开孔板问题(仅限借鉴)
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开孔板的问题（应力集中的问题）
一. 引言
应力集中即Stress concentration，是指受力构件由于外界因素或自身因素几何形状、外形尺寸发生突变而引起局部范围内应力显著增大的现象。
在弹性力学中，这是一类问题，应力在固体局部区域内显著增高的现象。
多出现于尖角、孔洞、缺口、沟槽以及有刚性约束处及其邻域。
应力集中会引起脆性材料断裂；使物体产生疲劳裂纹。
在应力集中区域，应力的最大值（峰值应力）与物体的几何形状和加载方式等因素有关。
局部增高的应力值随与峰值应力点的间距的增加而迅速衰减。
由于峰值应力往往超过屈服极限而造成应力的重新分配，所以，实际的峰值应力常低于按弹性力学计算出的理论峰值应力。
反映局部应力增高程度的参数称为应力集中系数k，它是峰值应力与不考虑应力集中时的应力的比值，恒大于1且与载荷大小无关。
二．产生应力集中的原因
构件中产生应力集中的原因主要有：
(1) 截面的急剧变化。
如：构件中的油孔、键槽、缺口、台阶等。
(2) 受集中力作用。
如：齿轮轮齿之间的接触点，火车车轮与钢轨的接触点等。
(3) 材料本身的不连续性。
如材料中的夹杂、气孔等。
(4) 构件中由于装配、焊接、冷加工、磨削等而产生的裂纹。
(5) 构件在制造或装配过程中，由于强拉伸、冷加工、热处理、焊接等而引起的残余应力。
这些残余应力叠加上工作应力后，有可能出现较大的应力集中。
(6) 构件在加工或运输中的意外碰伤和刮痕。
三．弹性力学中的应力集中
1.工程结构中常开设孔口最简单的为圆孔。
弹性力学研究‘小孔口问题’，应符合
(1)孔口尺寸＜＜弹性体尺寸，
孔口引起的应力扰动局限于小范围内。
(2)孔边距边界较远（＞1.5倍孔口尺寸）
孔口与边界不相互干扰。
当弹性体开孔时,在小孔口附近,将发生应力集中现象。
2. 孔边应力集中：孔边附近区域应力发生局部增大的现象。
特点：.（1）.孔边周围应力局部增大（应力重新分布）
（2）.集中是在一定范围内，是局部现象，超过一定距离就无影响。
（3）.集中同孔的形状有关，与孔的大小无关。
3、1.带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q ， 图(a)。
将外边界改造成为圆边界，作()
R R r ρ=?
则有
,,0
R q ρρϕρστ===
内边界条件为
,,0
r q ρρϕρστ===
利用圆环的轴对称解答，取
120,q q q
=→-
且R ＞＞r ，则得应力解答：
22221.1,0.()
r r q q a ρϕρϕσστρρ⎛⎫⎛⎫
=-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 最大应力发生在孔边
()
2,
r
q ϕρσ==
所以应力集中系数为2。
2、带小圆孔的矩形板. x, y 向分别受拉压力()
q ±,图(b)。
3、作
()
R R r ρ=?圆，求出外边界条件为
()
,cos2,sin 2.R q q b ρρϕρσϕτϕ===-
内边界条件为
,,0
r q ρρϕρστ===
应用半逆解法求解(非轴对称问题): 由边界条件,假设
cos 2,sin 2q q ρρϕσϕτϕ
∝∝-
由σΦ: 关系,假设cos 2ϕΦ∝ ,所以设
()cos2f ρϕ
Φ=
q
q
q q
q
q
r o
x
y
(a)
A
q
q
q q
q σρ
r o
x y
(b)
A
φ
τρφ
代入相容方程43243223
299cos 20d f d f d f df d d d d ϕρρρρρρρ⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦ 除去cos 2ϕ，为欧拉方程，得解
()422
.(e)
D f A B C ρρρρ=+++
前面给出的边界条件为：
(),cos2,sin 2.R q q b ρρϕρσϕτϕ=∝==- (b)
,,0
r q ρρϕρστ=== (c)
校核边界条件 (b) , (c) ,求出 A, B, C, D ，得应力解答：
2222442222cos 2113,cos 213,()
sin 2113r r q r q f r r q ρϕρϕσϕρρσϕρτϕρρ⎫
⎛⎫⎛⎫=--⎪
⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎪⎪⎛⎫⎪
=-+⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪
⎛⎫⎛⎫⎪
=--+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭
在孔边
()4cos 2r
q ϕρσϕ
==- ，最大、最小应力为4q ±，应力集中系数为4±
3、带小圆孔的矩形板，只受
x
向均布拉力
q 。
x
q y
o
q 2
2q 1q 1
q1+q22
q1+q22
q1+q22
q1+q22
q1-q22
q1-q22
q1-q22
(a)
(b)
q1-q22
(c)
(1)叠加原理
(2)(2)应用叠加原理(此时令
12,0
q q q == )，得应力解答:
222222242422221cos 2113,221cos 213,(g)
22sin 21132q r q r r q r q r q r r ρϕρϕσϕρρρσϕρρτϕρρ⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--⎪
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪
=+-+⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪
⎪⎛⎫⎛⎫⎪=--+ ⎪⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎭
讨论：(1)孔边应力
()
12cos2q ϕσϕ=-
ϕ= 00 030 045 060 090
ϕσ=
q - 0 q 2q 3q
最大应力 3q ，最小应力-q
(2) y 轴090ϕ=上应力，
242413122x r r q ϕσσρρ⎛⎫
==++ ⎪⎝⎭
ρ = r 2r 3r 4r 远处
x σ = 3q 1.22q 1.07q 1.04q q
可见,距孔边1.5D 处 (
)
4p r = ,由于孔口引起的应力扰动<5%。
3) x 轴0
0ϕ=上应力
q
q
q
q
-q
3q
3q
o
y
x
22
22312y q r r ϕσσρρ⎛⎫==-- ⎪
⎝⎭
ρ = r 3r 2r 3r 4r 远处
y
σ= q - 0 0.313q 0.037q 0.0254q 0
同样,距孔边1.5D 处(
)
4p r = ,由于孔口引起的应力扰动<5%。
4、小孔口的应力集中现象
(1)集中性--孔口附近应力>>远处的应力， 孔口附近应力>>无孔时的应力。
(2)局部性--应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径(D)范围内。
此区域外的应力扰动，一般<5%。
(3)凹角的角点应力高度集中, 曲率半径愈小,应力愈大。
5、一般小孔口问题的分析： (1)假设无孔，求出结构在孔心处的 ,,x y xy
σστ
2)求出孔心处主应力 12,,a σσ 。
(3)在远处的均匀应力场
12
,σσ 的作用下,求出孔口附近的应力
6、其他小孔口问题的解答
应用弹性力学问题的复变函数解法，已经解出许多各种形状的小孔口问题的解答。
这是一种求解弹性力学解答的解析方法，它将复变函数的实部和虚部(均为实函数)分别表示弹性力学的物理量，将弹性力学的相容方程(重调和方程)也化为复变函数方程，并结合边界条件进行求解。
四. 降低应力集中的方法
工程中常用以下几种方法来降低应力集中程度： 1. 修改应力集中因素的形状
(1) 用圆角代替尖角。
将尖角改为圆角，能有效地缓和应力集中程度。
一般来讲，圆角的曲率半径在可能的范围内愈大愈好。
(2) 采用流线形或抛物线形的表面过渡。
有时圆角并不对应于最小的应力集中，如果采用流线形变化的截面，效果会更好。
为了缩短流线形表面的变化长度，。
