变化率与导数作业题及解答

一、选择题1．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（ ）A ．3B ．0C ．2D ．42．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11ab+的最小值是( ) A ．2B ．42C ．4D ．223．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ） A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 4．函数()2221sin cos 622x xf x x =+-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知()ln f x x =，217()(0)22g x x mx m =++<，直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ，则m 的值为( ) A ．2-B ．3-C ．4-D ．1-6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 014x 1＋log 2014x 2＋…＋log 2 014x 2 013的值为()A ．－log 2 0142 013B ．－1C ．(log 2 0142 013)－1D ．17．已知直线:l y m =，若l 与直线23y x =+和曲线ln(2)y x =分别交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为A ．1B ．2C ．455D ．2558．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．[0，π)C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[0，4π]∪[2π，34π]9．函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为 A ．等腰锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形10．已知函数()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '<，则有（ ） A ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f < B ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f > C ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f > D ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f <11．设函数sin cos y x x x =+的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，记()0k g x =，则函数()k g x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数f （x ）=﹣12x 2+12在x=1处的切线的斜率为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1二、填空题13．设点P 是曲线3233y x x =-+上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为σ，则σ的取值范围为____________. 14．已知函数4()ln 2f x x x xλλ=+-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则x 1+x 2的取值范围为_______． 15．在曲线3211333y x x x =-+-的所有切线中，斜率最小的切线方程为______． 16．若直线y kx b =+是曲线ln 3y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =______17．函数在处的切线与直线垂直，则a 的值为______．18．若以曲线()y f x =上任意一点(,)M x y 为切点作切线l ，曲线上总存在异于M 的点11(,)N x y ，以点N 为切点作线1l ，且1//l l ，则称曲线()y f x =具有“可平行性”，下列曲线具有可平行性的编号为__________．（写出所有的满足条件的函数的编号） ①1y x=②3y x x =- ③cos y x = ④2(2)ln y x x =-+ 19．设()()()sin 2',''32f x x xf f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是的导函数，则___________. 20．过点()1,1-与曲线()32f x x x =-相切的直线方程是__________．三、解答题21．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．22．已知函数()mf x mx x=-，()2ln g x x =. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间(1)+∞，上有无实根；（3）若(1]x e ∈，时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 23．求下列函数的导数： （1）()(1sin )(14)f x x x =+-； （2）()21x xf x x =-+. 24．设函数()bf x ax x=-，曲线y =f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为7x -4y -（1）求y =f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y =f （x ）上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．25．（1）函数()(1sin )f x x x =+的导数为()'f x ，求2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭； （2）设l 是函数1y x=图象的一条切线，证明：l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．26．已知函数()()1ln 1x f x x++=和()()1ln 1g x x x =--+（1）若()f x '是()f x 的导函数，求(1)f '的值 （2）当0x >时，不等式()()0g x f x kx'->恒成立，其中()g x '是()g x 导函数,求正整数k 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线求出=(3)k f ，由图(3)=1f ，对2()()g x x f x =求导取值可得.【详解】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得1=(3)=3k f ，又(3)=1f 2()()g x x f x =，2()2()+()g x xf x x f x ''=，(3)6(3)+9(3)=3g f f ''∴=故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点00)(P x y ，既在曲线上又在切线上构造方程组求解．2．C【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值． 【详解】解：()y ln x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-，得1a b +=，a 、b 为正实数，则111()()22241b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++=． 当且仅当12a b ==时，11a b+取得最小值4． 故选：C 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．3．A解析：A 【分析】求导得到()()'1xf x m x e =+⋅，由已知得()1f e =，()1f e '=，解得答案.【详解】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m en ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．C解析：C 【分析】将函数()y f x =的解析式化简，求出其导数()1sin 3f x x x '=+，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像.因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =+-=-，()1sin 3f x x x '∴=+. 当03x <≤时，103x >，sin 0x >，则()1sin 03f x x x '=+>； 当3x >时，113x >，1sin 1x -≤≤，则()1sin 03f x x x '=+>. 所以，当0x >时，()1sin 03f x x x '=+>，排除ABD 选项， 故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．A解析：A 【分析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果. 【详解】 1()f x x'=， 直线l 是函数()f x lnx =的图象在点(1,0)处的切线，∴其斜率为k f ='（1）1=， ∴直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图象相切，∴211722y x y x mx =-⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y ，可得219(1)022x m x +-+=，得△2(1)902(4m m m =--=⇒=-=不合题意，舍去）， 故选A 【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理能力.6．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，求出y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程，取0y =，求得n x ，再利用对数的运算性质可得答案. 【详解】由y ＝x n ＋1，可得(1)n y n x =+'，即11x y n ='=+即曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-令0y =，得1n n x n =+ log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013=20141220132014122013log ()log ()1232014x x x =⋅=- 故选B 【点睛】本题考查了曲线的切线方程和对数的运算，细心计算是解题的关键，属于中档题.7．B解析：B 【分析】利用导数求出与直线23y x =+平行的曲线的切线的切点，利用点到直线的距离可得. 【详解】1y x '=,令12x =可得12x =，所以切点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 根据题意可知1,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0m =，所以3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时2AB =.故选B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义.已知切线的斜率，结合导数可得切点.8．A解析：A 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A.9．D解析：D 【解析】 【分析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状． 【详解】函数的导数()''cos sin 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则131''cos sin ''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()'sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， ()cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=， 则2366C ππππ=--=， 则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形， 故选D ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．10．B解析：B 【分析】 令()()xf xg x e=，x ∈R ．()()()x f x f x g x e '-'=，根据x R ∀∈，均有()()f x f x '<，可得函数()g x 的单调性，进而得出结论． 【详解】 解：令()()x f x g x e=，x ∈R ．()()()xf x f xg x e '-'=， x R ∀∈，均有()()f x f x '<， ()g x ∴在R 上单调递增，(2019)(0)(2019)g g g ∴-<<，可得：2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f >． 故选B ． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．A解析：A 【详解】因为sin cos ,sin cos sin cos y x x x y x x x x x x '=+=+-=， 则()cos g x x x =，该函数为奇函数，排除B 、C ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0>g x ，排除D. 故选:A12．B解析：B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可知(1)k f '=，求导后计算即可. 【详解】 因为()f x x '=-,所以 (1)1k f '==- ，故选B. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于容易题.二、填空题13．【分析】设点根据导数的几何意义求得即可得到答案【详解】设点由函数可得可得即又由所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用其中解答中熟记导数的几何意义准确计算是解答的关键着重考查推理与解析：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】设点00(,)P x y ，根据导数的几何意义，求得tan σ≥.【详解】设点00(,)P x y，由函数323y x =+，可得23y x '=可得020|3x x y x ='=，即tan σ≥ 又由[)0,σπ∈，所以20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭. 故答案为：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】求出导函数根据题意转化为对恒成立即可得解【详解】曲线上总存在两点M （x1y1）N （x2y2）使曲线在MN 两点处的切线互相平行即所以对恒成立所以x1+x2的取值范围为故答案为：【点睛】此题考查解析：()8+∞，【分析】求出导函数24()1f x x x λ'=--，根据题意转化为()()212121244x x x x x x λλ++=<对2λ≥恒成立，即可得解.【详解】4()ln 2f x x x x λλ=+-≥，，24()1f x x xλ'=--，曲线()y f x =上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，即121212()(),,0,0f x f x x x x x ''=≠>>，2211224411x x x x λλ--=--， 22121244x x x x λλ-=-，()()212121244x x x x x x λλ++=<所以1216x x λ+>对2λ≥恒成立所以x 1+x 2的取值范围为()8+∞，. 故答案为：()8+∞，【点睛】此题考查导数的几何意义，根据导数的几何意义解决切线斜率相等的问题，求切点横坐标之和的取值范围，利用基本不等式构造不等关系求解.15．【解析】【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率先求出导函数利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率再用点斜式写出化简【详解】曲线时切线最小斜率为2此时切线方程为即故答案为：【点 解析：20x y -=【解析】 【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率，先求出导函数()f x '，利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率，再用点斜式写出化简． 【详解】曲线3211333y x x x =-+-，223y x x ∴'=-+，1x ∴=时，切线最小斜率为2，此时，32111131233y =⨯-+⨯-=．∴切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=．故答案为：20x y -=． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及二次函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题．16．【分析】对两条曲线对应的函数求导设出两个切点的横坐标令它们的导数相等求出两条曲线在切点处的切线方程对比系数求得的值【详解】依题意设直线与相切切点的横坐标为即切点为设直线与相切切点的横坐标为即切点为令 解析：2ln 3-【分析】对两条曲线对应的函数求导，设出两个切点的横坐标，令它们的导数相等，求出两条曲线在切点处的切线方程，对比系数求得b 的值. 【详解】依题意，()()''11ln 3,ln 11x x x x +=+=⎡⎤⎣⎦+，设直线y kx b =+与ln 3y x =+相切切点的横坐标为0x ，即切点为()00,ln 3x x +，设直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点的横坐标为1x ，即切点为()()11,ln 1x x +，令01111x x =+，解得101x x =-，故直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点为()001,ln x x -.由此求出两条切线方程为()()0001ln 3y x x x x -+=-和()0001ln 1y x x x x -=-+；即001ln 2y x x x =++和000111ln y x x x x =-++，故0001ln 21ln x x x +=-++，013x =，故0ln 22ln3b x =+=-.【点睛】本小题主要考查两条曲线共切线方程的问题，考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于中档题.17．0【解析】【分析】求函数的导数根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果【详解】因为函数y=(x+a)ex 在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直所以函数y=(x+ 解析：【解析】 【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果. 【详解】 因为函数在处的切线与直线垂直，所以函数在处的切线斜率，因为，所以，解得，故答案是0. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究曲线上某点处的切线的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，导数的几何意义，以及函数的求导公式，属于中档题目.18．①③【解析】因为；因为不存在异于的点；因为总存在异于的点满足条件；因为不存在异于的点；所以选①③解析：①③ 【解析】 因为122111y x x x x x =-=-∴=-'≠取 ； 因为231,0y x x =-='时不存在异于M 的点N ；因为1sin sin y x x =-=-'∴总存在异于M 的点N 满足条件；因为212412(2)x x y x x x ='-+=-+，22x =不存在异于M 的点N ；所以选①③19．-1【解析】∵令可得：解得则解析：-1 【解析】∵()2(),()2()33f x sinx xf f x cosx f ππ=+'∴'=+'，令3x π=,可得：()2()333f cos f πππ'=+' ,解得1()32f π'=- ， 则1()2()1222f cosππ'=+⨯-=- 20．或【解析】由题意可得：设曲线上点的坐标为切线的斜率为切线方程为：(*)切线过点则：解得：或将其代入(*)式整理可得切线方程为：或点睛：曲线y ＝f(x)在点P(x0y0)处的切线与过点P(x0y0)的解析：20x y --=或5410x y +-= 【解析】由题意可得：()2'32f x x =-，设曲线上点的坐标为()3000,2x x x -，切线的斜率为2032k x =-，切线方程为：()()()320000232y x x x x x --=--，(*)切线过点()1,1-，则：()()()32012321x x x x ---=--，解得：01x =或012x =-将其代入(*)式整理可得，切线方程为：20x y --=或5410x y +-=.点睛：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．三、解答题21．（1）[－1，＋∞)；（2）(－∞，2∪(1,3)∪[2∞). 【解析】试题分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k 与﹣1k的取值范围，从而可求出k 的取值范围，然后解不等式可求出曲线C 的切点的横坐标取值范围. (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1， 即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，111k k≥-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2∪(1,3)∪[2∞) 22．(1) 44y x =-；(2) 内无实数根；（3）241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 【解析】试题分析：（2）把m 的值代入后，求出f （1），求出x=1时函数的导数，由点斜式写出曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）代入m 的值，把判断方程f （x ）=g （x ）在区间（1，+∞）上有无实根转化为判断函数h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在（1，+∞）上有无零点问题，求导后利用函数的单调性即可得到答案；（Ⅲ）把f （x ）和g （x ）的解析式代入不等式，整理变形后把参数m 分离出来，x ∈（1，e]时，不等式f （x ）﹣g （x ）＜2恒成立，转化为实数m 小于一个函数在（1，e]上的最小值，然后利用导数分析函数在（1，e]上的最小值． 试题（1）2m =时，()22f x x x =-，()222f x x='+，()14f '=，切点坐标为()10，， ∴切线方程为44y x =-（2）1m =时，令()()()12ln h x f x g x x x x=-=--， ()()22211210x h x x x x-=+-=≥'，∴()h x 在()0+∞，上为增函数， 又()10h =，所以()()f x g x =在()1+∞，内无实数根. （3）2ln 2mmx x x--<恒成立，即()2122ln m x x x x -<+恒成立. 又210x ->，则当(]1x e ，∈时，222ln 1x x xm x +<-恒成立，令()222ln 1x x xG x x +=-，只需m 小于()G x 的最小值. ()()()2222ln ln 21x x x G x x-++-'=，∵1x e <≤，∴ln 0x >，∴(]1x e ，∈时，()0G x '<， ∴()G x 在(]1e ，上单调递减，∴()G x 在(]1e ，的最小值为()241eG e e =-， 则m 的取值范围是241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >. 23．（1）'()4cos 4sin 4cos f x x x x x ==-+--；（2）21'()2ln 2(1)x f x x =-+. 【分析】(1)利用积的导数和和差的导数法则求导.(2)利用商的导数和积的导数的法则求导. 【详解】(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x.(2)f(x)=1x x +-2x =1-11x +-2x ,则f'(x)=21(1)x +-2xln 2. 【点睛】本题主要考查对函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 24．(1)3()f x x x=-；(2)证明见解析. 【解析】解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3， 当x ＝2时，y ＝12． 又f′(x)＝a ＋2b x ， 于是1222{744b a b a -=+=，解得13a b ==⎧⎨⎩故f(x)＝x －3x． (2)证明：设P(x 0，y 0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋23x知，曲线在点P(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋203x )·(x －x 0)，即y －(x 0－03x )＝(1＋203x )(x －x 0)． 令x ＝0得，y ＝－06x ，从而得切线与直线x ＝0，交点坐标为(0，－06x )． 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P(x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－06x ||2x 0|＝6．曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6．25．（1）2；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出()cos 1sin f x x x x '=++，即得2f π⎛⎫'⎪⎝⎭的值； （2）设切点为001,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，先求出切线l 的方程为：()020011y x x x x -=--，再求出l 与坐标轴所围成的三角形的面积2S =，即得证. 【详解】（1）()(1sin )f x x x =+，则()[(1sin )](1sin )(1sin )cos 1sin f x x x x x x x x x x ''''=+=+++=++， 所以cos 1sin 22222f ππππ'⎛⎫=++=⎪⎝⎭； （2）设切点为001,x x ⎛⎫⎪⎝⎭， ∵1y x =，21y x'∴=-，∴切线l 的斜率201k x =-， ∴切线l 的方程为：()020011y x x x x -=--， 令0x =，得02y x =， 令0y =，得02x x =，所以l 与坐标轴所围成的三角形的面积0012222S x x =⋅⋅=， 因此l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关． 【点睛】本题主要考查导数的运算，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 26．（1）1ln 22--；（2）3 【分析】（1）求出导函数，代入x 的值即可得到结果； （2）不等式()()0g x f x k x-'>恒成立等价于[](1)1ln(1)x x k x+++<对于0x >恒成立.【详解】（1）由题意可得()()2ln 111xx x f x x +='--+ ∴()11ln 22f '=--；（2）当0x >时，不等式()()0g x f x k x'->恒成立 即[](1)1ln(1)x x k x+++<对于0x >恒成立设[](1)1ln(1)()x x h x x+++=，则21ln(1)()x x h x x --+'=1()1011x g x x x '=-=>++，()1ln(1)g x x x =--+在区间()0,∞+上是增函数， 且()0g x =存在唯一实数根a ,满足(2,3)a ∈，即1ln(1)a a =++ 由x a >时，()0,()0g x h x '>>；0x a <<时，()0,()0g x h x '<< 知()(0)h x x >的最小值为[](1)1ln(1)()1(3,4)a a h a a a+++==+∈故正整数k 的最大值为3. 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．。

【牢固练习】一、 选择题1．（ 2015 春 保定校级月考）函数在一点的导数是（ ）A. 在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B. 一个函数C. 一个常数，不是变数D. 函数在这一点到它周边一点之间的平均变化率。

2.（ 2015 春 淄博校级月考） 在曲线 y x22 的图象上取一点 （ 1,3）及周边一点1 x,3y ，则 yx 为（）A.x1 2B.x 2C.x1D.x1xx2x3.t 到t t时，物体的位移为s，那么lims为 （ ）素来线运动的物体，从时间A ．从时间 t 到 t t 时，物体的平均速度t 0tB ．时间 t 时该物体的瞬时速度C ．当时间为 t 时该物体的速度D ．从时间 t 到 t t 时位移的平均变化率4. 已知函数 yf ( x) ，以下说法错误的选项是（）A.y f ( x 0 x) f ( x 0 ) 叫函数增量B.y f (x 0x) f ( x 0 )叫函数在 [ x 0 , x 0x ] 上的平均变化率xxC. f (x) 在点 x 0 处的导数记为 yD.f (x) 在点 x 0 处的导数记为 f ( x 0 )5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间 t 之间的函数关系为s 1 t 2 ，8则 t=2 s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）A ．2B ． 11 D ．1C ．426． 设 f ( x)ax 4，若 f '(1) 2 ，则 a=（）A ． 2B ．－ 2 C． 3 D ．不确定7．（ 2015 秋 泗县校级期末） 若 f ( x) 在,可导，且lim f (a 2x) f (a)1，则 f ' (a) =（）x0 3 xA.2D.3328．在地球上一物体作自由落体运动时，下落距离S 1 gt 2其中 t 为经历的时间， g 9.8m / s2，2若V lim S(1 t ) S(1) 9.8m / s ，则以下说法正确的选项是（）t 0 tA. 0 ～ 1s 时间段内的速率为B. 在 1～ 1+△ ts 时间段内的速率为9.8m / sC.在 1s 末的速率为9.8m / sD. 若△ t＞ 0，则是 1～ 1+△ ts 时段的速率；若△ t＜0，则9.8m / s是 1+ △ ts～ 1 时段的速率．二、填空题9．已知函数y＝x 3－，当 x＝2 时，y ＝.2x10. 如图，函数 f ( x)的图象是折线段ABC,其中A, B, C 的坐标分别为（0， 4），（ 2， 0），（ 6， 4），则f [ f (0)] = ； lim f (1 x) f (1) =.x 0 x11．一质点的运动方程是s t3 t 2 2t ,其中最小速度是。

变化率与导数、导数的计算一、选择题1．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ·ln 2；③(e x )′＝e x ； ④(1ln x )′＝x ；⑤(x ·e x )′＝e x ＋1.aA ．1B ．2C ．3D ．42．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－43．(2013·广州模拟)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．－12 D.124．(2013·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．15．有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.134二、填空题6．(2013·佛山质检)函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝e x －e ，则f ′(1)＝________．7．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)的值为________．8．(2013·云浮质检)已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________．三、解答题9．(2013·江门模拟)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．10．设有抛物线C：y＝－x2＋92x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限，求切线方程．11．已知曲线C n：y＝nx2，点P n(x n，y n)(x n＞0，y n＞0)是曲线C n上的点(n＝1，2，…)．(1)试写出曲线C n在点P n处的切线l n的方程，并求出l n与y轴的交点Q n的坐标；(2)若原点O(0，0)到l n的距离与线段P n Q n的长度之比取得最大值，试求点P n的坐标(x n，y n)．变化率与导数、导数的计算解析及答案一、选择题1．【解析】①(3x)′＝3x ln 3；②(log2x)′＝1x ln 2；③(ex)′＝e x；④(1ln x)′＝－1x（ln x）2＝－1x·（ln x）2；⑤(x·e x)′＝e x＋x·e x＝e x(x＋1)．【答案】 B2．【解析】f′(x)＝2f′(1)＋2x, ∴令x＝1，得f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.【答案】 D3．【解析】∵y′＝x－1－（x＋1）（x－1）2＝－2（x－1）2，∴y′|x＝3＝－2（3－1）2＝－12，∴－a＝2，即a＝－2.【答案】 B4．【解析】y′|x＝0＝(－2e－2x)|x＝0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线方程为y＝－2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝x的交点分别为(1，0)，(23，23)，故围成的三角形的面积为12×1×23＝13.【答案】 A5．【解析】∵s(t)＝t2＋3t，∴s′(t)＝2t－3t2，∴机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝4－34＝134. 【答案】 D 二、填空题6．【解析】 由切线方程可知切线的斜率为e ，即k ＝f ′(1)＝e.【答案】 e7．【解析】 ∵f ′(x )＝－f ′(π4)sin x ＋cos x ，∴f ′(π4)＝－f ′(π4)sin π4＋cos π4，∴f ′(π4)＝2－1，∴f (π4)＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1. 【答案】 18．【解析】 ∵f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′， ∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.【答案】 －120三、解答题9．【解】 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1. (2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，∴a ≠－12.∴a 的取值范围为(－∞，－12)∪(－12，＋∞).10．【解】 设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1， ①y 1＝－x 21＋92x 1－4， ② ①代入②得x 21＋(k －92)x 1＋4＝0.∵P 为切点，∴Δ＝(k －92)2－16＝0得k ＝172或k ＝12.∵P 在第一象限，当k＝172时，x1＝－2，y1＝－17.(舍去)当k＝12时，x1＝2，y1＝1.点(2，1)位于第一象限．∴所求的斜率k＝1 2.故所求切线方程为y＝1 2x.11．【解】(1)∵y′＝2nx，∴y′|x＝x n＝2nx n，切线l n的方程为y－n·x2n＝2nx n(x－x n)，即：2nx n·x－y－n·x2n＝0.令x＝0，得y＝－nx2n，∴Q n(0，－nx2n)．(2)设原点到l n的距离为d，则d＝|－nx2n|（2nx n）2＋1＝nx2n1＋4n2x2n，|P n Q n|＝x2n＋（2nx2n）2.所以d|P n Q n|＝n|x n|1＋4n2x2n≤n|x n|2·1·|2n·x n|＝14，当且仅当1＝4n2x2n，即x2n＝14n2(x n＞0)时，等号成立，此时x n＝12n，所以P n(12n，14n)．。

一、选择题1．曲线e cos ax y x 在0x =处的切线与直线20x y +=垂直，则a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()g x xf x =，则()'1g =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．323．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e4．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 5．函数()()23ln 0,f x x x bx a b a R =+-+>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ） A ．3B ．23C ．2D ．226．已知函数()()ln 211f x x f x '=+--，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．320x y --= B ．350x y --= C ．20x y ++=D ．10x y ++=7．某种新产品的社会需求量y 是时间t 的函数，记作：y ＝f （t ）.若f （0）＝y 0，社会需求量y 的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，f （t ）的导函数f '（t ）满足：f '（t ）＝kf （t ）（500﹣f （t ））（k 为正的常数），则函数f （t ）的图象可能为（ ）③ ④① ②A ．①②B ．①③C ．②④D ．①②③8．已知函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()2h '=（ ） A ．12 B ．12-C ．18-D ．589．已知函数()1,0,3,0.x e a x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩（a R ∈），若方程()20f x -=恰有3个不同的根，则a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(,1)-∞ C ．(,0]-∞ D ．(,1]-∞10．在平面直角坐标系中，直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 与曲线ln y x =相切，则直线l 的方程为（ ） A ．y ex =B ．y x e =-C ．1y x e =或y x e =- D ．1y x e=或1y x =- 11．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ） A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+D ．()32f x x x =--12．已知函数()ln 2f x x x =+，则其在1x =处的切线方程是（ ） A ．20x y -=B ．20x y +=C ．10x y -+=D ．10x y +-=二、填空题13．直线2y x =与()2ln f x a x x =+的图象相切，则a 的值为___________. 14．曲线y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程为______． 15．曲线y ＝2ln （x +2）在点（﹣1，0）处的切线方程为_____.16．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．17．已知函数()sin 2tan f x x x =+，则3f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭___________ 18．已知函数()2sinxf x cosx=+，如果当0x >时，若函数()f x 的图象恒在直线y kx =的下方，则k 的取值范围是________ .19．曲线2x y x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_______． 20．若函数()xxf x e ae -=+的导函数是奇函数,并且曲线()y f x =的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标是___． 三、解答题21．已知函数31(),3f x x ax a a =-+∈R . （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点（0，1）处的切线方程；（2）求函数()y f x =的单调区间. 22．已知函数()ln 1f x ax x =+-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. （2）讨论()f x 的单调性.（3）若()0f x =有两个不相等的实根，求a 的取值范围.23．函数()1xf x x0x <（），令1()=()f x f x ，*1()=(())n n f x f f x n N +∈． （1）求23()()f x f x ，并猜想()n f x 的表达式（不需要证明）；（2）()()n g x f x =与250x y n --=相切，求n 的值． 24．已知函数()()ln f x x a x =+．（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围． 25．已知函数()()ln f x x a x =-()a R ∈． （1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立，求实数a 的值； （3）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围． 26．设函数f (x )=13x 3－2a x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y =(x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y =1，确定b 、c 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】因为cos (sin )axaxy ae x e x =+-'，所以由导数的几何意义可得切线的斜率0cos0k ae a ==，由题设可得1122a a -=-⇒=，应选答案D ．2．D解析：D 【解析】分析：先求出()'g x 和(1)g '，再求(1)(1)f f '和即得()'1g . 详解：由题得()()(),(1)(1)(1),g x f x xf x g f f =+∴'=+'''因为函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=， 所以1(1),(1)1,2f f =='所以13(1)(1)(1)1.22g f f =+'='=+ 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-3．C解析：C 【分析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=， 则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫- ⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =，()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.4．A解析：A 【分析】利用二次函数值域可求得导函数的范围，即切线斜率的范围，根据斜率和倾斜角的关系可求得结果. 【详解】243y x x '=-+，1y '∴≥-，即切线斜率tan 1k α=≥-，30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故选：A . 【点睛】本题考查利用直线斜率求解倾斜角所处范围的问题，关键是能够利用导数几何意义和二次函数值域求得切线斜率所处的范围.5．B解析：B 【分析】先求导,再将x b =代入,即()k f b '=,进而根据均值不等式求得最小值. 【详解】由题,()23232x bx f x x b x x-+'=+-=,则函数()f x 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率为()22233b b k f b b b b-+'===+,设()3g b b b =+≥当且仅当3b b=,即b =,所以()g b 的最小值为即min k = 故选:B 【点睛】本题考查利用导数求函数图像某点处的切线斜率,考查利用均值不等式求最值.6．A解析：A 【分析】 对函数求导，可得fx 的表达式，令1x =-，可得()1f '-的值，进而可求得()1f 、()1f '的值，即可得到切点及切线斜率，进而可求得切线方程.【详解】 由题意，()()121f x f x''=+-，则()()1121f f ''-=-+-，解得()11f '-=， 所以()ln 21f x x x =+-，()12f x x'=+， 则()1ln1211f =+-=，()1123f '=+=，故切点为()1,1，切线斜率为3，所以切线方程为()131y x -=-，即320x y --=. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7．B解析：B 【分析】令()0f t '=，则()0f t =或500，即当()0f t =或500时，曲线的切线斜率接近0，从而得到答案. 【详解】因为()()()()500f t kf t f t '=﹣， 令()0f t '=，则()0f t =或500，即当()0f t =或500时，曲线的切线斜率接近0， 由选项可知，只有①③符合题意， 故选：B. 【点睛】本题考查函数的实际应用，考查导数的几何意义，根据导数的值求函数图像切线的斜率，属于中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据切线方程计算1'(2)2f =，3(2)2f =，再计算()h x 的导数，将2代入得到答案. 【详解】函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=1'(2)2f ⇒=3(2)2f = ()()2'()()'()f x f x x f x h x h x x x-=⇒= ()3112248h -'==- 故答案选C 【点睛】本题考查了切线方程，求函数的导数，意在考查学生的计算能力.9．B解析：B 【分析】由题意可知，当0x ≤时显然方程有一个根，问题转化为当0x >时，12x e a x-+=有2个根，即1x y e -=与(2)y a x =-的图象有2个交点，求出特殊位置相切时斜率即可求解.【详解】当0x ≤时，()20f x -=即为320x +-=， 即1x =-， 所以方程有1根，又方程()20f x -=恰有3个不同的根， 所以当0x >时，()20f x -=有2个根， 即1(2)x ea x -=-有2个根，所以1x y e -=与(2)y a x =-的图象有2个交点，设过原点与1x y e-=相切的直线切点为010(,)x x e-，则切线斜率0011000()0x x e k f x ex ---'===-，解得01x =， 所以1k =，所以(2)y a x =-与1x y e -=有2个交点则需21a ->，即1a <， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数与方程，由方程根的个数求参数，直线与曲线相切，属于中档题.10．D解析：D 【分析】采用分类讨论的方法，可得直线过原点与不过原点的直线方程，然后利用曲线在某点处的切线方程，简单判断，可得结果. 【详解】①当直线l 过原点时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠， 设切点坐标为()00,x y有00000ln 1y x y kx k x ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得0011x e y k e ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，此时直线l 的方程为1y x e=； ②当直线l 不过原点时，此时直线的斜率为1， 若切点为(),a b ，可得1a =，1b =-， 此时直线l 的方程为1y x =-； 由①②知直线l 的方程为1y x e =或1y x =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线方程，属基础题.11．C解析：C 【分析】由导数为2，求出斜率为2的切线的切点坐标，此切点在直线2y x =上，2y x =就是切线，不在，就不是切线．【详解】若()22x f x e =-，则由()'22xf x e ==，得0x =，(0)0f =，点()0,0在直线2y x=上，则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；若()2sin f x x =，则由()'2cos 2f x x ==，得()2x k k =π∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若()13f x x x=+，则由()2'132f x x -==，得1x =±，(1)4,(1)4f f =-=-，点()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； 若()32f x x x =--，则由()2'312f x x =-=，得1x =±，其中(1)2f -=-，()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.12．C解析：C 【分析】求导得到()'ln 1f x x =+，计算()'11f =，()12f =得到切线方程. 【详解】()ln 2f x x x =+，则()'ln 1f x x =+，()'11f =，()12f =.故切线方程为：1y x =+，即10x y -+=. 故选：C . 【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.二、填空题13．【分析】设切点坐标为求导数由切线斜率得的关系再由切点在函数图象可求得参数值【详解】设切点为因为所以切线斜率为得又因为切点在的图象上所以得即所以即故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义已知解析：2e【分析】设切点坐标为00(,2)x x ，求导数，由切线斜率得0,a x 的关系，再由切点在函数图象可求得参数值． 【详解】设切点为()00,2x x ，因为2()1af x x '=+，所以切线斜率为0212a x +=，得02x a =，又因为切点在()f x 的图象上，所以0002ln 2a x x x +=，得002ln a x x =，即2ln22a a a =，所以2a e =，即2ea =.故答案为：2e ． 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，已知函数()y f x =，00(,)P x y ，导数为()y f x '='，（1）若P 在()y f x =图象，则函数图象过P 点的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-；（2）若求过P 点的切线方程，则诮设切点为11(,())x f x ，写出切线方程111()()()y f x f x x x '-=-，然后代入P 点坐标00(,)x y ，求得1x ，从而得切线方程．14．【解析】【分析】欲求曲线y=sin2x 在点（00）处的切线方程只须求出其斜率即可故先利用导数求出在x=2处的导函数值再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而解决问题【详解】解：∵y=sin2x ∴f 解析：20x y -=【解析】 【分析】欲求曲线y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而解决问题． 【详解】 解：∵y=sin2x ， ∴f'（x ）=2cos2x ，当x=0时，f'（0）=2，得切线的斜率为2， 所以k=2；所以曲线在点（0，0）处的切线方程为： y-0=2×（x-0），即y=2x ． 故答案为：20x y -=． 【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15．2x ﹣y+2＝0【解析】【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得所求切线方程【详解】的导数为可得切线的斜率为即有曲线在处的切线方程为即故答案为【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程考查直解析：2x ﹣y +2＝0【解析】 【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程． 【详解】()2ln 2y x =+的导数为22y x '=+，可得切线的斜率为2k =， 即有曲线在()10-，处的切线方程为()21y x =+， 即220x y -+=，故答案为220x y -+=． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．16．【解析】【分析】对函数求导求得得到a 的方程求解即可【详解】切线与直线平行斜率为又所以切线斜率所以的斜率为即解得故答案为【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数熟记基本初等函数的求导公式准确计算是关键是基 解析：1-【解析】 【分析】 对函数1cosx y sinx +=求导，求得πf 2⎛⎫⎪⎝⎭',得到a 的方程求解即可. 【详解】切线与直线x ay 10-+=平行，斜率为1a， 又21cosxy sin x--='， 所以切线斜率πk f'12⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以x ay 10-+=的斜率为1-， 即11a=-，解得a 1=-． 故答案为1-． 【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数，熟记基本初等函数的求导公式，准确计算是关键，是基础题.17．3【分析】对函数求导将x=代入即可得到答案【详解】f(x)=2cos2x+则故答案为3【点睛】本题考查导数公式的应用考查计算能力解析：3 【分析】 对函数求导，将x=3π代入即可得到答案. 【详解】()sin2tan 2sinxf x x x sin x cosx=+=+f’(x)=2cos2x+22cos cos sin sin 122cos cos x x x x cos x x x+=+，则221214333cos 3f cos πππ⎛⎫=+=-+= ⎪⎝⎭' 故答案为3 【点睛】本题考查导数公式的应用，考查计算能力.18．【分析】先由因为函数的图像横在直线的下方且两函数都过原点可知当直线为函数的切线时切点为进而可求出切线的方程结合函数图像即可判断结果【详解】因为函数的图像横在直线的下方且两函数都过原点所以当直线为函数解析：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先由因为函数()f x 的图像横在直线y kx =的下方，且两函数都过原点，可知当直线y kx =为函数()f x 的切线时，切点为()0,0，进而可求出切线的方程，结合函数图像，即可判断结果. 【详解】因为函数()f x 的图像横在直线y kx =的下方，且两函数都过原点，所以当直线y kx =为函数()f x 的切线时，切点为()0,0，由()2sinx f x cosx =+得()()()()222cosx cosx sinx sinx f x cosx +=+'--，所以切线斜率为210193+-=， 所以可得切线方程为13y x =，结合图像可得13k ≥. 故答案为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程的问题，常用数形结合的方法，结合导数的几何意义来解决，属于中档试题.19．【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线方程求得与坐标轴的交点即可利用三角形的面积公式求得三角形的面积【详解】由函数可得导数为当时所以曲线在点处的切线方程为即令可得令可得所以曲线在处的切线与两坐标解析：23【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求得切线方程，求得与坐标轴的交点，即可利用三角形的面积公式，求得三角形的面积. 【详解】由函数2xy x e =+，可得导数为12xy e '=+，当0x =时，3y '=，所以曲线2xy x e =+在点()0,2处的切线方程为23y x -=，即320x y -+=，令0x =，可得2y =，令0y =，可得23x =-， 所以曲线2xy x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为1222233⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求切线方程，即切线方程的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理、准确求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.20．ln2【解析】由题意可得是奇函数∴f′（0）=1﹣a=0∴a=1f （x ）=曲线y=f （x ）在（xy ）的一条切线的斜率是即解方程可得ex=2⇒x=ln2故答案为ln2 解析：ln 2【解析】由题意可得，()xxf x e ae-=-'是奇函数∴f ′（0）=1﹣a =0∴a =1，f （x ）=x x e e -+，()x xf x e e -'=-曲线y =f （x ）在（x ，y ）的一条切线的斜率是32，即32x xe e --= 解方程可得e x =2⇒x =ln 2 故答案为ln 2．三、解答题21．（1）10x y +-=；（2）答案见解析. 【分析】（1）化简函数的解析式，求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．（2）求出导函数，通过a 的范围，判断函数的导数的符号，判断函数的单调性即可． 【详解】（1）当1a =时，31()13f x x x =-+， 因为2()1f x x '=-， 所以(0)1f '=-，所以曲线函数()y f x =在点(0,1)处的切线方程为：10x y +-=． （2）定义域为R ． 因为2()f x x a '=-，a R ∈， ①当0a 时，()0f x '恒成立．所以函数()y f x =在(,)-∞+∞上单调递增．②当0a >时，令()0f x '=，则x =x =所以当()0f x '>时，x <x当()0f x '<时，x <<所以函数()y f x =在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减． 综上可知，当0a 时，函数()y f x =在R 上单调递增；当0a >时，函数()y f x =在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的单调性的判断，考查分类讨论思想的应用，是中档题．22．（1）220x y --= （2）见解析 （3）21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）求出导函数以及1x =处的导数，利用导数的几何意义即可求解.（2）求函数的导函数，根据导函数讨论a 的取值范围当0a ≥时与当0a <时，进而可求出单调性，（3）若()0f x =有两个不相等的实根，由（2）可得0a <，只需()max 0f x >即可求解. 【详解】（1）当1a =时，()ln 1f x x x =+-，()1'1f x x=+， 此时()10f =，()'12k f ==，∴切线方程为22y x =-，即为220x y --= （2）()ln 1f x ax x =+-()0x >，()1'1ax a x f xx +=+=， ∴当0a ≥时，则()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+内单调递增，当0a <时，令()0f x '>，则10x a <<-，所以()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，令()0f x '<，解得1x a >-，所以()f x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递减.（3）∵()0f x =有两个不相等的实根，由（2）得0a <， ∴()max 11ln 20f a f x a ⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即21a e >-， 综上所述：21,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、利用导数判断含参函数的单调性、根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题. 23．（1）见解析；（2）4 【解析】 【分析】（1）分别求出()2f x 和()3f x 的解析式，结合函数()1f x 的解析式归纳出函数()n f x 的解析式；（2）设切点()00,P x y ，由函数()y g x =在点P 处的切线斜率等于直线250x y n --=，以及点P 为直线250x y n --=与函数()y g x =图象的公共点，利用这两个条件列方程组求出n 的值。