(完整版)二次根式化简练习题含答案,推荐文档

完整版)最简二次根式练习含答案最简二次根式基础练一、填空题：1.把下列二次根式化成最简二次根式。

1) $\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}=2\sqrt{30}$；2) $\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}$；3)$\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}}=\frac{1 }{2}\sqrt{2}$；4)$\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；5) $\sqrt{84}=\sqrt{4\times21}=2\sqrt{21}$；6) $\sqrt{250}=\sqrt{25\times10}=5\sqrt{10}$；7) $\sqrt{\frac{24}{8}}=\sqrt{3}$；8) $\sqrt{\frac{8}{32}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$。

2.若$\sqrt{3}\approx1.732$，则$\sqrt{227}\approx15.0$（保留三个有效数字）。

3.设$x<0$，则$\sqrt{-8x}=2i\sqrt{2}\sqrt{-x}$。

4.下列二次根式$45a$，$30$，$\frac{1}{2}$，$40b^2$，$\sqrt{54}$中是最简二次根式有$30$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$。

二、选择题1.在二次根式$\sqrt{72}$，$5a\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，$9\sqrt{x^2}$中，最简二次根式的个数是（C）3个。

2.下列各式中是最简二次根式的是（A）$\sqrt{5}$。

3.下列各式中，不是最简二次根式的是（A）$\sqrt{6}$。

4.下列计算中正确的是（A）$\frac{1}{2}$。

二次根式化简练习题1. 化简下列二次根式：(1) $\sqrt{16}$(2) $\sqrt{49}$(3) $\sqrt{144}$(4) $\sqrt{25}$(5) $\sqrt{81}$2. 化简下列二次根式：(1) $\sqrt{48}$(2) $\sqrt{98}$(3) $\sqrt{75}$(4) $\sqrt{128}$(5) $\sqrt{162}$3. 化简下列二次根式：(1) $\sqrt{27}$(2) $\sqrt{64}$(3) $\sqrt{32}$(4) $\sqrt{50}$(5) $\sqrt{125}$4. 化简下列二次根式：(1) $\sqrt{12}$(2) $\sqrt{18}$(3) $\sqrt{42}$(4) $\sqrt{98}$(5) $\sqrt{128}$5. 化简下列二次根式：(1) $\sqrt{36}$(2) $\sqrt{64}$(3) $\sqrt{108}$(4) $\sqrt{144}$(5) $\sqrt{192}$6. 化简下列二次根式：(1) $\sqrt{50}$(2) $\sqrt{98}$(3) $\sqrt{128}$(4) $\sqrt{72}$(5) $\sqrt{162}$7. 化简下列二次根式：(1) $\sqrt{24}$(2) $\sqrt{50}$(3) $\sqrt{75}$(4) $\sqrt{98}$(5) $\sqrt{144}$8. 化简下列二次根式：(1) $\sqrt{27}$(2) $\sqrt{64}$(3) $\sqrt{98}$(4) $\sqrt{128}$(5) $\sqrt{175}$9. 化简下列二次根式：(1) $\sqrt{12}$(2) $\sqrt{50}$(3) $\sqrt{75}$(4) $\sqrt{100}$(5) $\sqrt{196}$10. 化简下列二次根式：(1) $\sqrt{32}$(2) $\sqrt{98}$(3) $\sqrt{144}$(4) $\sqrt{200}$(5) $\sqrt{250}$答案：1.(1) $\sqrt{16}=4$(2) $\sqrt{49}=7$(3) $\sqrt{144}=12$(4) $\sqrt{25}=5$(5) $\sqrt{81}=9$2.(1) $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$(2) $\sqrt{98}=7\sqrt{2}$(3) $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$(4) $\sqrt{128}=8\sqrt{2}$(5) $\sqrt{162}=9\sqrt{2}$ 3.(2) $\sqrt{64}=8$(3) $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$(4) $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$(5) $\sqrt{125}=5\sqrt{5}$ 4.(1) $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$(2) $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$(3) $\sqrt{42}=3\sqrt{7}$(4) $\sqrt{98}=7\sqrt{2}$(5) $\sqrt{128}=8\sqrt{2}$ 5.(1) $\sqrt{36}=6$(2) $\sqrt{64}=8$(3) $\sqrt{108}=6\sqrt{3}$(4) $\sqrt{144}=12$(5) $\sqrt{192}=8\sqrt{3}$6.(1) $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$(3) $\sqrt{128}=8\sqrt{2}$(4) $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$(5) $\sqrt{162}=9\sqrt{2}$ 7.(1) $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$(2) $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$(3) $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$(4) $\sqrt{98}=7\sqrt{2}$(5) $\sqrt{144}=12$8.(1) $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$(2) $\sqrt{64}=8$(3) $\sqrt{98}=7\sqrt{2}$(4) $\sqrt{128}=8\sqrt{2}$(5) $\sqrt{175}=5\sqrt{7}$ 9.(1) $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$(2) $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$(4) $\sqrt{100}=10$(5) $\sqrt{196}=14$10.(1) $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$(2) $\sqrt{98}=7\sqrt{2}$(3) $\sqrt{144}=12$(4) $\sqrt{200}=10\sqrt{2}$(5) $\sqrt{250}=5\sqrt{10}$希望通过以上练习题，你对二次根式的化简有了更深入的理解。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《2.7二次根式》解答专项练习题（附答案）1．计算：（1）9﹣7+5；（2）÷﹣×+．2．计算题：（1）（4﹣6+3）÷2；（2）（﹣1）2+（2+）（2﹣）．3．定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．问题解决：（1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝；（2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值．4．已知y＝++，求的值．5．学习二次根式后，小王认为：当x＝m时，3﹣有最大值，且最大值为n，你知道m，n的值分别为多少吗？6．实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a﹣|+|2﹣a|．（1）求b的值；（2）已知b+2的小数部分是m，8﹣b的小数部分是n，求2m+2n+1的平方根．7．已知．求﹣x﹣3y的立方根．8．已知|2022﹣a|+＝a，求a﹣20222的值．9．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简．10．把下列二次根式化简最简二次根式：（1）；（2）；（3）；（4）．11．先阅读下列解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，那么便有：（a＞b）．例如：化简：解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以．问题：（1）填空：＝，＝；（2）化简：（请写出计算过程）；（3）化简：．12．先化简，再求值：（+）﹣（+），其中x＝，y＝27．13．已知一个三角形的三边长分别为、6、2x．（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．14．阅读下列解题过程：＝＝＝﹣＝﹣2；＝＝＝2+2；请解答下列问题：（1）观察上面解题过程，计算；（2）请直接写出的结果．（n≥1）（3）利用上面的解法，请化简：+++…++．15．已知最简二次根式和可以合并，你能求出使有意义的x的取值范围吗？16．若a，b都是正整数，且a＜b，与是可以合并的二次根式，是否存在a，b，使+＝？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由．17．计算：．18．（1）计算：．（2）因式分解：5x2﹣5y2．19．已知a＝．（1）求a2﹣4a+4的值；（2）化简并求值：．20．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h（单位km），观测者能看到的最远距离为d（单位km），则d≈，其中R是地球半径，通常取6400km．（1）小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值．（2）判断下面说法是否正确，并说明理由；泰山海拔约为1500m，泰山到海边的最小距离约230km，天气晴朗时站在泰山之巅可以看到大海．21．在解决问题“已知a＝，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：∵a＝＝＝+1，∴a﹣1＝，∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：．（2）若a＝，求2a2﹣12a+1的值．参考答案1．解：（1）原式＝9﹣14+20＝15；（2）原式＝﹣+2＝4﹣+2＝4+．2．解：（1）原式＝4÷2﹣6÷2+3÷2＝2﹣1+3＝4；（2）原式＝﹣+1+4﹣3＝﹣．3．解：（1）∵a与2是关于6的共轭二次根式，∴2a＝6，∴a＝＝，故答案为：；（2）∵4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，∴（4+）（8﹣m）＝26，∴8﹣m＝＝＝8﹣2，∴m＝2．4．解：∵x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x＝2，∴y＝，∴＝＝＝．5．解：＝0时，即m＝x＝1时，3﹣有最大值，n最大＝3，m＝1．6．解：（1）由图可知：2＜a＜3，∴a﹣＜0，2﹣a＜0，∴b＝|a﹣|+|2﹣a|＝＝；（2）∵b+2＝，，∴b+2的小数部分是﹣3，∴m＝﹣3，∵8﹣b＝8﹣（﹣3，）＝11﹣，7＜11﹣＜8，∴11﹣的小数部分是11﹣﹣7＝4﹣，∴n＝4﹣，∴2m+2n+1＝2﹣6+8﹣2+1＝3，∴2m+2n+1的平方根为±．7．解：∵，∴，解得x＝3，∴y＝8，∴﹣x﹣3y＝﹣3﹣24＝﹣27，∴﹣x﹣3y的立方根﹣3．8．解：∵a﹣2023≥0，∴a≥2023，∴2022﹣a＜0，∴a﹣2022+＝a，∴＝2022，∴a﹣2023＝20222，∴a﹣20222＝2023．9．解：由数轴可知，﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，则a+1＜0，b﹣1＞0，所以＝﹣a+[﹣（a+1）]﹣（b﹣1）＝﹣a﹣a﹣1﹣b+1＝﹣2a﹣b．10．解：（1）＝＝4；（2）＝＝2；（3）＝＝＝；（4）＝＝．11．解：（1）原式＝＝＝；原式＝＝＝；故答案为：；；（2）原式＝＝＝；（3）原式＝++++＝1++2﹣+﹣2+＝﹣1．12．解：原式＝6x×+×y﹣4y×﹣6＝6+3﹣4﹣6＝﹣，当x＝，y＝27时，原式＝﹣＝﹣＝﹣3．13．解：（1）周长＝+6+2x＝2+3+2＝7．（2）当x＝4时，周长＝7×＝14．（答案不唯一）．14．解：（1）原式＝＝+；（2）归纳总结得：＝﹣（n≥1）；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9．15．解：根据题意得：，解得：，∴＝，∵2x﹣4≥0，∴x≥2．16．解：存在，理由：∵与是可以合并的二次根式，+＝，∴+＝＝5，∴当a＝3，则b＝48，当a＝12，则b＝27．17．解：原式＝+﹣+2＝3﹣．18．解：（1）原式＝2+3﹣﹣3＝；（2）原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y）．19．解：（1）a＝＝＝2﹣，a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，将a＝2﹣代入（a﹣2）2得（﹣）2＝3．（2），＝﹣＝（a﹣1）﹣，∵a＝2﹣，∴a﹣1＝1﹣＜0，∴原式＝a﹣1+＝2﹣﹣1+2+＝3．20．解：（1）由R＝6400km，h＝0.02km，得d＝＝＝16（km），答：此时d的值为16km；（2）说法是错误，理由：站在泰山之巅，人的身高忽略不计，此时，h＝1.5km，则d2＝2×1.5×6400＝19200，2302＝52900，∵19200＜52900，∴d＜230，∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海．21．解：（1）＝＝＝3+；（2）∵a＝＝＝＝3﹣2，∴a﹣3＝﹣2，∴（a﹣3）2＝8，即a2﹣6a+9＝8，∴a2﹣6a＝﹣1，∴2a2﹣12a＝﹣2，则2a2﹣12a+1＝﹣2+1＝﹣1．。

人教版八年级数学下册《二次根式化简》专项练习(附带答案）类型一、利用被开方数的非负性化简二次根式例． ）A ．1x ≥B ．1x ≥-C ．1x ≥或1x ≤-D ．1x ≠±【变式训练1】已知m n 为实数 且3n -= =________．【详解】依题意可得m -2≥0且2-m ≥0 ∴m =2 ∴n -3=0∴n =3【变式训练2】已知a b c 是ABC 的三边长 ||0b c -=ABC 的形状是_______．【详解】解：2220a b c b c 2220a b c 0b c222a b c ∴=+ 且b c =∴ABC 为等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形．【变式训练3】3x =- 则x 的取值范围是（ ）A ．3x >B ．3x ≥C ．3x <D ．3x ≤【变式训练4】已知a 、b 、c 为一个等腰三角形的三条边长 并且a 、b 满足7b = 求此等腰三角形周长．【答案】17 【详解】解：由题意得：3030a a -≥⎧⎨-≥⎩ 解得：a =3 则b =7 若c =a =3时 3+3＜7 不能构成三角形．若c =b =7 此时周长为17．类型二、利用数轴化简二次根式例．实数a b c ，，在数轴上的对应点如图所示 化简a b a -+-的结果是是（ ）A ．b c --B ．c b -C ．222b c -+D ．2b c ++ 【答案】A【详解】解：由数轴知：00c b a ＜，＜＜∴0b a -＜∴原式＝a b a c ----（）＝a b a c --+-＝b c --．故选：A ．【变式训练1】已知实数m n 、在数轴上的对应点如图所示 ||m n +＝_____【变式训练2】实数a b 在数轴上对应点的位置如图所示 化简||a 的结果是（ ）A ．2a b -+B ．2a b -C ．b -D ．b 【答案】A【解析】根据数轴上点的位置得：a ＜0＜b ∴a -b ＜0则原式=|a |+|a -b |=-a +b -a = -2a +b ．故选：A ．【变式训练3】已知实数a 、b 、c 表示在数轴上如图所示 a b -【变式训练4】如图 a b c 是数轴上三个点A 、B 、C 所对应的实数．a b b c ++．类型三、利用字母的取值范围化简二次根式例1．已知 化简：25m -<<5m -=__________．【答案】23m -##32m -+【详解】解：2m -<<例2.ABC 的三边长分别为1、k 、3 则化简723k -=_____． ∴ABC 的三边长分别为90-<812k +-()23k --A B C ．D ．【详解】解：20b a -≥0ab > 所以a 和b 同号22b b b a a a a a---=-【变式训练2】若35x << _______； 【答案】【变式训练3】化简：2-=_______． 【答案】0【解析】由题意可知：3-x ≥0 ∴23x -=33x x ---=33x x -+-=0故答案为：0．【变式训练4】7=-b .(1)求a 的值；(2)若a 、b 分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长 求另一条直角边的长度. ）解：25a -+2525≥≤ a ∴）解：25225a -+-a 、b 分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长∴另一条直角边的长度为：类型四、双重二次根式的化简例.阅读下列材料 然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时其实我们还可以将其进===1=以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1；（2【答案】（1（2【详解】（13133333333；（2222(53)2(53)5353(53)(53)53．【变式训练1】阅读理解“分母有理化”7==+除此之外我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数设x=故0x>由22x=33=-2=解得x==根据以上方法【答案】5-【详解】解：设x∴0x<∴266x =-+ ∴212236x =-⨯= ∴x =2532==-- ∴原式55=--【变式训练2】先阅读材料 然后回答问题．（1）小张同学在研究二次根式的化简时经过思考 小张解决这个问题的过程如下：①===④在上述化简过程中 第 步出现了错误 化简的正确结果为 ；（2）请根据你从上述材料中得到的启发 化简【变式训练3】先阅读下列解答过程 然后再解答：437+= 4312⨯= 即：227+= 所以2==+问题：（1=__________ =____________﹔（2）进一步研究发现： 只要我们找到两个正数a b （a b >）使a b m += ab n = 即22m += =__________．（3【答案】（11 （2)a b >；（3【详解】解：（11；（2)a b =>；（3． 【变式训练4】阅读材料：小明在学习二次根式后 发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方 如(231+ 善于思考的小明进行了以下探索：设()2a m +=（其中a 、b 、m 、n 均为正整数） 则有222a m n =++∴a ＝m 2+2n 2 b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把部分a 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时 若()2a m =+ 用含m 、n 的式子分别表示a 、b 得：a ＝ b ＝ ；（2）若()2a m ++ 且a 、m 、n 均为正整数 求a 的值；（3课后作业120b -= 那么这个等腰三角形的周长为（ ） A ．8B ．10C ．8或10D ．9 【答案】B【详解】解：20b -=∴40a -= 20b -= 解得4a = 2b =当腰长为2 底边为4时 ∴224+= 不满足三角形三边条件 不符合题意； 当腰长为4 底边为2时 ∴2464+=> 4402-=< 满足三角形三边条件 此时等腰三角形的周长为44210++=．故选：B2．化简二次根式- ）A BC ．D ．x x x -=--3．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示 则||a c b ++ ）A ．2b c -B ．2b a -C ．2a b --D ．2c b -4．若()230a -= 则a b +的平方根是______． 【详解】解：(5．设a b 是整数 方程20x ax b ++= 则a b +=___________．∴113060a b a ++=⎧⎨+=⎩解得67a b =-⎧⎨=⎩∴671a b +=-+=．故答案为：16．已知x 、y 为实数 4y = 则x y 的值等于______．7．已知实数a b c 、、在数轴上的位置如图所示 且a b = 化简a a b ++8．阅读：根据二次根式的性质 a b =+．根据这一性质 我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号 达到化简效果．解：设24+=（a b 为非负有理数） 则4a b +++ ∴43a b ab +=⎧⎨=⎩①② 由①得 4b a =- 代入②得：()43a a -= 解得11a = 23a =∴13b = 21b =∴224(1+=+1=请根据以上阅读理解 解决下列问题：(1)的化简结果是__________；(2)(3) 如果能化简 请写出化简后的结果 如果不能 请说明理由．9．在二次根式的计算和比较大小中有时候用“平方法”会取得很好的效果例如比较a＝b＝的大小我们可以把a和b分别平方∴a2＝12 b2＝18 则a2＜b2∴a＜b．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c＝d＝c d（填写＞＜或者＝）．(2)猜想m＝n＝并证明．(3)＝（直接写出答案）．10．（1）已知a、b为实数4b+求a、b的值．（2）已知实数a 满足2021a a -= 求22021a -的值．。

完美WORD 格式二次根式的化简1. 若-1<x<0,则 斥-Qa+h 等于2. 下列等式成立的是3. 若叮冷-n 「，则a 的取值范围是4.化简a+ 等于5.计算（匸―的值是6.当 ■ • '•时，x 的取值范围是7.当 2m+7<0 时，'7、 二 — 1化简为8. 当a>0时，化简的结果是10.计算 &2-® 十-送亍 等于、填空题A.2X+1B.1C.-1-2XD.1-2XA. |B. • =/C.b-嘤$ 衣必 7 =-1D.—A.2 < a w 3B.a > 3 或 a w 2C.a w 2D.a > 3A.2a-1B.1C.1 或-1D.2a-1 或 1A.2-4 a 或 4a-2B.0C.2-4aD.4a-2A.x w 0B.x < -3C.x 》-3D.-3 w x < 0A.-5 mB. mC.- m-2D.5 mA.xB.-xC.xD.-x9.实数a,b 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 一门'厂\…的结果为A.-bB.2a-bC.b-2aD.bA.5-2B.1C.2 -5D.2 -111.下列二次根式中 ,是同类二次根式的是A.B J 出'冉三与屮页 c 迈匚与寸D2. J"® 二3. 当 X-謝.俺 |l-V （l + ^）：得 4.若三角形的三边a?b?c 满足a 2-4a+4+ •=0,则笫三边c 的取值范围是5. 判断题⑴若•=玄则a - -定是 正数.()⑵若• =-a,则a 一定是负数.()(3)= n -3.14.()⑷•••(-5)2=52」：—— 一―1()乍、Qw ，■ -(V5 - \■ \''7 - <5.(5) ( )⑹当 a>1 时，|a-1|+ ' =2a-2.()(7)若 x=1,则 2x- ‘ " 一1 °' =2x-(x-2)=x+2=1+2=3.((10)'' ' =x+1.()⑴)=0.()(12)当 m>3 时，’ ''"-m=-3.( )6. 如果等式-=-x 成立，则x 的取值范围是7. 当 x _____ 时,W-h x' =x-1.8. 若 (兀 + 2〕=x+2,则 x __________ 9. 若 m<0,则 |m|+ '---------<A <2时,干--6A +1)10.当211. 若 x 与它的绝对值之和为零，则 二12. 当 a时，1、" -3a|=-4a.(8)若JOT)=冈工0,则x y 异号.（(9)m<1 时,13.化简14. 若a<0,则化简' 的结果为15. ______________________________________ 化简-弭©7"的结果是16. ___________ 当 a 时，2M 2.f~217. _______________________________________ 若a<-3时，则［2-JU十心I等于18.计算19.已知: 2<x<4，化简寸+丨玄-、= ______________________21.比较大小：•-7 + 2宓22. 化简：* 1亠［=.[5+1的整数部分a,小数部分为b，则a=23. 设24. 先化简再求值：当a=9时，求a+一；一丄"从的值,甲乙两人的解答如下甲的解答为：原式=a+ '•■'=a+(1-a)=1;乙的解答为：原式=a+WU「" =a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中，_______ 的解答是错误的，错误的原因是未能正确地运用二次根次的性质：_______________25.把根号外的因式移动到根号内:27. 当-1<x<0 时，化简A+V1+2A' + A = ________________ .28. 小明和小芳解答题目：”先化简下式，再求值：a+ I '，其中a=9"时，得出了不同的答案.小明的解答是：原式:=a+ ■' =a+(1- a)=1;小芳的解答是：原式=a+ =a+(a-1)=2a-1=2 x 9-1=17.(1) _______ 的解答是错误的.(2) 错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：___________三、解答题(共26题，题分合计205分)1.已知a为实数,化简1.a = -J一b2.已知^ ', 爲+ 2，求盘十占十-的值.茁'+ 2血+护3.化简求值：：'、-'汀.其中a*：；+1,b= ：•-'-1.4.玄亠定一占时，求代数式：…「一/ ■■■■ ■ 3的值.5. 计算：」一I + •+:6.<45 + + <78-^/80 4- J(&_為丄计算：-7.8.)【x _ 4先化简再求值-■- ■ ■，其中x=2+1_化简求值:(角煌川暮T，其中a=-Q)询9. 计算：宀10. 先化简后求值:x2- 2x - 3 宀9- -------- * ~；----7斗2 ； -r 一I •亠-其中x=11. 计算:12. 若」14.先化简后求值_V + J " — 1 -X一 J — 115.计算假设有一对亲兄弟，哥哥 26岁，弟弟25岁，现在哥哥乘以 0.6倍光速飞行的宇宙飞船作星际航行 .如果宇宙飞船作了五年的星际航行后回来（这五年指地球上的五年），即当弟弟13.已知,苗十应 ⑶ X+ •'(x<「)(4)--(0<x<y)16.化简⑴乂历-春2厲-計⑵尺叩(x<0)17.化简：（1）:-肚(-2<x<4)18.化简：(1)；」 几"-t 订-- ' (-1<a<2)(1<a<8)19.化简：(1) ；(0<x<1)(a<2b)-4X + 1 4-2|X -2|(-20.化简：(1)'-<x<2) + 4x + I + <4x 2 -12x + 9(^丄 -2 < x w 】)21.已知 3 - *+(a+b+6)2=0,求 a 2 2 的值.22.当，■-时，化简下式并求值：-x^jx 2 + a 223 Si .r - 5 - 2^, j - 5 + 2 H 求;- 2xy +23.24.若一—…■-，+ _「一 '■ 一八，求代数式一—'+「-超•一 ：s -点的值. 25.根据大科学家爱因斯坦的相对论原理，当地球上的时间经过1秒钟时，在作星际飞行的宇宙飞船内经过了秒.（c 为光速，r 为飞船速度）30岁时，哥哥在宇宙飞船内度过了多少先化简后求值•，把年，年龄是多大？J 片-1 + J1 - JT + —26.若x、y为实数且y< 匚，化简|2y-1|二次根式的化简答案一、选择题（共11题，合计44分)1.16817 答案： C2.16818 答案： B3.16819 答案： A4.16820 答案： D5.16821 答案： A6.16822 答案： D7.16823 答案： A8.16824 答案： B9.16825 答案： D10.16826 答案::B11.8763 答案： C二、填空题（共28题，合计112 分）1.6297 答案：2占2.8765 答案：2-Va3.8772 答案：-a-24.8773 答案：1<c<55.16804 答案：(1)X ⑵X⑶V ⑷X6.16805 答案：x W 07.16806 答案：x > 18.16807 答案：x=-29.16808 答案：-m10.16809 答案::-3X2+7X-211.1681答案:-X12.16811 答案:aw 013.16812 答案:10= fl3114.16813 答案:1—a --------a(5) V (6)V (7)X (8) V (9) X (10) X ⑴)X(12) V15.16814 答案:(5 - -5 16.16815 答案:av 017.16816 答案:-3-a18.6298 答案：V2-119.6317 答案： 420.6318 答案：-x21.6330 答案：<22.6331 答案：v，(6 +123.6400 答案：R K亦-1a - 2rb =-----224.8774 答案：甲；打汀 _ ”严25.6328 答案：J3a(b+ <026.6332 答案：—2 —27.8769 答案： 128.16835 答案：⑴小明（2），=|a|=--a （a v0）三、解答题（共26题，合计205分）1.8781 答案：(1-a厂2.6352 答案： 43.6355 答案：4.6359 答案：1 + V2-V35.6360 答案： 46.6369 答案：4>/217.6371 答案：132 +V28.6372 答案：29.6374 答案：60 + >^2完美WORD 格式10.6376 答案：少-12rz 11.6377 答案：V2 ~T12.6386 答案： 613.6399 答案： 原式盘丄-书-近-羽-A /2 = -2^/2 < 0「.原式■ ° +丄--aa=2V3-2J2也可这样运算：原式= |2^|-|-2V2|= 2^3 -厶伍5 + 2^521.16834 答案：12、、14.6401 答案： 15.16827 答案： 4(1)4-x (2)2 a-5⑶16.16828 答案： (1)1⑵-517.16829 答案： (1)2-2x(2)2x-118.16830 答案：(1)3 (2)7-a⑴：+ -V3⑵-19.16831 答案：1 -X20.16832 答案：(1)3 (2)4(4)y 2-x 2完美WORD格式22.6381答案：原式23.8782 答案：' ' 124.6333 答案：1525.6373 答案：解：根据题意得，,所以地球上的1秒钟，宇宙飞船内度过了Ji-（—）2 nTTTBT7脑"2丫U 秒，计算得5秒，所以地球上5年，相当于这个宇宙飞船内的4年.因此，弟弟30岁时，即地球上过了5年，而宇宙飞船内度过了4年，所以哥哥回来后是30岁.26.8783 答案：|2y-1|=1-2y。

二次根式的计算与化简练习题（提高篇）1、已知m是 2 的小数部分，求m21 2 的值。

m22、化简（ 1）(1 x)2 x2 8x 16 （ 2）132x 3 2xxx 250 2 2 x（ 3）4a 4b( a b) 3a3a2b(a0)3、当 x 2 3 时，求(7 4 3) x2(23)x 3 的值。

4、先化简，再求值：2a 3ab3b27a3b3 2ab3ab ，其中 a1, b 3 。

6 4 96、已知aa2 2a 1 a 1 4a2 16 4a2 8a2 1，先化简2 a a2 2a 1 a2 4a 4,再求值。

a a 27、已知： a1 ，b 1 ，求a2 b 22 2a 的值。

2 3 3 2b 9、已知0x 3 ，化简x2x26x910、已知a 2 3 ，化简求值1 2aa2 a 2 2a 1 1a 1 a2 a a11、①已知x23, y 23, 求： x2xy y2的值。

x 2②已知 x 2 1 ，求 x 1的值．x 1③ 4 y 2 6 y2 ( 7 x 5 x 2 ) ④ ( 3a 3 27a 3 ) ax 9 312、计算及化简：22⑴.11aaa a⑷.a 2ab baa ba ab ba b a b 2 ab⑵.bababaabbab13、已知： a1 1 10 ，求 a 2a12a的值。

x 3yx 291的值。

14、已知20，求x x 3 y 1二次根式提高测试一、判断题：（每小题 1 分，共 5 分）1． ( 2)2ab ＝－ 2ab． （）2．3－ 2 的倒数是3＋ 2．（） 3． (x 1)2 ＝ ( x 1) 2． （）1 a 3b 、2 a4．ab 、 3 xb是同类二次根式．（）1x 25． 8x，3 ， 9 都不是最简二次根式． （）二、填空题：（每小题 2 分，共 20 分）16．当 x__________时，式子x 3有意义．15 2 10257．化简－827 ÷ 12 a 3 ＝ _．8．a － a21的有理化因式是 ____________ ．9．当 1＜ x ＜4 时， |x － 4| ＋ x 2 2x 1＝ ________________．10．方程2（ x －1）＝ x ＋ 1 的解是 ____________．ab c 2 d 211．已知 a 、 b 、 c 为正数， d 为负数，化简abc 2d 2 ＝ ______．1112．比较大小：－ 2 7_________ －4 3．13．化简： (7－ 5 2)2000 (·－ 7－52)2001＝ ______________．14．若 x 1 ＋y3＝ 0，则 (x － 1)2＋(y ＋ 3)2＝ ____________．15． x ， y 分别为 8－ 11的整数部分和小数部分，则 2xy － y2＝ ____________．三、选择题：（每小题 3 分，共 15 分）16．已知 x33x 2＝－ x x3，则（ ）（A ）x ≤ 0（ B ） x ≤－ 3（ C ） x ≥－ 3（ D ）－ 3≤ x ≤017．若 x ＜ y ＜0，则x22xy y2 ＋ x 22xy y 2 ＝ （）（A ）2x（ B ）2y （C ）－ 2x （ D ）－ 2y( x 1 )2 4(x1 )2 418．若 0＜ x ＜1，x －x 等于 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）22（A ） x（B ）－ x（C ）－ 2x（ D ） 2xa 319．化a(a ＜ 0)得 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）（A ）a（ B ）－a（ C ）－a（ D ）a20．当 a ＜0， b ＜ 0 ，－ a ＋ 2ab－ b 可 形 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）（A ） ( ab)2（B ）－( ab )2 （C ）(ab ) 2（ D ）(ab) 2四、在 数范 内因式分解： （每小 3 分，共 6 分）21． 9x 2－ 5y 2 ；22． 4x 4－ 4x 2＋ 1．五、 算 ：（每小 6 分，共 24 分）23．（532）（5 32）；5 4224． 411 － 117 － 37 ；n ab n m n25．（ a2m－mmn ＋mn）÷ a2b2 m ；26．（a ＋b aba b ）÷（aab b ＋bab a －a bab ）（ a≠b）．（六）求值：（每小题 7 分，共 14 分）3 2 3 2 x3 xy 227．已知 x＝3 2， y＝ 3 2 ，求x4y 2x3 y2 x2 y3 的值．x 2x x2 a2 128．当 x＝ 1－ 2 时，求 x2 a2 x x2 a2 ＋ x2 x x2 a2 ＋x2 a2 的值．七、解答题：（每小题 8 分，共 16 分）1 1 1 129．计算（ 2 5＋ 1）（12 ＋ 23 ＋ 34 ＋＋ 99 100 ）．1 x2 y x 2 y30．若 x， y 为实数，且 y＝14x ＋4x 1 ＋ 2 y x －yx的值．．求《二次根式》提高测试（一）判断题： （每小题 1 分，共 5 分）1． ( 2) 2ab ＝－ 2 ab ． （）【提示】( 2)2 ＝ | －2| ＝ 2．【答案】×．2． 3 － 2 的倒数是 3 ＋ 2．（）【提示】1 2 ＝ 32＝－（ 3 ＋2）．【答3 3 4案】×． 1)2 x 1)2． (x 1) 2 ＝ ( x ． （ ）【提示】 (x 1) 2 ＝ | x － 1| ， ( ＝ － 1 3x （ x ≥1）．两式相等，必须 x ≥ 1．但等式左边 x 可取任何数． 【答案】×． 4． ab 、 1a 3b 、 2a是同类二次根式．（）【提示】 1a 3b 、 2 a3 x b3x b化成最简二次根式后再判断． 【答案】√．5． 8x ，1， 9 x 2 都不是最简二次根式． （）9 x 2 是最简二次根式．【答3案】×．（二）填空题： （每小题 2 分，共 20 分）6．当 x__________ 时，式子1 有意义．【提示】x 何时有意义 x ≥ 0．分式何时x3有意义分母不等于零． 【答案】 x ≥ 0 且 x ≠ 9．7．化简－ 152 10 ÷25 ＝ _．【答案】－ 2a a ．【点评】注意除法法则和积的82712a 3算术平方根性质的运用．8． a － a 21 的有理化因式是 ____________ ．【提示】（ a － a2 1 ）（ ________）＝a 2－ ( a 2 1) 2 ． a ＋ a 2 1 ．【答案】 a ＋ a 2 1 ．．当＜ ＜ 4 时，－ ＋x22 x1 ＝ ________________ ．91 x| x 4|【提示】 x 2－ 2x ＋ 1＝（ ） 2， x － 1．当 1 ＜x ＜ 4 时， x － 4， x －1 是正数还是负数x － 4 是负数， x －1 是正数．【答案】 3． 10．方程 2 （x － 1）＝ x ＋ 1 的解是 ____________ ．【提示】把方程整理成 ax ＝ b 的形式后， a 、 b 分别是多少2 1 ， 2 1．【答案】 x ＝ 3＋ 2 2 ．11．已知 a 、b 、c 为正数， d 为负数，化简ab c 2 d 2 ＝ ______．【提示】 c 2 d 2 ＝ab c 2d 2| cd| ＝－ cd ．【答案】 ab ＋ cd ．【点评】∵ ab ＝ ( ab )2 （ ab ＞ 0），∴ ab －c 2d 2＝（ab cd ）（ ab cd ）．12．比较大小：－1 _________－ 1 ．【提示】2 7 ＝ 28 ，43 ＝ 48 ．2 7 4 3【答案】＜．【点评】先比较 28 ， 48 的大小，再比较 1 1的大小，最后 ，48 28 比较－ 1 与－ 1 的大小．284813．化简： (7－52 )2000·(－7－5 2 )2001＝______________．【提示】 (－ 7－5 2 )2001＝(－ 7－ 5 2 )2000·（ _________） [－ 7－ 5 2 ． ] （ 7－ 5 2 ） ·（－ 7－ 5 2 ）＝ [1． ]【答案】－ 7－ 5 2 ．【点 】注意在化 程中运用 的运算法 和平方差公式． 14．若 x 1 ＋ y 3＝ 0， (x －1)2＋(y ＋ 3)2＝ ____________．【答案】 40．【点 】x 1 ≥0， y3 ≥ 0．当x1 ＋ y 3＝0 ， x ＋ 1＝0， y － 3＝ 0．15． x ， y 分 8－ 11 的整数部分和小数部分，2xy － y 2＝ ____________． 【提示】 ∵3＜ 11 ＜ 4，∴ _______＜ 8－ 11 ＜ __________．[4，5]．由于 8－ 11介于 4 与 5 之 ， 其整数部分 x ＝小数部分y ＝ [x ＝ 4， y ＝ 4－ 11 ]【答案】 5． 【点 】 求二次根式的整数部分和小数部分 ，先要 无理数 行估算． 在明确了二次 根式的取 范 后，其整数部分和小数部分就不 确定了． （三） ： （每小3 分，共 15 分）16．已知x 33x 2 ＝－ x x3 ， ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯（）（A ）x ≤ 0（ B ）x ≤－ 3（C ）x ≥－ 3（ D ）－ 3≤ x ≤ 0【答案】 D ．【点 】本 考 的算 平方根性 成立的条件，（ A ）、（ C ）不正确是因 只考 了其中一个算 平方根的意 ．17．若 x ＜ y ＜ 0，x 22xy y 2 ＋ x 2 2xy y2＝⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）（A ）2x （ B ）2y（C ）－ 2x（ D ）－ 2y【提示】∵x ＜ y ＜ 0，∴ x － y ＜ 0， x ＋ y ＜ 0．∴x 2 2xy y 2 ＝ ( x y)2 ＝| x －y| ＝ y － x ．x 2 2xy y 2 ＝ ( x y) 2 ＝ | x ＋ y| ＝－ x －y ．【答案】 C ．【点 】本 考 二次根式的性a 2 ＝ | a| ．18．若 0＜ x ＜ 1，(x1 )2 4 － ( x 1 )2 4 等于 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ ）x x（A ）2（B ）－2（ C ）－ 2xxx【提示】 (x －1 2＋4＝ (x ＋ 1 21 2＝ (x －1 x )x ) ， (x ＋ x ) － 4 x（ D ） 2x)2．又∵0＜ x ＜ 1，∴ x ＋ 1＞0 ，x － 1＜ 0．【答案】 D ．x x【点 】本 考 完全平方公式和二次根式的性 ． （ A ）不正确是因 用性 没有注意当 0＜ x ＜ 1 ， x － 1＜ 0．x19．化a 3( a ＜ 0 ) 得 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）a（A ） a（B ）－ a（ C ）－a（ D ） a【提示】a 3 ＝ a a 2 ＝ a · a 2 ＝ | a|a ＝－ a a ．【答案】 C ．20．当 a ＜0， b ＜ 0 ，－ a ＋ 2 ab －b 可 形 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）（A ） b ) 2 （ B ）－ ( a b) 2 （ C ）( a b) 2（ D ）( ab ) 2( a【提示】∵ a ＜ 0， b ＜ 0，∴ － a ＞ 0，－ b ＞ 0．并且－ a ＝ (a )2 ，－b ＝ ( b)2 ，ab ＝ ( a)( b) ．【答案】 C ．【点 】本 考 逆向运用公式( a ) 2 ＝ a （ a ≥ 0）和完全平方公式．注意（ A ）、（ B ）不正确是因为 a ＜ 0， b ＜ 0 时， a 、 b 都没有意义． （四）在实数范围内因式分解： （每小题 3 分，共 6 分）21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解， 并注意到 5y 2＝ ( 5y) 2 ．【答案】（ 3x ＋ 5 y ） （ 3x － 5 y ）．22． 4x 4－ 4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解． 【答案】 ( 2 x ＋1)2( 2 x － 1)2． 6 分，共 24 （五）计算题： （每小题 分）23．（ 5 3 2 ）（ 5 3 2 ）；【提示】将53 看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝ ( 5 3 )2－ ( 2) 2＝ 5 － 2 15 ＋ － ＝ － 15 ．3 2 6 224． 5 － 4 － 2 ；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根11 1177 43式．【解】原式＝5( 411) － 4( 11 7) － 2(3 7 )＝ 4＋ 11 －11 － 7 － 3＋16 11 11 79 7 7 ＝ 1．25．（ a2n － ab mn ＋nm）÷ a 2b 2n ；mmm nm【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（ a2n － ab mn ＋n m ） · 1 mm mmna 2b 2n＝ 1n m －1 mn m＋ n m mb 2m nmab n ma 2b 2n n＝ 1 － 1 ＋ 1＝ a 2ab 1 ．b 22ba 2b 2ab a226．（ a ＋bab）÷（a＋ b － a b）（a ≠b ）．abab b ab aab 【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝aab bab ÷ a a ( ab) b b ( a b ) (a b)( a b)＝＝ab a b ÷a 2 a ab b ab a bab( a b )( a b · ab( a b )( a abab (a b)ab ( a b )( a b ) b 2 a 2 b 2a b )b ) ＝－ ab ．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （六）求值： （每小题 7 分，共 14 分）27．已知 x ＝32， y ＝3 2，求x 3 xy 2 x 2 y 3 的值．323 2x 4 y 2x 3 y 2 【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵x ＝32＝(32) 2 ＝ 5＋ 2 6 ，32y ＝3 2＝ ( 32) 2 ＝ 5－ 2 6 ．32∴ x ＋ y ＝10， x － y ＝4 6 ， xy ＝ 52－(26 )2＝1．x 3xy 2x 2 y 3 ＝ x( x y)( x y) ＝ x y ＝ 46 ＝ 26 ．x 4 y 2x 3 y 2 x 2 y( x y) 2 xy( x y) 1 10 5【点评】 本题将 x 、y 化简后， 根据解题的需要， 先分别求出 “ x ＋ y ”、“ x － y ”、“ xy ”．从而使求值的过程更简捷．28．当 x ＝ 1－2 时，求x 2a 2x a 2 ＋ 2xx 2 a 2 ＋1 的值．x x 2x 2x x 2 a 2 x 2 a 2【提示】注意： x 2＋ a 2 ＝ ( x 2 a 2 ) 2 ，∴ x 2＋ a 2－ x x 2 a 2 ＝ x 2 a 2（ x 2 a 2 － x ），x 2－ x x 2 a 2 ＝－ x （ x 2a 2－ x ）．【解】原式＝x－2 xx 2 a 21x 2 a 2 ( x 2 a 2x( x2a 2＋x 2 a 2x)x)＝ x 2x 2a 2 (2x x 2a 2 ) x( x 2a 2x)x x 2a 2 ( x 2a 2x)＝x 2 2x x 2a 2 ( x 2 a 2 ) 2 x x 2 a 2 x 2=( x 2 a 2 )2 x x 2 a 2 ＝x x 2 a 2 ( x 2 a 2 x)x x 2a 2 ( x 2 a 2x)x 2 a 2 ( x 2 a 2x)x x 2a 2 ( x 2 a 2 x)＝ 1．当 x ＝1－ 2 时，原式＝1 1 ＝－ 1－2 ．【点评】本题如果将前两个“分式”x2分拆成 两个“分式” 之差，那 么化简会更简 便．即原 式＝x－x 2 a 2 ( x 2 a 21x)2x x 2 a 2＋22x( x 2 a 2 x)x a＝ (11 ) －( x 2 1 x1) ＋1 a2 ＝ 1． x 2a 2 x x 2 a 2a 2 xx 2 x七、解答题： （每小题 8 分，共 16 分）29．计算（ 2 5 ＋ 1）（ 1＋1＋1＋ ＋1）．23991 234100【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝（ 25 ＋ 1）（ 2 1 ＋ 3 2 ＋ 43＋ ＋ 100 99 ） 2 1 3 2 4 3100 99＝ （ 2 5 ＋ 1 ） [ （ 2 1 ） ＋ （ 3 2 ） ＋ （ 4 3 ） ＋ ＋ （ 10099 ） ]＝（ 2 5 ＋ 1）（ 100 1）＝ 9（ 2 5 ＋ 1）．【点评】本题第二个括号内有 99 个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理 化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消． 这种方法也叫做裂项相消法．30．若 x ，y 为实数，且 y ＝ 14x ＋ 4x 1 ＋ 1．求 x 2 y － x2 y 的2 y x y x值．1 4 x 0x14 ]【提示】要使 y 有意义，必须满足什么条件[] 你能求出 x ，y 的值吗 [4x 1 0.y 1 .21 4xx14 ∴ x ＝ 1 ．当 x ＝ 1时， y ＝ 1．【解】要使 y 有意义，必须 [，即4x 1 0x 1 . 4424又∵x 2y － x y ＝(xy 2 －xy2y x y2y)()xxy x ＝ | xy| － | xy| ∵ x ＝ 1， y ＝ 1，∴x ＜ y ．yxyx42yx∴原式＝ xy － y x＝ 2 x 当 x ＝ 1， y ＝ 1时，yxxyy4 21原式＝ 2 4 ＝2 ．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进12而求出 y 的值．。

专题2 二次根式化简求值技巧（解析版）第一部分典例精析+变式训练类型一a|化简典例1（2022春•郯城县期末）化简二次根式―AB C．D．思路引领：根据二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简进行计算即可．解：由题意可知，x＜0，原式＝﹣x因此选项A是正确的，应选：A．总结提升：本题考查二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件以及化简方法是得出正确答案的前提．变式训练1．已知a=1，求思路引领：先将a的值分母有理化，判断出a﹣1的符号，继而根据二次根式的性质求解可得．解：∵a====2―∴a﹣1＝2――1＝1―0，∴原式=＝|a﹣1|＝﹣（a﹣1）=―1．总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．（1）当a＜0（2）实数a，b思路引领：（1）直接利用a的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用a，b的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案．解：（1）当a＜0a1aa(a1)=―1a；（2）由数轴可得：1＜a＜2，﹣3＜b＜﹣2，+＝a+2﹣（2﹣b）﹣（a+b）＝0．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．类型二含有隐含条件的化简求值典例2（2019春•黄石期中）已知x、y为实数，xy＝3，那么+A．B．﹣C．±D．思路引领：根据二次根式有意义条件分析出x与y是同号，然后化简（2，代入xy＝3，最后再开方即可．解：根据二次根式有意义的条件可得x与y是同号，所以（2=x2⋅yx+y2⋅xy+2xy=xy+xy+2xy＝4xy，∵xy＝3，所以4xy＝12，即（+2＝12．∵x与y是同号，所以原式＝±故选：C．总结提升：本题主要考查了二次根式的化简求值，解决这类问题一定要注意二次根式有意义的条件，在此条件下解答不会漏解．变式训练1．（2021春•阳新县月考）已知x+y＝﹣6，xy＝8，求代数式+思路引领：根据加法法则、乘法法则和已知条件得出x 、y 同号，并且都是负数，化简所求式子，代值即可．解：∵x +y ＝﹣6，xy ＝8，∴x 、y 同号，并且都是负数，∴=―＝﹣（y x +xy ）=―=―(6)22×88＝﹣总结提升：本题考查了解二元二次方程组和二次根式的混合运算与求值等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．2．（2021春•虎林市校级期末）昨天的数学作业：化简求值．当a ＝3时，求a +小红的答案是5．小明却认为：原式=a +a +(1―a )=1．即：无论a 取何值，a 1．你认为小明说得对么？为什么？思路引领：根据题意得到1﹣a ＜0，根据二次根式性质化简，判断即可．解：小明的解答是错误的，理由如下：∵a ＝3，∴1﹣a ＝﹣2＜0，∴原式＝a +a ﹣1＝2a ﹣1，当a ＝3时，原式＝2×3﹣1＝5，∴小明的解答是错误的．总结提升：=|a |是解题的关键．类型三 利用整体思想进行求值典例3 已知x ＝5﹣y ＝3x 2+5xy +3y 2的值．思路引领：先计算出x +y 与xy 的值，再利用完全平方公式得到3x 2+5xy +3y 2＝3（x +y ）2﹣xy ，然后利用整体代入的方法计算．解：∵x ＝5﹣y ＝∴x +y ＝10，xy ＝25﹣24＝1，∴3x 2+5xy +3y 2＝3（x +y ）2﹣xy ＝3×102﹣1＝299．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．使用整体代入的方法可简化计算．变式训练1．（2020秋•武侯区校级月考）已知x y （1）x 2﹣xy +y 2；（2）y x +xy +2．思路引领：先根据完全平方公式、平方差公式和二次根式的乘除和加减运算得出x 2+y 2和xy 的值，（1）直接代入即可求得；（2）利用异分母分式加减法相加后直接代入即可．解：∵x y =∴xy 32，x ―y =―1，又∵（x ﹣y ）2＝x 2+y 2﹣2xy ，∴x 2+y 2=(x ―y )2+2xy =1+2×32=4，（1）x 2﹣xy +y 2＝x 2+y 2﹣xy =4―32=52．（2）y x +x y +2=y 2x 2xy +2=432+2=83+2=143．总结提升：本题考查完全平方公式，平方差公式，二次根式的加、减、乘运算，分式的加法．能结合二次根式的性质和乘法公式求得x 2+y 2和xy 的值是解题关键．2．（1）已知：x =1，y =1．求2x 2+2y 2﹣xy 的值；（2）已知x ，求x 3x 1x 3的值．思路引领：（1）分母有理化后，代入求解即可；（2）由x 2x =+1，可得2x ﹣1=4x 2﹣4x ＝4，即x 2﹣x ＝1，x +1＝x 2，利用整体代入的思想解决问题．解：（1）x2―y ＝2+所以原式＝2（2―2+2（2+2﹣（2―（2+＝14﹣―1＝27；（2）∵x =∴2x +1，∴2x ﹣1=∴4x 2﹣4x ＝4，即x 2﹣x ＝1，∴x +1＝x 2，∴原式=x 3x 2x 3=x 2(x 1)x 3=x 4x 3=x 总结提升：本题考查二次根式的化简求值，分母有理化等知识，解题的关键是学会用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．类型四 化简二次根式比较大小典例4（2022秋•修水县期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因+11．（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式： ．化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：3．（2）请仿照上述方法化简：3．（3）比较1与1的大小．思路引领：（1）根据有理化因式的概念写出乘积不含二次根式的两个式子即可；（2）分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；（3）分母有理化后再比较．解：（122互为有理化因式，+22（答案不唯一）；（2=（3∴1＜1．总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．变式训练1．（2022春•翔安区期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题+1）1）＝1，+1，+1…（1）观察上面规律，计算下面的式子1+1+1+⋯+1（2）利用上面的规律思路引领：（1）根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题；（2―解：（1++⋯+=1)+++⋯+―=―1+―⋯=1＝10﹣1＝9；（2==1，=∴1＞1，――总结提升：本题考查分母有理化、实数大小的比较，解题的关键是明确题意，发现其规律，解答相关问题．第二部分专题提优训练1．（2021春•上城区校级期中）已知a=b=ab的值为 ．思路引领：a=b=ab＝1即可．解：a=b=∴ab+3﹣2＝1．故答案为：1．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，根据二次根式的乘法可得ab的值．2．（2018春•沙坪坝区校级期末）如果一个三角形的三边分别是2，3，m（m为正整数），则|1﹣3m|+3化简求值的所有结果的和是 ．思路引领：直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，进而化简得出答案．解：∵一个三角形的三边分别是2，3，m（m为正整数），∴1＜m＜5，|1﹣3m|+3＝2m+1﹣（3m﹣1）+3＝﹣m+5，当m＝2时，﹣m+5＝3，当m＝3时，﹣m+5＝2，当m＝4时，﹣m+5＝1，故所有结果的和是：1+2+3＝6．故答案为：6．总结提升：此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确得出m 的取值范围是解题关键．3．（2021春•“＞”或“＝”或“＜”）．思路引领：根据分母有理化分别化简，即可得出答案．解：∵14=11+1，∴11，故答案为：＜．总结提升：本题考查了分母有理化，实数的比较大小，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．4．（2022春•　＞　12（填“＞”“＜”“＝”）．思路引领：决问题．1＞1，＞12．故填空结果为：＞．总结提升：此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n 次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．5．（2021秋•淮安区校级月考）已知实数a 满足|2020﹣a |a ，那么a ﹣20202+1的值是 ．思路引领：根据二次根式有意义的条件得出a ≥2021，根据绝对值的性质把原式变形，代入计算即可．解：由题意得：a ﹣2021≥0，解得：a ≥2021，则a ﹣2020a ，=2020，∴a ﹣2021＝20202，∴a ﹣20202＝2021，∴原式＝2021+1＝2022，故答案为：2022．总结提升：本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．6．（2022春•宁武县期末）先化简再求值：当a ＝9时，求a +甲的解答为：原式＝a =a +（1﹣a ）＝1；乙的解答为：原式a =a +（a ﹣1）＝2a ﹣1＝17．两种解答中， 的解答是错误的，错误的原因是 ．思路引领：利用二次根式的性质化简即可；解：∵a ＝9，∴1﹣a ＜0，∴原式＝a +a +a ﹣1＝2a ﹣1＝17．∴甲错误，故答案为甲，没有注意到1﹣a ＜0．总结提升：本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握基本公式，注意公式的应用条件．7．（2010秋•=5―2；16请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出1的结果为 ．（2）利用上面所提供的解法，求值：1+1+1+⋯+1 ．思路引领：（1）直接利用分母有理化化简得出答案；（2）直接将原式化简，进而计算得出答案．解：（1）1（2）原式=―1+―...―=1．1．总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．（2022春•彭州市校级月考）已知x=1，y=1，求值：（1）xy；（2）x2+3xy+y2．思路引领：（1）利用平方差公式进行运算即可；（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．解：（1）xy=11=1 75=1 2；（2）x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy2+122+122+12＝7+12＝712．总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．9．（2022秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2―b=1，求思路引领：直接利用二次根式的性质分母有理化，进而化简二次根式得出答案．解：∵b===2+a＝2―∴a ﹣b ＝2――（2+2―2――0，=总结提升：此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．10．（2022秋•章丘区校级月考）已知a =，b =1．（1）求ab 的值；（2）求a 2+b 2的值．思路引领：（1）根据平方差公式计算即可；（2）根据二次根式的加法法则求出a +b ，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．解：（1）∵a +1，b 1，∴ab 1）1）＝3﹣1＝2；（2）∵a =+1，b =―1，∴a +b 1）+1）＝∴a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝（2﹣2×2＝8．总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．11．（2022•南京模拟）计算：（1）已知x =，y =1，试求x 2﹣xy +y 2的值．（2）先化简，再求值：a 21a 2a ÷(2+a 21a)，其中a 思路引领：（1）先计算出x ﹣y ＝2，xy ＝1，再将所求代数式变形为（x ﹣y ）2+xy ，然后整体代入计算即可；（2）先根据分式混合运算法则化简，再把x 值代入化简式计算即可．解：（1）∵x =，y =1，∴x ﹣y ＝2，xy ＝1，∴x 2﹣xy +y 2＝（x ﹣y ）2+xy ＝22+1＝5；（2）a 21a 2a ÷(2+a 21a )=(a 1)(a 1)a (a 1)÷a 22a 1a=(a1)(a1)a(a1)⋅a(a1)2=1a1，当a原式=―1．总结提升：本题考查代数式求值，逆用完全平方公式，分式化简求值，二次根式运算，熟练掌握完全平方公式与分式混合运算法则是解题的关键．12．（2022春•a=思路引领：先分母有理化，再利用二次根式的性质化简得到原式＝1）a﹣|a﹣1|，接着利用a=＞1去绝对值，合并得到原式+1，然后把a=+1）a+1）a﹣|a﹣1|，∵a1，+1）a﹣（a﹣1）=+1，当a=1＝3．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．13．已知a=b＝2―c=2，比较a，b，c的大小．思路引领：先求出a0.318，b＝2―0.268，c=2≈0.236，再根据实数大小比较的方法进行比较即可求解．解：∵a=≈0.318，b＝2―≈0.268，c=2≈0.236，0.318＞0.268＞0.236，∴a＞b＞c．总结提升：考查了实数大小比较，关键是求出a，b，c的大小．14．（2022春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：先化简，再求值：|x﹣1|+x＝9．小明同学是这样计算的：解：|x﹣1|+=x﹣1+x﹣10＝2x﹣11．当x＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．小荣同学是这样计算的：解：|x﹣1|+=x﹣1+10﹣x＝9．聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？思路引领：根据二次根式的性质判断即可．解：小荣的计算结果正确，小明的计算结果错误，错在去掉根号：|x﹣1|+=x﹣1+x﹣10（应为x﹣1+10﹣x）．总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，|a|=a(a≥0)―a(a＜0)．15．（2021春•五华区期中）阅读下列简化过程：1=1―11（1）请用n（n为正整数）表示化简过程规律．（2）计算1+1+1+⋯⋯1．（3）设a=1，b=1，c=1比较a，b，c的大小关系．思路引领：（1）观察题目可得分母上的数相差1，即可得出结论；（2）利用（1）中的规律先化简，随后进行加减即可；（3）先将a，b，c按照题目中的形式化简，再进行比较即可．解：（1）∵分母上的每个数都含有根号，根号内的数相差为1，分子为1，==（2⋯⋯+⋯⋯=―1+⋯⋯+=1．（3）∵ab=c=∴ab 2c2，∴a ＜b ＜c ．总结提升：本题考查二次根式的化简，平方差公式，分母有理化，实数的大小比较，涉及的知识点比较多，本题的难点在于通过题干得出计算规律，运用规律即可解决问题．16．（2022春•福清市期中）阅读材料：像=3=7这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．==3+解答下列问题：（1（2（3）应用：当n ―思路引领：（1）根据有理化因式的定义求解；（2）把分子分母都乘以（3―，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；（3）利用分母有理化得1，1，然后比较与1的大小即可．解：（1+（2）原式98﹣（31，=1，++0，总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化．。

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二次根式练习题及答案（一）一、选择题（每小题2分,共24分)1.（2012·武汉中考)若在实数范围内有意义，则的取值范围是()A。

B. C. D。

2.在下列二次根式中，的取值范围是≥的是（)A. B. C. D。

3.如果，那么（）A。

＜ B。

≤ C.＞ D。

≥4。

下列二次根式，不能与合并的是（）A. B。

C. D.5. 如果最简二次根式与能够合并，那么的值为(）A.2B.3C.4 D。

56。

(2011·四川凉山中考）已知，则的值为（）A. B. C。

D.7。

下列各式计算正确的是（）A. B.C. D.8.等式成立的条件是（ )A. B。

C. D。

9。

下列运算正确的是（）A。

B。

C。

D.10.已知是整数,则正整数的最小值是(）A。

4B。

5 C。

6D。

211。

（2012·山东潍坊中考）如果代数式有意义，那么的取值范围是（）A. B. C。

D。

12.（2012·湖南永州中考）下列说法正确的是（)A。

B。

C。

不等式的解集为D.当时，反比例函数的函数值随自变量取值的增大而减小二、填空题（每小题3分，共18分）13。

化简：；=_________.14.比较大小：3；______。

15.(1）（2012·吉林中考)计算________；(2）（2012·山东临沂中考)计算．16.已知为两个连续的整数,且，则．17.若实数满足，则的值为.18.（2011·四川凉山中考）已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且,则。