含字母系数的方程(组)的解法

帮你解含字母系数的方程组在解与二元一次方程组有关问题时,经常会遇到含字母系数的方程组,解此类题的一般思路是根据条件采用代入求值的方法求得最后结果.常见的有以下几种类型: 一、代入求值型一、代入求值型例1.已知关于x 、y 的二元一次方程组{35ax by ax by +=-=，的解是{21x y ==，.求a b +的值。

值。

解析：由二元一次方程组解的定义，将{21x y ==，代入方程组得代入方程组得{2325a b a b +=-=，，再解关于a 和b 的二元一次方程组，得{21a b ==-，。

所以a b +＝1. 二、添加（赋予）条件型二、添加（赋予）条件型例 2.若关于x 、y 的二元一次方程组{2527x y k x y k +=-=，①，②的解满足方程1253x y -=，那么k 的值为的值为 。

解析:观察方程组发现可利用加减消元法把其中的一个字母消去，观察方程组发现可利用加减消元法把其中的一个字母消去， 由①＋②得，412x k =，即3x k =③；由①－②得，22y k =-，即y k =-④，将③④分别代入方程1253x y -=，得132()53k k ´-´-=，解得53k =。

例3.如果方程组{35223x y k x y k +==＋，①＋②的解x ，y 的和为2，求k 的值及方程组的解。

组的解。

解析:由①－②得22x y +=③，③，将2x y +=与③联立方程组{2,22x y x y +=+=，解得{2,0x y ==，将x ，y 的值代入②得k ＝4. 解此类题首先要观察方程组的特征，解此类题首先要观察方程组的特征，采取加减或代入的方法进行消元，采取加减或代入的方法进行消元，采取加减或代入的方法进行消元，使之使之变形为二元一次方程组，从而求得最后结果。

三、同解型三、同解型例4.已知关于x 、y 的二元一次方程组{5,27ax by ax by +=+=与方程组{237324x y x y +=-=，的解相同，求a 和b 的值。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题12 含“字母系数”（含参）的二元一次方程组的解题思路（解析版）第一部分典例剖析类型一利用二元一次方程的定义构造一元一次方程或二元一次方程组1．（2020春•博兴县期中）若方程3x|m|﹣2＝3y n+1+4是二元一次方程，则m，n的值分别为（ ）A．2，﹣1B．﹣3，0C．3，0D．±3，0思路引领：根据二元一次方程的定义得出|m|﹣2＝1，n+1＝1，解之可得答案．解：∵方程3x|m|﹣2＝3y n+1+4是二元一次方程，∴|m|﹣2＝1，n+1＝1，解得m＝3或m＝﹣3，n＝0，故选：D．总结提升：本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．2．（2022春•开州区期中）若关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y m﹣2＝0是二元一次方程，则m+n的值（ ）A．1B．2C．4D．2或4思路引领：由二元一次方程的定义可知x，y的次数为1，据此可列出方程，并求解．解：∵关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y m﹣2＝0是二元一次方程，∴|n|＝1且n﹣1≠0，m﹣2＝1，解得m＝3，n＝﹣1，∴m+n＝3﹣1＝2．故选：B．总结提升：此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程．3．（2017春•分宜县校级期中）方程（m2﹣9）x2+x﹣（m+3）y＝0是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（ ）A．±3B．3C．﹣3D．9思路引领：根据二元一次方程的定义可得m2﹣9＝0，且m+3≠0，再解即可．解：由题意得：m2﹣9＝0，且m+3≠0，解得：m＝3，总结提升：此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．类型二利用二元一次方程（组）的解的定义构造一元一次方程或二元一次方程组4．若关于x、y的二元一次方程组x+y=2tx−y=4t的解也是二元一次方程2x+3y＝9的解，求t的值和这个方程组的解．思路引领：将t看作已知数求出方程组的解表示出x与y，代入二元一次方程中即可求出t的值，进而确定出方程组的解．解：x+y=2t①x−y=4t②，①+②得：2x＝6t，解得：x＝3t，①﹣②得：2y＝﹣2t，解得：y＝﹣t，将x＝3t，y＝﹣t代入2x+3y＝9中得：6t﹣3t＝9，解得：t＝3，则方程组的解为x=9y=−3．总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．5．（2020春•天津期末）已知方程组ax+by=7ax−by=5的解为x=2y=1，则a，b的值为（ ）A．a＝3，b＝2B．a＝2，b＝3C．a＝3，b＝1D．a＝1，b＝3思路引领：把x与y的值代入方程组求出a与b的值即可．解：把x=2y=1代入方程组得：2a+b=7①2a−b=5②，①+②，得4a＝12，∴a＝3，把a＝3代入①，得6+b＝7，∴a ＝3，b ＝1，故选：C ．总结提升：此题考查了二元一次方程组的解．解题的关键是掌握二元一次方程组的解的定义，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．6．已知方程2x +（1+m ）y ＝﹣1与方程nx ﹣y ＝1有一个相同的解x =−2y =1，你能求出（m +n ）2020的值吗？思路引领：把x 与y 的值代入方程求出m 与n 的值，即可确定出所求式子的值．解：把x =−2y =1代入2x +（1+m ）y ＝﹣1，得﹣4+1+m ＝﹣1，解得m ＝2；把x =−2y =1代入程nx ﹣y ＝1，得﹣2n ﹣1＝1，解得n ＝﹣1．∴（m +n ）2020＝（2﹣1）2020＝1．总结提升：此题考查了有理数的乘方以及二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．类型三 已知方程组的错解构造一元一次方程求解7．（2021春•青神县期中）甲、乙两人同时解方程组mx +y =5①2x−ny =13②甲解题看错了①中的m ，解得x =72y =−2，乙解题时看错②中的n ，解得x =3y =−7．试求：（1）原方程组m ，n 的正确值；（2）原方程组的解．思路引领：（1）把甲的解代入②中求出n 的值，把乙的解代入①中求出m 的值即可；（2）把m 与n 的值代入方程组求出解即可．解：（1）把x =72y =−2代入②得：7+2n ＝13，解得n ＝3，把x =3y =−7代入①得：3m ﹣7＝5，解得m ＝4．所以m ＝4，n ＝3；（2）把m ＝4，n ＝3代入方程组得：4x +y =5①2x−3y =13②，①×3+②得：14x ＝28，即x ＝2，把x＝2代入①得：y＝﹣3，则方程组的解为x=2y=−3．总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．类型四利用方程同解构造二元一次方程组8．（2021春•上思县期末）若方程组2x+4y=−68x−4y=16和方程组ax−by=11bx−ay=13的解相同，试求（3b﹣2a）2021的值．思路引领：求出第一个方程组的解，代入第二个方程组求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．解：2x+4y=−6①8x−4y=16②，①+②得：10x＝10，解得：x＝1，把x＝1代入①得：2+4y＝﹣6，解得：y＝﹣2，∴方程组的解为x=1y=−2，把x=1y=−2代入方程组ax−by=11bx−ay=13得：a+2b=11b+2a=13，解得：a=5 b=3，则（3b﹣2a）2021＝（3×3﹣2×5）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．9．已知关于x，y的方程组3x−y=54ax+5by=−22与2x−3y+4=0ax−by−8=0有相同的解，求a，b的值．思路引领：因为关于x，y的方程组有相同的解，根据二元一次方程组的解的定义，只需把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可．解：由题意，关于x，y的方程组3x−y=52x−3y+4=0和4ax+5by=−22ax−by−8=0的解也相同．解方程组3x−y=5①2x−3y+4=0②，得x=197y=227．把x=197y=227代入4ax+5by=−22ax−by−8=0，a+1107b=−22a−227b=8解得a=1419b=−2111．总结提升：本题考查了二元一次方程组的解法及方程组解的意义，由于数比较大，计算较复杂，理解方程组公共解的意义和掌握解二元一次方程组的解法是解决本题的关键．10．（2019春•大丰区期末）已知关于x、y的方程组4x+ay=162x+y=4b+2和3x+ay=132x−3y=−6的解相同，求a、b值．思路引领：先把方程4x+ay＝16和3x+ay＝13相减，可得x的值，再代入方程2x﹣3y＝﹣6，求出y的值，再把x，y的值代入第一个方程组即可求得a，b的值．解：方程4x+ay＝16和3x+ay＝13相减，得x＝3，把x＝3代入方程2x﹣3y＝﹣6，得y＝4．把x＝3，y＝4代入方程组4x+ay=162x+y=4b+2，得12+4a=166+4=4b+2解这个方程组，得a＝1，b＝2．总结提升：利用方程组的解相同，可以重新组合方程组，求得未知数的值．类型五利用二元一次方程组的解适合第3个方程，构造一元一次方程或者用整体思想求解11．已知方程组2x+3y=7，5x−y=3m+1的解能使等式x﹣7y＝2成立，求m的值．思路引领：观察方程组中两方程的x与y的系数，发现方程①减去方程②×2后恰好直接得到（x﹣7y）的值．解：2x+3y=7①，5x−y=3m+1②，由②﹣①×2，得x﹣7y＝3m﹣13，∴3m﹣13＝2，解得m＝5．总结提升：本题主要考查的是解二元一次方程组，求得x、y的值是解题的关键．12．（2022春•沙坪坝区期末）已知关于x，y的方程组3x+4y=a+22x+3y=2a的解满足x+y＝1，求a的值及方程组的解．思路引领：根据题意，①﹣②得x+y＝﹣a+2，再根据已知条件可得a的值，根据加减消元法解二元一次方程组即可．解：3x+4y=a+2①2x+3y=2a②，①﹣②得x+y＝﹣a+2，∵x+y＝1，∴﹣a+2＝1，解得a＝1，∴原方程组化为3x+4y=3①2x+3y=2②，①×2﹣②×3得﹣y＝0，解得y＝0，将y＝0代入3x+4y＝3，得3x＝3，解得x＝1，∴原方程组的解为x=1 y=0．总结提升：本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．13．（2019春•西湖区校级月考）已知关于x，y的二元一次方程组3x+2y=m+32x−y=2m−1的解x与y的值互为相反数，试求m的值和方程组的解．思路引领：由已知方程组，利用加减消元法求出x=5m17，y=9−4m7，再由x与y的值互为相反数，即可求出m的值，再将m的值代入所求x、y的表达式，即可求方程组的解．解：方程组3x+2y=m+3①2x−y=2m−1②，②×2+①得7x＝5m+1，∴x=5m17，将x=5m17代入②，得y=9−4m7，∵x与y的值互为相反数，∴5m17+9−4m7=0∴m＝﹣10，∴x＝﹣7，y＝7，∴原方程组的解为x=−7 y=7．总结提升：本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，同时结合相反数的性质灵活解题是关键．14．当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，我们称Q（m﹣1，n+1）为巧妙点．（1）若A（m﹣1，5）是巧妙点，则m＝ ，巧妙点A（ ，5）；（2）判断点P（3，1）是否为巧妙点，并说明理由．（3）已知关于x，y的方程组x+y=4x−y=2a，当a为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是巧妙点？思路引领：（1）利用题中的新定义列式计算即可；（2）利用题中的新定义判断即可；（3）表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．解：（1）由题意得：2（m﹣1+1）﹣（5﹣1）＝8，解得：m＝6，∴m﹣1＝5，∴巧妙点A（5，5），故答案为：6，5；（2）点P（3，1）是巧妙点，理由如下：根据题意得m−1=3n+1=1，解得：m=4 n=0，代入得：2m﹣n＝8﹣0＝8，∴点P（3，1）是巧妙点；（2）x+y=4①x−y=2a②，①+②得：2x＝2a+4，解得：x＝a+2，把x＝a+2代入①得：y＝2﹣a，根据题意得：m−1=a+2 n+1=2−a，解得：m=a+3 n=1−a，代入得：2m﹣n＝2a+6﹣1+a＝3a+5，当3a+5＝8，即a＝1时，满足2m﹣n＝8，即以方程组的解为坐标的点B（x，y）是巧妙点．总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．第二部分专题提优训练1．（2022春•滨海县月考）若方程（a﹣6）x|a|﹣5+5y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ）A．±6B．﹣6C．±5D．5思路引领：根据二元一次方程的定义解答即可．解：∵（a﹣6）x﹣y|a|﹣5＝1是关于x，y的二元一次方程，∴a−6≠0|a|−5=1，解得a＝﹣6．故选：B．总结提升：本题考查解二元一次方程的定义，解题关键是熟知二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．（2021春•银海区期中）若（R﹣2）x|R|﹣1﹣3y＝2是关于x，y的二元一次方程，那么3R﹣2的值为（ ）A．4B．﹣8C．8D．4或﹣8思路引领：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．解：根据题意得：R−2≠0|R|−1=1，解得R＝﹣2，∴3R﹣2＝﹣6﹣2＝﹣8，故选：B．总结提升：此题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．3．（2021春•平凉期末）如果x=3y=−2是方程组ax+by=1ax−by=5的解，则a2008+2b2008的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4思路引领：将方程组的解代入方程组可得关于a 、b 的二元一次方程组3a−2b =13a +2b =5，再求解方程组即可求解．解：∵x =3y =−2是方程组ax +by =1ax−by =5的解，∴3a−2b =1①3a +2b =5②，①+②得，a ＝1，将a ＝1代入①得，b ＝1，∴a 2008+2b 2008＝1+2＝3，故选：C ．总结提升：本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．二．解答题（共8小题）4．若x =2y =1是方程组ax +y =b 4x−by =3a−1的解，求a 、b 的值．思路引领：把x =2y =1代入方程组ax +y =b 4x−by =3a−1，然后解关于a ，b 的方程组即可．解：把x =2y =1代入方程组ax +y =b 4x−by =3a−1，得：2a +1=b 8−b =3a−1，解得：a =85b =215，故a =85，b =215．总结提升：本题考查了二元一次方程组的解，属于基础题，关键是掌握用代入法解方程组．5．已知二元一次方程px +2y ＝8，5x ﹣6y ＝4，2x +5y ﹣8＝0有公共解，求p 的值．思路引领：解方程组5x−6y =42x +5y−8=0得x ，y 的值，再代入px +2y ＝8求解即可．解：解方程组5x−6y =42x +5y−8=0得x =6837y =3237，代入px +2y ＝8，得6837p +2×3237=8，解得p =5817．总结提升：本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是求出方程组公共解．6．（2021秋•金寨县期末）解方程组ax+by=6x+cy=4时，甲同学因看错a符号，从而求得解为x=3y=2，乙因看漏c，从而求得解为x=6y=−2，试求a，b，c的值．思路引领：甲同学因看错a符号，把x＝3，y＝2代入x+cy＝4，求出c，因看错a符号，得﹣3a+2b＝6，乙因看漏c，把x＝6，y＝﹣2代入ax+by＝6，组成新的二元二次方程组，解出即可．解：∵甲同学因看错a符号，∴把x＝3，y＝2代入x+cy＝4，得c=1 2，﹣3a+2b＝6．∵乙因看漏c，∴把x＝6，y＝﹣2代入ax+by＝6，得6a﹣2b＝6，得−3a+2b=6 6a−2b=6，解得，a＝4，b＝9；综上所述，a＝4，b＝9，c=1 2．总结提升：本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握做题的方法是解题关键．7．（2019秋•平桂区期末）已知x=2y=1是二元一次方程组mx+ny−7=0nx+my−2=0的解，求m+3n的值．思路引领：把方程组的解代入方程组求出m与n的值，即可求解．解：把x=2y=1代入方程组mx+ny−7=0nx+my−2=0，得2m+n−7=02n+m−2=0，解方程组，得m=4，n=−1把m=4n=−1代入m+3n，得m+3n＝4+3×（﹣1）＝1．总结提升：本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．8．（2021春•娄底月考）已知方程组2x+3y=10ax+by=9与方程组bx−ay=84x−3y=2的解相等，试求a、b的值．思路引领：两个方程组的解相同，也就是有一组x、y的值是这四个方程的公共解，当然也是其中任意两个方程的公共解，所以可以把原来的方程组打乱，重新组合起来求解．解：由已知可得2x+3y=104x−3y=2，解得x=2y=2，把x=2y=2代入剩下的两个方程组成的方程组ax+by=9bx−ay=8，得2a+2b=9 2b−2a=8，解得a=14b=174．故a、b的值为a=14b=174．总结提升：解答此题的关键是熟知方程组有公共解得含义，考查了学生对题意的理解能力．9．（2018春•岳麓区校级期中）（1）已知关于x，y方程组x+2y=3k2x+y=2k+1的解满足x﹣y＝3，求k的值；（2）在（1）的条件下，求出方程组的解．思路引领：（1）方程组中两式相减后可得x﹣y＝1﹣k，再根据条件即可求出k的值．（2）根据二元一次方程组的解法即可求出答案．解：（1）∵x+2y=3k①2x+y=2k+1②，∴②﹣①得：x﹣y＝1﹣k，∵x﹣y＝3，∴1﹣k＝3，∴k＝﹣2．（2）将k＝﹣2代入x+2y=−6①2x+y=−3②，①×2得：2x+4y＝﹣12③②﹣③得：﹣3y＝9，∴y＝﹣3，将y＝﹣3代入①得：x﹣6＝﹣6，∴x＝0，∴方程组的解为x=0 y=−3总结提升：本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．10．已知方程组2x+y=5ax−by=−4与5x−4y=62ax−3by=2有公共解，求a、b的值．思路引领：由于两方程组有公共解，所以可把方程①和方程③联立为一个方程组进行求解，然后把所求结果代入方程②和方程④中，形成一个关于a、b的二元一次方程组，解答即可．解：在方程组2x+y=5①ax−by=−4②与5x−4y=6③2ax−3by=2④，因为有公共解，所以有2x+y=55x−4y=6和ax−by=−42ax−3by=2．由第一组可解得x=2 y=1，代入第二组，得2a−b=−4 4a−3b=2，解得a=−7b=−10．总结提升：本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．11．（2021秋•长丰县月考）已知关于x，y的二元一次方程组x+2y=a2x−y=1．（1）当方程组的解为x=1y=1时，求a的值．（2）当a＝﹣2时，求方程组的解．（3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将x=−2y=−2代入方程x+2y＝a中，即可求出a的值．小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由．思路引领：（1）将x=1y=1代入方程组x+2y=a2x−y=1即可求a的值；（2）用加减消元法求方程组的解即可；（3）x=−2y=−2不是方程2x﹣y＝1的解，因此x=−2y=−2不是方程组的解．解：（1）∵x=1y=1是方程组x+2y=a2x−y=1的解，∴1+2×1＝a，∴a＝3；（2）∵a＝﹣2，∴x+2y=−2①2x−y=1②，②×2得，4x﹣2y＝2③，①+③得，5x＝0，∴x＝0，将x＝0代入②得，y＝﹣1，∴方程组的解为x=0y=−1；（3）不正确，理由如下：将x=−2y=−2代入方程2x﹣y＝1，可得2×（﹣2）﹣（﹣2）＝﹣2≠1，∴x=−2y=−2不是方程组的解，∴解法不正确．点睛：本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系，会用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．。

二元一次方程组含字母系数二元一次方程组是初中数学内容中的一个重要知识点，在我们的日常生活中也有着广泛的应用，我们可以通过解二元一次方程组来求解很多实际问题。

二元一次方程组含字母系数的概念在解二元一次方程组时，系数往往都是常数，但在实际应用中，很多情况下系数却含有字母，这就是所谓的二元一次方程组含字母系数。

举个例子，如下所示的方程组：2x + 3y = a4x - y = b其中a和b都是字母，此时我们就需要通过一些特殊的方法来解决这类问题。

解二元一次方程组的通常方法解二元一次方程组的方法有多种，比如代入法、消元法、用公式解、图像法等等。

在这里，我们以代入法和消元法为例来进行讲解。

代入法代入法又称直接代入法，其基本思路是将一个方程的一项用另一个方程的未知数表示出来，然后代入另一个方程中，得到只含有一个未知数的一元一次方程，进而求出该未知数，再代入任意一个方程，得到另一个未知数的值。

我们以上面的方程组为例进行演示。

化简出y：y = 4x - b带入第一式：2x + 3(4x - b) = a化简得：14x - 3b = a化简出x：x = (a + 3b)/14再带入第一个式子，化简出y得：y = (2a - 9b)/14至此，我们就求得了这个方程组中的x和y的值，其中含有未知字母。

这就是用代入法解决二元一次方程组含字母系数的方法。

消元法消元法又称加减消元法，它的基本思路是将两个方程的某一个系数相加或相减得到一个新方程，使得这个新方程中含有一个未知数的项系数是相反数，从而通过消元求解。

还是以上面的方程组为例进行演示。

通过第二个方程，化简出y：y = 4x - b代入第一个方程：2x + 3(4x - b) = a化简得：14x - 3b = a将第二个方程变形：y = 4x - b 可得： 4x = y + b 代入第一个方程：2x + 3y + 3b = a再将第二个方程中的4x替换为上式得：2(y + b) + 3y + 3b = a化简得：5y + 7b = a用此式将b消元：3b = (a - 5y)/7将其代入12x = 4y + 4b中得：x = (a + 3y)/14最终可求出y和x的值，其中还是包含有未知字母。

4 x 2 10 x 1 6
4 x 10 x 6 2 1
合并同类项，得 系数化为1，得
6x 5
5 x 6
知识巩固
1.判断下列说法的正误. （1）关于 x 的方程 3x-a=0，若a=0 ，则方程无解.
（ × ） （ √ ） （√ ）
（4）关于 x 的方程 ax=a 的解为x=1 .
2. 当 a ,b 满足什么条件时，关于x的方程 2a(x+1)-2=3(2x+b)-1 有解？ 解：将原方程化简，得 (2a-6)x=3b-2a+1 ∵原方程有解 １.原方程有唯一解 ２.原方程有无数解 ∴2a-6≠0,3b-2a+1为任意数 ∴a≠3,b为任意实数 ∴2a-6=0（ ×）
2.填空.
x x a 例1.解关于的 x方程 a ( x 12) 3 2 6
解下列关于 x 的方程. （1） ax b bx
随堂演练
（2）x 3( x 1)
kx k
例2.已知关于x 的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-3b+4有无数解， 求b的值. 解：将原方程化简，得 (3x+2b-8)x=2a+4 ∵原方程有无数解 ∴ 3a+2b-8=0 , 2a+4=0 ∴a=-2 , b=7
含字母系数的方程 的解法
武汉实验外国语学校 余聪焕
复习回顾
1.概念 方程： 含有未知数的等式叫做方程. 方程的解： 使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫 做方程的解.
回顾解一元一次方程的过程
解：去分母，得
去括号，得 移项，得
2 x 1 10 x 1 1 3 6
22 x 1 10 x 1 6

二元一次方程（组）补习、培优、竞赛归类讲解及练习答案知识点：1、二元一次方程：（1）方程的两边都是整式，（2）含有两个未知数，（3）未知数的最高次数是一次。

2、二元一次方程的一个解：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组：含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组。

4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。

（使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值）无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成 的形式。

⎩⎨⎧==y x 5、二元一次方程组的解法：基本思路是消元。

（1）代入消元法：将一个方程变形，用一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程。

主要步骤：变形——用一个未知数的代数式表示另一个未知数。

代入——消去一个元。

求解——分别求出两个未知数的值。

写解——写出方程组的解。

（2）加减消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。

变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数。

加减——消去一个元。

求解——分别求出两个未知数的值。

写解——写出方程组的解。

（3）列方程解应用题的一般步骤是：关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：①审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数。

②找：找出能够表示题意两个相等关系。

③列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组。

④解：解这个方程组，求出两个未知数的值。

⑤ 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。

6、二元一次方程组的解的情况有以下三种：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ①当时，方程组有无数多解。

【例1】方程组的解*，y满足方程5*-y=3，求k的值.【思考与分析】此题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.〔１〕由方程组消去k，得*与y的关系式，再与5*-y=3联立组成方程组求出*，y的值，最后将*，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.〔２〕把k当做数，解方程组，再根据5*-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值. 〔３〕将方程组中的两个方程相加，得5*-y=2k+11，又知5*-y=3，所以整体代入即可求出k的值.把代入①，得，解得k=-4.解法二：①×3－②×２，得17y=k-22，解法三：①+②，得5*-y=2k+11.又由5*-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解知识提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。

〔∵两个方程等效〕 ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。

〔∵两个方程是矛盾的〕 ③ 当2121b b a a ≠〔即a 1b 2－a 2b 1≠0〕时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x 〔这个解可用加减消元法求得〕 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，假设要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进展。

3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解〔把待定系数当己知数〕，再解含待定系数的不等式或加以讨论。

〔见例2、3〕例题例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 1.有无数多解， 2.无解， 3.有唯一的解【例2】解方程组【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.解：由①，得 y=4－m*，③把③代入②，得 2*+5〔4－m*〕=8，解得〔2－5m 〕*=-12，当2－5m ＝0，即m ＝时，方程无解，则原方程组无解. 当2－5m ≠0，即m ≠时，方程解为将代入③，得 故当m ≠时， 原方程组的解为例3. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 例4. m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解*和y 都是整数？ 二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。

一元二次方程含有字母系数的方程１．解关于x 的方程：()02122=+++-m x m mx练习：解关于x 的方程：()()02=-+-+-a c x c b x b a 含绝对值的方程 ２．解方程：0232=+-x x练习：求方程629332+=-+++x x x x的实数根。

方程的根３．方程()012006200420052=-⨯-x x 较大根为r ，020*******=-+x x 的较小的根为s ，求s r -。

练习1：已知二次方程02=++c bx ax的两根和为1S ，两根的平方和为2S ，两根的立方和为3S ，试求123cS bS aS ++的值。

练习2：已知a 是方程0120032=+-x x 的一个根，求12003200222++-a a a 的值。

练习3：已知a 是方程0199762=--x x 的一个正根，求代数式a19976199761997619978++++的值。

公共根４．已知关于x 的方程()0212=-+-x k x 和方程()0122=+--k k x x 只有一个相同的根，求k 的值和此公共根。

练习：已知关于x 的方程()0312=-++x m x和方程042=--m x x 有一个公共根，求两个非公共根的和。

巧解方程（组）５．解方程（组）：（１）()0178322=-+-x x （可变为()()05324322=--+-x x ） （２）011223334251=++++-+-+++xx x x x x（３）421131132=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-x x x x x x （４）()3322222-+=-+++-x x x x x x （５）()()821344=+++x x （６）()()2229152132x x x x x =+++- （７）解关于x 的方程：()()()0=+++++++abc b a x a c x c b x（８）解关于x 的方程：()()0212223=-+--+t t tx x t x（９）解方程：x x x x x 31132232552-=++++ （１０）解方程：()()221112++-=-+x x x x （１１）解方程：()()10625625=-++x x （１２）解方程：2937322=-+-++x x x x （１３）解方程：397397373373----+-=--+-++x x x x x x x x （１４）解方程：⎩⎨⎧=+=+8428322y xy xy x （１５）解方程组：⎩⎨⎧=++=++1712222y y x x y xy x （１６）解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+++812331y y x y x y x （１７）解方程组：()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=+043511211xz z x zy yz xy y x（１８）解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++251x z zx z y yz y x xy根与系数的关系：１．()a c x x a b x x a c bx ax=-=+−−→−≠=++≥∆212102,00 ２．()2122122212x x x x x x -+=+，()()21221221214x x x x x x x x -+=-=- ()()212132132313x x x x x x x x +-+=+，21212111x x x x x x +=+ 例１、 已知方程()0134222=-+-m mx x ，求当m 为何值时，方程（1）有两个正根；（2）两根异号；（3）有一根为0。

含字母系数的一元一次方程引言一元一次方程是代数中最基本的方程类型之一。

在解一元一次方程时，我们通常会遇到含有字母系数的情况。

这种方程的解法与常规的一元一次方程类似，但需要特别注意字母系数的处理。

本文将介绍如何解含有字母系数的一元一次方程的步骤和技巧。

步骤解含有字母系数的一元一次方程的一般步骤如下：1.整理方程，将字母系数与常数项分开；2.使用移项原则，将含有字母的项移至方程的一边，将常数项移至另一边；3.化简方程，通过合并同类项简化方程；4.根据字母系数的类型，分别处理解方程的情况。

解字母系数为正数的一元一次方程当方程中的字母系数为正数时，解方程的步骤如下：1.整理方程，保证字母系数与常数项分开；2.使用移项原则，将含有字母的项移至方程的一边，将常数项移至另一边；3.化简方程，通过合并同类项简化方程；4.将常数项除以字母系数，得到方程的根。

例如，考虑方程 2x + 5 = 15，我们可以按照上述步骤解方程：1.整理方程，将字母系数与常数项分开：2x = 15 - 5；2.使用移项原则，将含有字母的项移至方程的一边，将常数项移至另一边：2x = 10；3.化简方程，通过合并同类项简化方程：x = 10/2；4.计算常数项除以字母系数，得到方程的解：x = 5。

因此，方程 2x + 5 = 15 的解为 x = 5。

解字母系数为负数的一元一次方程当方程中的字母系数为负数时，解方程的步骤与解字母系数为正数的方程类似，只需要注意符号的处理。

例如，考虑方程 -3x - 8 = 4，我们可以按照以下步骤解方程：1.整理方程，将字母系数与常数项分开：-3x = 4 + 8；2.使用移项原则，将含有字母的项移至方程的一边，将常数项移至另一边：-3x = 12；3.化简方程，通过合并同类项简化方程：x = 12/-3；4.计算常数项除以字母系数，得到方程的解：x = -4。

因此，方程 -3x - 8 = 4 的解为 x = -4。

关于含有字母系数方程的解法知识总结归纳：含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是一样的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。

公式变形本质上是解含有字母系数的方程对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程ax b =型，讨论如下：〔1〕当a ≠0时，此时方程ax b =为关于x 的一元一次方程，解为：x b a= 〔2〕当a =0时，分以下两种情况：<1>假设b =0，原方程变为00x =，为恒等时，此时x 可取任意数，故原方程有无数个解；<2>假设b ≠0，原方程变为00x b b =≠()，这是个矛盾等式，故原方程无解。

含字母系数的分式方程主要有两类问题：〔一〕求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：〔二〕方程解的情况，确定字母的条件。

下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程1. 求含有字母系数的一元一次方程的解例1. 解关于x 的方程2362ax b bx ac a b -=+≠c () 分析：将x 以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。

解：去分母得：1226ax bc bx ac -=+移项，得1262ax bx bc ac -=+2. 求含字母系数的分式方程的解例2. 解关于x 的方程a ax b b bx a x-++=2 分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。

解：假设a 、b 全不为0，去分母整理，得对b a 22-是否为0分类讨论：〔1〕当b a 220-=，即a b =±时，有02⋅=-x ab ，方程无解。

〔2〕当b a 220-≠，即a b ≠±时，解之，得x ab a b =-2 假设a 、b 有一个为0，方程为12x x=，无解 假设a 、b 全为0，分母为0，方程无意义检验：当x ab a b =-2时，公分母()()ax b bx a -+≠0，所以当ab a b ≠≠±0，时，x ab a b =-2是原方程的解。

含字母系数的方程【典型例题】例1．解下列关于x 的方程：①ax+b=bx+a;(a ≠b); ②)53(3)4(4)13(-≠-=+m x m x m .例2．已知关于x 的方程21ax+5=237-x 的解x 与字母a 都是正整数，求a 。

例3．已知方程x =ax+1有一个负根而没有正根，求a 的取值范围.例4．选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+cy ax y x 275① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解例5．a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x ay x 的解是正数？例6．m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？例7．已知关于x ，y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5－2a=0，当a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何a 值它都能使方程成立吗？一、填空1．若2（3-a ）x-4=5是关于x 的一元一次方程，则a ≠ . 2．关于x 的方程ax=3的解是自然数，则整数a 的值为： .3．x=2是方程2x-3=m-x 21的解，则m=. 4．若-2x2-5m+1=0 是关于x 的一元一次方程，则m=.5．当m=时，方程65312215--=--x m x 的解为0. 6．已知a ≠0.则关于x 的方程3ab-(a+b)x=(a-b)x 的解为.7．若23234+x a 与43152+x a 是同类项，则x=.8．当a=时，方程14523-+=-ax a x 的解是x=0. 9．若a ≥0,且方程a+3x=10的解是自然数，则a= .10．若（1-3x ）2+mx -4=0,，则6+m 2=.11．已知方程2+-=-axb b a x 是关于x 的一元一次方程，则a,b 之间的关系是.二、1．要使方程组⎩⎨⎧=-=+12y x kky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值？2．如果方程35425x m xm +=-与方程4103365+=-x x +1的解相同，求m 的值.一、选择1．方程ax=b 的解是（ ）. A ．有一个解x=ab B ．有无数个解 C ．没有解D ．当a ≠0时，x=ab 2．若关于x 的方程3(x-1)+a=b(x+1)是一元一次方程，则（ ）. A ．a,b 为任意有理数 B ．a ≠0 C ．b ≠0D ．b ≠33．若关于x 的方程10-4)2(35)3(--=+x k x x k 与方程8-2x=3x-2的解相同，则k 的值为( ) A.0 B.2C.3D.4二、解答题1．a 取什么值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=--+=+229691322a a y x a a y x 的解是正数？2．a 取哪些正整数值，方程组⎩⎨⎧=--=+a y x ay x 24352的解x 和y 都是正整数？。

当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．【例1】请指出下列关于的方程中的参数⑴； ⑵【巩固】请指出下列关于的方程中的参数⑴； ⑵； ⑶【例2】（1）x=2是方程2x+a-9=0的解，则a 的值是 。

（2）已知方程2（x+1）=3(x-1)的解为x=a+2,则a 的值是 。

x ax b =xn c m=+y 21y ax -=xm n y-=0ay b c -+=模块一 参数模块二 同解方程含字母系数的一元一次方程知识精讲典型例题若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式．两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多几倍等等．【例3】当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同． 解析：法一：方程5443x x +=-的解为7x =-，方程2(1)2(2)x m m +-=-的解为362m x -=.由题意解相同，所以3672m --=，解得83m =-.法二：方程5443x x +=-的解为7x =-，把7x =-代入2(1)2(2)x m m +-=-中，求得83m =-．【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解， 把解代入另一个方程．【例4】（1）已知方程3（x-1）=4x-5与关于x 的方程2x+a-9=0的解相同，求a 的值。

（2）已知关于x 的两个方程3（x-1）=4x-a 与2x+a-9=0的解相同，求a 的值（3）已知关于x 的两个方程3（x-1）=4x-a 与2x+a-2=0的解互为相反数，求a 的值知识精讲典型例题（4）已知关于x 的方程3（x-1）=4x-a 的解比方程2x+a-9=0的解大2，求a 的值【例5】若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2km-的值．分类讨论--解含字母系数方程含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，方程的解由、的取值范围确定．⑴当时，，原方程有唯一解； ⑵当且时，解是任意数，原方程有无数解； ⑶当且时，原方程无解．分类讨论产生的原因→等式的性质②等式的性质②：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式， 所得结果仍是等式．若，则，． ax b =a b 0a ≠bx a=0a =0b =0a =0b ≠a b =am bm =a bm m=(0)m ≠模块三 解含参的一元一次方程知识精讲能力提升由等式的性质2，我们知道在等式两边同时除以某一个数时，必须确定此数不为0。

1、“看错”系数问题解法例析2、含字母系数的方程组的解法3、二元一次方程组错解剖析4、二元一次方程组名题赏析5、列方程组解调配问题两例6、图象法解二元一次方程组7、解好方程组的图表信息题8、领悟方程组中数学思想1、“看错”系数问题解法例析在解二元一次方程组时，由于一时粗心大意出现看错系数、抄错符号的现象，这样求得的是错解，其实错解中也包含着一些合理成份，只要我们细心领会，就会发现正确信息，从而巧妙求出原方程组中字母系数的值． 例1．在解方程组222ax cy x by a +=⎧⎨+=⎩时，甲同学正确解得32x y =⎧⎨=-⎩，乙同学由于把b 抄写错了，解得22x y =-⎧⎨=⎩，请问b 的值应该是多少？乙同学错把b 错抄写成了几？分析：甲同学解对了，因此他的解满足原方程组；乙同学只写错了b 的值，但他所求得的错解适合看错的方程组，当然也就满足2ax cy +=．析解：把32x y =⎧⎨=-⎩代入2ax cy +=，得322a c -= …①把22x y =-⎧⎨=⎩也代入2ax cy +=，得222a c -+= …②解由①、②组成的方程组，得45a c =⎧⎨=⎩．把32x y =⎧⎨=-⎩和a ＝4代入方程22x by a +=，得628b -=，所以b ＝－1．再把22x y =-⎧⎨=⎩和a ＝4代入方程22x by a +=，得428b -+=，所以b ＝6．所以的值应该是－1，乙同学错写成了6．例2．在解方程组134ax by cx y -=⎧⎨-=⎩时，甲同学因看错了b 的符号，从而求得解为32x y =⎧⎨=⎩，乙同学因看错了c 的值，从而求得解为51x y =⎧⎨=⎩，试求a ，b ，c 的值．析解：因为甲同学仅看错了b 的符号，所以他的错解实际上满足看错了的方程组：134ax by cx y =⎧⎨-=+⎩，因此把32x y =⎧⎨=⎩代入13ax by +=，得3132a b +=； 把32x y =⎧⎨=⎩代入4cx y -=，得c ＝2．同理乙同学看错了c 的值，但没看错a ，b 的值．所以把51x y =⎧⎨=⎩代入方程13ax by -=，得513a b -=．于是得到关于a ，b 的方程组3213513a b a b +=⎧⎨-=⎩，解之得32a b =⎧⎨=⎩．所以a ＝3，b ＝2，c＝2．2、含字母系数的方程组的解法一、给出方程组的解当含有字母系数的方程组的解已经给出时，可先把解直接代入原方程组，构造出关于字母系数的方程，进而求得其值．例1． 若方程组2331x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩ 的解是11x y =-⎧⎨=⎩，求a 、b 的值．析解：由方程组解的意义，知11x y =-⎧⎨=⎩满足方程组2331x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩，所以有2331a b --=-⎧⎨-+=⎩， 解这个关于a 、b 的方程组，得12a b =⎧⎨=⎩．∴a 、b 的值分别为1，2．二、方程组的解满足关系式当关于方程组的解满足一定的等式的字母求值问题，常常应把方程组中的字母当作已知数，用它的代数式表示方程组的解．再根据满足的等式，构造出关于字母的方程．例2．已知方程组3213325x y m x y m +=⎧⎨-=⎩…①…②的解适合x ＋y ＝10，求m 的值．析解：①＋②，得x ＝18m ，所以x ＝3m ．①－②，得4y ＝8m ，所以y ＝2m ． 把x ＝3m ，y ＝2m 代入x ＋y ＝10，得 ３m ＋２m ＝10，解之，得m ＝２．三、字母系数看错问题在解二元一次方程组时，由于一时粗心大意出现看错系数、抄错符号的现象，这样求得的是错解，其实错解中也包含着一些合理成份，只要我们细心领会，就会发现正确信息，从而巧妙求出原方程组中字母系数的值． 例3．在解方程组222ax cy x by a +=⎧⎨+=⎩时，甲同学正确解得32x y =⎧⎨=-⎩，乙同学由于把b 抄写错了，解得22x y =-⎧⎨=⎩，请问b 的值应该是多少？乙同学错把b 错抄写成了几？ 分析：甲同学解对了，因此他的解满足原方程组；乙同学只写错了b 的值，但他所求得的错解适合看错的方程组，当然也就满足2ax cy +=．析解：把32x y =⎧⎨=-⎩代入2ax cy +=，得322a c -= …①把22x y =-⎧⎨=⎩也代入2ax cy +=，得222a c -+= …②解由①、②组成的方程组，得45a c =⎧⎨=⎩．把32x y =⎧⎨=-⎩和a ＝4代入方程22x by a +=，得628b -=，所以b ＝－1．再把22x y =-⎧⎨=⎩和a ＝4代入方程22x by a +=，得428b -+=，所以b ＝6．所以的值应该是－1，乙同学错写成了6．3、二元一次方程组错解剖析同学们在学习二元一次方程组时，由于对概念理解和解法掌握程度不够，常会出现一些错误．现举几例常见错误，望引起大家注意． 例1．已知方程(a ＋1)x ||a ＋(b ＋1)y12-b ＝7是关于x 、y 二元一次方程，求2a ＋3b 的值 ．【错解】由题意得：⎩⎨⎧=-=1121||b a ∴ ⎩⎨⎧=±=11b a所以当a ＝1，b ＝1时，2a ＋3b ＝5； 当a ＝－1，b ＝1时，2a ＋3b ＝1．剖析：根据二元一次方程定义可知，方程应含有两个未知数且未知数系数不能为0． 正解：（接上）因为a ＋1≠0，所以 ∴a ≠－1，所以当a ＝1，b ＝1时，2a ＋3b ＝5； 故，填：5．例2．解方程组⎩⎨⎧-=-=-222y x y x ②①⋯⋯⋯⋯【错解】①－②得： y ＝4，把y ＝4 代入②得，x ＝2，原方程组的解是：⎩⎨⎧==42y x ．剖析：错在①－②在上的符号方面，正解：①－②得：－y ＝4， 解得：y ＝－4，把y ＝－4 代入②得，x ＝－6，原方程组的解是：⎩⎨⎧-=-=46y x ．例3．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=+--8)2(2)(3142y x y x yx y x ②①⋯⋯⋯⋯【错解】一：①×4得：2(x －y )－(x ＋y )＝－1，剖析：去分母时漏乘 ．（你来填一填！） 【错解】二；①×4得：2x －2y －x ＋y ＝－1， 剖析：忽略 ．【错解】三：由②得：3x ＋y －4x －y ＝8 剖析：忘了括号前的 ．正解：①×4得：2(x －y )－(x ＋y )＝－4， 2x －2y －x －y ＝－4，x －3y ＝－4， ……③②变形得：3x ＋3y －4x ＋2y ＝8，－x ＋5y ＝8， ……④③＋④，得：y ＝2把y ＝2带入③，得：x ＝2，这个方程组的解为：⎩⎨⎧==22y x你填对了吗？三个空分别是：不含分母的项；分数线的括号作用；负号和乘法分配律．4、二元一次方程组名题赏析一些数学问题初看似乎与二元一次方程组没有关联，但若运用二元一次方程组来解却简单．例1．如图1，射线OC 的端点O 在直线AB 上，∠AOC 的度数比∠BOC 的2倍多10°，求∠AOC 和∠BOC 的度数．【分析】本题有一隐含条件是：∠AOC 和∠BOC 组成平角180°，再依据已知中的x ,y 的另一个关系：∠AOC 的度数比∠BOC 的2倍多10°，又可得一方程． 解：设∠AOC 和∠BOC 的度数分别为x 、y ，依题意得 ⎩⎨⎧+==+102180y x y x ， 解（略）．还有些实际应用问题有时比较复杂，但也常利用方程和方程组来解决．例2．某通讯器材商店计划用6万元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知一厂家生产三种型号的手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元．若商场同时购进其中两种．．不同型号的手机共40部，并将6万元恰好用完．请你帮助商场算一下如何购买． 【分析】由于商场只同时购进三种手机中的两种．．不同型号的手机40部，所以商店可以有购甲乙、乙丙、甲丙三种选择，因此本题应列三个二元一次方程组的应用问题叠加在一起，所以应分情况来解答．解：设甲、乙、丙三种型号的手机分别购买x 部、y 部、z 部，① 若选购甲乙两种型号，根据题意可列方程组⎩⎨⎧=+=+60000600180040y x y x ，解这个方程组，得⎩⎨⎧==1030y x ；图10C B A② 若选购乙丙两种型号，则有方程组⎩⎨⎧=+=+60000120060040z y z y ，解这个方程组，得⎩⎨⎧=-=6020z y ；③ 若选购甲丙两种型号，则有方程组⎩⎨⎧=+=+600001200180040z x z x ，解这个方程组，得⎩⎨⎧==2020z x ；第二种方案不行，舍去。

a b c ，求 x 的值 = = b+c c+a a+b n ； m
分析：题目给出的是一个连等式，可以分别拆开再求出 x 由已知条件得 x =+ (b c) x, b =+ (c a) x, c =+ ( a b) x 三式相加，得 a + b + c= 2(a + b + c) x 当 a + b + c ≠ 0 时，则 x =
答案： a 7或a 2
1 ； 2 c = −1 a+b
当a+b+c = 0 时，则 a + b = −c ，则 x = 3、 如果关于 x 的方程
2( kx + 3) 1 5(2 x + 3) 有无数个解，那么 k = __ + = 3 2 6
分析：经化简后一定是 0 ⋅ x = 0 ，从而求出 k 结果 k =
5 2
a 3x + a 1 − 5 x 4、 已知关于 x 的方程 3[ x − 2( x − )] = 4x 和 − = 1 有相同的解，那么这个解是 3 12 8
答案：
答案： 3, 2 10. 如果方程 m( x − 1) = 2001 − n( x − 2) 有无数个根，则 m 2001 + n 2001 = ___ （第 12 届初一希望 杯） 答案： 0 。
0 m + n = 可化为 (m + n) x = 2001 + m + 2n 有无数个根，所以 0 2001 + m + 2n =
含字母系数的一次方程 如果方程中的已知数用字母表示，那么这样的方程就叫做含字母系数的方程。 最简一元一次方程 ax=b 的解有以下三种情况： ①当 a≠0 时，方程有且仅有一个解； ②当 a=0，b≠0 时，方程无解； ③当 a=0，b=0 时，方程有无穷多个解. 例题： 1、 解关于 x 的方程 mnx − n 2 = mn − m 2 x 分析：移项合并同类项得 m(m + n) x =(m + n)n 当 m + n ≠ 0 ，且 m ≠ 0 时，方程有唯一解 x = 当 m + n ≠ 0 ，且 m = 0 时，方程无实数解； 当m+n = 0 时，方程的解为任意数。 2、 = 若x

几种类型的一元一次方程的解法 解一元一次方程时，一般按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等步骤来进行，但是对于某些特殊类型的一元一次方程，需根据实际情况来进行求解.下面分类举例说明.一、含绝对值的方程的解法解含有绝对值符号的一元一次方程的基本思路就是去掉绝对值符号.转化为一般方程来求解.常用的转化方法有以下几种：（一）、对于最简绝对值方程，依据绝对值的定义，去掉绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即：若||x a = ，则x a =± .例1.（2001年湖南常德中考题）已知|31|2x -=，则x =（ ）.（A ）1 （B ）－13 （C ）1或－13（D ）无解 解：由绝对值的定义，得312312x x -=-=-或，分别解得113x x ==-或，故选（C ）. 例2.（1996年“希望杯”赛题）若||,x a =则||x a -=（ ）.（A ）0或2a （B ）x a - （C ）a x - （D ）0 解：由绝对值的定义，得x a =±，分别代入||x a -中得： 当x a =时，||0x a -=；当x a =-时，||2x a a -=.故选（A ）. 例 3.（2001年重庆市竞赛题）若|20002000|202000x +=⨯.则x 等于（ ）.（A ）20或－21 （B ）－20或21（C ）－19或21 （D ）19或－21 解：由绝对值的定义，得|20002000|202000x +=±⨯，分别解得1921x x ==-或.故选（D ）.同步练习：1.（1997年四川省初中数学竞赛题）方程|5|25x x -+=-的根是_________.2.（2000年山东省初中数学竞赛题）已知关于x 的方程22()mx m x +=-的解满足1||102x --=，则x 的值是（ ）.（A ）10或25 （B ）10或－25（C ）－10或25 （D ）－10或－253.（2000年重庆市初中数学竞赛题）方程|56|65x x +=-的解是_________.答案：1.x =－10；2.（C ）；3.11x = .（二）、对于含有双重或多重绝对值符号的较复杂的绝对值方程，可用零点分段法分类讨论转化为最简绝对值方程来解.例4.（“迎春杯”竞赛题）解方程|3||1|1x x x +--=+ 分析与解：（1）定零点令x ＋3＝0，x －1＝0.解得x ＝－3，x ＝1.（2）对x 的取值分段讨论以－3，1为界将数轴分为三段，即x ≤－3，－3＜x ≤1，x ＞1.（3）分别在每一段上讨论当x ≤－3时，－x －3＋x －1＝x ＋1，解得x ＝－5.当－3＜x ≤1时，x ＋3＋x －1＝x ＋1，解得x ＝－1.当x ＞1时，x ＋3－x ＋1＝x ＋1，解得x ＝3.同步练习：1.（2000年“希望杯”竞赛题）若0a <，则200011||a a+等于（ ）.（A ）2007a （B ）－2007a （C ）－1989a （D ）1989a2.（“江汉杯”竞赛题）方程|1||99||2|1992x x x +++++=共有（）个解.（A）4 （B）3 （C）2 （D）1答案：1.（D）；2.（C）.（三）、对于某些特殊的绝对值方程，还可借助数轴用绝对值的几何意义求解.例5.（第11届“希望杯”竞赛题）适合|27||21|8++-=a a的整数的值的个数有（）.（A）5 （B）4 （C）3 （D）2解：由已知知，即在数轴上表示2a的点到－7和＋1的点的距离的和等于8，所以2a表示－7到＋1之间的偶数，有－6、－4、－2、0四个.故选（B）.例 6.（1999年武汉市竞赛题）若0,0><则使a b-+-=-成立的的取值范围是_______.x a x b a b||||解：||-表示数x和b的x bx a-表示数x和a的点的距离，||点的距离，a－b表示a、b的点的距离，可知，表示x的点应位于表示a、b的两点之间.故b≤x≤a即为所求的x的取值范围.同步练习：1.（1998年“希望杯”竞赛题）适合关系式|34||32|6-++=x x的整数的值是（）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）大于2的自然数2.（“祖冲之杯”竞赛题）解方程x x-+-=：.|1||5|4答案：1.（C）；2.1≤x≤5.二、含字母系数的一元一次方程一个一元一次方程中，除了未知数以外，还有其它字母的方程叫做含有字母系数的方程，那么，这类方程怎样解呢？含字母系数的一元一次方程总可化为ax b=的形式.其方程的解由a b、的取值范围确定或对解方、的取值范围确定，当字母a b程的过程并未产生实质性的影响时，其解法同数字系数的一元一次方程一样；当字母a b、的取值范围围给出时，则需讨论解的情况.例7.解下列关于的方程：()()()(0)cx b c x a b x b a x a c--=---+≠.分析：这个方程中除了字母x外，还有字母a b c、、，由于说明是关于x的方程，应视为x未知数，a b c、、为已知数，故去括号，移项，合并同类项等整理时都要以x为未知数进行.例8.解关于x的方程：.分析：这个方程仍然以x为未知数，看作已知数来解.同步练习：解关于的方程.答案：11 xa =-.。

学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F 段 主 题 含字母系数的方程（组）的解法教学内容1． 会解形如ax b =的方程；2． 理解二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解有多种可能性． （此环节设计时间在10-15分钟）说明：本讲内容如果没有特别说明，在含有字母系数的方程（组）或不等式（组）中，一般用a 、b 、c 等表示已知数，用x 、y 、z 表示未知数。

回顾上次课的预习思考内容形如ax b =的方程的解的情况讨论：◆ 当0a ≠时，方程有唯一解，为b x a=（等式基本性质） ◆ 当0,0a b ==时，即00x ⨯=，方程有无数个解，即解为一切数◆ 当0,0a b =≠时，方程无解二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的可能性：◆ 当1112a b b b ≠时，方程组有唯一的解； ◆ 当111122a b c b b c =≠，方程组无解； ◆ 当111122a b c b b c ==时，方程组有无数多个解 练习：1．关于x 的方程53ax x =-无解，则a ＝ ；2．关于x 的方程2354mx x n -=-无解，则m ，n ；3．已知二元一次方程组3221ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，则a 的值是（ ） A ．a ＝－2 B ．a ＝6 C ．a ＝2 D ．a ＝－6参考答案：1、5； 2、5324m n =≠、； 3、D （此环节设计时间在50-60分钟）例题1：解关于x 的方程(1)32m x x -=+教法说明：首先回顾下等式的基本性质：等式的两边同乘以（除以）同一个不为零的数，等式的性质不变 参考答案：(3)22303330305m x m m m m x m m m x -=++-≠≠=--==⨯=解：原方程整理得当，即时，原方程的解为当，即时，原方程变为,所以原方程无解试一试：解关于x 的方程23ax b x -=-(2)332022203023203023a x b b a a x a a b a b a b a b -=---≠≠=--=-≠=≠-=-===解：原方程整理得当，即时，原方程的解为当，，即，时，所以原方程无解当，，即，时，所以原方程有无数个解例题2：解关于x 、y 的二元一次方程组 2(1)(20)3(2)mx y n m n nx y m +=⎧+≠⎨-=⎩教法说明：解关于字母系数的二元一次方程组通常用加减消元比较简便参考答案：222222(1)(2)2(2)662(1)(2)(2)3326232m n x m nm n x m nn m m n y n m n m y m nm n x m n n m y m n +⨯+=++=+⨯-⨯+=--=++⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解：得 得 所以原方程组的解为试一试：解关于x 、y 的方程组：1(0,0)2ax by a b bx ay -=⎧≠≠⎨+=⎩ 参考答案： 222222222222(1)(2)()22(1)(2)2()2222a b a b x a ba bx a b b a b y a b a by a b a b x a b a by a b ⨯+⨯+=++=+⨯-⨯+=--=++⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解：得 得 所以原方程组的解为例题3：若方程组223x y m x y +=-⎧⎨-=⎩的解x 与y 均为正数，求m 的取值范围．教法说明：要求学生会解简单的含字母系数的二元一次方程组，将本方程组中字母m 的看成是常数 参考答案：解：解方程组得1383m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 因为x 与y 均为正数，即00x y >⎧⎨>⎩ 所以103803m m +⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩. 解不等式组得， 8m >所以m 的取值范围是8m >．试一试：已知关于x y 、的二元一次方程组26322x y m x y m +=⎧⎨-=⎩的解满足二元一次方程435x y -=，求m 的值。

一次方程组的解法姓名：日期：【知识要点】1、 方程组的解：由几个一次方程组成的一组方程，叫做一次方程组，方程组里各个方程的公共解，叫做这个方程的解，求方程组得解的过程叫做解方程组. 2、 解方程组：解方程组得基本思想是消元，通过消元，把“三元”转化为“二元”，再把“二元”转化为“一元”.而代入法、加减法是消元法的两种基本方法.3、 含字母系数的方程组：基本思路是消元，将方程组的解得讨论转化为一元一次方程的讨论.在方程两边同时乘除以字母表示的系数时需辨明字母的取值是否为0.4、 含绝对值符号的方程组：基本思路与含绝对值符号的一元一次方程一样，先设法去掉绝对值符号，再求解.【典型例题】解方程组例1、 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++5231233z y x z y x z y x （代入消元法）例2、解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=-++215331223713y x y x （换元法）备课人：向海燕 课型：新课 教学目标：熟练掌握解方程组的基本思 想，通过观察，不同的题用不 同的方法. 重难点：代入法、加减法两种方法是解方程 组的基础，其它的方法的实质也是 围绕着两种方法展开的.例3、解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++(3) 201633(2)143163(1)103316z y x z y x z y x（整体叠加法）例4、关于x 和y 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=---=+-=+9)210(5108)8(965543y n m x y x m n y x y x 有解，求的22n m +值含字母系数的方程组例5、k 、b 为何值时，方程组⎩⎨⎧+-=+=2)13(x k y bkx y（1）有惟一一组解 （2）无解 （3）有无穷多组解含绝对值符号的方程组例6、解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+-421621y x y x思考：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+324356p r rp r q qr q p pq【练习与拓展】1、若⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=+57cy bx by ax 的解，则a 与c 的关系是（ ）A 、94=+c aB 、92=+c aC 、94=-c aD 、92=-c a2、方程组⎩⎨⎧=-=-412y kx y x 有且仅有一个解，则k 的值一定为（ ）A 、k=1B 、k=2C 、k 2≠D 、k=3 3、若0)223(4232=+-+-+yx y x ，则有（ ） A 、x=1,y=3 B 、x=-6,y=3 C 、x=3,y=6 D 、x=-3,y=64、方程组⎩⎨⎧=+=++224)2(2y x y x x 的解是_________________5、a 的相反数是2b+1,b 的相反数是3a+1,则22b a +=_______________ 6、若1-+y x 与3+-y x 互为相反数，则2007)(y x +=_____________7、解方程组 （1）⎩⎨⎧=+=+602220072008602320082007y x y x（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=--+27)107(5)5(2020)5(8)107(5y x x y （直接求解和换元法）（3）k 为何值时，关于x,y 的方程组⎩⎨⎧-=+-+=+xy x xk y kx 7824353有惟一的解？（4）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+1238y x y x8、已知3,2,1-=-==z y x 是三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=---=+-1533253444zk yn xm zk yn xm zk yn xm 的解，求k n m 372+-的值一次方程组的解法课后作业姓名： 家长签名：1、已知2007222==-=+cb a ，且kc b a 20072007=++，那么k 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、41- D 、4- 2、已知c a c b a +=+=321，则ba c+=______________ 3、解方程组（1）⎩⎨⎧-=-=+4321553y x y x （2） ⎩⎨⎧=++=185:3:1::z y x z y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-=-72512z y x y z z x （4）⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=++343341532zy z x z y x(5)已知方程组⎩⎨⎧=+=+783by x ay x 无解，求b a的值(6) ⎩⎨⎧=-=-++931322y x x y y x课前大练兵姓名： 日期：____________ 成绩:_____________1. 下列方程中，一元一次方程是（ ）A. 2X=1B. 3X –5C. 3+7=10D. X 2+X=1 2、下列变形正确的是（ ）A. 4x – 5 = 3x+2变形得4x –3x = –2+5B. 32x – 1 = 21x+3变形得4x –6 = 3x+18 C. 3(x –1) = 2(x+3) 变形得3x –1 = 2x+6 D. 3x = 2变形得x =323、当m = 时，代数式353+m 的值是2.4、解方程○12(x –2)+2=x+1 ○2y=31y++1○3)1(10+x –)12.0(5+x =1 ○43x– 619+x =15、将连续的偶数2，4，6，8，10，…，排成如下的数表.回答下列问题 （1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系 （2）设中间的数为a ,用代数式表示十字框中的五个数之和.（3）若将十字框上下左右平移，可框住另外五个数，试问这五个数有这种规律吗？ （4）十字框的五个数之和能等于510吗？若能写出这五个数；若不能说明理由.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

8
4
．
解：（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），
去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，
移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，
系数化1，得：x＜1．
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
5．（2021•武汉）解不等式组
2x x 1 ① 4x 10 x 1 ②
考点一：不等式的性质
C 1．（2021•常德）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5
B．﹣5a＜﹣5b
C． a b
cc
D．a+c＞b+c
考点一：不等式的性质
2．（2021•临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，
A 则a+b＜2b；④若b＞0，则 1 1 ，其中正确的个数是（ ） ab
性质3：不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的。方向改变
知识点梳理：
二、一元一次不等式(组)及其解法
一元一次不等 含有一个未知数,未知数的次数是
1
式定义
的不等式
解一元一次不 等式的步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
一元一次 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,
不等式组 就组成一个一元一次不等式组
3．（2021•南京）解不等式1+2（x﹣1）≤3，并在数轴上表示解集． 解： 1+2（x﹣1）≤3， 去括号，得1+2x﹣2≤3． 移项、合并同类项，得2x≤4． 化系数为1，得x≤2．
表示在数轴上为：
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
Hale Waihona Puke 4．（2021•泰安）（2）解不等式： 1- 7x 1 3x 2