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三年级奥数教程第12讲三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3(三行三列)的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图．例1、将1～9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．图12-1分析与解 1+2+…+8+9＝45．所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(＝45÷3)．从1到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是9+5+1，9+4+2，8+6+1，8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3．6+5+4这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心．在式子中出现三次的只有8、6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图所示．816357492图12-2说明除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．随堂练习1 用0到8这9个数构造一个三阶幻方．例2、将1，3，5，7，…17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．分析与解将图12—2中的1，2，3，…，9分别用1，3，5，…，17代替，得到图12—3．它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27．1511159137173图12-3随堂练习2 将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．例3、如果l、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?分析与解总和是1+4+7+…+25＝(1+25)×9÷2＝117．由于三行的和相等，所以每一行的和是117÷3＝39．。
每一列、每一条对角线的和也是39．两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍．所以中央的那个数是(39×3—39 × 2)÷3＝13．随堂练习3 如果2、6、10、1 l、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?例4、图12—4是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数．62815图12-4分析与解首先注意在例3中实际上已经得出每一行(每一列、每条对角线)的和是中央那个数的3倍．因此，现在每一行的和是15×3＝45．这样，就可以得出第三行第一个数是45—6—28＝11．第三行第三个数是45—6—15＝24．第三行第二个数是45—11—24＝10．同样，可得其他的数．最后得出三阶幻方如图12—5．6201928152111024图12-5随堂练习4图1 2—6是一个三阶幻方，请填出其他的数．15423图12-6例5、已知图12—7中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．11263图12-7分析及解每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12。
三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
a bc def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360 又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e 36045⨯=-e e =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
三阶幻方同学们：在（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
分析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和（3）选择突破口，显然是e，看图2。
因为：所以：也就是：又因为：所以也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
（4）四个角上的数，a、c、g、i的特点。
我们先从a开始：想：a是奇数还是偶数。
如果a为奇数，因为，所以也是奇数。
因为奇＋奇＝偶。
又因为，所以d与g同是奇数或同是偶数。
分两种情况：<1>当d、g都是奇数时，因为，，其中e，i都是奇数，所以f、h也只能是奇数。
这样在图1中应填的数有a、d、e、f、g、h、i这七个奇数，而1～9中九个数只有五个奇数，所以矛盾，说明d、g不可能为奇数。
三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
ab c def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15 所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360 又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e36045⨯=-e e =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
三阶幻方的性质
一、知识点整理：
性质1：能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加都相等且等于中间数两倍的九个数数列；
性质2：幻方的中心数为数列的中间数；
性质3：幻方中关于中心对称的两个数均为数列中首尾相对应的配对；
性质4：幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的3倍；
性质5：数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，第二大与第二小的配对只能出现在四角；
性质6：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数；
性质7：具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等。
二、精讲精练
例1：请你将2---10这9个自然数填入下图中的空格内，使每行、每列、每条对角线上的3个数之和相等。
练习1
在下图的9个方格中填入不大于12且互不相同的9个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的3个数之和都等于21.
例2：在下面方阵中已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。
（1） 如下左图所示，求x ；
（2） 如果中间的空格内填入100，如下右图所示，试在（1）的基础上完成填图。
练习2
下图是一个三阶幻方，那么标有☆的方格中所填的数是多少？。
三阶幻方（二）同学们：我们今天继续学习三阶幻方，通过上次学习，同学们初步掌握了求三阶幻方的方法。
下面我们就利用这些方法求三阶、四阶等幻方。
（一）学习指导与解答例1. 在下图的33⨯的阵列中填入了1～9的自然数，构成了大家熟悉的三阶幻方。
现在另有一个33⨯的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使其中最大者为20，最小者大于5，且每一横行，每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。
492357816152013141618191217图1 图2分析：所给的三阶幻方中填入的是1～9这九个不同的自然数，其中最大的为9，最小的为1，要使新编制的幻方中最大数为20，而91120+=，因此，如果在所给幻方中各数都增加11，就能构成一个新幻方，并且满足最大数为20，最小数大于5。
见图。
例2. 在33⨯的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图3，请你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36。
56A B C D EFG56 图3图4分析：为了叙述方便，我们将其余空格的数字用字母表示，如图4。
因为幻和为36，所以可求出中心数为：36312÷=，即C =12从第二行可求出D =-+=3612618() 从对角线中可求出E =-+=3612519() 从第一列可求出A =-+=3661911() 从第一行可求出B =-+=3651120() 从第二列可求出F =-+=3620124() 从第三列可求出G =-+=3651813() 得到三阶幻方如下：112056121819413从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。
利用幻和＝中心数×3这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数，在已知中心数的情况下，可求出幻和，以便其它数的求出。
例3. 将1～9这九个数字分别填入图1中所示的空格中，使得前两行所构成的两个三位数之和等于第三行的三个数，并且相邻（上下或左右）的两个数奇偶性不同。
三阶幻方的规律和方法
三阶幻方是一种方阵，也又称魔方阵，主要由0-8九个数组成，要求其行、列、对角线相加的和都是15，又称为等式的结果。
三阶幻方的具体建立方法可以有很多，以下就介绍三种比较常见的建立方法：
一、将0-8九个数按图案填到幻方格子中，幻方的中心位置用5来填充。
先从左上角开始，在上行中填入3，8，4。
然后从左上角的第二行开始，在上行中填入6，1，7。
最后要填入的正中间位置是5，这样先把上面的三行填满，下面的三行也就推出了。
一共是九个数，填满就可以形成一个三阶幻方。
二、把一个三阶幻方拆分成九小格，用九个0-8数字重新排列，分四等分，把这九个数字依次从1-9进行排序，形成一个完整的三阶幻方阵。
三、另一种方法就是以空格的方式填写，把上面的三个数字放到每个格子里，再把中间的0放到空格的中间。
根据宫格的大小，一共只能填入八个数，最后一个数就会在格子的旁边。
最后将8个数进行重新排列，便可得到一个三阶幻方。
以上三种方法都可以用来制作三阶幻方，只要掌握了规律，就可以轻松完成。
首先，三阶幻方的规律是，行列对角线相加的和都是15。
其次，三种不同的建立方法可以帮助我们更好地掌握规律，并可以轻松的制作三阶幻方。
然而，解决三阶幻方的规律并不容易，因为其解答是有限的，在解决过程中，需要经过反复的尝试和思考，才能正确的得到答案。
总之，一切取决于你如何思考及如何改变观点，掌握规律，在不断的尝试中，你将会慢慢把三阶幻方解决！。
三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。
三阶幻方是一种特殊的数阵图。
例1 将1-9这九个数填入方格，使它成为一个三阶幻方。
分析：1+2+3+4+...+9=45 所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是45÷3=159+5+1，9+4+2 8+6+1，8+5+2，8+4+37+6+2，7+5+36+5+4这8个式子中5出现四次，所以5一定在中心。
8、6、4、2这四个数出现三次，所以在四个角上。
随堂练习1、用0-8这9个数构造一个三阶幻方。
2、将2，4，6，...，18填入3×3方格中，使它成为一个三阶幻方。
公式：三阶幻方中央的数=行（列）和÷3和=中央数×33、如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央数是多少？4、如图，这是一个三阶幻方，请填出其它数。
（4） （5）5、已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，请填出其它的数。
6、把下图三阶幻方补充完整。
练习题1、用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方。
2、用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方。
（第1题） （第2题）3、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
（第3题） （第4题） （第5题）4、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
5、用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和是60。
6、下图是一个三阶幻方，求？是多少。
（第6题） （第7题）7、从1-13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等。
这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？8、填完第7题的图。
三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。
三阶幻方是一种特殊的数阵图。
例1 将1-9这九个数填入方格，使它成为一个三阶幻方。
分析：1+2+3+4+...+9=45 所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是45÷3=159+5+1，9+4+2 8+6+1，8+5+2，8+4+37+6+2，7+5+36+5+4这8个式子中5出现四次，所以5一定在中心。
8、6、4、2这四个数出现三次，所以在四个角上。
随堂练习1、用0-8这9个数构造一个三阶幻方。
2、将2，4，6，...，18填入3×3方格中，使它成为一个三阶幻方。
公式：三阶幻方中央的数=行（列）和÷3和=中央数×33、如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央数是多少？4、如图，这是一个三阶幻方，请填出其它数。
（4） （5）5、已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，请填出其它的数。
6、把下图三阶幻方补充完整。
练习题1、用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方。
2、用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方。
（第1题） （第2题）3、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
（第3题） （第4题） （第5题）4、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。
5、用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和是60。
6、下图是一个三阶幻方，求？是多少。
（第6题） （第7题）7、从1-13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等。
这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？8、填完第7题的图。
三年级奥林匹克数学专题讲解——三阶幻方理论A 篇幻方实际上是一种填数游戏，它不仅有三阶，还有四阶、五阶……直到任意阶。
一般地，在n 行n 列的方格里，既不重复也不遗漏地填上n n ⨯个连续的自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上n 个自然数的和相等，我们把这几个相等的和叫做幻和，n 叫做阶，这样排成的图形叫做n 阶幻方。
三阶幻方：在三行三列的正方形方格中，既不重复也不遗漏地填上33⨯个连续的自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上3个自然数的和均相等。
通常这样的图形叫做三阶幻方。
三阶幻方的一些基本规律：幻和=九个数之和÷3，中间数=幻和÷3。
九个连续的自然数中，第五个数是中间数，第二、四、六、八个数是四个角上的数。
例题1 在下面的方格中填上适当的数，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都等于24。
分析： 解决问题的突破口：找出每行、每列和每条对角线上的任意两个数，就可以根据幻和求出第三个数。
例题2 下图中，每个字母代表一个数。
已知每行、每列、每条对角线上的三个数和都相等，若4,16,17,5a l d h ====。
求b 与f 为多少？分析： 根据幻和相等：a e l c e g b e h d e f ++=++=++=++，这4个算式中都有中间数e ，所以有：a l c g b h df +=+=+=+。
再代入4,16,17,5a l d h ====即可。
一、知识介绍二、例题讲解例题3 编出一个三阶幻方，使其幻和为27。
分析： 先根据幻和求中间数，然后填其他数。
请你试一试：调换数的位置，还可以得到几种答案？例题4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
分析： 先求幻和，再根据幻和求中间数，然后填其他数。
例题5 下图中，a g 7个字母，各代表7个数字，要使三阶幻方成立，“a ”所代表的数字是多少？分析： 根据幻方的概念：每一行、每一列以及每条对角线上3个自然数的和均相等。
小学奥数 三阶幻方
幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.
如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.
观察，你发现了什么？
观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.
上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数. 三阶幻方的规律：
（1）幻和= 九个数之和 ÷3； （2）中间数=幻和÷3
（3）四个角上的数字 2=（3+1）÷2,8=（9+7）÷2
例题1 在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。
7
3 8
4 6
3 二、例题讲解 6
7
21
598
34
例题2
在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。
例题3 在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列
及每条对角线上的三个数之和都等
于21。
巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角 线上的三个数之和都等于27。
例题4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上
的三个数的和都相等。
19 14
10 18 8
12
介绍杨辉法：介绍公式法：口诀：九子斜列，上下对易，左右相更，四维挺出。
想一想还有没有其他填法：
第一种：816 357 492
第二种：618 753 294
第三种：
492
357
816
第四种：
294
753
618
第五种：
672
159
834
第六种：
834
159
672
第七种：
276
951
438
第八种：
438
951
276
巩固练习：用3-11构造一个三阶幻方
课堂练习
1、把4～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
2、使下图每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等，且等于45。
3用1～9这9个数字补全图中的幻方，并求出幻和。
4在下图的空格里填入不大于15且不相同的自然数，使每一行、每一列和每一条对角线上的三个数的和都等于30。
5请编写下列三阶幻方。
①用6，8，10，12，14，16，18，20，22这九个数构成一个三阶幻方。
②把2，6，10，14，18，22，26，30，34这九个数构成一个三阶幻方。
③把3，5，7，9，11，13，15，17，19这九个数构成一个三阶幻方。
