的年增长率；（2倍，则该地已经植树造林多少年？ （3）为使森林面积至少达到6a 亩至少需要植树造林多少年？ （参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）答案：（1）11021x =-；（2）5年；（3）至少还需要26年. （1）设增长率为x ，依题意可得()1012a x a +=解得；（2）设已经植树造林n 年，则110121n a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得；（3）设至少还需要m 年，则1101216m a a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭解得.解：解：（1）设增长率为x ，依题意可得()1012a x a += 所以()1110101012x ⎡⎤+=⎣⎦即11012x +=，解得11021x =-（2）设已经植树造林n 年，则110121na ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即1110222n =解得5n =，故已经植树造林5年.（3）设至少还需要m 年，则1101216ma a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭即11026m ≥即2221log 6log 2log 310m ≥=+解得lg 3101025.8lg 2m ≥+≈ 故至少还需要26年 点评：本题考查指数型函数模型的应用，指数对数的运算，属于基础题.22．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足：()()3xf xg x +=.（1）求()f x ，()g x 并证明：22()()(2)f x g x f x +=；（2）当[]3log 2,1x ∈时，不等式2(2)2()10f x ag x ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）证明见解析；（2）)a ⎡∈-+∞⎣（1）首先根据奇偶性构造方程组求出()f x 与()g x 的解析式，再计算可得；（2）由题意可得223333221022x x x x a --+-⋅+⋅+≥，令33x x t -=-，则230t at ++≥对38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，参变分离再利用基本不等式求出参数的取值范围.解：解：（1）因为偶函数()f x 和奇函数()g x 满足：()()3xf xg x +=①.则()()3xf xg x --+-=即()()3xf xg x --=②①加②得()332x x f x -+=，从而可得()332x xg x --=222222333333222()()x x x x x x f x g x ---⎛⎫⎛⎫∴++=+ -+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭()223322x xf x -+=22()()(2)f x g x f x ∴+=（2）2(2)2()10f x ag x ++≥即223333221022x x x xa --+-⋅+⋅+≥令33x x t -=-，[]3log 2,1x ∈且函数33x x y -=-在定义域上单调递增，38,23t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()222233332x x x x t --=-=+-230t at ∴++≥对38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即3a t t ∴≥--对38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()3h t t t =--，38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则()33h t t t t t ⎛⎫=--=-+≤-=- ⎪⎝⎭3t t =即t =时取等号a ∴≥-即)a ⎡∈-+∞⎣ 点评：本题考查函数的奇偶性的应用，不等式恒成立问题，基本不等式的应用，属于难题.。

2019-2020学年安徽省宣城市七校高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．sin cos＝（）A．B．C．1D．2．关于x的不等式﹣x2+4x+5＞0的解集为（）A．（﹣5，1）B．（﹣1，5）C．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）3．下列命题中，错误的命题为（）A．如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行B．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直C．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面D．过平面外一点，有且只有一条直线与该平面平行4．已知0＜a＜1，b＞0，则下列各式正确的是（）A．ab＞b＞a2b B．ab＞a2b＞b C．b＞ab＞a2b D．b＞a2b＞ab5．已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝31﹣3n，则数列{a n}的前n项和S n的最大值为（）A．158B．176C．135D．1456．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若c2＝2a2+b2，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定7．在前n项和为S n的等比数列{a n}中，a3a4a5＝8，S14＝129S7，则a1＝（）A．2B．C．D．8．已知tanαtanβ＝m，cos（α﹣β）＝n，则cos（α+β）＝（）A．B．C．D．9．已知等差数列{a n}共有2n（n∈N*）项，若数列{a n}中奇数项的和为190，偶数项的和为210，a1＝1，则公差d的值为（）A．2B．4C．D．10．如图，在六棱锥O﹣ABCDEF中，底面ABCDEF为正六边形，OA＝AB，OA⊥底面ABCDEF，P为OD的中点，Q为OE的中点，下列说法正确的是（）A．△OAB的面积大于△OCD的面积B．直线AP与直线BQ互为异面直线C．平面OBC与平面OAF垂直D．直线OC与平面ABCDEF所成的角的正切值为11．已知x＞0，y＞0，2x+y＝2xy，若x+ay的最小值为8，则正实数a的值为（）A．2B．C．3D．12．如图，在体积为的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，△PAB 为等边三角形，二面角P﹣AB﹣C为锐角，则四棱锥P﹣ABCD外接球的半径为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，毎小题5分，共20分．13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B＝15°，C＝45°，c＝2，则△ABC中最长的边的边长为．14．已知圆锥的侧面积为15π，高为4，则圆锥的底面半径为．15．已知锐角θ满足cos（θ+）＝，则sin（θ+）＝．16．已知数列{a n}是公比为q（q≥2）的正项等比数列，b n＝（q﹣1）2a n，对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得b n＝a m，则q的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知f（x）＝x2﹣（a+1）x+a（a∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＜0；（2）若x∈R时，f（x）+x≥0恒成立，求实数a的取值范围．18．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，sin2A+sin2B﹣sin2C＝2sin A sin B sin C．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面积为1，求△ABC的周长．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，E，F分别是BC，A1C1的中点，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1＝2AB．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求点C到平面AEF的距离．20．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，2a1＝a4﹣7，且a1、a2﹣1、a3成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若1＜a1＜3，令b n＝（n∈N*），若数列{b n}成等差数列，求正数t的值．21．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC，PA⊥平面ABC，D为PC的中点，E为AC的中点．（1）求证：BD⊥AC；（2）若M为AB的中点，请问线段PC上是否存在一点N，使得MN∥平面BDE？若存在，请说明点N的位置，并说明理由？若不存在，也请说明理由．22．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a n S n+1﹣a n+1S n＝2a n+1﹣2a n．（1）求证：{}为常数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记b n＝na n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．参考答案一、选择题（共12小题）.1．sin cos＝（）A．B．C．1D．【分析】直接利用二倍角公式求出函数的表达式，计算出值即可．解：因为＝＝．故选：A．2．关于x的不等式﹣x2+4x+5＞0的解集为（）A．（﹣5，1）B．（﹣1，5）C．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）【分析】不等式可化为x2﹣4x﹣5＜0，求出解集即可．解：不等式﹣x2+4x+5＞0可化为x2﹣4x﹣5＜0，即（x﹣5）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜5，所以不等式的解集为（﹣1，5）．故选：B．3．下列命题中，错误的命题为（）A．如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行B．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直C．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面D．过平面外一点，有且只有一条直线与该平面平行【分析】借助于平面和平面平行的性质定理，平面和平面垂直的判定定理与性质定理，逐一判断选项即可．解：对于A，由面面平行的性质定理知，如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行，选项正确；对于B，由面面垂直的判定定理知，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，选项正确；对于C，由面面垂直的性质定理知，如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，选项正确；对于D，过平面外一点，有无数条直线与该平面平行，选项错误；故选：D．4．已知0＜a＜1，b＞0，则下列各式正确的是（）A．ab＞b＞a2b B．ab＞a2b＞b C．b＞ab＞a2b D．b＞a2b＞ab【分析】由0＜a＜1，知1＞a＞a2，结合b＞0，根据不等式的乘法可知b＞ab＞a2b．解：由0＜a＜1，知1＞a＞a2，∵b＞0，∴b＞ab＞a2b．故选：C．5．已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝31﹣3n，则数列{a n}的前n项和S n的最大值为（）A．158B．176C．135D．145【分析】由a n＝31﹣3n≥0，解得1≤n≤10，从而当n＝10时，数列{a n}的前n项和S n 取最大值．解：∵等差数列{a n}的通项公式为a n＝31﹣3n，∴由a n＝31﹣3n≥0，解得1≤n≤10，a1＝31﹣3×1＝28，d＝a2﹣a1＝（31﹣3×2）﹣28＝﹣3，∴当n＝10时，数列{a n}的前n项和S n取最大值为：S10＝10×28+＝145．故选：D．6．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若c2＝2a2+b2，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【分析】由已知利用余弦定理可得cos C＝﹣＜0，可得C为钝角，即可判断得解．解：由已知c2＝2a2+b2，利用余弦定理可得cos C＝＝＝﹣＜0，可得C为钝角，故三角形的形状为钝角三角形．故选：C．7．在前n项和为S n的等比数列{a n}中，a3a4a5＝8，S14＝129S7，则a1＝（）A．2B．C．D．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，由a3a4a5＝8，S14＝129S7，可得：＝8，即a4＝2＝a1q3，＝，联立解得a1．解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a3a4a5＝8，S14＝129S7，∴＝8，即a4＝2＝a1q3，＝，则a1＝，q＝2．故选：C．8．已知tanαtanβ＝m，cos（α﹣β）＝n，则cos（α+β）＝（）A．B．C．D．【分析】根据同角的三角函数关系，结合两角和差的余弦公式建立方程，求出sinαsinβ，cosαcosβ的值即可．解：∵tanαtanβ＝m，∴＝m，即sinαsinβ＝m cosαcosβ，∵cos（α﹣β）＝n，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝n，得cosαcosβ+m cosαcosβ＝n，得cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，则cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝﹣＝，故选：B．9．已知等差数列{a n}共有2n（n∈N*）项，若数列{a n}中奇数项的和为190，偶数项的和为210，a1＝1，则公差d的值为（）A．2B．4C．D．【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可直接求解．解：由题意可得，S偶﹣S奇＝nd＝210﹣190＝20，S奇＝＝na n＝n[1+（n﹣1）d]＝190，所以n+20（n﹣1）＝190，解可得n＝10，d＝2．故选：A．10．如图，在六棱锥O﹣ABCDEF中，底面ABCDEF为正六边形，OA＝AB，OA⊥底面ABCDEF，P为OD的中点，Q为OE的中点，下列说法正确的是（）A．△OAB的面积大于△OCD的面积B．直线AP与直线BQ互为异面直线C．平面OBC与平面OAF垂直D．直线OC与平面ABCDEF所成的角的正切值为【分析】对于A，取特值计算排出即可；对于B，由立体几何公理体系可判断；对于C，由面面垂直的性质即可判断；对于D，根据线面角的定义找出直线OC与平面ABCDEF 所成的角，再计算即可．解：不妨设OP＝AB＝1，可得，，故选项A错误；由PQ∥DE∥AB可得直线AP与直线BQ共面，故B选项错误；因为AC⊥平面OAF，而AC与平面OBC不平行，故C选项错误；，故选项D正确．故选：D．11．已知x＞0，y＞0，2x+y＝2xy，若x+ay的最小值为8，则正实数a的值为（）A．2B．C．3D．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，2x+y＝2xy，所以＝2，x+ay＝（x+ay）（）×＝（2a+1+）≥（2a+1+2）＝，当且仅当时取等号，由题意可得，＝8，则正实数a＝．故选：D．12．如图，在体积为的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，△PAB 为等边三角形，二面角P﹣AB﹣C为锐角，则四棱锥P﹣ABCD外接球的半径为（）A．B．C．D．【分析】由四棱锥的体积及底面的边长可得棱锥的高PH的值，取AB，CD的中点E，F，连接PE，PF，EF，可得H在EF上，再由题意求出EH，FH的值，取EF的中点，即正方形ABCD的对角线的交点N，过N作NO垂直于底面，可得NO∥PH，取外接球的球心为O，过O作PH的垂线，垂足为M，可得ONHM为矩形，分O，P在面ABCD 的同侧和两侧讨论，在两个直角三角形中可得外接球的半径．解：取AB的中点E，CD的中点F，连接PE，PF，EF，过P作PH⊥EF于H，由AE ＝BE，CF＝DF可得AB⊥EP，AB⊥EF，所以AB⊥面PEF，可得AB⊥PH，AB∩EF＝E，所以PH⊥面AC，所以V四棱锥＝S底×PH＝×22×PH＝，解得PH＝，而△PAB为等边三角形，所以PE＝×AB＝，所以sin∠PEF＝＝＝，所以可得∠PEF＝30°，可得EH＝，HF＝2﹣EH＝，PF＝＝1，所以PE2+PF2＝EF2，所以PE⊥PF，取EF的中点N，即四边形ABCD的对角线的交点，AN＝AB＝，过N作NO垂直于底面ABCD，可得NO∥PH，取O为外接球的球心，设外接球的半径为R，连接OP，OA，则可得R＝OA＝OP，过O作OM⊥PH于M，则四边形ONHM为矩形，所以OM＝NH＝NF﹣HF＝1﹣＝，ON＝MF，（i）当O，P在面ABCD的同侧时，在△OPM中，R2＝OP2＝OM2+PM2＝（）2+（PH﹣MH）2＝+（﹣MH）2①在△AON中，R2＝OA2＝AN2+ON2＝（）2+MH2②由①②可得MH＜0（舍），（ii）当O，P在面ABCD的两侧时，在△OPM中，R2＝OP2＝OM2+PM2＝（）2+（PH+MH）2＝+（+MH）2③过在△AON中，R2＝OA2＝AN2+ON2＝（）2+MH2②由②③可得MH＝，R2＝2+＝，所以R＝，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，毎小题5分，共20分．13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B＝15°，C＝45°，c＝2，则△ABC中最长的边的边长为．【分析】由已知利用三角形内角和定理可求A，可求得a为三角形最长边，由正弦定理即可求解a的值．解：∵B＝15°，C＝45°，c＝2，∴A＝180°﹣B﹣C＝120°，可得a为三角形最长边，∴由正弦定理，可得a＝＝＝．故答案为：．14．已知圆锥的侧面积为15π，高为4，则圆锥的底面半径为3．【分析】根据圆锥侧面积公式以及l2＝r2+h2，列方程组求解即可得答案．解：设圆锥的半径为r，母线为l，高为h，则，解得．故答案为：3．15．已知锐角θ满足cos（θ+）＝，则sin（θ+）＝．【分析】根据同角三角函数关系，以及诱导公式，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可．解：∵锐角θ满足cos（θ+）＝，∴＜θ+＜，则sin（θ+）＝＝，∵θ+﹣（θ+）＝，∴θ+＝（θ+）+，则sin（θ+）＝sin[（θ+）+]＝sin（θ+）cos+cos（θ+）sin＝×﹣×＝，故答案为：16．已知数列{a n}是公比为q（q≥2）的正项等比数列，b n＝（q﹣1）2a n，对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得b n＝a m，则q的值为2或．【分析】由b n＝a m，可得（q﹣1）2a n＝a m，可得m＝n+2log q（q﹣1）》由对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得b n＝a m，可得2log q（q﹣1）必为整数，又q≥2，即可得出．解：由b n＝a m，∴（q﹣1）2a n＝a m，∴（q﹣1）2＝q m﹣n，∴m﹣n＝2，可得m＝n+2log q（q﹣1），∵对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得b n＝a m，∴2log q（q﹣1）必为整数，又q≥2，∴1≤q﹣1≤q，可得：0≤2log q（q﹣1）＜2，可得：log q（q﹣1）＝0或，∴q﹣1＝1，或q﹣1＝，解得q＝2或q＝．故答案为：2或．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知f（x）＝x2﹣（a+1）x+a（a∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＜0；（2）若x∈R时，f（x）+x≥0恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）由因式分解可得（x﹣1）（x﹣a）＜0，讨论a＝1，a＜1，a＞1，结合二次不等式的解法，可得所求解集；（2）由题意可得x∈R时，x2﹣ax+a≥0恒成立，运用二次函数的图象可得判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．解：（1）不等式f（x）＜0可化为（x﹣1）（x﹣a）＜0，①当a＝1时，原不等式即为（x﹣1）2＜0，则解集为∅；②当a＞1时，原不等式的解集为（1，a）；③当a＜1时，原不等式的解集为（a，1）；（2）f（x）+x≥0，即为x2﹣ax+a≥0，若x∈R时，f（x）+x≥0恒成立，即有a2﹣4a≤0，解得0≤a≤4，则a的取值范围是[0，4]．18．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，sin2A+sin2B﹣sin2C＝2sin A sin B sin C．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面积为1，求△ABC的周长．【分析】（1）利用正弦定理和特殊角的三角函数值进行解答；（2）利用三角形面积公式和余弦定理求得（b+a）的值；然后结合三角形周长公式解答．解：（1）由正弦定理有，a2+b2﹣c2＝2ab sin C，可得sin C＝．所以sin C＝cos C．所以tan C＝1．又有0＜C＜π，可得C＝；（2）由正弦定理有，ab sin＝1，可得ab＝2．由余弦定理有，a2+b2﹣2ba cos＝5，可得b2+a2＝9．有（b+a）2＝9+4＝（2+1）2，可得b+a＝2+1．故△ABC的周长为：+2+1．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，E，F分别是BC，A1C1的中点，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1＝2AB．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求点C到平面AEF的距离．【分析】（Ⅰ）取AB的中点D，连接DE，A1D．可得DE∥AC，且．再由已知结合三棱柱的性质A1F∥AC，且，则A1F∥DE，且A1F＝DE，得到四边形DEFA1是平行四边形，得EF∥DA1．由直线与平面平行的判定可得EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）由已知求出三棱锥F﹣ACE的体积，再求出三角形AEF的面积，利用等体积法求点C到平面AEF的距离．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AB的中点D，连接DE，A1D．∵E是BC的中点，∴DE∥AC，且．由三棱柱的性质知AC∥A1C1．∵F是A1C1的中点，∴A1F∥AC，且，∴A1F∥DE，且A1F＝DE，∴四边形DEFA1是平行四边形，得EF∥DA1．∵EF⊄平面ABB1A1，DA1⊂平面ABB1A1，∴EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）解：已知可得：．在△AEF中，，，，AE边上的高为，∴．设点C到平面AEF的距离为h，则，解得．即点C到平面AEF的距离为．20．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，2a1＝a4﹣7，且a1、a2﹣1、a3成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若1＜a1＜3，令b n＝（n∈N*），若数列{b n}成等差数列，求正数t的值．【分析】（1）设{a n}的公差为d，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）由（1）可得a n＝3n﹣1，运用等差数列的求和公式，可得S n，b n，求得b1，b2，b3，由等差数列的中项性质，解方程可得t．解：（1）设{a n}的公差为d，由a1、a2﹣1、a3成等比数列，可得（a2﹣1）2＝a1a3，即为（a1+d﹣1）2＝a1（a1+2d），①由2a1＝a4﹣7，可得2a1＝a1+3d﹣7，②由①②可得a1＝2，d＝3或a1＝8，d＝5，故数列{a n}的通项公式为a n＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1或a n＝8+5（n﹣1）＝5n+3，n∈N*；（2）由（1）可得，若1＜a1＜3，则a n＝3n﹣1，S n＝，b n＝，有b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，可得＝+，解得正数t＝，当t＝时，b n＝＝，可得数列{b n}为成等差数列，故当数列{b n}成等差数列时，正数t的值为．21．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC，PA⊥平面ABC，D为PC的中点，E为AC的中点．（1）求证：BD⊥AC；（2）若M为AB的中点，请问线段PC上是否存在一点N，使得MN∥平面BDE？若存在，请说明点N的位置，并说明理由？若不存在，也请说明理由．【分析】（1）由已知证明DE∥AP，结合PA⊥平面ABC，得DE⊥平面ABC，得到DE ⊥AC，再由BE⊥AC，可得AC⊥平面BDE．从而得到BD⊥AC；（2）假设线段PC上存在点N，使得MN∥平面BDE，取AE的中点Q，连接MQ，NQ，由已知可得MQ∥BE，得到MQ∥平面BDE，由平面与平面平行的判定可得平面MNQ ∥平面BDE，得到NQ∥平面BDE，进一步得到NQ∥DE．由AQ＝QE，NQ∥DE，得N为线段PD的中点．【解答】（1）证明：∵AE＝EC，PD＝CD，∴DE∥AP，又∵PA⊥平面ABC，DE∥PA，∴DE⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴DE⊥AC．∵AB＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC．∵AC⊥DE，AC⊥BE，BE∩DE＝E，∴AC⊥平面BDE．又∵BD⊂平面BDE，∴BD⊥AC；（2）假设线段PC上存在点N，使得MN∥平面BDE，取AE的中点Q，连接MQ，NQ，∵MB＝MA，AQ＝QE，∴MQ∥BE．又∵MQ⊄平面BDE，BE⊂平面BDE，∴MQ∥平面BDE．∵MN⊂平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，MN∩MQ＝M，MN∥平面BDE，MQ∥平面BDE，∴平面MNQ∥平面BDE．又∵NQ⊂平面MNQ，∴NQ∥平面BDE．∵平面PAC∩平面BDE＝DE，NQ∥平面BDE，NQ⊂平面PAC，∴NQ∥DE．又∵AQ＝QE，NQ∥DE，∴N为线段PD的中点．故假设成立，即线段PC上存在一点N，使得MN∥平面BDE，此时点N是线段PC上靠近点P的四等分点．22．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a n S n+1﹣a n+1S n＝2a n+1﹣2a n．（1）求证：{}为常数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记b n＝na n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由已知数列递推式可得，即可得到数列{}为常数列；（2）由（1）有，得S n＝2a n﹣2，可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，则通项公式可求；（3）由（2）有b n＝na n a n+1＝n×22n+1，再由错位相减法求数列{b n}的前n项和T n．【解答】（1）证明：由a n S n+1﹣a n+1S n＝2a n+1﹣2a n，得a n（S n+1+2）＝a n+1（S n+2），∴，可得．故数列{}为常数列；（2）解：由（1）有，得S n＝2a n﹣2．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（2a n﹣2）﹣（2a n﹣1﹣2）＝2a n﹣2a n﹣1，则a n＝2a n﹣1，故数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．∴数列{a n}的通项公式为；（3）解：由（2）有b n＝na n a n+1＝n×22n+1．可得．，两式作差得：，∴，有，得．故数列{b n}的前n项和T n＝．。