高中数学第3章第2节课时分层训练

课时分层作业(三)(建议用时：60分钟)[根底达标练]一、选择题1．以下结论正确的选项是( )A ．假设y ＝cos x ，那么y ′＝sin xB ．假设y ＝sin x ，那么y ′＝－cos xC ．假设y ＝1x ，那么y ′＝－1x 2D ．假设y ＝x ，那么y ′＝x 2C [∵(cos x )′＝－sin x ，∴A 不正确；∵(sin x )′＝cos x ，∴B 不正确；∵(x )′＝12x ，∴D 不正确．]2．假设指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足f ′(1)＝ln 27，那么f ′(－1)＝() A ．2 B ．ln 3C ．ln 33 D ．－ln 3C [f ′(x )＝a x ln a ，由f ′(1)＝a ln a ＝ln 27，解得a ＝3，那么f ′(x )＝3x ln 3，故f ′(－1)＝ln 33.]3．f (x )＝x 2·x ，那么f ′(2)＝( )A ．4 2B ．0C ． 2D ．5 2D [原函数化简得f (x )＝x ，所以f ′(x )＝52x ，所以f ′(2)＝52×2＝5 2.]4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，那么实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2C [因为y ＝ln x 的导数y ′＝1x， 所以令1x ＝12，得x ＝2，所以切点为(2，ln 2)． 代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.] 5．假设f (x )＝sin x ，f ′(α)＝12，那么以下α的值中满足条件的是( ) A.π3 B.π6C.23πD.56π A [∵f (x )＝sin x ，∴f ′(x )＝cos x .又∵f ′(α)＝cos α＝12， ∴α＝2k π±π3(k ∈Z )． 当k ＝0时，α＝π3.] 二、填空题6．f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，那么m ＝________. －4 [∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(2)＝－14， 又g ′(x )＝m ，∴g ′(2)＝m ，由g ′(2)＝1f ′(2)，得m ＝－4.] 7．函数y ＝f (x )的图象在M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，那么f (1)＋f ′(1)＝__________.3 [依题意知，f (1)＝12×1＋2＝52， f ′(1)＝12，∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.] 8．函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，那么f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. － 2 [∵f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2＝－1， ∴f ′(x )＝－cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.] 三、解答题9．求以下函数的导数．(1)y ＝5x 2；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2；[解] (1)(2)∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .(3)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .10．求证：双曲线xy ＝1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．[证明] 由xy ＝1，得y ＝1x ，从而y ′＝－1x2. 在双曲线xy ＝1上任取一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0， 那么在点P 处的切线斜率k ＝－1x 20. 切线方程为y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)， 即y ＝－1x 20x ＋2x 0. 设该切线与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，那么A (2x 0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2x 0，故S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2. 所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．[能力提升练]1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，那么f 2 019(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos xD [f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，所以4为最小正周期，故f 2 019(x )＝f 3(x )＝－cos x ．]2．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A ．e 22B ．3e 2C ．6e 2D ．9e 2 A [因为y ′＝e x ，所以切线的斜率为k ＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，令x ＝0得y＝－e 2；令y ＝0得x ＝1，故围成的三角形的面积为S ＝12×1×|－e 2|＝e 22.] 3．f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，假设f ′(x )－g ′(x )＝1，那么x ＝________.1 [f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x ，由f ′(x )－g ′(x )＝1，得2x －1x ＝1，解之得x 1＝－12，x 2＝1.∵x >0，∴x ＝1.]4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，那么a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．－2 [∵y ′＝(n ＋1)x n ，∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，那么x n ＝n n ＋1.故a n ＝lg nn ＋1＝lg n －lg (n ＋1)．所以a 1＋a 2＋…＋a 99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 98－lg 99)＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.]5．曲线y ＝x在点(a ，a )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a 的值．[解] 因为y ′＝－12x ，所以曲线y ＝x 在点(a ，a )处的切线方程为：y －a ＝－12a (x －a )，由x ＝0得y ＝32a ，由y ＝0得x ＝3a ，所以12·32a ·3a ＝18，解得a＝64.。

姓名，年级：时间：第三章3．1 直线的倾斜角与斜率3．1．1 倾斜角与斜率课时分层训练错误!1．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是（)A．45°,1B．135°,－1C．90°，不存在D．180°,不存在解析：选C 作出图象，故C正确．2．给出下列说法：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；②若k是直线的斜率，则k∈R;③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率;④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是（)A．1 B．2C．3 D．4解析：选C 显然①②③正确，④错误．3．已知直线经过点A（－2,0),B（－5，3)，则该直线的倾斜角为( ）A．150° B．135°C．75° D．45°解析：选B ∵直线经过点A(－2,0），B(－5,3）,∴其斜率k AB＝错误!＝－1。

设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan θ＝－1，∴θ＝135°。

4．过两点A（4，y)，B（2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( ）A．－错误! B.错误!C．－1 D．1解析：选C tan 45°＝k AB＝y＋34－2，即错误!＝1，所以y＝－1。

5．已知直线l经过点A（1,2),且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．（－1,0］B．[0,1］C．［1,2] D．［0，2］解析：选D 由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2。

故选D。

6。

如图,已知直线l 1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1,l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为．解析:因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为错误!×(90°－30°）＝30°。

第三章 3.1 直线的倾斜角与斜率3．1．2 两条直线平行与垂直的判定课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．已知过点P (3,2m )和点Q (m,2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3,4)的直线平行，则实数m 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选B 因为MN ∥PQ ，所以k MN ＝k PQ ，即4－(－1)－3－2＝2－2mm －3，解得m＝－1.2．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形 解析：选C 如图所示，易知k AB ＝－1－12－(－1)＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32，由k AB ·k AC ＝－1知三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形．3．已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( )A ．(0，－6)B ．(0,7)C ．(0，－6)或(0,7)D ．(－6,0)或(7,0)解析：选C 由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP＝－1，即y ＋52·⎝⎛⎭⎪⎫－y －66＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)．4．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：选B 如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD ＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－316，故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直．所以四边形ABCD 为平行四边形．5．l 1过点A (m,1)，B (－3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝ . 解析：设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，∵l 1∥l 2，且k 2＝1－21－0＝－1，∴k 1＝4－1－3－m＝－1，∴m ＝0.答案：06．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且直线l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则实数a 的值为 ．解析：∵l 2∥l 1，且l 1的倾斜角为45°，∴kl 2＝kl 1＝tan 45°＝1，即a －(－1)3－(－2)＝1，∴a ＝4.答案：47．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为 时，AB ⊥CD .解析：设点D (x,0)，因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0，所以直线CD 的斜率存在． 则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1，所以4·－2－0－1－x ＝－1，解得x ＝－9.答案：(－9,0)8．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．解：(1)由k AB＝m－32m2＝tan 135°＝－1，解得m＝－32或m＝1.(2)由k AB＝m－32m2，且－7－20－3＝3.则m－32m2＝－13，解得m＝32或m＝－3.(3)令m－32m2＝9＋3－4－2＝－2，解得m＝34或m＝－1.9．直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．解：当l1∥l2时，由于直线l2的斜率存在，则直线l1的斜率也存在，则k AB＝k CD，即4－1－3－m＝m＋1－m－1－1，解得m＝3；当l1⊥l2时，由于直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则k AB·k CD＝－1，即4－1－3－m·m＋1－m－1－1＝－1，解得m＝－92.综上，当l1∥l2时，m的值为3；当l1⊥l2时，m的值为－9 2.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论：①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④PR⊥QS.其中正确的个数是()A．1 B．2C ．3D ．4解析：选C 由斜率公式知k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14，∴PQ ∥SR ，PQ ⊥PS ，PR ⊥QS .而k PS ≠k QS ，∴PS 与QS 不平行，①②④正确，故选C.2．经过点P (－2，m )和Q (m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则实数m 的值是( )A ．4B ．1C ．1或3D ．1或4解析：选B 由题意，知4－mm －(－2)＝1，解得m ＝1.3．若直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，则实数a 的值为( )A ．1B ．3C ．0或1D ．1或3解析：选D ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－(－2)0－3a ＝－1，解得a ＝1或a ＝3.4．如图所示，在平面直角坐标系中，以O (0,0)，A (1,1)，B (3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )A ．(－3,1)B ．(4,1)C ．(－2,1)D ．(2，－1)解析：选A 如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC 1，▱ABOC 2，▱AOC 3B .根据平行四边形的性质，可知B 、C 、D 分别是点C 1，C 2，C 3的坐标，故选A.5．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝ ；若直线l 1⊥l 2，则a ＝ .解析：当l 1∥l 2时，a －22－1＝3，则a ＝5；当l 1⊥l 2时，a －22－1＝－13，则a ＝53.答案：5 536．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－4k ＋m ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则m ＝ .若l 1∥l 2，则m ＝ .解析：由一元二次方程根与系数的关系得k 1·k 2＝m2， 若l 1⊥l 2，则m2＝－1，∴m ＝－2.若l 1∥l 2则k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－4k ＋m ＝0有两个相等的实根， ∴Δ＝(－4)2－4×2×m ＝0，∴m ＝2. 答案：－2 27．已知△ABC 的三个顶点分别是A (2,2＋22)，B (0,2－22)，C (4,2)，则△ABC 是 (填△ABC 的形状)．解析：因为AB 边所在直线的斜率k AB ＝(2－22)－(2＋22)0－2＝22，CB 边所在直线的斜率k CB ＝(2－22)－20－4＝22，AC 边所在直线的斜率k AC ＝2－(2＋22)4－2＝－2，k CB ·k AC ＝－1，所以CB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形8．已知△ABC 的顶点分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求实数m 的值．解：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5×1＋11－5＝－1，解得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ， ∴k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5×m －12－1＝－1，解得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ， ∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5×m －12－1＝－1，解得m ＝±2.综上，m的值为－7，－2,2,3.由Ruize收集整理。

第三章 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C. 2．在3x ＋5y <4表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(2,0) B ．(－1,2) C ．(1,1)D ．(－1,1)解析：选D 将点(－1,1)代入3x ＋5y <4，得2<4，所以点(－1,1)在不等式3x ＋5y <4表示的平面区域内，故选D.3．若点(3,1)和(4，－6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( )A ．(－24,7)B ．(7,24)C ．(－7,24)D ．(－24，－7)解析：选D 由题意知(7＋a )(24＋a )<0⇔－24<a <－7.故选D.4．不等式组⎩⎨⎧x >0，y >0，2x ＋y <6所表示的平面区域内的整点个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 由不等式2x ＋y <6得y <6－2x ，且x >0，y >0，则当x ＝1时，0<y <4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0<y <2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4，故选C.5．不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B ．23 C.43 D ．34解析：选C平面区域如图所示．解⎩⎨⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，则|BC |＝4－43＝83.所以S △ABC ＝12×83×1＝43.故选C.6．已知x ，y 为非负整数，则满足x ＋y ≤2的点(x ，y )共有 个． 解析：由题意点(x ，y )的坐标应满足⎩⎨⎧x ∈N ，y ∈N ，x ＋y ≤2.由图可知，整数点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，(1,1)6个．答案：67．平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧2x ＋2y －1≥0，3x －3y ＋4≥0，x ≤2表示的平面区域的形状是 ．解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形8．(2019·郑州模拟)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b满足不等式组⎩⎨⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x＝ .解析：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，招聘的教师最多，此时x ＝a ＋b ＝13. 答案：139．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均不在不等式kx －2y ＋1<0表示的平面区域内，求k 的取值范围．解：点P (1，－2)关于原点的对称点为P ′(－1,2)， 由题意，得⎩⎨⎧k －2×(－2)＋1≥0，－k －2×2＋1≥0，即⎩⎨⎧k ≥－5，k ≤－3，解得－5≤k ≤－3.故k 的取值范围是[－5，－3]．10．某人准备投资1 200万元兴办一所中学，他对教育市场进行调查后，得到了下面的数据表格(以班级为单位)：学段 班级学生人数 配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元 初中 45 2 26/班 2/人 高中40354/班2/人式和图形表示上述的限制条件．解：设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数限制在20～30之间，所以有20≤x ＋y ≤30，考虑到所投资金的限制，得到26x ＋54y ＋2×2x ＋2×3y ≤1 200，即x ＋2y ≤40，另外，开设的班数不能为负且为整数，则x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .把上面的四个不等式合在一起，得到⎩⎨⎧20≤x ＋y ≤30，x ＋2y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域(阴影部分中x ，y 为整数点)．‖层级二‖|应试能力达标|1．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为 ( )A.⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0 B.⎩⎨⎧ x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≤0 C.⎩⎨⎧ x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≤0 D.⎩⎨⎧x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≥0解析：选A 取原点O (0,0)检验满足x ＋y －1≤0，故异侧点应为x ＋y －1≥0，排除B 、D ；又O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C.故选A.2．若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，5)B ．[7，＋∞)C ．[5,7)D ．(－∞，5)∪[7，＋∞)解析：选C 画出平面区域，知当直线y ＝a 在x －y ＋5＝0与y 轴的交点(0,5)和x －y ＋5＝0与x ＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形，故5≤a <7.故选C.3．(2018·泰安模拟)不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1B ．12 C.13D ．14解析：选D 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.故选D.4．若A 为不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域．则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( )A.34 B ．1 C.74D ．2解析：选C在坐标平面内画出不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2所表示的平面区域可以看出是一个三角形区域(包括边界)．其中三个顶点的坐标分别是O (0,0)，C (－2,0)，B (0,2)，再画出直线x ＋y ＝－2与直线x ＋y ＝1.记直线x ＋y ＝1与y －x ＝2，y 轴的交点分别为点D ，E ，则点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，E (0,1)．结合图形可知，当a 从－2连续变化到1时，动直线扫过A 中那部分区域是四边形OCDE ，因此所求区域的面积等于12×2×2－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝74.故选C.5．已知不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥0表示的平面区域被直线2x ＋y －k ＝0平分成面积相等的两部分，则实数k 的值为 ．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，其面积为12×1×(1＋1)＝1，可知直线2x ＋y －k ＝0与区域边界的交点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫k －13，k ＋23及⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，0，要使直线2x ＋y －k ＝0把区域分成面积相等的两部分，必有12×⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1×k ＋23＝12，解得k ＝6－2.答案：6－26．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎨⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0表示的平面区域的公共点有 个．解析： 画出不等式组⎩⎨⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为直线2x ＋y－10＝0过点A (5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－43，故只有一个公共点(5,0)．答案：17．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x －by ＋1＞0表示的平面区域内，则b 的取值范围是 ．解析：设P (1，－2)关于原点的对称点为P ′(－1,2)，因为点P 与点P ′有且只有一个适合不等式，所以⎩⎨⎧ 2＋2b ＋1＞0，－2－2b ＋1≤0或⎩⎨⎧2＋2b ＋1≤0，－2－2b ＋1＞0，解得b ≥－12或b ≤－32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞8．已知实数x ，y 满足不等式组Ω：⎩⎨⎧2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0，x ＋y －1>0.(1)画出满足不等式组Ω的平面区域； (2)求满足不等式组Ω的平面区域的面积．解：(1)满足不等式组Ω的平面区域如图中阴影部分所示．(2)解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －6＝0，x －2y ＋2＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫67，107，解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －6＝0，x －y －1＝0，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，45，所以满足不等式组Ω的平面区域的面积为 S四边形ABCD ＝S △AEF －S △BCF －S △DCE＝12×(2＋3)×107－12×(1＋2)×1－12×(3－1)×45＝8970.由Ruize收集整理。