自控理论 3-4高阶系统分析

C(t) 1.16 1.0 0.05
t
3.2 4.6 7.0
作图得 σ % = 16%
t r = 3.2
t p = 4.6
ts = 7
ω n = 0.8
可作为主导极点， β = 10.5， s1 s2 可作为主导极点， ζ = 0.5 原系统闭环增益 K = Φ ( 0) = 1
利用主导极点近似成二阶系统后，应保持Φ(0)不变。 Φ(0)不变 利用主导极点近似成二阶系统后，应保持Φ(0)不变。
式中 s1, 2 = −ζω n ± jω n 1 − ζ
2
1 增加闭环极点： 增加闭环极点：s 3 = − T
单位阶跃响应
e s 3t e − ζωn t c( t ) = 1 − − 2 βζ ( β − 2) + 1 βζ 2 ( β − 2) + 1 βζ ζ 2 ( β − 2) + 1 2 sin ω d t βζ ( β − 2) cos ω d t + 1−ζ 2
[
]
( 3 − 67 )
jω ω
式中 β =
ζω n
s3
− s3
s1
- ζωn σ 0
取ζ=0.5,以β为参变量作 =0.5, c(t)和 ωnt 的关系曲线 。 (t)和 图3-31
s2
结论
(1)附加一个闭环极点, 将使 σ％↓ ，r ↑, tp ↑。 t (2)增加的极点离虚轴越近上述影响越显著。 , 上述影响越显著。 (3)当β < 1, 呈现过阻尼响应迟缓。 ,响应迟缓。 (4)当β闭环主导极点
1.定义 对系统的暂态响应起主导作用的极点。 定义 对系统的暂态响应起主导作用的极点。 2.满足以下两个条件： 满足以下两个条件： 满足以下两个条件 (1)距虚轴比较近 且附近没有其它的闭环零点与极点。 距虚轴比较近,且附近没有其它的闭环零点与极点 距虚轴比较近 且附近没有其它的闭环零点与极点。 (2)其实部的绝对值应比其它极点的实部绝对值小五 其实部的绝对值应比其它极点的实部绝对值小五 倍以上。 倍以上。 靠近虚轴的极点相对于远离虚轴的极点来说， 靠近虚轴的极点相对于远离虚轴的极点来说， 其所对应的响应分量，随时间的推移衰减的慢， 其所对应的响应分量，随时间的推移衰减的慢， 因而在系统的时间响应过程中起主导作用； 因而在系统的时间响应过程中起主导作用；而远 离虚轴的极点由于其对应的分量随时间的推移衰 减的快， 减的快，所以可在高阶系统分析中略去远极点对 系统响应的影响。 系统响应的影响。
q r
c( t ) = A0 + ∑ Ai e
i =1
si t
+ ∑ e −ζ k ωnk t ( Bk cos ω nk 1 − ζ k2 t + C k sin ω nk 1 − ζ k2 t )
k =1
暂态性能的定性分析
(1) c(t)由稳态和暂态分量组成，若极点均为负 (t)由稳态和暂态分量组成 由稳态和暂态分量组成， 实部，则系统稳定。 实部，则系统稳定。 (2) 各暂态分量衰减的快慢,取决于各极点负实 暂态分量衰减的快慢, 部的绝对值大小。 部的绝对值大小。 (3) 各暂态分量系数的大小是Φ(s)零、极点共同 暂态分量系数的大小是Φ(s)零 决定的,若一对零、极点几乎重合(称偶极子), 决定的,若一对零、极点几乎重合(称偶极子), 则与该极点对应的系数很小,该极点对暂态响 则与该极点对应的系数很小,该极点对暂态响 几乎无影响。 应几乎无影响。
β =的曲线即为典型二阶系统ζ=0.5的阶跃响应。 0.5的阶跃响应 的阶跃响应。
二. 高阶系统单位阶跃响应
b0 s m + b1 s m −1 + L + bm −1 s + bm Φ( s ) = n s + a1 s n −1 + L + an −1 s + an = K1 ∏ ( s − zj )
2 ωn 0.64 Φ( s ) = 2 = 2 2 s + 2ζω n s + ω n s + 0.8 s + 0.64
− πζ
σ% = e
1− ζ 2
× 100% = 16.3%
π −β tr = = 3.03 ωd
ts = 3
π tp = = 4.55 ωd
ζω n
= 7.5
与原三阶系统 σ%=16% , tr=3.2 , tp=4.6 , %=16% ts=7相比较, 近似后性能指标基本一致。 =7相比较 近似后性能指标基本一致。 相比较,
2 − s 3ω n = 2 2 ( s + 2ζω n s + ω n )( s − s 3 )
( 3 − 66)
4.2 × 0.8 2 Φ( s ) = 2 ( s + 2 × 0.5 × 0.8 s + 0.8 2 )( s + 4.2)
2 − s 3ω n = 2 2 ( s + 2ζω n s + ω n )( s − s 3 )
四.高阶系统暂态性能指标估算方法
例 已知Φ(s), 求性能指标 σ%、tr、tp、ts 已知Φ(s), σ%、
2.7 Φ( s ) = 3 s + 5 s 2 + 4 s + 2.7
解 s1, 2 = −0.4 ± j 0.69 s 3 = −4.2
s1 s3 x s2 x jω ω x σ
4.2 × 0.8 2 Φ( s ) = 2 ( s + 2 × 0.5 × 0.8 s + 0.8 2 )( s + 4.2)
§3-4
高阶系统分析
jω ω
一. 三阶系统的阶跃响应 三阶系统的阶跃响应
增加一个惯性环节
Φ( s ) =
s1 s3
- ζωn σ 0
ω
2 n
2 ( s 2 + 2ζω n s + ω n )(Ts + 1)
s2
( 3 − 66)
2 − s 3ω n K1 则 Φ( s ) = 2 = 2 ( s + 2ζω n s + ω n )( s − s 3 ) ( s − s 1 )( s − s 2 )( s − s 3 )
j= 1 m
n≥m
∏ ( s − s )∏ ( s
i =1 i k =1
q
r
2
2 + 2ζ k ω nk s + ω nk )
q r Bk ( s + ζ k ω nk ) + C k ω nk 1 − ζ k2 A0 Ai C ( s) = +∑ +∑ 2 s i =1 s − s i k =1 s 2 + 2ζ k ω nk s + ω nk
( 3 − 66)
其中 ζ = 0.5
ω n = 0.8
s3 = −4.2
s1 s3 x x
β=
ζω n
s3
= 10.5 > 5
jω ω σ
ζω n
s2 x
套用式(3套用式(3-67), 阶跃响应
c( t ) = 1 − 0.04e −4.2 t − e −0.4 t (0.96 cos 0.69t + 0.81 sin 0.69t )