2018届北师大版(文) 平行关系 检测卷

一、选择题1．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在AB 上，将△ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B′处，若'20ADB ∠=︒，则∠A 的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40° 2．如图，//AB CD ，点E 在AC 上，110A ∠=︒，15D ∠=︒，则下列结论正确的个数是（ ） （1）AE EC =；（2）85AED ∠=︒；（3）A CED D ∠=∠+∠；（4）45BED ∠=︒A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在ABC 中，100ACB ∠=︒，20A ∠=︒，D 是AB 上一点，将ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B '处，则ADB '∠等于（ ）A ．25°B ．30°C ．40°D ．55°4．在下列条件中：①A C B ∠=∠-∠，②::2:3:5A B C ∠∠∠=，③90A B ∠=︒-∠，④90B C ∠-∠=︒中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）A ．全等三角形的对应角相等；B ．同旁内角互补，两直线平行；C ．对顶角相等；D ．如果0,0a b >>，那么0a b +> 6．用反证法证明“m 为正数”时，应先假设（ ）．A ．m 为负数B ．m 为整数C ．m 为负数或零D ．m 为非负数7．下列命题是真命题的是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．同旁内角互补D ．相等的两个角是对顶角8．下列命题是真命题的是（ ）A ．相等的角是对顶角B ．内错角相等C ．任何非负数的算术平方根是非负数D ．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离9．如图，//AB CD ，BE 交CD 于点F ，48B ∠=︒，20E ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）．A ．28B ．20C ．48D ．6810．下列说法：①同位角相等； ②任意三角形的三条中线交于一点；③钝角三角形只有一条高；④三角形的两边长分别为6和9，则这个三角形的第三边长不可能为16；⑤面积相等的两个三角形是全等图形；⑥两个直角一定互补其中，正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 11．下列说法正确的是（ ） A ．同位角相等B ．相等的角是对顶角C ．内错角相等，两直线平行D ．互补的两个角一定有一个锐角 12．在统一平面内有三条直线a 、b 、c ，下列说法：①若//a b ，//b c ，则//a c ；②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥，其中正确的是（ ）A ．只有①B ．只有②C ．①②都正确D ．①②都不正确二、填空题13．证明“若a b >，则22a b >．”是假命题，可举出反例：_________．14．下列说法中：（1）不相交的两条直线叫做平行线；（2）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（3）垂直于同一条直线的两直线平行；（4）直线//a b ，//b c ，则//a c ；（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．其中正确的是________．15．如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且76B ∠=︒，36C ∠=︒，则DAE ∠的度数为_________．16．如图，不添加辅助线，请写出一个能判定DE ∥BC 的条件___________.17．已知，如图，在ABC 中，AD ，AE 分别是ABC 的高和角平分线，若30ABC ∠=︒；60ACB ∠=︒，则DAE =∠__________．18．如图，BE 、CE 分别是△ABC 内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线，若∠A=70°，则∠BEC=___________．19．如图，△ABC 中,∠B=60°，∠C=80°，点D,E 分别在线段AB ，BC 上， 将△BDE 沿直线DE 翻折，使B 落在B′ 处, B′ D, B′E 分别交AC 于F,G. 若∠ADF=70°，则∠CGE 的度数为______.20．以下四个命题：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③数轴上的每一个点都表示一个实数；④如果点()P x,y 的坐标满足xy 0<，那么点 P 一定在第二象限．其中正确命题的序号为 ___．三、解答题21．如图，已知点E 在直线DC 上，射线EF 平分AED ∠，过E 点作EB EF ⊥，G 为射线EC 上一点，连接BG ，且90EBG BEG ︒∠+∠=．（1）求证：DEF EBG ∠=∠；（2）若EBG A ∠=∠，求证：//AB EF ．22．定义：一个三位数，如果它的各个数位上的数字互不相等且都不为0，同时满足十位上的数字为百位与个位数字之和，则称这个三位数为“西西数”．A 是一个“西西数”，从A 各数位上的数字中任选两个组成一个两位数，由此我们可以得到6个不同的两位数．我们把这6个数之和与44的商记为()h A ，如：132A =，133112212332(132)344h +++++==． （1）求()187h ，()693h 的值． （2）若A ，B 为两个“西西数”，且()()35h A h B =，求B A 的最大值． 23．如图，AB ∥CD ，点E 是CD 上一点，连结AE ．EB 平分∠AED ，且DB ⊥BE ，AF ⊥AC ，AF 与BE 交于点M ．（1）若∠AEC ＝100°，求∠1的度数；（2）若∠2＝∠D ，则∠CAE ＝∠C 吗？请说明理由．24．如图，AF 分别与BD 、CE 交于点G 、H ，155∠=︒，2125∠=︒．若A F ∠=∠，求证：C D ∠=∠．25．△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是△ABC 的高．（1）如图1，若∠B ＝40°，∠C ＝60°，请说明∠DAE 的度数；（2）如图2（∠B ＜∠C ），试说明∠DAE 、∠B 、∠C 的数量关系；（3）如图3，延长AC 到点F ，∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G ，请直接写出∠G 的度数 ．26．如图，AB DB =，ABD ACD ∠=∠，AC 与BD 交于点F ，点E 在线段AF 上，AE DC =，6DBE ∠=︒，108BCD ∠=︒．（1）求证：BCD BEA ≅△△；（2）求AFD ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．【详解】∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°，∵△CDB′是由△CDB 翻折得到，∴∠CB′D ＝∠B ，∵∠CB′D ＝∠A ＋∠ADB′＝∠A ＋20°，∴∠A ＋∠A ＋20°＝90°，解得∠A ＝35°．故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．B解析：B【分析】过点E 做直线EF 平行于直线AB ，然后根据同位角和同旁内角即可判断（2）和（3），其中（1）和（4）无法判断．【详解】过点E 做直线EF 平行于直线AB ，如下图所示，（1）无法判断；（2）∵AB//CD ，AB//EF∴EF//CD∴70AEF ∠=︒，15DEF ∠=︒∴85AED ∠=︒故（2）正确；（3）由（2）得A CEF CED DEF ∠=∠=∠+∠，DEF D ∠=∠∴A CED D ∠=∠+∠故（3）正确；（4）无法判断；故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，重点是做出辅助线，然后利用平行线的性质进行求解． 3．C解析：C【分析】先求出60B ∠=︒，由折叠得60CB D B '∠=∠=︒，得出ADB '∠=40CB D A '∠-∠=︒．【详解】∵100ACB ∠=︒，20A ∠=︒，∴60B ∠=︒，由折叠得60CB D B '∠=∠=︒，∴ADB '∠=40CB D A '∠-∠=︒，故选：C ．【点睛】此题考查三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4．C解析：C【分析】根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】①因为∠A+∠B=∠C ，则2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC 是直角三角形；②因为∠A ：∠B ：∠C=2：3：5，设∠A=2x ，则2x+3x+5x=180，x=18°，∠C=18°×5=90°，所以△ABC 是直角三角形；③因为∠A=90°﹣∠B ，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°﹣90°=90°，所以△ABC 是直角三角形；④因为∠B ﹣∠C=90°，则∠B=90°+∠C ，所以三角形为钝角三角形．所以能确定△ABC 是直角三角形的有①②③．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°；理解三角形内若有一个内角为90°，则△ABC 是直角三角形．5．B解析：B【分析】先分别写出各命题的逆命题，再分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：A.全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等是假命题，所以A 选项不符合题意；B.同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补是真命题，所以B 选项符合题意；C.“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，所以C 选项不符合题意；D. 如果0,0a b >>，那么0a b +>的逆命题为如果0a b +>，那么0,0a b >>是假命题，所以D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．6．C解析：C【分析】根据反证法的性质分析，即可得到答案．【详解】用反证法证明“m 为正数”时，应先假设m 为负数或零故选：C ．【点睛】本题考查了反证法的知识，解题的关键是熟练掌握反证法的性质，从而完成求解． 7．A解析：A【分析】根据平行线的性质，全等三角形的性质，对顶角的性质等逐一对选项进行分析即可.【详解】A 选项中，两直线平行，同位角相等，说法正确，是真命题；B 选项中，一个三角形底为3，高为4，另一个三角形底为6，高为2，面积相等但不全等，是假命题；C 选项中，只有两直线平行时，同旁内角才互补，是假命题；D 选项中，相等的两个角不一定是对顶角，也可能是同位角，内错角等，是假命题. 故选：A.【点睛】本题主要考查真命题，会判断命题的真假是解题的关键.8．C解析：C【分析】根据对顶角的性质、平行线的性质、算术平方根的定义、点到直线距离的定义逐一分析即可．【详解】解：A ． 对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角，该项为假命题；B ．两直线平行，内错角相等，该项为假命题；C ． 任何非负数的算术平方根是非负数，该项为真命题；D ． 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，该项为假命题； 故选：C ．【点睛】本题考查判断命题的真假，掌握对顶角的性质、平行线的性质、算术平方根的定义、点到直线距离的定义是解题的关键．9．A解析：A【分析】由//AB CD 和48B ∠=︒，可得到CFB ∠；再由对顶角相等和三角形内角和性质，从而完成求解．【详解】∵//AB CD∴180********CFB B ∠=-∠=-=∴132EFD CFB ∠=∠=∴1801801322028D EFD E ∠=-∠-∠=--=故选：A ．【点睛】本题考察了平行线和三角形内角和的知识；求解的关键是熟练掌握三角形内角和、平行线的性质，从而完成求解．10．B解析：B【分析】根据相关性质依次判定各个说法即可．【详解】①错误，仅当两直线平行时，同位角才相等；②正确，三角形的中线一定会交于一点；③错误，钝角三角形也有三条高，其中有两条高在三角形外部；④正确，三角形两边长分别为6和9，则3＜第三边长＜15；⑤错误，不可通过面积判定全等；⑥正确，两个直角相加为180°，互补故选：B ．【点睛】本题考查一系列性质，解题时需要注意一些性质或定理成立的前提条件，若遗失前提条件，则不成立．11．C解析：C【分析】直接利用平行线的性质、判定以及对顶角的定义、补角的特征分别判断得出答案．【详解】A 、两直线平行，同位才能角相等，此项错误；B 、相等的角不一定是对顶角，此项错误；C 、内错角相等，两直线平行，此项正确；D 、互补的两个角不一定有一个锐角，有可能是两个直角，此项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、判定以及对顶角的定义等，掌握平行线与相交线的相关知识是解题关键．12．A解析：A【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行可得①正确；根据应为同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行可得②错误．【详解】解：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，说法正确；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ，说法错误，应为同一平面内，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ； 故选：A ．【点睛】此题主要考查了平行公理和垂线，关键是注意同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．二、填空题13．答案不唯一例如当但【分析】可根据的正负性来考虑即可例如用来进行判断即可【详解】反例：取有但故答案为：但【点睛】本题考查了命题与定理举反例说明说明命题是假命题时在选取反例时要注意遵循这一原则：反例的选 解析：答案不唯一，例如当1,1,a b a b ==->，但22a b <【分析】可根据a 、b 的正负性来考虑即可，例如用1a =、1b =-来进行判断即可．【详解】反例：取1a =，1b =-，有a b >，但22a b =．故答案为：1a =，1b =-，a b >，但22a b =．【点睛】本题考查了命题与定理，举反例说明说明命题是假命题时，在选取反例时要注意遵循这一原则：反例的选取一定要满足所给命题的题设要求，而不能满足命题的结论．14．（4）【分析】根据平行线的定义平行线的性质平行公理的推论解答【详解】（1）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线故该项错误；（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行故该项错误；（3）在同一平 解析：（4）【分析】根据平行线的定义，平行线的性质，平行公理的推论解答．【详解】（1）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故该项错误；（2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故该项错误；（3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故该项错误；（4）直线//a b ，//b c ，则//a c ，故该项正确；（5）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该项错误．故选：（4）．【点睛】此题考查判断语句，熟记平行线的定义，平行线的性质，平行公理的推论是解题的关键． 15．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°∠CAD=54°进而得出∠DAE 的度数进而得出答案【详解】∵ADAE 分别是△ABC 的高和角平分线且∠B=76°∠C=36°∴∠B解析：20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE 的度数，进而得出答案．【详解】∵AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAC=180763668︒-︒-︒=︒，∠BAD=9076︒-︒=14°，∠CAD=9036︒-︒=54°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°， ∴∠DAE=34°-14°=20°．故答案为：20°．【点睛】 本题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠BAD 和∠CAD 的度数是解题关键． 16．【分析】根据平行线的判定进行分析可以从同位角相等或同旁内角互补的方面写出结论【详解】∵DE和BC被AB所截∴当时AD∥BC（内错角相等两直线平行）故答案为【点睛】此题考查平行线的性质难度不大解析：DAB B∠=∠【分析】根据平行线的判定进行分析，可以从同位角相等或同旁内角互补的方面写出结论．【详解】∵DE和BC被AB所截，∴当DAB B∠=∠时,AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.故答案为DAB B∠=∠【点睛】此题考查平行线的性质，难度不大17．15°【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC再根据角平分线的定义求出∠BAE根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD然后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD计算即可得解【详解】解：∵∠ABC=3解析：15°【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC,再根据角平分线的定义求出∠BAE,根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD,然后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD计算即可得解．【详解】解：∵∠ABC=30°,∠ACB=60°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-60°=90°,∵AE是三角形的平分线,∴∠BAE=12∠BAC=12×90°=45°,∵AD是三角形的高,∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°,∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-45°=15°．故答案为:15．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理,三角形的角平分线的定义,高线的定义, 熟记定理与概念并准确识图,理清图中各角度之间的关系是解题的关键．18．35°【分析】根据角平分线的定义可得出再根据外角的性质可得与通过角度的计算可得出答案【详解】解：∵BECE分别是△ABC内角∠ABC和外角∠ACD 的平分线∴又∵∠ACD是△ABC的外角∴∴∵∠ECD解析：35°【分析】根据角平分线的定义，可得出12EBC ABC∠=∠，12ECD ACD∠=∠，再根据外角的性质可得ACD A ABC ∠=∠+∠与ECD BEC EBC ∠=∠+∠，通过角度的计算可得出答案．【详解】解：∵BE 、CE 分别是△ABC 内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线， ∴12EBC ABC ∠=∠，12ECD ACD ∠=∠， 又∵∠ACD 是△ABC 的外角，∴ACD A ABC ∠=∠+∠， ∴A ACD ABC ∠=∠-∠∵∠ECD 是△BCE 的外角，∴ECD BEC EBC ∠=∠+∠∴1111()2222ECD EBC ACD ABC ACD E ABC A B C ∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠∠=， ∵∠A=70°， ∴1352A BEC ∠∠==︒， 故答案为：35°．【点睛】 本题考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质进行角度的计算是解题的关键．19．500【分析】连接BB 由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DBE=60°再根据三角形外角性质即可得到∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°进而得出∠CEG=50°再根据三角形内角和定理即可得到△C解析：500【分析】连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DB'E=60°，再根据三角形外角性质，即可得到∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°，进而得出∠CEG=50°，再根据三角形内角和定理，即可得到△CEG 中，∠CGE=180°-50°-80°=50°．【详解】如图，连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DB'E=60°，∵∠ADF 是△BDB'的外角，∠CEG 是△BEB'的外角，∴∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°，又∵∠ADF=70°，∴∠CEG=50°，又∵∠C=80°，∴△CEG 中，∠CGE=180°-50°-80°=50°，故答案为50°．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理的运用；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．20．①③【分析】依次分析判断即可得到答案【详解】①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直故该项正确；②两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补故该项错误；③数轴上的每一个点都表示一个实数故该项正 解析：①③【分析】依次分析判断即可得到答案.【详解】①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该项正确；②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故该项错误；③数轴上的每一个点都表示一个实数，故该项正确；④如果点()P x,y 的坐标满足xy 0<，则x 与y 异号，那么点P 在第二或第四象限，故该项错误；故答案为：①③.【点睛】此题考查命题的正确与否，正确掌握各知识点并熟练运用解题是关键.三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意得到90FEB ∠=︒，再根据等量代换的方法求解即可；（2）通过已知条件证明A AEF ∠=∠，即可得到结果；【详解】（1）∵EB EF ⊥，∴90FEB ∠=︒，∴1809090DEF BEG ∠+∠=︒-︒=︒．又∵90EBG BEG ︒∠+∠=，∴DEF EBG ∠=∠．（2）∵EF 平分AED ∠，∴AEF DEF ∠=∠．∵EBG A ∠=∠，DEF EBG ∠=∠，∴A DEF ∠=∠．又∵DEF AEF ∠=∠，∴A AEF ∠=∠，∴//AB EF ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，结合角平分线的性质和垂直的性质证明是解题的关键． 22．（1）8,9；（2）671.154B A 【分析】（1）根据新定义的法则进行运算即可得到答案；（2）先由（1）的运算发现并总结规律，可得()h A 的值等于A 的十位数字，再运用规律结合()()35h A h B =进行合理的分类讨论，分4种情况：()()5,7h A h B ==或()()7,5,h A h B == ()()35,1h A h B ==或()()1,35h A h B ==，再根据新定义可得答案．【详解】解：（1）由定义可得：()18+81+17+71+78+87352===84417448h ， ()699663369339396=9.4444693h +++++== （2）探究： 133112212332(132)344h +++++==， ()18+81+17+71+78+87352===84417448h ， ()699663369339396=9.4444693h +++++==发现并总结规律：()h A 的值等于A 的十位数字，A ，B 为两个“西西数”，且()()35h A h B =， ()()5,7h A h B ∴==或()()7,5,h A h B ==而()()35,1h A h B ==或()()1,35h A h B ==不合题意舍去，B A的值最大，则B 最大，A 最小， ()()5,7,h A h B ∴==当()5h A =时，154A =或451A =或253A =或352A =，当()7h B =时，671B =或176B =或572B =或275B =或374B =或473.B =A ∴最小为154，B 最大为671， 此时B A 的值最大为 671.154B A 【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查了规律探究，弄懂新定义的运算法则，理解并运用规律，掌握合理的分类讨论是解题的关键．23．（1）40°；（2）∠CAE ＝∠C ，理由见解析．【分析】（1）根据邻补角的定义可求∠AED ，再根据角平分线的定义和平行线的性质可求∠1的度数；（2）根据三角形内角和定理可求∠BED ＝∠C ，根据平行线的判定可知AC ∥BE ，根据平行线的性质可得∠CAE ＝∠AEB ，根据角平分线的定义和等量关系即可求解．【详解】（1）∵∠AEC ＝100°，∴∠AED ＝80°，∵EB 平分∠AED ，∴∠BED ＝40°，∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠BED ＝40°；（2）∵DB ⊥BE ，AF ⊥AC ，∴∠EBD ＝∠CAF ＝90°，∵∠2＝∠D ，∴∠BED ＝∠C ，∴AC ∥BE ，∴∠CAE ＝∠AEB ，∵EB 平分∠AED ，∴∠AEB ＝∠BED ，∴∠CAE ＝∠C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，邻补角的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理．熟悉相应的性质和定义是解答本题的关键．24．见详解【分析】根据平行线的判定与性质进行推理论证即可．【详解】证明：∵∠2＋∠AHC ＝180°，∴∠AHC ＝180°−∠2＝180°−125°＝55°，∴∠AHC ＝∠1＝55°，∴BD ∥CE （同位角相等，两直线平行），∴∠ABD ＝∠C （两直线平行，同位角相等），∵∠A ＝∠F （已知），∴AC ∥DF （内错角相等，两直线平行），∴∠ABD ＝∠D （两直线平行，内错角相等），∴∠C ＝∠D （等量代换）；【点睛】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．25．（1）∠DAE ＝10°；（2）∠DAE ＝12∠C ﹣12∠B ；（3）45°． 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得80BAC ∠=︒、30CAE ∠=︒，再根据角平分线的定义得到40CAD ∠=︒，最后根据角的和差解答即可；（2）先根据三角形的内角和定理求得180BAC B C ∠=︒-∠-∠、90CAE C ∠=︒-∠，再根据角平分线的定义得到12CAD BAD BAC ∠=∠=∠，然后根据角的和差表示出来即可；（3）先根据角平分线的定义得到2,2CAE CAG FCB FCG ∠=∠∠=∠，再结合三角形外角的性质得到2AEC G ∠=∠，然后根据题意得到90AEC ∠=︒，最后算出∠G 即可．【详解】解：（1）40,60,180B C BAC B C ∠=︒∠=︒∠+∠+∠=︒80BAC ∴∠=︒AE ∵是ABC ∆的高，90,AEC ∴∠=︒60,C ∠=︒906030CAE ∴∠=︒-︒=︒ AD 是BAC ∠的角平分线，1402CAD BAD BAC ∴∠=∠=∠=︒， 10DAE CAD CAE ∴∠=∠-∠=︒．（2）180,BAC B C ∠+∠+∠=︒180BAC B C ∴∠=︒-∠-∠AE ∵是ABC ∆的高，90,AEC ∴∠=︒90CAE C ∴∠=︒-∠ AD 是BAC ∠的角平分线，12CAD BAD BAC ∴∠=∠=∠， ()1902DAE CAD CAE BAC C ∴∠=-∠=∠-︒-∠ ()1180902C C =︒-∠B -∠-︒+∠ 1122C B =∠-∠ 即1122DAE C B ∠=∠-∠； （3）CAE ∠和BCF ∠的角平分线交于点G ，2,2CAE CAG FCB FCG ∴∠=∠∠=∠,CAE FCB AEC CAG FCG G ∠=∠-∠∠=∠-∠()2222FCG AEC FCG G FCG G ∴∠-∠=∠-∠=∠-∠，即2AEC G ∠=∠， AE ∵是ABC ∆的高，90AEC ∴∠=︒，45G ∴∠=︒．故答案为：45°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．26．（1）见解析；（2）78︒【分析】（1）根据ABD ACD ∠=∠，AFB CFD ∠=∠得出D A ∠=∠，然后利用SAS 即可证明三角形全等；（2）由（1）可知BCD BEA ∆≅∆，由题意知108BCD ∠=︒，即可得出 BEF ∠的度数，然后由AFD BEF DBE ∠=∠+∠求值即可；【详解】解：（1）证明：ABD ACD ∠=∠，AFB CFD ∠=∠，D A ∴∠=∠．在BCD ∆和BEA ∆中，CD EA D A BD BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCD BEA SAS ∴∆≅∆．（2）BCD BEA ∆≅∆，108BCD ∠=︒，108BEA BCD ∴∠=∠=︒，18010872BEF ∴∠=︒-=︒．6DBE ∠=︒，72678AFD BEF DBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的内角和，正确理解知识点是解题的关键；。

北师大版七年级数学下册第二章达标检测卷(考试时间：120分钟满分：120分)班级：________ 姓名：________ 分数：________第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．若∠A与∠B互为补角，∠A＝40°，则∠B＝( )A．50° B．40° C．140° D．60°2．(芝罘区期末)如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，下列用几何知识解释其道理中正确的是( ) A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．经过一点有无数条直线第2题图第3题图3．(安化县期末)如图所示，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2是( ) A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角4．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2＝80°，则∠1等于( )A．120° B．110° C．100° D．80°5．下列作图是∠α余角的作图是( )6．如图，AB，CD，EF三条直线交于点O，且OE⊥AB，∠COE＝20°，OG平分∠BOD，则∠DOG的度数是( )A．20° B．30° C．35° D．40°第6题图第7题图7．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是( )A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180°C．∠4＝∠5 D．∠2＝∠38．★如图，把长方形ABCD沿EF折叠，若∠1＝50°，则∠AEF等于( ) A．150° B．80° C．100° D．115°第8题图第9题图9．(淄博中考)如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A．2条 B．3条 C．4条 D．5条10．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的大小为( )A.∠1＋∠2－∠3B．∠1＋∠3－∠2C．180°＋∠3－∠1－∠2D．∠2＋∠3－∠1－180°第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知∠1的对顶角为123°，则∠1的度数为 .12．(曲阜期末)如图，若满足条件，则有AB∥CD.(要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可)第12题图13．在同一平面内的三条直线l1，l2，l3，若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1与l3的位置关系是 .14．如图，A，B之间是一座山，一条铁路要通过A，B两点，为此需要在A，B之间建一条笔直的隧道，在A地测得铁路走向是北偏东63°，那么B地按南偏西度的方向施工，才能使铁路在山腰中准确接通．第14题图15．如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD，∠COE＝100°，则∠AOC ＝ .第15题图第16题图16．如图所示，OB∥CE，OA∥CF，则图中与∠C相等的角一共有 .个．17．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝ .18．★(南岗区校级期中)已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD 平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE＋∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝ .三、解答题(共66分)19．(6分)(1)一个角的余角比这个角少20°，则这个角的补角为多少度；(2)如图，已知∠1＝∠2，∠D＝60°，求∠B的度数．20．(8分)如图，已知△ABC，点D为AB的中点，动手操作，解决下列问题：(1)过点D作DE∥BC，交AC于点E，并说明作图的依据；(2)度量DE，BC的长度，发现DE，BC之间有何数量关系？21.(8分)已知：如图，∠ABE＋∠DEB＝180°，∠1＝∠2，则∠F与∠G的大小关系如何？请说明理由．22．(8分)如图，在三角形ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，试比较∠EDF与∠BDF的大小，并说明理由．23．(10分)已知：如图，BC∥AD，BE∥AF.(1)试说明：∠A＝∠B；(2)若∠DOB＝135°，求∠A的度数．24．(12分)如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD.(1)若∠BOD＝28°，求∠AOE的度数．(2)若OF平分∠AOC，小明经探究发现，当∠BOD为锐角时，∠EOF的度数始终都是∠BOC度数的一半，请判断他的发现是否正确，并说明理由．25．(14分)如图，已知直线AC∥BD，直线AB，CD不平行，点P在直线AB上，且和点A，B不重合．(1)如图①，当点P在线段AB上时，若∠PCA＝20°，∠PDB＝30°，求∠CPD的度数；(2)当点P在A，B两点之间运动时，∠PCA，∠PDB，∠CPD 之间满足什么样的等量关系？(直接写出答案)(3)如图②，当点P在线段AB延长线上运动时，∠PCA，∠PDB，∠CPD 之间满足什么样的等量关系？并说明理由．(4)如图③，④当点P在线段BA延长线上运动时，∠PCA，∠PDB，∠CPD 之间满足什么样的等量关系？(直接写出答案)参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)1．若∠A与∠B互为补角，∠A＝40°，则∠B＝( C)A．50° B．40° C．140° D．60°2．(芝罘区期末)如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，下列用几何知识解释其道理中正确的是( B)A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．经过一点有无数条直线第2题图第3题图3．(安化县期末)如图所示，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2是( C)A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角4．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2＝80°，则∠1等于( C)A．120° B．110° C．100° D．80°5．下列作图是∠α余角的作图是 ( A)6．如图，AB，CD，EF三条直线交于点O，且OE⊥AB，∠COE＝20°，OG平分∠BOD，则∠DOG的度数是 ( C)A．20° B．30° C．35° D．40°第6题图第7题图7．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是 (D) A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180°C．∠4＝∠5 D．∠2＝∠38．★如图，把长方形ABCD沿EF折叠，若∠1＝50°，则∠AEF等于( D) A．150° B．80° C．100° D．115°第8题图第9题图9．(淄博中考)如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有 ( D)A．2条 B．3条 C．4条 D．5条10．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的大小为( D)A.∠1＋∠2－∠3B．∠1＋∠3－∠2C．180°＋∠3－∠1－∠2D．∠2＋∠3－∠1－180°第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知∠1的对顶角为123°，则∠1的度数为__123°__.12．(曲阜期末)如图，若满足条件__∠A＝∠3(答案不唯一)__，则有AB∥CD.(要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可)第12题图13．在同一平面内的三条直线l1，l2，l3，若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1与l3的位置关系是__相互平行__．14．如图，A，B之间是一座山，一条铁路要通过A，B两点，为此需要在A，B 之间建一条笔直的隧道，在A地测得铁路走向是北偏东63°，那么B地按南偏西__63__度的方向施工，才能使铁路在山腰中准确接通．第14题图15．如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD，∠COE＝100°，则∠AOC＝__40°__．第15题图第16题图16．如图所示，OB∥CE，OA∥CF，则图中与∠C相等的角一共有__3__个．17．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝__120°．18．★(南岗区校级期中)已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD 平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE＋∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝__110°或70°__.三、解答题(共66分)19．(6分)(1)一个角的余角比这个角少20°，则这个角的补角为多少度；解：设这个角的度数为x度，则x－(90－x)＝20，解得x＝55，即这个角的度数为55°，所以这个角的补角为180°－55°＝125°.(2)如图，已知∠1＝∠2，∠D＝60°，求∠B的度数．解：设∠2的对顶角为∠3，∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AB∥CD，∴∠D＋∠B＝180°.∵∠D＝60°，∴∠B＝120°.20．(8分)如图，已知△ABC，点D为AB的中点，动手操作，解决下列问题：(1)过点D作DE∥BC，交AC于点E，并说明作图的依据；(2)度量DE，BC的长度，发现DE，BC之间有何数量关系？解：(1)同位角相等，两直线平行．(2)DE ＝12BC.21.(8分)已知：如图，∠ABE ＋∠DEB ＝180°，∠1＝∠2，则∠F 与∠G 的大小关系如何？请说明理由．解：∠F ＝∠G.理由：∵∠ABE ＋∠DEB ＝180°，∴AC ∥ED ，∴∠CBE ＝∠DEB.∵∠1＝∠2，∴∠CBE －∠1＝∠DEB －∠2，即∠FBE ＝∠GEB ，∴BF ∥EG ，∴∠F ＝∠G.22．(8分)如图，在三角形ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC ∥ED ，CE 是∠ACB 的平分线，试比较∠EDF 与∠BDF 的大小，并说明理由．解：∠EDF＝∠BDF.理由：∵AC∥ED，∴∠ACE＝∠DEC.∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEC＝∠AFD＝90°，∴DF∥CE，∴∠BDF＝∠BCE，∠EDF＝∠DEC，∴∠EDF＝∠ACE.∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∴∠EDF＝∠BDF.23．(10分)已知：如图，BC∥AD，BE∥AF.(1)试说明：∠A＝∠B；(2)若∠DOB＝135°，求∠A的度数．解：(1)∵BC∥AD，∴∠B＝∠DOE.又BE∥AF，∴∠DOE＝∠A，∴∠A＝∠B.(2)∵∠DOB＝∠EOA，由BE∥AF得∠EOA＋∠A＝180°.又∠DOB＝135°，∴∠A＝45°.24．(12分)如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD.(1)若∠BOD＝28°，求∠AOE的度数．(2)若OF平分∠AOC，小明经探究发现，当∠BOD为锐角时，∠EOF的度数始终都是∠BOC度数的一半，请判断他的发现是否正确，并说明理由．解：(1)∵∠BOD＝28°，∴∠AOC＝∠BOD＝28°.∵OE⊥CD，∴∠EOC＝90°，∴∠AOE＝∠EOC－∠AOC＝62°.(2)正确，设∠BOD＝x，则∠AOC＝∠BOD＝x，∠BOC＝180°－x.∵OF 平分∠AOC ，∴∠FOC ＝12x ， ∴∠EOF ＝90°－∠FOC ＝90°－12x ， ∴∠EOF ＝12∠BOC.25．(14分)如图，已知直线AC ∥BD ，直线AB ，CD 不平行，点P 在直线AB 上，且和点A ，B 不重合．(1)如图①，当点P 在线段AB 上时，若∠PCA ＝20°，∠PDB ＝30°，求∠CPD 的度数；(2)当点P 在A ，B 两点之间运动时，∠PCA ，∠PDB ，∠CPD 之间满足什么样的等量关系？(直接写出答案)(3)如图②，当点P 在线段AB 延长线上运动时，∠PCA ，∠PDB ，∠CPD 之间满足什么样的等量关系？并说明理由．(4)如图③，④当点P 在线段BA 延长线上运动时，∠PCA ，∠PDB ，∠CPD 之间满足什么样的等量关系？(直接写出答案)解：(1)如图①，过点P 作PE ∥AC 交CD 于点E ，∵AC ∥BD ，∴PE ∥BD ，∴∠CPE ＝∠PCA ＝20°，∠DPE ＝∠PDB ＝30°，∴∠CPD＝∠CPE＋∠DPE＝50°.(2)∠CPD＝∠PCA＋∠PDB.(3)∠CPD＝∠PCA－∠PDB.理由：如图②，过点P作PE∥BD交CD于点E，∵AC∥BD，∴PE∥AC，∴∠CPE＝∠PCA，∠DPE＝∠PDB，∴∠CPD＝∠CPE－∠DPE＝∠PCA－∠PDB. (4)∠CPD＝∠PDB－∠PCA；∠CPD＝∠PCA－∠PDB.。

第1课时平行关系的判定［核心必知] 1．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系图形语言符号语言直线在平面内aα直线与平面相交a∩α＝A直线与平面平行a∥α2。

直线与平面平行的判定文字语言图形语言符号语言若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行3.文字语言图形语言符号语言如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两平面平行［问题思考]1．若直线a平行于平面α内的无数条直线，则直线a平行于平面α吗?提示：不一定,因为直线a在平面α内时，与a平行的直线也有无数条．2．对于平面与平面平行的判定定理中,若把“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？提示：不一定．如图中,平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交．讲一讲1。

如图，在四棱锥P.ABCD中,底面ABCD是矩形,E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD。

[尝试解答］证明：在△PBC中，E,F分别是PB,PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD。

又∵AD平面PAD，EF平面PAD,∴EF∥平面PAD。

1．判断或证明线面平行的方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点（不易操作）；（2）判定定理法：aα,bα，a∥b⇒a∥α；（3)排除法：证明直线与平面不相交,直线也不在平面内．2．证明线线平行的方法（1)利用三角形、梯形中位线的性质；(2)利用平行四边形的性质；(3)利用平行线分线段成比例定理．练一练1．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.证明：连接AC交BD于O，连接QO。

∵四边形ABCD是平行四边形,∴O为AC的中点．又Q为PA的中点，∴QO∥PC。

显然QO平面BDQ，PC平面BDQ，∴PC∥平面BDQ.讲一讲2。

如图所示,正方体ABCD.A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1,C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.［尝试解答] 证明：如图所示，连接MF。

课时作业A组——基础对点练1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，nα，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m，nα，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，nα，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．答案：A2．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是()A．m∥l1且n∥l2B．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α解析：由m∥l1，mα，l1β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．答案：A3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若mα且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而mα且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．答案：B4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，mα，nβ，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，mα，nβ，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.答案：C5．已知正方体ABCD A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.解析：连接AD1，BC1，AB1，B1D1，C1D1，BD，因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因AD 1∥BC 1，AD 1平面BDC 1，BC 1平面BDC 1，故AD 1∥平面BDC 1，故④正确． 答案：①②④6．如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面所在平面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC 、平面ABD7．(2018·咸阳模拟)如图所示，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N为BC 的中点．(1)求四棱锥O -ABCD 的体积； (2)证明：直线MN ∥平面OCD .解析：(1)∵OA ⊥底面ABCD ，∴OA 是四棱锥O -ABCD 的高．∵四棱锥O -ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，∴底面面积S 菱形ABCD ＝22.∵OA ＝2，∴体积V O -ABCD ＝23. (2)证明：取OB 的中点E ，连接ME ，NE (图略)． ∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD .又∵NE ∥OC ，∵ME ∩EN ＝E ，CD ∩OC ＝C ， ∴平面MNE ∥平面OCD . ∵MN 平面MNE ，∴MN ∥平面OCD .8.(2018·石家庄质检)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝3，P A ＝4，M 为AD 的中点，N为PC 上一点，且PC ＝3PN .(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求点M 到平面P AN 的距离．解析：(1)证明：在平面PBC 内作NH ∥BC 交PB 于点H ，连接AH (图略)， 在△PBC 中，NH ∥BC ，且NH ＝13BC ＝1，AM ＝12AD ＝1.又AD ∥BC ，∴NH ∥AM 且NH ＝AM ， ∴四边形AMNH 为平行四边形， ∴MN ∥AH ，又AH 平面P AB ，MN 平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .(2)连接AC ，MC ，PM (图略)，平面P AN 即为平面P AC ，设点M 到平面P AC 的距离为h . 由题意可得CD ＝22，AC ＝23， ∴S △P AC ＝12P A ·AC ＝43，S △AMC ＝12AM ·CD ＝2，由V M -P AC ＝V P -AMC ， 得13S △P AC ·h ＝13S △AMC ·P A ， 即43h ＝2×4，∴h ＝63， ∴点M 到平面P AN 的距离为63. 9．(2018·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)证明：直线MN ∥平面BDH ；(3)过点M ，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比． 解析：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明：连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OM ，OH ，AC ，BH ，MN . ∵M ，N 分别是BC ，GH 的中点， ∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，NH ∥CD ，且NH ＝12CD ，∴OM ∥NH ，OM ＝NH ，则四边形MNHO 是平行四边形， ∴MN ∥OH ，又MN 平面BDH ，OH 平面BDH ， ∴MN ∥平面BDH .(3)由(2)知OM ∥NH ，OM ＝NH ，连接GM ，MH ，过点M ，N ，H 的平面就是平面GMH ，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都相等，体积比等于底面积之比，即3∶1.B 组——能力提升练1．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ，b α，则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b . 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：对于①，若a ∥b ，b α，则应有a ∥α或a α，所以①是假命题；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或bα，因此②是假命题；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题． 答案：A2．已知直线a，b异面，给出以下命题；①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；②一定存在平行于a的平面α使b∥α；③一定存在平行于a的平面α使bα；④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．则其中正确的是()A．①④B．②③C．①②③D．②③④解析：对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且bα，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a 平行，且与直线b相交于一定点N，而N在b上的位置任意，因此④正确．综上所述，②③④正确.答案：D3．(2018·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是()①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行．A．0B．1C．2 D．3解析：由题图，得SA⊥SE，若存在点E使得直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SB，SA⊥SC，则SC，SB，SE三线共面，则点E与点C重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA与平面SBC相交，所以在平面SBC内不存在直线与SA平行，故②错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行，故③正确．故选B.答案：B4．(2018·郑州市质检)如图，直三棱柱ABC-A′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，点E，F，G，H，M分别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P 在四边形EFGH 内部运动，并且始终有MP ∥平面ACC ′A ′，则动点P 的轨迹长度为( ) A ．2 B ．2π C ．2 3D ．4解析：连接MF ，FH ，MH ，因为M ，F ，H 分别为BC ，AB ，A ′B ′的中点，所以MF ∥平面AA ′C ′C ，FH ∥平面AA ′C ′C ，所以平面MFH ∥平面AA ′C ′C ，所以M 与线段FH 上任意一点的连线都平行于平面AA ′C ′C ，所以点P 的运动轨迹是线段FH ，其长度为4，故选D. 答案：D5．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：过点G 作EF ∥AC ，分别交P A 、PC 于点E 、F ，过E 、F 分别作EN ∥PB 、FM ∥PB ，分别交AB 、BC 于点N 、M ，连接MN (图略)，则四边形EFMN 是平行四边形，所以EF 3＝23，即EF ＝MN ＝2，FM PB ＝FM 6＝13，即FM ＝EN ＝2，所以截面的周长为2×4＝8. 答案：86．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于体对角线BD 1的截面，则截面面积为________cm 2. 解析：如图所示，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，∴S △ACE ＝12×2×32＝64(cm 2)．答案：647．如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N -BCM 的体积．解析：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，故四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT 平面P AB ，MN 平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13·S △BCM ·P A 2＝453.。