专题复习 统计与概率的综合运用-1
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中考数学人教版专题复习:统计与概率的综合应用一、考点突破1. 会分析样本数据,并会求数据的特征数字(如平均数、标准差)理解各种统计方法。
2. 会用正确的算法求解概率统计。
3. 会利用概率解决实际问题。
二、重难点提示重点:应用各种统计方法解决数学问题。
难点:统计在实际生活中的应用。
考点精讲1. 随机事件与确定事件。
生活中的随机事件分为确定事件和随机事件,确定事件又分为必然事件和不可能事件。
必然事件:在一定的条件下重复进行实验时,在每次实验中必然会发生的事件。
不可能事件:有的事件在每次实验中都不会发生,这样的事件叫做不可能的事件。
随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件。
2. 事件发生的概率:一般地,随机事件发生的可能性是有大小的,不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
【规律总结】①必然事件发生的概率为1,即P(必然事件)=1;②不可能事件发生的概率为0,即P(不可能事件)=0;③如果A为不确定事件,那么0<P(A)<13. 概率的综合应用解题思想。
要判断随机事件发生的可能性的大小,我们利用反复实验所获取一定的经验数据可以预测它们发生概率的大小;要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平,就是看它们发生的概率是否一样。
【方法指导】所谓判断事件概率是否相同,就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样,用数据来说明问题。
典例精析例题1 在学习掷硬币的概率时,老师说:“掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率是21”,小明做了下列三个模拟实验来验证:① 取一枚新硬币,在桌面上进行抛掷,计算正面朝上的次数与总次数的比值;② 把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份,并依次标上奇数和偶数,转动转盘,计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值;③ 将一个圆形纸板放在水平的桌面上,纸板正中间放一个圆锥(如图),从圆锥的正上方往下撒米粒,计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值。
初三概率与统计的综合应用概率与统计是数学中重要的概念和工具之一,它们在日常生活和各个领域的应用广泛而深远。
初三学生也应该学会运用概率与统计的知识,理解和解决实际问题。
本文将探讨初三概率与统计的综合应用,并给出一些实例来加深理解。
一、概率的综合应用概率是描述随机事件发生可能性的数值,是概率论的基本概念。
在初三阶段,学生已经掌握了基本的概率计算方法,例如求事件发生的概率、互不相容事件的概率等。
概率在游戏中的应用是较为贴近初三学生的生活的一个方面。
例如抛硬币的问题,假设有一个公平的硬币,正反两面的概率都是1/2。
当我们投掷硬币时,用正反两面来表示各自的结果,可以进行概率计算。
在进行大量次数的投掷后,根据频率统计可以更加准确地得出硬币正反两面出现的概率。
另一个概率的综合应用是在生活中的决策制定过程中。
比如,小明每天上学都乘坐公交车,但他发现有时候公交车会晚点,导致他迟到。
他记录了一周内公交车晚点的频率,并计算出每天公交车晚点的概率。
最终,小明通过分析概率得出,如果他每天早一点出门,那么他准时到达学校的概率就会更高。
二、统计的综合应用统计是收集、整理、分析和解释数据的过程,是计量经济学和社会科学的基础工具之一。
初三阶段,学生已经学习了数据的收集和统计处理方法,例如频数表、频率表、直方图等。
一个统计的综合应用是在物品质量检验中的应用。
比如,某工厂生产的产品需要进行抽样检验,以保证产品质量。
为了确定抽取样本的合适大小,需要进行统计分析,通过计算样本容量和抽样误差之间的关系,得出抽样的最佳方案,以保证产生的数据具有一定的代表性。
另一个统计的综合应用是在调查和研究中的应用。
在社会调查中,通过问卷或访谈对样本进行调查,然后对收集到的数据进行统计分析。
通过统计结果,可以了解受调查对象的特征、态度和行为习惯,从而对问题作出更准确的判断和决策。
三、概率与统计的综合应用概率与统计的综合应用是将两者的知识与方法相结合,以解决更为复杂的问题。
高二数学 概率与统计考试要求1.统计(1)随机抽样① 理解随机抽样的必要性和重要性.② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法. (2)总体估计① 了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点.② 理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差. ③ 能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释. ④ 会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. (3)变量的相关性① 会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系. ② 了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 不要求记忆线性回归方程系数公式()()()1122211,nniiiii i nniii i x ynx y xxyyb a y bxxnxxx-------===---∑∑∑∑用最小二乘法求线性回归方程系数公式:7.概率(1)事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.② 了解两个互斥事件的概率加法公式. (2)古典概型①理解古典概型及其概率计算公式.②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. (3)随机数与几何概型①了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. ②了解几何概型的意义.1.课本概念与定理详解(1)随机抽样①简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取,适用范围:总体中的个体数较少. ②系统抽样特点是将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取,适用范围:总体中的个体数较多.③分层抽样特点是将总体分成几层,分层进行抽取,适用范围:总体由差异明显的几部分组成.(2)众数、中位数、平均数①众数:在样本数据中,出现次数最多的那个数据.②中位数:在样本数据中,将数据按大小排列,位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数,就取中间两个数据的平均数作为中位数.在直方图中取频率为0.5处的频数。
中考重点概率与统计的综合应用概率与统计是中考数学的重要考点,也广泛应用于我们的生活中。
在中考中,常常出现与概率与统计相关的综合应用题,考察学生对概率与统计知识的掌握以及在实际问题中的运用能力。
本文将从实际问题的角度出发,探讨几个典型的中考综合应用题,通过解析这些题目,帮助同学们更好地理解和应用概率与统计的知识。
第一题,小明参加一次概率实验,实验规则是:从数字1-10中随机抽取一个数作为实验结果。
小明希望实验结果是偶数的概率大于奇数。
根据这个规则,小明应该如何做才能提高成功的概率呢?解析:首先,我们要知道在数字1-10中,偶数和奇数的个数是相等的,分别有5个。
如果小明希望偶数的概率大于奇数,那么他就应该增加抽取偶数的可能性。
做法可以这样:1. 从数字1-10中随机抽取一个数;2. 如果这个数是偶数,那么就保留这个数,实验结束;3. 如果这个数是奇数,那么就再次从数字1-10中随机抽取一个数,这个新抽取的数是偶数的概率是5/9,而不变的概率是4/9;4. 如果新抽取的数又是奇数,那么就再次抽取一个,直到得到的数是偶数为止。
通过这种方法,小明增加了抽取偶数的可能性,从而达到了偶数概率大于奇数的目标。
第二题,某城市每天的天气有以下5种可能:晴天、多云、阴天、小雨、大雨。
天气预报中显示,某天的天气是阴天的概率为20%,小雨的概率是30%,大雨的概率是10%。
根据这个天气预报,某人计划进行室外活动,那天的天气预报会对他的活动有怎样的影响呢?解析:根据天气预报的信息,阴天、小雨和大雨的概率分别是20%,30%和10%。
如果某人计划进行室外活动,那么对他的活动来说,不同天气的影响是不一样的。
1. 阴天:虽然阴天并不会下雨,但是阳光不明亮,光线较暗,适合进行室内活动或者进行一些不需要太强阳光的室外活动。
2. 小雨:小雨可能出现湿滑的地面,增加了室外活动的危险性,而且虽然降雨量不大,但是相对于晴天或多云天气,活动时湿气较重,容易感冒,因此最好避免室外活动。
统计与概率的综合应用统计与概率是数学中非常重要的概念,它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨统计与概率的综合应用,并重点介绍几个实际案例。
案例一:调查问卷假设我们要进行一项调查,调查对象是某个城市的居民,调查的问题是他们对政府工作的满意度。
我们需要设计一个问卷,并通过统计分析来得出结论。
首先,我们需要确定调查问题的选项。
例如,“非常满意”、“满意”、“一般”、“不满意”、“非常不满意”等,可以让被调查者选择其中一个选项。
然后,我们需要确定抽样的方式和样本量。
可以通过随机抽样或分层抽样来获取一定数量的问卷,保证样本的代表性。
回收到足够数量的问卷后,我们可以通过计算每个选项的频数或百分比来得到各个满意度选项的分布情况。
利用统计学的方法,比如计算平均值、标准差等,可以对结果进行进一步分析。
最后,我们可以通过概率的概念,如置信区间或假设检验,对调查结果进行推断和验证。
例如,我们可以计算出某个满意度选项的置信区间,来评估结果的可靠性。
案例二:赌场游戏赌场中的游戏都是基于概率的,例如轮盘赌、扑克牌和骰子等。
在这些游戏中,玩家可以利用统计与概率的知识来制定策略,提高自己的胜率。
以轮盘赌为例,玩家可以根据统计学的方法来分析历史数据,如某个数字的出现频率、偏差等,然后根据这些信息来下注。
虽然轮盘赌本质上是一个随机过程,但通过统计和概率的分析,玩家可以增加自己的中奖概率。
同样,在扑克牌游戏中,玩家可以利用牌的概率来制定策略。
比如,在德州扑克中,玩家可以根据自己手中的两张牌和公共牌的信息,计算自己组成各种牌型的概率,从而决定是否下注或弃牌。
案例三:产品质量控制在生产过程中,产品的质量控制是至关重要的。
通过统计与概率的方法,可以对产品的质量进行评估和改进。
假设某个工厂生产的零件有一定的缺陷率,我们可以利用统计抽样的方法,从生产线抽取一定数量的样本进行检验。
然后,通过概率的方法,如二项分布或超几何分布,我们可以计算出样本中缺陷件的数量,并进一步估计整个生产批次的缺陷率。
六年级数学课程复习统计与概率的应用六年级数学课程复习:统计与概率的应用数学是一门与现实生活息息相关的学科,而统计与概率则是数学中与实际情况最为贴近的部分。
在六年级数学的学习过程中,我们经历了许多有趣的统计和概率问题,探索了它们在生活中的应用。
本文将回顾和总结我们在六年级数学课程中学到的统计与概率的知识和应用。
第一部分:统计学入门统计学是一门关于收集、分析和解释数据的学科。
在六年级的数学课程中,我们学习了如何进行数据的收集和整理,以及如何用各种图表和图形来表示数据。
通过学习统计学,我们能更好地理解和解释我们所遇到的各种实际问题。
1.1 数据收集与整理数据的收集是统计学的重要一环。
我们学习了如何进行问卷调查和观察,以获取我们需要的数据。
然后,我们学会了整理数据的方法,包括制作表格和统计图表等。
通过这些方法,我们可以更直观地理解和分析数据。
1.2 数据的表示与分析数据的表示是统计学的关键。
在六年级课程中,我们学习了许多常见的数据表示方式,如条形图、折线图和饼图等。
我们不仅掌握了制作这些图表的方法,还学会了如何读懂并分析这些图表。
通过数据的分析,我们可以发现数据之间的关系和规律。
第二部分:概率的基础概率是数学中一个充满挑战和乐趣的领域。
在六年级数学课程中,我们学习了概率的基本理论和应用,包括事件和概率的概念,以及计算概率的方法。
通过学习概率,我们可以更好地预测和解释各种随机事件。
2.1 事件与概率我们首先学习了事件的概念,了解了事件的分类和表示方法。
然后,我们探索了概率的基本定义和计算方法,包括理论概率和实际概率的计算。
通过这些知识,我们能够对各种事件的发生进行合理的预测。
2.2 概率在生活中的应用概率不仅仅存在于数学课本中,它也广泛应用于我们的日常生活。
为了帮助我们更好地理解和应用概率,我们还学习了一些与概率相关的实际问题。
比如,在抽奖活动中,我们可以用概率来计算中奖的可能性;在玩扑克牌游戏时,我们可以用概率来估计自己的胜率。
专练66 高考大题专练(六) 概率与统计的综合运用1.[2022·全国甲卷(理),19]甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.2.[2021·全国甲卷]甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),3.[2022·全国乙卷(理),19]某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m 2)和材积量(单位:m 3),得到如下数据:并计算得∑i =110x 2i =0.038,∑i =110y 2i =1.6158,∑i =110x i y i =0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量; (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01); (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数r =i =1n(x i -x -)(y i -y -)i =1n (x i -x -)2i =1n (y i -y -)2, 1.896≈1.377.4.[2022·江西鹰潭高三模拟]某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量y(g )与尺寸x(mm )之间近似满足关系式y =c·x b(b 、c 为大于0的常数).按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间(e 9,e7)≈(0.302,0.388)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:(1)现从抽取的6件合格产品中再任选3件,记ξ为取到优等品的件数,试求随机变量ξ的期望;(2)根据测得数据作了初步处理,得相关统计量的值如表:①根据所给统计量,求y 关于x 的回归方程;②已知优等品的收益z(单位:千元)与x 、y 的关系为z =2y -0.32x ,则当优等品的尺寸x 为何值时,收益z 的预报值最大?附:对于样本(v i ,u i )(i =1,2,…,n),其回归直线u =b·v+a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b ^=∑ni =1(v i -v )(u i -u )∑ni =1(v i -v )2=∑ni =1v i u i -nvu ∑n i =1v 2i -nv 2, a ^=u -b ^v ,e ≈2.7182.5.[2022·河南省六市联考]在全球抗击新冠肺炎疫情期间,我国医疗物资生产企业加班加点生产防疫物品,保障抗疫一线医疗物资供应,某口罩生产厂商在加大生产的同时,狠抓质量管理,不定时抽查口罩质量,质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个,将其质量指标值分成以下五组:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到如下频率分布直方图.(1)规定:口罩的质量指标值越高,说明该口罩质量越好,其中质量指标值低于130的为二级口罩,质量指标值不低于130的为一级口罩,现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩,再从中抽取3个,求抽取的口罩至少有一个一级口罩的概率;(2)在2021年“双十一”期间,某网络购物平台推出该型号口罩订单“秒杀”抢购活动,甲、乙、丙三人分别在该平台参加一次抢购活动,假定甲、乙、丙抢购成功的概率分别为0.1,0.2,0.3,记三人抢购成功的总次数为X,求X的分布列及数学期望E(X).专练66 高考大题专练(六)概率与统计的综合运用1.解析:(1)设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A,B,C,易知事件A,B,C相互独立.甲学校获得冠军,对应事件A,B,C同时发生,或事件A,B,C中有两个发生,故甲学校获得冠军的概率为p=P(ABC+A-BC+A B-C+AB C-)=P (ABC )+P (A -BC )+P (A B -C )+P (AB C -)=0.5×0.4×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+0.5×0.4×(1-0.8) =0.16+0.16+0.24+0.04 =0.6.(2)由题意得,X 的所有可能取值为0,10,20,30.易知乙学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.6,0.2,则P (X =0)=(1-0.5)×(1-0.6)×(1-0.2)=0.16,P (X =10)=0.5×(1-0.6)×(1-0.2)+(1-0.5)×0.6×(1-0.2)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.2=0.44,P (X =20)=0.5×0.6×(1-0.2)+0.5×(1-0.6)×0.2+(1-0.5)×0.6×0.2=0.34, P (X =30)=0.5×0.6×0.2=0.06,所以X 的分布列为则E (X )2.解析:(1)根据题表中数据知,甲机床生产的产品中一级品的频率是150200=0.75,乙机床生产的产品中一级品的频率是120200=0.6.(2)根据题表中的数据可得K 2=400×(150×80-120×50)2200×200×270×130=40039≈10.256.因为10.256>6.635,所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.3.解析:(1)该林区这种树木平均一棵的根部横截面积x -=0.610=0.06(m 2),平均一棵的材积量y -=3.910=0.39(m 3).(2)由题意,得i =110(x i -x -)2=i =110x 2i -10x -2=0.038-10×0.062=0.002,i =110(y i -y -)2=i =110y 2i -10y -2=1.6158-10×0.392=0.0948,i =110(x i -x -)(y i -y -)=i =110x i y i -10x -y -=0.2474-10×0.06×0.39=0.0134,所以相关系数r =0.01340.002×0.0948=0.01341.896×0.0001≈0.01340.01377≈0.97.(3)因为树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,所以比例系数k =y -x -=0.390.06=6.5,所以该林区这种树木的总材积量的估计值为186×6.5=1209(m 3). 4.解析:(1)由表可知,抽取的6件合格产品中有3件优等品, 所以,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=C 33 C 36 =120,P(ξ=1)=C 13 C 23 C 36 =920,P(ξ=2)=C 23 C 13 C 36 =920,P(ξ=3)=C 33C 36=120, 所以,随机变量ξ的期望为E(ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=32.(2)①∵y=c·x b,∴ln y =ln c +b ln x ,∵∑6i =1 (ln x i )=24.6,∑6i =1(ln y i )=18.3, ∴ln x =16∑6i =1 (ln x i )=4.1,ln y =16∑6i =1(ln y i )=3.05,∴b ^=∑6i =1(ln x i ·ln y i )-6×ln x ×ln y∑6i =1(ln x i )2-6×(ln x )2=75.3-6×4.1×3.05101.4-6×4.12=0.5, a ^=ln y -b ^ln x =3.05-0.5×4.1=1, ∴ln y =1+0.5ln x ,所以,c =e, 故y 关于x 的回归方程为y ^=e x 0.5; ②由①知,y ^=e x 0.5,∴z ^=2y ^-0.32x =2e x 0.5-0.32x =-0.32(x -e 0.32)2+e 20.32,当x =e 0.32,即x =(e 0.32)2≈72时,z ^取得最大值,故当优等品的尺寸x 为72mm 时,收益z 的预报值最大.5.解析:(1)由频率分布直方图可得,二级品的频率为10×(0.005+0.04+0.03)=0.75, 一级品的频率为10×(0.02+0.005)=0.25,按分层抽样抽取8个口罩,则其中二级、一级口罩个数分别为6、2,故事件“至少有一个一级品”的概率P =C 26 C 12 +C 16 C 22 C 38=914. (2)由题知X 的可能取值为0,1,2,3, P(X =0)=0.9×0.8×0.7=0.504,P(X =1)=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398, P(X =2)=0.1×0.2×0.7+0.1×0.8×0.3+0.9×0.2×0.3=0.092, P(X =3)=0.1×0.2×0.3=0.006, 所以X 的分布列为E(X)。
统计与概率的综合:中考数学概率统计的综
合应用
在中考数学中,统计与概率的综合应用是一个重要的考点。
通过将
统计和概率的知识相结合,可以解决现实生活中的许多问题,同时也
展示了数学在实际中的应用价值。
本文将探讨统计与概率在中考数学
中的综合应用,包括实际场景下的问题解决方法以及相关概念的深入
理解。
首先,我们来看一个关于调查统计的例子。
假设一所学校要了解学
生对校园环境的满意度,设计了一份调查问卷。
问卷包括多个问题,
如食堂饭菜质量、教学设施、校园安全等。
通过收集并统计问卷结果,学校可以得出学生对不同方面的满意度分布情况。
然后,利用概率知识,可以进一步分析出学生对校园环境总体满意度的概率分布,从而
评估学校在不同方面的表现。
另一个例子是考虑赌博游戏中的概率计算。
假设有一个掷骰子的赌
博游戏,玩家猜测掷出的点数是偶数还是奇数。
通过统计每种可能的
点数出现的频率,可以计算出每种猜测的概率。
然后,玩家可以根据
这些概率来制定自己的下注策略,以提高赢取游戏的几率。
这个例子
展示了如何利用统计和概率知识在赌博游戏中进行理性的决策。
综合而言,统计与概率的综合应用在中考数学中扮演着重要角色。
通过将统计和概率知识相结合,可以解决各种实际问题,并且帮助人
们做出理性的决策。
掌握这些知识不仅有助于应对考试,更能够在日
常生活中发挥实际作用。
2023年高考数学复习----概率与统计的综合运用方法技巧与总结(一)涉及的概率知识层面主要考查随机变量的概率分布与数学期望,一定要根据有关概念,判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验,以便选择正确的计算方法,进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算,也要掌握几种常见常考的概率分布模型:离散型有二项分布、超几何分布,连续型有正态分布.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,1、离散型随机变量的期望与方差一般地,若离散型随机变量X 的分布列为称1122()n n E X x p x p x p =+++为随机变量X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 称()21()()ni i i D X x E X p ==−∑为随机变量X 的方差,它刻画了随机变量X 与其均值()E XX 的标准差.(1)离散型随机变量的分布列的性质①0(1,2,,)i p i n =…;②121n p p p +++=.(2)均值与方差的性质若Y aX b =+,其中,a b 为常数,则Y 也是随机变量,且2()();()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=(3)分布列的求法①与排列、组合有关分布列的求法.由排列、组合、概率知识求出概率,再求出分布列.②与频率分布直方图有关分布列的求法.可由频率估计概率,再求出分布列.③与互斥事件有关分布列的求法.弄清互斥事件的关系,利用概率公式求出概率,再列出分布列.④与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求法.先弄清独立事件的关系,求出各个概率,再列出分布列.(4)常见的离散型随机变量的概率分布模型①二项分布;②超儿何分布.2、常见的连续型概率分布模型正态分布.(二)概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力1、与数列结合的实际问题2、与函数导数结合的实际问题3、与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题4、与统计结合的实际问题5、与其他背景结合的实际问题6、本课结束。
高考数学一轮总复习概率与统计的应用概率与统计是高考数学中一个非常重要的考点,也是学生们经常感到困惑的内容。
在高考中,概率与统计的应用题目经常出现,因此,对于这一部分的复习是至关重要的。
本文将从概率与统计的基本概念、计算方法以及应用实例三个方面进行论述,帮助同学们更好地复习应对高考中的概率与统计题目。
一、概率与统计的基本概念概率是研究随机事件发生的可能性的数学工具,用来度量事件发生的可能程度。
在概率论中,我们常常使用“事件”、“试验”、“样本空间”等概念来描述问题。
例如,当我们掷一颗骰子时,每个点数都是一个事件,所有可能的点数构成了样本空间。
而统计则是根据获得的数据对总体进行推断和计算的一门学科。
二、概率与统计的计算方法在概率与统计中,常用的计算方法包括排列组合、频数统计、概率计算等。
排列组合是指将若干个元素按照一定的规则进行排列或组合,计算出可能的情况数目。
频数统计是指对一组数据进行统计分析,得出频数、频率等统计量。
概率计算是指通过数学方法计算出事件发生的可能性。
在高考中,我们需要熟练掌握这些计算方法,并能够应用到具体的题目中。
三、概率与统计的应用实例1. 抽样调查抽样调查是统计学中常用的一种数据收集方法。
在抽样调查中,我们需要根据总体的特征,选择一部分样本进行调查,通过对样本的数据进行分析,推断总体的情况。
例如,针对某市的居民进行调查,我们可以通过对少数几个街道的抽样调查,来推断整个市的居民的情况。
2. 概率计算概率计算是概率与统计中的一个核心内容。
我们需要利用已知的信息,计算出事件发生的可能性。
例如,某班级有60名学生,其中40名男生,20名女生。
现在从这60名学生中随机抽取一人,求其为男生的概率。
根据已知条件,男生的数量为40,总人数为60,因此计算出的概率为40/60=2/3。
3. 数据分析在概率与统计中,数据分析是一个重要的环节。
通过对收集到的数据进行整理和分析,我们可以得到一些有用的信息和结论。
初中数学复习概率与统计的实际应用概率与统计,作为数学中的一门重要的分支学科,不仅有着深厚的理论基础,还具有广泛的实际应用价值。
本文将结合初中数学的内容,重点讨论概率与统计在实际生活中的应用。
一、概率的实际应用概率是研究随机事件发生可能性的数学工具。
在实际生活中,我们经常会遇到需要使用概率来进行分析和决策的情况。
1.1 游戏与赌博概率在游戏和赌博中有着广泛的应用。
例如,在赌场中,玩家可以利用概率理论来计算自己获胜的可能性,并根据概率分布进行下注的决策。
同样地,在各种类型的游戏中,概率也是决定胜负的重要因素。
1.2 保险与风险评估保险公司的运作涉及到大量的风险评估和概率计算。
通过概率统计的方法,保险公司可以估算出某种保险产品的理赔风险和赔款规模,从而制定相应的保险费率。
同时,保险公司还可以利用概率定价的方法来平衡保费和风险,保证自身的盈利能力。
1.3 投资与金融决策在投资和金融领域,概率也扮演着重要的角色。
投资者可以利用概率模型对市场行情进行预测,从而做出相应的投资决策。
同时,金融机构也可以利用概率计算来评估贷款违约的风险,为信贷决策提供参考依据。
二、统计的实际应用统计是通过收集、整理和分析数据,从中获取有关事物特征和规律的学科。
在实际生活中,统计广泛应用于各个领域。
2.1 民意调查与市场研究统计方法在民意调查和市场研究中发挥着重要作用。
通过对样本数据的统计分析,可以推断出整体人群的某些特征和趋势,为决策者提供决策依据。
比如,政府可以通过统计调查了解人民的生活水平和满意度,企业可以通过市场调研获取产品市场需求和消费者喜好。
2.2 生物医学研究统计方法在生物医学研究中有着广泛应用。
例如,通过对患者群体的数据统计,医生可以评估某种疾病的患病率和死亡率,为临床诊断和治疗提供依据。
同时,统计方法也可以用于新药研发的临床试验,评估药物的疗效和安全性。
2.3 质量控制与过程改进在工业生产和服务领域,统计方法被广泛应用于质量控制和过程改进。
课题专题统计和概率的应用主备人第课时教学目标1.通过具体问题情境,让学生初步体会如何评判某件事情是否“合算”,并利用它对现实生活中的一些现象进行评判.2.理解事件发生的频率与概率之间的关系,加深学生对概率的理解,进一步体会概率是描述随机现象的数学模型教学重点1.理解事件发生的频率与概率之间的关系,加深学生对概率的理解,进一步体会概率是描述随机现象的数学模型教学难点1.理解事件发生的频率与概率之间的关系,加深学生对概率的理解,进一步体会概率是描述随机现象的数学模型教法与教具小组合作、学讲结合教学过程个案调整自主先学1.学生自主复习统计和概率的应用的相关内容,整理知识要点;2.完成《初中复习指导》丛书中第79 页中的基础训练。
3.学生自学《初中复习指导》丛书中第 80页中的例题。
小组讨论1.教师出示本课内容的考知识要点:1.通过具体问题情境,让学生初步体会如何评判某件事情是否“合算”,并利用它对现实生活中的一些现象进行评判.2.理解事件发生的频率与概率之间的关系,加深学生对概率的理解,进一步体会概率是描述随机现象的数学模型2.学生根据自己的自主学习情况并对照教师出示的知识要点分组讨论自己目前还没有解决的问题。
交流展示1.学生组际之间讨论交流自己目前还没有解决的问题。
2.教师根据实际情况结合本部分知识要点,出示以下问题让学生汇报交流,展示其学习成果:1.抛掷两枚分别标有 1,2,3,4的四面体骰子,写出这个实验中的一个可能事件为;再写出这个实验中的一个必然事件为。
2.如图是一个被分成6等份的扇形的转盘,小明转了2次,结果指针都停留在红色区域.小明第3次再转动,指针停留在红色区域的概率是()质疑拓展1.某号码锁有2个拨盘,每个拨盘上有从0到9共十个数字,当2个拨盘上的数字组成某一个二位数字号码(即:开锁号码)时,锁才能打开.如果不知道开锁号码,问:试开一次就能把锁打开的概率是() A.110B.120C.1100D.以上结论都不对2.甲、乙两人一起玩转盘游戏,如图,甲先转动转盘一,若指针指向黄色部分,则甲胜.否则,由乙转动转盘二,若指针指向红色部分,则乙胜,否则甲胜,你觉得这个游戏公平吗?为什么?3.如图若紫色、黄色、绿色区域面积分别为1、5、10,点D为线段BC中点.有一只猫在三角形ABC内随意走动,求小猫停留在黑色区域的概率是多少?4.两个袋中分别放有5个球,各球上分别标有l~5这五个数中的一个,这五个球除数字标号外没有任何区别,现从中各摸出1球,其数字之差的绝对值为3的概率为多少?检测反馈1.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出来数的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放人8个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不断重复,共摸球400次,其中88次摸到黑球,估计盒中大约有白球()A.28个 B.30个 C.36个 D.42个2.军军的文具盒中有两支蜡笔,一支红色的、一支绿色的;三支水彩笔,分别是黄色、黑色、红色,任意拿出一支蜡笔和一支水彩笔,正好都是红色的概率为()A.56B.13C.15D.163.小华与父母一同从重庆乘火车到广安邓小平故居参观.火车车厢里每排有左、中、右二个座位,小华一家三口随意坐某排的三个座位,则小华恰好坐在中间的概率是() A.12B.13C.14D.154.一只小鸟自由自在地在空中飞行,然后随意落在图所示的某个方格中(每个方格除颜色外完全一样),那么小鸟停在黑色方格中的概率是_________小结反思学生总结本节课所复习的内容。
专题二 统计和概率应用一、 考点导析现实生活总是会和各种数据、图表等统计知识相联系,通过对数据的统计、分析和处理,进而决策,既能考查学生的分析能力,也能考查学生运用知识解决实际问题的能力. 二、 中考动向统计与概率知识的应用,是近几年中考的热点问题,题目涉及填空、选择及解答题的各个方面,试题属于中等难度,分值在15分左右.本专题就近几年各省市中考题中常见的几种类型题进行探究. 三、 点例解析♦ 题型1:用样本特征估计总体特征. 【考例1】(2006江西)小谢家买了一辆小轿车,小谢连续记录了七天每天行驶路程如下表.请你用统计初步的知识,解答下列问题:(1)小谢家小轿车每月(每月按30天计算)大约要行驶多少千米路程?(2)若每行驶100千米需汽油8升,汽油每升3.45元.请你求出小谢家一年(一年按12个月计算)的汽油费是多少元? 【点拨】(1)先求出这七天平均每天行驶的路程,把这个路程看作小谢家小轿车每天行驶的路程,可求出总路程;(2)先求出每公里用油量,就可求出小谢家一年的汽油费. 【略解】解:(1)这七天中平均每天行驶的路程为: 463936505491347++++++=50(千米).∴30×50=l500(千米),∴小谢家小轿车每月大约要行驶1500千米. (2)小谢一家一年的汽油费用是:150012100⨯×8×3.45=4968元. 【拓展1】(2007贵州)某养鱼专业户与客户签订购销合同,对自己鱼塘中的鱼的重量进行估计,第一次捞出100条鱼,称其重量为186千克,将鱼做好记号放入塘中,当它们完全混合后又捞出200条鱼,称其重量为384千克,且带有记号的鱼有10条,则鱼塘中估计有多少条鱼?鱼塘中鱼共重多少千克? 【略解】(1)设鱼塘中有鱼x 条,则10010x 200=,解之得x=2000,∴鱼塘中有鱼2000条;(2)平均每条鱼重:186384 1.86101.910020010+-⨯≈+-,1.9×2000=3800(千克),∴鱼塘中鱼共重3800千克.题型2:利用图表信息解决实际问题 【考例2】(2007巴中)巴中市进行课程改革已经五年了,为了了解学生对数学实验教材的喜欢程度,现对某中学初中学生进行了一次问卷调查,具体情况如图2-1所示:①已知该校初一共有学生480人,求该校初中学生总数. ②求该校初二学生人数及其扇形的圆心角度数.③请补全统计表,并制作条形统计图来反映统计表中的内容. ④请计算不喜欢此教材的学生的概率,并对不喜欢此教材的同初一 初二 初三图2-1学提出一条建议,希望能通过你的建议让他喜欢上此教材. 【点拨】(1)认真观看图表,从图表中获取信息易得出结论. 【略解】(1)480÷40%=1200(人); (2)1200×(1-40%-28%)=384(人),360°×0.32=115.2°;(3)补全统计表和制作的条形统计图如下;(4)1001120012=≈8.33%, 即不喜欢此教材的学生的概率是8.33%, 建议如:“此教材贴近生活,易学易懂”,“此教材图文并茂,很有情趣”.(答案不唯一). 【拓展2】(2007内江)学习完统计知识后,小兵就本班同学的上学方式进行调查统计.如图2-3是他通过收集数据后绘制的两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息解答下列问题:(1)该班共有 名学生;(2)将表示“步行”部分的条形统计图补充完整;(3)在扇形统计图中,“骑车”部分扇形所对应的圆心角是 度;(4)若全年级共1000名学生,估计全年级步行上学的学生有 名;(5)在全班同学中随机选出一名学生来宣读交通安全法规,选出的恰好是骑车上学的学生的概率是 . 【略解】(1)全班学生人数: 20÷50%=40(人);(2)补充图形如图所示;(3) “骑车”部分扇形所对应的圆心角是:360°×(1-20%-50%)=108°;(4) 估计全年级步行上学的学生有1000×20%=200;(5)选出骑车上学的学生的概率是:12÷40=30%.♦ 题型3:游戏的公平性 【考例3】(2006成都)小明、小芳做一个“配色”的游戏,左图是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并涂上图中所示的颜色,同时转动两个转盘,如果转盘A 转出了红色,转盘B 转出了蓝色,或者转盘A 转出了蓝色,转盘B 转出了红色,则红色和蓝色在一起配成紫色,这种情况下小芳获胜;同样,蓝色和黄色在一起配成绿色,这种情况下小明获胜;在其它情况下,则小明、小芳不分胜负.(1)利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果;(2)此游戏的规则,对小明、小芳公平吗?试说明理由.【点拨】看一个游戏是否公平,只要看游戏的双方是否各有50%的胜率,如果是,游戏就公平,如果不是,游戏就不公平,就有修改游戏规则的必要. 【略解】(1)用列表法表示该游戏所有可能出现的结果如下:喜欢程序 非常喜欢喜欢 不喜欢人 数 600人 500人100人乘车50%步行 20% 骑车 9) 图2-3 20%9乘车 步行 骑车 上学方式人数4 8 121620 拓展2图 图2-4 图2-2由图表可知该游戏所有可能出现的结果有12种;(2)由表可知:配成紫色(即小芳获胜)的概率是31124=,配成绿色(即小明获胜)的概率是212=16,两人获胜的概率不相等,因而不公平,该游戏规则偏向小芳.即小芳获胜的机会更大. 【拓展3】(2007 泸州)在一个不透明的盒子里装着分别标有数字1,2,3,4的四个完全相同的小球,现在甲、乙两位同学做游戏,游戏规则是:“甲先从盒子里随机摸出一个小球,记下小球上的数字后放回,乙再从盒子中随机摸出一个小球,也记下球上的数字放回,则游戏结束.若记下的数字甲比乙大,则甲获胜;若记下的数字甲不比乙大,则乙获胜”. (1)用树状图分析此游戏有多少种可能出现的结果;(2)该游戏规则对甲、乙双方公平吗?说明理由;如果不公平,怎样修改规则,使其对甲、乙双方都公平. 【略解】(1)用树状图分析如图2-5,由图可知,此游戏有16种等可能出现的结果.(2)P (甲比乙大)=63168=,P (甲不比乙大)=105168=,∴该游戏规则不公平.乙获胜的机会较大.可作如下的修改:“…,若记下的数字谁大则谁获胜,若一样大,则不分胜负,重新开始游戏.”这样,甲、乙两人获胜的概率都是38,对双方都公平.小结:通过本专题的探究,使我们进一步懂得数据的分析、处理的常用方法,为解决生活中与我们息息相关的类似问题提供了的范本. ♦ 四、中考真题 1.(2007 德阳)某学习小组5位同学参加初中毕业生实验操作考试(满分20分)的平均成绩是16分.其中三位男生的方差为6(分2),两位女生的成绩分别为17分,15分.则这个学习小组5位同学考试分数的标准差为( )B.2D.6答案:B2.(2007 成都)某校九年级一班对全班50名学生进行了“一周(按7天计算)做家务劳动所用时间(单位:小时)那么该班学生一周做家务劳动所用时间的平均数为 小时,中位数为 小时. 答案:2.46,2.5;3.(2007 重庆)为了了解贯彻执行国家提倡的“阳光体育运动”的实施情况,将某班50名同学一周的体育5甲乙甲乙12341234123443214321拓展3图锻炼情况绘制成了如图2-5所示的条形统计图,根据统计图提供的数据,该班50名同学一周参加体育锻炼时间的中位数与众数之和为 . 答案:174.(2007 成都)已知小明家五月份总支出共计1200元,各项支出如图2-6所示,那么其中用于教育上的支出是 元. 答案:2165.(2006泸州)江北水厂为了了解某小区居民的用水情况,随机抽查了该小区10户家庭的月用水量,结果如下: (1)计算这10户家庭该月平均用水量;(2)如果该小区有500户家庭,根据上面的计算结果,估计该小区居民每月共用水多少立方米? 解答:(1)1021321431721810⨯+⨯+⨯+⨯+=14(m 3),∴这10户家庭该月平均用水量为14m 3;(2)14×500=7000m 3.∴该小区居民每月共用水7000m 3. 6.(2007 绵阳)小明对本班同学上学的交通方式进行了一次调查,他根据采集的数据,绘制了如图2-7所示的统计图1和图2.请你根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)计算本班骑自行车上学的人数,补全图1的统计图;(2)在图2中,求出“乘公共汽车”部分所对应的圆心角的度数,补全图2的统计图(要求写出各部分所占的百分比);(3)观察图1和图2,你能得出哪些结论?(只要求写出一条).答案:(1)∵ 小明所在的全班学生人数为14÷28% = 50人,∴ 骑自行车上学的人数为50-14-12-8 = 16人;其统计图如图1.(2)乘公共汽车、骑自行车、步行、其它所占全班的比分别为14÷50,16÷50,12÷50,8÷50即28%,32%,24%,16%,它们所对应的圆心角分别是100.8︒,115.2︒,86.4︒,57.6︒,其统计图如40-21中图2.(3)小明所在的班的同学上学情况是:骑自行车的学生最多;通宿生占全班的绝大多数;住校或家长用车送的占少数.7.(2007 德阳)在一个不透明的口袋中装有红、白、黑三种颜色的小球若干个,它们只有颜色不同,其中有白球2个、黑球1个.已知从中任意摸出1个球是白球的概率为12. (1)求口袋里有多少个红球;(2)求从袋中一次摸出2个球,得一红一白的概率.要求画月用水量(m 3)10 13 14 17 18户数2 23 2 1 图1 图2 图1 图2 图2-7出树状图. 略解:(1)设袋中有x 个红球,据题意得:21212=++x ,解得x=1.∴袋中有红球1个.(2)画树状图如右图所示,∴P (摸得一红一白)41123==.8.(2006眉山)某市对当年初中升高中数学考试成绩进行抽样分析,试题满分100分,将所得成绩(均为整数)整理后,绘制了如图2-8所示的统计图,根据图中所提供的信息,回答下列问题:(1)共抽取了多少名学生的数学成绩进行分析?(2)如果80分以上(包括80分)为优生,估计该年的优生率为多少?(3)该年全市共有22000人参加初中升高中数学考试,请你估计及格(60分及60分以上)人数大约为多少? 解答:(1)共抽取了30+60×2+45+70+35=300(名). (2)357010035300⨯%%+=,∴该年的优生率大约为35﹪,30060302200015400⨯--=300.∴及格人数大约有15400名 9.(2007 眉山)如图2-9所示,将两个可以自由转动的转盘分别分成面积相等的几个扇形,在分成的扇形上分别标上数字1,2,3,4,5.同时转动两个转盘.(1)用树状图或列表法表示转盘停止后指针所指扇形上的数字可能出现的所有结果(若指针指在分界线上,则重转);(2)如果甲、乙两人分别同时转动两个转盘,并规定:转盘停止后,若两转盘指针所指扇形上的数字之和为偶数,则甲胜;若数字之和为奇数,则乙胜.这个游戏对甲、乙两人公平吗?请说明理由. 答案:(1)树状图和列表分析如右图所示: (2)出现数字之和为偶数和奇数的概率分别为3162=.∴这个游戏对甲、乙两人公平. 五、08展望1.2008年的北京,华光璀璨,广告牌上“北京欢迎你”几个字是霓虹灯,几个字一个接一个地亮起来,直至全部亮起来再循环,则路人一眼望去能够看全的概率是( )A.13B.14C.15D.16答案:C2.抛掷两枚如图2-10所示的正四面体骰子,所得点数之和出现的概率最大的是( ).A.5B.6C.7D.一样大黑红白2白1第2小球第1小球白1 白2 黑白1 白2 红白1 红 黑白2 红 黑图2-8图2-9 443221图2-10答案:A3.甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100米接力赛,•甲必须为第一接力棒或第四接棒的运动员,那么这四名运动员在比赛过程的接棒顺序有( ) A .3种 B .4种 C .6种 D .12种 答案:D4.如图2-11-⑴所示,是某城市三月份1至10日的最低气温随时间变化的图象. ⑴ 根据图(1)中提供的信息,在图(2)中补全直方图; ⑵ 这 10天最低气温的众数 是 ℃,最低气温的中位数是 ℃,最低气温的平均数是 ℃. 答案:(1)补图略;(2)2,0,05.小刚与小亮一起玩一种转盘游戏.他们用两个完全相同的转盘,每个转盘分成面积相等的三个区域,分别用“1”、“2”、“3”表示.固定指针,同时转动两个转盘,任其自由停止.若两指针指的数字和为奇数,则小刚获胜;否则,小亮获胜.则在该游戏中小刚获胜的概率是( ).A .12B 、49C 、59D 、23答案:B6.某电脑公司的王经理对2008年4月份电脑的销售情况做了调查,情况如下表.请你回答下列问题:(1)2008年4月该电脑公司销售电脑价格的众数是 ,本月平均每天销 售电脑 台;(2)如果你是该公司的经理,根据以上信息,应该如何组织货源?略解:(1)3800元,5;(2)根据表中信息,3800元的电脑卖得最好,说明大家都很喜欢这个价位的电脑,应该多进一些,6000元的销量小,应该少进一些.(答案不唯一) 7.某公司员工的月工资情况统计如下表所示,(1)分别计算该公司员工月工资的平均数,中位数和众数.(2)你认为用(1)中计算出的哪个数据来代表该公司员工的月工资水平更为合适?请简要说明理由;(3)请画出一种你认为适合的统计图来表示上面表格中的数据.略解:(1)平均数是:500024000420008150020100087004x 2482084⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++=1800(元),中位数是1500元,众数是1500元;(2)因为中位数和众数反映的是员工工资的中间水平和多数水平.所以用中位数或众数代表该公司员工的月工资水平更为合适,(3)用条形统计图表示上面表格中的数据如下:每台价格(元) 6000 4500 3800 3000 销量(台) 20 40 60 30员工人数 2 4 8 20 8 4月工资(元) 5000 4000 2000 1500 1000 700 第7题图图2-118.雁江一中七年级1班同学积极响应“阳光体育工程”的号召,利用课外活动时间积极参加体育锻炼,每位同学从长跑、篮球、铅球、立定跳远中选一项进行训练,训练前后都进行了测试.现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如图2-13的统计图表,请你根据图表中的信息回答下列问题: (1)选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是 ,该班共有同学 人;(2)求训练后篮球定时定点投篮人均进球数;(3)根据测试资料,训练后篮球定时定点投篮的人均进球数比训练之前人均进球数增加25%.请求出参加训练之前的人均进球数. 略解:(1)10%;40;(2)人均进球数8271645748325214782⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==+++++.(3)设参加训练前的人均进球数为x 个,由题意得:(125%)5x +=,解得:4x =.答:参加训练前的人均进球数为4个. 9.有四张背面相同的纸牌A ,B ,C ,D ,其正面分别划有四个不同的稽核图形,如图2-14所示.小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张,放回洗匀后再摸出一张. (1)用树状图(或列表法)表示两次模牌所有可能出现的结果(纸牌可用A 、 B 、C 、D 表示); (2)求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率.略解:(1)用树状图分析两次摸牌所有可能出现的结果如右;(2)P (两张中心对称图形)=41164=.10.甲乙两人在玩转盘游戏时,把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份,并在每一份内标上数字,如图2-15所示,游戏规定,转动两个转盘停止后,•指针所指的两个数字之和为奇数时,甲获胜;为偶数时,乙获胜.(1)用列表法(或画树状图)求甲获胜的概率;(2)你认为这个游戏规则对双方公平吗?请简要说明理由. 略解:(1)用列表分析两转盘所指两数之和的所有情况如下: 由表可知,所以可能结果共有12种,指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6种,∴P (和为奇数)=50%,进球数(个) 8 7 6 5 4 3 人 数21478212 3 4第一次摸的牌第二次摸的牌篮球立定跳远长跑 铅球60%20%10% 项目选择情况统计图图2-13图2-14 图2-15(和为偶数)=50%,∴这个游戏规则对双方是公平的。
原题目:统计与概率的综合运用统计与概率的综合运用本文将探讨统计学和概率论在实际问题中的综合运用。
统计学和概率论是数学中两个重要的分支,它们可以相互补充,为我们提供了解决实际问题的有效工具。
统计学的应用统计学是一门研究如何收集、分析、解释和展示数据的学科。
统计学的主要应用领域包括社会科学、自然科学、医学和经济学等。
在实际问题中,统计学可以帮助我们:1. 收集数据:通过设计合适的实验或问卷调查等方式,我们可以收集到相关数据,为后续的分析做准备。
2. 描述数据:统计学可以帮助我们对收集到的数据进行描述和总结,例如计算均值、中位数、标准差等。
3. 探索数据:通过数据可视化和统计图表,我们可以发现数据中的规律和趋势,进一步探索数据背后的含义。
4. 做出推断:统计学通过抽样和假设检验等方法,可以帮助我们对总体进行推断,从样本中得出结论。
概率论的应用概率论是一门研究随机事件的发生规律和可能性的学科。
概率论在实际问题中的应用非常广泛,例如:1. 风险评估:概率论可以帮助我们评估某种风险事件发生的可能性,从而制定相应的风险管理策略。
2. 保险业务:概率论在保险业务中起着重要的作用,通过对风险和赔付的概率进行建模,可以确定保险费率和赔付金额。
3. 财务分析:概率论可以用于财务分析和投资决策中的风险评估和收益预测。
4. 短期预测:概率论可以帮助我们预测一些具有随机性的事件,例如天气预报、股票价格等。
综合运用在实际问题中,统计学和概率论往往需要综合运用,以更好地解决复杂的情况。
例如:1. 假设检验:通过统计学中的假设检验方法,我们可以基于样本数据对总体进行推断,并结合概率论中的置信区间和显著性水平等概念,进行决策和判断。
2. 随机模拟:通过使用概率分布和统计学中的随机模拟方法,我们可以模拟一些大规模、复杂的系统,从而帮助我们预测和优化系统的性能和运行情况。
3. 风险管理:综合运用统计学和概率论的方法,可以对风险进行全面的评估和管理,从而减少损失和提高决策的准确性。
专题复习 统计的运用◆考点分析随着新课程、新教材的实施,统计观念不断得到强化,中考中的统计知识的考查已由以往注重技能的考查向注重观念考查转变. 要求能正确理解和掌握平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差等特征量的意义,能够结合实际问题的需要有效地表达数据特征,会根据数据的分析作出合理的预测. 不仅强调统计图表信息的表示,而且强调统计图表的信息交流和问题的转换. 在中考中,本部分内容均作为“中档题”呈现,重点考查对数据信息的提取、表示、分析以及分析结果的表达与解释,关注“样本估计总体”思想. 解决这类问题,要读懂题目的意思,在准确分析特征量的基础上作出合理的判断,细心地求解和画图,有些实际问题背景知识的掌握还要靠平时生活经验积累,这就是说“数学就在我们身边”. ◆典型例题例1 一组数据5, 2, 3, , 3, 2x --,若每个数据都是这组数据的众数,则这组数据的平均数是 . (2007年黑龙江省伊春市中考题)【解题分析】 统计知识的学习首先要理解概念,平均数、众数、中位数作为一组数据的代表,它们反映了一组数据的平均水平或集中趋势. 该组6个数据中,-2和3出现两次,5出现一次,若5是这组数据的众数,则5x =,即为:5, 2, 3, 5, 3, 2--,它的平均数为:1(523532)26x =-+++-=.【同类变式】 一组数据3,3,7,x 的平均数,比这组数据的中位数大0.5,求x 的值.例2 (2006年宁波市中考题)将100个个体的样本编成组号为①~⑧的8个组,如下表:组 号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 频 数14111213131210那么第⑤组的频率为( ).A .14 B.15 C. 0.14 D.0.15【解题分析】∵ 第⑤组的频数为:100-(14+11+12+13+13+12+10)=15, ∴ 第⑤组的频率应为:150.15100,故选D.【同类变式】 (2007年杭州市中考题)抽取某校学生一个容量为150的样本,测得学生身高后,得到身高频数分布直方图如图 6.1—1,已知该校有学生1500人,则可以估计该校身高位于160~165㎝之间的学生约有人.例3 (2007年天津市中考题)为调查某校九年级学生右眼的视力情况,从中随机抽取了50名学生进行视力检查,检查结果如表所示:视力 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.2 1.5 人数113434459106(1)求这50名学生右眼视力的众数与中位数;(2)求这50名学生右眼视力的平均值,据此估计该校九年级学生右眼视力的平均值. 【解题分析】 明确众数、中位数、平均数的意义是准确计算的基础,在计算时要有耐心,做到准确、迅速.图6.1-1身高/厘米35301050【同类变式】 下表是某校初三(1)班20名学生某次测验的成绩统计表:成绩(分) 60 70 8090100 人数(人)15x y2(1)若这20名学生成绩的平均分数为82分,求x 和y 的值;(2)在(1)的条件下,设这20名学生本次测验成绩的众数为a ,中位数为b ,求a 、b 的值.例4 (2006年南宁市中考题)某城区举行“八荣八耻”演讲比赛,中学组根据初赛成绩在七、八年级分别选出10名同学参加决赛,这些选手的决赛成绩如图6.1—2所示.根据图提供的信息,解答下列问题: (1)请你把下边的表格填写完整:团体成绩 众数 平均数 方差 七年级 85.7 39.6 八年级85.727.81(2)考虑平均数与方差,你认为 年级的团体成绩更好些;(3)假设在每个年级的决赛选手中,分别选出3人参加总决赛,你认为哪个年级的实力更强一些,请说明理由.【解题分析】 众数反映了一组数据的集中趋势,方差反映一组数据的离散程度. 注意题目的意思是从这10名中选出3人参加决赛,要从这3人的得分情况看哪个年级的实力更强.70808590图6.1-2【同类变式】 (2007年河北省中考题)甲、乙两支篮球队在集训期间进行了五场比赛,将比赛结果统计后,绘制成如图6.1—3所示的统计图.(1)在图(1)中画出折线表示乙队在集训期间这五场比赛成绩的变化情况; (2)已知甲队五场比赛成绩的平均分x 甲90分,请你计算乙队五场比赛成绩的平均分x 乙;(3)就这五场比赛,分别计算两队成绩的极差;(4)如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛,根据上述统计情况,试从平均分、折线的走势、获胜常数和极查四个方面分别进行简要分析,你认为派哪支球队参赛更能取得好成绩?图6.1-3(1)70808590图6.1-3(2)1、有关部门需要了解一批食品的质量情况,通常采用的调查方式是 . (填:抽样调查或普查) (2006年南宁市中考题)2、在一个扇形统计图中,某部分占总体的29,则该部分所对扇形的圆心角是 度. 3、(2007年云南省中考题)现有甲、乙两支球队,每支球队队员身高数据的平均数均为1.70米,方差分别为220.280.36S S ==乙甲,,则身高较整齐的球队是 队(填“甲”或“乙”)4、已知样本:14,16,21,14,17,17,19,18,20,18,21,20,那么这组数据落在范围14.5~19.5内的频率是( ).A .0.5 B.5 C. 0.6 D.65、据2007年5月26日《生活报》报道,我省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课表.为了响应这一号召,某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么?(只写一项)”的问题,对在校学生进行随机抽样调查,从而得到一组数据,图6.1—4是根据这组数据绘制的条形统计图. 请结合统计图回答下列问题:(1)该校队多少名学生进行抽样调查? (2)本次抽样调查中,最喜欢篮球活动的有多少人?占被调查人数的百分比是多少?(3)若九年级共有200名学生,图6.1—5是根据各年级学生人数占全校学生总数的百分比绘制的扇形统计图,请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少?(2007年哈尔滨市中考题)最喜欢的体育活动项目18100图6.1-4六年级30%七年级24%八年级26%九年级图6.1-51、为考察某校新生的体重情况,从全校初一新生抽取60名学生调查每人的体重,在这个问题中,总体是 ,样本是 , 采用的调查方式是 .2、已知数据123,,a a a 的平均数为m ,数据123,,b b b 的平均数为n ,则数据1132a b +,2232a b +,3332a b +的平均数为 .3、已知数据, , 7, 8, 9, 11a a 的平均数是8,其中a = ,这组数据的中位数是 , 众数是 .4、已知样本3, 1, 0, , -1x 的平均数是1,则样本的方差是 ,极差是 .5、两个小组进行定点投篮对抗赛,每组6名队员,每人投10次,两组组员进球数统计结果如下表:组 别 6 名 队 员 的 进 球 数 平均数 甲 组 8 5 3 1 1 0 3 乙 组5433213则组员投篮水平较整齐的小组是 组. (2007年安徽省中考题) 6、(2007年南宁市中考题)2008年奥运会将在北京举行,某校学生会为了了解全校同学喜欢收看奥运会比赛项目的情况,随机调查了200名同学,根据调查结果制作了频数分布表:(1)补全频数分布表;(2)在这次抽样调查中,最喜欢收看哪个奥运会比赛项目的同学最多?最喜欢收看哪个比赛项目的同学最少? (3)根据以上调查,试估计该校1800名学生中,最喜欢收看羽毛球比赛的人数.最喜欢收看项目频数(人数)频 率 足球 16% 篮球 56 28% 排球 20 10% 羽毛球 34 17% 乒乓球 20 10% 游泳 跳水 18 9% 田径 8 4% 合计2007、(2007年江西省中考题)某学校举行演讲比赛,选出了10名同学担任评委,并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分).方案1:所有评委所给分的平均数;方案2:在所有评委所给分中,去掉一个最高分和一个最低分,然后再计算其余给分的平均分;方案3:所有评委所给分的中位数; 方案4:所有评委所给分的众数.为了探究上述方案的合理性,先对某个同学的演讲进行了统计实验,下面是这个同学的得分统计图:(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分;(2)根据(1)中的结果,请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学的最后得分.分数人数321图6.1-6参考答案◆考点分析例1 由于每个数据都是众数,因而5x =,平均数为2. 【同类变式】当3x ≤时,这组数据的平均数为134x +,中位数为3,则1313,142x x +-==; 当37x <<时,这组数据的平均数为134x +,中位数为32x+,则1313,5422x xx ++-==; 当7x ≥时,这组数据的平均数为134x +,中位数为5,则1315,942x x +-==. 即这组数据中的x 为1,5或9.例2150.15100=,选D. 【同类变式】301500300150⨯=(人). 例3 (1)在这50个数据中,1.2出现10次,出现的次数最高,即这组数据的众数是1.2, 将这50个数据按从小到大的顺序排列,其中第25个数是0.8,第26个数是1.0,所以这组数据的中位数是0.9;(2)因为这50个数据的平均数是:1(0.110.210.330.4450x =⨯+⨯+⨯+⨯43.50.530.640.740.85 1.09 1.210 1.56)0.8750+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==, 所以,这50名学生右眼视力的平均值为0.87,据此可估计该年级学生右眼视力的平均值为0.87.【同类变式】 (1)由题意得15220,60705809010028220x y x y ++++=⎧⎨+⨯+++⨯=⨯⎩,解得5,7x y =⎧⎨=⎩,即得80分的有5人,得90分的有7人;(2)由(1)可以得出,90分是众数,∴90a =分,中位数80b =分. 例4 (1)七年级众数是80,八年级众数是85;(2)八年级;(3)七年级前3名总分:99+91+89=279(分),八年级前3名总分:97+88+88=273(分)所以,七年级实力更强.【同类变式】 (1)图略;(2)90x =乙分;(3)甲队成绩的极差是18分,乙队成绩的极差是30分; (4)从平均分看,两队的平均分相同,实力大体相当;从折线的走势看,甲队比赛成绩呈上升趋势,而乙队比赛成绩呈下降趋势; 从获胜场数看,甲队胜3场,乙队胜2场;从极差看,甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小,甲队成绩较稳定. 综上结论,选派甲队参赛更能取得好成绩. ◆当堂反馈1、抽样调查.2、80.3、甲.4、A.5、(1)50名;(2)本次调查中,最喜欢篮球活动的有18人,18100%36%50⨯=; (3)136%26%24%20%---=,20020%1000÷=(人)8100%100016050⨯⨯=(人). ◆配套练习1、全校初一每个新生的体重、60个初一新生的体重、抽样调查.2、32m n +.3、6.5、7.5、6.5.4、2、4.5、乙.6、(1)32,12,6%;(2)篮球最多,田径最少;(3)1800×17%=306(人).7、(1)方案1的得分:1(3.27.07.8838.439.8)7.710⨯+++⨯+⨯+=; 方案2的得分:1(7.07.8838.43)88⨯++⨯+⨯=;方案3的得分:8; 方案4的得分:8或8.4.(2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响不能反映这组数据的“平均水平”,所以方案1不适合作为最后得分的方案;因为方案4中的众数有2个,众数失去了实际意义,所以方案4不适合最为最后得分的方案.。