2017年宁夏中卫市高考数学一模试卷(理科)有答案.docx

宁夏中卫市2017届高三数学第一次模拟考试试题理(扫描版,无答案）
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宁夏中卫市高三理数第一次统测数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）(2017·海淀模拟) 设集合A={x|x（x+1）≤0}，集合B={x|2x＞1}，则集合A∪B等于（）A . {x|x≥0}B . {x|x≥﹣1}C . {x|x＞0}D . {x|x＞﹣1}2. （1分）(2018·潍坊模拟) 下面四个命题中，正确的是（）A . 若复数，则B . 若复数满足，则C . 若复数，满足，则或D . 若复数，满足，则，3. （1分） (2018高二上·淮北月考) 已知向量，，其中，若，则的最小值（）A .B . 2C .D .4. （1分）(2017·山南模拟) 若（1+2ai）•i=1﹣bi，其中a，b∈R，则|a+bi|=（）A .B .C .D .5. （1分）工人月工资y（元）依劳动生产率x（千元）变化的回归方程为 =50+60x，下列判断正确的是（）A . 劳动生产率为1 000元时，工资为110元B . 劳动生产率提高1 000元，则工资提高60元C . 劳动生产率提高1 000元，则工资提高110元D . 当月工资为210元时，劳动生产率为1 500元6. （1分）已知x、y满足约束条件，则的最小值为（）A .B . 2C .D .7. （1分）若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A . 63B . 31C . 15D . 78. （1分）在四边形中，“，使得”是“四边形为平行四边形”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件9. （1分） (2016高二上·定州开学考) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（）A . 2B .C .D . 210. （1分）有下列三个结论：①命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”；②“a=1”是“直线x﹣ay+1=0与直线x+ay﹣2=0互相垂直”的充要条件；③若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）=0.8，则P（0＜ξ＜1）=0.2；其中正确结论的个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个11. （1分）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）A . 10B . 11C . 12D . 1512. （1分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高，计算其体积V的近似公式V≈ L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式V≈ L2h相当于将圆锥体积公式中π的近似取为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·辽宁期中) 设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c ﹣1），则c=________．14. （1分）(2017·黄石模拟) 已知（3x2﹣1）dx=m，则的展开式中x4的系数是________．15. （1分）(2018高二下·黄陵期末) 若随机变量X服从二项分布,且 ,则=________ , =________.16. （1分）已知向量满足则 =________．三、解答题 (共7题；共9分)17. （2分） (2018高一下·齐齐哈尔期末) 如图，三棱柱中，点为的中点.（1）求证：平面；（2）若底面为正三角形，，，侧面底面，，求四棱锥的体积.18. （2分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据x3456y 2.534 4.5（ = ， = ﹣）（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 = x+ ；（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤．试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？19. （1分） (2019高三上·通州期中) 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，平面ABCD ，，点E ， F为PC ， PA的中点．（1）求证：平面BDE⊥平面ABCD；（2）二面角E—BD—F的大小；（3）设点M在PB(端点除外)上,试判断CM与平面BDF是否平行，并说明理由．20. （1分） (2019高三上·东湖期中) 2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段记作区间，记作，记作，记作，例如：10点04分,记作时刻64．参考数据：若 ,则；；．（1）估计这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中,在之间通过的车辆数为，求的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻服从正态分布，其中可用这600辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替同一组中的数据用该组区间的中点值代表，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数结果保留到整数．21. （1分）(2020·辽宁模拟) 如图，三棱柱中，平面，，，，，是的中点，是的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）是线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.22. （1分）已知曲线C的参数方程为（t为参数）．求曲线C的普通方程；23. （1分） (2019高三上·新疆月考) 已知定义在R上的函数f（x）＝｜x﹣m｜+｜x｜，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立．（1）求实数m的值；（2）若α≥1，β≥1，f（α）+f（β）＝4，求证：≥3．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共9分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、23-1、23-2、。

2017年宁夏中卫市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0}B．{﹣3，﹣4}C．{﹣1，﹣2}D．∅2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数f（x）=（3﹣x2）•ln|x|的大致图象为（）A．B．C．D．4．圆x2+y2+2x﹣6y+1=0关于直线ax﹣by+3=0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．2 B．C．4 D．5．设数列{a n}是各项为正数的等比数列，S n为其前n项和，已知a2a4=16，=8，则S5=（）A．40 B．20 C．31 D．436．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．7．将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．8．已知正六边形ABCDEF内接于圆O，连接AD，BE，现在往圆O内投掷2000粒小米，则可以估计落在阴影区域内的小米的粒数大致是（）（参考数据：=1.82，=0.55）A．550 B．600 C．650 D．7009．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b分别为9，15，则输出的a=（）A．1 B．2 C．3 D．1510．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且f（﹣1）=2，则f （1）+f（2）+f（3）+…+fA．1 B．0 C．﹣2 D．211．已知直线l过点A（﹣1，0）且与⊙B：x2+y2﹣2x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐进线平行于l，则E的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣x2=1 D．﹣=112．已知函数f（x）=，对任意的x1∈[2，+∞）总存在x2∈（﹣∞，2]，使得f（x1）=f（x2），则实数m的取值范围是（）A．[2，4） B．（﹣∞，4]C．[3，4） D．（0，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量与的夹角是，且||=2，||=3，若（2+λ）⊥，则实数λ=．14．若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinB﹣asinA=asinC，且△ABC的面积为a2sinB，则cosB=．16．已知数列{na n}的前n项和为S n，且a n=2n，则使得S n﹣na n+50＜0的最小+1正整数n的值为．三、解答题（本大题公共5小题，满分60分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，（1）若a=1，b=，求sinC；（2）若a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．19．2016年双十一活动结束后，某地区研究人员为了研究该地区在双十一活动中消费超过3000元的人群的年龄状况，随机在当地消费超过3000元的群众中抽取了500人作调查，所得频率分布直方图如图所示：记年龄在[55，65），[65，75），[75，85]对应的小矩形的面积分别是S1，S2，S3，且S1=2S2=4S3．（Ⅰ）以频率作为概率，若该地区双十一消费超过3000元的有30000人，试估计该地区在双十一活动中消费超过3000元且年龄在[45，65）的人数；（Ⅱ）若按照分层抽样，从年龄在[15，25），[65，75）的人群中共抽取7人，再从这7人中随机抽取2人作深入调查，求至少有1人的年龄在[15，25）内的概率．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）直线y=2上是否存在点M，便得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由．21．已知函数．（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为（，），过点M的直线l与曲线C相交于A，B 两点，求|MA|•|MB|[选修4-5：不等式选择]23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|，（x∈R）（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若存在非零实数b使不等式f（x）≥成立，求负数x的最大值．2017年宁夏中卫市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0}B．{﹣3，﹣4}C．{﹣1，﹣2}D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合C U A，再计算（C U A）∩B．【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴C U A={﹣3，﹣4}，∴（C U A）∩B={﹣3，﹣4}．故答案选B．2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z===，复数的对应点为：（）在第四象限．故选：D．3．函数f（x）=（3﹣x2）•ln|x|的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值，判断即可．【解答】解：函数f（x）=（3﹣x2）•ln|x|是偶函数，排除A，D选项，（3﹣x2）•ln|x|=0，当x＞0时，解得x=1，或x=，是函数f（x）=（3﹣x2）•ln|x|在x＞0时的两个零点，当x=时，f（）=（3﹣（）2）•ln||=＜0，可得选项B不正确，故选：C．4．圆x2+y2+2x﹣6y+1=0关于直线ax﹣by+3=0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．2 B．C．4 D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：∵圆x2+y2+2x﹣6y+1=0⇔（x+1）2+（y﹣3）2=9，圆x2+y2+2x﹣6y+1=0关于直线ax﹣by+3=0（a＞0，b＞0）对称，∴该直线经过圆心（﹣1，3），把圆心（﹣1，3）代入直线ax﹣by+3=0（a＞0，b＞0），得：﹣a﹣3b+3=0∴a+3b=3，a＞0，b＞0∴+=×（+）（a+3b）=（10++）≥，当且仅当=时取得最小值，故选：D．5．设数列{a n}是各项为正数的等比数列，S n为其前n项和，已知a2a4=16，=8，则S5=（）A．40 B．20 C．31 D．43【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2a4=16，=8，∴=16，q3=8，解得q=2，a1=1．则S5==31．故选：C．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由上下两部分组成，上面是一个球的，下面是一个半圆柱．【解答】解：由三视图可知：该几何体由上下两部分组成，上面是一个球的，下面是一个半圆柱．∴该几何体的体积V=+=．故选：B．7．将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B8．已知正六边形ABCDEF内接于圆O，连接AD，BE，现在往圆O内投掷2000粒小米，则可以估计落在阴影区域内的小米的粒数大致是（）（参考数据：=1.82，=0.55）A．550 B．600 C．650 D．700【考点】模拟方法估计概率．【分析】以面积为测度，建立方程，即可得出结论．【解答】解：由题意，落在阴影区域内的小米的粒数大致是x，则=，∴x≈550，故选A．9．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b分别为9，15，则输出的a=（）A．1 B．2 C．3 D．15【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=9，b=15，不满足a＞b，则b变为15﹣9=6，由b＜a，则a变为9﹣6=3，不满足a＞b，则b变为6﹣3=3，由a=b=3，则输出的a=3．故选：C．10．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且f（﹣1）=2，则f （1）+f（2）+f（3）+…+fA．1 B．0 C．﹣2 D．2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】本题通过赋值法对f（2﹣x）=f（x）中的x进行赋值为2+x，可得﹣f（x）=f（2+x），可得到函数f（x）的周期为4，根据奇函数的性质得到f（0）=0，再通过赋值法得到f（1），f（2），f（3），f（4）的值，即可求解．【解答】解：∵f（2﹣x）=f（x），∴f[2﹣（2+x）]=f（2+x），即f（﹣x）=f（2+x），即﹣f（x）=f（2+x），∴f（x+4）=f（4+x），故函数f（x）的周期为4．∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）﹣f（x）=0，且f（﹣1）=2，∴f（0）=0，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（﹣1）=2，f （4）=f（0）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（2）+f（3）+f（4）]+f+f（1）=0+（﹣2）=﹣2，故选：C．11．已知直线l过点A（﹣1，0）且与⊙B：x2+y2﹣2x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐进线平行于l，则E的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣x2=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设直线l：y=k（x+1），求得圆的圆心和半径，运用正弦和圆相切的条件：d=r，求得斜率k，联立直线和圆方程解得交点，求出渐近线方程，设出双曲线方程，代入D的坐标，解方程即可得到所求方程．【解答】解：可设直线l：y=k（x+1），⊙B：x2+y2﹣2x=0的圆心为（1，0），半径为1，由相切的条件可得，d==1，解得k=±，直线l的方程为y=±（x+1），联立x2+y2﹣2x=0，解得x=，y=±，即D（，±），由题意可得渐近线方程为y=±x，设双曲线的方程为y2﹣x2=m（m≠0），代入D的坐标，可得m=﹣=．则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．12．已知函数f（x）=，对任意的x1∈[2，+∞）总存在x2∈（﹣∞，2]，使得f（x1）=f（x2），则实数m的取值范围是（）A．[2，4） B．（﹣∞，4]C．[3，4） D．（0，4）【考点】分段函数的应用．【分析】分类讨论，利用x≥2时函数的值域是x＜2的子集，即可得出结论．【解答】解：由题意，m≤0，x≥2，f（x）＜0，x＜2，f（x）＜22﹣m，满足题意，m＞0，x＜2，f（x）＜22﹣m，x≥2，f（x）=≤，∵对任意的x1∈[2，+∞）总存在x2∈（﹣∞，2]，使得f（x1）=f（x2），∴22﹣m≥，∴m≤4，∴0＜m≤4，综上所述，m≤4．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量与的夹角是，且||=2，||=3，若（2+λ）⊥，则实数λ=﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的运算和向量垂直的条件即可求出．【解答】解：向量与的夹角是，且||=2，||=3，（2+λ）⊥，则（2+λ）•=2+λ=2×2×3×cos+9λ=0，解得λ=﹣，故答案为：﹣14．若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为2．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数以及可行域，判断最值点的位置，然后求解最小值即可．【解答】解：因为线性约束条件所决定的可行域为非封闭区域且目标函数为线性的，最值一定在边界点处取得．分别将点代入目标函数，求得：，所以最小值为2．故答案为：2．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinB﹣asinA=asinC，且△ABC的面积为a2sinB，则cosB=．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】由正弦定理化简已知的式子，结合条件和三角形的面积公式列出方程化简后，得到三边a、b、c的关系，由余弦定理求出cosB的值．【解答】解：∵bsinB﹣asinA=asinC，∴由正弦定理得，b2﹣a2=ac，①∵△ABC的面积为a2sinB，∴，则c=2a，代入①得，b2=2a2，由余弦定理得，cosB===，故答案为：．16．已知数列{na n}的前n项和为S n，且a n=2n，则使得S n﹣na n+50＜0的最小+1正整数n的值为5．【考点】数列的求和．+50【分析】由已知利用错位相减法求得数列{na n}的前n项和为S n，代入S n﹣na n+1＜0，求解不等式得答案．【解答】解：由a n=2n，得a n+1=2n+1，na n=n•2n，则，∴，两式作差得：=，∴，+50＜0，得（n﹣1）•2n+1+2﹣n•2n+1+50＜0，则由S n﹣na n+1即2n+1＞52，∴n+1＞5，则n＞4．∴最小正整数n的值为5．故答案为：5．三、解答题（本大题公共5小题，满分60分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，（1）若a=1，b=，求sinC；（2）若a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状．【考点】等差数列的性质．【分析】（1）由三角形内角和定理结合A，B，C成等差数列求得B，再由正弦定理求出A，则C可求，答案可求；（2）由a，b，c成等差数列，可得a，b，c的关系式，再结合余弦定理可得a=c，则可判断△ABC的形状．【解答】解：（1）由A+B+C=π，2B=A+C，得B=．由，得，得sinA=，又0＜A＜B，∴A=，则C=．∴sinC=1；（2）证明：由2b=a+c，得4b2=a2+2ac+c2，又b2=a2+c2﹣ac，得4a2+4c2﹣4ac=a2+2ac+c2，得3（a﹣c）2=0，∴a=c，∴A=C，又A+C=，∴A=C=B=，∴△ABC是等边三角形．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥P﹣EAD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，∴PD∥OE，∵O是BD中点，∴E是PB中点．取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．∴==．19．2016年双十一活动结束后，某地区研究人员为了研究该地区在双十一活动中消费超过3000元的人群的年龄状况，随机在当地消费超过3000元的群众中抽取了500人作调查，所得频率分布直方图如图所示：记年龄在[55，65），[65，75），[75，85]对应的小矩形的面积分别是S1，S2，S3，且S1=2S2=4S3．（Ⅰ）以频率作为概率，若该地区双十一消费超过3000元的有30000人，试估计该地区在双十一活动中消费超过3000元且年龄在[45，65）的人数；（Ⅱ）若按照分层抽样，从年龄在[15，25），[65，75）的人群中共抽取7人，再从这7人中随机抽取2人作深入调查，求至少有1人的年龄在[15，25）内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+S1+S2+S3=1，且S1=2S2=4S3．从而得到该地区在双十一活动中消费超过3000元且年龄在[45，65）的频率，由此该地区在双十一活动中消费超过3000元且年龄在[45，65）的人数．（Ⅱ）年龄在[15，25），[65，75）的频率0.04，0.1，从年龄在[15，25），[65，75）的人群中共抽取7人，年龄在[15，25）的人群中抽取2人，[65，75）的人群抽取5人，再从这7人中随机抽取2人作深入调查，基本事件总数n==21，至少有1人的年龄在[15，25）内的对立事件是抽取的2人的年龄都在[65，75）内，由此能求出至少有1人的年龄在[15，25）内的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵记年龄在[55，65），[65，75），[75，85]对应的小矩形的面积分别是S1，S2，S3，且S1=2S2=4S3．∴（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+S1+S2+S3=1，且S1=2S2=4S3．解得S3=0.05，S2=0.1，S3=0.2，∴该地区在双十一活动中消费超过3000元且年龄在[45，65）的频率为0.030×10+0.2=0.5，∴该地区在双十一活动中消费超过3000元且年龄在[45，65）的人数为：0.5×30000=15000人．（Ⅱ）从年龄在[15，25），[65，75）的频率分别为0.004×10=0.04，0.1，从年龄在[15，25），[65，75）的人群中共抽取7人，年龄在[15，25）的人群中抽取：7×=2人，[65，75）的人群抽取：7×=5人，再从这7人中随机抽取2人作深入调查，基本事件总数n==21，至少有1人的年龄在[15，25）内的对立事件是抽取的2人的年龄都在[65，75）内，∴至少有1人的年龄在[15，25）内的概率p=1﹣=1﹣．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）直线y=2上是否存在点M，便得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）通过椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面积为，建立关于a，b，c的方程，解出a，b，即求出椭圆的标准方程．（2）对于存在性问题，要先假设存在，先设切线y=k（x﹣m）+2，与椭圆联立，利用△=0，得出关于斜率k的方程，利用两根之积公式k1k2=﹣1，求出Q点坐标．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面积为，∴=c，=，∴a=2，b=，∴椭圆方程为=1．（2）假设直线y=2上存在点Q满足题意，设Q（m，2），当m=±2时，从Q点所引的两条切线不垂直．当m≠±2时，设过点Q向椭圆所引的切线的斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣m）+2，代入椭圆方程，消去y，整理得：（1+2k2）x2﹣4k（mk﹣2）x+2（mk﹣2）2﹣4=0，∵△=16k2（mk﹣2）2﹣4（1+2k2）[2（mk﹣2）2﹣4]=0，∴（m2﹣4）k2﹣4mk+2=0，*设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程（m2﹣4）k2﹣4mk+2=0的两个根，∴k 1k 2==﹣1，解得m=±，点Q 坐标为（，2），或（﹣，2）．∴直线y=2上两点（，2），（﹣，2）满足题意．21．已知函数．（1）当a=0时，求函数f （x ）在（1，f （1））处的切线方程； （2）令g （x ）=f （x ）﹣（ax ﹣1），求函数g （x ）的极值； （3）若a=﹣2，正实数x 1，x 2满足f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0，证明：．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f （x ）的解析式，求出切点坐标，从而求出切线方程即可； （2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性； （3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．【解答】解：（1）当a=0时，f （x ）=lnx +x ，则f （1）=1，所以切点为（1，1），又f′（x ）=+1，则切线斜率k=f′（1）=2， 故切线方程为：y ﹣1=2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣1=0；（2）g （x ）=f （x ）﹣（ax ﹣1）=lnx ﹣ax 2+（1﹣a ）x +1，所以g′（x ）=﹣ax +（1﹣a ）=，当a ≤0时，因为x ＞0，所以g′（x ）＞0．所以g （x ）在（0，+∞）上是递增函数，无极值；当a ＞0时，g′（x ）=，令g′（x ）=0，得x=，所以当x ∈（0，）时，g′（x ）＞0；当x ∈（，+∞）时，g′（x ）＜0，因此函数g （x ）在x ∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数，当a ＞0时，函数g （x ）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞），∴x=时，g （x ）有极大值g （）=﹣lna ，综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；当a＞0时，函数g（x）有极大值﹣lna，无极小值；（3）由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．令t=x1x2，则由x1＞0，x2＞0得，φ′（t）=，t＞0，可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得x1+x2≥或x1+x2≤，又因为x1＞0，x2＞0，因此x1+x2≥成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为（，），过点M的直线l与曲线C相交于A，B 两点，求|MA|•|MB|【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的参数方程先求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．（Ⅱ）先求出直线l的参数方程，与曲线C的直角坐标方程联立，得t2+2（cosθ﹣sinθ）t﹣2=0，利用参数的几何意义能求出|MA|•|MB|．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（θ为参数），∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=0，即曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．…5分（Ⅱ）设直线l的参数方程是（α为参数）①曲线C的直角坐标方程是x2+y2﹣4y=0，②①②联立，得t2+2（cosθ﹣sinθ）t﹣2=0，∴t1t2=﹣2，∴|MA|•|MB|=2…10分[选修4-5：不等式选择]23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|，（x∈R）（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若存在非零实数b使不等式f（x）≥成立，求负数x的最大值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）分类讨论求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出的最小值，问题转化为f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3，分类讨论，求出负数x的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≤4，即|x﹣1|+|x+1|≤4，x≥1时，x﹣1+x+1≤4，解得：1≤x≤2，﹣1＜x＜1时，1﹣x+x+1=2＜4成立，x≤﹣1时，1﹣x﹣x﹣1=﹣2x≤4，解得：x≥﹣2，综上，不等式的解集是[﹣2，2]；（Ⅱ）由≥=3，若存在非零实数b使不等式f（x）≥成立，即f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3，x≤﹣1时，﹣2x≥3，∴x≤﹣1.5，∴x≤﹣1.5；﹣1＜x≤1时，2≥3不成立；x＞1时，2x≥3，∴x≥1.5，∴x≥1.5．综上所述x≤﹣1.5或x≥1.5，故负数x的最大值是﹣1.5．2017年3月30日。

2016-2017学年宁夏中卫高三（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合M={x∈N|x＜6}，N={x|x2﹣11x+18＜0}，则M∩N等于（）A．{3，4，5} B．{x|2＜x＜6} C．{x|3≤x≤5} D．{2，3，4，5}2．（x﹣）8的展开式中常数为（）A．B．C．D．﹣3．若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为（）A．B．1 C．D．24．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“sinx≤”发生的概率为（）A．B．C．D．5．已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，且|AB|=，则实数m=（）A．±1 B．±C．±D．±6．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．488．设f （x ）+g （x ）=2tdt ，x ∈R ，若函数f （x ）为奇函数，则g （x ）的解析式可以为（ ） A ．x 3B ．cosxC ．1+xD ．xe x9．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若bcosA+acosB=c 2，a=b=2，则△ABC 的周长为（ ） A ．7.5 B ．7C ．6D ．510．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为=1，双曲线C 2的方程为=1，C 1与C 2的离心率之积为，则C 1、C 2的离心率分别为（ ）A ．，3B ．C ．，2 D ．11．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x ）的图象．若g （x 1）g （x 2）=9，且x 1，x 2∈[﹣2π，2π]，则2x 1﹣x 2的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数f （x ）=2x﹣5，g （x ）=4x ﹣x 2，给下列三个命题： p 1：若x ∈R ，则f （x ）f （﹣x ）的最大值为16；p 2：不等式f （x ）＜g （x ）的解集为集合{x|﹣1＜x ＜3}的真子集；p 3：当a ＞0时，若∀x 1，x 2∈[a ，a+2]，f （x 1）≥g （x 2）恒成立，则a ≥3， 那么，这三个命题中所有的真命题是（ ） A ．p 1，p 2，p 3 B ．p 2，p 3 C ．p 1，p 2D ．p 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上...13．设函数f （x ）=，则f （3）+f （4）= ．14．设实数x，y满足，向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，则实数m的最大值为．15．在数列{a n}中，已知a2=4，a3=15，且数列{a n+n}是等比数列，则a n= ．16．三棱锥S﹣ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③面SBC⊥面SAC；④点C到平面SAB的距离是．其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．等差数列{a n}中公差d≠0，a1=3，a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设{a n}的前n项和为Sn，求：．18．某公司开发一心产品有甲乙两种型号，现发布对这两种型号的产品进行质量检测，从它们的检测数据中随机抽取8次（数值越大产品质量越好），记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5（1）先要从甲乙中选一种型号产品投入生产，从统计学的角度，你认为生产哪种型号的产品合适？简单说明理由；（2）若将频率视为概率，对产品乙今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望ξ19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AC⊥BB1，AB=A1B=AC=1，BB1=．（Ⅰ）求证：A1B⊥平面ABC；（Ⅱ）若P是棱B1C1的中点，求二面角P﹣AB﹣A1的余弦值．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线的切线交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y=于点M，|FD|=2，∠AFD=60°．（1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；（2）求△DFM的面积．21．已知函数f（x）=（x+a）e x，其中a∈R（1）若曲线y=f（x）在点A（0，a）处的切线与直线y=|2a﹣1|x平行，求l的方程；（2）若∀a∈[1，2]，函数f（x）在（b﹣e a，2）上为增函数，求证：e2﹣3≤b＜e a+2．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos（θ+）﹣2=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．（1）若直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，求直线l的直角坐标方程；（2）若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为（x，y），求x+y的最大值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≥g（x0），求实数a的取值范围．2016-2017学年宁夏中卫一中高三（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合M={x∈N|x＜6}，N={x|x2﹣11x+18＜0}，则M∩N等于（）A．{3，4，5} B．{x|2＜x＜6} C．{x|3≤x≤5} D．{2，3，4，5}【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出关于N的不等式，从而求出M，N的交集即可．【解答】解：∵M={x∈N|x＜6}，N={x|x2﹣11x+18＜0}={x|2＜x＜9}，∴M∩N={3，4，5}，故选：A．2．（x﹣）8的展开式中常数为（）A．B．C．D．﹣【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出展开式的常数项．【解答】解：（x﹣）8展开式中，通项公式为：T r+1=•x8﹣r•（﹣）r•x﹣r=（﹣）r••x8﹣2r，令8﹣2r=0，解得r=4；所以展开式中常数项为第5项，为•=．故选：B．3．若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为（）A．B．1 C．D．2【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积．【解答】解：由抛物线定义，|PF|=x P+1=2，所以x P=1，|y P|=2，所以，△PFO的面积S=|y P|==1．故选：B4．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“sinx≤”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵0≤x≤π，∴由snx≤得0≤x≤或≤x≤π，则事件“snx≤”发生的概率P==，故选：D．5．已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，且|AB|=，则实数m=（）A．±1 B．±C．±D．±【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的圆心（0，0），半径r=1和圆心（0，0）到直线y=x+m的距离，根据直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，且|AB|=，利用勾股定理能求出实数m．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心（0，0），半径r=1，圆心（0，0）到直线y=x+m的距离d=，∵直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，且|AB|=，∴由勾股定理得：，即1=+，解得m=．故选：C．6．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】E6：选择结构．【分析】由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案．【解答】解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件；当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件，故这样的x值有3个．故选C．7．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】由题设中的条件知，可以先把黄1与黄2必须相邻，可先将两者绑定，又白1与白2不相邻，可把黄1与黄2看作是一盆菊花，与白1白2之外的菊花作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将白1白2菊花插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可．【解答】解：由题意，第一步将黄1与黄2绑定，两者的站法有2种，第二步将此两菊花看作一个整体，与除白1，白2之外的一菊花看作两个元素做一个全排列有A22种站法，此时隔开了三个空，第三步将白1，白2两菊花插入三个空，排法种数为A32则不同的排法种数为2×A22×A32=2×2×6=24．故选B．8．设f（x）+g（x）=2tdt，x∈R，若函数f（x）为奇函数，则g（x）的解析式可以为（）A．x3B．cosx C．1+x D．xe x【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】f（x）+g（x）=2x+1…①，函数f（x）为奇函数，﹣f（x）+g（﹣x）=﹣2x+1…②．①+②得g（﹣x）+g（x）=2，对选项A，B，C，D逐一验证，【解答】解： 2tdt=（x+1）2﹣x2=2x+1，即f（x）+g（x）=2x+1…①，∵函数f（x）为奇函数，∴﹣﹣f（x）+g（﹣x）=﹣2x+1…②．①+②得g（﹣x）+g（x）=2，对选项A，B，C，D逐一验证，只有C项符合题意，故选：C，9．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC 的周长为（）A．7.5 B．7 C．6 D．5【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，进而可得周长的值．【解答】解：∵bcosA+acosB=c2，a=b=2，∴由余弦定理可得：b ×+a ×=c 2，整理可得：2c 2=2c 3，∴解得：c=1，则△ABC 的周长为a+b+c=2+2+1=5． 故选：D ．10．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为=1，双曲线C 2的方程为=1，C 1与C 2的离心率之积为，则C 1、C 2的离心率分别为（ ）A ．，3B ．C ．，2 D ．【考点】KC ：双曲线的简单性质；K4：椭圆的简单性质．【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab 关系，即可求解离心率．【解答】解：a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为=1，C 1的离心率为：，双曲线C 2的方程为=1，C 2的离心率为：，∵C 1与C 2的离心率之积为，∴=，∴（）2=，，则C 1的离心率==则C 2的离心率： ==故选：B ．11．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x ）的图象．若g （x 1）g （x 2）=9，且x 1，x 2∈[﹣2π，2π]，则2x 1﹣x 2的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3O：函数的图象．【分析】由已知可得g（x）=+1，若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则，结合x1，x2∈[﹣2π，2π]，可得答案．【解答】解：函数的图象向左平移个单位，可得y=的图象，再向上平移1个单位，得到g（x）=+1的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则，即，由x1，x2∈[﹣2π，2π]，得：x1，x2∈{﹣，﹣，， }，当x1=，x2=﹣时，2x1﹣x2取最大值，故选：A12．已知函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2，给下列三个命题：p1：若x∈R，则f（x）f（﹣x）的最大值为16；p2：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|﹣1＜x＜3}的真子集；p3：当a＞0时，若∀x1，x2∈[a，a+2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则a≥3，那么，这三个命题中所有的真命题是（）A．p1，p2，p3B．p2，p3C．p1，p2D．p1【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】给出f（x）f（﹣x）的表达式，结合基本不等式，可判断p1，在同一坐标系中作出函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2的图象，数形结合，可判断p2，p3【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2，∴f（x）f（﹣x）=（2x﹣5）（2﹣x﹣5）=26﹣5（2x+2﹣x）≤26﹣10=16，故p1：若x∈R，则f（x）f（﹣x）的最大值为16，为真命题；在同一坐标系中作出函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2的图象如下图所示：由图可得：p2：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|﹣1＜x＜3}的真子集，为真命题；p3：当a＞0时，若∀x1，x2∈[a，a+2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则a≥3，为真命题；故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上...13．设函数f（x）=，则f（3）+f（4）= 3+log49 ．【考点】3T：函数的值．【分析】先求出f（3）=f（32）=f（9）=1+log49，f（4）=1+log44=2，由此能求出f（3）+f（4）的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（3）=f（32）=f（9）=1+log49，f（4）=1+log44=2，∴f（3）+f（4）=3+log49．故答案为：3+log49．14．设实数x，y满足，向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，则实数m的最大值为 6 ．【考点】7C：简单线性规划；96：平行向量与共线向量．【分析】根据向量平行的坐标公式得到2x﹣y+m=0，作出不等式组对应的平面区域，利用m 的几何意义，即可求出m的最大值．【解答】解：∵ =（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，∴2x﹣y+m=0，即y=2x+m，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=2x+m，由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大．由，解得，代入2x﹣y+m=0得m=6．即m的最大值为6．故答案为：615．在数列{a n}中，已知a2=4，a3=15，且数列{a n+n}是等比数列，则a n= 2•3n﹣1﹣n；．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由于数列{a n+n}是等比数列，可得，解得a1．即可得到公比q==．再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n+n}是等比数列，∴，∴（4+2）2=（a1+1）×（15+3），解得a1=1．∴公比q==．∴a n+n=2×3n﹣1．∴a n=2•3n﹣1﹣n，故答案为：2•3n﹣1﹣n．16．三棱锥S﹣ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③面SBC⊥面SAC；④点C到平面SAB的距离是．其中正确结论的序号是①②③④．【考点】LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直的判定；LY：平面与平面垂直的判定；MK：点、线、面间的距离计算．【分析】由题目中的条件可以证得，三棱锥的一个侧棱SB⊥平面ABC，面SBC⊥AC，由此易判断得①②③④都是正确的【解答】解：由题意三棱锥S﹣ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，知SB⊥BA，SC⊥CA，又△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形可得AC⊥BC，又BC∩SB=B，故有AC⊥面SBC，故有SB⊥AC，故①正确，由此可以得到SB⊥平面ABC，故②正确，再有AC⊂面SAC得面SBC⊥面SAC，故③正确，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，点C到平面SAB的距离即点C到斜边AB的中点的距离，即，故④正确．故答案为①②③④三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．等差数列{a n}中公差d≠0，a1=3，a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设{a n}的前n项和为Sn，求：．【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式；8G：等比数列的性质．【分析】（I）a1、a4、a13成等比数列．可得，利用等差数列的通项公式可得（3+3d）2=3（3+12d），解出即可．（II）由（I）可得：S n==n（n+2），．利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）∵a1、a4、a13成等比数列．∴，∴（3+3d）2=3（3+12d），化为d2﹣2d=0，d≠0，解得d=2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．（II）由（I）可得：S n==n（n+2），∴．∴=++…+=．=﹣．18．某公司开发一心产品有甲乙两种型号，现发布对这两种型号的产品进行质量检测，从它们的检测数据中随机抽取8次（数值越大产品质量越好），记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5（1）先要从甲乙中选一种型号产品投入生产，从统计学的角度，你认为生产哪种型号的产品合适？简单说明理由；（2）若将频率视为概率，对产品乙今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望ξ【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差；CG ：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）计算平均数、，方差、，根据平均数与方差的意义即可得出结论；（2）由题意知乙不低于8.5分的频率为概率，得出ξ的可能取值，则ξ～B （3，），计算对应的概率值，写出ξ的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）计算平均数=×（8.3+9.0+7.9+7.8+9.4+8.9+8.4+8.3）=8.5，=×（9.2+9.5+8.0+7.5+8.2+8.1+9.0+8.5）=8.5， 方差=×[（8.3﹣8.5）2+（9.0﹣8.5）2+（7.9﹣8.5）2+（7.8﹣8.5）2+（9.4﹣8.5）2+（8.9﹣8.5）2+（8.4﹣8.5）2+（8.3﹣8.5）2]=0.27，=×[（9.2﹣8.5）2+（9.5﹣8.5）2+（8.0﹣8.5）2+（7.5﹣8.5）2 +（8.2﹣8.5）2+（8.1﹣8.5）2+（9.0﹣8.5）2+（8.5﹣8.5）2]=0.405，=，＜，∴甲和乙的质量数值的平均数相同，但甲的方差较小， 说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适；（2）依题意，乙不低于8.5分的频率为， 随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3， 则ξ～B （3，），∴P （ξ=0）=•=，P （ξ=1）=••=，P （ξ=2）=••=，P （ξ=3）=•=，∴ξ的分布列为：数学期望为Eξ=0×+1×+2×+3×=（或E（ξ）=3×=）．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AC⊥BB1，AB=A1B=AC=1，BB1=．（Ⅰ）求证：A1B⊥平面ABC；（Ⅱ）若P是棱B1C1的中点，求二面角P﹣AB﹣A1的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥平面ABB1A1，从而AC⊥A1B，由勾股定理得A1B⊥AB，从而能证明A1B⊥平面ABC．（Ⅱ）以B为原点，以BC，BA，BB1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣AB﹣A1的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AC⊥BB1，又AB∩BB1=B，∴AC⊥平面ABB1A1，又A1B⊂平面ABB1A1，∴AC⊥A1B，∵AB=A1B=AC=1，BB1=，∴，∴A1B⊥AB，又AC∩AB=A，∴A1B⊥平面ABC．（Ⅱ）解：以A1C1，A1B1，BA1所在直线为x，y，z轴建立如图A1﹣xyz直角坐标系，A1（0，0，0），P（，，0），B（0，0，﹣1），==（0，1，0），=（﹣，﹣，﹣1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则•=0，即y=0，•=（x，y，z）•（﹣，﹣，﹣1）=0，即﹣x﹣z=0，取z=1，x=﹣2，∴=（﹣2，0，1），设平面ABA1B1的法向量=（1，0，0），cos＜＞=||==．∴二面角P﹣AB﹣A1的余弦值为．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线的切线交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y=于点M，|FD|=2，∠AFD=60°．（1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；（2）求△DFM的面积．【考点】K8：抛物线的简单性质；K7：抛物线的标准方程．【分析】（1）利用导数求出切线方程，得出Q，D的坐标，计算|AF|，|FQ|即可得出|AF|=|FQ|，根据三角形性质得出|OF|=1，从而得出抛物线方程；（2）根据直线斜率可得DF⊥AD，由∠DFM=30°求出DM，于是S△DFM=．【解答】解：（1）设A（x1，y1），则切线l的方程为y=x﹣，且y1=，∴D（，0），Q（0，﹣y1），∴|FQ|=+y1，|AF|=+y1，∴|FQ|=|FA|，∴△AFQ为等腰三角形，且D为AQ的中点，∴DF ⊥AQ ，∵|FD|=2，∠AFD=60°，∴∠QFD=60°，∴OF==FD=1， ∴p=2，∴抛物线方程为x 2=4y ．（2）F （0，1），k AD =，k DF ==﹣，∴k DF •k AD =﹣1，∴DF ⊥AD ，∵∠DFM=90°﹣∠QFD=30°，DF=2，∴DM==．∴S △DFM ===．21．已知函数f （x ）=（x+a ）e x，其中a ∈R（1）若曲线y=f （x ）在点A （0，a ）处的切线与直线y=|2a ﹣1|x 平行，求l 的方程； （2）若∀a ∈[1，2]，函数f （x ）在（b ﹣e a ，2）上为增函数，求证：e 2﹣3≤b ＜e a +2． 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出原函数的导函数，利用斜率关系求出a 的值，求得A 的坐标，代入直线方程点斜式得l 的方程；（2）由f （x ）在（b ﹣e a ，2）上为增函数，得到b ≥e a ﹣a ﹣1且b ＜e a +2，令g （a ）=e a ﹣a﹣1，再由导数证明g（a）的最小值为e2﹣3得答案．【解答】解：（1）f′（x）=e x+（x+a）e x=（x+a+1）e x，则在A（0，a）处的切线的斜率为：f′（0）=a+1，∵切线与直线平行，故a+1=|2a﹣1|，解得：a=0或a=2，若a=0，则A（0，0），f′（0）=1，∴切线方程是：y﹣0=1×（x﹣0），即y=x；若a=2，则A（0，2），f′（0）=3，∴切线方程是：y﹣2=2×（x﹣0），即y=2x+2；（2）证明：当∀a∈[1，2]时，函数f（x）在（b﹣e a，2）为增函数，则在此范围内，f′（x）=（x+a+1）e x≥0恒成立，∵e x＞0，则x+a+1≥0，∵a∈[1，2]，∴b﹣e a+a+1≥0且b﹣e a＜2，故b≥e a﹣a﹣1且b＜e a+2，令g（a）=e a﹣a﹣1，则g′（a）=e a﹣1，当a∈[1，2]时，g′（a）＞0，∴g（a）在[1，2]递增，∴g（a）max=g（2）=e2﹣2﹣1=e2﹣3，∴若要b≥e a﹣a﹣1在[1，2]内恒成立，只需b≥e2﹣3即可，综上：e2﹣3≤b＜e a+2．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos（θ+）﹣2=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．（1）若直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，求直线l的直角坐标方程；（2）若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为（x，y），求x+y的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程转化为ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣2=0，将代入，能求出曲线的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y+1）2=4，圆心C（1，﹣1），由直线l被曲线C截得的弦长最小，知直线l与OC垂直，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）由M是曲线C上的动点，设，（α为参数），由此能出x+y的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos（θ+）﹣2=0，∴ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣2=0，将代入，得曲线的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y+1）2=4，圆心C（1，﹣1），若直线l被曲线C截得的弦长最小，则直线l与OC垂直，∴k l•k OC=﹣1，∵k OC=﹣1，∴k l=1，∴直线l的直角坐标方程为y=x．（2）∵M是曲线C上的动点，∴设，（α为参数），则x+y=2sinα+2cosα=2sin（），当sin（）=1时，x+y取得最大值为2．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≥g（x0），求实数a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）a=﹣1时，可由f（x）≤g（x）得到|x+1|≤2|x|﹣1，讨论x取值，去绝对值号即可得到三个不等式组，解不等式组并求并集即可得出原不等式的解集；（2）根据条件便可得到：存在x0∈R，使得，可设h（x）=|x+1|﹣|x|，去绝对值号即可求出h（x）的最大值为1，从而得出，这样即可得出实数a的取值范围．21 【解答】解：（1）a=﹣1时，由f （x ）≤g （x ）得，|x+1|≤2|x|﹣1； 从而，即x ≤﹣1；或，即；或，即x ≥2；∴不等式f （x ）≤g （x ）的解集为；（2）存在x 0∈R ，使得，即存在x 0∈R ，使得； 即存在x 0∈R ，使得；设，则h （x ）的最大值为1； ∴；即a ≤2；∴实数a 的取值范围为（﹣∞，2]．。

2017年宁夏高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．96．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3 D．112．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

5223321宁夏中卫一中2017届高三下学期第一次月考数学（理科）解 析1．【解答】解：}6{|M x x =∈N Q ＜， N={x|x 2﹣11x+18＜0}={x|2＜x ＜9}， ∴M ∩N={3，4，5}， 2．【解答】解：（x ﹣）8展开式中，通项公式为：T r+1=•x 8﹣r •（﹣）r •x ﹣r =（﹣）r ••x 8﹣2r ，令8﹣2r=0，解得r=4；所以展开式中常数项为第5项，为•=．3．【解答】解：由抛物线定义，|PF|=x P +1=2，所以x P =1，|y P |=2， 所以，△PFO 的面积S=|y P |==1． 故选：B 4．【解答】解：∵0≤x ≤π， ∴由snx ≤得0≤x ≤或≤x ≤π， 则事件“snx ≤”发生的概率P==，5．【解答】解：圆x 2+y 2=1的圆心（0，0），半径r=1， 圆心（0，0）到直线y=x+m 的距离d=，∵直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A ．B 两点，且|AB|=，∴由勾股定理得：，即1=+，解得m=．6．【解答】解：当x ≤2时，由x 2=x 得：x=0，1满足条件；当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件；当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件，故这样的x值有3个．7．【解答】解：由题意，第一步将黄1与黄2绑定，两者的站法有2种，第二步将此两菊花看作一个整体，与除白1，白2之外的一菊花看作两个元素做一个全排列有A22种站法，此时隔开了三个空，第三步将白1，白2两菊花插入三个空，排法种数为A32则不同的排法种数为2×A22×A32=2×2×6=24．8．【解答】解：2tdt=（x+1）2﹣x2=2x+1，即f（x）+g（x）=2x+1…①，∵函数f（x）为奇函数，∴﹣﹣f（x）+g（﹣x）=﹣2x+1…②．①+②得g（﹣x）+g（x）=2，对选项A，B，C，D逐一验证，只有C项符合题意，9．【解答】解：∵bcosA+acosB=c2，a=b=2，∴由余弦定理可得：b×+a×=c2，整理可得：2c2=2c3，∴解得：c=1，则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5．10．【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴=，∴（）2=，，则C1的离心率==则C2的离心率：==11．【解答】解：函数的图象向左平移个单位，可得y=的图象，再向上平移1个单位，得到g（x）=+1的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则，即，由x1，x2∈[﹣2π，2π]，得：x1，x2∈{﹣，﹣，，}，当x1=，x2=﹣时，2x1﹣x2取最大值，12．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2，∴f（x）f（﹣x）=（2x﹣5）（2﹣x﹣5）=26﹣5（2x+2﹣x）≤26﹣10=16，故p1：若x∈R，则f（x）f（﹣x）的最大值为16，为真命题；在同一坐标系中作出函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2的图象如下图所示：由图可得：p2：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|﹣1＜x＜3}的真子集，为真命题；p3：当a＞0时，若∀x1，x2∈[a，a+2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则a≥3，为真命题；故选：A13．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（3）=f（32）=f（9）=1+log49，f（4）=1+log44=2，∴f（3）+f（4）=3+log49．14．【解答】解：∵=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，∴2x﹣y+m=0，即y=2x+m，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=2x+m，由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大．由，解得，代入2x﹣y+m=0得m=6．即m的最大值为6．15．【解答】解：∵数列{a n+n}是等比数列，∴，∴（4+2）2=（a1+1）×（15+3），解得a1=1．∴公比q==．∴a n+n=2×3n﹣1．∴a n=2•3n﹣1﹣n，16．【解答】解：由题意三棱锥S﹣ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，知SB⊥BA，SC⊥CA，又△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形可得AC⊥BC，又BC∩SB=B，故有AC⊥面SBC，故有SB⊥AC，故①正确，由此可以得到SB⊥平面ABC，故②正确，再有AC⊂面SAC得面SBC⊥面SAC，故③正确，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，点C到平面SAB的距离即点C到斜边AB的中点的距离，即，cos＜＞=||==．5【解答】解：（1）设A（x1，y1），则切线l的方程为y=x﹣，且y1=，∴D（，0），Q（0，﹣y1），∴|FQ|=+y1，|AF|=+y1，∴|FQ|=|FA|，∴∠QFD=60°，∴OF==FD=1，p=2（2）F（0，1），k AD=，k DF==﹣，•k=1DF AD∴DM==．∴S△DFM===．。

宁夏中卫市高考第一次模拟考试数学理试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·鄂尔多斯模拟) 若集合A={x|x＞或x＜0}，集合B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B 等于（）A . {x| ＜x＜2}B . {x|﹣1＜x＜0或＜x＜2}C . {x|﹣1＜x＜ }D . {x|0＜x＜或1＜x＜2}2. （2分）(2019·浙江模拟) 已知是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2018高一下·定远期末) 某城市2016年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2016年空气质量达到良或优的概率为（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·河东期末) 下列关于向量知识的选项中，不正确的为A .B . 单位向量的模长都相等C .D . 在平行四边形ABCD中，5. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则（）A .B .C .D . 16. （2分） (2016高三上·石嘴山期中) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|ω|＜）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A . 函数f（x）的最小正周期为2πB . 函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称C . 将函数f（x）的图象向左平移个单位得到的函数图象关于y轴对称D . 函数f（x）的单调递增区间是[kπ+ ，kπ+ ]（K∈Z）7. （2分）一个袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和小于15的概率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高三上·镇海期中) 若是两个相交的平面，则下列命题中，真命题的序号为（）①若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线②若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直③若直线，则在平面内，不一定存在与直线垂直的直线④若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线A . ①③B . ②③C . ②④D . ①④9. （2分）(2017·石嘴山模拟) 已知函数f（x）=lnx﹣x2与g（x）=（x﹣2）2﹣﹣m的图象上存在关于（1，0）对称的点，则实数m的取值范围是（）A . （﹣∞，1﹣ln2）B . （﹣∞，1﹣ln2]C . （1﹣ln2，+∞）D . [1﹣ln2，+∞）10. （2分） (2016高三上·厦门期中) 已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线C右支上一点P满足|PF1|=3|PF2|且 =a2 ，则双曲线C的离心率为（）A . 3B .C . 2D .11. （2分）已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，， 2，则其外接球的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数，则使方程有解的实数m的取值范围是（）A . （1，2）B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·河北模拟) 已知实数满足约束条件，则的最大值为________.14. （1分） (2017高一下·沈阳期末) 计算： ________．15. （1分）(2017·南充模拟) 的展开式中，x3的系数是________（用数学填写答案）．16. （1分） (2019高一下·大庆月考) 中，、、成等差数列，∠B=30°，，那么b =________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2015高二上·孟津期末) 已知二次函数y=f（x）的图象过坐标原点，其导函数f′（x）=6x ﹣2，数列{an}前n项和为Sn ，点（n，Sn）（n∈N*）均在y=f（x）的图象上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，Tn是数列{bn}的前n项和，求当对所有n∈N*都成立m取值范围．18. （10分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．19. （10分） (2016高一下·烟台期中) 某地最近十年对某商品的需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20082010201220142016需要量（万件）236246257276286（1）利用所给数据求年需求量y与年份x之间的回归直线方程 = x+ ；（2）预测该地2018年的商品需求量（结果保留整数）．20. （10分） (2016高二上·宁波期中) 设椭圆C：的离心率e= ，左顶点M到直线=1的距离d= ，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（3）在（2）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．21. （10分） (2016高三上·吉林期中) 已知函数f（x）= ．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=xf（x）+mx在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求m的值；（3）若x≥1时，有不等式f（x）≥ 恒成立，求实数k的取值范围．22. （10分） (2018高二上·平遥月考)（1）椭圆的焦点为，点是椭圆上的一个点，求椭圆的方程.（2）求以椭圆 + =1的焦点为焦点，一条渐近线方程为y=- x的双曲线方程.23. （10分）(2018·河北模拟) 已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）若的最大值为，对任意不想等的正实数，证明： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。

银川九中2016-2017学年第二学期第一次模拟试卷高三年级数学（理科）试卷（本试卷满分150分）命题人：韩潇本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）—（23）题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、学生、班级填写在答题卡上，否则该卷记零分。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U=R，A={x|x2＜16}，B={x|y=log3（x﹣4）}，则下列关系正确的是（）A．A∪B=R B．A∪（∁R B）=R C．A∩（∁R B）=R D．（∁R A）∪B=R2．已知i为虚数单位，复数z=在复平面内对应的点位于第（）象限．A．一B．二C．三D．四3．已知a、b都为集合{﹣2，0，1，3，4}中的元素，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是（）A．B．C．D．4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6 ＜6C．n≤6 ≤85．已知数列{a n}，若点{n，a n}（n∈N*）在直线y﹣2=k（x﹣5）上，则数列{a n}的前9项和S9等于（）A．16 B．18 C．20 D．22 6．某几何体的三视图如图，则几何体的体积为（）A．8π﹣16 B．8π+16C．16π﹣8 D．8π+87．已知双曲线﹣=1的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线一个交点为（4，3），则该双曲线的实轴长为（）A．6 B．8 C．4 D．108．若函数f（x）=sin（2x+φ）满足∀x∈R，f（x）≤f（），则f（x）在[0，π]上的单调递增区间为（）A．[0，]与[，]B．[，]C．[0，]与[，π]D．[0，]与[，]9．定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数）使得f （x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为f（x）的一个承托函数，现在如下函数：①f（x）=x3；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=x+sinx则存在承托函数的f（x）的序号为（）A．①④B．②④C．②③D．②③④10．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AC=AA1，则AB1与CA1所成角的大小为（）A．60°B．105°C．75°D．90°11．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．312．当12x<≤时，4logxax<，则a的取值范围是（）A．（0，22）B．（22，1）C．（1，2）D．（2，2）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是．14．若圆C：222220x mx y m y-+-+=与x轴有公共点，则m的取值范围是________15．若不等式（﹣1）n a ＜2+（﹣1）n +1对∀n ∈N*恒成立，则实数a 的取值范围是 ．16．若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-010x y x y x ， 则y x z 2+=的最大值为__________三、解答题（本题共6小题，共70分）17．设函数f （x ）=•，其中向量=（2cosx ，1），=（cosx ， sin2x ），x ∈R ．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，f （A ）=2，a=，b +c=3（b ＞c ），求b ，c 的值．18. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122()n n a S n N *+=+∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，设数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T ，证明：1516n T <.19．如图，已知矩形ABCD 中，AB=2，AD=，M 为DC 的中点，将△ADM沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证AD ⊥BM ．；（2）若E 是线段DB 的中点，求二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值．20．已知斜率为k(k ≠0)的直线l 交椭圆22:14x C y 于1122(,),(,)M x y N x y 两点。

2017年宁夏中卫市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知m，n∈R，集合A={2，log7m}，B={m，2n}，若A∩B={1}，则m+n=（）A．5 B．6 C．7 D．82．命题“∀x＞0，lnx≤x﹣1”的否定是（）A．∃x0＞0，lnx0≤x0﹣1 B．∃x0＞0，lnx0＞x0﹣1C．∃x0＜0，lnx0＜x0﹣1 D．∃x0＞0，lnx0≥x0﹣13．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z1=1﹣2i，其中i是虚数单位，则的虚部为（）A．﹣B．C．﹣i D．i4．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且函数f（x）=x2+2x﹣ξ+1不存在零点的概率为0.08，则随机变量P（0＜ξ＜2）=（）A．0.08 B．0.42 C．0.84 D．0.165．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（）A．B．C．2 D．6．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．7．已知定义在R上的函数f（x）=2|x|，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的方程为（）A．y2=4x B．y2=8x C．y2=3x D．y2=6x9．如图所示的程序框图描述的为辗转相除法，若输入m=5280，n=1595，则输出的m=（）A．2 B．55 C．110 D．49510．已知x，y满足，且z=2x﹣y的最大值是最小值的﹣2倍，则a=（）A．B．﹣C．D．﹣11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若=2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．12．若实数a满足x+lgx=2，实数b满足x+10x=2，函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=x解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a=sinxdx则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为．14．若数列{a n}满足：只要a p=a q（p，q∈N*），必有a p+1=a q+1，那么就称数列{a n}具有相纸P，已知数列{a n}具有性质P，且a1=1，a2=2，a3=3，a5=2，a6+a7+a8=21，则a2017=．15．已知矩形A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．16．在△ABC，B=，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，ED=，则角A=．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．已知函数，x∈R，将函数f（x）向左平移个单位后得函数g（x），设△ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．（Ⅰ）若，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；（Ⅱ）若g（B）=0且，，求的取值范围．18．某超市从2017年1月甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为S12与S22，试比较S12与S22的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的分布列和数学期望．19．如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2，现将梯形沿CB，DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N分别为AF，BD的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCF；（Ⅱ）若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0），其短轴为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设椭圆E的右焦点为F，过点G（2，0）作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．21．已知函数f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣x2（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥﹣x2+ax+b恒成立，求实数ab的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为（，），过点M的直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|•|MB| [选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|，（x∈R）（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若存在非零实数b使不等式f（x）≥成立，求负数x的最大值．2017年宁夏中卫市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知m，n∈R，集合A={2，log7m}，B={m，2n}，若A∩B={1}，则m+n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】交集及其运算．【分析】根据元素和集合的关系可知1∈A且1∈B，即可求出m，n的值，问题得以解决．【解答】解：A={2，log7m}，B={m，2n}，A∩B={1}，∴1∈A且1∈B，∴log7m=1，2n=1∴m=7，n=0，∴m+n=7．故选：C2．命题“∀x＞0，lnx≤x﹣1”的否定是（）A．∃x0＞0，lnx0≤x0﹣1 B．∃x0＞0，lnx0＞x0﹣1C．∃x0＜0，lnx0＜x0﹣1 D．∃x0＞0，lnx0≥x0﹣1【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，lnx≤x﹣1”的否定是∃x0＞0，lnx0＞x0﹣1，故选：B．3．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z1=1﹣2i，其中i是虚数单位，则的虚部为（）A．﹣B．C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1﹣2i，∴z2=﹣1﹣2i．则==﹣=﹣=﹣i．其虚部为﹣．故选：A．4．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且函数f（x）=x2+2x﹣ξ+1不存在零点的概率为0.08，则随机变量P（0＜ξ＜2）=（）A．0.08 B．0.42 C．0.84 D．0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】函数f（x）=x2+2x﹣ξ+1不存在零点的概率为0.08，可得P（ξ＜0）=0.08，根据随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），可得曲线关于直线x=2对称，从而可得结论．【解答】解：∵f（x）=x2+2x﹣ξ+1不存在零点，∴△=4﹣4（﹣ξ+1）＜0，∴ξ＜0，∵f（x）=x2+2x﹣ξ+1不存在零点的概率为0.08，∴P（ξ＜0）=0.08，∵随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），∴曲线关于直线x=2对称∴P（0＜ξ＜2）=0.5﹣0.08=0.42故选：B．5．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（）A．B．C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，底面是正方形，根据三视图数据计算出最长棱即可．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，∴几何体的最长棱为PC==．故选：D6．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得a1和d的方程，解方程可得．【解答】解：由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得[20+（a1+3d）+（a1+4d）]×=a1+（a1+d），解得a1=，故选：C．7．已知定义在R上的函数f（x）=2|x|，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数、指数函数的性质、运算法则求解．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x|，∴a=f（log0.53）==3，b=f（log25）==5，c=f（0）=20=1，∴a，b，c的大小关系为c＜a＜b．故选：B．8．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的方程为（）A．y2=4x B．y2=8x C．y2=3x D．y2=6x【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用配方法求得|x1﹣x2|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p，即可得出结论．【解答】解：由题意可知过焦点的直线方程为y=，联立抛物线方程整理可得3x2﹣5px+p2=0，∴x1+x2=p，x1x2=，∴|x1﹣x2|==p，又|AB|==8求得p=3，∴抛物线的方程为y2=6x．故选D．9．如图所示的程序框图描述的为辗转相除法，若输入m=5280，n=1595，则输出的m=（）A．2 B．55 C．110 D．495【考点】程序框图．【分析】程序的运行功能是求m=5280，n=1595的最大公约数，根据辗转相除法可得m的值．【解答】解：由程序框图知：程序的运行功能是求m=5280，n=1595的最大公约数，∵5280=3×1595+495；1595=3×495+110；495=4×110+55；110=2×55+0；∴此时m=55；∴输出m的值为55．故选：B．10．已知x，y满足，且z=2x﹣y的最大值是最小值的﹣2倍，则a=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到z的最值，再由z=2x+y的最大值是最小值的2倍列式求得a值．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，得B（a，2﹣a），联立，得A（1，1），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知z max=2×1﹣1=1，z min=2a﹣2+a=3a﹣2，由=﹣2，解得：a=．故选：A．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若=2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．【解答】解：如图因为，所以A为线段FB的中点，∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒．∴=4⇒e=2．故选：C．12．若实数a满足x+lgx=2，实数b满足x+10x=2，函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=x解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据y=lgx与y=10x的对称关系得a+b=2，做出y=f（x）和y=x的函数图象，根据图象判断方程解的个数．【解答】解：由题意可得：2﹣a=lga，2﹣b=10b，做出y=lgx，y=2﹣x，y=10x的函数图象如图所示：∵y=lgx与y=10x互为反函数，∴y=lgx与y=10x的函数图象关于直线y=x对称，又直线y=2﹣x与直线y=x垂直，交点坐标为（1，1），∴a+b=2，∴f（x）=，做出y=f（x）与y=x的函数图象如图所示：由图象可知f（x）的图象与直线y=x有两个交点，∴f（x）=x有两个解．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a=sinxdx则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为﹣80．【考点】二项式定理；定积分．【分析】利用积分求出a的值，然后求解二项展开式所求项的系数．【解答】解：a=sinxdx=﹣cosx=﹣（cosπ﹣cos0）=2．二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为：，故答案为：﹣80．14．若数列{a n}满足：只要a p=a q（p，q∈N*），必有a p+1=a q+1，那么就称数列{a n}具有相纸P，已知数列{a n}具有性质P，且a1=1，a2=2，a3=3，a5=2，a6+a7+a8=21，则a2017=15．【考点】数列递推式．【分析】根据题意，由于数列{a n}具有性质P以及a2=a5=2，分析可得a3=a6=3，a4=a7，a5=a8=3，结合题意可以将a6+a7+a8=21变形为a3+a4+a5=21，计算可得a4的值，进而分析可得a3=a6=a9=...a3n=3，a4=a7=a6= (3)+1=15，a5=a8= (3)+2=3，（n≥1）；分析可得a2017的值．【解答】解：根据题意，数列{a n}具有性质P，且a2=a5=2，则有a3=a6=3，a4=a7，a5=a8=3，若a6+a7+a8=21，可得a3+a4+a5=21，则a4=21﹣3﹣3=15，进而分析可得：a3=a6=a9=…a3n=3，a4=a7=a6=…a3n+1=15，a5=a8=…a3n+2=3，（n≥1）则a2017=a3×672+1=15，故答案为：15．15．已知矩形A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为13π．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．【解答】解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，正六棱柱的体积V==≤=，当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，∴外接球的表面积为=13π．故答案为：13π．16．在△ABC，B=，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，ED=，则角A=．【考点】三角形中的几何计算．【分析】先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得：，结合∠BDC=2∠A，即可得结论．【解答】解：∵ED=，∴AD=DC=．在△BCD中，由正弦定理可得：．∵∠BDC=2∠A，∴，∴cosA=，∴A=．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．已知函数，x∈R，将函数f（x）向左平移个单位后得函数g（x），设△ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．（Ⅰ）若，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；（Ⅱ）若g（B）=0且，，求的取值范围．【考点】解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）为，由f（C）=0求得，，由余弦定理知：，因sinB=3sinA，可得b=3a，由此求得a、b的值．（Ⅱ）由题意可得，由g（B）=0求得，故，化简等于sin（），根据的范围求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）=．…，所以．因为，所以所以．…由余弦定理知：，因sinB=3sinA，所以由正弦定理知：b=3a．…解得：a=1，b=3…（Ⅱ）由题意可得，所以，所以．因为，所以，即又，，于是…∵，得…∴，即．…18．某超市从2017年1月甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为S12与S22，试比较S12与S22的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图的性质即可得出．（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．求出P（A），P（B），P（C）．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，利用二项分布列的性质求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】解：（Ⅰ）由各小矩形面积和为1，得（0.010+a+0.020+0.025+0.030）×10=1，解得a=0.015，由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在20﹣30箱，故s12＞s22．（II）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．∴P（C）=P（）P（B）+P（A）P（）=0.42．（III）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，X～B（3，0.3）P（X=k）=，∴P（X=0）=0.343，P（X=1）=0.441，P（X=2）=0.189，P（X=3）=0.027，∴X的分布列为：19．如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2，现将梯形沿CB，DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N分别为AF，BD的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCF；（Ⅱ）若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连结AC，通过证明MN∥CF，利用直线与平面平行的判定定理证明MN∥平面BCF．（II）先由线面垂直的判定定理可证得AD⊥平面ABFE，可知∠DEA就是DE与平面ABFE所成的角，解Rt△DAE，可得AD及DE的长，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面CDFE的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】证明：（Ⅰ）连AC，∵四边形ABCD是矩形，N为BD中点，∴N为AC中点．在△ACF中，M为AF中点，故MN∥CF．∵CF⊂平面BCF，MN⊄平面BCF，∴MN∥平面BCF．（Ⅱ）依题意知DA⊥AB，DA⊥AE且AB∩AE=A∴AD⊥平面ABFE，∴DE在面ABFE上的射影是AE．∴∠DEA就是DE与平面ABFE所成的角．故在Rt△DAE中：∴．设P∈EF且AP⊥EF，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则∴设分别是平面ADE与平面CDFE的法向量令，即取则∴平面ADE与平面CDFE所成锐二面角的大小为．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0），其短轴为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设椭圆E的右焦点为F，过点G（2，0）作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质2b=2，离心率e===，求得a，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k1+k2的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2b=2，b=1，椭圆的离心率e===，则a=，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设直线MN的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）．，消去y整理得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，k1+k2=+=+=k[2﹣]=k[2﹣]=0∴k1+k2=0为定值．21．已知函数f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣x2（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥﹣x2+ax+b恒成立，求实数ab的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过a=1，0＜a＜1，a＞1的讨论，从而求出函数的单调区间；（2）由题意可得alnx﹣x+b≤0恒成立，令g（x）=alnx﹣x+b，求出导数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论．【解答】解：（1）f′（x）=﹣+a+1﹣x=﹣，（a＞0，x＞0），①a=1时，f′（x）=﹣≤0，∴f（x）在（0，+∞）递减；②0＜a＜1时，由f′（x）＞0，解得：a＜x＜1，∴f（x）在（a，1）递增，在（0，a），（1，+∞）递减；③a＞1时，同理f（x）在（1，a）递增，在（0，1），（a，+∞）递减；（2）∵f（x）≥﹣x2+ax+b恒成立，∴alnx﹣x+b≤0恒成立，令g（x）=alnx﹣x+b，则g′（x）=，∴g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减．∴g（x）max=g（a）=alna﹣a+b≤0，∴b≤a﹣alna，∴ab≤a2﹣a2lna，令h（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则h′（x）=x（1﹣2lnx）∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（）=e﹣eln=，∴ab≤．即ab的最大值为．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为（，），过点M的直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|•|MB|【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的参数方程先求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．（Ⅱ）先求出直线l的参数方程，与曲线C的直角坐标方程联立，得t2+2（cosθ﹣sinθ）t﹣2=0，利用参数的几何意义能求出|MA|•|MB|．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（θ为参数），∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=0，即曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．…5分（Ⅱ）设直线l的参数方程是（α为参数）①曲线C的直角坐标方程是x2+y2﹣4y=0，②①②联立，得t2+2（cosθ﹣sinθ）t﹣2=0，∴t1t2=﹣2，∴|MA|•|MB|=2…10分[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|，（x∈R）（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若存在非零实数b使不等式f（x）≥成立，求负数x的最大值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）分类讨论求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出的最小值，问题转化为f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3，分类讨论，求出负数x的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≤4，即|x﹣1|+|x+1|≤4，x≥1时，x﹣1+x+1≤4，解得：1≤x≤2，﹣1＜x＜1时，1﹣x+x+1=2＜4成立，x≤﹣1时，1﹣x﹣x﹣1=﹣2x≤4，解得：x≥﹣2，综上，不等式的解集是[﹣2，2]；（Ⅱ）由≥=3，若存在非零实数b使不等式f（x）≥成立，即f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3，x≤﹣1时，﹣2x≥3，∴x≤﹣1.5，∴x≤﹣1.5；﹣1＜x≤1时，2≥3不成立；x＞1时，2x≥3，∴x≥1.5，∴x≥1.5．综上所述x≤﹣1.5或x≥1.5，故负数x的最大值是﹣1.5．。

2017年宁夏大学附中高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∪B中的元素个数为（）A.6B.5C.4D.3【答案】C【解析】解：∵集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}，∴B={0，2，4}；∴A∪B={0，1，2，4}；∴A∪B中的元素个数为4．故选：C．根据集合的定义与运算法则，进行计算即可．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．2.如果复数的实部与虚部相等，则b的值为（）A.1B.-6C.3D.-9【答案】D【解析】解：=，∵复数的实部与虚部相等，∴，解得b=-9．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简复数，再结合已知条件列出方程，求解即可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.若定义域为R的函数f（x）不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是（）A.∀x∈R，f（-x）≠-f（x）B.∀x∈R，f（-x）=f（x）C.∃x0∈R，f（-x0）=f（x0）D.∃x0∈R，f（-x0）≠-f（x0）【答案】D【解析】解：∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，∴∀x∈R，f（-x）=-f（x），∵定义域为R的函数f（x）不是奇函数，故选D．利用奇函数的定义，结合命题的否定，即可得到结论．本题考查函数的奇偶性，考查命题的否定，属于基础题．4.《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（）A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】解：设第一天织a1尺，从第二天起每天比第一天多织d尺，由已知得，解得a1=1，d=1，∴第十日所织尺数为a10=a1+9d=1+9×1=10．故选：C．由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十日所织尺数．本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．5.公元263年左右，我国数学家刘徽创立了“割圆术”，并利用“割圆术”得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为（参考数据：，sin15°≈0.2500，sin7.5°≈0.2588）（）A.48B.36C.24D.12【答案】C【解析】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：C．列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．6.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B．由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．7.已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x，若将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位所得的图象关于原点对称，则φ的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意可得函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），，即（k∈N），所以φ的最小值为，故选：C．由条件利用两角和的正弦公式可得f（x）=sin（2x+），再根据y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论本题主要考查两角和的正弦公式，y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.函数y=的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由函数有意义得2x-2≠0，即x≠1，排除B，C；当x＜0时，y=＜，排除D；故选A．根据函数的定义域与函数值的符号进行判断．本题考查了函数图象的判断，一般从定义域、值域、特殊点、单调性等方面进行判断，属于基础题．9.已知直线x+y-a=0与圆x2+y2=2交于A、B两点，O点坐标原点，向量，满足条件，则实数a的值为（）A. B. C.±1 D.【答案】D【解析】解：由题意，，两条平方，可得-12=12，即=0．∴∠AOB=90°，直线x+y-a=0的斜率k=-1，直线必过（，0）或（，0）．当x=，y=0时，a=．当x=，y=0时，a=-．故选D．根据条件，两条平方后，可得-12=12，即=0．那么∠AOB=90°，直线x+y-a=0的斜率k=-1，直线过（，0）或（，0）．即可得实数a的值．本题主要考查直线和圆的位置关系的判断．向量的运用．属于基础题10.某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和BA. B. C. D.【答案】A【解析】解：方法一：“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类．第一类：A最后一个出场，从除了B之外的3人选1人安排第一个，其它的任意排，故有A31A33=18种，第二类：A不是最后一个出场，从除了A，B之外的3人选2人安排在，第一个或最后一个，其余3人任意排，故有A32A33=36种，故学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场的种数18+36=54种，“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的”的出场顺序为：分为两类第一类：学生C第一个出场，A最后一个出场，故有A33=6种，第二类：学生C第一个出场，A不是最后一个出场，从除了A，B之外的2人选1人安排在最后一个，其余3人任意排，故有A21A33=12种，故在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的种数6+12=18种，故学生C第一个出场的概率为=，方法二：先排B，有A31（非第一与最后），再排A有A31（非第一）种方法，其余三个自由排，共有A31A31A33=54这是总结果；学生C第一个出场，先排B，有A31（非第一与最后），再排A有A31，C第一个出场，剩余2人自由排，故有A31A31A22=18种，故学生C第一个出场的概率为=，故选：A．方法一：由题意，“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类，求取种数，再满足其前提下，学生C第一个出场顺序也为两类，再根据概率公式计算即可，方法二：直接根据分步计数原理，可得，再根据概率公式计算即可．本题考查了分类计数原理和古典概率的问题，关键是分类求出相应条件的顺序，属于中档题．11.已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=-1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若，则|AB|=（）A. B.35 C.28 D.40【答案】C【解析】解：由抛物线C：y2=16x，可得F（4，0），设A（-1，a），B（m，n），且n2=16m，∵，∴-1-4=5（m-4），∴m=3，∴n=±4，∵a=5n，∴a=±20，∴|AB|==28．故选：C．设A（-1，a），B（m，n），且n2=16m，利用向量共线的坐标表示，由，确定A，B的坐标，即可求得|AB|．本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．12.定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，则使x2f（x）-f（1）＜x2-1成立的实数x的取值范围为（）A.{x|x≠±1} B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.（-1，1）D.（-1，0）∪（0，1）【答案】B【解析】解：当x＞0时，由2f（x）+xf′（x）-2＜0可知：两边同乘以x得：2xf（x）+x2f′（x）-2x＜0设：g（x）=x2f（x）-x2则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）-2x＜0，恒成立：∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由x2f（x）-f（1）＜x2-1∴x2f（x）-x2＜f（1）-1即g（x）＜g（1）即x＞1；当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜-1综上可知：实数x的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞），故选：B根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出x＜0的取值范围．主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，难度中档．二、解答题(本大题共1小题，共5.0分)13.已知二项式展开式所有项的系数和为-1，则展开式中x的系数为______ ．【答案】-80【解析】解：在的展开式中，令x=1，可得所有项的系数之和为（1+a）5=-1，∴a=-2，∴展开式的通项为T r+1=（-2）r C5r x10-3r，令10-3r=1，∴展开式中x的系数为（-2）3C53=-80，故答案为：-80根据所有项的系数之和为（1+a）5=-1，求得a=-2，可得展开式中x的系数本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题．三、填空题(本大题共2小题，共10.0分)14.已知变量x，y满足，则的最小值为______ ．【答案】【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，3），而求的最小值即为求的最大值，的几何意义表示平面区域内的点与B（0，-1）的直线的斜率，而K AB==4，故的最小值是：，故答案为：．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合的几何意义求出最小值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15.已知数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，且对任意的n∈N*，均有a n，S n，成等差数列，则a n= ______ ．【答案】n【解析】解：∵各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列，∴2S n=a n+a n2，2S n-1=a n-1+a n-12，两式相减，得2a n=a n+a n2-a n-1-a n-12，∴a n+a n-1=（a n+a n-1）（a n-a n-1），又a n，a n-1为正数，∴a n-a n-1=1，n≥2，∴{a n}是公差为1的等差数列，当n=1时，2S1=a1+a12，得a1=1，或a1=0（舍），∴a n=n．故答案为：n．由已知条件推导出2a n=a n+a n2-a n-1-a n-12，从而得到{a n}是公差为1的等差数列，由此能本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，属于中档题．四、解答题(本大题共1小题，共5.0分)16.已知四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD 垂直于平面ABCD，在△PAD中，PA=PD=2，∠APD=120°，AB=4，则球O的表面积等于______ ．【答案】32π【解析】解：令△PAD所在圆的圆心为O1，则因为PA=PD=2，∠APD=120°，所以AD=2，所以圆O1的半径r==2，因为平面PAD⊥底面ABCD，所以OO1=AB=2，所以球O的半径R=2，所以球O的表面积=4πR2=32π．故答案为32π．求出△PAD所在圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径R，即可求出球O的表面积．本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，求出球O的半径是关键，比较基础．五、填空题(本大题共1小题，共12.0分)17.在△ABC中，角A，B，C的对边长分别是a，b，c，且满足（2b-c）cos A-acos C=0 （1）求角A的大小（2）若a=，△ABC的面积S△ABC=，试判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】（本小题满分12分）解：（1）∵由（2b-c）cos A-acos C=0，得：2sin B cos A=sin A cos C+sin C cos A，∴得：2sin B cos A=sin（A+C），即：2sin B cos A=sin B，…（4分）∵0＜B＜π，∴sin B≠0，∴cos A=，因为0＜A＜π，∴解得：A=．…（6分）（2）△ABC的性状为等边三角形，理由如下：∴利用三角形面积公式可得：=×bc×，可得：bc=3①∴由余弦定理可得：3=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-9，可得：b+c=2，②∴利用①②联立，可解得：c=b=a=．∴三角形为等边三角形．…（12分）【解析】（1）由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知可得2sin B cos A=sin B，由sin B≠0，可得cos A=，结合A的范围，即可解得A的值．（2）由三角形面积公式可求bc=3，利用余弦定理可求b+c=2，联立即可解得a=b=c=，即可判断得解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．六、解答题(本大题共6小题，共70.0分)18.某班级举办知识竞赛活动，现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对1道，则获得二等奖．某同学进入决赛，每道题答对的概率p的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．（1）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；（2）设该同学答题个数为X，求X的分布列及X的数学期望．【答案】解：（1）由频率分布表的性质得：d==50，a==0.44，b=50-8-22-14=6，c==0.12．…（4分）（2）由（1）得p=0.4…（5分）（1）…（7分）（2）该同学答题个数为2，3，4，即X=2，3，4，，，∴X的分布列为：×0.192+4×0.648=3.488…（12分）【解析】（1）由频率分布表的性质和频率=频数能求出结果．总数（2）（1）先求出p=0.4，由此能求出该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率．（2）该同学答题个数为2，3，4，即X=2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．19.如图，四棱锥E-ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（1）求证：BD⊥平面ADE；（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值．【答案】解：（1）∵EA=ED=2，EA⊥ED，∴AD=2．∵BC=CD=2，BC⊥CD，∴BD=2又AB=4，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面ADE．（2）取AD的中点F，连接EF，则EF⊥平面ABCD，EF=．过D点作直线O z∥EF，则O z⊥平面ABCD．以D为坐标原点，以DA，DB，D z为坐标轴建立空间直角坐标系D-xyz，∴D（0，0，0），C（-，，0），B（0，2，0），E（，0，），∴=（，-2，），=（，0，），=（-，，0）．设平面CDE的一个法向量为=（x，y，z），则，∴，设x=1得=（1，1，-1）．∴cos＜，＞===-．∴直线BE和平面CDE所成角的正弦值为．（1）由勾股定理得出AD=BD=2，故而AD⊥BD，由面面垂直的性质得出BD⊥平面ADE；（2）以D为原点建立坐标系，求出和平面CDE的法向量，则直线BE和平面CDE 所成角的正弦值为|cos＜，＞|．本题考查了线面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．20.已知椭圆＞＞的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．【答案】解：（1）直线AB方程为bx-ay-ab=0，依题意可得：，解得：a2=3，b=1，∴椭圆的方程为．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∴△=（12k）2-36（1+3k2）＞0…①，设C（x1，y1），D（x2，y2），则②而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③将②代入③整理得k=，经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．【解析】（1）直线AB方程为bx-ay-ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21.已知函数f（x）=ax2-（2a+1）x+2lnx（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2-2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g （x2），求a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵函数，∴′（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．（Ⅱ）′（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax-1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当＜＜时，＞，在区间（0，2）和，∞上，f'（x）＞0；在区间，上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，∞，单调递减区间是，③当时，′，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当＞时，＜＜，在区间，和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间，上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是，和（2，+∞），单调递减区间是，．（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a-2（2a+1）+2ln2=-2a-2+2ln2，所以，-2a-2+2ln2＜0，解得a＞ln2-1，故＜．②当＞时，f（x）在，上单调递增，在，上单调递减，故．由＞可知＞＞，2lna＞-2，-2lna＜2，所以，-2-2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2-1．【解析】（Ⅰ）由函数，知′（x ＞0）．由曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，能求出a的值．（Ⅱ）′（x＞0）．根据a的取值范围进行分类讨论能求出f（x）的单调区间．（Ⅲ）对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），等价于在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由此能求出a的取值范围．本题考查导数在求函数的最大值与最小值问题中的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．易错点是分类不清导致致出错，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．22.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）已知点M是曲线C1上任意一点，点N是曲线C2上任意一点，求|MN|的取值范围．【答案】解：（1）由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，∴（x-1）2+y2=1，（2）设点M（4cosφ，3sinφ），则|MC2|-1≤|MN|≤|MC2|+1，|MC2|2=（4cosφ-1）2+9sin2φ=7cos2φ-8cosφ+10，当cosφ=-1时，得|MC2|2max=25，|MC2|max=5，当cosφ=时，得|MC2|2min=，|MC2|min=，∴|MC2|-1≤|MN|≤|MC2|+1≤5+1，∴|MN|的取值范围[，6]．【解析】（1）直接根据极坐标和直角坐标互化公式求解即可；（2）利用已知，得到|MC2|-1≤|MN|≤|MC2|+1，然后，得到|MC2|2=（4cosφ-1）2+9sin2φ=7cos2φ-8cosφ+10，借助于三角函数的取值情况进行求解即可．本题重点考查极坐标和直角坐标的互化公式、距离问题处理思路和方法等知识，属于中档题．23.已知函数f（x）=m-|x-3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m值；（2）若关于x的不等式|x-a|≥f（x）在R上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）∵f（x）=m-|x-3|，∴不等式f（x）＞2，即m-|x-3|＞2，∴5-m＜x＜m+1，而不等式f（x）＞2的解集为（2，4），∴5-m=2且m+1=4，解得：m=3；（2）关于x的不等式|x-a|≥f（x）恒成立⇔关于x的不等式|x-a|≥3-|x-3|恒成立⇔|x-a|+|x-3|≥3恒成立⇔|a-3|≥3恒成立，由a-3≥3或a-3≤-3，解得：a≥6或a≤0．【解析】（1）问题转化为5-m＜x＜m+1，从而得到5-m=2且m+1=4，基础即可；（2）问题转化为|x-a|+|x-3|≥3恒成立，根据绝对值的意义解出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题．。