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人教A版高中数学必修二全册精品导学案高中数学必修II导学案§1.1 空间几何体的结构【使用说明和学法指导】1.结合问题导学自已复习课本必修2的P2页至P4页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。
2.针对问题导学和小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。
3. 感受空间实物和模型，增强学生直观感知；能根据几何结构特征对空间物体进行分类；4.理解多面体的有关概念；会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.5. 在科学上没有平坦的道路，只有不畏劳苦，敢于沿着陡峭山路攀登的人才有希望达到光辉的顶点。
【重点难点】重点是棱柱、棱锥、棱台结构特征.难点是棱柱、棱锥、棱台的结构特征一【问题导学】探索新知探究1：几何体的相关概念（1）预习课本第2页的观察部分，试着将所给出的16幅图片进行分类，并说明分类依据。
（2）空间几何体的概念：（3探究2新知1：（1）多面体： （2）多面体的面： （3）多面体的棱： （4 指出右侧几何体的面、棱、顶点探究2：旋转体的相关概念新知2：旋转体旋转体的轴 探究31、 棱柱：2、棱柱的分类：（1）按侧棱与底面垂直与否，分为：（2）按底面多边形的边数，分为：注：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
3、棱柱的表示：4、补充：平行六面体——底面是平行四边形的四棱柱探究41、棱锥：2、棱锥的分类：注：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥.3、棱锥的表示：探究5：（三）棱台1、棱台：2、棱台的分类：3、棱台的表示：二【小试牛刀】1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）.A．棱锥B．棱柱C．平面D．长方体2. 棱台不具有的性质是（）.A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点三【合作、探究、展示】例1、根据右边模型，回答下列问题：(1)观察长方体模型，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？(2) 如右图，长方体''''中被截去一部分，ABCD A B C D其中''EH A D。
人教A版高中数学必修第二册全册学案人教A版高中数学必修第二册全册学案一、学案概述本学案是以人教A版高中数学必修第二册全册教材为基础，为学生提供全面的学习指导。
旨在帮助学生更好地掌握教材中的知识点，提高学习效率和学习成绩。
二、知识梳理本学案按照教材章节顺序，对各章节知识点进行了梳理。
对于每个知识点，学案提供了相关例题和解析，以便学生加深对知识点的理解和掌握。
第一章集合与函数1.1 集合及其表示方法 1.2 集合之间的关系 1.3 函数及其表示方法 1.4 函数的性质第二章三角函数2.1 正弦、余弦、正切函数的定义与性质 2.2 三角函数的图像及变换方法 2.3 三角函数的应用第三章数列3.1 数列的概念与分类 3.2 等差数列和等比数列的通项公式 3.3 数列的前n项和公式 3.4 数列的应用第四章平面几何4.1 点、线、面的基本概念和性质 4.2 三角形、四边形的性质和判定方法 4.3 多边形、圆、扇形、弓形的性质和面积计算方法 4.4 几何图形的作图方法第五章概率与统计5.1 概率的基本概念和计算方法 5.2 统计的基本概念和方法 5.3 中心极限定理的应用三、学习建议1、学生应根据个人学习情况，制定合理的学习计划，逐步掌握各章节知识点。
2、对于每个知识点，学生应通过多种方式进行练习，例如课堂练习、课后作业、自主解题等，加深对知识点的理解和掌握。
3、学生应注意知识点的归纳和总结，形成自己的知识体系。
4、学生应积极参加课堂讨论和提问，与老师和同学交流学习心得，提高学习效果。
四、总结归纳本学案对人教A版高中数学必修第二册全册教材进行了全面的知识梳理和学习指导，旨在帮助学生更好地掌握教材中的知识点，提高学习效率和学习成绩。
学生应根据个人学习情况，制定合理的学习计划，通过多种方式进行练习，注意知识点的归纳和总结，积极参加课堂讨论和提问，提高学习效果。
外研版高中英语必修3全册学案版本外研版高中英语必修3全册学案版本外语教学与研究出版社出版的《高中英语必修3》是一本针对高中英语教学的教材，旨在帮助学生掌握英语语言知识，提高英语应用能力。
人教A版高中数学必修二全册精品导学案高中数学必修导学案§1.1 空间几何体的结构【使用说明及学法指导】1.结合问题导学自已复习课本必修2的P2页至P4页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。
2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。
3. 感受空间实物及模型，增强学生直观感知；能根据几何结构特征对空间物体进行分类；4.理解多面体的有关概念；会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.5. 在科学上没有平坦的道路，只有不畏劳苦，敢于沿着陡峭山路攀登的人才有希望达到光辉的顶点。
【重点难点】重点是棱柱、棱锥、棱台结构特征.难点是棱柱、棱锥、棱台的结构特征一【问题导学】探索新知探究1：几何体的相关概念（1）预习课本第2页的观察部分，试着将所给出的16幅图片进行分类，并说明分类依据。
（2）空间几何体的概念：（3探究2新知1：（1）多面体：（2）多面体的面：（3）多面体的棱：（4 指出右侧几何体的面、棱、顶点探究2：旋转体的相关概念新知2：旋转体旋转体的轴 探究31、 棱柱：2、棱柱的分类：（1）按侧棱及底面垂直及否，分为：（2）按底面多边形的边数，分为：注：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
3、棱柱的表示：4、补充：平行六面体——底面是平行四边形的四棱柱探究41、棱锥：2、棱锥的分类：注：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥.3、棱锥的表示：探究5：（三）棱台1、棱台：2、棱台的分类：3、棱台的表示：二【小试牛刀】1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）.A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体2. 棱台不具有的性质是（）.A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点三【合作、探究、展示】例1、根据右边模型，回答下列问题：(1)观察长方体模型，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？(2) 如右图，长方体''''中被截去一部ABCD A B C D分，其中''EH A D。
2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.2.1 数轴上的基本公式一、 复习：数轴的定义及实数与数轴上的点之间的对应关系。
二、自主学习：自学6765P P -回答：1。
直线坐标系：一条给出了 、 和 的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了 。
2。
实数与数轴上的点之间是 对应关系。
如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为 ，记作 。
3。
位移向量（向量）：既有 又有 的量叫做位移向量，简称 。
4。
相等的向量：数轴上 且 的向量叫做相等的向量。
5。
向量的坐标或数量：一般地，轴上向量AB 的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的 ，如果起点指向终点的方向与轴同方向，则这个实数取 ，反之取 。
起点和终点重合的向量是 向量。
6。
位移的和：在数轴上，如果点A 做一次位移到点B ，接着由点B 再做一次位移到点C 则位移AC 叫做位移 和位移 的和。
记作：AC = + 。
对于数轴上任意三点A 、B 、C 都具有关系：AC= + 。
7。
数轴上任意向量的坐标公式：设是数轴上任意一个向量，点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则AB= 。
8。
数轴上两点间距离公式：d （A ，B ）=︱AB ︱= 。
9。
数轴上两点A （1x ）、B （2x ），线段AB 中点Ｍ（x ）的坐标公式是:x= .三、典型例题：例1.已知A ，B ，C 是数轴上任意三点，（1）、若AB=5，CB=3，求AC ；（2）、证明：AC+CB=AB ；（3）、若,3,5==CB AB 求AC例2.（1）若点)(x A 位于点)2(B 与点C(8)之间，求x 的取值范围；（2）若点)(x A 位于点)8(C 的右侧，求x 的取值范围例3. 设A 、B 、C 、D 为数轴上任意四点，求证：AB+BC+CD+DA=0四、学生练习：6867P P -练习Ａ、Ｂ五、小结：六、作业：1、不在数轴上画点，确定下列各组点中，那一组中的点M 位于点N 的右侧 （ ）（A ）M （-3）和N （-4） （B ）M （3）和N （4）（C ）M （-3）和N （4） （D ）M （-4）和N （-3）2、A ，B 是数轴上两点，B 点坐标B x =-6，且BA= -4，那么点A 的坐标为 （ ）（A ）-10 （B ） -2 （C ） -10或-2 （D ） 103．数轴上三点A 、B 、C ，已知AB=2.5，BC=-3，若A 点坐标为0，则C 点坐标为（ ）（A ）0.5 （B ）-0.5 （C ）5.5 （D ）-5.54、下列说法正确的是 （ ）（A ）零向量有确定的方向 （B ）数轴上等长的向量叫做相等的向量（C ）向量的坐标AB=-BA （D ）AB =５。
2.1.1 数轴上的基本公式预习要求1. 会证明AC ＝ＡＢ＋BC ，2. 了解12AB x x =-的几何意义和代数意义知识再现1. 一条给出了_____、_________和_________的直线叫做数轴.2. 数轴上的点是和实数集是一一对应的.即对数轴上每一个点都有____之,对于任何一个实数,数轴上也_____________的点与之对应.概念探究1. 数轴上右边的数总比左边的数________________2. 如果数轴上的单位长取作1cm ，你能在数轴上标出数0.001，0.0001说明在数轴上确实存在这些点吗？3. 如果点P 与实数x 对应,则称点P 的坐标为x,记作_______4. 什么是位移,他有什么特点?5. 向量和我们以前学的线段的长度有什么区别?6. 如何判断两个向量是相等的？7. 知道A 和B 两点的坐标，该如何求向量AB 的坐标8.知道A 和B 两点的坐标如何求A 和B 两点的距离例题解析1. 不看课本你能否独立完成下列例题的证明（1）对于数轴上任意三点A 、D 、C 试证明ＡＣ＝AD+DC（2）已知点A 坐标为x1，点B 的坐标为x2，证明d （A ，B ）=12AB x x =- 2. 总结你在证明上题的过程中的方法和技巧以及由此得出的结论。
检查反馈1 .对概念的理解和一些表示方法要加以说明（1）数轴上点的坐标该如何表示。
例如：P （x ） （2）了解位移、向量和位移向量的概念 （3）相等的向量如何判断 课堂检测1. 关于位移向量说法正确的是 （ ）B ．两个相等的向量的C ．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量； D.位移向量的大小是A 、B 两点到原点距离之差的绝对值。
为数轴上的两点,A 点的坐标为-1,AB=6,那么点B 的坐标为()5 B .3 C. 5或-7 D. -5或7A(a)位于点B(b)的右侧,那么a 与b 的关系为()a>b B a<b C a=b D.无法确定 A(-2)和B(-5),则AB 和AB 的值分别为___________ |x|>3则点P （x ）在数轴上_______ |x-7|<3，在数轴上画出点P （x ） 1-3、 B A A 4、 -3，32.1.2平面直角坐标系中的基本公式预习要求1. 了解数轴上的点的坐标和平面直角坐标系中的点的坐标的异同2.式。
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面[目标] 1.理解平面的概念，会画一个平面及会表示平面；2.会用符号语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系；3．掌握三个公理并会简单应用．[重点] 平面的画法、表示；用符号语言描述点与直线、直线与平面、点与平面的关系；三个公理及简单应用．[难点] 对平面的理解及三个公理的简单应用．知识点一平面的概念[填一填]1．概念：平面是从生活中抽象出来的，具有以下特点：①平；②无限延展；③没有厚薄．2．画法：(1)通常用平行四边形来表示平面．(2)当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，且横边长是邻边长的2倍；当平面竖直放置时，通常把平行四边形的一组对边画成铅垂线．3．表示法：一般用希腊字母α，β，γ，…来表示，还可以用代表平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD、平面AC.[答一答]1．课桌面、黑板面、海面是平面吗？提示：虽然课桌面、黑板面、海面给我们以平面的形象，但是平面是无限延展的，所以它们不是平面．2．如下图所示，平面(1)和平面(2)哪个大？提示：平面无厚薄、无大小，是无限延展的，所以两个平面之间无法比较大小．3．我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面，这句话对吗？提示：不对，我们通常用平行四边形表示平面，但平面是无限延展的，所以平行四边形不是一个平面．知识点二点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示[填一填][答一答]4．如图，点A∈平面ABC；点A∉平面BCD；BD⊂平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝BC.知识点三平面的基本性质[填一填][答一答]5．如果线段AB在平面α内，那么直线AB在平面α内吗？为什么？提示：直线AB在平面α内，因为线段AB在平面α内，所以线段AB上的所有点都在平面α内，故线段AB上A，B两点一定在平面α内，由公理1可知直线AB在平面α内．6．经过三点有多少个平面？提示：当三点不共线时，由公理2可知，经过这三点有且只有一个平面．而当三点共线时，经过这三点有无数个平面．7．若两个平面相交，则有几条交线？若点P是这两个平面的公共点，那么点P在哪里？提示：两个平面相交只有一条交线，点P在交线上．类型一平面的概念、画法及表示[例1](1)给出下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽为20 m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为________．(2)下图中的两个相交平面，其中画法正确的是__________________________________________．[分析]根据平面的特征及表示来判断．[解析](1)由平面的概念知，平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①②③都不正确．(2)对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，也可知②③图形的画法不正确，④中图形画法正确．[答案](1)1(2)④(1)平面是无限延展的，不能度量其面积；平面没有厚薄之分，不能度量其体积；平面可以用任意平面图形来表示．(2)在平面几何中，凡是所引的辅助线都要画成虚线，但在立体几何中，能看见的线要画成实线，看不见的线要画成虚线．[变式训练1]下列对平面的描述语句：①平静的太平洋面就是一个平面；②平面ABCD的面积为100 cm2；③三角形、圆、平行四边形都可以表示平面；④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集．其中正确的是③④.解析：序号正误原因分析①×太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展的②×平面不能度量大小③√三角形、圆、平行四边形都是平面图形，可以用来表示平面④√平面是空间中点的集合，是无限集类型二之间的关系[例2](1)用文字语言表述语句“l⊂α，m∩α＝A，A∉l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形；(2)用符号语言表示下图所表示的点、线、面的位置关系．[解](1)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．(2)题图表示的点、线、面的位置关系可用符号语言表示为α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，m∥l.(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.[变式训练2]把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：(1)A∉α，a⊂α：③.(2)α∩β＝a，P∉α，且P∉β：④.(3)a⊄α，a∩α＝A：①.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：②.类型三公理的应用命题视角1：共面问题[例3]过直线l外一点P引两条直线P A，PB和直线l分别相交于A，B两点，求证：三条直线P A，PB，l共面．[分析]根据条件点P，A，B确定一个平面，再证直线l，P A，PB在这个平面内．[证明]如图，∵点P，A，B不共线，∴点P，A，B确定一个平面α.∴P∈α，A∈α，B∈α.∴P A⊂α，PB⊂α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α.∴P A，PB，l共面．证明点、线共面的两种方法方法一：先由确定平面的条件确定一个平面，然后再证明其他的点、线在该平面内．方法二：先由有关点、线确定一个平面α，再由其余元素确定一个平面β，然后根据有关定理，证明这两个平面重合．[变式训练3]如图，已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面．证明：∵a∥b，∴a和b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.故l⊂α.又a∥c，∴a和c确定一个平面β.同理l⊂β.即l和a既在α内又在β内，且l与a相交，故α，β重合，即直线a，b，c，l共面．命题视角2：共线与共点问题[例4]如右图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B，D，O三点共线．[分析]解答本题只要证明点O在平面ABD与平面CBD的交线BD上即可．[证明]∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理O∈平面BCD，即O∈(平面ABD∩平面BCD)，∴O∈BD，即B，D，O三点共线．(1)证明三点共线的常用方法：,方法一：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点.根据公理3知，这些点都在交线上.,方法二：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上.(2)证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题.[变式训练4]在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF FC＝DH HA＝23，求证：EF，GH，BD交于一点．证明：如图，因为E，G分别为BC，AB的中点，所以GE∥AC.又因为DF FC＝DH HA＝23，所以FH∥AC，从而FH∥GE，故E，F，H，G四点共面．所以四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点.1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是(D)解析：画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．2．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作(B)A．Q∈b∈βB．Q∈b⊂βC．Q⊂b⊂βD．Q⊂b∈β解析：∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b⊂β，∴Q∈b⊂β.3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l ＝C，则直线AB∩β＝C.解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.4．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定4个平面．(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定7个平面．解析：(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面．(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．5．如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点．(1)作直线AB与平面α的交点P；(2)求证：D，E，P三点共线．解：(1)延长AB交平面α于点P，如图所示．(2)证明：∵平面ABC∩平面α＝DE，P∈AB，AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.又∵P∈α，∴P在平面α与平面ABC的交线DE上，即P∈DE，∴D，E，P三点共线．——本课须掌握的两大问题1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想．2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系[目标] 1.会判断空间两直线的位置关系；2.理解异面直线的定义，会求两异面直线所成角；3.能用公理4解决一些简单的相关问题．[重点] 两直线位置关系的判断；公理4的应用；异面直线的定义及两异面直线所成的角．[难点] 异面直线定义的理解；求两异面直线所成的角．知识点一空间直线的位置关系[填一填]1．异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．2．空间直线的三种位置关系：[答一答]1．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a，b是否为异面直线？为什么？提示：a，b不一定是异面直线，因为a，b也有可能平行或相交．根据异面直线的定义，若a，b是异面直线，则找不到任何一个平面，使得直线a，b都在这个平面内．2．若两条直线没有公共点，那么这两条直线的关系是怎样的？提示：这两条直线平行或异面．知识点二公理4和等角定理[填一填]1．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c.2．定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．[答一答]3．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(C)A．30°B．150°C．30°或150°D．大小无法确定解析：两个角的两边分别对应平行，那么这两个角是相等或互补关系，所以∠B′A′C′＝30°或150°.4．若两个角的两边分别对应平行，且两个角的开口方向相同，那么这两个角的关系是什么？提示：相等．知识点三异面直线所成的角[填一填][答一答]5．在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？提示：根据等角定理可知，a′与b′所成角的大小与点O的位置无关．但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)．6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为65°.解析：∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB ＝90°－25°＝65°.类型一空间两条直线的位置关系[例1]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，以下四个结论：①直线DM与CC1是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．[分析]利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断．[解析]①中直线DM与直线CC1在同一平面内，它们不平行，必相交．故结论正确．③④中的两条直线既不相交也不平行，即均为异面直线，故结论正确．②中AM与BN是异面直线，故②不正确．故填①③④.[答案]①③④判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[变式训练1](1)如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是(B)A．6B．4C．5D．8解析：与AA1异面的棱有CD、C1D1、BC、B1C1共4条．(2)若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是相交或异面．解析：b与c不可能平行，相交、异面都可能．类型二公理4与等角定理的应用[例2]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[分析](1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证BB1与MM1平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．[证明](1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1綊AA1.又∵AA1綊BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM，由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.(1)公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法.,(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等.[变式训练2]如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.证明：连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF綊12B1C.又ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以CD綊AB，A1B1綊AB，由公理4知CD綊A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D綊B1C.又B1C∥FG，由公理4知A1D∥FG.同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.类型三异面直线所成的角[例3]如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角．(2)FO与BD所成的角．[解](1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG 所成的角为45°.(2)如图，连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O 为AH 的中点，所以∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角为30°.求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可作“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值范围为0°<θ≤90°.[变式训练3] 四面体A -BCD 中，AB ＝CD ，AB 与CD 成30°角，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．解：如图，取BD 的中点G ，连接EG ，FG .∵E ，F ，G 分别是BC ，AD ，BD 的中点，∴EG 綊12CD ，GF 綊12AB .∴∠EGF (或∠EGF 的补角)为AB 与CD 所成的角，即∠EGF ＝30°或150°.∵AB ＝CD ，∴EG ＝GF ，故由等腰△EGF ，知∠GFE ＝75°或15°.而由FG ∥AB ，知∠GFE 就是EF 和AB 所成的角．从而EF 和AB 所成的角为75°或15°.1．若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是( D )A ．异面或平行B ．异面或相交C ．异面D ．相交、平行或异面 2．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是( D )A ．相交B ．异面C ．平行D ．异面或相交3．已知棱长为a 的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是平行．解析：如图所示，MN ∥AC 且MN ＝12AC ，又因为AC ∥A ′C ′，所以MN ∥A ′C ′.4．如图，在三棱锥A -BCD 中，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，AD 的中点，∠GEF ＝120°，则BD 和AC 所成角的度数为60°.解析：依题意知，EG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠GEF 或其补角即为异面直线AC 与BD 所成的角，又∠GEF ＝120°，所以异面直线BD 与AC 所成的角为60°.5．如图所示，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若EF ＝2，求AD ，BC 所成的角．解：如图，取BD的中点H，连接EH，FH，因为E是AB的中点，且AD＝2，所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1，所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角，又因为EF＝2，所以EH2＋FH2＝EF2，所以△EFH 是等腰直角三角形，EF是斜边，所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.——本课须掌握的两大问题1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°<θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2．1.4平面与平面之间的位置关系[目标] 1.会判断直线与平面、平面与平面的位置关系；2.会用符号语言和图形语言表示直线与平面、平面与平面的位置关系．[重点] 直线与平面、平面与平面位置关系的判断．[难点] 直线与平面、平面与平面位置关系的判断．知识点一直线与平面的位置关系[填一填]1．位置关系：有且只有三种(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．2．符号表示：直线l在平面α内，记为l⊂α；直线l与平面α相交于点M，记为l∩α＝M；直线l与平面α平行，记为l∥α.3．图示：直线l在平面α内，如下图(1)所示；直线l与平面α相交于点M，如下图(2)所示；直线l与平面α平行，如下图(3)所示．[答一答]1．假如不小心一支铅笔掉在地面上，那么铅笔所在的直线与地面有何关系？提示：直线在平面内．2．直线l在平面α外，l就与α无公共点吗？提示：直线l在平面α外包含两种情况：l与α平行，l与α相交．若l与α相交，则有唯一的公共点．所以直线l在平面α外，l与α不一定没有公共点．3．若直线l上有无数个点都在平面α外，则直线l与平面α的位置关系是什么？提示：相交或平行．知识点二平面与平面的位置关系[填一填]1．位置关系：有且只有两种(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线．2．符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为α∩β＝l.3．图示：两个平面α，β平行，如下图(1)所示；两个平面α，β相交于直线l，如下图(2)所示．[答一答]4．两本书所在的平面可以平行吗？公共点的个数是多少？提示：可以，无公共点．5．两本书所在的平面可以相交吗？公共点的个数是多少？提示：可以，有无数个公共点．类型一直线与平面之间的位置关系[例1]下列命题中正确的是()A．如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面B．如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线C．如果直线a、b满足a∥α，b∥α，则a∥bD．如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α[解析]如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故选项A不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故选项B不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以选项C不正确；选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即选项D正确．故选D.[答案] D判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据公理给出严格证明．另外，借助模型(如长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法．[变式训练1]如图所示，A′B与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？解：∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点，∴直线A′B在平面ABB′A′内．∵直线A′B与平面ABCD，BCC′B′都有且只有一个公共点B，∴直线A′B与平面ABCD，BCC′B′相交．∵直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′，∴直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′相交．∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点，∴直线A′B与平面DCC′D′平行．类型二平面与平面之间的位置关系命题视角1：两平面位置关系的判断[例2]如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直相交[解析]可根据题意作图(如图①②)，判断．[答案] C两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将文字语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形作出判断.[变式训练2]α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是(C)A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥βD．以上说法均正确解析：根据两平面相交和平行的定义进行判断，A，B都不能保证α，β无公共点，正确答案为C.命题视角2：两平面位置关系的作图[例3]完成下列作图．(1)在图中画出两个平行平面．(2)在图中画出两个相交平面．(3)在图中画出一个平面与两个平行平面相交．(4)在图中画出三个两两相交的平面．[解]动手作图对于空间想象能力的培养大有帮助，也能够更深刻地理解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系.另外注意空间中不同情况的讨论，这也是一种分类讨论思想的具体体现.[变式训练3](1)两个平面将空间分成几部分？(2)将一个三棱柱的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？解：(1)两个平面平行时，将空间分成三部分；两个平面相交时，将空间分成四部分．(2)如图，将三棱柱的三个侧面延展成平面后，可将空间分成7部分，然后将三棱柱的两底面延展成平面，那么每一个平面将这7部分一分为二，故共分成3×7＝21部分．1．过平面外两点，可作这个平面的平行线条数为(D)A．1条B．2条C．无数条D．不确定解析：可能有1条，也可能没有．2．若a∩α＝A，则直线a与平面α内的直线的可能关系是(B) A．相交B．相交或异面C．异面与平行D．相交或平行3．在如图正方体中，与平面AA1C1C平行的棱有BB1和DD1，与棱BB1平行的平面有平面AD1和平面DC1.4．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为①②.解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也是有无数个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD-A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．5．指出如下图所示的图形的画法是否正确，若不正确，则画出正确的图形．解：都不正确．正确的画法如下图所示．——本课须掌握的两大问题1．直线和平面的位置关系(1)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交，统称直线在平面外，可以用记号a⊄α来表示a∥α、a∩α＝A 这两种情形．(2)一般地，直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α平行时，把a画成与表示平面α的平行四边形的水平边平行．2．两个平面的位置关系两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分．如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．2．2直线、平面平行的判定及其性质2．2.1直线与平面平行的判定[目标] 1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理，明确定理中“平面外”三个字的重要性；2.能利用判定定理证明线面平行问题．[重点] 直线与平面平行的判定定理及应用．[难点] 在应用时在平面内找到直线与已知直线平行．知识点直线与平面平行的判定定理[填一填][答一答]1．直线和平面平行的判定定理中如果没有“不在一个平面内”的限制条件，结论还成立吗？为什么？提示：结论不一定成立．因为直线a可能在平面α内．2．如果一条直线与平面内无数条直线平行，那么这条直线与这个平面平行吗？提示：不一定平行，有可能直线在平面内．3．直线a∥直线b，直线a∥平面α，那么直线b与平面α的位置关系是什么？提示：b∥α或b⊂α.类型一线面平行判定定理的理解[例1]下列说法中正确的是()A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线[解析]选项A中，直线l⊂α时l与α不平行；直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，所以选项B不正确；选项C中直线a可能在平面α内；选项D正确．故选D.[答案] D正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线和平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法.[变式训练1]设b是一条直线，α是一个平面，则由下列条件不能得出b∥α的是(A)A．b与α内一条直线平行B．b与α内所有直线都无公共点C．b与α无公共点D．b不在α内，且与α内的一条直线平行解析：A中b可能在α内；B、C显然是正确的，D是线面平行的判定定理，所以选A.类型二线面平行的证明命题视角1：以锥体、台体为背景证明线面平行。
这节课我们主要学习多面体——柱、锥的结构特征。
二、讲授新课：1. 棱柱的结构特征：请同学们根据刚才的分类，再对比一下图1.1-1中(2)(5)(7)(9)中的几何体，并寻找它们的共同特征。
（师生共同讨论，总结出棱柱的定义及其相关概念）（1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
（2）棱柱的有关概念：（出示右图模型，边对照模型边介绍）棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
（3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
（4）棱柱的表示用底面各顶点的字母表示，如右图的六棱柱可表示为“棱柱''F''''AABCDEF ”BDEC思考1：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？解答：不是棱柱。
据反例。
如右图几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱。
2．棱锥的结构特征：请同学们根据刚才的分类，再对比一下图1.1-1中(14)(15)中的物体，并寻找它们的共同特征。
（师生共同讨论，总结出棱柱的定义及其相关概念）（1）定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）棱锥的有关概念：（出示右图模型，边对照模型边介绍）棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形我们所讲的视图就是将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。
三视图就是从三个不同的视角看空间物体的结构，只有这样才能客观的反映物体。
所以我们在现实生活中，也要从多个角度看待问题，否则就如瞎子摸象。
现在我们比较详细的了解了三视图，接下来，我们就来画物体的三视图。
2. 柱、锥、台、球的三视图：（1）三视图的定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1．1.1柱、锥、台、球的结构特征第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征[目标] 1.记住棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征；2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系；3.能用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征解答一些简单的有关问题．[重点] 棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征．[难点] 棱柱、棱锥、棱台之间关系的理解．知识点一空间几何体[填一填]1．空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．空间几何体的分类(1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．(2)旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．[答一答]1．多面体与旋转体的主要区别是什么？提示：多面体是由多个多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体．2．多面体最少有几个面，几个顶点，几条棱？提示：多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱．知识点二棱柱的结构特征[填一填]有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．[答一答]3．棱柱的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面的关系是怎样的？提示：根据棱柱的定义，棱柱的各侧棱互相平行，侧面是平行四边形，两个底面是全等的多边形．4．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？提示：不一定，因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如右图所示．知识点三棱锥的结构特征[填一填]有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．[答一答]5．棱锥的侧面是什么样的多边形？有什么特征？提示：根据棱锥的定义，棱锥的侧面一定是三角形，且各个三角形有公共顶点．6．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？提示：不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示．知识点四棱台的结构特征[填一填]用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面．[答一答]7．棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？提示：棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．8．观察下面的几何体，思考问题：图①是棱台吗？图②用任意一个平面去截棱锥，一定能得到棱台吗？提示：图①不是棱台，因为各侧棱延长后不交于一点，图②中只有用平行于底面的平面去截才能得到棱台．类型一棱柱的结构特征[例1]下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确的序号是________．[解析](1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)．[答案](3)(4)棱柱的结构特征：(1)两个面互相平行；(2)其余各面是四边形；(3)相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.[变式训练1]如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个面作为底面，则底面都是四边形，其余各面都是矩形，矩形当然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEB1-CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1-DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．类型二棱锥、棱台的结构特征[例2](1)如图，在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是() A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台(2)下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是________．[解析](1)由题意知，在三棱台A′B′C′中，截去三棱锥A′-ABC，剩下的部分如图所示，故剩余部分是四棱锥A′-BB′C′C.故选B.(2)①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤错误，如图所示四棱锥被平面P AC截成的两部分都是棱锥．[答案](1)B(2)②③④判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点[变式训练2]如图，下列几何体是棱台的是④(填序号)．解析：①③都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意．②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意．④符合棱台的定义．类型三空间几何体的展开图问题[例3](1)请画出如图所示的几何体的表面展开图；(2)如图是两个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？[解](1)展开图如图所示．(答案不唯一)(2)根据表面展开图还原成几何体，如图③和④所示，可知①为五棱柱，②为三棱台．(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力.(2)若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面.(3)若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推.[变式训练3]某城市中心广场主题建筑为一三棱锥，且所有边长均为10 m，如图所示，其中E，F分别为AD，BC的中点．(1)画出该几何体的表面展开图，并注明字母；(2)为迎接国庆，城管部门拟对该建筑实施亮化工程，现预备从底边BC中点F处分别过AC，AB上某点向AD中点E处架设LED灯管，所用灯管长度最短为多少？解：(1)该几何体的表面展开图为(2)由该几何体的展开图知，四边形ACBD为菱形，四边形ABCD为菱形．若使由F 向E所架设灯管长度最短，可由其展开图中连接线段EF.这两条线段均为10，故所用灯管最短为20 m.1．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为(D) A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥2．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(B)A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥只有一个顶点，故B不正确．3．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(C)A．①③B．②④C．③④D．①②解析：可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．4．下列几何体中，①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台(仅填相应序号)．解析：结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．5．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体．(2)三个三棱锥，并用字母表示．解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″，另一个多面体是B′C′BCC″B″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.——本课须掌握的四大问题1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．(2)多面体是一个“封闭”的几何体．2．对于棱柱的定义注意以下三个方面：(1)有两个面平行，各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形．(2)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱．(3)从运动的观点看，棱柱可以看成是一个平面多边形，从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，形成的几何体．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．学习至此，请完成课时作业1学科素养培优精品微课堂柱、锥、台结构特征判断中的误区开讲啦(1)解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．(2)解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．[典例]如图所示，几何体的正确说法的序号为________．(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．[解析](1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围；(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；(3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；(4)(5)都正确，如图所示．[答案](1)(3)(4)(5)[对应训练]如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(A)A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定解析：符合棱柱的定义．第2课时圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征[目标] 1.记住圆柱、圆锥、圆台、球的定义及它们的结构特征；2.能用圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征解答一些相关问题．[重点] 圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征．[难点] 圆柱、圆锥、圆台之间关系的理解．知识点一圆柱[填一填]以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．棱柱和圆柱统称为柱体．[答一答]1．①在圆柱中，圆柱的任意两条母线是什么关系？过两条母线的截面是怎样的图形？②在圆柱中，过轴的截面是轴截面，圆柱的轴截面是什么图形？轴截面含有哪些重要的量？③圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？提示：①圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的截面是矩形．②圆柱的轴截面是矩形，轴截面中含有圆柱的底面直径与圆柱的母线．③不一定．圆柱的母线与轴是平行的．知识点二圆锥[填一填]以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．棱锥与圆锥统称为锥体．[答一答]2．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥吗？提示：不是．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底面圆锥组成的几何体．知识点三圆台[填一填]用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．棱台与圆台统称为台体．[答一答]3．类比圆柱、圆锥的形成过程，圆台可以由平面图形旋转而成吗？提示：(1)圆台可以看作是直角梯形以垂直底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周而成的曲面所围成的几何体．(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其两底边的中点连线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．知识点四球体[填一填]以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．[答一答]4．半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？它与球有区别吗？提示：半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面．球面是一曲面，它只能度量面积而不能度量体积，球是由球面围成的几何体，它不仅可以度量球的表面积，还可以度量其体积．5．用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？提示：不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部．类型一旋转体的结构特征[例1](1)下列叙述中，正确的个数是()①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台．③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．④圆面绕它的任一直径旋转一周形成的几何体是球．A．0个B．1个C．2个D．3个(2)给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④[解析](1)以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥，故①错；以直角梯形的一斜腰为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，故②错；当截面与底面不平行时，得到的两个几何体不是圆锥和圆台，故③错．故只有④是正确的．故选B.(2)由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．[答案](1)B(2)D简单旋转体判断问题的解题策略(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．(2)解题时要注意两个明确：①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．[变式训练1] 以下说法中：①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定不等于1；②矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱；③圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆直径；④圆台的上下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等． 其中正确的序号为①. 解析：圆台上、下底面不等，所以面积比不等于1，所以①正确；矩形绕其一边所在直线旋转才可以围成圆柱，所以②不正确；圆锥母线不一定大于底面直径，所以③不正确；圆台的上、下底面一定平行，所以④不正确．类型二 旋转体的有关计算命题视角1：圆柱、圆锥、圆台的计算问题[例2] 已知一个圆台的母线长为12 cm ，两底面的面积分别为4π cm 2和25π cm 2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[分析] 在解答有关台体的问题时，一般要把台体还原成锥体，这就是常应用的“还台为锥”的思想，不仅在作图时应用，而且在计算时也常应用此思想寻求元素间的关系，以便解决问题．[解] (1)设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD (如图所示)．由题意可得上底的一半O 1A ＝2 cm ，下底的一半OB ＝5 cm ，腰长AB ＝12 cm ，所以圆台的高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm ，则由△SAO 1∽△SBO ，得l －12l ＝25， 解得l ＝20.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解.这是解答圆台问题常用的方法.[变式训练2] 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是14，截去的小圆锥的母线长是3 cm ，则圆台的母线长9 cm. 解析：如右图，设圆台的母线长为y ，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x .根据相似三角形的性质得33＋y ＝x 4x，解此方程得y ＝9.所以圆台的母线长为9 cm. 命题视角2：球的截面问题 [例3] 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，求这两个截面间的距离．[分析] 画出球的截面图，球心与截面圆心连线垂直于截面所在的平面，构造直角三角形解决．对于球的两个平行截面要注意讨论它们在球心同侧还是异侧，否则容易漏解．[解] 设球的大圆为圆O ，C ，D 两点为两截面圆的圆心，AB 为经过C ，O ，D 三点的直径且两截面圆的半径分别是6和8.当两截面在球心同侧时，如图(1)，此时CD ＝OC －OD ＝OE 2－EC 2－OF 2－DF 2＝8－6＝2.当两截面在球心两侧时，如图(2)，此时CD ＝OC ＋OD ＝OE 2－EC 2＋OF 2－DF 2＝8＋6＝14.故两截面间的距离为2或14.利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.[变式训练3] 已知正方体的棱长为a ，求它的外接球的半径．解：正方体的外接球与正方体相连接的点为正方体的各个顶点，故应作正方体的对角面，则球的轴截面为对角面矩形的外接圆，如图所示，设球的半径为R 2，则(2R 2)2＝(2a )2＋a 2⇒R2＝3 2a.类型三旋转体的展开图问题[例4]如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？[解]把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，∴AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，故蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.求旋转体侧面上两点间的最短距离，一般转化为侧面展开图上两点间的距离进行求解.[变式训练4]若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图，则它爬行的最短距离是多少？解：可把圆柱展开两次，如图，则AB′即为所求．∵AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π，∴AB′＝AB2＋BB′2＝4＋16π2＝21＋4π2.故蚂蚁爬行的最短距离为21＋4π2.1．下图是由哪个平面图形旋转得到的( D )解析：组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分为三角形，下半部分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D 正确．2．下列说法正确的是( C )A ．用一平面去截圆台，截面一定是圆面B ．通过圆台侧面上一点，有无数条母线C ．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点D ．圆锥的母线可能平行解析：对于A ，用一平面去截圆台，当截面与底面不平行时，截面不是圆面；对于B ，通过圆台侧面上一点，只有一条母线；对于D ，圆锥的母线延长后交于顶点，因此不可能平行．3．若A ，B 为球面上相异的两点，则通过A ，B 两点可作球的大圆有( D )A ．一个B ．无穷多个C ．零个D ．一个或无穷多个解析：若A ，B 为一条直径的两端点，则经过A ，B 两点可作无数个大圆．若A ，B 与球心O 不在同一直线上，只能作一个大圆．故选D.4．一个圆锥的母线长为20 cm ，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为10 3 cm. 解析：h ＝20cos30°＝10 3 (cm)．5．已知圆锥底面半径r ＝1 cm ，母线l ＝6 cm ，现有一只蚂蚁，从圆锥底面圆周上的点A 沿侧面爬一周后又回到点A ，求它至少要爬的路程．解：如图，将圆锥侧面沿母线P A 展开，所得扇形的圆心角θ＝r l ·360°＝16×360°＝60°. 连接AA ′，则AA ′的长度就是蚂蚁爬的最短距离．因为△AA ′P 是等边三角形，所以AA ′＝AP ＝6 cm ，即蚂蚁至少要爬6 cm.——本课须掌握的三大问题1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．1．1.2 简单组合体的结构特征[目标] 1.了解组合体的概念；2.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征．[重点] 对简单组合体两种基本形式的认识．[难点] 把简单组合体分解为简单几何体．知识点一 简单组合体的结构特征[填一填]1．定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．2．简单组合体的两种基本形式：简单组合体⎩⎪⎨⎪⎧由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成. [答一答]1．组合体的形式有哪些？提示：(1)多面体与多面体的组合体．(2)旋转体与旋转体的组合体．(3)多面体与旋转体的组合体．2．如图是一暖瓶，不考虑提手，其主要的结构特征是什么？提示：把暖瓶看作一个旋转体，它是一个简单组合体，是由两个圆柱和一个圆台拼接而成的．类型一简单组合体的结构特征[例1](1)如图①所示的物体为燕尾槽工件，请说明该物体是由哪些几何体构成的．(2)指出图②中三个几何体的主要结构特征．[解](1)图①中的几何体可以看做是一个长方体割去一个四棱柱所得的几何体，也可以看成是一个长方体与两个四棱柱组合而成的几何体(如图所示)．(2)(A)中的几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱后剩余部分组合而成，其中圆柱内切于三棱柱．(B)中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱后剩余部分组合而成，其中四棱柱内接于圆锥．(C)中的几何体由一个球挖去一个三棱锥后剩余部分组合而成．其中三棱锥内接于球．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力.[变式训练1]请描述如图所示的组合体的结构特征．解：①是由一个圆台挖去一个圆锥后剩下的部分得到的组合体；②是由一个四棱柱和一个四棱锥组合而成的组合体．类型二平面图形旋转形成的组合体[例2]已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如图．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．[解](1)以AB为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示．(2)以BC为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥．如图②所示．(3)以CD为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示．(4)以AD为轴旋转所得的旋转体为一组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图④所示．对于不规则的平面图形绕轴旋转的问题，要对原平面的图形通过向轴作垂线，作适当的分割，再根据圆柱、圆锥、圆台的特征进行判断.[变式训练2]如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(B)。
