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第一章 三维欧氏空间中的张量_小结

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欧氏空间

欧氏空间

(1) [ x , y ] = [ y , x ]; ( 2) [λ x , y ] = λ [ x , y ];
( 3) [ x + y , z ] = [ x , z ] + [ y , z ];
(4) [ x , x ] ≥ 0, 且当 x ≠ 0时, 有 [ x , x ] > 0.
二、向量的长度及性质 定义
α T α1 α T α 2 L α T α n 1 1 1 1 T T T α 2 α1 α 2 α 2 L α 2 α n 0 ⇔ =M M M M Tα T T α2 L α n αn 0 α n 1 α n
⇔ αT α j i 1, 当 i = j = δ ij = 0, 当 i ≠ j
[β1,α2] β2 = α2 − β1 [β1, β1]
已正交, 我们求得 β1 , β 2 已正交 再来求 β 3
β 3 = α 3 − λ1β1 − λ2 β 2 (1)
β3 α3 λ2 β 2 λ1β1 β1
(1)式两边与 β1 内积 注意 式两边与 内积,
[β1 , β 2 ] = [ β1 , β 3 ] = 0
x ⋅ y =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx y cos( x , y )
建立标准的直角坐标系后, 建立标准的直角坐标系后 可用向量的坐标来计算内积 设 x = ( x1 , x2 , x3 )T , y = ( y1 , y2 , y3 )T 则
x ⋅ y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
一、内积的定义及性质 定义 设有 n 维向量
x = [ x, x] =
2 2 2 x1 + x2 + L + xn ,

第一章 三维欧氏空间中的张量_小结

第一章 三维欧氏空间中的张量_小结

当坐标转动 当坐标反演
ij
（2）张量的阶数与分量数： 张量的阶数 = 表示张量所用的下标数
（3）单位张量：
δ 11 δ 12 δ 13 1 0 0 δ ij = δ 21 δ 22 δ 23 = 0 1 0 δ 31 δ 32 δ 33 0 0 1
—— 三维空间中的单 位张量 二维空间中的单位张量
律。例如：
(aij + bij )ck = aij ck + bij ck (aij bk )cm = aij (bk cm )
或
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C、张量函数的求导：
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标参
数 xi 的函数。
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。 ◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前
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E、张量的分解： 若张量[aij] 的分量满足 aij = aji 则称[aij] 为对称张量。 若张量[aij] 的分量满足 aij =－aji 则称[aij]为反对称张量。 显然反对称张量中标号重复的分量(也即主对角元素)为零。
a11 = a22 = a33 = 0
(1) (2)
ai = U imVmn cn
把（2） 代入（1）
bi = Vim cm
bm = Vmn cn
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2 乘积 设
p = U m am q = Vm bm p q = U m amVn bn p q ≠ U m amVm bm
不符合求 和约定
则
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现代数学物理方法一

现代数学物理方法一
ijk 1
3 (a b )i ijk a j bk jk 1
(a b )1 a2b3 a3b2 (a b )2 a3b1 a1b3 (a b )3 a1b2 a2b1
1-2-3 δ符号和ε符号的几个公式(1)
• 证明
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3
b3 ijk ai b j ck i , j , k 1 c3
3
1-2-3 δ符号和ε符号的几个公式(2)
左边=
a1b2c3 a1b3c2 a2b1c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2c1
右边=
a1b2c3 a1b3c2 a2b1c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2c1
• 镜面反射（2）
– 新基矢与旧基矢的关系 e1' e1 , e2' e2 , e3' e3 –镜面反射变换的系数 A1'1 1
A2 ' 2 A3'3 1
Ai ' i 0
当
i' i
1-3-1 基矢的变换(6)
• 反演(1)
– 三个坐标基矢都改号的变换叫反演。 e3 反演的结果与镜 e2 面反射一样，使 坐标系的类型发 e1' 生了改变。 e1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3
b3 ijk ai b j ck i , j , k 1 c3
3
1-2-4 三矢量的连乘(3)
• 证明
a1 b1 c1 a2 b2 c2
a b c b c a c a b

数学分析欧氏空间的几何结构

数学分析欧氏空间的几何结构

数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:几何与测量;内容提要:几何与测量; 内积;内容提要:几何与测量; 内积;叉乘回顾;内容提要:几何与测量; 内积;叉乘回顾; 距离.几何学(Geometry)在古代被称为测地之学.几何学(Geometry)在古代被称为测地之学.也就是说几何学是从测量中抽象出来的一门学问.几何学(Geometry)在古代被称为测地之学.也就是说几何学是从测量中抽象出来的一门学问. 问题:几何学测量哪些量呢?几何学(Geometry)在古代被称为测地之学.也就是说几何学是从测量中抽象出来的一门学问. 问题:几何学测量哪些量呢?最简单的有夹角,长度,距离等.几何与测量几何学(Geometry)在古代被称为测地之学.也就是说几何学是从测量中抽象出来的一门学问.问题:几何学测量哪些量呢?最简单的有夹角,长度,距离等.为了实现测量的目的,我们还要在欧氏空间中引入额外的结构.设u=(u1,···,u n),v=(v1,···,v n)∈R n,记u·v=ni=1u i v i,称为u,v的内积.设u=(u1,···,u n),v=(v1,···,v n)∈R n,记u·v=ni=1u i v i,称为u,v的内积.我们常用 , 表示内积,比如 u,v 表示u,v之间的内积.设u=(u1,···,u n),v=(v1,···,v n)∈R n,记u·v=ni=1u i v i,称为u,v的内积.我们常用 , 表示内积,比如 u,v 表示u,v之间的内积. 有了内积就可以定义向量的长度和向量之间的夹角.设u=(u1,···,u n),v=(v1,···,v n)∈R n,记u·v=ni=1u i v i,称为u,v的内积.我们常用 , 表示内积,比如 u,v 表示u,v之间的内积. 有了内积就可以定义向量的长度和向量之间的夹角.设u∈R n,记 u =u,u ,称为u的范数或长度.设u=(u1,···,u n),v=(v1,···,v n)∈R n,记u·v=ni=1u i v i,称为u,v的内积.我们常用 , 表示内积,比如 u,v 表示u,v之间的内积. 有了内积就可以定义向量的长度和向量之间的夹角.设u∈R n,记 u =u,u ,称为u的范数或长度.(Schwarz不等式)设u,v∈R n,则|u·v|≤ u · v ,等号成立当且仅当u,v线性相关.根据Schwarz不等式,当u,v为非零向量时,可以取θ(u,v)∈[0,π],使得cosθ(u,v)=u,v u · v,θ(u,v)称为u,v之间的夹角,也记为∠(u,v).根据Schwarz不等式,当u,v为非零向量时,可以取θ(u,v)∈[0,π],使得cosθ(u,v)=u,v u · v,θ(u,v)称为u,v之间的夹角,也记为∠(u,v).例1M m×n中的内积.根据Schwarz不等式,当u,v为非零向量时,可以取θ(u,v)∈[0,π],使得cosθ(u,v)=u,v u · v,θ(u,v)称为u,v之间的夹角,也记为∠(u,v).例1M m×n中的内积.我们知道,m×n型矩阵的全体M m×n也是一个向量空间,它可以视为mn维的欧氏空间.作为欧氏空间,其内积可定义为A,B =tr AB T,∀A,B∈M m×n.(绝对值不等式)设u,v∈R n,则 u+v ≤ u + v .事实上,根据Schwarz不等式,我们有u+v 2= u+v,u+v = u,u +2 u,v + v,v≤ u 2+2 u · v + v 2=( u + v )2.(绝对值不等式)设u,v∈R n,则 u+v ≤ u + v .事实上,根据Schwarz不等式,我们有u+v 2= u+v,u+v = u,u +2 u,v + v,v≤ u 2+2 u · v + v 2=( u + v )2.(距离)设u,v∈R n,记d(u,v)= u−v ,称为u,v之间的距离.(绝对值不等式)设u,v∈R n,则 u+v ≤ u + v .事实上,根据Schwarz不等式,我们有u+v 2= u+v,u+v = u,u +2 u,v + v,v≤ u 2+2 u · v + v 2=( u + v )2.(距离)设u,v∈R n,记d(u,v)= u−v ,称为u,v之间的距离.(三角不等式)设x,y,z∈R n,则d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).事实上,利用绝对值不等式可得d(x,z)= x−z = (x−y)+(y−z)≤ x−y + y−z =d(x,y)+d(y,z).设u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)∈R3,利用内积,线性函数(x,y,z)=x y z u1u2u3 v1v2v3可以表示为 (w)=w·(u×v).设u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)∈R3,利用内积,线性函数(x,y,z)=x y z u1u2u3 v1v2v3可以表示为 (w)=w·(u×v).于是,利用行列式的性质容易得出:u×v与u,v都垂直!在高维欧氏空间中,叉乘运算也有完全类似的性质.。

张量分析总结[范文]

张量分析总结[范文]

张量分析总结[范文]第一篇：张量分析总结[范文]中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第 1 页一、知识总结张量概念1.1 指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。

性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。

哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。

性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。

例：A11x1+A12x2+A13x3=B1A21x1+A22x2+A23x3=B2 A31x1+A32x2+A33x3=B3式(1.1)可简单的表示为下式：(1.1)Aijxj=Bi(1.2)其中：i为自由指标，j为哑标。

特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j则在同项中可出现两次，表示遍历求和。

在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。

1.2 Kronecker符号定义δij为：δij=⎨⎧1,i=j0,i≠j⎩(1.3)δij的矩阵形式为：⎡100⎤⎥δij=⎢010⎢⎥⎢⎣001⎥⎦(1.4)可知δijδij=δii=δjj=3。

δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。

如：δijδjk=δikδijδjkδkl=δil(1.5)中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第 2 页δij的作用：更换指标、选择求和。

1.3 Ricci符号为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：⎧1,i,j,k为偶排列⎪lijk=⎨-1,i,j,k为奇排列⎪0,其余情况⎩(1.6)图1.1 i,j,k排列图lijk的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。

Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。

1.4 坐标转换图1.2 坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为ei，新坐标系的基矢为ei'。

第一章 三维欧氏空间中的张量_第6次课

第一章 三维欧氏空间中的张量_第6次课

3. 散度：
a. 定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度 . b. 表达式：
v divF = lim
v v F ds
S
V 0
c. 散度的计算：
V
z
S3
S2
S6
在直角坐标系中，如图做一封闭 曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
S1 S4
S5
v v v v v v v v v v v v v v ds ds ds ds ds ds F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 + F 5 + F 6 ds
球坐标系中： v 1 R 2 FR ) F ( ( 1 Fθ sin θ ) 1 φ = 2 F + + R R R sin θ θR sin θ φ 正交曲线坐标系中： v 1 = F h1h2 h3
Fu h 2 h 3 1 ( Fu2 h1h3 ) Fu3 h1h2 ) ( + + u 2 u 3 u 1
讨论
a. 如果闭合曲面上的总通量 ψ > 0 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意 味着闭合面内存在正的通量源 . b. 如果闭合曲面上的总通量 ψ < 0 说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些 矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟 . c. 如果闭合曲面上的总通量 ψ = 0 说明穿入的通量等于穿出的通量 .
F F F G G G =i +j +k +i +j +k x y z x y z
= F + G
（2 + j + k )( FG ) ） ( FG ) = (i x y z

张量分析课件

张量分析课件

P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代 入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代 入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证： 刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚 体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证： 质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐 标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.

第一章张量分析基础知识

第一章张量分析基础知识

第⼀章张量分析基础知识晶体物理性能南京⼤学物理系由于近代科学技术的发展，单晶体⼈⼯培养技术的成熟，单晶体的各⽅⾯物理性能（如⼒、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作⽤的物理效应，在各尖端科学技术领域⾥，都得到了某些应⽤．特别是⽯英⼀类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电⼦技术中，⽐较早地在⼯业规模上进⾏⼤批⽣产和⼴泛应⽤．激光问世的四⼗多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应⽤中，已成单晶体应⽤中极为活跃的领域．《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之⼀，⽬的就是希望对晶体特别是光电技术中使⽤的晶体（包括基质晶体与⾮线性光学晶体）的有关物理性能及其应⽤⽅⾯的基本知识，有⼀个了解．对今后从事光电晶体的⽣长、检测和应⽤的⼯作，在分析问题、解决问题⽅⾯有所帮助，同时要在今后⼯作中不断从实践和理论两个⽅⾯扩⼤知识领域，有⼀个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个⽅⾯作深⼊全⾯的介绍，也将侧重于激光晶体有关的⼀些性能及其应⽤．鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离⼦晶体为主要对象，以光电技术上应⽤为线索组织内容，共分为⼋章．着重于从宏观⾓度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作⽤过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应⽤，包括弹性与弹性波（第⼆章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第⼋章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、⽅便地描述这些物理性能必须使⽤张量来表⽰．因此，在第⼀章，我们介绍了关于张量分析基础知识⽅⾯的内容．由于⽔平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因⽽内容安排不妥、取舍不当、错误之处⼀定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．第⼀章张量的基础知识§１．１标量、⽮量和⼆阶张量…………………………………………………………………２§１．２坐标变换和变换矩阵……………………………………………………………………§１．３正交变换矩阵的性质……………………………………………………………………§１．４晶体对称操作的变换矩阵……………………………………………………………§１．５⼆阶张量的变换与张量的定义………………………………………………………§１．６张量的⾜符互换对称…………………………………………………………………§１．７张量的矩阵表⽰和矩阵的代数运算…………………………………………………§１．８⼆阶对称张量的⼏何表⽰和⼆阶张量的主轴………………………………………§１．９⼆阶对称张量主轴的确定……………………………………………………………§１．10晶体张量与晶体对称性的关系………………………………………………………第⼆章晶体的弹性与弹性波§２．１弹性性质与原⼦间⼒…………………………………………………………………§２．２应变……………………………………………………………………………………§２．３应⼒……………………………………………………………………………………§２．４推⼴的虎克定律、弹性系数…………………………………………………………§２．５⽴⽅晶体的弹性系数…………………………………………………………………§２．６各向同性材料的弹性系数……………………………………………………………§２．７弹性扰动的传播――弹性波…………………………………………………………§２．８简谐振动和驻波……………………………………………………………………§２．９弹性常数及振动衰减因⼦的测量⽅法……………………………………………第三章晶体的介电性质§３．１介质中的宏观电场强度与极化强度………………………………………………§３．２晶体中的有效场……………………………………………………………………§３．３⾼频电场的介电极化（光的⾊散与吸收）………………………………………§３．４介电常数的测量……………………………………………………………………§３．５离⼦晶体的静电击穿………………………………………………………………§３．６激光的电击穿（激光的电击穿损伤）……………………………………………第四章铁电与压电物理§４．１铁电体的⼀般性质…………………………………………………………………§４．２常⽤铁电体的实验规律……………………………………………………………§４．３铁电体的相变热⼒学………………………………………………………………§４．４铁电体相变的微观机制……………………………………………………………§４．５晶体的压电效应……………………………………………………………………§４．６压电⽅程和机电耦合系数…………………………………………………………§４．７压电晶体的应⽤实例――⽯英……………………………………………………第五章晶体光学§５．１光学各向异性晶体…………………………………………………………………§５．２各向异性介质中光的传播…………………………………………………………§５．３折射椭球与折射率曲⾯……………………………………………………………§５．４晶体表⾯上的折射…………………………………………………………………§５．５晶体偏光⼲涉及其应⽤……………………………………………………………第六章倍频与参量频率转换§６．１⾮线性极化…………………………………………………………………………§６．２⾮线性极化系数……………………………………………………………………§６．３⾮线性介质中电磁场耦合⽅程……………………………………………………§６．４光倍频………………………………………………………………………………§６．５光倍频的相匹配……………………………………………………………………§６．６第II类相匹配………………………………………………………………………§６．７⾓度匹配和温度匹配扫描实验曲线………………………………………………§６．８内腔倍频……………………………………………………………………………§６．９光参量放⼤…………………………………………………………………………§６．10参量振荡器…………………………………………………………………………§６．11参量振荡器的调谐⽅法……………………………………………………………§６．12参量频率上转换……………………………………………………………………§６．13⾮线性材料的性能要求……………………………………………………………第七章电光效应及其应⽤§７．１线性电光效应………………………………………………………………………§７．２两种典型材料的电光效应…………………………………………………………§７．３电光滞后……………………………………………………………………………§７．４电光调制原理………………………………………………………………………§７．５实际调制器的⼏个问题……………………………………………………………§７．６晶体电光开关………………………………………………………………………§７．７电光Q开关…………………………………………………………………………§７．８电光偏转……………………………………………………………………………§７．９电光材料……………………………………………………………………………§７．10晶体均匀性的实验检测……………………………………………………………§７．11晶体的激光损伤……………………………………………………………………§７．12晶体均匀性实验检测………………………………………………………………第⼋章声光效应及其应⽤§８．１弹光效应……………………………………………………………………………§８．２声光交互作⽤产⽣的衍射现象……………………………………………………§８．３声光交互作⽤的理论………………………………………………………………§８．４声光效应在⼀些物理常数测量中的应⽤…………………………………………§８．５声光调制器…………………………………………………………………………§８．６声光偏转器…………………………………………………………………………§８．７声光调Q……………………………………………………………………………§８．８声光材料……………………………………………………………………………附录A．３２点群投影图…………………………………………………………………………B．各阶张量在不同点群中的矩阵形式……………………………………………………C．主要常数表………………………………………………………………………………D．单轴晶体中光线离散⾓α的推导………………………………………………………E．双轴晶体中双折射⾯相差Γ的推导……………………………………………………F．贝塞尔函数的基本性质…………………………………………………………………第⼀章张量分析基础知识以前学的课程中，有关⼒学、热学、电学、光学等的性质都是以各向同性介质来表述的或以⼀维问题来说明问题，这对于突出某些物理现象的微观的物理原因⽅⾯是必要的，但晶体物理性能是讲晶体中的⼒学、电学、光学、声学、磁学、热学等物理性能，⽽晶体的各向异性却是⼀种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、⾮线性光学效应……等等物理现象则完全因为晶体具有各向异性性质才能表现出来．因此，晶体结构对称性和这些性质之间的关系成为问题的主要⽅⾯。

第一章 张量初步

第一章 张量初步
g c( g2 g3 )
1
上式两端同时点乘g1得到
所以 同理
g
2
1 g 1 g c g 1 ( g 2 g 3 ) c[ g 1
1
g2
g3 ] c
g
g
1
1 g
( g2 g3 )
1 g
( g 3 g1 ) ( g1 g 2 )
13
g
3
1 g
ppt/102
x
1
e 1
x
2
e 2
x
3
e 3
x
k
ek
16
空间点的局部基矢量
下面证明：空间一点的局部逆变基矢量可表示为坐标面的
ppt/102
梯度，即
g x
i i
x x
i k
ek,
i , k 1, 2 , 3 x x
i k
i i ik ik
det( j ) det( g g kj ) 1
i ik
这再次证明(gij)与 (gij)互为逆矩阵。
12
ppt/102
g g j j,
i i
i , j 1, 2 , 3
由上式可知，逆变基矢量g1与协变基矢量g2 、 g3垂直， 可以用协变基矢量g2 、 g3的叉积表示逆变基g1：
dr
g ij g
i
dx g idx
gi g j ,
i , j 1, 2 , 3
称为度量张量G=(gij)的分量。
9
ppt/102
g ij g i g j ,
i , j 1, 2 , 3

定义与基本性质欧氏空间

定义与基本性质欧氏空间

欧氏空间的性质
完备性
在欧氏空间中，任意柯西序列都收敛，即任意两点之间的距离可 以由有限步的有限位移得到。
有限维性
欧氏空间是有限维的，其维度等于空间中独立坐标的个数。
连通性
欧氏空间是连通的，即任意两点之间都存在一条连续的路径。
欧氏空间的维度
一维欧氏空间
只有一条坐标轴。
二维欧氏空间
有两条相互垂直的坐标轴。
向量的模
欧氏空间中向量的模定义为向量长度或大小，表 示为$| vec{v} |$，计算公式为$sqrt{v_1^2 + v_2^2 + cdots + v_n^2}$。
向量的内积
欧氏空间中向量的内积定义为两个向量的点积， 表示为$vec{v} cdot vec{w}$，计算公式为 $v_1w_1 + v_2w_2 + cdots + v_nw_n$。
连续性的几何意义
在欧氏空间中，连续性意味着函数图像的每一点附近都有其他点，这些点与图像 上对应的点足够接近。
03
欧氏空间的应用
解析几何中的欧氏空间
解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法研究几何对象。在解析几何中 ，欧氏空间是一个基本的、重要的概念，用于描述平面和三维空间中的点、线、 面等几何元素。
长度和半径
欧氏空间中，线段的长度和圆的 半径可以通过度量性质进行计算 。
欧氏空间的平行性
平行直线
在欧氏空间中，两条直线平行当且仅当它们的方向向量成比 例。
平行平面
在欧氏空间中，两个平面平行当且仅当它们的法向量共线。
欧氏空间的连续性
连续性定义
在欧氏空间中，如果对于任意给定的正数$epsilon$，都存在一个正数$delta$，使 得对于空间中的任意两点$P$和$Q$，只要$d(P, Q) < delta$，就有$d(f(P), f(Q)) < epsilon$，则称函数$f$在欧氏空间中是连续的。

第一章 张量简介

第一章 张量简介

x′jδij = x j ⋅ βij ⇒ xi′ = βij x j
线性变换
{ x′ } = [ T ]{ x }
正交矩阵
[ ]T
=
⎛ ⎜ ⎜
β11 β21
β12 β22
β13 β 23
⎞ ⎟ ⎟
⎜⎝ β31 β32 β33 ⎟⎠
[ T ]T = [ T ]−1
5、张量的定义
（1） 零阶张量 一个元素：它是坐标变换下的不变量—零阶张量
→
⎛ σ11
⎜ ⎜⎜⎝
σ σ
21 31
σ12 σ 22 σ 32
σ σ σ
13 23 33
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
→
σ
ij
⎛ ⎜⎝
i j
= 1、2、3⎞ = 1、2、3⎟⎠
[ε
]
→
ε
ij
⎛ ⎜⎝
i j
= 1、2、3 ⎞ = 1、2、3⎟⎠
2、Kronecker δij
定义：
δ ij
=
⎧1 ⎨⎩ 0
(i = (i ≠
第一章 张量简介
1、下标记法：
x、y、z → xi (i=1、2、3)，
u、v、w → u (i=1、2、3)， i
x → x1、y → x2、z → x3
u → u 、v → u 、w → u
1
2
3
[σ ] = ⎛⎜⎜τσyxx
⎜⎝τ zx
τ xy σy τ zy
τ xz τ yz σz
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
同济大学土木工程学院水利工程系李遇春编塑性力学基础同济大学土木工程学院水利工程系2012年12同济大学土木工程学院水利工程系李遇春编第一章张量简介1下标记法

张量基础知识

张量基础知识
J1 11E112E213E3 J2 21E122E223E3 J3 31E132E233E3
或表示成分量形式
3
Ji ijEj （i1,2,3) j1
矩阵形式
J1 111213 E1 J2 212223 E2 J3 313233 E3
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
同理
xi x ij' j'
同二维问题，可得
ij' j'k
ik
（正交性）
于是得到最终的矢量变换法则如下
P*P A 1PA
a11 a21 a31
P1* P2* P3* P1 P2 P3a12 a22 a32
a13 a23 a33
P* AP
PP12**
a11 a21
a12 a22
a13P1 a23P2
Tij*k ail a jm aknTlmn
T* ijkl
aim a jn akoalpTmnop
Tij akialjTk*l
Tijk ali amjankTlm* n
Tijkl
amianj aok
a
pl
T* mnop
张量定义
定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量
i'j'k'l' i'i j'j k'k
律可表示为
JE
11 12 13
21Biblioteka 222331 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
2.2 张量的数学定义

第一章 三维欧氏空间中的张量

第一章 三维欧氏空间中的张量
i ′i
∑A
3
Ai ′j =δ ij
∑A
i =1
i ′i
Aj′i =δ i ′j ′
元素相乘作和等于0. 1 (i'=j') 矩阵A的同一行的各元 素的平方和等于1.
将正交矩阵每一行的三个元素看成一个矢量的三个分量： 正交矩阵的不同行所代表的矢量相互正交， 每一行所代表的矢量长度为1.
∑A
i =1
ai′ = ∑ Ai′i ai（i'=1，2，3）
i =1
3
r 如果 a是赝矢量，在坐标反演时，赝矢量要改变方向 r ∑ a e (当坐标转动) r ∑a e = r ∑ a e (当坐标反演)
3 3 i ′ =1 i′ i′ i =1 i i 3
矢量的分量和坐标基矢有相同的变化规律!
i =1
i
i
∑ A i ′i a i (当坐标转动) i =1 a i′ = 3 ∑1 A i ′i a i (当坐标反演) i=
3
赝矢量的分量在坐标转动时和坐标基矢有相同的 变换，而在坐标反演时和坐标基矢的变换相差符号.
四、正交变换 以上讨论的几种坐标变换（转动、反演和镜面 反射）都保持矢量点积的公式不变.
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物理学中的 张量分析
刘连寿，郑小平 著
坐标原点不动，包括转动、镜面反射和反演.
第3节 坐标变换 Vector Transform r r
a b = ∑ ai biδ ij
i =1
3
正交变换 —保持矢量点积不变的变换 一、基矢的变换 r r r 设原来坐标系的基矢为： e1 , e2 , e3 r r r r 坐标系转动后的坐标基矢为： e1′ , er′ , e3′ 2 e3 e3′ 这三个基矢在原来坐标中的分量用： ( A1′ 1 , A1′ 2 , A1′ 3 ), ( A2′1 , A2′2 , A2′3 ), ( A3′1 , A3′2 , A3′3 ), O′ 表示，因而有 O r r r r e1′ = A1′ 1e1 + A1′ 2 e2 + A1′ 3e3 r r r r r r e1 e1′ e2′ = A2′1e1 + A2′2 e2 + A2′3e3 r r r r e3′ = A3′1e1 + A3′2 e2 + A3′3e3

欧几里得空间 (小结)

欧几里得空间 (小结)

一、欧氏空间 1.内积、欧氏空间的概念及其简单性质.
2.柯西—布涅可夫斯基不等式: (α, β)2≤(α, α)(β, β) 3.向量的长度: | | ( , )
( , ) , (0 ) 4.两个非零向量α与β的夹角: arccos
若(α, β)=0，则α与β正交.
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(5) 设A是实对称矩阵，则属于A的不同特征值的
特征向量是正交的.
(6) 任一个n级实对称矩阵A都可以正交对角化，
即存在正交矩阵U，使得 UTAU=U-1AU 是对角形
式，相应地有对于欧氏空间V的任一个对称变换σ,
存在V的标准正交基， σ在这个标准正交基下的矩 阵是对角形式.
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二、标准正交基 １. 标准正交基的概念.
２. 标准正交基的求法—施密特正交化方法.
３. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正 交矩阵. 反过来，假如两个基之间的过渡矩阵是
正交矩阵，而且其中一个基是标准正交基，那么
另一个基也是标准正交基.
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三、正交补 内射影 1. 向量与集合正交的概念.
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五、欧氏空间的同构
1. 欧氏空间同构的概念. 2. 两个有限维欧氏空间同构<＝>它们的维数相同. 3. 每个n维欧氏空间都与Rn同构. 本章的重点是欧氏空间的基本概念、标准正 交基、正交变换和正交矩阵、对称变换与对称矩 阵.
难点是正交变换、正交补、对称变换.
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2. 欧氏空间的子空间V1的正交补的概念.
3. 设V1是V的子空间，则有V=V1⊕V1⊥，且任意 α∈V可以唯一写成α=α1+α2,其中α1∈V1,α2∈V1⊥， 则称α1是α在V1上的内射影.

三维欧氏空间中的张量

三维欧氏空间中的张量

1.3.4
符号 δij 和 εijk的关系 1 3 2 (3.5)
Levi-Civita 符号的定义
+1 εijk = −1 0
i,j,k为(1,2,3)的正循环 i,j,k为(1,2,3)的正循环 i,j,k为(1,2,3)的逆循环 i,j,k为(1,2,3)的逆循环 其它情况
如：ε123 = +1
Tij′(r′) = ail ajmTlm(r )
(2.3)
记为 T(r ) 3*3矩阵表示 3*3矩阵表示
Tij (r ) :第 (i, j) 个分量
T T T 11 12 13 T21 T22 T23 T T T 31 32 33
+⋯ 补充: 补充:坐标表示 T = T e1e1 + T e1e2 + T e1e3 + T21e2e1 + T22e2e2 + 11 11 13
i = 1, 2,3
(1.2)
一对重复指标(哑指标)表示对从1 一对重复指标(哑指标)表示对从1到3求和
写成矩阵表示形式
′ e1 a11 a12 a13 e1 ′ (1.3) e2 = a21 a22 a23 e2 e′ a a a3 e3 3 31 32 a11 a12 a13 记 a21 a22 a23 ≡ a (1.3)可写为 e′ = ae (1.3)可写为 a a a3 31 32
类似地, 类似地, 3n个量 Ti i ⋯i (r ) (i1, i2 ,⋯, in = 1, 2,3) 在转动变换下 12 n 像n个坐标分量的乘积 xi1 xi2 ⋯xin (i1, i2 ,⋯, in = 1, 2,3) 变换

笛卡尔张量简述汇总

笛卡尔张量简述汇总

一、约定求和法
如果在同一项中，某个指标重复出现两次，就表示要 对这个指标从1到3求和，例如
（1） i称为约定求和指标，或“哑指标”，哑指标的字母可
以替换，如
（2）
（3） （4）
式中，j是哑指标，i不参加求和约定，i称自由指标。
二、克罗内克(Kronecker)符号
显然
例如，在笛卡尔直角坐标中， 单位矩阵可以表示为
采用约定求和法以克罗内克符号给我们的书写和计算
带来很大的方便。下面是几个常用的性质和运算。
① ②
③
指标缩并
④
三、Levi-Civita符号(permutation置换符号)
1、定义
其中： 其余21个全部为零。
2、采用Levi-Civita符号的方便性
① 用置换符号表示三阶行列式的值
② 用置换符号表示
例如，应力σij全体是二阶张量，在平面问题中（二维空 间）称为应力张量。
四、n阶张量 n阶张量有3n个分量，每个分量有n个指标，这些分量随 坐标的变化规律为
例如广义胡克定律： 其中 为一四阶张量（各项同性张量）
关于张量的运算规则以及进一步的讨论，在此不再介绍， 有兴趣的可参阅张量分析的有关书籍。
第一章 笛卡尔张量简述
本章讨论欧式空间内，在笛卡尔坐标系间 变换的张量理论的概念，这是最简单、最常 用的，为叙述方便，以三维空间为代表，亦 可推广到n维空间。
1-1 预备知识
坐标系的分类
笛卡尔坐标系 直线坐标系
仿射坐标系
笛卡尔直角坐标系 笛卡尔斜角坐标系
正交曲线坐标系 曲线坐标系
非正交曲线坐标系
以xi（i=1,2,3）表示笛卡尔坐标系的坐标， ， ， 分别表示三个 坐标单位矢量。（i=1,2,3称为指标）

第一章 三维欧氏空间中的张量

第一章 三维欧氏空间中的张量

aij bi c j = ∑∑ aij bi c j = a11b1c1 + a12 b1c2 + a13b1c3
i =1 j =1
j =1 3
3
展开式（9项）
+ a21b2 c1 + a22 b2 c2 + a33b2 c3
+ a31b3c1 + a32 b3c2 + a33b3c3
aijk xi x j xk = ∑∑∑ aijk xi x j xk
r r r r 得到 r e i × e j = ε ij 1 e1 + ε ij 2 e 2 + ε ij 3 e3
●
r r r r r e1 × e2 = −e2 × e1 = e3 r r r r r e2 × e3 = −e3 × e2 = e1 r r r r r e3 × e1 = −e1 × e3 = e2
2 2 11 2 22
2
2 33
2
(aii ) = (a11 + a22 + a33 )
例外情况
R1 = C1 E1 R2 = C2 E2
Ri = C i E i = C i Ei
这里 i 相当于一个自由指 标，而 i 只是在数值上等 于 i，并不与 i 求和.
R3 = C3 E3
规定
出现双重指标但不求和时，在指标下方 加划线以示区别，或用文字说明(如 i 不 求和).
r r ei × e j = 0
i=j
任意两矢量的叉积
3 r r r r r a = a1e1 + a2 e2 + a3 e3 = ∑ ai ei i =1 r 3 r r r r b = b1e1 + b2 e 2 + b3 e3 = ∑ bi ei r r 3 3 r r i =1 a × b = ∑ ∑ ai b j ei × e j

三维欧氏空间中的张量

三维欧氏空间中的张量
旋转与平移
旋转和平移操作会影响张量的值，需要根据具体的变换规则进行计 算。
缩放与拉伸
缩放和拉伸操作会影响张量的尺寸，需要根据具体的变换规则进行 计算。
张量的分解与重构
01
分解
将一个复杂的张量分解为若干个 简单的张量或基本张量，便于理 解
根据分解后的简单张量或基本张 量，重新构造出原来的复杂张量。
张量的运算
总结词
张量的运算包括标量运算、矢量运算和张量运算，这些运算可以用于计算张量的值和变 换张量。
详细描述
标量运算是针对张量的单个元素进行的代数运算，如加法、减法、乘法和除法等；矢量 运算是针对由多个元素组成的矢量进行的运算，如矢量的加法、减法、数乘和点积等； 张量运算是将一个或多个张量作为输入，通过一定的变换规则得到一个新的张量，如张
三维欧氏空间中的张量
contents
目录
• 张量基础 • 三维欧氏空间中的张量表示 • 张量在物理中的应用 • 张量的计算与变换 • 三维欧氏空间中张量的应用实例
01
张量基础
张量的定义
总结词
张量被定义为满足一定规则的数学对象，用于描述物理量在坐标变换下的性质。
详细描述
在三维欧氏空间中，张量是一个多维数组，其元素可以是实数、复数或向量等。 张量可以表示物理量在不同坐标系下的关系，具有变换规则，能够保持物理量 在不同坐标变换下的不变性。
量的缩放、转置和求导等。
02
三维欧氏空间中的张量表示
坐标系与基底
坐标系
在三维欧氏空间中，我们通常使用笛卡尔坐标系来表示点的位置。该坐标系由三 个互相垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。
基底
基底是三维欧氏空间中一组线性无关的向量，通常选择三个两两正交的单位向量 作为基底，分别为ex、ey和ez。

三维向量空间回顾_524403721

三维向量空间回顾_524403721

cos R2 0 sin
0 sin 1 0 0 cos sin 0 cos
则两次旋转的总的旋转矩阵为
cos cos cos sin R R2 R1 sin cos sin cos sin sin
1 1 0
(1,2,3)的偶排列 (1,2,3)的奇排列 其它
由向量积的几何定义可知， 两个向量叉积的大小表示这两向量组成的平行四边形 的面积.显然，两个分量平行时，向量积为零.在 n 维空间中，两个向量 x 和 y 平行是指， 一个向量恰好是另一个向量的倍数：x=ay.此时，称这两个向量线性相关. 向量线性相关(linear independence)的定义：一个向量可以用另外 m 个向量来表示， 则称这 m+1 个向量线性相关. 三维空间中行列式的几何意义
三维欧氏与四维闵氏空间
§ 0.1 欧氏空间回顾 § 0.2 场论 § 0.3 闵氏空间 § 0.1 欧氏空间回顾 以下主要介绍三维欧氏空间.其它维数的空间只是维数不同而已. 欧氏空间中的任何一点用向量(也称矢量 vector)来描述. 向量的几何定义与代数定义 几何定义：有向线段 代数定义：n 维有序实数组 ( x1 , x2 ,
物理学中运用向量的一个经典的例子—行星轨道理论的向量分析 为了说明向量方法的功能和应用，我们用向量分析来解决开普勒轨道问题 .(不是牛 顿采用的原始方法.牛顿的原始方法可以称为几何法.) 无论一开始用什么方法，最后都 是必须用到微积分才能彻底解决行星运动问题的. 我们首先证明开普勒第二定律：在有心力场中角动量为一常量.即
矢量的变换就是
a11 c1 c2 = a21 c a 3 31
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(6) σ ij l j λ li = σ ij l j λδ ij l j = (σ ij λδ ij )l j
例1：完成脚标变换 Ai→Ak
δ ki Ai = δ kk Ak = Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能 用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示. 例2：完成变换 Tkj→Tij
(1) (2)
ai = U imVmn cn
把（2） 代入（1）
bi = Vim cm
bm = Vmn cn
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2 乘积 设
p = U m am q = Vm bm p q = U m amVn bn p q ≠ U m amVm bm
不符合求 和约定
则
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当坐标转动 当坐标反演
ij
（2）张量的阶数与分量数： 张量的阶数 = 表示张量所用的下标数
（3）单位张量：
δ 11 δ 12 δ 13 1 0 0 δ ij = δ 21 δ 22 δ 23 = 0 1 0 δ 31 δ 32 δ 33 0 0 1
—— 三维空间中的单 位张量 二维空间中的单位张量
其分量为： ( T ± S ) i j = ei ( T ± S ) e j
其矩阵形式为：
[T ± S ] = [T ] ± [ S ]
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◆ 一个张量在一个坐标系中的所有分量都为0，则在所 有坐标系中的所有分量都为0。 这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助，如：要考 虑Fi 导致的应力σij ，以后将证明，为满足平衡 σij,j=Fi ，现将它重写为
别该张量的所有分量。
可用下标表示为 u1 , u2 , u3 位移：u , v, w 缩写为 缩写为
ui xi
(i = 1，2，3) (i = 1，2，3)
x 坐标： , y, z
可用下标表示为
x1 , x2 , x3
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其
方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的 阶次。
(3) δ ijδ jk = δ i1δ1k + δ i 2δ 2k + δ i 3δ 3k = δ ik (4) aijδ ij = a11δ11 + a22δ 22 + a33δ 33 = aii (5) aiδ ij = a1δ1 j + a2δ 2 j + a3δ 3 j = a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
δ ikTkj = δ iiTij = Tij
特别地
δ ikδ kj = δ ij
δ ikδ kjδ jm = δ im
例3： Ami Bnj 代表34=81个数，求 m=n时各项的和.
δ mn Ami Bnj = Ani Bnj = Ami Bmj
1.5
张量的基本运算
张量的运算法则与矢量相类似。 如：张量相等即对应分量相等； 张量相加即对应分量相加； 张量相乘构成一个阶数是原张量的阶数之和的新张量； n 阶张量缩并后变为n-2 阶张量等等。
（即：标量）
0阶张量： 如：温度T、能量U 等, 分量数：1 = 30 = 2 0 = 1
在三维空间中，其分量数：3
= 31 一阶张量： （即：矢量） 1 在二维空间中，其分量数：2 = 2 aij , 在三维空间中，其分量数：9 = 32 二阶张量： 2 在二维空间中，其分量数：4 = 2 aijk , 在三维空间中，其分量数：27 = 33 三阶张量： 在二维空间中，其分量数：8 = 2 3
表示反对称化运算
cij = a[ ij ]
1 ≡ (aij a ji ) 2
相加
bij = a(ij ) cij = a[ ij ]
1 ≡ (aij + a ji ) 2 1 ≡ (aij a ji ) 2
aij = a(ij ) + a[ij ]
(6) 指标记法
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区
n 阶张量:
在三维空间中，其分量数： 在二维空间中，其分量数：
= 3n = 2n
（5）任意张量的分解定理：
对任一张量（既非对称，又非反对称）[aij ]，总可以唯一地 分解为一个对称张量 [bij] 与一个反对称张量 [cij] 之和.
表示对称化运算
bij = a(ij )
对称张量 反对称张量
1 ≡ (aij + a ji ) 2
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E、张量的分解： 若张量[aij] 的分量满足 aij = aji 则称[aij] 为对称张量。 若张量[aij] 的分量满足 aij =－aji 则称[aij]为反对称张量。 显然反对称张量中标号重复的分量(也即主对角元素)为零。
a11 = a22 = a33 = 0
r vi 代表矢量 V 的所有分 r 量，即当V 写作vi 时，指标的 值从1到3变化.
V1
x3
V3
r e3
r V
P ( v1 , v2 , v3 )
r or e e1 2
V2
x2
x1 r f (X ) = f (xi )=f (x j )=f (x1 ,x2 ,x3 )
关于自由标号： ◆ 在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即 同阶且标号字母相同. a ij x j = bi ◆ 自由标号的数量确定了张量的阶次.
对于单位矢量，点积eiej = δij ； 其他关于Kronecker符号的描述可以参考孙炳楠的 《工程弹塑性力学》及相关张量的其他文献。δij 的作用与计算示例：
(1) δ ii = δ11 + δ 22 + δ 33 = 3
(2) δ ijδ ij = (δ11 )2 + (δ 22 )2 + (δ 33 )2 = 3
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物理学中的 张量分析
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张量概念小结： （1）张量概念的两个要点：
（a）张量是一群具有下标量的集合.
（b）不同坐标系间变换时，服从同样的变换规
律，如：二阶张量
α
i ′j ′
3 3 ∑ ∑ A i ′ i A j ′j α i j i =1 j =1 = 3 3 ∑1 ∑1 A i ′i A j ′j α i= j=
◆ 如果在微商中下标符号i 是哑标号，则作用的结果将产
生一个新的降低一阶的张量。
ui ,i
ui u1 u 2 u 3 = = + + x i x1 x 2 x 3
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指标记法的运算
1 代入 设
3个方 程，右边 为9项之 和
ai = U im bm bi = Vim cm
δ 11 δ 12 1 0 δ ij = = 0 1 —— δ 21 δ 22
（4）对称张量与反对称张量：
σ ij 、 ij 等. ε a 若一二阶张量： ij , 具有 aij = a ji 则称该二阶张量为反对称张量.
如：应力张量 若将其排列成矩阵，必有：
0 a 12 a13
◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标
号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。 ◆ 如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三 维空间，即变程为3。
r 矢量 V 的方式表示： r V = (v1 ,v2 ,v3 ) 3 r r r r = v1e1 + v2 e2 + v3e2 = ∑ vi ei i =1 = vi
(7) Kronecker delta（δij）符号
δij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号，
亦称单位张量,也叫置换算子.其定义为：
1, δ ij = 0, 当 i = j 时； 或： 当 i ≠ j 时； 1 0 0 δ ij = 0 1 0 0 0 1
δijvj = vi 即在将δij 应用于vj 只是将vj中的j 用i 置换；
一般张量总可以唯一地表示成一个对称张量和一个反对 称张量之和。
1 pij = (aij +a ji ) 2
1 qij = (aij－a ji ) 2
End
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End
3 因式分解 考虑 第一步用
Tij n j - l ni = 0 nj
表示
ni ,δ i j
有换指标的作用
ni = δ ij n j
所以 即
Tij n j - l δ ij n j = 0 (Tij - l δ ij )n j = 0
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D、张量的分量： 设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量，a为任一矢量，其 r r 分量为ai，于是 a = ai ei r r r r ai = a ei = ei a 对于一个二阶张量T，它可以将a变换成另一个矢量b，即 r t r t tr r b = T a = T ( a i e i ) = a i (Te i ) tr r r r tr bi = be i = a j (Te j ) e i = a j ( e i Te j ) = Tij a j r t r Tij = e i T e j 称为二阶张量T 的分量 可理解为矢量Tej在ei上的分量。
律。例如：
(aij + bij )ck = aij ck + bij ck (aij bk )cm = aij (bk cm )
或
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C、张量函数的求导：
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标参
数 xi 的函数。