8年级数学知识点讲解与专题训练5---角的平分线的性质(含答案解析)

初中数学角平分知识点总结一、角平分线的性质1. 角平分线的定义：如果一条直线把一个角分成两个相等的角，那么这条直线就是这个角的角平分线。

2. 角平分线的性质：角平分线两边的两个角相等。

3. 角平分线的性质：一个角的两个相等的角平分线互相重合。

二、角平分线的判定方法1. 角平分线的判定方法1：通过角平分线的定义，可以轻松判定角的角平分线。

2. 角平分线的判定方法2：如果两条射线的夹角等于一个角的一半，则这两条射线是这个角的角平分线。

三、角平分线的应用1. 利用角平分线的性质求解问题：在证明或计算过程中，可以利用角平分线的性质简化运算，快速求解问题。

2. 利用角平分线的判定方法进行角平分线的判定：在实际问题中，可以通过判定角的角平分线，解决有关角平分线的问题。

四、角平分线的相关定理1. 有关角平分线的相关定理：如角平分线的对称性定理、角平分线的交点定理等，这些定理在具体问题中有一定的应用价值。

2. 角平分线与其他几何图形的关系：在与直线、三角形、多边形等相关的问题中，角平分线也有一定的应用。

五、角平分线的习题解析1. 角平分线的基本应用题：如利用角平分线的性质求解同分、证明一些性质、解决实际问题等。

2. 角平分线的相关综合题：综合利用角平分线的性质和相关定理进行综合性的应用题解析。

通过本文的总结，希望大家能够掌握初中数学中角平分知识点，灵活应用于实际问题中，进一步提高数学解决问题的能力和水平。

角平分线是数学的一个重要知识点，也是初中数学的基础知识之一，希望同学们能够加强对角平分线知识点的掌握，提高数学学习的兴趣和能力。

••《角平分线的性质 》专题复习本节主要通过介绍画角的平分线，引导学生发现问题：角的平分线有什么性质？通过将 一个角对折的方法学习对角线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．利 用三角形全等来说明角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分 线上．接着引导学生试做一个三角形内的三个内角的角平分线，看看有什么特点，特点是： 三角形的三条角平分线交于三角形内一点， 并且这个点到三角形三边的距离相等．角的平 分线的性质一课占有很重要的地位，它是证明线段相等、角相等的有利工具。

一．角的平分线的性质这是本节的重点知识，但在以后的习题中很少会单独的出现只考查角平分线的性质的题 目，一般会综合的考查三角形全等、平行线等有关知识，故在【知识点击】、【典例引路】、 【当堂检测】、【基础训练】中设置了相应的例题以提高解题能力。

二．性质运用在【备选题目】中，设置了角平分线与方程解决问题的题目，以提高学生的综合解题能 力。

三．易错点本节知识的易错点是，把角平分线的性质及角平分线的判断混淆了，所以在【典例引路】 例 3 题及【基础训练】第 3 题设置了相应的题目。

【知识点击】点击一: 角平分线性质定理：在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等．如图：AB 是∠CAD 的平分线，则有：CB=BD 。

点击二: 角平分线判定定理：到一个角的两边的距离相等 的点在这个角的平分线上．如图：如果有 CB=BD ，则有 AB 是∠CAD 的平分线。

点击三: 三角形的三条角平分线交于三角形内一点， 并且这 个点到三角形三边的距离相等．如图：在三角形 ABC 中，AD 是∠BAC ，BE 是∠ABC 的角平 A分线，则有 IH=IG=IF 。

HGIE【典例引路】类型之一:求证角平分线的性质定理B D FC例 1：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什 么吗？【解析】我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办 法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．HIAG E【答案】已知：如图，△ABC 的角平分线 AD 与 BE 交于点 I ，求证：点 I 在∠ACB 的平分线上．B D FC证明：过点I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分别是点H、G、F．∵点I在∠BAC的角平分线AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC∴IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等）同理IH=IF∴IG=IF（等量代换）又IG⊥AC、IF⊥BC∴点I在∠ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）即：三角形的三条角平分线交于一点．类型之二:利用角平分线的性质求线段之比例2：如图，已知：∠BAC=30，G为∠BAC的平分线上的一点，若EG∥AC交AB于E，GD⊥AC于D，GD：GE=（）【解析】作GF⊥AB于F（目的是为了用定理）∵AG平分∠BAC，GD⊥AC∴GF=GD（角平分线的性质定理）∵EG∥AC，∠BAC=300∴∠FEG=300∴FG：EG=1：2∴GD：GE=1：2【答案】1：2类型之三:利用角平分线的性质求角的度数例△3：在ABC中，∠ABC=100，∠ACB=20，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20。

13.3 角的平分线的性质一、选择题1．如图 1 所示 ，∠ 1=∠ 2，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ，垂足分别为 D ，E ，则下列结论中错误的是 （ ）．A ． PD=PEB ．OD=OE C．∠ DPO=∠ EPO D ． PD=ODBEACPDEFOD ABDCA E B（ 1） (2) (3)2．如图 2 所示，在△ ABC 中， AB=AC ， AD 是△ ABC 的角平分线， DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别是 E ，F ，则下列四个结论：① AD 上任意一点到C ，B 的距离相等；② AD 上任意一点到 AB ，AC 的距离相等；③ BD=CD ， AD ⊥ BC ；④∠ BDE=∠ CDF ，其中正确的个数是（ ）． A ．1个 B．2个 C ．3个 D． 4 个3．如图 3 所示，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=BC=1， AB=2 ，AD 在∠ BAC?的平分线上，DE ⊥ AB 于点 E ，则△ DBE 的周长为（ ）．A ．2B ．1+2C ． 2D．无法计算AAAEDC EFPOEBOFB BDC(4)(5)(6)4．如图 4 所示，已知∠ AOB ，求作射线 OC ，使 OC 平分∠ AOB ， ?作法的合理顺序是（）．（ 1）作射线 OC ；（ 2）在 OA 和 OB 上，分别截取 OD ， OE ，使 OD=OE ； （ 3）分别以 D ， E 为圆心，大于1DE 的长为半径作弧，在∠ AOB 内，两弧交于点 C ．2A ．（ 1）（ 2）（ 3）B ．（ 2）（ 1）（ 3）C ．（ 2）（ 3）（ 1）D ．（ 3）（ 2）（ 1） 二、填空题1．（ 1）若 OC 为∠ AOB 的平分线，点 P 在 OC 上， PE ⊥OA ， PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，则PE=________，根据是 ________________ ．（ 2）如图 5 所示，若在∠ AOB 内有一点 P ，PE ⊥ OA ，PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，且 PE=PF ，则点 P 在 _______，根据是 ____________ ．2．△ ABC 中，∠ C=90°， AD平分∠ BAC，已知 BC=8cm，BD=5cm，则点 D?到 AB?的距离为 _______．3．如图 6 所示， DE⊥AB 于 E，DF⊥ AC 于点 F，若 DE=DF，只需O 添加一个条件， ?这个条件是 __________ ．4．如图所示，∠ AOB=40°， OM平分∠ AOB， MA⊥ OA于 A，MB?⊥OB?于 B， ?则∠ MAB的度数为 ________．三、解答题1．如图所示，AD是∠ BAC的平分线， DE⊥ AB 于 E， DF⊥ AC于 F，且 BD=CD，那么相等吗？为什么？AN M BBE与 CFEBDA F C2．如图所示，∠ B=∠ C=90°， M是 BC中点， DM平分∠ ADC，判断 AM?是否平分∠ DAB，说明理由．M DCA B3．如图所示，已知 PB⊥ AB，PC⊥ AC，且 PB=PC，D是 AP 上一点，由以上条件可以得到∠BDP= ∠ CDP吗？为什么？ADCBP探究应用拓展性训练1．（与现实生活联系的应用题）如图所示，在一次军事演习中，?红方侦察员发现蓝方指挥部设在 A 区，到公路、铁路的交叉处 B 点 700m．如果你是红方指挥员，?请你如图所示的作图地图上标出蓝方指挥部的位置．BA区比例尺 1:200002．（探究题）已知：在△ABC中， AB=AC．（1）按照下列要求画出图形：①作∠BAC的平分线交 BC于点 D；②过 D作 DE⊥ AB，垂足为点 E；③过点 D作 DF⊥ AC，垂足为点 F ．（2）根据上面所画的图形，可以得到哪些相等的线段（AB=AC除外）？说明理由．3．如图所示，在△ ABC中， P， Q?分别是 BC， AC上的点，作 PR⊥ AB， PS⊥ AC，垂足分别是R，S．若 AQ=PQ， PR=PS， ?下面三个结论① AS=AR，② QP∥ AR，③△ BRP≌△ CSP中，正确的是（）．A ．①和③B．②和③C．①和② C ．①，②和③BRPA Q S C、、答案 :一、1． D 解析：∵∠ 1=∠ 2， PD ⊥ OA 于 E ， PE ⊥ OB 于 E ，∴ PD=PE ．又∵ OP=OP ，∴△ OPE ≌△ OPD ．∴ OD=OE ，∠ DPO=∠ EPO ．故 A ，B ， C 都正确．2． D 解析：如答图，设点 P 为 AD 上任意一点，连结PB ，PC ．∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD=∠ CAD ．又∵ AB=AC ， AP=AP ，∴△ ABP ≌△ ACP ，∴ PB=PC ． A故①正确．由角的平分线的性质知②正确．∵ AB=AC ，∠ BAD=∠ CAD ，AD=AD ，P∴△ ABD ≌△ ACD ．E F∴ BD=CD ，∠ ADB=∠ ADC ．BDC又∵∠ ADB+∠ ADC=180°， ∴∠ ADB=∠ ADC=90°， ∴ AD ⊥BC ，故③正确．由△ ABD ≌△ ACD 知，∠ B=∠ C ．又∵ DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥AC 于点 F ，∴∠ BED=∠ CFD=90°，∴∠ BDE=∠ CDF ．故④正确．4． C 解析：∵ AD 平分∠ CAB ， AC ⊥ BC 于点 C ，DE ⊥ AB 于 E ，∴ CD=DE ．又∵ AD=AD ，∴ Rt △ACD ≌ Rt △ AED ，∴ AC=AE ． 又∵ AC=BC ，∴ AE=BC ，∴△ DBE 的周长为 DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB= 2 ．提示：设法将 DE+BD+EB 转成线段 AB ．5． C二、 1．（ 1） PF 角平分线上的点到角的两边的距离相同（ 2）∠ AOB 的平分线上 到角的两边距离相等的点在角的平分线上2．解析：如图所示， AD 平分∠ CAB ， DC ⊥ AC 于点 C ， DM ⊥AB 于点 M ．∴ CD=DM ，∴ DM=CD=BC-BD=8-5=3．答案： 3C提示：利用角的平分线的性质．D3． AD 平分∠ BAC ．4．解析：∵ OM 平分∠ AOB ，∴∠ AOM=∠ BOM=AOB=20°．AMB2又∵ MA ⊥ OA 于 A ， MB ⊥ OB 于 B ，∴MA=MB．∴Rt △OAM≌ Rt△ OBM，∴∠ AMO=∠ BMO=70°，∴△ AMN≌△ BMN，∴∠ ANM=∠ BNM=90°，∴∠ MAB=90° -70 ° =20°．答案： 20°三、 1．解析： BE=CF．∵AD平分∠ BAC， DE⊥ AB于点 E， DF⊥ AC于点 F，∴DE=DF．又∵ BD=DC，∴ Rt△ BDE≌Rt △ CDF，∴ BE=CF．提示：由角的平分线的性质可知DE=DF，从而为证△ BDE≌△ CDF提供了条件．2．解析： AM平分∠ DAB．理由：如答图13-9 所示，作 MN⊥ AD于点 N，∵ DM平分∠ CDA，MC ⊥ DC于点 C，MN⊥ AD于点 N，∴MC=MN．又∵ M是 BC的中点，∴ CM=MB，∴MN=BM，∴ AM平分∠ DAB．3．解析：可以．∵ PB⊥AB于点 B， PC⊥ AC于点 C，且 PB=PC，D CNM A B∴AP平分∠ BAC，∴∠ BAP=∠CAP．在 Rt△ ABP和 Rt△ ACP中，PB=PC ， AP=AP，∴Rt △ABP≌ Rt△ ACP，∴ AB=AC．在△ ABD与△ ACD中，AB=AC ，∠ BAP=∠CAP， AD=AD，∴△ ABD≌△ ACD，∴∠ ADB=∠ ADC，∴∠ BDP=∠ CDP．探究应用拓展性训练1．如答图所示．解析：由题意可知，蓝方指挥部P 应在∠MBN的平分线上．又∵比例尺为1： 20000，∴ P 离 B 为 3． 5cm．提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．2．（ 1）解析：按题意画图，如答图13-11 ．（2）可以得到 ED=FD， AE=AF， BE=CF，BD=CD．理由如下：∵ AB=AC，∠ 1=∠ 2， AD=AD，∴△ ABD≌△ ACD，∴ BD=DC．∵∠ 1=∠2， DE⊥AB 于点 E， DF⊥ AC于点 F，∴DE=DF．A1 2E F BD C又∵ AD=AD，∴Rt △AED≌ Rt△ AFD，∴ AE=AF，∴AB-AE=AC-AF，即 BE=CF．提示：正确地画出图形是解决问题的关键，另三角形全等来寻找相等的线段．3． C解析：如答图所示，连结AP．∵PR⊥AB于点 R， PS⊥ AC于点 S， PR=PS，∴ AP平分∠ BAC，∴∠ 1=∠2．又∵ AQ=QP，∴∠ 2=∠ 3，∴∠ 1=∠ 3，∴ PQ∥ AR．在 Rt △APR和 Rt△ APS中，外本题主要应用角的平分线的性质及BRP312PR=PS ， AP=AP，A Q S C ∴Rt △APR≌ Rt△ APS，∴ AR=AS．而△ BRP与△ CSP不具备三角形全等的条件，故①②正确．提示：本题的突破口是判断出点P 在∠ BAC的平分线上．。

专题07 角的平分线性质知识网络重难突破知识点一角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．数学语言：∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB∴∠MOP=∠NOP典例1 （2018春 泰安市期中）如图，在△ABC 中，BE 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过点E 作DF∥BC 交AB 于D ，交AC 于F ，若AB=4，AC=3，则△ADF 周长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．10【答案】B【详解】 因为∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，所以∠ABE=∠EBC，∠ACE=∠ECB.因为DF∥BC，所以∠EBC=∠BED，∠ECB=∠FEC，则DE=DC ，EF=FC ，则DF=DE+EF=DB+FC ，所以△ADF 周长=3+4=7.故选择B 项.典例2 （2019春 邯郸市期中）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OD 平分∠AOE，∠BOC=50°，则∠EOB=（ ）A.50°B.60°C.70°D.80°【答案】D【详解】 解：∵∠BOC=50°，∴∠AOD=50°，∴∠AOE=100°，∠EOB=180°-100°=80°，故选D.典例3 （2018出 盐城市期末）如图，AOB ∠与AOC ∠互余，AOD ∠与AOC ∠互补，OC 平分BOD ∠，则AOB∠的度数是（）A.20︒B.22.5︒C.25︒D.30°【答案】B【详解】解：∵∠AOB与∠AOC互余，∠AOD与∠AOC互补，∴∠AOB=90°-∠AOC，∠AOD=180°-∠AOC，∴∠BOD=∠AOD-∠AOB=90°，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=45°，∴∠AOC=45°+∠AOB，∴∠AOB=90°-∠AOC=90°-（45°+∠AOB），∴∠AOB=22.5°，故选：B．知识点二角平分线常考四种辅助线：⏹图中有角平分线，可向两边作垂线。