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ε →0
P{ X ≤ x , y − ε < Y ≤ y + ε } = lim ε →0 P{ y − ε < Y ≤ y + ε } 存在, 则称此极限为在条件 Y = y下X的条件分布函数 , 记为 : P { X ≤ x | Y = y }或FX |Y ( x | y ). 条件分布函数与条件概率密度的公式:
M p2 j M
L L L
xi pi 1 pi 2
M pij M
L L L L L
P {Y = y j }
p⋅1 p⋅2
M p⋅ j M
p1⋅
pБайду номын сангаас⋅
L
pi ⋅
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3. 连续型随机变量的边缘分布函数与边缘概率密度 若二维随机变量( X ,Y )的分布函数与概率密度 为 : F ( x , y )与f ( x , y ) 则关于X的边缘分布函数为: FX ( x ) = F ( x ,+∞ ) = ∫ [ ∫ f ( x , y )dy ]dx −∞ −∞ 关于Y的边缘分布函数为: FY ( y ) = F ( +∞ , y ) = ∫ [ ∫ f ( x , y )dx ]dy −∞ −∞ 关于X的边缘概率密度为: d +∞ f X ( x ) = FX ( x ) = ∫− ∞ f ( x , y )dy dx
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P{ X = 3,Y = 2} 1 P { X = 3 | Y = 2} = = P {Y = 2} 12 P { X = 4, Y = 2} 1 P { X = 4 | Y = 2} = = P {Y = 2} 16
Y 在X=1条件下,Y 的条件分布律 为： p j
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1 1
2 0
3 0
4 0
例2 设(X,Y)的概率密度是
e e , 0 < x < ∞, 0 < y < ∞ f ( x, y) = y 0 , 其它
−x y − y
求 P{X>1|Y=y}. 解 P { X > 1 Y = y} = 为此, 需求出
x i ≤ x j =1
∑ ∑ pij ,
FY ( y ) = F ( +∞ , y ) =
y j ≤ y i =1
∑ ∑ pij .
+∞
注意: 联合分布与边缘分布的关系用表格表示如下： Y y1 y2 M yj M P { X = xi } X x1 p11 p12
M p1 j M
x2 p21 p22
边缘分布(函数)
仅有边缘分布律一般不能得到联合分布律。 即联合分布律可以确定边缘分布律，而边 缘分布律不一定能确定联合分布律。
但当X与Y相互独立时,联合分布(函数)与边缘分布 (函数)可相互确定
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二、条件分布 1. 二维离散型随机变量的条件分布 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j， 若P{Y=yj}>0，则称
y=x
( 2) P{Y < X } =
1 x
y< x
∫∫ f ( x , y )dxdy
o
xy = ∫0 dx ∫0 ( x + )dy 3 17 3 7 = ∫0 x dx = . 6 24
2
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1
x
联合分布(函数)
X
p⋅ j 13 24 11 24
Y
0
1
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例.设(X,Y)的密度函数为 2 1 x + xy 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 f ( x, y) = 3 其它 0 求：(1)(X,Y)的边缘分布密度函数; ( 2) P {Y < X }. 解 (1) f X ( x ) = ∫− ∞ f ( x , y )dy
+∞
∑ pij ,
j =1
i = 1,2,L
p⋅ j = P {Y = y j } = ∑ pij ,
i =1
+∞
j = 1,2,L
+∞
边缘分布函数为: FX ( x ) = F ( x ,+∞ ) =
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一. 边缘分布 二. 条件分布 三. 随机变量的独立性
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一、边缘分布 因为 FX ( x ) = P{ X ≤ x } = P{ X ≤ x ,Y < +∞ } = F ( x ,+∞ ); FY ( y ) = P {Y ≤ y } = P{ X < +∞ ,Y ≤ y } = F ( +∞ , y ). 1. 边缘分布函数的定义 设F ( x , y )为( X ,Y )的联合分布函数 , 令 FX ( x ) = F ( x ,+∞ ), FY ( y ) = F ( +∞ , y ), 称FX ( x )和FY ( y )为F ( x , y )关于X和关于Y的边缘分 布函数.简称X和Y的边缘分布函数 .
13 4 = 48 13 13 3 = 48 13 4
X 在Y=2条件下,X 的条件分布律为： pi
1 0
3 2 6 13 4 13
3 13
P { X = 1,Y = 1} 1 1 又P {Y = 1 | X = 1} = = =1 P { X = 1} 4 4
P {Y = 2 | X = 1} = P {Y = 3 | X = 1} = P {Y = 4 | X = 1} = 0
=
pij pi ⋅
j = 1,2,L 为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.
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条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切 性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的一切 性质. 例如： P { X = xi | Y = y j } ≥ 0,
∫− ∞ f (u, y )du
fY ( y )
x
= ∫− ∞
x
f ( u, y ) du fY ( y )
f ( x, y) d ∴ f X |Y ( x | y ) = FX |Y ( x | y ) = dx fY ( y )
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+∞
2 2 1 ∫0 ( x + xy )dy 0 ≤ x ≤ 1 = 3 其它 0 2 2 2 x + x 0 ≤ x ≤ 1 = 3 其它 0
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1 2 1 +∞ ∫0 ( x + xy )dx 0 ≤ y ≤ 2 fY ( y ) = ∫− ∞ f ( x , y )dx = 3 其它 0 y 1 0≤ y≤2 + y = 6 3 其它 2 0
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P{ X ≤ x , y − ε < Y ≤ y + ε } FX |Y ( x | y ) = lim ε →0 P{ y − ε < Y ≤ y + ε } F ( x, y + ε ) − F ( x, y − ε ) = lim ε → 0 FY ( y + ε ) − FY ( y − ε ) F ( x, y + ε ) − F ( x, y − ε ) 2ε = lim ε → 0 FY ( y + ε ) − FY ( y − ε ) 2ε ′ ( x, y) Fy = = ′ ( y) FY
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例. 已知
Y
X
1 2
1 2 14 18 0 18
3 1 12
4 P {Y = y j } 1 16 25 48
1 12
1 16 13 48
0 0 3 1 12 1 16 7 48 4 0 0 0 1 16 3 48 P { X = xi } 1 4 1 4 1 4 1 4 (1)求在Y=2条件下，X的条件分布律; (2)求在X=1条件下，Y的条件分布律. 13 P { X = 1 , Y = 2 } 解 P { X = 1 | Y = 2} = =0 =0 48 P {Y = 2} P { X = 2,Y = 2} 1 13 6 = = P { X = 2 | Y = 2} = 8 48 13 P {Y = 2}
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2. 离散型随机变量的边缘分布函数与边缘分布律 若二维随机变量( X ,Y )的分布律为 : P { X = xi ,Y = y j } = pij 则关于X的边缘分布律为: pi ⋅ = P { X = xi } = 关于Y的边缘分布律为:
类似地, P {Y ≤ y , x − ε < X ≤ x + ε } FY | X ( y | x ) = lim ε →0 P{ x − ε < X ≤ x + ε } = ∫− ∞
