分式知识点及例题一、分式的概念形如$＼dfrac{A}｛B}＄（＄A$、＄B$是整式，且$B$中含有字母，＄B\neq 0$）的式子叫做分式。
其中，＄A$叫做分子，＄B$叫做分母。
例如：＄＼dfrac{x}｛y}＄，＄＼dfrac{2}｛x ＋ 1}＄，＄＼dfrac{3x 1}｛x^2 1}＄等都是分式。
需要注意的是：（1）分式的分母中必须含有字母。
（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式就没有意义。
例如，在分式$＼dfrac{x}｛x 1}＄中，当$x 1 ＝ 0$，即$x ＝ 1$时，分式没有意义。
二、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于$0$的整式，分式的值不变。
即：＄＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼times M}｛B ＼times M}＄，＄＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼div M}｛B ＼div M}＄（＄M$为不等于$0$的整式）例如：＄＼dfrac{x}｛y} ＝＼dfrac{x ＼times 2}｛y ＼times 2} ＝＼dfrac{2x}｛2y}＄三、分式的约分把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是确定分子与分母的公因式。
确定公因式的方法：（1）系数：取分子、分母系数的最大公约数。
（2）字母：取分子、分母相同字母因式的最低次幂。
例如：＼＼begin{align}＼dfrac{6xy}｛9x^2y} ＆＝＼dfrac{2 ＼times 3 ＼times x ＼times y}｛3 ＼times 3 ＼times x ＼times x ＼times y}＼＼＆＝＼dfrac{2}｛3x}＼end{align}四、分式的通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数。
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。
分式知识点归纳一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子＄＼frac{A}｛B}＄就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分式的分母不能为 0，因为除数不能为 0。
如果分母 B 的值为 0，那么分式＄＼frac{A}｛B}＄就没有意义。
例如，＄＼frac{x}｛y}＄是一个分式，其中 x 是分子，y 是分母；而＄＼frac{5}｛3}＄就不是分式，因为它的分母 3 是一个常数，不含字母。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。
即对于分式＄＼frac{A}｛B}＄，当＄B ＼neq 0$ 时，分式有意义。
例如，对于分式＄＼frac{x ＋ 1}｛x 2}＄，要使其有意义，则＄x2 ＼neq 0$，即＄x ＼neq 2$。
三、分式值为 0 的条件分式值为 0 的条件是分子为 0 且分母不为 0。
即对于分式＄＼frac{A}｛B}＄，当＄A ＝ 0$ 且＄B ＼neq 0$ 时，分式的值为 0。
例如，若分式＄＼frac{x^2 1}｛x ＋ 1}＄的值为 0，则＄x^2 1 ＝0$ 且＄x ＋ 1 ＼neq 0$。
由＄x^2 1 ＝ 0$ 可得＄x ＝＼pm 1$，又因为＄x ＋ 1 ＼neq 0$，所以＄x ＼neq 1$，因此＄x ＝ 1$ 时，该分式的值为 0。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
用式子表示为：＄＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A ＼times C}｛B ＼times C}＄，＄＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A ＼div C}｛B ＼div C}＄（＄C ＼neq 0$）例如，＄＼frac{x}｛y} ＝＼frac{x ＼times 2}｛y ＼times 2} ＝＼frac{2x}｛2y}＄，＄＼frac{3a}｛5b} ＝＼frac{3a ＼div 3}｛5b ＼div 3} ＝＼frac{a}｛＼frac{5}｛3}b}＄五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
2020年中考数学第二轮复习 第九讲 分式方程【强基知识】一、分式方程的概念分母中含有 的方程叫做分式方程注意：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据 二、分式方程的解法：1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即整式方程转化去分母分式方程→ 2、解分式方程的一般步骤：①、 ②、 ③、 3、增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
注意：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。
如：131=---xx a x 有增根，则a= ，若 该方程无解，则a= 。
三、分式方程的应用：解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 ，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
注意：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型【中考真题考点例析】 考点一：分式方程的解A ．a≤-1B ．a≤-1且a≠-2C ．a≤1且a≠-2D ．a≤1．对应练习1－1 （贵港）关于x 的分式方程011=++x m的解是负数，则m 的取值范围是（ ）考点二：解分式方程 例2.（2019年淄博）解分式方程22121--=--xx x 时，去分母变形正确的是A ．()2211---=+-x xB ．()2211--=-x xC ．()x x -+=+-2211D ．()2211---=-x x对应练习2－1 （2019年山东临沂）解方程：25-x ＝x 3． 对应练习2－2（2019年山东滨州）方程33122x x x-+=--的解是_________． 考点三：含字母系数的分式方程 例3.（2019年烟台）若关于x 的分式方程3xx －2－1＝m ＋3x －2有增根，则m 的值为____________考点四：由实际问题抽象出分式方程 例4. ( 2019年济宁)世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 幕站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（ ） A ．5005004510x x -= B ．5005004510x x -= C ．500050045x x -= D ．500500045x x-= 对应练习4－1 （2019年莱芜）已知A 、C 两地相距40千米，B 、C 两地相距50千米，甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发到C 地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C 地．设乙车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 对应练习4－2 （深圳）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ）A ．1440144010100x x -=-B ．1440144010100x x =++ C ．1440144010100x x =+-D ．1440144010100x x-=+考点五：分式方程的应用 例5.（2019年菏泽）（本题6分）列方程（组）解应用题.德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工，届时，如果汽车行驶在高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求汽车在高速公路的平均速度. 对应练习5－1（2019年泰安）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进A 、B 两种粽子1100个，购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同，已知A 粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍. （1）求A 、B 两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购买A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变，求A中粽子最多能购进多少个？对应练习5－2 （2019年威海）小明和小刚约定周末到某体育馆打羽毛球，他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米。
根据分式方程的解确定字母系数的值或范围，经常作为客观题型出现，难度不大，但学生却非常容易失分。
★★★○○○○因为解分式方程是通过去分母将分式方程转化为整式方程来求解的，由此就有可能得到的根使原分式方程的分母为零，而使原分式方程分母为零的根也即是原方程的增根，围绕着增根和分式的分母不为零就产生了以下的几种常见题型：1.已知含字母系数的分式方程有增根，求字母系数的值；2.已知含字母系数的分式方程无解，求字母系数的值；3.已知含字母系数的分式方程的解的范围，求字母系数的范围.1.有增根的问题，先将分式方程化为整式方程，再把使分母为零的未知数的值代入到整式方程中，求出字母系数的值；2.无解的问题，先将分式方程化为整式方程，①若最高次项系数中不含字母系数，则把使分母为零的未知数的值代入到整式方程中，求出字母系数的值；②若最高次项中含字母系数，则还需要考虑最高次项系数为零的情况.3.已知解的范围，根据解的范围，结合使分母不为零，确定字母系数的范围.例1.若分式方程1133a x x x -+=--有增根，则a 的值是（ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4【答案】D【精细解读】去分母，把分式方程转化为整式方程，将使分母为零的未知数的值代入到整式方程中，求出字母系数a 的值.去分母得： x −2＝a － x ，由分式方程有增根，得到x −3＝0，即x ＝3，把x ＝3代入整式方程得：a −3＝1，解得a ＝4. 学科@网例2.已知关于x 的分式方程2121x m x x-=++的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A . m ≥－3 B . m ≤－3 C . m ＞－3 且m ≠－2 D . m ≥3且m ≠－2 【答案】C例3.若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则m 的值为( ) A . －32 B . 1 C . 32或2 Ｄ－12或－32 【答案】D【精细解读】分式方程无解，意味着或者将分式方程转化为整式方程后求提的解都是增根，若转化为的整式方程是一次项系数中含有字母系数的一元一次方程，则要注意系数为零的情况.若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则30x =或 而分式方程2213m x x x +-=-，去分母得()()()2323x m x x x x +--=- 即： ()216m x +=-当3x =时，()3216m +=-，解得 32m =-当0x =时，无解；又因为当210m +=时，整式方程()216m x +=-无解，即12m =- 综上所述，当3122m =--或时，此分式方程无解. 学科@网1.若分式方程1133a x x x -+=--有增根，则a 的值是( ) A . 4 B . 0或4 C . 0 D . 0或﹣4【答案】A【解析】方程两边同时乘以x －3得，1＋x －3＝a －x ，∵方程有增根，∴x －3＝0，解得x ＝3．∴1＋3－3＝a －3，解得a ＝4．2.已知关于x 的分式方程52a x x =-有解，则字母a 的取值范围是( ) A . a ＝5或a ＝0 B . a ≠0 C . a ≠5 D . a ≠5且a ≠0【答案】D3.已知关于x 的分式方程22024mx x x +=--的根为正数，则m 的取值范围为（ ） A . m ＞－2且m ≠0 B . m ＜－2 C . m ＜－2且m ≠－4 D . m ＜－6【答案】C【解析】方程两边同时乘以x 2－4得，2(x ＋2)＋mx ＝0，解得42x m=-+． ∵x 为正数，∴2＋m ＜0，解得m ＜－2．∵x ≠2，∴2＋m ≠－2，即m ≠－4．∴m 的取值范围是m ＜－2且m ≠－4．（每道试题10分，总计100分）1.若分式方程311x m x x -=--有增根，则m 等于（ ） A . 3 B . －3 C . 2 D . －2【答案】D【解析】原分式方程两边同乘以x －1得整式方程x －3＝m ，因原分式方程有增根，所以x ＝1，把x ＝1代入方程x －3＝m 可得m ＝－2，故选D . 学科@网2.若分式方程1322x m x x-+=--无解，则m 的值为（ ） A . ﹣1 B . 1 C . ﹣2 D . 2【答案】B【解析】两边都乘以x −2，得x −1−m ＝3(x −2)，即m ＝−2x ＋5.分式方程的增根是x ＝2，将x ＝2代入，得m ＝−2×2＝5＝1.3.若关于x 的分式方程2122x a x -=-的解为非负数，则a 的取值范围是（ ） A . a ≥1 B . a ＞1 C . a ≥1且a ≠4 D . a ＞1且a ≠4【答案】C4.若关于x 的分式方程244x m x x-=--无解，则m 的值为________. 【答案】－4 【解析】去分母得，x ＝8＋m ，因为原分式方程无解，所以8＋m ＝4，解得m ＝－4.5.已知分式方程131k x x=+的有增根，则实数k ＝ ． 【答案】0【解析】去分母后求出x ，根据方程有增根得出x ＝0或x ＝﹣1，代入去分母后的方程，求出方程的解即可． 解：去分母得：x ＝3k （x ＋1），∵分式原分式方程有增根，∴x ＝0或x ＝﹣1，当x ＝0时，0＝3k (0＋1)，解得：k ＝0，当x ＝﹣1时，﹣1＝3k (－1＋1)，此方程无解，故答案为：0．6.已知关于的方程122x a x x x-+=--有正数解，则实数a 的取值范围是_______ 【答案】a ＜2且a ≠0【解析】去分母得：x ＋x －2＝x －a ，x ＝2－a ，∵原分式方程有正数解，∴2－a ＞0，且2－a ≠2，∴a ＜2，且a ≠0，故答案为a ＜2，且a ≠0.7.已知关于x 的分式方程1a x +－221a x x x --+＝0无解，则a 的值为____________. 【答案】－1或0或128.当k 为何值时，分式方程()62511x k x x x x+=--- 有增根？ 【答案】当k ＝2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．【解析】去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x （x ﹣1）＝0，求出x ＝0或1，将x ＝0或1代入整式方程即可求出k 的值．解：方程两边同乘以x （x ﹣1）得：6x ＝x ＋2k ﹣5（x ﹣1），又∵分式方程有增根，∴x （x ﹣1）＝0，解得：x ＝0或1，当x ＝1时，代入整式方程得：6×1＝1＋2k ﹣5（1﹣1），解得：k ＝2.5，当x ＝0时，代入整式方程得：6×0＝0＋2k ﹣5（0﹣1），解得：k ＝﹣2.5，则当k ＝2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．学科@网9.若方程212x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围．关于这道题，有位同学做出如下解答： 解：去分母得：2x ＋a ＝﹣x ＋2．化简，得3x ＝2﹣a ．故23a x -=． 欲使方程的根为正数，必须203a ->，得a ＜2． 所以，当a ＜2时，方程212x a x +=--的解是正数． 上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答；若没有错误，请说出每一步解法的依据．【答案】有错，结果为a ＜2且a ≠﹣4.10.已知关于x 的方程()14+=11x x x a x x x x ++++只有一个实数根，求实数a 的值． 【答案】当a ＝12，1，5时原方程只有一个实数根. 【解析】解：去分母得整式方程，2x 2－2x ＋1－a ＝0，△＝4（2a －1），（1）当△＝0，即a ＝12时，原方程只有一个实数根是x ＝12． （2）当△＞0，即a ＞12时，x 1＝12（121a -），x 2＝12（121a -， 这两个根中一定有一个是原分式方程的增根，增根可能是x ＝0或x ＝－1.显然x 1＞0，∴x 1≠－1，x 1≠0，它是原方程的解，所以x 2为增根.当x 2＝0时，即12（121a -）＝0，得a ＝1； 当x 2＝－1时，即12（121a -1，得a ＝5. 综上，当a ＝12，1，5时原方程只有一个实数根.____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。
