18版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.2第2课时直线的两点式和一般式方程学案新人教B版必修2

第二课时 直线方程的两点式和一般式填一填1.直线方程的两点式和截距式名称 两点式 截距式已知条件 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在x ，y 轴上的截距分别为a ，b示意图方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b＝1 适用X 围y 1≠y 2且x 1≠x 2 ab ≠02.直线的一般式方程把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0叫做直线的一般式方程，简称一般式．其中系数A ，B 满足A ，B 不同时为0.判一判1.两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．(√) 2．截距式可表示除过原点外的所有直线．(×)3．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(×)4．平面上任一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示．(√)5．过点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1表示．(×)6．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋y b＝1.(×) 7．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(√)8．若直线Ax ＋By ＋想一想1.过点(1,3)和，(5,3)的直线呢？ 提示：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．2．截距式方程能否表示过原点的直线？提示：不能，因为ab ≠0，即有两个非零截距． 3．任何直线方程都能表示为一般式吗？提示：能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示． 4．当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？提示：当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图像．故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线．思考感悟：练一练1.直线x a ＋y b＝1(ab <0)的图像可能是( )答案：C2．过两点(2018,2019)，(2018,2020)的直线方程是( ) A ．x ＝2018 B ．x ＝2019 C ．y ＝2018 D ．x ＋y ＝2020 答案：A3．直线x －y ＋5＝0的倾斜角为( ) A ．45° B．60° C ．120° D．135° 答案：A4．在x 轴、y 轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为( ) A.x 5＋y 3＝1 B.x 5－y 3＝1 C.y 3－x5＝1 D.x 5＋y3＝0 答案：B5．直线2x ＋3y －6＝0与坐标轴围成的三角形面积为________． 答案：3知识点一 直线的两点式方程1.已知直线l 经过点A (1，－2)，B (－3,2)，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0 D ．x ＋2y －1＝0解析：由两点式得直线l 的方程为y ＋22－－2＝x －1－3－1，即y ＋2＝－(x －1)．故选A.答案：A2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32B ．－23C.25D ．2 解析：由直线的两点式方程可得直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0得x＝－32.故选A.答案：A知识点二 直线的截距式方程3.过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x －4y ＝0解析：当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为x a ＋y a＝1(a ≠0)，把(4,1)代入，解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知，直线方程为x ＋y ＝5或x －4y ＝0.选C. 答案：C4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一平面直角坐标系中的图像可以是( )解析：将两直线方程化成截距式为l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y－a＝1，则l 1与x 轴交于(a,0)，与y 轴交于(0，－b )，l 2与x 轴交于(b,0)，与y 轴交于(0，－a )．结合各选项，先假定l 1的位置，判断出a ，b 的正负，然后确定l 2的位置，知A 项符合．选A.答案：A知识点三直线的一般式方程5.已知直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B．45° C ．60° D ．150°解析：设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ＝13，则θ＝30°.答案：A6．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )，若l 不经过第二象限，则实数a 的取值X 围是________．解析：将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2. 则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0，a －2≤0，∴a ≤－1. 答案：(知识点四 直线方程的应用7.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值X 围．解析：(1)证明：方法一 将直线l 的方程整理为 y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15， ∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．方法二 直线l 的方程可化为(5x －1)a ＋(3－5y )＝0. 当定点为(x ，y )时，上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，3－5y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同方法一．(2)如图，直线OA 的斜率为 k ＝35－015－0＝3. 要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，∴a ≥3.8．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：对于任意的实数k ，直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，某某数k 的取值X 围． 解析：(1)由y ＝kx ＋2k ＋1， 得y －1＝k (x ＋2)．由直线的点斜式方程，可知直线l 恒过定点(－2,1)． (2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1.若－3<x <3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，则⎩⎪⎨⎪⎧f －3≥0，f 3≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1. 综合知识 直线的方程9.(1)经过点(－1,3)，且斜率为－3； (2)经过两点A (0,4)和B (4,0)；(3)经过点(2，－4)且与直线3x －4y ＋5＝0平行； (4)经过点(3,2)，且垂直于直线6x －8y ＋3＝0.解析：(1)根据条件，写出该直线的点斜式方程为 y －3＝－3(x ＋1)，即y －3＝－3x －3， 整理得其一般式为3x ＋y ＝0.(2)根据条件，写出该直线的截距式为x 4＋y4＝1，整理得其一般式为x ＋y －4＝0.(3)设与直线3x －4y ＋5＝0平行的直线为3x －4y ＋c ＝0，将点 (2，－4)代入得6＋16＋c ＝0，所以c ＝－22.故所求直线的一般式为3x －4y －22＝0.(4)设与直线6x －8y ＋3＝0垂直的直线为8x ＋6y ＋c ＝0，代入点(3,2)得24＋12＋c ＝0，c ＝－36.从而得8x ＋6y －36＝0，即所求直线的一般式为4x ＋3y －18＝0.10．已知△ABC 的三个顶点为A (0,3)，B (1,5)，C (3，－5)． (1)求边AB 所在的直线方程； (2)求中线AD 所在直线的方程．解析：(1)设边AB 所在的直线的斜率为k ，则k ＝5－31－0＝2.它在y 轴上的截距为3.所以，由斜截式得边AB 所在的直线的方程为y ＝2x ＋3.(2)B (1,5)、C (3，－5)，1＋32＝2，5＋－52＝0，所以BC 的中点D (2,0)．由截距式得中线AD 所在的直线的方程为x 2＋y3＝1.基础达标一、选择题1．下列四个命题中的真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示解析：当直线与y 轴平行或重合时，斜率不存在，直线方程不能用点斜式、斜截式，选项A 、D 不正确；当直线垂直于x 轴或y 轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C 不正确；选项B 正确．故选B.答案：B2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②当a ≠0时，令x ＝0，得y ＝2＋a ，令y ＝0，得x ＝a ＋2a ，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0 D ．x －3y ＋8＝0 解析：设所求的直线方程为x a ＋yb＝1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，12|ab |＝6，解得a ＝2，b ＝6.故所求的直线方程为3x ＋y －6＝0.故选A.答案：A4．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：因为直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，又AB <0，BC <0，所以－A B >0，－C B>0，所以直线过第一、二、三象限，不过第四象限．故选D. 答案：D5．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－13解析：由题意，得a －3m ＋2a ＝0，所以a ＝m ，又因为m ≠0，所以直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率k ＝－a 3m ＝－13.故选D.答案：D6．已知两条直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c解析：由题图可知，直线l 1的斜率－1a >0，在y 轴上的截距－ba<0，因此a <0，b <0；直线l 2的斜率－1c >0，在y 轴上的截距－d c >0，因此c <0，d >0.且l 1的斜率大于l 2的斜率，即－1a >－1c，因此a >c ，故选C.答案：C7．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( )A ．m ≠0 B．m ≠－32C ．m ≠1 D．m ≠1且m ≠－32且m ≠0解析：∵当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1，要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1，故选C.答案：C 二、填空题 8．经过A (1,3)和B (a,4)的直线方程为________________________________________________________________________．解析：当a ＝1时，直线AB 的斜率不存在，所求直线的方程为x ＝1；当a ≠1时，由两点式，得y －34－3＝x －1a －1，即x －(a －1)y ＋3a －4＝0.这个方程中，对a ＝1时方程为x ＝1也满足． 所以，所求的直线方程为x －(a －1)y ＋3a －4＝0. 答案：x －(a －1)y ＋3a －4＝09．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是________________。

第19课时 2.2.2 直线方程的几种形式——两点式、截距式、一般
式
课时目标
掌握直线方程的两点式、截距式、一般式及各种方程之间的互化．
－－
＝
－－
轴上的截距分别为a ，b ，且ab ＜0，排除－2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为1,2) ，－1) 是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠b ，ab ≠0)，
考虑直线与坐标轴的交点． 15分)
和B (－2,5)，则直线l 的方程为，－5)和B (－2,5)，由两点式方程，－－－－＝－＝0. ．已知直线与两坐标轴相交且被两轴截得的线段的中点是，则此直线的方程为轴的交点为(a,0)，与y 轴的交点为(0，，所以所求直线的方程为x 4＋y
8
＝1，即2x ＋y －
－－
－－
，可化为－－－－＝x －3
1－，可化为00＝x －－
1－－，可化为能力提升
的坐标，分别满足3x 1－解：点A (3,2)－－－－＝－由两点式得直线AB 即入射光线所在的直线方程为。

2.2.2 第2课时 直线的两点式和一般式方程学习目标 1.掌握直线方程的两点式及截距式，并理解它们存在的条件.2.理解直线方程的一般式的特点与方程其它形式的区别与联系.3.会直线方程的一般式与其它形式之间相互转化，进一步掌握求直线方程的方法．知识点一 直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．思考 2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？梳理 直线方程的两点式知识点二 直线方程的截距式思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？思考2 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程．梳理 直线方程的截距式思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)来表示吗？思考2 关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？思考3 当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？梳理 直线的一般式方程知识点四 直线方程五种形式的比较类型一 直线的两点式方程例1 在△ABC 中，已知点A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)．(1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．反思与感悟 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足，即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可能先用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．跟踪训练1 已知△ABC 三个顶点坐标A (2，－1)，B (2,2)，C (4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．类型二 直线的截距式方程例2 求过点A (5,2)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程． 引申探究1．若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为“在x 轴上的截距是y 轴上的截距的2倍”，其他条件不变，如何求解？2．若将本例中的条件“在两坐标轴上的截距互为相反数”变为“与两坐标轴围成的三角形的面积是92”，其他条件不变，如何求解？反思与感悟 (1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)在选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直． 跟踪训练2 过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．无数多条 类型三 直线的一般式方程例3 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________； (2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________.反思与感悟 (1)若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程注意验根．跟踪训练3 直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0.(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．1．在直角坐标系中，直线x＋3y－3＝0的倾斜角是( )A．30° B．60° C．150° D．120°2．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为( )A．2 B．－3 C．－27 D．273．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限4．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________________．5．直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．1．求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．2．截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)在选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．3．(1)直线方程的其他形式都可以化成一般形式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤①移项，By ＝－Ax －C ； ②当B ≠0时，得y ＝－A B x －C B.(2)在一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)中，若A ＝0，则y ＝－C B ，它表示一条与y 轴垂直的直线； 若B ＝0，则x ＝－C A，它表示一条与x 轴垂直的直线．答案精析问题导学 知识点一 思考1 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)， 即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 梳理y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1斜率存在且不为0 知识点二思考1 能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1. 思考2 由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a0－a， 即x a ＋y b＝1.梳理 x a ＋y b＝1 斜率存在且不为0，不过原点 知识点三 思考1 能． 思考2 一定．思考3 当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0，得y ＝－A B x －C B ，所以该方程表示斜率为－A B，在y 轴上的截距为－C B的直线；当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0，得x ＝－C A， 所以该方程表示一条垂直于x 轴的直线． 梳理 Ax ＋By ＋C ＝0 A 2＋B 2≠0 题型探究例1 解 (1)BC 边过点B (5，－4)，C (0，－2)，由两点式，得y －－－2－－＝x －50－5， 即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (a ，b )， 则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋－2＝－3，所以M (52，－3)．又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －－52－－，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程是10x ＋11y ＋8＝0.跟踪训练1 解 ∵A (2，－1)，B (2,2)，A 、B 两点横坐标相同， ∴直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2. ∵A (2，－1)，C (4,1)，由直线方程的两点式，可得直线AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0.同理由直线方程的两点式，得直线BC 的方程为y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0.例2 解 方法一 (1)当直线l 在坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；(2)当直线l 在坐标轴上的截距不为0时， 可设方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .又∵l 过点A (5,2)， ∴5－2＝a ，解得a ＝3. ∴l 的方程为x －y －3＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －5y ＝0或x －y －3＝0. 方法二 由题意知，直线的斜率一定存在． 设直线的点斜式方程为y －2＝k (x －5)，当x ＝0时，y ＝2－5k ； 当y ＝0时，x ＝5－2k.根据题意，得2－5k ＝－(5－2k)．解得k ＝25或1.当k ＝25时，直线方程y －2＝25(x －5)，即2x －5y ＝0；当k ＝1时，直线方程为y －2＝1×(x －5)， 即x －y －3＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －5y ＝0或x －y －3＝0. 引申探究1．解 (1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时， 方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0，符合题意．(2)当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为x 2a ＋ya ＝1.又l 过点(5,2)， ∴52a ＋2a ＝1， 解得a ＝92.∴直线l 的方程为x ＋2y －9＝0.2．解 由题意，直线不过原点，且在两坐标轴上的截距都存在． 设其方程为x a ＋yb＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1， ①12|a ||b |＝92， ②②可化为ab ＝±9， 由⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1，ab ＝9，解得此方程组无解；由⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1，ab ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－152，b ＝65或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3.∴l 的方程为4x －25y ＋30＝0或x －y －3＝0.跟踪训练2 B [当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ，当截距不为零时，设直线方程为x a ＋yb＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋－1b ＝1，|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－4，即直线方程为x 2＋y 2＝1或x 4＋y－4＝1， ∴满足条件的直线共有3条．故选B.] 例3 (1)－53 (2)－2解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)．∴m ＝－53.(2)由直线l 化为斜截式方程，得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝－2或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝－2.跟踪训练3 解 (1)令x ＝0，则y ＝a －2， 令y ＝0，则x ＝a －2a ＋1. ∵l 在两坐标轴上的截距相等， ∴a －2＝a －2a ＋1， 解得a ＝2或a ＝0.(2)由(1)知，在x 轴上的截距为a －2a ＋1， 在y 轴上的截距为a －2，∴由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2a ＋1≥0，a －2≤0，解得a ＜－1或a ＝2.∴实数a 的取值范围为{a |a ＜－1或a ＝2}． 当堂训练 1．C 2.D 3.C 4．2x －y ＋1＝0解析 AB 的中点坐标为(1,3)， 由直线的两点式方程，可得y －35－3＝x －12－1， 即2x －y ＋1＝0.5．解 设直线l 的横截距为a ， 由题意可得纵截距为6－a ， 所以直线l 的方程为x a ＋y6－a ＝1.又因为点(1,2)在直线l 上， 所以1a ＋26－a ＝1，解得a ＝2或3.当a ＝2时，直线的方程为2x ＋y －4＝0，直线经过第一、二、四象限； 当a ＝3时，直线的方程为x ＋y －3＝0，直线经过第一、二、四象限． 综上所述，所求直线的方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0.。

第2课时 两点式学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.知识点一 直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程.思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 梳理思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？思考2 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程.梳理类型一直线的两点式方程例1 已知三角形的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，求三边所在的直线方程.反思与感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.跟踪训练1 已知△ABC的三个顶点为A(1,1)，B(5,1)，C(23－1，7－23).(1)求△ABC三边所在直线的方程；(2)求△ABC内角A，B的大小.类型二 直线的截距式方程命题角度1 与三角形有关的直线方程例2 过点P (1,3)，且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是________.反思与感悟 求解此类问题的两个步骤：一是待定系数法，即根据题中条件设出直线方程，如在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程常设为x a ＋yb＝1；二是方程(组)思想，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值.跟踪训练2 直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程.命题角度2 判断直线的条数例3 过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有________条.反思与感悟 如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况.跟踪训练3 过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有________条.1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为__________________________________.2.若直线l 的方程为x －2＋y2＝1，则该直线的倾斜角为____________.3.经过P (4,0)，Q (0，－3)两点的截距式方程为________________________.4.过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是____________________.5.下列四个结论： ①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线； ②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1； ④所有的直线都有点斜式和截距式方程. 正确的为________.(填序号)1.当直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式.2.直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便.注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零.答案精析问题导学 知识点一 思考1 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)， 即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 知识点二思考1 能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1. 思考2 由直线方程的两点式， 得y －0b －0＝x －a0－a ， 即x a ＋y b＝1. 题型探究例1 解 直线AB 过A ，B 两点，由两点式得y －07－0＝x －46－4，整理得7x －2y －28＝0.∴直线AB 的方程为7x －2y －28＝0.直线AC 过A (4,0)，C (0,3)两点，由两点式得y －03－0＝x －40－4，整理得3x ＋4y －12＝0.∴直线AC 的方程为3x ＋4y －12＝0.直线BC 过B (6,7)，C (0,3)两点，由两点式得y －73－7＝x －60－6，整理得2x －3y ＋9＝0.∴直线BC 的方程为2x －3y ＋9＝0.跟踪训练1 解 (1)直线AB 过点A (1,1)，B (5,1)，由于A ，B 的纵坐标相等，所以直线AB 的方程为y ＝1.直线AC 过点A (1,1)，C (23－1,7－23)，由两点式方程可得y －16－23＝x －123－2，整理得3x －y ＋1－3＝0， 这就是直线AC 的方程．直线BC 过点B (5,1)，C (23－1,7－23)，由两点式方程可得y －16－23＝x －523－6，整理得x ＋y －6＝0，这就是直线BC 的方程．(2)因为k AC ＝3，所以直线AC 的倾斜角α＝60°.又AB 平行于x 轴，所以∠A ＝60°. 因为k BC ＝－1，所以直线BC 的倾斜角β＝135°. 又AB 平行于x 轴，所以∠B ＝45°. 例2 3x ＋y －6＝0跟踪训练2 解 由题设知，直线l 不过原点，且在x 轴、y 轴上的截距都大于0，设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，|a －b |＝3.①当a ≥b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－4(舍去)；当a <b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，b －a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1(舍去)．所以直线l 的方程为x4＋y ＝1或x ＋y4＝1，即x ＋4y －4＝0或4x ＋y －4＝0. 例3 3 跟踪训练3 2 当堂训练1．x－y＋3＝0 2.45° 3.x4－y3＝14．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0 5.②③。

第2课时 两点式已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则其方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2且y 1≠y 2)，称为直线的两点式方程．2．直线的截距式方程若直线过点A (a ，0)，B (0，b )，其中a 叫做直线在x 轴上的截距，b 叫做直线在y 轴上的截距，则直线方程x a ＋y b＝1(a ≠0，b ≠0)，称为直线的截距式方程．1.思考辨析(1)两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线．( ) (2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)·(y 2－y 1)表示．( )(3)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示． ( )(4)方程y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)和y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1表示同一图形． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．过点P 1(1，1)，P 2(2，3)的直线方程为________． 2x －y －1＝0 [由直线方程的两点式得y －31－3＝x －21－2，即2x －y －1＝0.]3．经过M (3，2)与N (6，2)两点的直线方程为________． y ＝2 [由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2.]4．过点P 1(2，0)，P 2(0，3)的直线方程为________． x 2＋y 3＝1 [∵P 1(2，0)，P 2(0，3)都在坐标轴上，因此过这两点的直线方程为x 2＋y3＝1.] 直线的两点式方程及其应用 1)，求三角形三条边所在的直线方程．思路探究：已知直线上的两点，可利用两点式求方程，也可利用两点先求斜率，再利用点斜式写直线方程．[解] ∵A (2，－1)，B (2，2)，A ，B 两点横坐标相同，直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2.∵A (2，－1)，C (4，1)，由直线方程的两点式可得AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0. 同理可由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0.∴三边AB ，AC ，BC 所在的直线方程分别为 x ＝2，x －y －3＝0，x ＋2y －6＝0.当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．1．已知三角形的三个顶点A (－4，0)，B (0，－3)，C (－2，1)，求：(1)BC 边所在的直线方程；(2)BC 边上中线所在的直线方程．[解] (1)直线BC 过点B (0，－3)，C (－2，1)，由两点式方程得y ＋31＋3＝x －0－2－0，化简得2x ＋y ＋3＝0. (2)由中点公式得，BC 的中点D的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22，－3＋12，即D (－1，－1)，又直线AD 过点A (－4，0)，由两点式方程得y ＋10＋1＝x ＋1－4＋1，化简得x ＋3y ＋4＝0. 直线的截距式方程 的直线l 的方程．思路探究：[解] 设直线l 在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b .①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b＝1， 若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7.②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0.当所给条件涉及直线的横、纵截距求直线方程时，可考虑用直线的截距式方程．但要特别注意截距式使用的条件是横纵截距都存在且不为零．2．求过点A (5，2)，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程．[解] 当直线l 在坐标轴上的截距为0时，设方程为y ＝kx ，又l 过点A (5，2)，得2＝5k ，即k ＝25，故方程为 y ＝25x ，即2x －5y ＝0. 当直线l 在坐标轴上的截距不为0时，设直线l 的方程为x a ＋y －a＝1，即x －y ＝a .又因为直线l过点A(5，2)，所以5－2＝a，a＝3.所以直线l的方程为x－y－3＝0.综上所述，直线l的方程为2x－5y＝0或x－y－3＝0.直线方程的综合应用[探究问题]1．直线方程的四种特殊形式及其适用范围．[提示]方程名称方程形式已知条件适用范围1.点斜式y－y1＝k(x－x1)点P(x1，y1)和斜率k 斜率存在的直线2.斜截式y＝kx＋b 斜率k和在y轴上的截距b斜率存在的直线3.两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2斜率存在且不为0的直线4.截距式xa＋yb＝1在x，y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0斜率存在且不为0，不过原点的直线2.“截距”与“距离”的关系．[提示]截距是直线与y轴(或x轴)交点的纵坐标(横坐标)，它不是距离，是有向线段的数量，可正、可负，可为0.距离不能为负值．3．求直线在坐标轴上截距的方法．[提示]令x＝0，所得y值是直线在y轴上的截距；令y＝0，所得x值是直线在x轴上的截距．【例3】如图，已知正方形ABCD的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，则正方形边AB，BC所在的直线方程分别为________________．对称轴所在直线的方程为________．思路探究：根据已知条件，灵活选择适当形式求直线方程．x＋y－22＝0，x－y＋22＝0 y＝±x，y＝0，x＝0.[如题图，由正方形ABCD的边长为4知A(22，0)，B(0，22)，C(－22，0)，∠AOM＝45°，∠AOP＝135°.由截距式方程，得直线AB方程为x22＋y22＝1，即x＋y－22＝0，直线BC方程为x－22＋y22＝1，即x－y＋22＝0.由点斜式方程得，直线MN方程为y＝x.直线PQ方程为y＝－x.由A，C在x轴上得直线AC方程为y＝0.由B，D在y轴上，得直线BD方程为x＝0.]直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．3．三角形的顶点是A(－4，0)，B(3，－3)，C(0，3)，求这个三角形三边所在的直线的方程．[解]∵直线AB过点A(－4，0)，B(3，－3)两点，由两点式方程得y －0－3－0＝x －（－4）3－（－4），整理得3x ＋7y ＋12＝0， ∴直线AB 的方程为3x ＋7y ＋12＝0.∵直线AC 过点A (－4，0)和C (0，3)两点，由截距式方程得x －4＋y 3＝1，整理得3x －4y ＋12＝0. ∴直线AC 的方程为3x －4y ＋12＝0.∵直线BC 过点B (3，－3)和C (0，3)两点，由两点式得y －（－3）3－（－3）＝x －30－3，整理得2x ＋y －3＝0. ∴直线BC 的方程为2x ＋y －3＝0.1．本节课的重点是了解直线方程的两点式的推导过程，会利 用两点式求直线的方程，掌握直线方程的截距式，并会应用．难点是直线方程两点式的推导．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求直线的两点式方程的策略．(2)直线的截距式方程应用的注意点．(3)应用直线截距式方程求面积问题．3．本节课的易错点是在截距相等时求直线方程易漏掉直线过原点的情况．1．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为( )A ．y ＝－x ＋3B ．y ＝x －3C ．y ＝x ＋3D ．y ＝－x －3 C [代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.] 2．经过P (4，0)，Q (0，－3)两点的直线方程是________．x 4－y 3＝1 [因为由两点坐标知直线在x 轴，y 轴上截距分别为4，－3，所以直线方程为x 4＋y－3＝1.] 3．直线x a 2－y b 2＝1在y 轴上的截距是________． [答案] －b 24．直线l 经过点A (2，1)和点B (a ，2)，求直线l 的方程．[解] ①当a ＝2时，直线的斜率不存在，直线上每点的横坐标都为2，所以直线方程为x ＝2； ②当a ≠2时，由y －21－2＝x －a 2－a，得x ＋(2－a )y ＋a －4＝0. 综上，当a ＝2时，所求直线方程为x ＝2；当a ≠2时，所求直线方程为x ＋(2－a )y ＋a －4＝0.。