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§9.1 条件平差原理在条件观测平差中，以n 个观测值的平差值1ˆ⨯n L 作为未知数，列出v 个未知数的条件式，在min =PV V T 情况下，用条件极值的方法求出一组v 值，进而求出平差值。
9.1.1基础方程和它的解设某平差问题，有n 个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ，其相应的权阵为 ， 它是对角阵，改正数为 ，平差值为 。
当有r 个多余观测时，则平差值 应满足r 个平差值条件方程为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++++=++++=++++0ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆ221122112211οοοr L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n （9-1） 式中i a 、i b 、…i r （i =1、2、…n ）——为条件方程的系数；0a 、0b 、…0r ——为条件方程的常项数以ii i v L L +=ˆ（i =1、2、…n ）代入(9-1)得条件方程（9-2）式中a w 、b w 、……r w 为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即（9-3） 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯n n n n r r r r b b b a a a A212121⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++++=022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n n n n b n n a ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L 211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L ˆˆˆˆ2111⨯n L nn P ⨯1⨯n V 1ˆ⨯n L 1ˆ⨯n L则(9-1)及（9-2）上两式的矩阵表达式为0ˆ0=+A LA （9-4） 0=+W AV （9-5）上改正数条件方程式中V 的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在V 的无穷多组解中，取PV V T = 最小的一组解是唯一的，V 的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。
授课题目：第三章条件平差教学方法：理论讲授教学手段：多媒体课件教学；理论部分以电子课件，计算部分以教学软件《EasyADJ》、《Jsffc》为主，适当配以板书。
本章教学时数：10学时内容提要：主要条件平差原理及精度评定、各种条件平差方法，包括高程网条件平差、导线网条件平差、三角网条件平差、附有参数的条件平差等四种具体测量问题的条件平差方法，它们都是对条件平差原理的具体应用；第六节讲条件平差估值的统计性质。
教学要求：理解并熟练掌握条件平差的函数模型、随机模型；掌握条件平差条件式的列立、法方程组成、解算，条件平差的精度评定方法；理解条件平差估值（平差值、平差值中误差、函数中误差）的统计性质。
理解四种具体测量问题的条件平差过程，会进行条件方程式的线性化。
本章重点：重点理解和掌握条件平差原理、条件方程式建立、条件平差的解算过程及精度评定方法，特别是精度评定方面的内容，在有关后续课程中的精度分析、估算中将有较多应用。
教学难点：难点是精度评定。
本章教学总的思路：几何图形内部存在着严格的数学关系，测绘获得的几何图形的基本元素，如角度（或方向值）、边长、高差的最佳估值，必须满足几何图形的基本数学关系，这是建立测量平差基本方程--条件方程式的基础，条件方程式也由此建立，在讲清楚这一点的基础上，结合具体几何图形讲解条件方程式列立方法和线性化方法、精度评定方法；对四种针对具体测量问题的条件平差方法，只讲其基本的平差过程，因为现实使用中，条件平差使用频度已很低。
理解条件平差估值的统计性质对学生处理被实际问题很有意义，因此应详细讲解。
条件平差的精度评定是本章的难点，讲这部分内容时，应首先对协方差、协因数两个传播律进行复习，将其传播公式以板书示出，讲精度评定问题过程中，只要讲到用两个传播律的地方，就提示学生对照公式理解老师讲的内容，这样有利本章难点的突破。
§3-1 条件平差原理0.5学时条件平差的数学模型为1,1,,=-∆r n n r W A(3-1-1) nn nn nn P Q D ,120,20,-==σσ(3-1-2)条件方程个数等于多余观测数r ，n 为观测值总个数，t 为必要观测数，存在关系：r = n – t(3-1-3)由于r < n ，从（3-1-1）式不能计算出∆的唯一解，但可按最小二乘原理(V T PV = min)，求出∆的最或然值V ，从而进一步计算观测量L ~的最或然值L ˆ（又称平差值）。
V L L+=ˆ (3-1-4)将（3-1-1）式中的∆改写成其估值（最或然值）V ，条件方程变为0=-W AV(3-1-5)条件平差就是在满足r 个条件方程条件下，求解满足最小二乘法（V T PV = min ）的V 值，在数学中就是求函数的条件极值问题。
0 条件平差原理设在某个测量作业中，有n个观测值1,n L ，均含有相互独立的偶然误差，相应的权阵为nn P,，改正数为1,n V，平差值为1,ˆn L，表示为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n L L L L 211,, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n v v v V 211,, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n p p p P21,, ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n L L L L ˆˆˆˆ211, 其中nn P,为对角阵；1,ˆn L =1,n L +1,n V ， 即 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n v L v L v L L L L 221121ˆˆˆ（3-1-6）在这n 个观测值中，有t 个必要观测数，多余观测数为r 。
可以列出r 个平差值线性条件方程⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=++++=++++=++++0ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆ022110221102211r L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n(3-1-7)式中，a i 、b i 、…、r i （I = 1,2,……n ）为各平差值条件方程式中的系数，a 0、b 0、…、r 0为各平差值条件方程式中的常数项。
将（3-1-6）式代入(3-1-7)式，得相应的改正数条件方程式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-+++=-+++=-+++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a（3-1-8）式中w a 、w b 、…、w r 称为改正数条件方程的闭合差（或不符值），即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++++-=++++-=++++-=)()()(022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n r n n b n n a(3-1-9)若取⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n r r r r b b b a a a A212121,, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001,0r b a A r ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=r b a r w w w W 1, (3-1-7)、（3-1-8）和（3-1-9）式可分别表达成矩阵形式如下0ˆ0=+A L A (3-1-10) 0=-W AV(3-1-11))(0A AL W +-=(3-1-12) 按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数Tr b a r k k k K ][1, =（又称为联系数向量），构成函数：)(2W AV K PV V T T --=Φ(3-1-13)为引入最小二乘法，将Φ对V 求一阶导数，并令其为零022)(2)(=-=∂∂-∂∂=ΦA K P V V AV K V PV V dV d T T T T得A K P V T T =上式两端转置，得K A V P T T =由于P 是主对角线阵，则 P = P T ，得K A PV T =将上式两边左乘权逆阵P – 1，得K A P V T 1-=(3-1-14)此式称为改正数方程，其纯量形式为)(1r i b i a i ii k r k b k a p v +++=， （I = 1，2，…，n ） (3-1-15)将（3-1-14）式代入（3-1-11）式，得01=--W K A AP T(3-1-16)此式称为联系数法方程（简称法方程），其纯量形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡000r r b a b r b a a r b a w k p rr k p br k p ar w k p br k p bb k p ab w k p ar k p ab k p aa (3-1-17)取法方程的系数阵 AP -1A T = N ，由上式易知N 阵关于主对角线对称，得法方程表达式0=-W NK(3-1-18)法方程数阵N 的秩r A AP R N R T ==-)()(1即，N 是一个r 阶的满秩方阵，且可逆。
将（3-1-18）式移项，得W NK =上式两边左乘法方程系数阵N 的逆阵N – 1，得联系数K 的唯一解：W N K 1-=(3-1-19)将（3-1-19）式代入（3-1-14）或（3-1-15）式，可计算出V ，再将V 代入（3-1-6）,即可计算出所求的观测值的最或然值V L L +=ˆ。
通过观测值的平差值Lˆ，可以进一步计算一些未知量（如待定点的高程、纵横坐标以及边的长度、某一方向的方位角等）的最或然值。
由上述推导可看出，K 、V 及Lˆ都是由（3-1-11）和（3-1-14）式解算出的，因此我们把（3-1-11）和(3-1-14)式合称为条件平差的基础方程。
二、精度评定在第一个问题中已经阐述了计算未知量最或然值的原理和公式，下面来论述测量平差的第二个任务，即评定测量成果的精度。
精度评定包括单位权方差20ˆσ和单位权中误差0ˆσ的计算、平差值函数()ˆ(L f F =)的协因数Q FF 及其中误差F σˆ的计算等。
在第二章中已经介绍过，当已知单位权方差20σ时，如果知道某量的权为p ，则该量的方差为F F p 1202⋅=σσ。
在实际工作中，由于观测值的个数n 是有限值，因此，只能求出2σ的估值20ˆσ和2F σ的估值2ˆF σ。
则有F F p 1202⋅=σσ(3-1-20)估值形式为F F p 1ˆˆ202⋅=σσ(3-1-21)根据协因数的定义，有了单位权方差20ˆσ和某平差值函数的验后协因数阵Q FF ，也可按下式计算该平差值向量的协方差阵。
FF FF Q D 20ˆσ= (3-1-22)例如，已知观测值的平差值Lˆ的协因数阵L L Q ˆˆ，则Lˆ的协方差阵为 L L L L Q D ˆˆ20ˆˆˆσ=下面，我们分别讨论单位权中误差0ˆσ和平差值函数协因数阵Q FF 的计算方法。
0 计算单位权方差和中误差的估值根据第二章中对中误差的定义，单位权中误差的计算公式为r p ][ˆ0∆∆±=σ在一般情况下，观测值的真误差△是不知道的，也就不可能利用上式计算单位权中误差。
但在条件平差中，可以通过观测值的改正数V 来计算单位权方差和中误差：r PVV T =20ˆσ(3-1-23)r PVV T ±=0ˆσ(3-1-24)式中r 为多余观测值个数，r = n – t 。
在（3-1-24）中，须先算出V T PV 的值，才能计算单位权中误差。
V T PV 可用下列几种方法计算：0 直接利用定义式（3-1-23）计算。
纯量形式为n n T v p v p v p pvv PV V +++== 2211][ (3-1-25)（2）由（3-1-14）和（3-1-11）式导出K W K AV K A V K A P P V PV V T T T T T T T ====-)()(1即K W PV V T T =(3-1-26)其纯量形式为r r b b a a T k w k w k w PV V +++=(3-1-27)2、协因数阵条件平差的基本向量L 、W 、K 、V 、Lˆ都可以表达成随机向量L 的函数 L L =0A AL W --=011011)(A N AL N A AL N W N K ------=+-==0111101111)(A N A P AL N A P A N AL N A P K A P V T T T T ----------=--==111101111)()(ˆA N A P L A N A P E A N A P AL N A P L V L L T T T T ----------=--+=+=将向量L 、K 、V 、Lˆ组成列向量，并以Z 表示之 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----------011011010111110ˆA N A P A N A P A N A L A N A P E A N A P A N AEL V K W L Z T T T T (3-1-28)式中等号右端第二项是与观测值无关的常数项阵，按协因数传播律，得Z 的协因数阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=L L VL KL WL L LL V VV VK VW VL L K KV KK KW KL L W WV WK WW WL L L LV LK LW LLZZQ Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+----------------------------111111111111111111111N AQA N A P N EQA AQA N A P EQA AQE N A P EQE N AQA N A P AQA N A P AQE N A P N AQA N AQA N AQE N N AQA AQA AQE N EQA EQA EQE T T T TT T T T T T T TT T T T TT T T TT T T⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤--+-+-+-+--------------------------------------T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T A N A P E Q A N A P E AP N AQA N A P AP N EQA AP N AQA N A P AQE N A P AP N AQA N A P APN AQA N AQE N AP N AQA N AP N AQA AQE AP N AQA AP N EQA EQE AP N EQA )()(11111111111111111111111111111111111⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=----------------------AQ N A P Q AQ N A P Q AP N A P N A P A P AQ N A P AP N N E AQ N AP E NAQ AP N QA Q AP N QA N QA QA QT T T T TT T T T T111111111111111111111100整理后得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡L L V L KL WL L LL V VV VK VW VL L K KV KK KW KL L W WV WK WW WL L L LV LK LW LL Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-----------AQ N QA Q AQ N QA Q AQ N QA N QA QA AQ N QA AQ N N E AQ N AQ E N AQ AQ N QA Q AQ N QA N QA QA QT T T T T T T T T T1111111111100000 (3-1-29)由上式可见，平差值Lˆ与闭合差W 、联系数K 、改正数V 是不相关的统计量，又由于它们都是服从正态分布的向量，所以Lˆ与W 、K 、V 也是相互独立的向量。
