最新人教版七年级数学下册帮你解含字母系数的方程组

公 开 课 教 案学 科： 数 学课 题： 《含字母系数的一元一次不等式（组）》开课教师： 赵涛春开课时间： 2017年6月8日上午第3节开课班级： 漳平三中七年级（13）班【开课课题】《含字母系数的一元一次不等式（组）》漳平三中七年级教学开放周暨“三长进课堂”【开课时间】2017年6月8日上午第三节【开课地点】录播室【开课班级】七年级（13）班【开课教师】赵涛春教学分析：这一块内容，书本上没有，但是作业练习上有这方面出现，从知识的角度上并没有超纲。

相反这一块应用与高中的集合特别是与集合中的子集的应用有密切的联系。

在一元一次不等式学完后，有一定的知识储备，学生完全有可能理解和掌握。

引入这一课，我个人觉得很有必要。

教学地位：这一节课是可以说是一堂复习课，是一堂提升课，是一堂综合应用的体会课，也是潜移默化形成一些数学思想，数学方法，指导学生学习方法和学习习惯的教学课。

教学目标：知识与技能1.理解不等式同解集的概念，利用界点对应相等解决解集含字母的一元一次不等式问题；2.理解应用不等式性质，解决系数含字母的一元一次不等式问题。

过程与方法通过数形结合，由静到动，动静结合，运动变化，分类讨论，由特殊到一般潜移默化数学思想和方法。

情感、态度与价值观1.通过解决解集含字母系数的一元一次不等式问题，让学生体验数形结合，由静到动的变化的规律，体会事物运动变化的哲学思想；2.通过分类讨论解决相关问题，让学生体验同一形态事物，条件不同，结果不同的辩正思想，体会适应条件，改造条件，创造有利条件的积极的生活观念。

教学重点：理解和掌握解决含字母系数的一元一次不等式问题。

教学难点：领会数形结合思想，化归思想和分情况解决问题的思想。

解决一些变量问题。

教学思想：深入浅出，循序渐进教学方法：数形结合形象具体化，简明扼要简练化。

教学关键：尽可能精讲精练，避免无效重复刷题。

如何求二元一次方程（组）中的字母系数如何求二元一次方程（组）中的字母系数，是七年级学生经常碰到的问题，它比单纯解二元一次方程组要求高，学生往往对此求解的思想方法理解不到位，解决问题错误率较高，本文就此问题进行归纳总结，以期帮助大家对二元一次方程（组）相关知识加深理解，培养学生的整体思想、转化思想、分类思想和正向逆向思维能力．1．根据二元一次方程的定义求字母系数例1 当m 满足____时，方程(m －1)x ＋y ＝5是关于x 、y 的二元一次方程． 变式1 方程mx －2y ＝x ＋5是关于x 、y 的二元一次方程时，则m______．变式2 当m 满足____时，方程(m －1)x 2m ＋y ＝5是关于x 、y 的二元一次方程． 设计意图 正确理解二元一次方程的定义．2．根据二元一次方程组的解求字母系数 例2 已知关于x 、y 的方程组45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩，求a ＋b 的值． 分析 根据二元一次方程组解的意义，把21x y =⎧⎨=⎩代入原方程组，就可得到关于a 、b 的二元一次方程组，解这个方程组即可求出．解 已知二元一次方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则其满足两个二元一次方程． 代入45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩得到2425a b b a +=⎧⎨+=⎩从而解得12a b =⎧⎨=⎩，∴a ＋b ＝3． 另解（特殊方法）已知方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，代入2425a b b a +=⎧⎨+=⎩得到2425a b b a +=⎧⎨+=⎩将两个方程相加，可得3a ＋3b ＝3（a ＋b ）＝9，故a ＋b ＝3．设计意图 运用逆向思维强化二元一次方程（组）解的意义，同时，另解渗透了整体思想．3．根据二元一次方程组的解相同求字母系数例3 已知关于x、y的方程组374x yax by+=⎧⎨+=⎩与523bx ayx y+=⎧⎨-=⎩有相同的解，求a、b的值．分析因两个方程组有相同的解，根据方程组解的意义可知：存在x、y的一组值同时适合两个方程组的四个方程．因而其中任意两个方程组成的方程组如有惟一解，则此解一定也是剩余两个方程组成的方程组的解．为求a、b的值，我们不妨把原来的方程组重新组合成两个新方程组．解取方程组374 x yax by+=⎧⎨+=⎩解得21 xy=⎧⎨=⎩把21xy=⎧⎨=⎩代入方程组45ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩得2425a bb a+=⎧⎨+=⎩，解得12ab=⎧⎨=⎩设计意图四个方程公共解，也是两个方程的公共解，诠释方程组解的含义，渗透转化思想．变式1 关于x、y的方程组2337x y mx y-=⎧⎨+=⎩的解，也是方程2x－y＝3的解，求m的值．解取方程组37 23 x yx y+=⎧⎨-=⎩解得21 xy=⎧⎨=⎩把21xy=⎧⎨=⎩代入2x－3y＝m，得m＝1．设计意图当方程组的解满足一个确定的等量关系式时，可把方程组中不含字母系数的方程与这个等量关系式组建新的方程组，求出未知数的值，再代入含有字母系数的那个方程，求出待定字母的值．与例4表达不一样，但实质和求法是一样的．变式2 关于x 、y 的方程组2336x y m x y m -=⎧⎨+=+⎩的解，也是方程2x －y ＝3的解，求m 的值．分析 解题时有多种思路：一是把m 看作常数，先求出方程组2336x y m x y m -=⎧⎨+=+⎩含m 的代数式的解，代入方程2x －y ＝3，就转化成一个关于m 的一元一次方程，可求得m 的值；二是把m 看作未知数，组成三元一次方程组，先消去m ，把得到的方程与方程2x －y ＝3组成二元一次方程组，求出x 、y 的值，将其代入原方程组中的任一方程，即可求出的值m ，等等．解法一 解方程组2336x y m x y m -=⎧⎨+=+⎩ ①＋②×3，得x ＝41811m +． ②×2－①×3，得y ＝1211m -+． 将上述结果代入方程2x －y ＝3，得2×41811m +－1211m -+＝3， 解得m ＝1．设计意图 这种解法分别正向、逆向运用了方程组解的定义，先将方程组的解用含m 的代数式表示出来，这是正向运用；然后将方程组的解代入另一个方程，这是逆向运用． 解法二 ②－①，得x ＋4y ＝6．将x ＋4y ＝6与2x －y ＝3组成方程组 4623x y x y +=⎧⎨-=⎩解得21x y =⎧⎨=⎩将21x y =⎧⎨=⎩代入①，得m ＝1． 还有其他解法吗？设计意图 从多角度看待分析问题，根据不同题型以及例题的不同系数配置结构选择最佳解法．变式3 关于x 、y 的方程组2336x y m x y m -=⎧⎨+=+⎩的解，也是方程5x －2y ＝8的解，求m 的值．① ②分析 2x －3y ＋3x ＋y 刚好等于5x －2y ，于是m ＋m ＋6＝8．解 ①＋②，得2x －3y ＋3x ＋y ＝2m ＋6，即5x －2y ＝2m ＋6．又因为5x －2y ＝8，所以2m ＋6＝8，解得m ＝1．设计意图 理解解方程组“消元”的特征，并加以把握和运用，再次强化数学分类与整体思想．4．根据二元一次方程组的错解问题求字母系数例4 甲、乙两人解方程组43ax by ax by +=⎧⎨-=⎩ 时，由于甲看错了方程①，得到的解是72x y =⎧⎨=⎩；乙看错了方程②，得到的解是21x y =⎧⎨=⎩，试求a 、b 的值． 分析 本道例题虽然表面上是“看错了方程”问题，但实际上它是方程与解的问题，把看错的解代入没有看错的方程中去从而，求出系数（或常数）的值．解 把72x y =⎧⎨=⎩代入ax －by ＝3， 得7a －2b ＝3；把21x y =⎧⎨=⎩代入ax ＋by ＝4，得2a ＋b ＝4．组成方程组，得72324a b a b -=⎧⎨+=⎩， 解得12a b =⎧⎨=⎩设计意图 加深理解方程与方程的解的关系．5．根据二元一次方程组解的特点（正负数、无解、唯一解等）求字母系数例5 k 取何数时，方程组2630x ky x y -=⎧⎨-=⎩无解？ 分析 将方程组消元，使之化为ax ＝b 的形式，然后讨论一次项系数a ．当a ≠0时，有唯一解x ＝b a ； ① ② ① ②当a＝0，b＝0时，有无数个解；当a＝0，b≠0时，无解，反之也成立，解由②得x＝3y，③把③代入①，得2×3y－ky＝6，即(6－k)y＝6．④由原方程组无解知方程④也无解，所以6－k＝0，解得k＝6．当k＝6时，方程组无解，变式1 k取何数时，方程组2630x kyx y-=⎧⎨-=⎩有唯一解？解由②得x＝3y，③把③代入①，得2×3y－ky＝6，即（6－k）y＝6，④由原方程组唯一解知方程④也唯一解，所以6－k≠0，解得k≠6．当k≠6时，方程组唯一解，变式2k取何数时，方程组2630x kyx y-=⎧⎨-=⎩的解是正整数？解由②得x＝3y，③把③代入①，得2×3y－ky＝6，即(6－k)y＝6，当6－k≠0时，解得y＝6 6k -∵y是正整数，x也是正整数∴6－k的值为1、2、3、6；∴k的值为5、4、3、0．设计意图把未知转化为已知，把复杂转化为简单，把多元转化为一元，即把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，先把字母系数当作已知数进行消元，再根据已知条件求出字母的值，渗透转化思想、分类思想等．。

微专题 含字母系数的方程（组）与不等式（组）
A. a>0
B. a<0
C. a>-1
D. a<-1
2.已知关于x 的不等式（3a-2）x ＜2-3a 的解集是x ＞-1，求a 的取值范围.
3.关于x 的不等式（2a-b ）x ＞a-2b 的解集是x ＜2
5,求关于x 的不等式ax+b ＜0的解集.
4.若关于x 的方程2x-m=4x-3+m 的解为非负数，求m 的取值范围.
5.如果不等式组2223x a x b ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，求a b +的值.
6.若不等式组⎩⎨⎧<->-3212b x a x 的解集为－1＜x ＜1,求（a-1）(b-1)的值.
7.不等式
的最小整数解也是方程 的解，求a 的值，
8.若关于x 的不等式 的解也是不等式 的解，求a 的取值范围，
9.若关于x 、y 的方程组 的解满足 ,求满足条件的m 的所有正整数值，
10.已知关于x 、y 的方程组 的解为正数，且x 的值小于y 的值，求a
的取值范围。

29)1(221+-<-x x 0ax 2
1=-x a 3
22434-<+x x 21621<-x ⎩⎨
⎧=++-=+42232y x m y x 2
3->+y x ⎩⎨⎧-=-+=+10422a y x a y x。

解题技巧专题：一元一次不等式（组）中含字母系数的问题——类比不同条件，体会异同◆类型一 已知解集求字母系数的值或取值范围1.（2017·毕节中考）关于x 的一元一次不等式m －2x 3≤－2的解集为x ≥4，则m 的值为（ ）A.14B.7C.－2D.22.（2017·金华中考）若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞3（x －2），x ＜m的解集是x ＜5，则m 的取值范围是【易错11】（ ）A.m ≥5B.m ＞5C.m ≤5D.m ＜53.已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－a －1①，－x ≥－b ②的解集在数轴上表示如图所示，则a b 的值为 .4.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －a <1，x －2b >3的解集为－1＜x ＜1，求代数式（b －1）a ＋1的值.◆类型二 已知整数解的情况求字母系数的取值范围5.关于x 的不等式x －b >0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ）A.－3<b <－2B.－3<b ≤－2C.－3≤b ≤－2D.－3≤b <－26.对于任意实数m ，n ，定义一种新运算m ※n ＝mn －m －n ＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x ＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是 Ｗ.7.（2017·黄石中考）已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋1＞3（x －1）①，12x ≤8－32x ＋2a ②恰好有两个整数解，求实数a 的取值范围.◆类型三 已知不等式组有、无解求字母系数的取值范围8.若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－3x ≥0，x －m ≥0有实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A.m ≤53 B.m ＜53C.m ＞53D.m ≥539.已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≥0，5－2x ＞1无解，则实数a 的取值范围是 . 10.若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<a ①，3x ＋5>x －7②有解，求实数a 的取值范围.【易错11】参考答案与解析1．D 2.A3．1 解析：由不等式②得x ≤b ，由数轴可得，原不等式组的解集是－2≤x ≤3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －1＝－2，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴a b ＝13＝1. 4．解：⎩⎪⎨⎪⎧2x －a <1①，x －2b >3②，解不等式①得x ＜a ＋12.解不等式②得x ＞2b ＋3.根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＝1，2b ＋3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，则(b －1)a ＋1＝(－3)2＝9. 5．D6．4≤a ＜5 解析：根据题意得2※x ＝2x －2－x ＋3＝x ＋1.∴a ＜x ＋1＜7，即a －1＜x ＜6.又∵解集中有两个整数解，∴3≤a －1＜4，∴a 的取值范围为4≤a ＜5.7．解：解不等式①得x ＞－2，解不等式②得x ≤4＋a .∴不等式组的解集是－2＜x ≤4＋a .∵不等式组恰好有两个整数解，∴0≤4＋a ＜1，解得－4≤a ＜－3.8．A 9.a ≥210．解：解不等式①得x ＜a －1.解不等式②得x ＞－6.∵不等式组有解，∴－6＜a －1，∴a ＞－5.。

帮你解含字母系数的方程组在解与二元一次方程组有关问题时,经常会遇到含字母系数的方程组,解此类题的一般思路是根据条件采用代入求值的方法求得最后结果.常见的有以下几种类型:一、代入求值型例1.已知关于x 、y 的二元一次方程组{35ax by ax by +=-=，的解是{21x y ==，.求a b +的值。

解析：由二元一次方程组解的定义，将{21x y ==，代入方程组得{2325a b a b +=-=，，再解关于a 和b 的二元一次方程组，得{21a b ==-，。

所以a b +＝1.二、添加（赋予）条件型例2.若关于x 、y 的二元一次方程组{2527x y k x y k +=-=，①，②的解满足方程1253x y -=，那么k 的值为 。

解析:观察方程组发现可利用加减消元法把其中的一个字母消去， 由①＋②得，412x k =，即3x k =③；由①－②得，22y k =-，即y k =-④，将③④分别代入方程1253x y -=，得132()53k k ⨯-⨯-=，解得53k =。

例3.如果方程组{35223x y k x y k +==＋，①＋②的解x ，y 的和为2，求k 的值及方程组的解。

解析:由①－②得22x y +=③，将2x y +=与③联立方程组{2,22x y x y +=+=，解得{2,0x y ==，将x ，y 的值代入②得k ＝4.解此类题首先要观察方程组的特征，采取加减或代入的方法进行消元，使之变形为二元一次方程组，从而求得最后结果。

三、同解型例4.已知关于x 、y 的二元一次方程组{5,27ax by ax by +=+=与方程组{237324x y x y +=-=，的解相同，求a 和b 的值。

解析：观察第二个方程组可发现能直接解得x 、y 的值，解得{2,1x y ==，将其代入第一个方程组得{25,47a b a b +=+=，解得{1,3a b ==。

学生做题前请先回答以下问题问题1：若关于x的方程ax=b有唯一解，a，b应满足什么条件？你是怎么思考的？问题2：若关于x的方程ax=b有无穷多解，a，b应满足什么条件？你是怎么思考的？问题3：若关于x的方程ax=b无解，a，b应满足什么条件？你是怎么思考的？问题4：当a，b满足什么条件时，关于x的方程：（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解．含字母的方程（系数中含字母）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.关于的方程的解是( )A. B. C. D.答案：B解题思路：关于的方程，则是未知数，其他字母都可视为常数．然后按照解一元一次方程的步骤解方程即可．故选B．试题难度：三颗星知识点：解一元一次方程2.关于的方程的解是( )A. B. C. D.答案：C解题思路：关于的方程，则是未知数，其他字母都可视为常数．然后按照解一元一次方程的步骤解方程即可．故选C．试题难度：三颗星知识点：解一元一次方程3.关于的方程（）的解是( )A. B. C. D.答案：C解题思路：关于的方程，则是未知数，其他字母都可视为常数．然后按照解一元一次方程的步骤解方程即可．因为，所以根据等式的基本性质，得故选C．试题难度：三颗星知识点：解一元一次方程4.当时，关于的方程( )A.有唯一解B.无解C.有无穷多解D.无解或有无穷多解答案：A解题思路：关于的方程当时，根据等式的基本性质，得，所以方程有唯一解．故选A．试题难度：三颗星知识点：含字母系数的方程5.当时，关于的方程( )A.有唯一解B.无解C.有无穷多解D.有两个解答案：C解题思路：关于的方程，当时，m+2=0，n=0，可取任意数，所以方程有无穷多解．故选C．试题难度：三颗星知识点：含字母系数的方程6.当时，关于的方程( )A.有唯一解B.无解C.有无穷多解D.有两个解答案：B解题思路：关于的方程，当时，，无论x取何值，等式左边=0，左边≠右边，所以方程无解．故选B．试题难度：三颗星知识点：含字母系数的方程7.关于的方程有唯一解，则应满足的条件是( )A.a=2，b=4B.a≠2，b=4C.a=2，b≠4D.a≠2，b为任意数答案：D解题思路：方程有唯一解，说明x的系数不为0．由题意，得，b为任意数所以，b为任意数时，此方程有唯一解．故选D．试题难度：三颗星知识点：含字母系数的方程8.若关于的方程有唯一解，则必须满足的条件为( )A.b≠3，a为任意数B.b=3，a为任意数C.b≠0，a为任意数D.b≠0，a≠5答案：A解题思路：首先把方程化成的形式，然后对进行讨论．方程可化为．方程有唯一解，只需．所以当，为任意数时，关于的方程有唯一解．故选A．试题难度：三颗星知识点：含字母系数的方程9.要使关于的方程有无穷多解，则必须满足的条件为( )A.a=1，b为任意数B.a=1，b=-1C.a=0，b=-1D.a≠0，b≠-1答案：B解题思路：首先把方程化成的形式，然后对进行讨论．方程可化为．方程有无穷多解，只需．所以当时，关于的方程有无穷多解．故选B．试题难度：三颗星知识点：含字母系数的方程10.已知为整数，使关于的方程的解也是整数的的值有( )A.2个B.3个C.4个D.6个答案：C解题思路：解：原方程可化为∵该方程有解∴∴∵为整数，且方程的解也是整数∴或故选C．试题难度：三颗星知识点：含字母系数的方程。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题12 含“字母系数”（含参）的二元一次方程组的解题思路（解析版）第一部分典例剖析类型一利用二元一次方程的定义构造一元一次方程或二元一次方程组1．（2020春•博兴县期中）若方程3x|m|﹣2＝3y n+1+4是二元一次方程，则m，n的值分别为（ ）A．2，﹣1B．﹣3，0C．3，0D．±3，0思路引领：根据二元一次方程的定义得出|m|﹣2＝1，n+1＝1，解之可得答案．解：∵方程3x|m|﹣2＝3y n+1+4是二元一次方程，∴|m|﹣2＝1，n+1＝1，解得m＝3或m＝﹣3，n＝0，故选：D．总结提升：本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．2．（2022春•开州区期中）若关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y m﹣2＝0是二元一次方程，则m+n的值（ ）A．1B．2C．4D．2或4思路引领：由二元一次方程的定义可知x，y的次数为1，据此可列出方程，并求解．解：∵关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y m﹣2＝0是二元一次方程，∴|n|＝1且n﹣1≠0，m﹣2＝1，解得m＝3，n＝﹣1，∴m+n＝3﹣1＝2．故选：B．总结提升：此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程．3．（2017春•分宜县校级期中）方程（m2﹣9）x2+x﹣（m+3）y＝0是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（ ）A．±3B．3C．﹣3D．9思路引领：根据二元一次方程的定义可得m2﹣9＝0，且m+3≠0，再解即可．解：由题意得：m2﹣9＝0，且m+3≠0，解得：m＝3，总结提升：此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．类型二利用二元一次方程（组）的解的定义构造一元一次方程或二元一次方程组4．若关于x、y的二元一次方程组x+y=2tx−y=4t的解也是二元一次方程2x+3y＝9的解，求t的值和这个方程组的解．思路引领：将t看作已知数求出方程组的解表示出x与y，代入二元一次方程中即可求出t的值，进而确定出方程组的解．解：x+y=2t①x−y=4t②，①+②得：2x＝6t，解得：x＝3t，①﹣②得：2y＝﹣2t，解得：y＝﹣t，将x＝3t，y＝﹣t代入2x+3y＝9中得：6t﹣3t＝9，解得：t＝3，则方程组的解为x=9y=−3．总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．5．（2020春•天津期末）已知方程组ax+by=7ax−by=5的解为x=2y=1，则a，b的值为（ ）A．a＝3，b＝2B．a＝2，b＝3C．a＝3，b＝1D．a＝1，b＝3思路引领：把x与y的值代入方程组求出a与b的值即可．解：把x=2y=1代入方程组得：2a+b=7①2a−b=5②，①+②，得4a＝12，∴a＝3，把a＝3代入①，得6+b＝7，∴a ＝3，b ＝1，故选：C ．总结提升：此题考查了二元一次方程组的解．解题的关键是掌握二元一次方程组的解的定义，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．6．已知方程2x +（1+m ）y ＝﹣1与方程nx ﹣y ＝1有一个相同的解x =−2y =1，你能求出（m +n ）2020的值吗？思路引领：把x 与y 的值代入方程求出m 与n 的值，即可确定出所求式子的值．解：把x =−2y =1代入2x +（1+m ）y ＝﹣1，得﹣4+1+m ＝﹣1，解得m ＝2；把x =−2y =1代入程nx ﹣y ＝1，得﹣2n ﹣1＝1，解得n ＝﹣1．∴（m +n ）2020＝（2﹣1）2020＝1．总结提升：此题考查了有理数的乘方以及二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．类型三 已知方程组的错解构造一元一次方程求解7．（2021春•青神县期中）甲、乙两人同时解方程组mx +y =5①2x−ny =13②甲解题看错了①中的m ，解得x =72y =−2，乙解题时看错②中的n ，解得x =3y =−7．试求：（1）原方程组m ，n 的正确值；（2）原方程组的解．思路引领：（1）把甲的解代入②中求出n 的值，把乙的解代入①中求出m 的值即可；（2）把m 与n 的值代入方程组求出解即可．解：（1）把x =72y =−2代入②得：7+2n ＝13，解得n ＝3，把x =3y =−7代入①得：3m ﹣7＝5，解得m ＝4．所以m ＝4，n ＝3；（2）把m ＝4，n ＝3代入方程组得：4x +y =5①2x−3y =13②，①×3+②得：14x ＝28，即x ＝2，把x＝2代入①得：y＝﹣3，则方程组的解为x=2y=−3．总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．类型四利用方程同解构造二元一次方程组8．（2021春•上思县期末）若方程组2x+4y=−68x−4y=16和方程组ax−by=11bx−ay=13的解相同，试求（3b﹣2a）2021的值．思路引领：求出第一个方程组的解，代入第二个方程组求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．解：2x+4y=−6①8x−4y=16②，①+②得：10x＝10，解得：x＝1，把x＝1代入①得：2+4y＝﹣6，解得：y＝﹣2，∴方程组的解为x=1y=−2，把x=1y=−2代入方程组ax−by=11bx−ay=13得：a+2b=11b+2a=13，解得：a=5 b=3，则（3b﹣2a）2021＝（3×3﹣2×5）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．9．已知关于x，y的方程组3x−y=54ax+5by=−22与2x−3y+4=0ax−by−8=0有相同的解，求a，b的值．思路引领：因为关于x，y的方程组有相同的解，根据二元一次方程组的解的定义，只需把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可．解：由题意，关于x，y的方程组3x−y=52x−3y+4=0和4ax+5by=−22ax−by−8=0的解也相同．解方程组3x−y=5①2x−3y+4=0②，得x=197y=227．把x=197y=227代入4ax+5by=−22ax−by−8=0，a+1107b=−22a−227b=8解得a=1419b=−2111．总结提升：本题考查了二元一次方程组的解法及方程组解的意义，由于数比较大，计算较复杂，理解方程组公共解的意义和掌握解二元一次方程组的解法是解决本题的关键．10．（2019春•大丰区期末）已知关于x、y的方程组4x+ay=162x+y=4b+2和3x+ay=132x−3y=−6的解相同，求a、b值．思路引领：先把方程4x+ay＝16和3x+ay＝13相减，可得x的值，再代入方程2x﹣3y＝﹣6，求出y的值，再把x，y的值代入第一个方程组即可求得a，b的值．解：方程4x+ay＝16和3x+ay＝13相减，得x＝3，把x＝3代入方程2x﹣3y＝﹣6，得y＝4．把x＝3，y＝4代入方程组4x+ay=162x+y=4b+2，得12+4a=166+4=4b+2解这个方程组，得a＝1，b＝2．总结提升：利用方程组的解相同，可以重新组合方程组，求得未知数的值．类型五利用二元一次方程组的解适合第3个方程，构造一元一次方程或者用整体思想求解11．已知方程组2x+3y=7，5x−y=3m+1的解能使等式x﹣7y＝2成立，求m的值．思路引领：观察方程组中两方程的x与y的系数，发现方程①减去方程②×2后恰好直接得到（x﹣7y）的值．解：2x+3y=7①，5x−y=3m+1②，由②﹣①×2，得x﹣7y＝3m﹣13，∴3m﹣13＝2，解得m＝5．总结提升：本题主要考查的是解二元一次方程组，求得x、y的值是解题的关键．12．（2022春•沙坪坝区期末）已知关于x，y的方程组3x+4y=a+22x+3y=2a的解满足x+y＝1，求a的值及方程组的解．思路引领：根据题意，①﹣②得x+y＝﹣a+2，再根据已知条件可得a的值，根据加减消元法解二元一次方程组即可．解：3x+4y=a+2①2x+3y=2a②，①﹣②得x+y＝﹣a+2，∵x+y＝1，∴﹣a+2＝1，解得a＝1，∴原方程组化为3x+4y=3①2x+3y=2②，①×2﹣②×3得﹣y＝0，解得y＝0，将y＝0代入3x+4y＝3，得3x＝3，解得x＝1，∴原方程组的解为x=1 y=0．总结提升：本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．13．（2019春•西湖区校级月考）已知关于x，y的二元一次方程组3x+2y=m+32x−y=2m−1的解x与y的值互为相反数，试求m的值和方程组的解．思路引领：由已知方程组，利用加减消元法求出x=5m17，y=9−4m7，再由x与y的值互为相反数，即可求出m的值，再将m的值代入所求x、y的表达式，即可求方程组的解．解：方程组3x+2y=m+3①2x−y=2m−1②，②×2+①得7x＝5m+1，∴x=5m17，将x=5m17代入②，得y=9−4m7，∵x与y的值互为相反数，∴5m17+9−4m7=0∴m＝﹣10，∴x＝﹣7，y＝7，∴原方程组的解为x=−7 y=7．总结提升：本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，同时结合相反数的性质灵活解题是关键．14．当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，我们称Q（m﹣1，n+1）为巧妙点．（1）若A（m﹣1，5）是巧妙点，则m＝ ，巧妙点A（ ，5）；（2）判断点P（3，1）是否为巧妙点，并说明理由．（3）已知关于x，y的方程组x+y=4x−y=2a，当a为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是巧妙点？思路引领：（1）利用题中的新定义列式计算即可；（2）利用题中的新定义判断即可；（3）表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．解：（1）由题意得：2（m﹣1+1）﹣（5﹣1）＝8，解得：m＝6，∴m﹣1＝5，∴巧妙点A（5，5），故答案为：6，5；（2）点P（3，1）是巧妙点，理由如下：根据题意得m−1=3n+1=1，解得：m=4 n=0，代入得：2m﹣n＝8﹣0＝8，∴点P（3，1）是巧妙点；（2）x+y=4①x−y=2a②，①+②得：2x＝2a+4，解得：x＝a+2，把x＝a+2代入①得：y＝2﹣a，根据题意得：m−1=a+2 n+1=2−a，解得：m=a+3 n=1−a，代入得：2m﹣n＝2a+6﹣1+a＝3a+5，当3a+5＝8，即a＝1时，满足2m﹣n＝8，即以方程组的解为坐标的点B（x，y）是巧妙点．总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．第二部分专题提优训练1．（2022春•滨海县月考）若方程（a﹣6）x|a|﹣5+5y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ）A．±6B．﹣6C．±5D．5思路引领：根据二元一次方程的定义解答即可．解：∵（a﹣6）x﹣y|a|﹣5＝1是关于x，y的二元一次方程，∴a−6≠0|a|−5=1，解得a＝﹣6．故选：B．总结提升：本题考查解二元一次方程的定义，解题关键是熟知二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．（2021春•银海区期中）若（R﹣2）x|R|﹣1﹣3y＝2是关于x，y的二元一次方程，那么3R﹣2的值为（ ）A．4B．﹣8C．8D．4或﹣8思路引领：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．解：根据题意得：R−2≠0|R|−1=1，解得R＝﹣2，∴3R﹣2＝﹣6﹣2＝﹣8，故选：B．总结提升：此题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．3．（2021春•平凉期末）如果x=3y=−2是方程组ax+by=1ax−by=5的解，则a2008+2b2008的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4思路引领：将方程组的解代入方程组可得关于a 、b 的二元一次方程组3a−2b =13a +2b =5，再求解方程组即可求解．解：∵x =3y =−2是方程组ax +by =1ax−by =5的解，∴3a−2b =1①3a +2b =5②，①+②得，a ＝1，将a ＝1代入①得，b ＝1，∴a 2008+2b 2008＝1+2＝3，故选：C ．总结提升：本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．二．解答题（共8小题）4．若x =2y =1是方程组ax +y =b 4x−by =3a−1的解，求a 、b 的值．思路引领：把x =2y =1代入方程组ax +y =b 4x−by =3a−1，然后解关于a ，b 的方程组即可．解：把x =2y =1代入方程组ax +y =b 4x−by =3a−1，得：2a +1=b 8−b =3a−1，解得：a =85b =215，故a =85，b =215．总结提升：本题考查了二元一次方程组的解，属于基础题，关键是掌握用代入法解方程组．5．已知二元一次方程px +2y ＝8，5x ﹣6y ＝4，2x +5y ﹣8＝0有公共解，求p 的值．思路引领：解方程组5x−6y =42x +5y−8=0得x ，y 的值，再代入px +2y ＝8求解即可．解：解方程组5x−6y =42x +5y−8=0得x =6837y =3237，代入px +2y ＝8，得6837p +2×3237=8，解得p =5817．总结提升：本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是求出方程组公共解．6．（2021秋•金寨县期末）解方程组ax+by=6x+cy=4时，甲同学因看错a符号，从而求得解为x=3y=2，乙因看漏c，从而求得解为x=6y=−2，试求a，b，c的值．思路引领：甲同学因看错a符号，把x＝3，y＝2代入x+cy＝4，求出c，因看错a符号，得﹣3a+2b＝6，乙因看漏c，把x＝6，y＝﹣2代入ax+by＝6，组成新的二元二次方程组，解出即可．解：∵甲同学因看错a符号，∴把x＝3，y＝2代入x+cy＝4，得c=1 2，﹣3a+2b＝6．∵乙因看漏c，∴把x＝6，y＝﹣2代入ax+by＝6，得6a﹣2b＝6，得−3a+2b=6 6a−2b=6，解得，a＝4，b＝9；综上所述，a＝4，b＝9，c=1 2．总结提升：本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握做题的方法是解题关键．7．（2019秋•平桂区期末）已知x=2y=1是二元一次方程组mx+ny−7=0nx+my−2=0的解，求m+3n的值．思路引领：把方程组的解代入方程组求出m与n的值，即可求解．解：把x=2y=1代入方程组mx+ny−7=0nx+my−2=0，得2m+n−7=02n+m−2=0，解方程组，得m=4，n=−1把m=4n=−1代入m+3n，得m+3n＝4+3×（﹣1）＝1．总结提升：本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．8．（2021春•娄底月考）已知方程组2x+3y=10ax+by=9与方程组bx−ay=84x−3y=2的解相等，试求a、b的值．思路引领：两个方程组的解相同，也就是有一组x、y的值是这四个方程的公共解，当然也是其中任意两个方程的公共解，所以可以把原来的方程组打乱，重新组合起来求解．解：由已知可得2x+3y=104x−3y=2，解得x=2y=2，把x=2y=2代入剩下的两个方程组成的方程组ax+by=9bx−ay=8，得2a+2b=9 2b−2a=8，解得a=14b=174．故a、b的值为a=14b=174．总结提升：解答此题的关键是熟知方程组有公共解得含义，考查了学生对题意的理解能力．9．（2018春•岳麓区校级期中）（1）已知关于x，y方程组x+2y=3k2x+y=2k+1的解满足x﹣y＝3，求k的值；（2）在（1）的条件下，求出方程组的解．思路引领：（1）方程组中两式相减后可得x﹣y＝1﹣k，再根据条件即可求出k的值．（2）根据二元一次方程组的解法即可求出答案．解：（1）∵x+2y=3k①2x+y=2k+1②，∴②﹣①得：x﹣y＝1﹣k，∵x﹣y＝3，∴1﹣k＝3，∴k＝﹣2．（2）将k＝﹣2代入x+2y=−6①2x+y=−3②，①×2得：2x+4y＝﹣12③②﹣③得：﹣3y＝9，∴y＝﹣3，将y＝﹣3代入①得：x﹣6＝﹣6，∴x＝0，∴方程组的解为x=0 y=−3总结提升：本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．10．已知方程组2x+y=5ax−by=−4与5x−4y=62ax−3by=2有公共解，求a、b的值．思路引领：由于两方程组有公共解，所以可把方程①和方程③联立为一个方程组进行求解，然后把所求结果代入方程②和方程④中，形成一个关于a、b的二元一次方程组，解答即可．解：在方程组2x+y=5①ax−by=−4②与5x−4y=6③2ax−3by=2④，因为有公共解，所以有2x+y=55x−4y=6和ax−by=−42ax−3by=2．由第一组可解得x=2 y=1，代入第二组，得2a−b=−4 4a−3b=2，解得a=−7b=−10．总结提升：本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．11．（2021秋•长丰县月考）已知关于x，y的二元一次方程组x+2y=a2x−y=1．（1）当方程组的解为x=1y=1时，求a的值．（2）当a＝﹣2时，求方程组的解．（3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将x=−2y=−2代入方程x+2y＝a中，即可求出a的值．小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由．思路引领：（1）将x=1y=1代入方程组x+2y=a2x−y=1即可求a的值；（2）用加减消元法求方程组的解即可；（3）x=−2y=−2不是方程2x﹣y＝1的解，因此x=−2y=−2不是方程组的解．解：（1）∵x=1y=1是方程组x+2y=a2x−y=1的解，∴1+2×1＝a，∴a＝3；（2）∵a＝﹣2，∴x+2y=−2①2x−y=1②，②×2得，4x﹣2y＝2③，①+③得，5x＝0，∴x＝0，将x＝0代入②得，y＝﹣1，∴方程组的解为x=0y=−1；（3）不正确，理由如下：将x=−2y=−2代入方程2x﹣y＝1，可得2×（﹣2）﹣（﹣2）＝﹣2≠1，∴x=−2y=−2不是方程组的解，∴解法不正确．点睛：本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系，会用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．。

当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．【例1】请指出下列关于的方程中的参数⑴； ⑵【巩固】请指出下列关于的方程中的参数⑴； ⑵； ⑶【例2】（1）x=2是方程2x+a-9=0的解，则a 的值是 。

（2）已知方程2（x+1）=3(x-1)的解为x=a+2,则a 的值是 。

x ax b =xn c m=+y 21y ax -=xm n y-=0ay b c -+=模块一 参数模块二 同解方程含字母系数的一元一次方程知识精讲典型例题若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式．两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多几倍等等．【例3】当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同． 解析：法一：方程5443x x +=-的解为7x =-，方程2(1)2(2)x m m +-=-的解为362m x -=.由题意解相同，所以3672m --=，解得83m =-.法二：方程5443x x +=-的解为7x =-，把7x =-代入2(1)2(2)x m m +-=-中，求得83m =-．【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解， 把解代入另一个方程．【例4】（1）已知方程3（x-1）=4x-5与关于x 的方程2x+a-9=0的解相同，求a 的值。

（2）已知关于x 的两个方程3（x-1）=4x-a 与2x+a-9=0的解相同，求a 的值（3）已知关于x 的两个方程3（x-1）=4x-a 与2x+a-2=0的解互为相反数，求a 的值知识精讲典型例题（4）已知关于x 的方程3（x-1）=4x-a 的解比方程2x+a-9=0的解大2，求a 的值【例5】若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2km-的值．分类讨论--解含字母系数方程含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，方程的解由、的取值范围确定．⑴当时，，原方程有唯一解； ⑵当且时，解是任意数，原方程有无数解； ⑶当且时，原方程无解．分类讨论产生的原因→等式的性质②等式的性质②：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式， 所得结果仍是等式．若，则，． ax b =a b 0a ≠bx a=0a =0b =0a =0b ≠a b =am bm =a bm m=(0)m ≠模块三 解含参的一元一次方程知识精讲能力提升由等式的性质2，我们知道在等式两边同时除以某一个数时，必须确定此数不为0。