重庆南开中学2013届高三数学总复习测试题及详细解析

2013年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．解答：解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故选D点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•重庆）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0考点：命题的否定；全称命题．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，即可得到所求式子的最大值．解答：解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f （a）的最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选B．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．4．（5分）（2013•重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．解答：解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．点评：本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．（5分）（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．240考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离． 分析：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积． 解答：解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选C ．点评： 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键． 6．（5分）（2013•重庆）若a ＜b ＜c ，则函数f （x ）=（x ﹣a ）（x ﹣b ）+（x ﹣b ）（x ﹣c ）+（x ﹣c ）（x ﹣a ）的两个零点分别位于区间（ ） A ． （a ，b ）和（b ，c ）内 B ． （﹣∞，a ）和（a ，b ）内 C ． （b ，c ）和（c ，+∞）内 D ． （﹣∞，a ）和（c ，+∞）内考点： 函数零点的判定定理． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由函数零点存在判定定理可知：在区间（a ，b ），（b ，c ）内分别存在一个零点；又函数f （x ）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出． 解答： 解：∵a ＜b ＜c ，∴f （a ）=（a ﹣b ）（a ﹣c ）＞0，f （b ）=（b ﹣c ）（b ﹣a ）＜0，f （c ）=（c ﹣a ）（c ﹣b ）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a ，b ），（b ，c ）内分别存在一个零点； 又函数f （x ）是二次函数，最多有两个零点， 因此函数f （x ）的两个零点分别位于区间（a ，b ），（b ，c ）内． 故选A ． 点评： 熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键． 7．（5分）（2013•重庆）已知圆C 1：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ） A ． 5﹣4 B ． 1 C ． 6﹣2 D ．考点： 圆与圆的位置关系及其判定；两点间的距离公式． 专题： 直线与圆． 分析： 求出圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．解答：解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：=5﹣4．故选A．点评：本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．8．（5分）（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．解答：解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环log23 3第二次循环log23•log34 4第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选B．点评：本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．9．（5分）（2013•重庆）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．解答：解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（2013•重庆）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，]B．（，]C．（，]D．（，]考点：向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．解答：解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故选D．点评：本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）（2013•重庆）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：计算题．分析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．解答：解：|z|===．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．12．（5分）（2013•重庆）已知{a n}是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64．考点：等差数列的前n项和；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：依题意，a1=1，=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案．解答：解：∵{a n}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•（a1+4d），又a1=1，∴d2﹣2d=0，公差d≠0，∴d=2．∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．故答案为：64．点评：本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题．13．（5分）（2013•重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是590（用数字作答）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：压轴题；概率与统计．分析：不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．解答：解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种，1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种，1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种，2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种，1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种，2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种，共计20+60+120+90+180+120=590种故答案为：590．点评：本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）（2013•重庆）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC 的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为5．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE•DB，即可得出DE．解答：解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=．∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴，解得DE=5．故答案为5．点评：熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．15．（5分）（2013•重庆）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=16．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式；参数方程化成普通方程．专题：压轴题；直线与圆．分析：先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程，再代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|．解答：解：将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标为（4，8），（4，﹣8），则|AB|=16．故答案为：16．点评：本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化，两点间的距离公式，考查转化、计算能力．16．（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，8]．考点：绝对值不等式的解法．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．解答：解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2013•重庆）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．解答：解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．18．（13分）（2013•重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）从7个小球中取3的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（1）设A i表示摸到i个红球，B i表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）∴P（A1）==（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=∴X的分布列为x 0 10 50 200PEX==4元点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．19．（13分）（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．解答：解：（I）如图，连接BD交AC于点O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD 的法向量为=（x 1，y 1，z 1），平面FAB 的法向量为=（x 2，y 2，z 2）， ∵•=0且•=0，∴，取y 1=得=（3，，﹣2），同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos ＜，＞===因此，二面角B ﹣AF ﹣D 的正弦值等于=点评：本题在三棱锥中求线段PA 的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题． 20．（12分）（2013•重庆）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2+b 2+ab=c 2． （1）求C ； （2）设cosAcosB=，=，求tan α的值．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数． 专题：解三角形． 分析： （1）利用余弦定理表示出cosC ，将已知等式变形后代入求出cosC 的值，由C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数；（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由A+B 的度数求出sin （A+B ）的值，进而求出cos （A+B ）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos （A+B ），将cosAcosB 的值代入求出sinAsinB 的值，将各自的值代入得到tan α的方程，求出方程的解即可得到tan α的值．解答：解：（1）∵a 2+b 2+ab=c 2，即a 2+b 2﹣c 2=﹣ab ， ∴由余弦定理得：cosC===﹣，又C 为三角形的内角， 则C=；（2）由题意==，∴（cosA ﹣tan αsinA ）（cosB ﹣tan αsinB ）=，即tan 2αsinAsinB ﹣tan α（sinAcosB+cosAsinB ）+cosAcosB=tan 2αsinAsinB ﹣tan αsin （A+B ）+cosAcosB=，∵C=，A+B=，cosAcosB=，∴sin （A+B ）=，cos （A+B ）=cosAcosB ﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，∴tan 2α﹣tan α+=，即tan 2α﹣5tan α+4=0，解得：tan α=1或tan α=4．点评： 此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．21．（12分）（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|=4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P'Q ，求圆Q 的标准方程．考点：圆锥曲线的综合．专题：压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用点A（﹣c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设出圆Q的圆心坐标及半径，由PQ⊥P'Q得到P的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程，把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程，联立可求出t与r的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外，结合对称性即可求得圆Q的标准方程．解答：解：（Ⅰ）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①∵离心率，∴②联立①②得：，所以b2=8．把b2=8代入②得，a2=16．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2，不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．联立，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8又P（）在椭圆上，所以．整理得，．代入t2+r2=8，得．解得：．所以，．此时．满足椭圆上的其余点均在圆Q外．由对称性可知，当t＜0时，t=﹣，．故所求圆Q的标准方程为．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）（2013•重庆）对正整数n，记I n={1，2，3…，n}，P n={|m∈I n，k∈I n}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若P n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使P n能分成两个不相交的稀疏集的并集．考点：集合中元素个数的最值；子集与交集、并集运算的转换．专题：集合．分析：（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，根据P n中有3个数与I n={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数．（2）先用反证法证明证当n≥15时，P n不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值．解答：解：（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=1时，m=1，2，3…，7，P n={1，2，3…，7}，7个数，当k=2时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=3时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=4时，P n={|m∈I n，k∈I n}=P n={，1，，2，，3，}中有3个数（1，2，3）与k=1时P n中的数重复，当k=5时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=6时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=7时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，由此求得集合P7中元素的个数为7×7﹣3=46．（2）先证当n≥15时，P n不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，P n可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=P n⊇I n ．不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A2={，，，}，B2={，，}．当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A3={，，，，}，B3={，，，，}．最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，它与P n中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．综上可得，n的最大值为14．点评：本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(重庆卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013重庆，理1)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则U(A ∪B )＝( )．A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}2．(2013重庆，理2)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )．A ．对任意x ∈R ，都有x2＜0B ．不存在x ∈R ，使得x2＜0C ．存在x0∈R ，使得x02≥0D ．存在x0∈R ，使得x02＜0 3．(2013重庆，理－6≤a ≤3)的最大值为( )．A ．9B ．92C ．3 D．24．(2013重庆，理4)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )．A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,85．(2013重庆，理5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．5603B ．5803C ．200D ．2406．(2013重庆，理6)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )．A ．(a ，b)和(b ，c)内B ．(－∞，a)和(a ，b)内C ．(b ，c)和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a)和(c ，＋∞)内7．(2013重庆，理7)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )．A．4 B1 C．6-8．(2013重庆，理8)执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝3，那么判断框内应填入的条件是( )．A ．k≤6B ．k≤7C ．k≤8D ．k≤9 9．(2013重庆，理9)4cos 50°－tan 40°＝( )．A．2 C ．3 D ．221-10．(2013重庆，理10)在平面上，1AB ⊥2AB ，|1OB |＝|2OB |＝1，AP ＝1AB ＋2AB .若|OP|＜12，则|OA |的取值范围是( )．A．⎛ ⎝⎦ B．⎝⎦ C．⎝ D ．⎝ 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．(2013重庆，理11)已知复数5i12iz =+(i 是虚数单位)，则|z |＝__________.12．(2013重庆，理12)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝__________.13．(2013重庆，理13)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)．14．(2013重庆，理14)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为__________．15．(2013重庆，理15)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线23,x ty t⎧=⎨=⎩(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝__________.16．(2013重庆，理16)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解，则实数a的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013重庆，理17)(本小题满分13分，(1)小问6分，(2)小问7分．)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．18．(2013重庆，理18)(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分．)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．2⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝π3，F为PC的中点，AF⊥PB．(1)求PA的长；(2)求二面角B－AF－D的正弦值．20．(2013重庆，理20)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＝c2.(1)求C；(2)设cos A cos B＝5，2cos()cos()cos5A Bααα++=，求tan α的值．2013 重庆理科数学第3页长轴在x轴上，离心率2e ，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．42013 重庆理科数学 第5页22．(2013重庆，理22)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)对正整数n ，记I n ＝{1,2，…，n }，,n n n P I k I ⎫=∈∈⎬⎭. (1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是．．整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(重庆卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：D解析：∵A∪B＝{1,2,3}，而U＝{1,2,3,4}，故U(A∪B)＝{4}，故选D．2．答案：D解析：全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题)，故选D．3．答案：B解析：=a≤3，所以当32a=-92=.方法二：∵－6≤a≤3，∴3－a≥0，a＋6≥0.而(3－a)＋(a＋6)＝9，由基本不等式得：(3－a)＋(a－6)≥即9≥92≤，当且仅当3－a＝a＋6，即32a=-时取等号．4．答案：C解析：由甲组数据中位数为15，可得x＝5；而乙组数据的平均数91510182416.85y++(+)++=，可解得y＝8.故选C．5．答案：C解析：由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱，棱柱底面为梯形，梯形两底长分别为2和8，高为4，棱柱的高为10，故该几何体体积V＝12×(2＋8)×4×10＝200，故选C．6．答案：A解析：由题意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.显然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A．7．答案：A解析：圆C1，C2的圆心分别为C1，C2，由题意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值．又C1关于x轴对称的点为C3(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|－4的最小值为|C3C2|－444=，故选A．8．62013 重庆理科数学 第7页答案：B 解析：由程序框图可知，输出的结果为s ＝log 23×log 34×…×log k (k ＋1)＝log 2(k ＋1)．由s ＝3，即log 2(k ＋1)＝3，解得k ＝7.又∵不满足判断框内的条件时才能输出s ，∴条件应为k ≤7. 9． 答案：C解析：4cos 50°－tan 40°＝4sin40cos40sin40cos40︒︒-︒︒＝2sin 80sin 402sin100sin 40cos 40cos 40︒-︒︒-︒=︒︒＝2sin(6040)sin40cos40︒+︒-︒︒＝12cos402sin40sin4022cos40⨯︒+⨯︒-︒=︒10． 答案：D解析：因为1AB ⊥2AB ，所以可以A 为原点，分别以1AB ，2AB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )， 则AP ＝1AB ＋2AB ＝(a ，b )，即P (a ，b )．由|1OB |＝|2OB |＝1，得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1. 所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2≥0.由|OP |＜12，得(x －a )2＋(y －b )2＜14， 即0≤1－x 2＋1－y 2＜14.所以74＜x 2＋y 2<≤所以|OA |的取值范围是⎝，故选D ． 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．解析：5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)z -===+++-，∴||z ==12．答案：64解析：由a 1＝1且a 1，a 2，a 5成等比数列，得a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2，故S 8＝8a 1＋872⨯d ＝64. 13．答案：590解析：方法一：从12名医生中任选5名，不同选法有512C 792=种．不满足条件的有：只去骨科和脑外科两科医生的选法有57C 21=种，只去骨科和内科两科医生的选法有5585C C 55-=种，只去脑外科和内科两科医生的选法有5595C C 125-=种，只去内科一科医生的选法有55C 1=种，故符合条件的选法有：792－21－55－125－1＝590种．方法二：设选骨科医生x 名，脑外科医生y 名， 则需选内科医生(5－x －y )人．8(1)当x ＝y ＝1时，有113345C C C 120⋅⋅=种不同选法；(2)当x ＝1，y ＝2时，有122345C C C 180⋅⋅=种不同选法； (3)当x ＝1，y ＝3时，有131345C C C 60⋅⋅=种不同选法； (4)当x ＝2，y ＝1时，有212345C C C 120⋅⋅=种不同选法；(5)当x ＝2，y ＝2时，有221345C C C 90⋅⋅=种不同选法； (6)当x ＝3，y ＝1时，有311345C C C 20⋅⋅=种不同选法．所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．考生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．答案：5解析：在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝20，可得BC＝由弦切角定理，可得∠BCD ＝∠A ＝60°.在Rt △BCD 中，可求得CD＝BD ＝15.又由切割线定理，可得CD 2＝DE ·DB ，可求得DE ＝5. 15．答案：16解析：由极坐标方程ρcos θ＝4，化为直角坐标方程可得x ＝4，而由曲线参数方程消参得x 3＝y 2，∴y 2＝43＝64，即y ＝±8， ∴|AB |＝|8－(－8)|＝16. 16．答案：(－∞，8]解析：方法一：设f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＝22,5,8,35,22,3,x x x x x -≥⎧⎪-<<⎨⎪-+≤-⎩可求得f (x )的值域为[8，＋∞)，因为原不等式无解，只需a ≤8，故a 的取值范围是(－∞，8]．方法二：由绝对值不等式，得|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8， ∴不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解时，a 的取值范围为(－∞，8]．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：(1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x. 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a －6，故12a =. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝23x x x(-)(-).令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3. 18．解：设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球， 则A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立． (1)恰好摸到1个红球的概率为2013 重庆理科数学 第9页P (A 1)＝123437C C 18C 35=.(2)X 的所有可能值为0,10,50,200，且P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝3337C 11C 3105⋅=， P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝3337C 22C 3105⋅=， P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝213437C C 1124C 310535⋅==，P (X ＝0)＝12461105105357---=. 综上知X 的分布列为从而有E (X )＝0×67＋10×435＋50×105＋200×105＝4(元)．19．解：(1)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形．又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD ．以O 为坐标原点，OB ，OC ，AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD πcos3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3，又OD ＝CD πsin 3故A (0，－3,0)，B 0,0)，C (0,1,0)，D (0,0)．因PA ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，F 0,1,2z ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 又AF ＝0,2,2z ⎛⎫⎪⎝⎭，PB ＝3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF ·PB ＝0，即6－22z ＝0，z =舍去-)，所以|PA |＝23.(2)由(1)知AD ＝(3,0)，AB ＝3,0)，AF ＝(0,2，设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AD ＝0，n 1·AF ＝0，得111130,20,y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩因此可取n 1＝(32)．10由n 2·AB ＝0，n 2·AF ＝0，得222230,20,y y +==⎪⎩故可取n 2＝(3，2)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝12121||||8⋅=⋅n n n n ，故二面角B －AF －D20．解：(1)因为a 2＋b 2＝c 2，由余弦定理有cos C＝222222a b c ab ab +-==-， 故3π4C =.(2)由题意得2(sin sin cos cos )(sin sin cos cos )cos A A B B ααααα--＝5.因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝5， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B＝5.① 因为3π4C =，A ＋B ＝π4， 所以sin(A ＋B )＝2，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，sin A sin B解得sin A sin B=由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4. 21．解：(1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则222221c a b(-)+=. 从而e 2＋24b＝1.由e =22481b e ==-，2013 重庆理科数学 第11页 从而222161b a e ==-. 故该椭圆的标准方程为221168x y +=. (2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)．又设M (x ，y )是椭圆上任意一点， 则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 02＋28116x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12(x －2x 0)2－x 02＋8(x ∈[－4,4])． 设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 02.因为PQ ⊥P ′Q ，且P ′(x 1，－y 1)，所以QP QP ⋅'＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0，即(x 1－x 0)2－y 12＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得22111810416x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得1x =，102x x ==. 从而|QP |2＝8－x 02＝163.故这样的圆有两个，其标准方程分别为22163x y ⎛+= ⎝⎭，22163x y ⎛+= ⎝⎭. 22．解：(1)当k ＝4时，7I ⎫∈⎬⎭中有3个数与I 7中的3个数重复，因此P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A∪B ＝P n ⊇I n ，不妨设1∈A ，则因1＋3＝22，故3∉A ，即3∈B ．同理6∈A,10∈B ，又推得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾．再证P 14符合要求，当k ＝1时，1414I I ⎫∈=⎬⎭可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B 1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14. 当k ＝4时，集14I ⎫∈⎬⎭中除整数外剩下的数组成集13513,,,,2222⎧⎫⎨⎬⎩⎭，可分解为下面两稀疏集的并：12 215911,,,2222A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，23713,,222B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 当k ＝9时，集14I ⎫∈⎬⎭中除正整数外剩下的数组成集12451314,,,,,,333333⎧⎫⎨⎬⎩⎭，可分解为下面两稀疏集的并：31451013,,,,33333A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，32781114,,,,33333B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 最后，集1414,,1,4,9C I k I k ⎫=∈∈≠⎬⎭且中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3，则A 和B 是不相交的稀疏集，且A ∪B ＝P 14. 综上，所求n 的最大值为14.注：对P 14的分拆方法不是唯一的．。

绝密★启用前重庆南开中学高2015级2012-2013年5月月考卷数学试题考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：数学试题共4页,满分150分,考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第I 卷（选择题）一.选择题.(每小题5分,共50分)1.设ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等要直角三角形D ．等边三角形2.在等比数列{}n a 中，若24a =，532a =,则公比应为( )A ．2B ．±2C ．－2D ． ±123.锐角三角形ABC ∆中，若2A B =，则下列叙述正确的是（ ）.①sin3sin B C = ②3tan tan 122B C = ③64B ππ<< ④a b∈ A.①② B.①②③ C.③④ D.①④4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1)1(2013)1(636=-+-a a ，1)1(2013)1(200832008-=-+-a a ，则下列结论中正确的是A ．2013200862013,S a a =<B ．2013200862013,S a a =>C ．2013200862013,S a a =-≤D ．2013200862013,S a a =-≥5.在 ABC △中，角C 为最大角，且0222>-+c b a ，则ABC △是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．形状不确定6.在等差数列{}n a 中，98=1,137,d S =则24698a a a a ++++等于( )A ．91B ．92C ．93D ．947.在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，则∠C 等于（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°8.执行右面的框图，若输出结果为12，则输入的实数x 的值是A ．32 B ．14 C ．22 D ．29.已知数列}{n a 满足1a ＝1，1321113121--+⋯⋯+++=n n a n a a a a ,2(≥n )*N n ∈，若100=k a ，则k 为（ ）A ．100B ．300C ．200D ．40010.设变量x,y 满足约束条件0,1,2 1.x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z=5x+y 的最大值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)5第II 卷（非选择题）二.填空题(每小题5分,共25分)11.己知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ，则实数m 的取值范围是_________________.12.设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且5,4,31cos ==∠=b B A π,则=C sin ,ABC ∆的面积=S .13.在△ABC 中，B=60°，AC=3，则AB+2BC 的最大值为_______。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科) (重庆卷)解析一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项 中，只有一项是符合题目要求的。

仁已知全集，集合A=“2，B=「2,3l ，则e U AUB =(、〈3,41 答案：D 思路分析:考点解剖：本题主要考查集合的基本运算中的并集与补集运算 解题思路：此题理解好并集与补集的概念至关重要。

解答过程:解析：因为人…B 」,2,3〉所以C U (AU B) -'..3? 规律总结:易错点：对并集概念理解不透，将并集求成交集，错选答案：D 思路分析:考点解剖：本题主要考查含有一个量词的命题的否定解题思路：解答此题此题关键是明确全称命题的否定为是存在命题。

解答过程：根据全称命题“ ？ x € M , p (x )”的否定为特称命题：“？ x °€ M ,「p (x )”即可得出. 规律总结：熟练掌握全称命题“ ？ x € M , p (x )”的否定为特称命题“ ？ x °€ M ,「p (x )”是解题 的关键.【易错点】本题易只対结论xi>0进行舌定’而不对虽词进行否芯定丁厂对 任意忑E R ・使得XcOJ 从血错选讯{1,3,4}2、命题“对任意x 乏R ，都有x 2-0的否定为(A 、对任意x 三R ，都有x 2:- 0 、不存在x 三R ，都有 x 2 :::0C存在R ，使得x 02_O 、存在x°. R ，使得2X 。

::0A 9B、9C、3D、3、22 2答案： B思路分析：考点解剖：本题主要考查基本不等式解决简单的最大（小）值问题 解题思路：用基本不等式解答，此题此题关键是利用“和定积有最大值” 解答过程：【解析】陶为-6<«<3t 所以曲二说 + 仍口迥：仏十甸弓 当H 仅当3规律总结：利用均值定理求最值注意“正、定、等” 本题也可用二次函数解答：令f （ a ）=（ 3-a ）（ a+6）=/ 3、2 丄 81 -（a+—）-—4而且-6 w a w 3，利用二次函数的性质求得函数 f （a ）的最大值，即可得到所求式子的最大值.【易错点】用错臺本不等式.即认为/3_打）（口+ 6）兰J '3-#HS + 6） =\忑*从 if 2 — 而错选64、以下茎叶图记录了甲、 乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）屮崛9 0r 21S y ft 7 424已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为16.8，则x, y 的值分别为（）3、的最大值为（十*叫弓时等号成丸故选B.2,5、5,5 、5,8 、8,8 答案：C思路分析:考点解剖：本题主要考查中位数、平均数的概念解题思路：只要知道中位数、平均数的概念就很易解答此题。