初中数学专题训练--整式方程--含有字母系数的一元一次方程

初一数学一元一次方程练习题(含答案)一、选择题(每小题3分，共30分)1.下列方程中，属于一元一次方程的是( )A. B. C D.2.已知ax=ay，下列等式中成立的是()A.x=yB.ax+1=ay-1C.ax=-ayD.3-ax=3-ay3.一件商品提价25%后发现销路不是很好，欲恢复原价，则应降价()A.40%B.20?5%D.15%4.一列长a米的队伍以每分钟60米的速度向前行进，队尾一名同学用1分钟从队尾走到队头，这位同学走的路程是()A.a米B.(a+60)米C.60a米D.(60+2a)米5.解方程时，把分母化为整数，得()。

A、B、C、D、6.把一捆书分给一个课外小组的每位同学,如果每人5本,那么剩4本书,如果每人6本,那么刚好最后一人无书可领,这捆书的本数是()A.10B.52C.54D.56千米1小时还有3一条山路，某人从山下往山顶走7.才到山顶，若从山顶走到山下只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1.5倍，求山下到山顶的路程.设上山速度为x 千米/分钟，则所列方程为()A.x-1=5(1.5x)B.3x+1=50(1.5x)C.3x-1=(1.5x)D.180x+1=150(1.5x)8.某商品的进货价为每件x元，零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折让利40元销售，仍可获利10%，则x为( )A.约700元B.约773元C.约736元D.约865元9.下午2点x分,钟面上的时针与分针成110度的角,则有()A. B. C. D.10.某商场经销一种商品由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润增加了8个百分点,则经销这种商品原来的利润率为()A.15%B.17%C.22%D.80%二、填空题(每小题3分，共计30分)11.若x=-9是方程的解，则m= 。

12.若与是同类项，则m= ，n= 。

的代数y用含，y=得y的代数式表示x用含方程13.式表示x得x=。

⼀元⼀次⽅程测试题⼀元整式⽅程⼀元⼀次⽅程测试题-⼀元整式⽅程整式和⼀元⼀次⽅程整式和⼀元⼀次⽅程⼀．解答题1．如果⽅程的解与⽅程4x﹣=6x+2a ﹣1的解相同，求式⼦的值．2．下⾯是马⼩哈同学做的⼀道题：解⽅程：解：①原⽅程可化为：；②去分母，得5﹣2=﹣25；③去括号，得50x+150﹣8x﹣20=﹣25；④移项，得50x﹣8x=﹣25+150﹣20；⑤合并同类项，得42x=105；⑥系数化为1，得；上⾯的解题过程中出现了错误的步骤有；请把正确的解答写在右⾯．3．解⽅程：．第1页．﹣=1．；x﹣﹣1；．．．．．．﹣=．x﹣=2﹣；．11．已知A=x﹣2x+1，B=2x﹣6x+3．求：A+2B．2A﹣B．4．计算：(3)2﹣3﹣；﹣2﹣(6)4a+2﹣．(7)2﹣5．已知A=2x+3xy﹣2x﹣1，B=﹣x+xy﹣1：求3A+6B；若3A+6B的值与x⽆关，求y的值．2222222222223222．(2)+﹣2 222第2页⼀元整式⽅程教学⽬标1、知道⼀元整式⽅程与⾼次⽅程的有关概念，知道⼀元整式⽅程的⼀般形式.2、经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的⽅程的过程,理解含字母系数的⼀元⼀次⽅程、⼀元⼆次⽅程的概念，掌握它们的基本解法.3、通过解含字母系数的⼀元⼀次⽅程、⼀元⼆次⽅程,体会分类讨论的⽅法，了解由特殊到⼀般、⼀般到特殊的辨证思想.教学重点及难点重点:理解含字母系数的⼀元⼀次⽅程、⼀元⼆次⽅程的概念及解法.难点: 解含字母系数的⼀元⼀次⽅程、⼀元⼆次⽅程中的分类讨论.教学流程设计教学过程设计⼀、问题引⼊11．思考根据下列问题列⽅程：买3本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；买a本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；⼀个正⽅形的⾯积的4倍等于16平⽅厘⽶，求这个正⽅形的边长；⼀个正⽅形的⾯积的b倍等于s，求这个正⽅形的边长.说明为了更好地使学⽣进⾏联系和⽐较已学过的⼀元⼀次和⼀元⼆次⽅程与含字母系数⼀元⼀次和⼀元⼆次⽅程，增加了、两个问题，也为解含字母的⼀元⼀次⽅程和⼀元⼆次⽅程埋下伏笔.2．讨论你所列出的⽅程之间有什么区别和联系?⼆、新课学习11、归纳概念12在⽅程ax12和bx s中，x是未知数;字母a、b是项的系数，s是常数项，它们都表⽰已知数，我们称这样的⽅程是含字母系数的⽅程，这些字母叫做字母系数.、问题中的⽅程就分别是含字母系数的⼀元⼀次⽅程和⼀元⼆次⽅程.2．讲解例题例题1 解下列关于x的⽅程：(学⽣进⾏尝试性地类⽐解题)(3a2)x2(3x);3、思考含字母系数的⽅程与不含字母系数的⽅程在解的过程中存在什么区别吗？4、结论含字母系数的⼀元⼀次和⼀元⼆次⽅程在解的过程中，由于字母的不确定性，在使⽤等式性质和根的判别式时，往往需要进⾏分情况进⾏讨论；如果字母能确定，则不需要讨论.说明通过学⽣⾃主尝试解含字母系数⽅程,充分暴露学⽣忽略等式性质中⾮零条件的限制及根判别式⾮负的要求，在分情况进⾏讨论的思维上的缺陷,教师再进⾏解释和引导,同时强调是在字母不能确定的时候才需讨论,否则不必要,从⽽使学⽣对这⼀思想的认识更为清晰和牢固.有⼀块边长为10分⽶的正⽅形薄铁⽪，在它的四个⾓上分别剪去⼤⼩⼀样的⼀个⼩正⽅形，然后做成⼀个容积为48⽴⽅分⽶的⽆盖长⽅体物件箱.设⼩正⽅形的边长为x分⽶，根据题意列⽅程；某⼚xx年产值为100万元，计划到2016年产值增长到万元.设每年的平均增长率为x,根据题意列⽅程. bx211x2(b1).说明增加问题2是为了提供更多的素材，帮助学⽣寻找共性，感受概念，从⽽为接下去的归纳概念提供更多的直观认识.四、新课学习21、归纳概念2①如果⽅程中只有⼀个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个⽅程叫做⼀元整式⽅程;②⼀元整式⽅程中含未知数的项的最⾼次数是n(n是正整数),这个⽅程叫做⼀元n次⽅程;其中次数n⼤于2的⽅程统称为⼀元⾼次⽅程,简称⾼次⽅程.2．讲解例题例题2 判断下列关于x的⽅程,哪些是整式⽅程?这些整式⽅程分别是⼀元⼏次⽅程?1(1)x2a3x10;2x21(4);2x3五、巩固练习(2)4x3810;(5)2x a22a3;x(3) 3a2x5x1; a(6)x47x280.课本练习1、2、3六、课堂⼩结通过本堂课你有什么收获?稿件----⼀元整式⽅程的解法⼋年级第三周市⼋初级中学凌永刚200010 黄浦区复兴东路123号⼀元整式⽅程的解法【⽅程结构图】：⼀次⽅程整式⽅程⼆次⽅程有理⽅程⾼次⽅程代数⽅程分式⽅程⽆理⽅程【例题分析】：⼀、解下列关于x的⽅程：(1)(3a1)x3(1x)(2)b2x213x2分析：对于字母系数的⽅程需要讨论字母系数的取值范围与⽅程的解的关系. 解：(1)(3a1)x33x(3a2)x 32时，此⽅程⽆解； 323当3a+2≠0即a≠-时，x=. 33a2当3a+2=0即a=-bx3x 1x=1x=2222221 2b 3b23∵b+3＞0，∴x=±2. b32⼆、解下列⽅程(1)2(12x)(4)2x3432(2)2x43x25 (3)3x35x2x0 6x26x180 (5) (x 2–x) 2–8 (x 2–x)+12=0分析：⾼次的⽅程的基本解法：因式分解降次.解：(12x)16 412x2，解得x1=31，x2=-. 22说明：运⽤开平⽅的⽅法。

初二数学含字母系数的一元一次方程人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：代数：含字母系数的一元一次方程几何：直角三角形性质及应用［教学目的］1. 理解并掌握含字母系数一元一次方程的解法。

2. 会讨论字母系数方程的解法。

3. 掌握直角三角形的性质。

二. 重点、难点：1. 重点：代数：掌握字母系数一元一次方程解法。

几何：直角三角形的性质。

2. 难点：代数：对字母系数一元一次方程的讨论。

几何：直角三角形性质的应用。

［内容概要］1. 含字母系数的一元一次方程解法。

2. 直角三角形性质。

3. 直角三角形性质及应用。

【典型例题】代数内容见名师面授几何直角三角形性质：定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

：△ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线。

求证：CM AB =12证明：延长CM 至点D ，使MD ＝CM ，连结AD ∴=CD CM 2AM BM AMD BMC MD MC =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪（中线定义）（对顶角相等）（辅助线作法）∴≅∴=∠=∠∴∴∠+∠=︒∆∆AMD BMC SAS AD BCD DCBAD BCDAC BCA ()//180又 ∠=︒ACB 90∴∠=︒∴∠=∠=∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴=∴=∴=DAC DAC BCA AC CA DAC BCA AD CB DAC BCA SAS DC BA AB CMCM AB90212∆∆()直角三角形性质：〔1〕直角三角形两锐角互余。

〔2〕直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。

〔3〕直角三角形中斜边大于直角边。

〔4〕直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半。

〔5〕直角三角形中一直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角是30°。

例1. ：如图，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 、N 分别为AC 、BD 中点。

求证：MN ⊥BD分析：题中出现了直角三角形，想想有什么性质。

含参数的一元一次方程【真题精选】1．（2020秋•昌平月考）下列等式变形正确的是（）A．若4x＝2，则x＝2B．若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣2C．若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）+2（x+1）＝3D．若＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝62．（2020秋•西城期末）下列等式变形正确的是（）A．如果a＝b，那么a+3＝b﹣3B．如果3a﹣7＝5a，那么3a+5a＝7C．如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6D．如果2x＝3，那么x＝3．（2020秋•朝阳区校级期中）下列方程是一元一次方程的是（）A．x2﹣1＝4B．C．3（x﹣1）＝2x+3D．x﹣4y＝﹣64．（2021秋•海淀月考）关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，则a的值为（）A．a≠0B．a≠1C．a≠﹣1D．a≠±1 5．（2021秋•海淀月考）如果关于x的方程（a﹣3）x＝2021有解，那么实数a的取值范围是（）A．a＜3B．a＝3C．a＞3D．a≠3 6．（2021秋•海淀月考）如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（）A．a＝0，b＝0B．a＝0，b≠0C．a≠0，b＝0D．a≠0，b≠0 7．（2021秋•海淀月考）已知关于x的方程a（2x﹣1）＝3x﹣2无解，则a的值是．8．（2020秋•西城区校级期中）已知关于x的方程（k﹣1）x|k|+k＝3为一元一次方程，则k ＝，该方程的解x＝．9．（2020•西城期中）关于x的方程（m﹣1）x|m|+3＝0是一元一次方程，则m的值是（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．210．（2020•西城月考）已知（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+7＝0是关于x的一元一次方程，则m 的值为（）A．±1B．﹣1C．1D．以上答案都不对11．（2020秋•西城区校级期中）关于x的方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为x＝﹣1，则k的值为（）A．10B．﹣4C．﹣6D．﹣8 12．（2020•西城月考）若方程2x+1＝﹣1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣a）＝2的解，则a的值为．13．（2020•西城月考）已知关于x的方程2x﹣a＝1与方程＝﹣a的解的和为，求a的值．14．（2020秋•朝阳区校级期中）已知关于x的方程kx﹣1＝2（x+1）的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k的值为．15．（2019秋•丰台区校级期中）若关于x的一元一次方程（m﹣1）x﹣3＝0的解是正整数，求整数m的值．16．（2019秋•密云区期末）已知方程（m+1）x n﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．（1）求m，n满足的条件．（2）若m为整数，且方程的解为正整数，求m的值．17．（2020秋•通川区期末）若关于x的方程x﹣6＝（k﹣1）x有正整数解，则满足条件的所有整数k值之和是（）A．0B．1C．﹣1D．﹣418．（2020•西城月考）已知关于x的方程ax+＝的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解．19．（2019秋•通州区期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{2，4}＝4．按照这个规定，那么方程max{x，﹣x}＝2x+1的解为（）A．x＝﹣1B．x＝C．x＝1D．x＝﹣1或20．（2019秋•海淀区校级期中）我们规定x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，则m＝．（2）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，它的解为a，则a+b ＝．（3）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，求代数式﹣3（m+11）+4n+2[（mn+m）2﹣m]﹣[（mn+n）2﹣2n]的值．含参数的一元一次方程参考答案与试题解析一．试题（共20小题）1．（2020秋•昌平月考）下列等式变形正确的是（）A．若4x＝2，则x＝2B．若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣2C．若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）+2（x+1）＝3D．若＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6【分析】根据等式的性质即可解决．【解答】解：A、若4x＝2，则x＝，原变形错误，故这个选项不符合题意；B、若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2+2，原变形错误，故这个选项不符合题意；C、若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）﹣2（x+1）＝3，原变形错误，故这个选项不符合题意；D、若﹣＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，原变形正确，故这个选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了等式的性质．熟知等式的性质是解题的关键．等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．2．（2020秋•西城期末）下列等式变形正确的是（）A．如果a＝b，那么a+3＝b﹣3B．如果3a﹣7＝5a，那么3a+5a＝7C．如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6D．如果2x＝3，那么x＝【分析】根据等式的性质和各个选项中的式子，可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：如果a＝b，那么a+3＝b+3，故选项A错误；如果3a﹣7＝5a，那么3a﹣5a＝7，故选项B错误；如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6，故选项C正确；如果2x＝3，那么x＝，故选项D错误；故选：C．【点评】本题考查等式的性质，解答本题的关键是明确等式的性质，会用等式的性质解答问题．3．（2020秋•朝阳区校级期中）下列方程是一元一次方程的是（）A．x2﹣1＝4B．C．3（x﹣1）＝2x+3D．x﹣4y＝﹣6【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；B．是分式方程，不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；C．是一元一次方程，故本选项符合题意；D．是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．4．（2021秋•海淀月考）关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，则a的值为（）A．a≠0B．a≠1C．a≠﹣1D．a≠±1【分析】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案．【解答】解：由关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，得a+1≠0，解得a≠﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程有解的条件，利用了一元一次方程的系数不能为零．5．（2021秋•海淀月考）如果关于x的方程（a﹣3）x＝2021有解，那么实数a的取值范围是（）A．a＜3B．a＝3C．a＞3D．a≠3【分析】根据方程有解确定出a的范围即可．【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x＝2021有解，∴a﹣3≠0，即a≠3，故选：D．【点评】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键．6．（2021秋•海淀月考）如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（）A．a＝0，b＝0B．a＝0，b≠0C．a≠0，b＝0D．a≠0，b≠0【分析】根据方程有无数个解的特征即可进行解答．【解答】解：∵方程ax＝b有无数个解，∴未知数x的系数a＝0，∴b＝0．故选：A．【点评】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，x前面系数为0时方程有无数个解是解题的关键．7．（2021秋•海淀月考）已知关于x的方程a（2x﹣1）＝3x﹣2无解，则a的值是．【分析】若一元一次方程ax+b＝0无解，则a＝0，b≠0，据此可得出a的值．【解答】解：原式可化为：（2a﹣3）x+2﹣a＝0，∵方程无解，∴可得：2a﹣3＝0，2﹣a≠0，故a的值为．故填．【点评】本题考查一元一次方程的解，难度不大关键是掌握无解情况下各字母的取值情况．8．（2020秋•西城区校级期中）已知关于x的方程（k﹣1）x|k|+k＝3为一元一次方程，则k＝﹣1，该方程的解x＝﹣2．【分析】由一元一次方程的定义，只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．可得|k|＝1，k﹣1≠0，求出k的值，再解方程即可．【解答】解：∵（k﹣1）x|k|+k＝3为一元一次方程，∴|k|＝1，k﹣1≠0，∴k＝±1，k≠1，∴k＝﹣1，∴﹣2x﹣1＝3，移项，得﹣2x＝4，解得x＝﹣2，故答案为：﹣1，﹣2．【点评】本题考点一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义及其解法是解题的关键．9．（2020•西城期中）关于x的方程（m﹣1）x|m|+3＝0是一元一次方程，则m的值是（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．2【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．【解答】解：由题意，得|m|＝1且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，故选：A．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．10．（2020•西城月考）已知（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+7＝0是关于x的一元一次方程，则m 的值为（）A．±1B．﹣1C．1D．以上答案都不对【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．【解答】解：由题意，得m2﹣1＝0且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．11．（2020秋•西城区校级期中）关于x的方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为x＝﹣1，则k的值为（）A．10B．﹣4C．﹣6D．﹣8【分析】把x＝﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．【解答】解：依题意，得2×（﹣1）﹣（﹣1）k+1＝5×（﹣1）﹣2，即﹣1+k＝﹣7，解得，k＝﹣6．故选：C．【点评】本题考查了方程的解的定义．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．12．（2020•西城月考）若方程2x+1＝﹣1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣a）＝2的解，则a的值为﹣．【分析】求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程计算即可求出a的值．【解答】解：方程2x+1＝﹣1，解得：x＝﹣1，代入方程得：1+2+2a＝2，解得：a＝﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．13．（2020•西城月考）已知关于x的方程2x﹣a＝1与方程＝﹣a的解的和为，求a的值．【分析】首先解两个关于x的方程，利用a表示出方程的解，然后根据两个方程的解的和是，列方程求得a的值．【解答】解：解2x﹣a＝1得x＝，解＝﹣a，得x＝．由题知+＝，解得a＝﹣3．【点评】此题考查的是一元一次方程的解法，正确解关于x的方程是解决本题的关键．14．（2020秋•朝阳区校级期中）已知关于x的方程kx﹣1＝2（x+1）的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k的值为3或1或﹣1或5．【分析】先求方程的解得x＝，再由已知可得k﹣2＝±1或k﹣2＝±3，求出k的值即可．【解答】解：kx﹣1＝2（x+1），去括号得，kx﹣1＝2x+2，移项、合并同类项，得（k﹣2）x＝3，解得x＝，∵方程的解为整数，∴k﹣2＝±1或k﹣2＝±3，∴k＝3或k＝1或k＝5或k＝﹣1，故答案为：3或1或﹣1或5．【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，并由方程解的情况列出k满足的等式是解题的关键．15．（2019秋•丰台区校级期中）若关于x的一元一次方程（m﹣1）x﹣3＝0的解是正整数，求整数m的值．【分析】解方程得：x＝，x是整数，则m﹣1＝±1或±3，据此即可求得m的值．【解答】解：（m﹣1）x﹣3＝0，解得：x＝，∵解是正整数，∴m﹣1＝1或3，解得：m＝2或4．故整数m的值为2或4．【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确理解m﹣1＝±1或±3是关键．16．（2019秋•密云区期末）已知方程（m+1）x n﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．（1）求m，n满足的条件．（2）若m为整数，且方程的解为正整数，求m的值．【分析】（1）利用一元一次方程的定义求m，n满足的条件；（2）先根据m为整数且方程的解为正整数得出m+1＝1或m+1＝3，解一元一次方程可以得出m的值．【解答】解：（1）因为方程（m+1）x n﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．所以m+1≠0，且n﹣1＝1，所以m≠﹣1，且n＝2；（2）由（1）可知原方程可整理为：（m+1）x＝3，因为m为整数，且方程的解为正整数，所以m+1为正整数．当x＝1时，m+1＝3，解得m＝2；当x＝3时，m+1＝1，解得m＝0；所以m的取值为0或2．【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是求出n的值．17．（2020秋•通川区期末）若关于x的方程x﹣6＝（k﹣1）x有正整数解，则满足条件的所有整数k值之和是（）A．0B．1C．﹣1D．﹣4【分析】根据方程的解为正整数，可得（k﹣2）是6的约数，根据约数关系，可得k的值．【解答】解：解x﹣6＝（k﹣1）x，得x＝．由x＝是正整数，得2﹣k＝6时，k＝﹣4，2﹣k＝3时，k＝﹣1，2﹣k＝2时，k＝0，2﹣k＝1时，k＝1，∴﹣4﹣1+0+1＝﹣4．故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用6的约数是解题关键．18．（2020•西城月考）已知关于x的方程ax+＝的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解．【分析】首先解关于x的方程求得x的值，根据x是正整数即可求得a的值．【解答】解：由ax+＝，得ax+9＝5x﹣2，移项、合并同类项，得：（a﹣5）x＝﹣11，系数化成1得：x＝﹣，∵x是正整数，∴a﹣5＝﹣1或﹣11，∴a＝4或﹣6．又∵a是正整数．∴a＝4．则x＝﹣＝11．综上所述，正整数a的值是4，此时方程的解是x＝11．【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．19．（2019秋•通州区期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{2，4}＝4．按照这个规定，那么方程max{x，﹣x}＝2x+1的解为（）A．x＝﹣1B．x＝C．x＝1D．x＝﹣1或【分析】方程利用题中的新定义变形，计算即可求出解．【解答】解：当x＞﹣x，即x＞0时，方程变形得：x＝2x+1，解得：x＝﹣1，不符合题意；当x＜﹣x，即x＜0时，方程变形得：﹣x＝2x+1，解得：x＝﹣，综上，方程的解为x＝﹣，故选：B．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2019秋•海淀区校级期中）我们规定x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，则m＝．（2）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，它的解为a，则a+b＝．（3）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，求代数式﹣3（m+11）+4n+2[（mn+m）2﹣m]﹣[（mn+n）2﹣2n]的值．【分析】（1）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程组，解之得出a、b的值即可得出答案；（3）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算即可求解．【解答】解：（1）由题意可知x＝m﹣4，由一元一次方程可知x＝，∴m﹣4＝，解得m＝；故答案为：；（2）由题意可知x＝ab+a﹣4，由一元一次方程可知x＝，又∵方程的解为a，∴＝a，ab+a﹣4＝a，解得a＝，b＝3，∴；故答案为：．（3）∵一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，∴mn+m＝，mn+n＝﹣，两式相减得，m﹣n＝．∴﹣3（m+11）+4n+2[（mn+m）2﹣m]﹣[（mn+n）2﹣2n]＝﹣5（m﹣n）﹣33，＝﹣5×﹣33+2×，＝，＝﹣．【点评】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键．。

一元一次方程的典型例题一例 国庆节即将来临，学校组织七年级学生参加“国庆专题展”，计划租借42座的客车16辆，恰好坐满．但由于126名学生准备骑自行车前往，所以学校要改变租车方案．（1）学校改变租车方案后，实际应租借多少辆客车？（2）若自行车的速度是10千米／时，出发1小时后，客车以40千米／时的速度行驶，结果全体同学同时到达指定地点，则客车行驶了多长时间？解：（1）设学校实际租借客车x 辆，则可以乘坐42x 名学生．列方程164242126⨯=+x ．（2）设客车行驶了x 小时，则自行车行驶了)1(+x 小时．列方程x x 4010)1(=⨯+．说明：（1）学生总数是题中较明显的相等关系，由此列方程；（2）“同时到达指定地点”表明全体学生在同一时刻到达，由此可设客车行驶时间为x 小时，则自行车行驶的时间为)1(+x 小时，而两者路程相同，这是此问题中的相等关系．另外，还可以理解为相同的时间里，客车比自行车多行了10)110(=⨯（千米）．可见，在实际问题中找到相等关系是列方程解决实际问题的关键，依据数量关系列方程，打破了列算式时只能用已知数的限制，使得列方程比列算式更直接、更方便，具有更多的优越性．一元一次方程的典型例题二例 观察下列各式，哪几个是等式？哪几个是方程？哪几个是一元一次方程？ ①23-=x ②2839-=- ③02=-x x ④92-x ⑤01=+xy ⑥31212=-y ⑦2=x ⑧22>+x 解：①②③⑤⑥⑦是等式；①③⑤⑥⑦是方程；①⑥⑦是一元一次方程．说明：等式、方程和一元一次方程是层层包含的关系，等式是用“＝”连接，表示相等关系的式子，方程是含有未知数的等式，而一元一次方程是含有一个未知数，并且末知数的指数都是1（次），可见一元一次方程属于方程的一种，方程又属于等式的一部分，所以区分三者必须理解它们之间的相互关系．一元一次方程的典型例题三例 根据下列条件列方程：（l ）某数的3倍比7大2；（2）某数的31比这个数小1； （3）某数与3的和是这个数平方的2倍；（4）某数的2倍加上9是这个数的3倍；（5）某数的4倍与3的差比这个数多1．分析：要列方程，首先要认真审题，明确未知数，并设未知数，然后根据题中的条件，找出相等关系，列出方程，解：（1）设某数为x ，则有：273=-x ；或 273+=x ；或723=-x ；（2）设某数为x ，则有：x x =+131；或 131=-x x ；或131-=x x ; （3）设某数为x ，则有：223x x =+；或322-=-x x ；或322-=x x ；（4）设某数为x ，则有：x x 392=+；或 932-=-x x ；或 923=-x x ；（5）设某数为x ，则有 134-=-x x ；或 x x =+-134；或 314+-=x x 说明：此题条件中的大（小）、多（少）、和（差）、倍等实际上说的是相等关系：大数－小数=差；小数十差=大数；大数一差=小数．一元一次方程的典型例题四例 判断下列各式哪些是一元一次方程．（1）2143=x ； （2）23-x ； （3）1325171-=-x y ； （4）1352+-x x ； （5）y y x 213-=+； （6）.2712y y =-分析： 判断一个数学式子是不是一元一次方程，首先看它是不是方程，其次再看它含有几个未知数，并且未知数的最高次数是多少．解：（1）是，因为2143=x 是方程，且方程只含有一个未知数x ，且含未知数的项最高次数是1．（2）不是．23-x 不是方程．（3）不是．因为1325171-=-x y 虽然是方程但含有两个未知数x 、y ． （4）不是．因为1352+-x x 不是方程．（5）不是．因为y y x 213-=+含有两个未知数．（6）不一元一次方程的典型例题五例 甲、乙两个工程队共有30人，其中乙队人数比甲队人数的2倍还多6人，求甲、乙两队各有多少人？分析：设甲队有x 人，乙队人数比甲队的2倍还多6人，用代数式表示：解：设甲队有x 人，依题意有x +(2x +6)=30如果x=1，x +(2x +6)的值是9)612(1=+⨯+如果x=2，x +(2x +6)的值是12)622(2=+⨯+如果x=3，x +(2x +6)的值是15)632(3=+⨯+类似计算下去可得如果x=8，x +(2x +6)的值是9)682(8=+⨯+所以甲队的人数是8乙队人数为：8×2+6=22答：甲队有8人，乙队有22人．说明：如果这个题设乙队有x 人，则甲队的人数是26-x 人，显然所列代数式比设甲队有x 人复杂而且容易出错．所以列方程解应用题时，在认真审题的基础上，第一个关键步骤就是如何“设未知数”．估算在实际生活中经常用到，可以根据计算的结果适当调整带入的数以便快捷的得到近似值．是．因为.2712y y =-中未知数最高次数为2次． 一元一次方程的典型例题六例 判断0和4是不是方程)1(596)12(3-+=++x x x x 的解．分析：根据方程解的意义，将数带入方程两侧判断是否相等．解：（1）如果0是方程的根，那么把0分别代入原方程的左边和右边，方程两边的数值应该相等．左边=,306)102(3=⨯++⨯右边=5)10(509-=-+⨯∴ 左边≠右边，∴ 0=x 不是方程的解．（2）把4=x 分别代入原方程的两边．左边=x x 6)12(3++=5146)142(3=⨯++⨯⨯=，右边=)14(549)1(59-⨯+⨯=-+x x 51=∵左边＝右边，∴4=x 是方程的解．说明：我们在检验某数是不是方程的解时，应把这个数分别代入原方程的左边、右边，而不是代入原方程本身．一元一次方程的典型例题七例 检验1=x 及0=x 是否是方程)12(2)1(3+=+x x 的解．分析：将1=x 及0=x 代入方程，若使方程左右两边的值相等，则是，否则就不是． 解：将1=x 代入原方程，左边6)11(3=+⨯=，右边6)112(2=+⨯⨯=。

例1 如果21,x x 是方程01422=+-x x 的两个根，不解方程，求2221x x -的值. 解：∵ 21,x x 是方程01422=+-x x 的两根， ∴ 21,22121=⋅=+x x x x . 22))((.221424)()(2121222122122122121±=-+=-∴±=⨯-±=-+±=-±=-x x x x x x x x x x x x x x说明 题中没有明确21x x >，因此21x x -的值可能为正，也可能为负.例2 不解方程0122=--x x ，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各根的2倍大1.解：设方程0122=--x x 的两根是21,x x . 则 1,22121-=⋅=+x x x x .设所求的方程为02=+-q py y ，它的两根分别是121+x 和122+x 则 [][]2)(2)12()12(2121++-=+++-=x x x x p 6)222(-=+⨯-=，1122)1(41)(24)12)(12(212121=+⨯+-⨯=+++=++=x x x x x x q∴ 所求作的方程是0162=+-y y .例3 a 取何值时，方程03)3(22=-+--a x xa x ，（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数.分析 满足两根互为相反数的条件是两根和为零，满足两根互为倒数的条件是两极积为1，同时它们又都隐含着有两个不相等的实数根，所以必须满足0>∆.解：设方程03)3(22=-+--a x xa x 的两根是21,x x ， 则 .3,3222121-=⋅-=+a x x a x x （1）依题意，有[]⎩⎨⎧=-=+>----=∆)2(032)1(0)3(4)32(2122a x x a a由（1）得 47<a . 由（2）得 23=a ，∴ 23=a 时，方程两根互为相反数.（2）依题意，得[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅>----=∆)2(.13)1(,0)3(4)32(22122a x x a a由（1）得 47<a ，由（2）得 2,221-==a a ， ∴ 2-=a 时，方程两根互为倒数.说明 方程02=++c bx ax 的两根互为相反数，也可由条件0=b 且c a 、异号来确定. 例4 已知关于x 的方程01222=+-+m mx x 的两个实数根的平方和是417，求m 值. 解：设方程的两根是21,x x . 则 212,22121+-=⋅-=+m x x m x x . 41721222,4172)(2212212221=+-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-∴=-+=+m m x x x x x x解这个方程，得3,1121=-=m m .当11-=m 时，,0238)11()12(2422<⨯--=+-⨯-=∆m m ∴ 舍去11-=m .当3=m 时，,0)5(8)3()12(2422>-⨯-=+-⨯-=∆m m∴ 3=m .说明 例1、例2都是由两根的情况求方程中的待定系数，情况类似，但解题方法不同，例1是由0>∆确定了m 的取值范围，然后求出m 的值.而例2中的0≥∆是一个一元二次不等式08162≥-+m m ，为了避开解这个不等式，我们采取了“先求后验”的方式，即先求出m 的值，然后代入判别式去检验.由此看到，同一类型的题目可以有不同的解法，选用什么方法合适，要根据题目的特征来决定.例5 已知关于x 的一元二次方程x m x m )23(122-=+的两个不等实根的倒数和为S ，求S 的范围.分析 题中方程的一般形式为01)32(22=+-+x m x m ，因此隐含了二次项系数不为零和判别式大于零的条件，挖掘这两个条件求出m 的取值范围，就能求两根倒数和S 的范围.解：整理原方程，得依题意，有 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=∆≠=+-+.04)32(,001)32(22222m m m x m x m解得 43<m 且0≠m . 设方程的两根为21,x x ， 则 .1,23221221m x x m m x x =⋅-=+ ,3232323,043.2311212121≠->-∴≠<-=⋅+=+=m m m m m x x x x x x S 且且即 323≠>S S 且. 例 6 关于x 的方程01432=---m mx x ① 与04)69222=+-+-m x m x ②，若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，求m 的值.分析 利用根与系数的关系，可将方程①的两实根平方和表示为m 的代数式.用因式分解法或求根公式可以求出方程②的两根，从而构造关于m 的方程，求出m 的值.解：设方程①的两个实数根为βα,， 则 .143,--==+m m αββα ∴.22314322)(22222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+=+m m m m αββαβα把方程②变形为[][]0)2()2(2=+--+m x m x解这个方程，得 .2,2221+=-=m x m x 若1x 为整数根，根据题意，得222232--=++m m m .解这个方程，得1-=m . 此时232211=---=x 不是整数根，不符合题意，舍去. 若2x 为整数根，根据题意，得22232+=++m m m . 解这个方程，得21,021-==m m . 当0=m 时，方程②的2202=+=x 是整数，且0)1(4021>-⨯-=∆，方程①有两个实数根，符合题意.当21-=m 时，方程②的232212=+-=x 不是整数，不符合题意，舍去. ∴ 0=m .说明 这是一道综合性较强的题目，它综合运用了解字母系数的一元二次方程，一元二次方程根据的判别式，根与系数的关系等知识及有关概念，解题时不仅要求熟练掌握这些知识而且需要具备方程思想求待定系数、分类讨论思想和检验所求的解是否符合题意的能力.当求出方程的两根是22--m 和2+m 后，由于不知道m 的取值范围，所以不能盲目地认为2+m 是整数根，这两根都有可能是整数，因此应构造两个方程分别求m 的值.求出21,0,1-==-=m m m 后，还需要有检验的意识，掌握检验的方法，要代入你所假定的整数根去看它是否为整数，注意不是m 为整数，也不是方程②的两根或另一根是整数.还应检验方程①是否有两个实数根，符合这两个要求的才是所求的m 的值.典型例题五例 已知⊙O 的面积为π，ABC ∆内接于⊙O ，abc 分别是三角形三个内角A 、B 、C 的对边，且A c b a sin ,222++、B sin 是方程[][]03)13()13(2=+-+---x m x m 的两根.（1）判定ABC ∆的形状； （2）求m 的值；（3）求ABC ∆的边长.分析：本题具有一定的综合性，在求解中要运用勾股定理、韦达定理及解直角三角形等知识.解 （1）由222c b a =+，知ABC ∆是直角三角形，且︒=∠90C .（2）由题意，得由（1）知，ABC ∆是直角三角形且︒=∠90C ，所以1sin sin 22=+B A ，于是B A B A B A sin sin 2)sin (sin sin sin 222-+=+1)13(32)13()13(2=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+m m m ，即 .33.632)432(+=∴-=-m m（3）将33+=m 代入原方程，得.03)32(42=++-x x解之，得 23,2121==x x . 23sin ,21sin ==∴B A 或21sin ,23sin ==∴B A .由圆的面积π，求得该圆的半径为1，所以2=c .解Rt ABC ∆，得3,1,2===b a c 或1,3,2===b a c .说明：一元二次方程的根与系数的关系即韦达定理，在综合应用中要注意与相关知识的联系.典型例题六例 实数k 取何值时，一元二次方程042)32(2=-+--k x k x ， （1）有两个正根；（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大； （3）一根大于3，一根小于3.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=⋅---+=+.)13(3sin sin ,)13()13(sin sin m B A m m B A分析：本题的三个问题分别对根附加了一些限制条件，根据判别式及韦达定理，可列出相应的使k 分别满足条件的方程组或不等式组，进而求出k 的取值范围.解 [])42(4)32(2----=∆k k0)52(2520422≥-=+-=k k k ， ∴无论k 取任何实数，方程都有两个实数根. 设该方程的两根为21,x x ，则由韦达定理，得.42,322121-=-=+k x x k x x（1）若使k x x ,0,021>>应满足条件：⎩⎨⎧>-=>-=+.042,0322121k x x k x x ⎪⎩⎪⎨⎧>>∴.2,23k k ∴当2>k 时，方程有两个正根.（2）若使0,021<>x x 且k x x ,21>应满足条件：⎩⎨⎧<-=>-=+.042,0322121k x x k x x ⎪⎩⎪⎨⎧<>∴.2,23k k ∴当223<<k 时，两根异号，且正根的绝对值较大. （3）若使k x x ,3,321<>应满足条件：0)3)(3(21<--x x ，即 09)(32121<++-x x x x ..27,09)32(342><+---∴k k k∴当27>k 时，方程一根大于3，另一根小于3.说明：由于本题的一元二次方程的判别式∆恒大于或等于零，所以，每个条件组里不必考虑0≥∆或0>∆了，否则，每个条件组里都必须考虑∆的限制条件.典型例题七例 （北京市海淀区试题，2002）已知：关于x 的方程01)1(2=++-mx x m ，①有两个相等的实数根.（1）求证：关于y 的方程03222222=+---n m my y m ②必有两个不相等的实数根； （2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式n m m 122+的值. 解：（1）证明：∵方程①有两个相等的实数根，⎩⎨⎧=--=≠-∴.0)21(4,0121n m n ∆ .01,0)1(42>-≠-=∴n m n m 则且由方程②，有.0.0)1)(3(8.03,08,001).)(3(8)642(4)32441(4)321(4)32(442222222222222222>∴>-+∴>+>∴≠>--+=-+=-+-+=-++=+---=∆∆n n m n m m n n n m n n m n n m n m m n m m m 且∴方程②必有两个不相等的实数根.（2）解法一：由.41)1(422m n n m =--=可得 将412m n =-代入方程①得.01422=++mx x m 解得 .221mx x -== ∵方程①的一根的相反数是方程②的一个根，由根的定义，得.03222)2(2222=+--⋅-⋅n m mm m m 整理，得 .0322=+--n m 即.03)1(422=+-=-n n.14)42(284 )1244()12(1274222222=+=+=+-=+=+∴=+∴n n n n n n m n n m m n n 解法二：由解法一得m2是方程②的一个根. 设方程②的另一根为0y . 由根与系数的关系可得.220mm y =+.032.0220=+--∴=∴n m y以下同解法一.解法三：),1(42-=n m方程②为 032)1(42)1(422=+-----n n my y n ③∵方程①的一根的相反数是方程②的一个根，设方程②的此根为1y ， ∴1y -为方程①的根..01)1(121=+--∴my y n由方程③变形，得()[].0324211421121=+--++--n n my my y n.0324221=+--∴n n my又由解法一可知 .21my =.7422=+∴n n以下同解法一.典型例题八例 (北京市宣武区,2002) 若关于x 的一元二次方程04)(332=+++ab x b a x 的两个实数根1x 、2x 满足关系式：)1)(1()1()1(211211++=+++x x x x x x .判断4)(2≤+b a 是否正确.若正确，请加以证明；若不正确，请举一个反例. 证明：∵ 关于x 的一元一次方程04)(332=+++ab x b a x 有两个实数根， ∴ 0≥∆，即[]0434)(32≥⨯⨯-+ab b a ，016)(32≥-+ab b a . ①∵ 1x 、2x 为方程的两个实数根， ∴ 34),(2121abx x b a x x =⋅+-=+. ∵ )1)(1()1()1(211211++=+++x x x x x x ， ∴ 12121222121+++=+++x x x x x x x x ，.13)(,121221212221=-+=-+x x x x x x x x∴ []1343)(2=⨯-+-abb a ， 14)(2=-+ab b a ， ∴ .1)(42-+=b a ab ② 把②代入①，得[]01)(4)(322≥-+++b a b a ，∴ 4)(2≤+b a .典型例题九例 如果方程012=++kx x 的一个根是32-，另一个根是α，求2)32(+-α的值.分析：)32(32--=+-αα是方程的两根之差，若设32-=β，则有44)()()32(,1,2222-=-+=-=+-=-=+k k αββαβαααββα，只要求出k 的值就行了.解：由题中条件，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+.1)32(,)32(ααk 解之，得另解：将32-=x 代入方程，得01)32()32(2=+-+-k ，即 )23(4)32(-=-k ， ∴.4-=k 于是，有.124164)()()32(.142122122122121=-=-+=-=+-⎩⎨⎧==+x x x x x x x x x x α说明：比较上述两种解法，不难看出解法1比较简单，其主要原因是突出了求解的整体性.典型例题十例 已知方程023)2(2=-++-k x k x 的两个实根为21,x x 且232221=+x x ，求k 的值.分析：这里仅知1=a ，但由23),2(-=+-=k c k b ，可得出c b ,之间的一个等量关系，再利用已知条件232221=+x x ，故可列出方程组来解之.解：根据根与系数的关系及已知条件，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+）（）（）（3.232,231 ,222212121x x k x x k x x 由（3）得2122122212x x x x x x －）（+=+.12)32()32(.4,3222==+-∴⎩⎨⎧-=+=ααk.23)23(2)2(2=--+=k k解得 5=k 或3-=k . 当5=k 时，[],03 )23(4)2(2<-=--+-=∆k k原方程无实数根，不合题意. 当3-=k 时，[].3,045 )23(4)2(2-=∴>=--+-=∆k k k 说明：应用根与系数的关系解有关问题时，必须考虑条件0≠a 及0≥∆，否则可能得出错误的结果.典型例题十一例 已知一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之和为p ，两根的平方和为q ，两根的立方和为r ，求cp bq ar ++的值.分析：运用韦达定理求解.解 设方程02=++c bx ax 的两根为21,x x ，则由韦达定理，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.,2121a c x x ab x x 由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.,,3231222121r x x q x x p x x ∴,ab p -= 2122122212)(x x x x x x q -+=+=22222a ac b a c a b -=⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-=， ))((212221213231x x x x x x x x r -++=+=[].333)()(3322122121aabcb ac a b a b x x x x x x +-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++=∴cp bq ar ++.023232332233=--++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+-⋅++-⋅=a abcabc b abc b a b c a ac b b a abc b a说明：上述解法属常规方法，但解题过程较为麻烦，若根据一元二次方程的概念并灵活利用关技巧便会有如下解法.设方程的两根为21,x x ，由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.,,3231222121r x x q x x p x x ∵21,x x 是方程的根，代入原方程，得.0,0222121=++=++c bx ax c bx ax①×1x ，得,012131=++cx bx ax ②×2x ，得,022232=++cx bx ax③＋④，得,0)()()(2122213231=+++++x x c x x b x x a 即0=++cp bq ar .典型例题十二例 已知关于x 的一元二次方程.0)2(21)3(222=+++-m x m x （1）试证：无论m 取任何实数，方程均有两个正根； （2）设21,x x 为方程的两个根，且满足217212221=-+x x x x ，求m 的值.分析：欲证方程有两个正根，必须证该方程的判别式0≥∆，且0,02121>>+x x x x . （1）证明 [])2(214)3(222+⨯-+-=∆m m ,01)2(542224>++=++=m m m 设21,x x 为方程的两个根，，由韦达定理，得.0)2(21,03221221>+=>+=+m x x m x x 故无论m 为何实数，该方程均有两个正根. （2）解 ∵217212221=-+x x x x ， .2173)(21221=-+∴x x x x 217)2(23)3(222=+-+∴m m ，即059224=-+m m .解之，得212=m 或52-=m （舍）. 22±=∴m . 说明：把根的判别式与韦达定理结合起来，可讨论或判定一元二次方程根的符号，即设一元二次方程为)0(02≠-++a c bx ax ，其判别式ac b 42-=∆，两根为21,x x ，则该方程有两个正根的条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥∆.0,0,02121a c x x a b x x 该方程有两个负根的条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥∆.0,0,02121a c x x a b x x 该方程有一正根和一负根的条件是：⎪⎩⎪⎨⎧>=>∆.0,021a c x x 若正根的绝对值大，则再加上条件021>x x . 若正根的绝对值小，则再加上条件021<+x x . 若两根互为相反数，则再加上021=+x x .典型例题十三例：在中ABC ∆Rt ，︒=∠90C ，斜边5=c ，两直角边的长b a 、是关于x 的一元二次方程0222=-+-m mx x 的两个根，求ABC ∆Rt 较小锐角的正弦值。

当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．【例1】请指出下列关于的方程中的参数⑴； ⑵【巩固】请指出下列关于的方程中的参数⑴； ⑵； ⑶【例2】（1）x=2是方程2x+a-9=0的解，则a 的值是 。

（2）已知方程2（x+1）=3(x-1)的解为x=a+2,则a 的值是 。

x ax b =xn c m=+y 21y ax -=xm n y-=0ay b c -+=模块一 参数模块二 同解方程含字母系数的一元一次方程知识精讲典型例题若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式．两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多几倍等等．【例3】当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同． 解析：法一：方程5443x x +=-的解为7x =-，方程2(1)2(2)x m m +-=-的解为362m x -=.由题意解相同，所以3672m --=，解得83m =-.法二：方程5443x x +=-的解为7x =-，把7x =-代入2(1)2(2)x m m +-=-中，求得83m =-．【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解， 把解代入另一个方程．【例4】（1）已知方程3（x-1）=4x-5与关于x 的方程2x+a-9=0的解相同，求a 的值。

（2）已知关于x 的两个方程3（x-1）=4x-a 与2x+a-9=0的解相同，求a 的值（3）已知关于x 的两个方程3（x-1）=4x-a 与2x+a-2=0的解互为相反数，求a 的值知识精讲典型例题（4）已知关于x 的方程3（x-1）=4x-a 的解比方程2x+a-9=0的解大2，求a 的值【例5】若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2km-的值．分类讨论--解含字母系数方程含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，方程的解由、的取值范围确定．⑴当时，，原方程有唯一解； ⑵当且时，解是任意数，原方程有无数解； ⑶当且时，原方程无解．分类讨论产生的原因→等式的性质②等式的性质②：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式， 所得结果仍是等式．若，则，． ax b =a b 0a ≠bx a=0a =0b =0a =0b ≠a b =am bm =a bm m=(0)m ≠模块三 解含参的一元一次方程知识精讲能力提升由等式的性质2，我们知道在等式两边同时除以某一个数时，必须确定此数不为0。

专题01 一元一次方程（十大类型）【题型1 方程及一元一次方程的定义】【题型2 利用一元一次方程的定义求值】【题型3 方程的解】【题型4 列方程】【题型5 利用等式的性质变形】【题型6等式的性质变形】【题型7 利用等式的性质解方程】【题型8 方程的解中遮挡问题】【题型9 利用等式的性质检验方程的解】【题型10 方程的解的规律问题】【题型1 方程及一元一次方程的定义】1．下列各式中，是方程的个数为（）①x＝0；②3x﹣5＝2x+1；③2x+6；④x﹣y＝0；⑤＝5y+3；⑥a2+a﹣6＝0．A．2个B．3个C．5个D．4个2．在①2x+1；②1+7＝15﹣8+1；③；④x+2y＝3中，方程共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列是一元一次方程的是（）A．B．x+x2＝3C．D．4．下列各式中，一元一次方程的个数是（）①3+2＝5；②3x﹣2＝4；③3x＝2（x+1）；④2x+3．A．1个B．2个C．3个D．4个5．在下列方程：①3x﹣y＝2，②x2﹣2x﹣3＝0，③，④，⑤中，一元一次方程的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【题型2 利用一元一次方程的定义求值】6．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|﹣4＝0是一元一次方程，则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣1或1D．07．若关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣1＝6是一元一次方程，则m的值为（）A．±2B．﹣2C．2D．±18．若方程（m﹣1）x|m﹣2|﹣8＝0是关于x的一元一次方程，则m＝（）A．1B．2C．3D．1或39．已知（m﹣3）x|m|﹣2＝18是关于x的一元一次方程，则（）A．m＝2B．m＝﹣3C．m＝±3D．m＝110．若方程（k﹣1）x|k﹣2|＝3是关于x的一元一次方程，则k是（）A．1B．2C．﹣1D．3【题型3 方程的解】11．如果关于m的方程2m+b＝m﹣1的解是﹣4，求b的值．12．已知x＝1是方程x+2m＝7的解，则m＝．13．下列方程中，解是x＝4的是（）A．3x+1＝11B．﹣2x﹣4＝0C．3x﹣8＝4D．4x＝114．如果﹣4是关于x的方程2x+k＝x﹣1的解，那么k等于（）A．﹣13B．3C．﹣5D．515．下列方程中，解是x＝4的是（）A．x+3＝1B．2x＝6C．x＝0D．3x﹣12＝0 16．下列方程中，解为x＝2的是（）A．2x＝6B．（x﹣3）（x+2）＝0C．x2＝3D．3x﹣6＝017．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，若a，b，c满足4a+2b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（）A．0B．1，﹣1C．2，﹣2D．无法确定【题型4 列方程】18．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有几两？设银子共有x两，则可列方程为（）A．7x+4＝9x﹣8B．7x﹣4＝9x+8C．D．19．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，根据题意可列方程为（）A．6x+14＝8x B．6（x+14）＝8x C．8x+14＝6x D．8（x﹣14）＝6x 20．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，《孙子算经》中有这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一辆车，则剩余两辆车是空的；每两人共乘一辆车，则剩余九个人无车可乘，问车和人各多少．若我们设有x辆车，则可列方程（）A．3（x﹣2）＝2x+9B．3（x+2）＝2x﹣9C．+2＝D．﹣2＝【题型5 利用等式的性质变形】21．已知a＝b，下列等式不一定成立的是（）A．a+a＝2b B．a﹣b＝0C．ac＝bc D．22．下列变形正确的是（）A．若a+3＝9，则a＝3+9B．若4x＝7x﹣2，则4x﹣7x＝2C．若2a﹣2＝﹣6，则2a＝6+2D．若2x﹣5＝3x+3，则2x﹣3x＝3+5 23．等式变形一定正确的是（）A．如果ax＝ay那么x＝y B．如果a＝b，那么a﹣5＝5﹣bC．如果a＝b，那么2a＝3b D．如果a+1＝b+1，那么a＝b【题型6等式的性质变形】24．如图1，在第一个天平上，物块A的质量等于物块B加上物块C的质量；如图2，在第二个天平上，物块A加上物块B的质量等于3个物块C的质量．已知物块A的质量为10g．请你判断：1个物块B的质量是g．25．现有9颗外观和大小都完全相同的小球，已知8颗球的质量相等，另外一颗球的质量略大一些．小颖想用一架托盘天平称出这颗质量较大的球．她思考后发现最少称n次就一定能找出这颗球，则n的值等于．26．有一堆实心的几何体：圆锥、正方体和球，已知相同的几何体具有相同的质量，某同学借助天平探究三种几何体之间的质量关系时，画出了如下四幅图，图中用“△”“□”和“〇”分别表示圆锥、正方体和球，其中有一幅图画错了，它是④．（填序号）26．如图，天平两边盘中标有相同字母的物体的质量相同，若A物体的质量为20克，当天平处于平衡状态时，B物体的质量为．27．若x﹣2y＝3，则x＝．28．假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放个■．29．若a＝b，则a﹣c＝．30．如图所示，在天平的左盘上的两个物品取下一个，右盘取下个砝码才能使天平仍然平衡．【题型7 利用等式的性质解方程】31．利用等式性质解方程：（1）5x﹣2＝﹣7x+8；（2）3x+1＝x+9；（3）．32．利用等式的性质解下列方程．（1）y+3＝2；（2）﹣y﹣2＝3；（3）9x＝8x﹣6；（4）8m＝4m+1．【题型8 方程的解中遮挡问题】33．方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那么▲处的数字是．34．小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1﹣，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是．35．小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了﹣2x+●＝3x，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝﹣1，于是他判断●的值应为．36．方程3+＝2x，处被墨水盖住了，已知该方程的解是x＝0，那么处的数字是．【题型9 利用等式的性质检验方程的解】37．利用等式的性质解方程并检验：．38．利用等式的性质解方程，并检验．（1）4x﹣6＝﹣10；（2）﹣5x＝﹣15；（3）10x＝5x﹣3；（4）7x﹣6＝8x．39．检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解．（1）2x+5＝10x﹣3（x＝1）（2）2（x﹣1）﹣（x+1）＝3（x+1）﹣（x﹣1）（x＝0）40．检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解：（1）；（2）2（y﹣2）﹣9（1﹣y）＝3（4y﹣1）．（﹣10，10）【题型10 方程的解的规律问题】41．一列方程如下排列：＝1的解是x＝2，＝1的解是x＝3，＝1的解是x＝4，…根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2017的方程：．。

华东师大版七年级数学下册 第6章一元一次方程课后专题练习班级：________ 姓名：________一、单选题（共 10 小题）1、如图，小玲将一个正方形纸片剪去一个宽为2cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为3cm 的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长为（ ）cm ．A ．4B ．6C ．12D ．182、下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ） A ．若a b =，则55a b +=+ B ．若a b =，则ac bc = C ．a b cc=，则a b =D ．若a b =，则a b cc=3、一套仪器由一个A 部件和三个B 部件构成，用31m 钢材可做30个A 部件或150个B 部件，现要用36m 钢材制作这种仪器，设应用3m x 钢材做A 部件，剩余钢材做B 部件，恰好配套，则可列方程为（ ） A ．()3301506x x ⨯=-B ．()3150306x x ⨯=-C ．()3031506x x =⨯-D ．()1503306x x =⨯-4、如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U ”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（ ）A ．78B ．70C ．84D ．1055、如图，OM 平分AOB ∠，2MON BON ∠=∠，72AON BON ∠-∠=︒，则AOB ∠=（ ）．A ．96°B ．108°C ．120°D ．144°6、下列等式的变形正确的是（ ） A ．如果x ＝y ，那么2+x ＝2﹣y B ．如果m nk k=，那么m ＝n C ．如果2（x ﹣1）＝3，那么2x ﹣1＝3 D ．如果13x ＝6，那么x ＝27、下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A ．3x －5B ．110x+=C ．123x =D ．5x －3y ＝08、下列等式变形中，不正确的是（ ） A ．若a b =，则55a b +=+B ．若a b =，则33a b =C ．若23a b =，则32a b =D ．若a b =，则a b =9、下列运用等式的性质变形，不一定正确的是（ ） A ．若ac bc =，则a b = B ．若c a c b -=-，则a b = C ．若34a b -=+，则7a b =+D ．若a b cc=，则a b =10、已知a ，x 为正整数，若ax ﹣1＝x +7，则满足条件的所有a 的值之和为（ ） A ．15B ．17C ．19D ．21二、填空题（共 10 小题）1、随着气温降低，吃羊肉的重庆人越来越多．于是王老板预定了一批羊排、羊腿、精品单肉．第一批预定羊排的数量（斤）是精品羊肉的2倍，羊腿的数量（斤）是羊排、精品羊肉的数量之和．由于品质优良宣传力度大，小区邻居的预订量暴增，王老板按照相同的价格加紧采购了第二批羊排、羊腿、精品羊肉，其中第二批羊腿的数量古第二批总数量的16，此时两批羊腿总数量达到了羊排、羊腿、精品羊肉三种总量的518，而羊排和精品羊肉的总数量之比为8:5．若羊排、羊腿、精品羊肉的成本价分别为50元、42元、38元，羊排的售价为每斤64元，销售中，王老板为回馈顾客，将两批羊排总量的18送邻居免费品尝，其余羊排、羊腿、精品羊肉全部实完，总利润率为16%，且羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的713．则精品羊肉的单价最低为______元．2、对实数a 、b 规定一种新运算，若a b ab b =-△，则方程20x =△的解是__________________．3、定义运算：54a b a b ⊕=+，那么当961x ⊕=时，13x ⊕=_______．4、整式2mx n +的值随x 的取值不同而不同，下表是当x 取不同值时对应的整式值，那么关于x 的方程24mx n --= 的解为_____________.x2- 1- 01 22mx n + 44- 8- 12-5、小明的妈妈在银行里存入人民币5000元，存期两年，到期后可得人民币5150元，如果设这项储蓄的年利率是x，根据题意，可列出方程是__________________．6、万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一，以“重庆第一泡•万盛茶飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶，茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开幕，活动持续两周，活动举办方为游客准备了三款2021年的新茶：清明香，云雾毛尖、滴翠剑茗．第一批采制的茶叶中清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量（盒）之比为2：3：1，由于品质优良宣传力度大，网上的预订量暴增，举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶，其中清明香增加的数量占总增加数量的12，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的49，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等．若清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为500元、420元，380元，清明香的售价为每盒640元，活动中将清明香的18供游客免费品尝，活动结束时两批茶叶全部卖完，总利润率为16%，且云雾毛尖的销售单价等于另外两种茶叶销售单价之和的614，则滴翠剑茗单价为____元7、将115(1)12(3)5x x-=--去括号后，方程转化为_______．8、如图，这是某超市“飘柔”洗发水的价格标签，一位服务员不小心将标签弄脏了，使得原价看不清．请你帮忙算一算，该洗发水的原价是______元．9、已知关于x的一元一次方程21x k+=的解是5x=，则k的值为__________．10、在2、﹣2、0中，x＝_______是方程2x4+x2＝﹣18x的解．三、解答题（共 6 小题）1、解方程：3x﹣4（x+1）＝3﹣2（2x﹣5）．2、解方程： (1)217x x +=-； (2)5172134x x ++-=．3、【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴发现：如图所示的数轴上，点O 为原点，点A 、B 表示的数分别是a 和b ，点B 在点A 的右边（即b a >），则A 、B 两点之间的距离（即线段AB 的长）AB b a =-．【问题情境】如图所示，数轴上点A 表示的数6a =-，点B 表示的数为4b =，线段AB 的中点C 表示的数为x ．点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点N 从点B 出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动．设运动时间为t 秒(0)t >．【综合运用】根据“背景知识”和“问题情境”解答下列问题：(1)填空：①A、B两点之间的距离AB=_______，线段AB的中点C表示的数x=_______．②用含t的代数式表示：t秒后，点M表示的数为________；点N表示的数为______．(2)求当t为何值时，点M运动到线段AB的中点C，并求出此时点N所表示的数．(3)求当t为何值时，12MN AB=．4、如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为﹣2，6，用符号“AB”来表示点A和点B之间的距离．(1)如图1，若点C为点A、B的中点，则点C表示的数为______；(2)如图2，若点C对应数为4．点E以1个单位/秒的速度从点A出发沿着数轴的正方向运动，2秒后点F 以2个单位/秒的速度从点C 出发也沿着数轴的正方向运动，点F 到达B 点处立刻按原速返回沿着数轴的负方向运动，直到点E 到达点B ，两个点同时停止运动．设点E 运动的时间为t （0t >），在此过程中存在t 使得3EF BE =成立，求t 的值；(3)如图3，若点C 对应数为4．长度均为1个单位的电子虫MN 和电子虫PQ ，其中MN 从点A 出发（点N 与点A 重合）以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，同时PQ 从点C 出发（点P 与点C 重合）以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，当PQ 运动到点P 与点A 重合时，PQ 保持速度不变，反向沿着数轴正方向运动，当点Q 运动到点M 重合时，两电子虫都停止运动．在运动过程中，如果出现两条电子虫有重叠的时候，它们各自运动方向不变但速度会减半，重叠结束速度立即恢复．设电子虫MN 运动时间为t 秒，是否存在0t t ，使两电子虫上的点N 和点P 刚好相距3个单位长度，若存在，请直接写出t 的值．若不存在，请说明理由．5、列方程解应用题迎接2022年北京冬奥会，响应“三亿人上冰雪”的号召，全民参与冰雪运动的积极性不断提升．我国2019年总滑雪人次比2016年总滑雪人次多了约680.5万，2019年旱雪人次约占本年总滑雪人次的1.5%，比2016年总滑雪人次的2%多2.6万．2019年总滑雪人次是多少万？6、解下列方程： (1)()723320x x +-=(2)0.50.40.010.015520.30.0412x x x +--+=-。

七年级一元一次方程计算题一、简单的一元一次方程求解（1 - 10题）1. x + 5 = 12- 解析：方程两边同时减去5，得到x+5 - 5=12 - 5，即x = 7。

2. 2x-3 = 7- 解析：首先方程两边同时加上3，得到2x - 3+3=7 + 3，即2x=10。

然后方程两边同时除以2，2x÷2 = 10÷2，解得x = 5。

3. 3(x + 1)=18- 解析：先使用分配律将括号展开，得到3x+3 = 18。

方程两边同时减去3，3x+3 - 3=18 - 3，即3x = 15。

最后方程两边同时除以3，3x÷3=15÷3，解得x = 5。

4. (x)/(2)+1 = 3- 解析：方程两边同时减去1，得到(x)/(2)+1 - 1=3 - 1，即(x)/(2)=2。

然后方程两边同时乘以2，(x)/(2)×2 = 2×2，解得x = 4。

5. 4x-2x+3 = 7- 解析：先合并同类项，4x-2x = 2x，方程变为2x+3 = 7。

方程两边同时减去3，2x+3 - 3=7 - 3，即2x = 4。

最后方程两边同时除以2，2x÷2 = 4÷2，解得x = 2。

6. 5(x - 2)=3x- 解析：先展开括号，得到5x-10 = 3x。

方程两边同时减去3x，5x-3x - 10=3x - 3x，即2x-10 = 0。

方程两边同时加上10，2x-10 + 10=0 + 10，即2x = 10。

最后方程两边同时除以2，2x÷2 = 10÷2，解得x = 5。

7. (2x + 1)/(3)=3- 解析：方程两边同时乘以3，得到2x + 1=9。

方程两边同时减去1，2x+1 - 1=9 - 1，即2x = 8。

最后方程两边同时除以2，2x÷2 = 8÷2，解得x = 4。

8. 3x+5 = 2x - 1- 解析：方程两边同时减去2x，3x - 2x+5 = 2x - 2x-1，即x+5=-1。

中考数学-一元一次方程专题练习（含答案）一、单选题1.下列方程为一元一次方程的是（）A.+y=2B.x+2=3yC.x2=2xD.y+1=22.已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A.八边形B.十二边形C.十边形D.九边形3.太平洋服装超市某种服装的标价为120元，元旦期间以九折降价出售，仍获利20%，该服装的进货价为（）A.80元B.85元C.90元D.95元4.某商店换季促销，将一件标价为240元的T恤8折售出，仍获利20%，则这件T恤的成本为( )A.144元B.160元C.192元D.200元5.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元．如果设水性笔的单价为x元，那么下列所列方程正确的是（）A.5（x﹣2）+3x=14B.5（x+2）+3x=14C.5x+3（x+2）=14D.5x+3（x﹣2）=146.下列式子中，是一元一次方程的有（）A.x+5=2xB.x2﹣8=x2+7C.5x﹣3D.x﹣y=47.下列运用等式的性质，变形不正确的是（）A.若x=y，则x+5=y+5B.若a=b，则ac=bcC.若= ，则a=bD.若x=y，则8.文具店老板以每个96元的价格卖出两个计算器，其中一个赚了20%，另一个亏了20%，则卖这两个计算器总的是（）A.不赚不赔B.亏8元C.盈利3元D.亏损3元9.若关于y的方程2m+y=1与3y﹣3=2y﹣1的解相同，则m的值为（）A.2B. -C. -2D.010.商场将某种商品按标价的八折出售，仍可获利90元，若这种商品的标价为300元，则该商品的进价为（）A.330元B.210元C.180元D.150元11.已知关于x的方程1 + 3(3－4x) = 2(4x－3) ，若4x－3 = a，则a等于（）A.－1B.C.D. -12.已知x=2是关于x的方程3x+a=0的一个解，则a的值是( )A.– 6B.–3C.– 4D.–513.小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km?设他家到学校的路程是xkm，则据题意列出的方程是（）A.+=-B.-=+C.-=-D.+10=-514.x=1是方程3x—m+1=0的解，则m的值是（）A.－4B.4C.2D.－215.方程3x+6=0的解的相反数是（）A.2B.－2C.3D.－3二、填空题16.若a3﹣2n b2与5a3n﹣2b2是同类项，则n=________．17.若是关于的方程的解，则________；18.某商品货物进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，保证利润为5%，则该店应降价________元出售．19.某公司承担了制作600个道路交通指引标志的任务，在实际操作时比原计划平均每天多制作了10个，因此提前了5天完成任务，如果设原计划x天完成，那么根据题意，可以列出的方程是：________．20.已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+4=0是关于x的一元一次方程．则a的值为________三、解答题21.已知：如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC为2：5两部分，∠DBE=24°，求∠ABC的度数．22.世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．23.毕业在即，九年级(一)班为纪念师生情谊，班委决定花800元班费买两种不同单价的留念册，分别给50位同学和10位任课老师每人一本留做纪念．其中送给老师的留念册的单价比给同学的单价多8元．请问这两种不同留念册的单价分别为多少元？四、计算题24.解方程（1）2（x+8）=3（x﹣1）（2）4x+3（2x﹣3）=12﹣（x+4）（3）x﹣6= x（4）3x+ =3﹣．25.解方程：（1）0.5x+0.6=6﹣1.3x26.（2）1+=．答案解析部分一、单选题1.下列方程为一元一次方程的是（）A.+y=2B.x+2=3yC.x2=2xD.y+1=2【答案】D【考点】一元一次方程的定义【解析】【解答】A.分母中含有字母，是分式方程，A不符合题意；B.方程中含有两个未知数，是二元一次方程，B不符合题意；C.方程中未知数的最高次数为2，是一元二次方程，C不符合题意；D.方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，是一元一次方程，D符合题意；故答案为：D.【分析】根据一元一次方程定义：指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。

解一元一次方程专项训练（40道）目录【专项训练一、移项与合并同类项】 (1)【专项训练二、去括号】 (8)【专项训练三、去分母】 (11)【专项训练三、拓展】 (19)【专项训练一、移项与合并同类项】1．解方程．(1)124 2.4x-=(2)45258 x:=:2(3)()42:15x-=【答案】4x =-【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．【详解】解；3256x x -=+移项得：3562x x -=+，合并同类项得：28x -=，系数化为1得：4x =-．3．解方程：15%9%7%0.31x x -=+．【答案】5x =【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤求解即可．【详解】解：15%9%7%0.31x x -=+，0.150.090.070.31x x -=+，移项得：0.150.070.310.09x x -=+，合并同类项得：0.080.4x =，系数化为1得：5x =．4．解下列方程：(1)6259x x -=-+；(2)0.4 2.8 3.6 1.6 1.7y y y+-=-(1)5278x x -=+；(2)1752x x -=+；(3)2.49.8 1.49x x -=-；(4)5671238x x x x -++=+-+．【答案】(1)5x =-(2)24x =-(3)0.8x =(4)1x =【分析】此题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．（1）先移项、合并同类项，再将系数化为1即可得到方程的解；（2）先移项、合并同类项，再将系数化为1即可得到方程的解；（3）先移项、合并同类项，即可得到方程的解；（4）先移项、合并同类项，再将系数化为1即可得到方程的解【详解】（1）(1)36 57x+=；(2)61173x¸=；(3)218 1525x=；(4)319 112020x-=．(1)1154 x x-=(2)3136 712x¸=(3)83283 54x-´=(1)133 428x-=；(2)2.4 4.516 2.6x x+=-．(1)132354x x x -+=-+；(2)42147x x x -+-=-．(1)2.49.8 1.49y y -=-(2)3312x x -=+．【专项训练二、去括号】11．解方程：2(5)333(51)x x -=-+．【答案】=1x -【分析】此题考查了解一元一次方程，掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1解一元一次方程是解题的关键，根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可；【详解】解：2(1)15(2)x x -=-+，221510x x -=--，251102x x +=-+，77x =-，=1x -．13．解方程：()()23531214x x x x -+-=．【答案】2x =-【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解决本题的关键是先根据单项式乘以多项式去括号．先根据单项式乘以多项式去括号，再解一元一次方程，即可解答．【详解】解：2(35)3(12)14x x x x -+-=，去括号得：226103614x x x x -+-=，移项合并同类项得：714x -=，系数化为1得：2x =-．14．解方程：()()250%1831x x +=--【答案】4x =【分析】此题考查了解一元一次方程，掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1解一元一次方程是解题的关键．【详解】解：()()250%1831x x +=--去括号得211833x x +=-+移项得231813x x +=-+合并得520x =系数化为1得4x =．15．解方程：94(2)2(31)x x x -+=+．16．解方程：．解方程：．【答案】5x =-【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可．根据解一元一次方程的步骤进行求解即可．【详解】解：()()7211335x x -=+-去括号得：71411915x x -=+-，移项，合并同类项：210x -=，系数化为1得：5x =-．18．解下列方程(1)()3124x =-+(2)()12113x x x+--=-(1)()46252x x -=-；(2)()214x x -+=-；【答案】(1)2x =；(2)2x =．【分析】（1）本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程步骤“去括号，移项，合并同类项，系数化为1”即可解题；（2）本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程步骤“去括号，移项，合并同类项，系数化为1”即可解题；【详解】（1）解：()46252x x -=-，46104x x -=-，44106x x +=+，816x =，2x =；（2）解：()214x x -+=-，224x x --=-，242x x -=-+，2x -=-，2x =．20．解方程：()()4253521x x -+=--．【专项训练三、去分母】21．解下列方程：(1)221146x x ---=；(2)155x x +-=．【答案】(1)16x =-22．解方程：213 5102x x x-+--=．23．解方程：5121163x x--=-．【答案】1x=24．解方程：5121123x x +-=-；(1)223312x x x +-=--．(2)10.10.220.30.05x x x ++-=．26．解方程：2131 52x x+--=．27．解方程：323 0.20.5-+-=x x．28．解方程：341123+--=x x 29．解方程：0.12230.30.6x x x -+-=30．解方程：3532142y y y ---=-．31．解方程：2121163x x+--=．(1)141 23x x+=+；(2)4352 27x x-+=-．33．解方程：(1)222123x x --+=；(2)253432x x +--=；(1)()()()2234191y y y +--=-；(2)322132x x x +--=-．(3)()3151x x +=-；(4)2121136x x -+=-．(1)()()1123222x x -=--(2)3157146x x ---=【专项训练三、拓展】36．解关于x 的方程()()222a x x +=-37．解关于x 的方程：55ax a x +=+．【答案】当1a ¹时，5x =-；当1a =时，x 一切实数．【分析】本题考查了解一元一次方程，将原方程化为()()151a x a -=-，分两种情况：当1a ¹时；当1a =时，分别求解即可得出答案．【详解】解：55ax a x +=+Q ，()()151a x a \-=-当1a ¹时，5x =-，当1a =时，x 一切实数．38．已知关于x 的一元一次方程320222022x x n +=+的解为2022x =，求关于y 的一元一次方程()5232022522022y y n --=--的解．39．已知关于x 的方程有无数多个解，求常数a 、b 的值．40．当整数k为何值时，方程9314-=+有正整数解？并求出正整数解．x kx。

第4章一元一次方程（压轴必刷30题3种题型专项训练）一．一元一次方程的解（共2小题）1．（2022秋•启东市校级月考）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则方程2x＝4是差解方程．请根据上述规定解答下列问题：（1）判断3x＝4.5是否是差解方程；（2）若关于x的一元一次方程5x＝m+1是差解方程，求m的值．2．（2022秋•宿城区期中）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则方程2x＝4是差解方程．请根据上边规定解答下列问题：（1）判断3x＝4.5是否是差解方程；（2）若关于x的一元一次方程6x＝m+2是差解方程，求m的值．二．解一元一次方程（共3小题）3．（2021秋•高新区期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2ab+a．如：1*3＝1×32+2×1×3+1＝16（1）求2*（﹣2）的值；（2）若（其中x为有理数），试比较m，n的大小；（3）若＝a+4，求a的值．4．（2022秋•工业园区校级月考）如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数﹣1的点与表示数5的点重合，请你回答以下问题：（1）表示数﹣2的点与表示数的点重合；表示数7的点与表示数的点重合．（2）若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间的距离为12，且A，B两点按小明的方法折叠后重合，则点A表示的数是；点B表示的数是；（3）已知数轴上的点M分别到（2）中A，B两点的距离之和为2022，求点M表示的数是多少？5．（2021秋•溧阳市期末）阅读理解学：我们都应该知道，任何无限循环小数都应该属于有理数，那是因为所有无限循环小数都可以化成分数形式，而分数属于有理数．那么无限循环小数怎么化成分数呢？下面的学习材料会告诉我们原因和方法：问题：利用一元一次方程将0.化成分数．设0.＝x．由0.＝0.7777…，可知10×0.＝7777…＝7+0.7777…＝7+0.，即10x＝7+x．可解得，即0.＝．（1）将0.直接写成分数形式为．（2）请仿照上述方法把下列小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．①0.；②0.1．三．一元一次方程的应用（共25小题）6．（2022秋•高新区期末）甲、乙两个旅行团同时去苏州旅游，已知乙团人数比甲团人数多4人，两团人数之和恰等于两团人数之差的18倍．（1）问甲、乙两个旅行团的人数各是多少？（2）若乙团中儿童人数恰为甲团中儿童人数的3倍少2人，某景点成人票价为每张100元，儿童票价是成人票价的六折，两旅行团在此景点所花费的门票费用相同，求甲、乙两团儿童人数各是多少？7．（2022秋•兴化市校级期末）甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如表：50千克以上购买苹果数不超过30千克30千克以上但不超过50千克每千克价格3元 2.5元2元甲班分两次共购买苹果80千克（第二次多于第一次），共付出185元，乙班则一次购买苹果80千克．（1）乙班比甲班少付出多少元？（2）甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？8．（2023秋•海门市校级月考）已知A、B、C三点在同一条数轴上，点A、B表示的数分别为﹣2，18，点C在原点右侧，且AC＝AB．（1）A、B两点相距个单位；（2）求点C表示的数；（3）点P、Q是该数轴上的两个动点，点P从点A出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动，点Q 从点B出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向左运动，它们同时出发，运动时间为t秒，求当t为何值时，P、Q两点到C点的距离相等？9．（2022秋•建邺区校级期末）扬子江药业集团生产的某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示．根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积．10．（2023秋•滨海县月考）生活与数学日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）山姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，如图1，正方形的方框内的四个数的和是48，那么这四个数是．（2）小丽也在上面的日历上圈出2×2个数，如图2，斜框内的四个数的和是46，则它们分别是．（3）刘莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，如图3，它们的和是55，则中间的数是．（4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是号？11．（2022秋•兴化市校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是．②数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是．③数轴上表示﹣3和4的两点之间的距离是．（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于．（3）应用：①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝．②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝．③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是．④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是．（4）拓展：已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P 从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数．12．（2022秋•海安市月考）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD＝4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+8|+（b﹣16）2＝0．（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距单位长度；（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即P A+PC+PB+PD 为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由．13．（2022秋•淮阴区期中）据电力部门统计，每天8：00至21：00是用电高峰期，简称“峰时”，21：00至次日8：00是用电低谷期，简称“谷时”．为了缓解供电需求紧张的矛盾，我市电力部门拟逐步统一换装“峰谷分时”电表，对用电实行“峰谷分时电价”新政策，具体见下表： 时间换表前换表后峰时（8：00﹣21：00）谷时（21：00﹣8：00）电价每度0.52元每度0.55元每度0.30元小明家对换表后最初使用的95度电进行测算，经测算比换表前使用95度电节约了5.9元，问小明家使用“峰时”电和“谷时”电分别是多少度？14．（2022秋•姜堰区期中）阅读理解：M 、N 、P 为数轴上三点，若点P 到M 的距离是点P 到N 的距离的k （k ＞0）倍，即满足PM ＝k ．PN 时，则称点P 关于M 、N 的“相对关系值”为k ．例如，当点M 、N 、P 表示的数分别为0、2、3时，PM ＝3PN ，则称点P 关于M 、N 的“相对关系值”为3；PN ＝MN ，则称点N 关于P 、M 的“相对关系值”为．如图，点A 、B 、C 、D 在数轴上，它们所表示的数分别为﹣1、2、6、﹣6．（1）原点O 关于A 、B 的“相对关系值“为a ，原点O 关于B 、A 的“相对关系值”为b ，则a ＝ ，b ＝ ．（2）点E 为数轴上一动点，点E 所表示的数为x ，若x 满足|x +3|+|x ﹣2|＝5，且点E 关于C 、D 的“相对关系值”为k ，则k 的取值范围是 ．（3）点F 从点B 出发，以每秒1个单位的速度向左运动，设运动时间为t （t ＞0）秒，当经过t 秒时，C 、D 、F 三点中恰有一个点关于另外两点的“相对关系值”为2，求t 的值．15．（2022秋•苏州期中）【问题背景】落实“双减”政策后，某校开展了丰富多彩的科技活动．如图1，电子蚂蚁P 、Q 在长18分米的赛道AB 上同时相向匀速运动，电子蚂蚁P 从A 出发，速度为4分米/分钟，电子蚂蚁Q从B出发，速度为2分米/分钟，当电子蚂蚁P到达B时，电子蚂蚁P，Q停止运动．经过几分钟P，Q之间相距6分米？【问题解决】小辰同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图2，将点A与数轴的原点O重合，点B落在正半轴上．设运动的时间为t（0≤t≤4.5）．（1）t分钟后点P在数轴上对应的数是；点Q对应的数是；（用含t的代数式表示）（2）我们知道，如果数轴上M，N两点分别对应数m，n，则MN＝|m﹣n|．试运用该方法求经过几分钟P，Q之间相距6分米？（3）在赛道AB上有一个标记位置C，AC＝6．若电子蚂蚁P与标记位置C之间的距离为a，电子蚂蚁Q与B之间的距离为b．在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得a+b＝4？若存在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由．16．（2022秋•海陵区校级月考）阅读理解，完成下列各题：定义：已知A、B、C为数轴上任意三点，若点C到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则称点C是[A，B]的3倍点，例如：如图1，点C是[A，B]的3倍点，点D不是[A，B]的3倍点，但点D是[B，A]的3倍点，根据这个定义解决下面问题：（1）在图1中，点A[C，D]的3倍点（填写“是”或“不是”）；[D，C]的3倍点是点（填写A或B或C或D）；（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M表示的数是﹣3，点N表示的数是5，若点E是[M，N]的3倍点，则点E表示的数是；（3）若P、Q为数轴上两点，点P在点Q的左侧，PQ＝a，一动点H从点P出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒，求当t为何值时，点H恰好是P和Q两点的3倍点？（用含a的代数式表示）17．（2022秋•昆山市校级月考）如图所示，将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表，用十字形框框出5个数．探究规律一：设十字框中间的奇数为x，则框中五个奇数的和用含x的整式表示为，这说明被十字框框中的五个奇数的和一定是正整数p（p＞1）的倍数，这个正整数p是．探究规律二：落在十字框中间且位于第二列的一组奇数是15，27，39…，则这一组数可以用整式表示为12m+3 （m为正整数），同样，落在十字框中间且位于第三列的一组奇数可以表示为；（用含m的式子表示）运用规律（1）被十字框框中的五个奇数的和可能是625吗？若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由．（2）请问（1）中的十字框中间的奇数落在第几行第几列？18．（2022秋•广陵区校级月考）从泰州乘“K”字头列车A、“T”字头列车B都可直达南京，已知A车的平均速度为80km/h，B车的平均速度为A车的1.5倍，且行完全程B车所需时间比A车少40分钟．（1）求泰州至南京的铁路里程；（2）若两车以各自的平均速度分别从泰州、南京同时相向而行，问经过多少时间两车相距40km？19．（2022秋•江都区月考）某地的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润4000元，经精加工后销售，每吨利润7000元．当地一家公司现有这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但每天两种方式不能同时进行．受季节等条件的限制，必须用15天时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售；方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成．如果你是公司经理，你会选择哪一种方案，说说理由．20．（2023秋•锡山区期中）如图，数轴上有A、B、C、D四点，点D对应的数为x，已知OA＝5，OB＝3，CD＝2，P、Q两点同时从原点O出发，沿着数轴正方向分别以每秒钟a和b个单位长度的速度运动，且a＜b．点Q到点D后立即朝数轴的负方向运动，速度不变，在点C处与点P相遇，相遇后点P也立即朝着数轴的负方向运动，且P点的速度变为2a，Q点的速度不变．（1）P、Q两点相遇时，点P前进的路程为；Q、P两点相遇前的速度比＝；（用含有x的式子表示）（2）若点B为线段AD的中点，①此时，点D表示的数x＝；②相遇后，当点P到达点A处时，点Q在原点O的（填“左”或“右”）侧，并求出此时点Q在数轴上所表示的数字；（3）在（2）的条件下，当点P到达点A处时，立即掉头朝数轴的正方向运动，速度变为3a，点Q的速度始终不变，这两点在点M处第二次相遇，则点M在数轴上所表示的数字为．21．（2023秋•沭阳县校级月考）探索规律：将连续的偶2，4，6，8，…，排成如图：（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？（2）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于2010吗？如能，写出这五位数，如不能，说明理由．22．（2021秋•姑苏区校级期末）为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表：用水量单价不超过6m3的部分2元/m3超过6m3不超过10m3的部分4元/m3超出10m3的部分8元/m3譬如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：2×6+4×（9﹣6）＝24（元）（1）某用户3月用水15m3应缴水费多少元？（2）已知某用户4月份缴水费20元，求该用户4月份的用水量；（3）如果该用户5、6月份共用水20m3（6月份用水量超过5月份用水量），共交水费64元，则该户居民5、6月份各用水多少立方米？23．（2021秋•惠山区期末）【探索新知】如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC＝3，则AB＝；（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则AC DB；（填“＝”或“≠”）【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．（3）若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度．（4）在图2中，若点D在射线OC上，且线段CD与图中以O、C、D中某两点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，直接写出D点所表示的数．24．（2022秋•江都区校级月考）元旦期间，某商场打出促销广告（如下表）优惠条件一次性购物不超过200元一次性购物超过200元但不超过一次性购物超过500元500元优惠办法无优惠全部按9折优惠其中500元仍按9折优惠，超过500元部分按8折优惠小明妈妈第一次购物用了134元，第二次购物用了490元．（1）小明妈妈第一次所购物品的原价是元；（2）小明妈妈第二次所购物品的原价是多少元？（写出解答过程）（3）若小明妈妈将两次购买的物品一次性买清，可比两次购买节省多少元？25．（2022秋•梁溪区校级月考）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足|a+2|+|b﹣4|＝0；（1）点A表示的数为；点B表示的数为；（2）如果M、N为数轴上两个动点，点M从点A出发，速度为每秒1个单位长度；点N从点B出发，速度为点A的3倍，它们同时向左运动，点O为原点．当运动2秒时，点M、N对应的数分别是、．当运动t秒时，点M、N对应的数分别是、．（用含t的式子表示）运动多少秒时，点M、N、O中恰有一个点为另外两个点所连线段的中点？（可以直接写出答案）26．（2022秋•兴化市校级月考）如图，已知A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为80．（1）请直接写出AB的中点M对应的数；（2）现在有一只电子蚂蚁P从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，请求出C点对应的数是多少；（3）若当电子蚂蚁P从A点出发时，以2个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B 点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距25个单位长度？27．（2022秋•昆山市校级月考）在购买足球赛门票时，设购买门票张数为x（张），现有两种购买方案：方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位购买门票的价格为60元（总费用＝广告赞助费+门票费）．方案二：若购买的门票数不超过100张，每张100元，若所购门票超过100张，则超出部分按八折计算．解答下列问题：（1）方案一中，用含x的代数式来表示总费用为．方案二中，当购买的门票数x不超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为．当所购门票数x超过100张时，用含x 的代数式来表示总费用为．（2）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次足球赛门票，合计700张，花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？28．（2021秋•江都区期中）把2100个连续的正整数1、2、3、…、2100，按如图方式排成一个数表，如图用一个正方形框在表中任意框住4个数，设左上角的数为x．（1）另外三个数用含x的式子表示出来，从小到大排列是；（2）被框住4个数的和为416时，x值为多少？（3）能否框住四个数和为324？若能，求出x值，若不能，说明理由；（4）从左到右，第1至第7列各数之和分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，求7个数中最大的数与最小的数之差．29．（2021秋•秦淮区期中）生活与数学：（1）吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数是；（2）玛丽也在日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是；（3）莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是；（4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是号；（5）若干个偶数按每行8个数排成图4：①图中方框内的9个数的和与中间的数有什么关系：；②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是；③托马斯也画了一个斜框，斜框内9个数的和为252，则斜框的中间一个数是．30．（2021秋•洪泽区校级月考）请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？（2）甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯．为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动．甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯．若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．。

典型例题一例01．关于x 的方程b ax =在下列条件下写出解的情况：①当0≠a 时，解的情况___________.②当0=a 时，⎩⎨⎧≠=_______. 0._______0方程解情况方程解情况b b分析 对于方程b ax =.①当0≠a 时，方程有惟一一个解，解为abx =； ②当0=a 时，00,0=⋅=x b . 有无数个解，x 可为任意实数； 当0=a ，0≠b 时，方程无解. 说明 本题是很重要的基础知识.典型例题二例02．由22)(b a x b a -=+得b a x -=的条件是______. 分析 因))(()(b a b a x b a -+=+，当0≠+b a 时，.b a x -=解答 0≠+b a .说明 0≠+b a 是解本题的关键.典型例题三例03．已知d n a a n )1(1-+=，则=n ______. 分析 因d n a a n )1(1-+=，d n a a n )1(1-=-，da a n n 11-=-. 故.11+-=da a n n 说明 公式变形实质上就是解含字母已知数的方程.典型例题四例04．方程a bxb a x -=-（b a ≠）的解______. 分析 移项，得a b bxa x -=-，.)(a b aba b x -=- 故 当b a =时，00=⋅x ，x 可为任何数； 当b a ≠时，0≠-a b ，故.ab x = 解答 .ab x =说明 解含有字母系数的一元一次方程时，一定要注意用含有字母的式子去乘或除方程的两边时，这个式子不能为零. 因此必须讨论.典型例题五例05．已知关于x 的方程1)32(=-x a 的根为负数，则a 的取值范围是_____. 分析 1)32(=-x a ，因为方程有根，所以032≠-a ，ax 321-=. 又因0<x ，故.0321<-a 故.32,032><-a a解答 32>a .说明 解字母系数方程与解数字系数方程步骤一样.典型例题六例06．在cb a 111+=（c b a ,,都是非零实数且b a ≠）中，如果已知b a ,，则=c _______. 分析 原式两边同乘以abc ，得 ab ac bc +=移项 ab c a b =-)(（※） ∵b a ≠，∴0≠-a b ∴.ab abc -=说明 这里c 是未知数，b a ,是已知字母系数，我们求c 实际上就是解关于c 的一元一次方程. 在中考中部分考生因为搞不清楚谁是已知字母系数，谁是未知数，所以丢掉了目标，就会产生错误. 同时也有考生在解题过程中不运用题给条件b a ≠，得到（※）式后，一步就得ab abc -=，反映了思维的不周密及要领模糊. 本题即属于公式变形题型.典型例题七例07．解关于x 的方程：.k x khh x +-=-分析 这里显然x 是未知数，字母系数是h ，k ，但并未说明h ，k 之间的关系. 所以我们把原方程整理成b ax =的形式后，要进行分类讨论.解答 ∵0≠k ，∴方程两边同乘以k ，得2k hx hk kx +-=-，移项、合并同类项得)()(k h k x k h +=+，（1）当0≠+k h 时，k x =；（2）当0=+k h 时，方程有无穷多组解.说明 本题运用了分类讨论思想对0≠+k h ，0=+k h 两类情况进行了讨论，反映了思维的周密性.典型例题八例08．解关于x 的方程：mxn n m x -=-22（n m -≠） 分析 这里x 是未知数，m ，n 是已知数，容易把x 求出来.解答 由所给方程可知0≠m ，0≠n ，从而0≠mn ，方程两边同乘以mn ，得nx n m mx -=-33，移项，得 33n m nx mx +=+， 即 ))(()(22n mn m n m x n m +-+=+ ∵n m -≠，∴0≠+n m . 两边同除以n m +，得22n mn m x +-=.典型例题九例09．确定实数k 的值，使方程组⎩⎨⎧=-=-)2( 46)1( 33ky x y x 有实数解，且0<x ，0<y .分析 可以用加减法或代入法解这个方程组，并注意对字母系数的讨论. 解答 )2(2)1(-⨯，得 .2)2(=-y k 当2≠k 时，22-=k y ；当2<k 时，.0<y )2()1(-⨯k ，得 43)63(-=-k x k . 当2≠k 时，)2(243--=k k x由2,0<<k x 得 .34,043>>-k k ∴ 当234<<k 时，方程组⎩⎨⎧=-=-4633ky x y x 有实数解，并且.0,0<<y x .典型例题十例10．解方程65879854--+--=--+--x x x x x x x x 解答 65879854--+--=--+--x x x x x x x x 分拆得611811911511-++-+=-++-+x x x x ， 消去常数得61819151-+-=-+-x x x x ， 左右分别相加得)6)(8(142)9)(5(142---=---x x x x x x0)]9)(5()6)(8)[(142(=------x x x x x ， 0)142(3=-x ,7=x经检验7=x 是原方程的根.说明 本题考查一类特殊的分式方程的解法. 适当移项，分别通分，可使解题简便. 不要笼统地去分母，因为，去分母有时会使项数增多，次数升高. 即使是要合并同类项，由于“繁”，所花时间也多，我们应设法化简. 如果一个分式的分子的次数不低于分母的次数，就一定可化成一个整式与分式的和的形式. 在本题中，方程两边各减去2，左右分别通分，再去分母即可.典型例题十一例11．若01=--+b a ab ，试判断11-a ，11+b 是否有意义？ 分析：判断分式11-a ，11+b 是否有意义，须看1-a ，1+b 是否为零，由条件中等式左边因式分解，及bc a =型数量关系，可判断出1-a ，1+b 与零的关系.解：将01=--+b a ab 的左边因式分解；0)1()(=+-+b a ab 0)1()1(=+-+b b a 0)1)(1(=-+a b∴01=+b 或01=-a ∴分式11-a 或11-b 无意义. 说明 bc a =型数量关系常与因式分解、分式的概念等知识综合命题.典型例题十二例12．某人提着一筒水上楼，上到一层楼时，这人做的功为0W ，问这人提着这筒水上到n 层，做了多少功？分析：该人提着水上楼时，人对水筒的拉力是一定的，由物理上的求功公式s F W ⋅=，可知：当F 一定是，W 与s 成正比.解：由求功公式s F W ⋅=知，W 与s 成正比∵某人提着这筒水上到一层时做的功为0W∴这人提着这筒水上到n 层时做的功为0nW 说明 在物理学上也常用到bc a =型数量关系.选择题1．选择题 （1）已知a x ay =++12，用x 的代数式表示y ，得（ ） （A ）a x y 3+= （B ）a x y -= （C ）a ax y 3+= （D ）a ax y -=（2）已知公式ah S 21=中，字母均为正数，则a 为（ ） （A ）hS 2 （B ）S h 2 （C ）S h 2 （D ）hS 2（3）如果y x k y x k ++=++1)(，且1≠k ，则y x +等于（ ） （A ）1 （B ）1-（C ）k （D ）k -（4）若a 、b 、S 、k 都是正数，则式子SbR b a =-可变形为（ ） （A ）S RRb a += （B ）R RaS b -=（C ）SR aSb +=（D ）aSSR b +=2．选择题 （1）若b a abcm -=，则b 等于（ ） （A ）ac b a m )(- （B ）m ma abc -- （C ）c +11 （D ）acm ma +（2）已知b a 11-=，c b 11-=，用含a 的代数式表示c ，应为（ ）（A ）b c -=11 （B ）c a -=11（C ）a a c -=1 （D ）aa c 1-=（3）若39=+yx ，39=+x y ，则x x 9+等于（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）3 （4）若0υυ+=gt ，且t gt S 0221υ+=，则t 等于（ ） （A ）υυ+02S （B ）02υυ-S （C ）υυ-02S（D ）υS 2（5）若34=n m ，且149=t r ，则mr nt ntmr 743--的值为（ ） （A ）215- （B ）1411- （C ）411- （D ）14113．选择题（1）若b a abcm -=，则b 等于（ ） （A ）ac b a m )(- （B ）m ma abc -- （C ）c +11 （D ）acm ma +（2）若413=a ，43=b ，31=d ，且0≠b ，0≠d ，a d 4≠，则从公式)(4)3(c b dc b a ++=中求出c 的值为（ ）（A ）3827 （B ）27111（C ）3827- （D ）27111- （3）关于x 、y 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+ay x a yx ,332的解是（ ）（A ）⎩⎨⎧==ay ax 34（B ）⎩⎨⎧-=-=a y a x 34 （C ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ay a x 511516 （D ）⎩⎨⎧==a y a x 1716（4）设y x P +=，y x Q -=，则式子QP QP Q P Q P +---+等于（ ） （A ）xy y x 22-（B ）xy y x 222-（C ）xy y x 22+（D ）xyy x 222+参考答案： 1．（1）D （2）A （3）A （4）C 2．（1）D （2）D （3）D （4）A （5）B 3．（1）D （2）C （3）A （4）A填空题1．填空题（1）关于x 的方程b a x =-5的解为___________ （2）当a__________时，关于x 的方程b ax =的解为ab x = （3）公式)(21c b a S ++=中，c =__________ （4）已知梯形面积h b a S )(21+=，已知S ，b ，h ，且0≠h ，则a =________（5）当b a ≠时，关于x 的方程22)(b a x b a -=-的解为__________2．填空题（1）已知关于y 的方程yf f 11121+=)(21f f ≠，则其解为__________ （2）公式at +=0υυ中，已知1υ，0υ，a ，且0≠a ，则t =__________ （3）若012=-+x x ，则xx 1-=__________ （4）若mfl mh a -=，则f =___________ （5）公式Sd D L 4)(22-=π中，S =__________3．填空题（1）已知关于x 的方程bax a b x --=-2中，0≠+b a ，则x =__________ （2）已知关于y 的方程yf f 11121+=)(21f f ≠，则解为___________ （3）关于x 的方程11+=-x mx )1(≠m 的解为___________（4）若m fl mh a -=，则f =___________ （5）若nm nm x n m n m +-=-+-1，且n m ≠，则x =___________参考答案：1．（1）b a x +=5（2）0≠（3）b a S --2（4）b hS-2（5）b a + 2．（1）1221f f f f -（2）a 0υυ-（3）1-（4）am l h m -2（5）L d D 4)(22-π3．（1）b a +（2）1221f f f f -（3）12-m （4）l aml h m -2（5）n m m -2解答题1．解关于x 的方程（1）325=-y x （2）543-=x y （3）b x x a 14347+=- （4）1=+by ax )0(≠a （5）x b x a -=+)1()2(-≠a （6）)()1(x n n x n +=- （7）22a bxb ax +=+)(b a ≠ （8）)()(22m x n n x m -=-)(22n m ≠ （9）ay bx by ax 22+=+)2(b a ≠（10）2224)()(a a x a x =--+)0(≠a2．解关于x 的方程 （1）011=--+b x a x )(b a ≠ （2）bax a b x --=-2)0(≠+b a（3）1=-++ba xb a x )0(≠a （4）x x a 22)1(2-=- （5）)()(b x b a x a +=+)(b a ≠ （6）x abb a x a b b a 2)(--=+)0(≠+b a（7）n m nmxx +=-)(n m ≠ （8）2222)()(x b a x b a x =-++++)0(≠a 3．已知：t t x +-=11，tty 2332--=，用x 的代数式表示y参考答案：1．（1）532+=y x （2）3204+=y x （3）b a x 2-=（4）a by x -=1（5）2+=a bx（6）2n x -=（7）b a x +=（8）nm mn x +=（9）y x =（10）a x =2．（1）b a b a -+ （2）b a + （3）a b a 222- （4）1 （5）b a --（6）b a b a +- （7）mn n m n -+2 （8）a b a 222+-3．1515+-x x 解答题1．公式变形（1）已知nD S S 21=，求2S （2）已知ld D M 2-=，求D （3）已知)(l r r A +=π，求l （4）已知Ir nIRE +=，求I （5）已知2021at t S -=υ，求0υ（6）已知h r V 231π=，求h2．公式变形（1）从公式)1(0at L L +=中，求出0L ，t 和a （2）在公式21111R R R +=中，求出R 、1R ，2R （3）公式[]d n a nS )1(21-+=υ中，求d（4）已知212211c c c c ++=υυυ，求1c（5）已知2)(1n n a a n S +=，d n a a n )1(1-+=，用n S 、1a 、n a 表示d参考答案：1．（1）1nDS （2）d Ml +2（3）r r A -π（4）nr R nE +（5）tat S 222+（6）23r V π 2．（1）at L +1，00aL L L -，00tL L L -（2）2121R R R R +，R R RR -22，R R RR -11（3）)1(21--n n n a S υ（4）1222υυυυ--c c （5）nn n a a S a a ---12122一、填空题1．已知53=-a a x ，则________=x ． 2．在公式at +=0υυ中，00≠⋅⋅t υυ，则________=a ，________=t ． 3．方程()()121222≠--=-a a a x a 的解为_____________． 4．把一个公式从一种形式变成另一种形式叫____________，在公式υ111+=u f 中，已知u 、υ且0≠+υu ，则_________=f ． 二、选择题：1．已知方程()222--=-m m x m 的解为1+=m x ，则m 的值为（ ）A ．2=mB ．2≠mC ．2-=mD ．2-≠m2．已知公式()0180≠=n Rn l π，用l 、n 表示R 的式子是（ ） A ．180l n R π= B ．l n R π180= C ．πn l R 180= D ．ln R 180π=3．已知()()111≠-+=n d n a a n ，则d 的值为（ ） A ．11--n a a n B ．n a a n --11 C ．11a a n n -- D ．11a a n n -- 4．当n m ≠时，方程()()m x n n x m +=+22的解x 的值为（ ） A ．n m m + B ．n m n + C ．n m n m +- D ．nm mn+- 三、计算题初中数学精品设计 1．解下列关于x 的方程：（1）b a x =+2； （2）()b a bx ax ≠-=+53；（3）()()021211≠⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++m m x m ； （4）()()()222222b a b x b a x a ≠-=-． 2．在公式()211d n n na S n -+=中，已知n S 、n 和1a ，且0≠n 、1≠n ，求d ． 四、公式变形（以下所有字母均不为0）：1. 已知)(2h r r A +=π，求h ；2. 已知t v S S 00+=，求0v ；3. 已知2121at t v S +=，求1v ； 4. 已知])1([211d n a n S -+=，求d ；答案：一、1．a 58；2.av v t v v 00,--；3.12--a a ；4.公式变形，v u uv +； 二、1.B ；2.C ；3.A ；4.D;三、1.（1）2a b x -=；（2）b a x --=8；（3）1=x ；（4）b a b ab a x +++=22 2.nn na S d n --=2122 四、（1）r rr A -π2；（2）t S S v -=00；（3）at at s v 212-=；（4）)1(21--=n n na S d。

含字母的一元一次方程一、根据方程及方程的解的概念求方程中字母的值【例1】若3223=+-k kxk 是关于x 的一元一次方程，求这个方程的解。

跟踪训练1：若关于x 的方程(m 2-9)x 2+(m -3)x -1=0是一元一次方程，求m 的值。

跟踪训练2：若方程()x mx x =+--81m 22是关于x 的一元一次方程，求m 的值。

【例2】（1）若方程1211012-21-=-+x x x 与方程2262-=-+a x a x 的解相同，求322a a -的值。

（2）关于方程42m 13=+x 的解是6141332=---x m x 的解的5倍，求m 的值。

跟踪训练：（1）已知关于x 的方程332-a -=bx x 的解是2=x ，其中0b 0a ≠≠且，求代数式a b -b a 的值。

（2）若方程)1(23+=-x k x ）（与k x k =-26的解互为相反数，求k 的值。

二、整数求解方程中字母的值。

一元一次方程b ax =（0a ≠）的解ab x =为整数，即整数b 能整数a 整除 【例3】若关于x 的方程kx x =-179的解为正整数，求整数k 的值。

跟踪训练：已知关于x 的方程11522x kx -=+有整数解，求满足条件的所有整数k 的值。

三、字母系数方程解的情况 【例4】解方程mnn m n x m x +=---11 【提示】b x =a 的解有三种情况：①当0b 0a ≠≠且时，有唯一解a b x =；②当00==b a ，时，方程有任意解；③当0b 0a ≠=，时，方程无解。

跟踪训练：问当a ，b 满足什么条件时，方程bx a x -=-+152。

（1）有唯一解；（2）有无数个解；（3）无解。

四、培优训练1．若关于x 的方程()24-+-=+-a bx b x a 有无穷多个解，则()4ab 的值为 。

2．已知关于x 的方程()1352+=+x x a 无解，试求a 的值。