东三省长春、哈尔滨、沈阳、大连第二次联考数学试卷文科

哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2023年高三第二次联合模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.已知集合{}1,2,3A =，{}20B x x x m =-+=，若{}2AB =，则B =（ ）A.{}2,1B.{}2,4C.{}2,3D.{}2,1-2.已知复数z 满足24i z z +=+，则z =（ ） A.34i +B.34i -C.34i -+D.34i --3.已知向量()1,0a =，1,22b ⎛=-⎝⎭，则a b -=（ ） A.3C.14.有7名运动员（5男2女）参加A 、B 、C 三个集训营集训，其中A 集训营安排5人，B 集训营与C 集训营各安排1人，且两名女运动员不在同一个集训营，则不同的安排方案种数为（ ） A.18B.22C.30D.365.两条直线()0y kx k =>和2y kx =-分别与抛物线24y x =交于异于原点的A 、B 两点，且直线AB 过点()1,0，则k =（）A.12B.1D.26.如图，直角梯形ABCD 中，3AB CD =，30ABC ∠=︒，4BC =，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（ ）A.1123πB.48πC.128πD.208π7.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且在[]0,1上单调递减，若方程()10f x +=在[)0,1有实数根，则方程()1f x =在区间[)1,11-上所有实数根之和是（ ） A.6B.12C.30D.568.已知三个互异的正数a ，b ，c 满足2ln cc aa=+，()21ab =+，则关于a ，b ，c 下列判断正确的是（ ） A.a b c <<B.a b c >>C.2a c b -<-D.2a c b ->-二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A.()f x 为偶函数B.()f x 的最小正周期是πC.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D.()f x 的最小值为1-10.金枪鱼因为肉质柔嫩鲜美、营养丰富深受现代人喜爱，常被制作成罐头食用.但当这种鱼罐头中的汞含量超过1.0mg/kg 时，食用它就会对人体产生危害.某工厂现有甲、乙两条金枪鱼罐头生产线，现从甲、乙两条生产线中各随机选出10盒罐头并检验其汞含量（单位为mg/kg ），其中甲生产线数据统计如下：0.07，0.24，0.39，0.54，0.61，0.66，0.73，0.82，0.95，0.99，其方差为210.08s =.乙生产线统计数据的均值为20.4x =，方差为220.11s =，下列说法正确的是（ ）A.甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.82B.甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.775C.由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值高于两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值D.由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值较两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值更稳定11.已知正方体1111ABCD A B C D -E ，F 是棱1DD ，1CC 的中点，点M 是侧面11CDD C 内运动（包含边界），且AM 与面11CDD C 所成角的正切值为2，下列说法正确的是（ ）A.1MC 2B.存在点M ，使得AM CE ⊥C.存在点M ，使得AM ∥平面BDFD.所有满足条件的动线段AM 形成的曲面面积为612.已知函数()()1,*mn f x x m n N x=+∈，下列结论正确的是（ ） A.对任意m ，*n N ∈，函数()f x 有且只有两个极值点 B.存在m ，*n N ∈，曲线()y f x =有经过原点的切线 C.对于任意10x >，20x >且12x x ≠，均满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭D.当0x >时，()()f x f x -≤恒成立第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，21Pa 1N/m =），已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化规律是0khp p e -=，其中0p 是海平面大气压强，10.000126m k -=.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的13，则高山上该处的海拔为______米.（答案保留整数，参考数据ln3 1.1≈） 14.曲线22x y x y +=+围成的图形的面积是______.15.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，过点F 且斜率为2的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于M 、N 两点，若P 是线段MN 的中点，且PF =，则双曲线的离心率为______. 16.A 、B 、C 、D 、E 五个队进行单循环赛（单循环赛制是指所有参赛队在竞赛中均能相遇一次），胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分.若A 队2胜2负，B 队得8分，C 队得9分，E 队胜了D 队，则D 队得分为______.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.（本小题满分10分）记ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()21cos 4bc A a +=.（1）证明：3b c a +=； （2）若2a =，7cos 9A =，角B 的内角平分线与边AC 交于点D ，求BD 的长. 18.（本小题满分12分）调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或“否”回答.（1）共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；（2）现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出两个有待改进的问题.（ⅰ）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为13，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问题，求某个问题能够被解决的概率0p ；（ⅱ）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为0p ，并且都相互独立.物业每解决一个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%，试估计至少要访谈多少位业主？ 19.（本小题满分12分）如图，已知斜四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，点1A 在底面ABCD 的射影为O ，且11AD BC CD AA ====，2AB =，112AO =，1AA BC ⊥.（1）求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；（2）若M 为线段11B D 上一点，且平面MBC 与平面ABCD 夹角的余弦值为7，求直线1A M 与平面MBC所成角的正弦值. 20.（本小题满分12分） 已知数列{}n a ，设()12*nn a a a m n N n+++=∈，若{}n a 满足性质Ω：存在常数c ，使得对于任意两两不等的正整数i 、j 、k ，都有()()()k i j i j m j k m k i m c -+-+-=，则称数列{}n a 为“梦想数列”. （1）若()2*nn b n N =∈，判断数列{}n b 是否为“梦想数列”，并说明理由； （2）若()21*n c n n N =-∈，判断数列{}n c 是否为“梦想数列”，并说明理由； （3）判断“梦想数列”{}n a 是否为等差数列，并说明理由. 21.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，x 轴被抛物线22:4x C y b =-截得的线段长与1C 长轴长的比为2:3.（1）求1C 、2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A 、B ，直线MA 、MB 分别与1C 相交与D 、E .（ⅰ）设直线MD 、ME 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k 的值； （ⅱ）记MAB △、MDE △的面积分别是1S 、2S ，求12S S 的最小值. 22.（本小题满分12分）已知函数()()ln 10f x x ax a =-->.（1）当1a =时，求过原点且与()f x 相切的直线方程；（2）若()()()0axg x x e f x a =+⋅>有两个不同的零点1x 、()2120x x x <<，不等式212mx x e ⋅>恒成立，求实数m 的取值范围.三省三校第二次模拟答案一、单选题二、多选题三、填空题：13、873014、2π+15 16、18.2ln 2ln c c a a -=-考虑：()()2ln 0f x x x x =->，则()221x f x x x-'=-= ()f x 在()0,2递减；()f x 在()2,+∞递增()()()min 221ln 20f x f ==->（1）当02a <<，2c >时，21a+=设()x xg x =+，是减函数，且()21g =()()2121aaag a g b a =+>=⇒=+>⇒> 2212152a b =+<+=⇒<所以，22c b a a c b >>>⇒->-（2）当02c <<，2a >时，同理可得：22a b c a c b >>>⇒->- 综上可得：2a c b ->-成立. 12.如图：（1）在第一象限+都是凹函数（二阶导数大于零） （2）图二、图三有过原点的切线 （3）极值点的个数是一个或两个（4）当m ，n 同奇数或同偶数时，()()f x f x =-；当m ，n 是一奇，一偶数时，()()f x f x >-； 15.设()11,M x y ，()22,N x y ，()00,P x y2211222222222200MN OP x y b a b k k a x y a b ⎧-=⎪⎪⇒⋅=⎨⎪-=⎪⎩，则OP 的方程为222b y x a =，MN 的方程为：()2y x c =- ()222224242P b y xa c x c OP e a ab y xc ⎧=⎪⇒==+⇒=⎨-⎪=-⎩16.A 队：2胜2负（无平局） C 队：3胜1负（无平局）B 队：2胜2平，则B 队和D 、E 是平局；B 队胜了A 、C这样找到了C 队负的一场，输给B 队 这样B 、C 结束；A 队赢D 、E 最后，E 胜D ，则D 的1分.四、解答题17.（本题满分10分）（1）证明：()222221cos 4142b c a bc A a bc a bc ⎛⎫+-+=⇒+= ⎪⎝⎭()229b c a +=，则3b c a +=……5'（2）由余弦定理得：2222cos a b c b A =+-，则9bc =，又3b c a +=，则3b c ==由角分线可得，95AD =所以，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos BD AD c AD c A =+-⋅，BD =10'18.（本题满分12分）（1）记：事件A =“业主对物业工作表示满意”，则()()2316035521004P A P A ⋅+⋅=⇒= 所以，35003754⨯=（人）……4' 答：该小区业主对物业工作表示满意的人数约为375人.（2）（ⅰ）3245345055512121173333381P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……8' （ⅱ）设至少要访谈n 位业主31738101280%10047.6481417n n ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅⋅≥-⨯⇒≥≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答：至少要访谈48位业主.……12' 19.（本题满分12分）（1）证明：等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD AD ===则，60ABC ∠=︒……2'1BC ACBC BC AA ⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩平面11A ACC ，BC ⊂平面ABCD ，则平面ABCD ⊥平面11A ACC ，……4' （2）建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则)A，()0,1,0B，2O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，131,0222CD BA ⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭ 1133,022B DBD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，1112DD AA ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，1110,,22D⎛⎫- ⎪⎝⎭ 设111,0D M D B λ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，131,,222M λ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭ (6)'设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =131022220n CM y z n CB y λλ⎧⎛⎫⎧⋅-++=⎪⎪ ⎪⇒⎨⎨⎝⎭⋅⎪⎪⎩=⎩，取1x =，则()1,0,n =-……8' 取平面ABCD 的法向量()0,0,1m =221cos ,417m n m n m nλ⋅==⇒=，则12λ= 即：11,04A M ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，1,0,n ⎛= ⎝⎭……10' 设直线1A M 与平面MBC 所成的角为θ，则1113sin cos ,7A M n A M n A M nθ⋅===⋅所以，直线1A M 与平面MBC……12' 20.（本题满分12分）（1）()()()k i j i j m j k m k i m c -+-+-=()()()k j i j i m i k m k j m c -+-+-=所以，0c =当2nn b =时，12m =，23m =，3143m =()()()142612232313033-+-⋅+-⋅=≠所以，{}n b 不是“梦想数列”……4' （2）21i a i =-，21j a j =-，21k a k =-()()()2220k i j i j j k k i k i j-+-+-=所以，{}n c 不是“梦想数列”……6'（3）①令1i =，2j =，3k = ()()()1231121223310312a a a a a a +++-+-+-= 所以，1322a a a +=，即：1a 、2a 、3a 成等差数列……8' ②令1i =，2j =，()3k n n =≥ ()()()21122102n S S n a n n -+-+-= ()()2122310n S n n a n n a +---= ()()21122210n S n n a n n a ++---+= 所以，11121122220n n a na a na a a nd +++--=⇒=+ 所以，()()114n a a n d n =+-≥，当1,2,3n =时也成立. 综上可得，“梦想数列”{}n a 是等差数列. ……12' 21.（本题满分12分）（1）椭圆方程：()222210x y a b a b+=>>13323c b a a ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨=⎩=，所以，221:19x C y +=，221:14C y x =-……4' （2）设直线l 的方程为y kx =，()11,A x y ，()22,B x y22440114y kxx kx y x =⎧⎪⇒--=⎨=-⎪⎩，则121244x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩……6' 又111114y x k x +==，12121164x x k k ==- 联立122114014y k x x k x x y =-⎧⎪⇒-=⎨=-⎪⎩，则114x k =，同理：224x k = 联立()1221122191180990y k x k x k x x y =-⎧⇒+-=⎨+-=⎩ 13211891k x k =+，同理：24221891k x k =+……8' ()()2211221sin 429191181sin 2MA MB AMBS k k S MD ME DME ∠==++∠……10' 2121481916919811616324k k ⎛⎫=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当112k =±时，取等号 所以，12S S 的最小值为169324. ……12' 22.（本题满分12分）（1）()f x 的定义域为()0,+∞ ()111f x a x x'=-=- 设切点坐标()000,ln 1x x x -+，则切线方程为：()()00001ln 11y x x x x x ⎛⎫--+=--⎪⎝⎭把点()0,0带入切线得：20x e =所以，()f x 的切线方程为：221e y x e-=……4' （2）()()ln 1axg x x ex ax =+--有两个不同零点，则()()()ln ln 10ln 1ln 10ax x ax ax xx e x ax x ax e x ax e-+--=⇒+--=+--=……6' 构造函数()1xu x e x =+-，()1xu x e '=+()u x 为(),-∞+∞增函数，且()00u =即：ln 0x ax -=有两个不等实根1122ln ln ax x ax x =⎧⎨=⎩令1122ln ln x x t x x ==，()01t <<，则12ln ln x t x =，12ln ln ln x x t =+ 122ln 2ln ln 1t x x t t ++=-……8' 设()()2ln 011x v x x x x +=<<-，()()22123ln 1x x v x x x x ⎡⎤+-'=-+⎢⎥-⎣⎦ 设()23ln 1x x x xφ=-+-+，()()()212x x x x φ--'= ()x φ在()0,1递增，()10φ=，则()v x 在()0,1递减，且()10v =所以，()v x 的最小值()1v ，……10' ()()()112ln lim 2ln 31x x x x x x x =→+'=+=-所以，()v x 的最小值为3，即：m 的取值范围为(],3-∞. ……12'。

2020年东北三省⾼三第⼆次联合模拟⽂科数学试题（解析数学试题⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的⼦集，且（?U A）∩B＝{3}，（?U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，6}C．{1，2}D．{1，2，3，4，5} 2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平⾯内对应的点所在的象限为（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限3．若实数x、y满⾜，则y﹣x的最⼤值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣94．已知α，β是两个不同的平⾯，直线m?α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β5．课堂上数学⽼师和同学们做游戏，随机询问甲、⼄、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；⼄说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有⼀个⼈说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．⼄C．丙D．丁6．已知正项等⽐数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12B．8+log25C．5D．187．我国古代劳动⼈民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等⼯程中，积累了丰富的经验，总结出了⼀套有关体积、容积计算的⽅法，这些⽅法以实际问题的形式被收⼊我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底⾯为长⽅形且有⼀条侧棱与底⾯垂直的四棱锥称之为阳马，如图所⽰的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1C．2D．38．已知两个不相等的⾮零向量，满⾜，且与的夹⾓为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中⼼对称B．f（x）的极⼩值为C．f（x）的最⼩正周期为πD．f（x）图象的⼀条对称轴为11．已知双曲线上存在⼀点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）?xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．9⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校⾼⼀、⾼⼆、⾼三共有学⽣1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采⽤分层抽样的⽅法，从这1800名学⽣中抽取⼀个容量为36的样本．若从⾼⼀、⾼⼆、⾼三抽取的⼈数恰好是从⼩到⼤排列的连续偶数，则我校⾼三年级的学⽣⼈数为．14．已知实数a、c满⾜c＜1＜a，关于x的不等式的解集为．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的⽅程为．16．设△ABC的内⾓A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满⾜BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的⾯积S＝．三、解答题：共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．（⼀）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2?a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平⾯ABCD⊥平⾯P AD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当P A＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．19．2022年冬奥会将由北京和张家⼝联合举办，其中冰壶⽐赛将在改造⼀新的⽔⽴⽅进⾏．⼥⼦冰壶⽐赛将由来⾃全球的⼗⽀最优秀的队伍参加，中国⼥⼦冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来⾃亚洲的中国队、⽇本队和韩国队，来⾃美洲的加拿⼤对和美国队，以及来⾃欧洲的瑞⼠队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每⽀球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的⽅式从三个⼤洲的运动员中抽取10名运动员，则每个⼤洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿⼤对、瑞⼠队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若⽐赛的揭幕战随机的从这五⽀球队中选择两⽀球队出站，求中国队被选中的概率．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，若函数f（x）与g（x）图象交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x2＞x1）两点，求实数a的取值范围21．已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB的⾯积为1，其中O为坐标原点．（Ⅰ）为定值；（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|?|AB|的最⼤值．（⼆）选考题：共10分．请考⽣在第22、23题中任选⼀题作答．如果多做，则按所做的第⼀题计分，作答时⽤2B铅笔在答题卡上把所选题⽬对应的题号涂⿊．[选修4-4：坐标系与参数⽅程]22．在直⾓坐标系xOy中，直线l的⽅程是y＝2，曲线C的参数⽅程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标⽅程；（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上⼀点，是直线l上⼀点，求的最⼤值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．（Ⅰ）当c＝5时，求的最⼩值；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的⼦集，且（?U A）∩B＝{3}，（?U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，6}C．{1，2}D．{1，2，3，4，5}根据两个集合的交集，看出两个集合中都含有这两个元素，根据A 的补集与B的交集的元素，看出B中不含有元素6，得到结果．因为集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的⼦集，且（?U A）∩B＝{3}，（?U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，所以：3∈B，6?B，1，2∈B，4，5?B，4，5?A；故集合B＝{1，2，3}．故选：A．本题考查⼦集与交集，并集的转换，是⼀个基础题，本题典型的解法是利⽤⽂恩图看出集合B中的元素．2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平⾯内对应的点所在的象限为（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限利⽤复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．因为a+2i＝（1﹣i）（1+bi）＝（1+b）+（b﹣1）i，∴a＝1+b且2＝b﹣1；所以：a＝4，b＝3；∴复数a﹣bi在复平⾯内对应的点（4，﹣3）所在的象限为第四象限．故选：D．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数的代数表⽰法及其⼏何意义，是基础题．3．若实数x、y满⾜，则y﹣x的最⼤值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣9画出可⾏域，将⽬标函数变形画出相应的直线，将直线平移⾄B时纵截距最⼤，z最⼤．画出的可⾏域如图：B（6，6）．令z＝y﹣x变形为y＝x+z作直线y＝x将其平移⾄B（6，6）时，直线的纵截距最⼤，最⼤为：0．故选：B．本题主要考查利⽤线性规划求函数的最值，关键是将⽬标函数赋予⼏何意义．4．已知α，β是两个不同的平⾯，直线m?α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β直接利⽤线⾯垂直和平⾏的判定和性质的应⽤求出结果．对于选项A：若α⊥β，则m∥β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m∥β，故错误．对于选项C：若m∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误．对于选项D，直线m?α，m⊥β，则α⊥β是⾯⾯垂直的判定，故正确．故选：D．本题考查的知识要点：线⾯垂直和平⾏的判定和性质的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转换能⼒及思维能⼒，属于基础题型．5．课堂上数学⽼师和同学们做游戏，随机询问甲、⼄、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；⼄说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有⼀个⼈说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．⼄C．丙D．丁根据题意判断其中两⼈说话⽭盾，有⼈说话，其他⼈说真话，可推出．由⼄说：“丁未完成作业，与丁说：“我完成作业了”，则⼄丁有⼀⼈说谎，则甲丙说的真话，可知丙完成作业了，丁未完成作业，进⽽可以判断丁说了假话．故选：D．本题考查简单的合情推理，属于基础题．6．已知正项等⽐数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12B．8+log25C．5D．18本题先根据平⾏向量的坐标运算可得a2?a8＝16，再根据等⽐中项的知识，可计算出a5＝4，在求和时根据对数的运算及等⽐中项的性质可得到正确选项．由题意，向量，则8?2﹣a2?a8＝0，即a2?a8＝16，根据等⽐中项的知识，可得a2?a816，∵a5＞0，∴a5＝4，∴log2a1+log2a2+…+log2a9＝log2（a1a2 (9)＝log2[（a1a9）?（a2a8）?（a3a7）?（a4a6）?a5]＝log2a59＝9log24＝18．故选：D．本题主要考查等⽐数列的性质应⽤，以及数列与向量的综合问题．考查了转化与化归思想，平⾏向量的运算，对数的计算，逻辑思维能⼒和数学运算能⼒．本题属中档题．7．我国古代劳动⼈民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等⼯程中，积累了丰富的经验，总结出了⼀套有关体积、容积计算的⽅法，这些⽅法以实际问题的形式被收⼊我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底⾯为长⽅形且有⼀条侧棱与底⾯垂直的四棱锥称之为阳马，如图所⽰的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1C．2D．3由三视图还原原⼏何体，可知该⼏何体为四棱锥，底⾯ABCD为矩形，AB＝2，AD＝3，侧棱P A⊥底⾯ABCD，且P A＝1．再由棱锥体积公式求解．由三视图还原原⼏何体如图，可知该⼏何体为四棱锥，底⾯ABCD为矩形，AB＝2，AD＝3，侧棱P A⊥底⾯ABCD，且P A＝1．∴该⼏何体的体积V．故选：C．本题考查由三视图求⾯积、体积，关键是由三视图还原原⼏何体，是中档题．8．已知两个不相等的⾮零向量，满⾜，且与的夹⾓为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．如图所⽰，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最⼩，求出最⼩值，没有最⼤值，即可得到结果．如图所⽰，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最⼩，此时，则||，⽽||没有最⼤值，故则的取值范围为[，+∞），故选：D．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其⼏何意义，属于基础题．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．由已知结合同⾓平⽅关系，诱导公式及⼆倍⾓公式进⾏化简即可求解．∵，则sin（60°+α）＝sin（90°﹣30°+α）＝cos（α﹣30°）＝cos（30°﹣α），＝1﹣2sin2（15°﹣α）＝1．故选：A．本题主要考查了诱导公式及⼆倍⾓公式在三⾓化简求值中的应⽤，属于基础试题．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中⼼对称B．f（x）的极⼩值为C．f（x）的最⼩正周期为πD．f（x）图象的⼀条对称轴为借助于三⾓函数的性质逐项进⾏判断，选出正确选项．对于A选项，f（x）关于（0，1）中⼼对称，⾸先表达错误，应该说f（x）的图象关于某个点中⼼对称，其次f（x）+f（﹣x）＝2cos x+2不恒等于2，所以A错误；对于B选项，∵f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1∴f′（x）＝cos x﹣sin x+cos2x，令f′（x）＝0有sin x＝cos x或sin x+cos x＝﹣1．当sin x＝cos x＝±时，有f（x）＝±，当sin x+cos x＝﹣1时，两边平⽅可得1+2sin x cos x＝1，sin x cos x＝0，此时f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1＝0，所以f（x）的极⼩值不可能为，所以B错误；对于C选项，f（x+π）＝﹣sin x﹣cos x+sin x cos x+1≠f（x），所以π不是f（x）的最⼩正周期，所以C错误；对于D选项，∵f（）＝sin（）+cos（）+sin（）cos （）+1＝cos x+sin x+sin x cos x+1＝f（x），∴f（）＝f（x），所以f（x）图象的⼀条对称轴为x，故D正确．故选：D．本题考查三⾓函数的性质，属于中档题．11．已知双曲线上存在⼀点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．利⽤已知条件，推出a的关系式，即可求解结果．双曲线上存在⼀点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，可知MAOB是正⽅形，MO，所以双曲线的实半轴长的最⼤值为，所以a∈．故选：B．本题考查双曲线的简单性质，圆的切线性质的应⽤，考查分析问题解决问题的能⼒，是中档题．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）?xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．9把f（x）的零点转化为a﹣3的零点，令t＝3，t∈（0，+∞），可得⽅程9t2﹣（51+a）t+81＝0有两实根t1，t2，由判别式⼤于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得6，t1t2＝9，进⼀步得到t1＞3，3，结合x1＜1＜x2＜x3，可得3，3，33，则可知t1，3t2，则．f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）?xlnx+3（3﹣a）x2＝0（a﹣3）（xlnx﹣3x2）＝﹣9（lnx）2a﹣3，令t＝3，则，t∈[3，+∞），a﹣39t2﹣（51+a）t+81＝0．设关于t的⼀元⼆次⽅程有两实根t1，t2，∴△＝（51+a）2﹣4×9×81＞0，可得a＞3或a＜﹣105．∴6，t1t2＝9．⼜∵t1+t2，当且仅当t1＝t2＝3时等号成⽴，由于t1+t2≠6，∴t1＞3，3（不妨设t1＞t2）．∵x1＜1＜x2＜x3，∴3，3，33．则可知t1，3t2．∴．故选：A．本题考查函数零点与⽅程根的关系，考查数学转化思想⽅法，考查⼀元⼆次⽅程根的分布，属难题．⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校⾼⼀、⾼⼆、⾼三共有学⽣1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采⽤分层抽样的⽅法，从这1800名学⽣中抽取⼀个容量为36的样本．若从⾼⼀、⾼⼆、⾼三抽取的⼈数恰好是从⼩到⼤排列的连续偶数，则我校⾼三年级的学⽣⼈数为700．设从⾼三年级抽取的学⽣⼈数为2x⼈，由题意利⽤分层抽样的定义和⽅法，求出x的值，可得⾼三年级的学⽣⼈数．设从⾼三年级抽取的学⽣⼈数为2x⼈，则从⾼⼆、⾼⼀年级抽取的⼈数分别为2x﹣2，2x﹣4．由题意可得2x+（2x﹣2）+（2x﹣4）＝36，∴x＝7．设我校⾼三年级的学⽣⼈数为N，再根据，求得N＝700，故答案为：700．本题主要考查分层抽样，属于基础题．14．已知实数a、c满⾜c＜1＜a，关于x的不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．由已知可转化为⼆次不等式即可求解．由题意可得（x﹣a）（x﹣c）≥0且x≠1，因为c＜1＜a，所以x≥a或x≤c，故不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．故答案为：{x|x≥a或x≤c}．本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应⽤．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的⽅程为y2＝4x．由抛物线的⽅程可得焦点F的坐标，由向量的关系可得F为AM的中点，可得A的横坐标，代⼊抛物线的⽅程可得A的纵坐标，进⽽求出直线AB的⽅程与抛物线联⽴求出两根之和，再由抛物线的性质可得AB的值，由题意可得p的值，进⽽求出抛物线的⽅程．由题意如图所⽰，因为，F为AM的中点，所以AF＝AA'＝NF＝2p，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以2p＝x1，所以x1，代⼊抛物线的⽅程可得y1p即A（，p）所以k AB，所以直线AB的⽅程为：y（x），直线与抛物线的⽅程联⽴可得：，整理可得：3x2﹣5px0，x1+x2，由抛物线的性质可得AB＝x1+x2+p p，解得p＝2，所以抛物线的⽅程为：y2＝4x，故答案为：y2＝4x．本题考查向量与点的位置关系，以及抛物线的性质，属于中档题．16．设△ABC的内⾓A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满⾜BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的⾯积S＝．（l）利⽤余弦定理容易求出B的⼤⼩；（2）引⼊⾓α＝∠DBC，根据BD＝DC得α＝C，再利⽤内⾓和定理将A⽤α表⽰出来，最后在△ABD中利⽤正弦定理可求出α，问题迎刃⽽解．（1）根据题意（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，化简得a2+c2﹣b2＝ac，所以cos B，∵B∈（0，π），∴B；（2）做出图形如下：由题意不妨设∠DBC＝α，则∠ABDα，∠C＝α，所以Aα，在△ABD中由正弦定理得，将AD＝1，BD＝2代⼊化简得，∴．∴A，C，易得AB．∴．故答案为：．本题考查三⾓形中的⼏何计算问题，涉及内⾓和定理、正余弦定理的应⽤，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．（⼀）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2?a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．本题第（Ⅰ）题先根据数列是公差不为0的等差数列可知1，再列出、、关于d的表达式，根据a2?a3＝a8有?，代⼊表达式可得关于d的⽅程，解出d的值，即可得到等差数列的通项公式，进⼀步可得数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运⽤裂项相消法计算前n项和S n．（Ⅰ）由题意，可知1，1+d，1+2d，1+7d，∵a2?a3＝a8，∴?，即（1+d）（1+2d）＝（1+7d），整理，得d2﹣2d＝0，解得d＝0（舍去），或d＝2．∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴a n＝（2n﹣1）2，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，[]，∴S n＝b1+b2+…+b n（1）（）[][1][1]．本题主要考查数列求通项公式的计算，以及运⽤裂项相消法计算前n项和．考查了转化与化归思想，⽅程思想，裂项相消法的运⽤，以及逻辑思维能⼒和数学运算能⼒．本题属中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平⾯ABCD⊥平⾯P AD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当P A＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．（Ⅰ）推导出BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，从⽽PD⊥平⾯P AB，由此能证明PD⊥PB；（Ⅱ）取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，证明PO⊥平⾯ABCD，再由棱锥体积公式求解．证明：（Ⅰ）∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD，∵平⾯ABCD⊥平⾯P AD，交线为AD，∴BA⊥平⾯P AD，从⽽BA⊥PD，∵∠APD＝90°，∴AP⊥PD，∵BA∩AP＝A，∴PD⊥平⾯P AB，∵PB?平⾯P AB，∴PD⊥PB；解：（Ⅱ）∵P A＝PD，取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，由平⾯ABCD⊥平⾯P AD，交线为AD，得PO⊥平⾯ABCD．⼜∠APD＝90°，AD＝2，得PO＝1，∴．即三棱锥P﹣BCD的体积为．本题考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查空间想象能⼒与思维能⼒，训练了多⾯体体积的求法，是中档题．19．2022年冬奥会将由北京和张家⼝联合举办，其中冰壶⽐赛将在改造⼀新的⽔⽴⽅进⾏．⼥⼦冰壶⽐赛将由来⾃全球的⼗⽀最优秀的队伍参加，中国⼥⼦冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来⾃亚洲的中国队、⽇本队和韩国队，来⾃美洲的加拿⼤对和美国队，以及来⾃欧洲的瑞⼠队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每⽀球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的⽅式从三个⼤洲的运动员中抽取10名运动员，则每个⼤洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿⼤对、瑞⼠队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若⽐赛的揭幕战随机的从这五⽀球队中选择两⽀球队出站，求中国队被选中的概率．（Ⅰ）利⽤分层抽样法求出从亚洲、美洲、欧洲运动员中抽取的⼈数；（Ⅱ）利⽤列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．（Ⅰ）利⽤分层抽样法从亚洲运动员中抽取103（⼈），从美洲运动员中抽取102（⼈），从欧洲运动员中抽取105（⼈）；（Ⅱ）从“加拿⼤队、瑞⼠队、英国队、瑞典队和中国队”中任选两队，基本事件是{加拿⼤队，瑞⼠队}，{加拿⼤队，英国队}，{加拿⼤队，瑞典队}，{加拿⼤队，中国队}，{瑞⼠队，英国队}，{瑞⼠队，瑞典队}，{瑞⼠队，中国队}，。

一、单选题二、多选题1. 命题“存在实数，使”的否定是（ ）A ．不存在实数，使B ．存在实数，使C ．对任意的实数x，都有D ．对任意的实数x，都有2. 在正方体中，、分别是线段、上的动点，且直线与所成的角为，则下列直线中与所成的角必为的是（ ）．A．B．C．D．3. 已知，，则A ．1B ．-1C ．2D ．-24. 已知菱形沿对角线向上折起，得到三棱锥分别是棱的中点.设三棱锥的外接球为球，则下列结论正确的个数为（）①；②上存在点，使得平面；③当二面角为时，球的表面积为.④三棱锥的体积最大值为1.A ．1B ．2C ．3D ．45.过抛物线焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，则（ ）A．B．C ．1D ．166. 复数，则（ ）A．B．C．D．7. 数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）A．B．C．D．8. 已知，则（ ）A ．有最大值1B ．有最小值1C ．有最大值2D ．有最小值2东北三省三校2022届高三第二次联合模拟考试数学（文科）试题东北三省三校2022届高三第二次联合模拟考试数学（文科）试题三、填空题四、解答题9. 已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）A ．在上单调递增B ．是的一个对称中心C．是奇函数D ．在区间上的值域为10. 下列说法不正确的是（ ）A ．存在，使得B．函数的最小正周期为C ．函数的一个对称中心为D ．若角的终边经过点，则角是第三象限角11.设函数，则关于函数说法正确的是（ ）A ．函数是偶函数B ．函数在单调递减C ．函数的最大值为D ．函数图像关于点对称12. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（）A ．射线所在直线的斜率为，则B．当时，C ．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13D．若点坐标为，直线与相切，则13.已知，设，①当时，的最大值为______.②当时，的最大值为______.14.在中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则的最大值为______15.已知函数，.给出下列四个结论：①；②存在，使得；③对于任意的，都有；④.其中所有正确结论的序号是___________.16. 如图，已知双曲线的方程为（），两条渐近线的夹角为，焦点到渐近线的距离为．、两动点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，是直线与双曲线右支的一个公共点，.（1）求双曲线的方程；（2）当时，求的取值范围；（3）试用表示的面积，设双曲线上的点到其焦点的距离的取值范围为集合，若，求的取值范围.17. 直三棱柱中，为正方形，，，为棱上任意一点，点、分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)当点为中点时，求直线和平面所成角的正弦值.18.如图，在三棱柱中，平面ABC，D为线段AB的中点，，，，三棱锥的体积为8．(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．19.已知椭圆C： (a>b>0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为其上一动点，且三角形PF1F2面积的最大值为，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使·＝m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值．20. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.21. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为(1)求双曲线C的方程；(2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围.。

2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二）数 学（参考答案）一、单项选择题：1．D 2．B 3. A 4．C 5.A 6．C 7.B 8.C 二、多项选择题:6．()662163264P A −==，事件AB =“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴” 则()345666641264C C C P AB ++==，则()()()4163P AB P B A P A == 【答案】C7. 直线1PA ，1PB ，1PC ，1PD 与平面1111A B C D 所成角大小分别为1θ，2θ，3θ，4θ等价于直线1PA ，1PB ，1PC ，1PD 与直线1AA ，1BB ，1CC ，1DD 成角大小分别为12πθ−，22πθ−，32πθ−,42πθ−，由13θθ=，可知P 在线段BD 上，又24θθ>，则2422ππθθ−<−，1PB 与1BB 成角更小，则点P 在线段OB 上 【答案】B8.由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，则A ，B 显然错误，对于C ，D 而言，()2()e ()e ()()e e x x x x f x f x f x f x y ''−−'==，由图像可知(),0x ∈−∞，()e xf x y =单调递增，()0,x ∈+∞，()e x f x y =单调递减，所以函数()e xf x y =在0x =处取得最大值为1 【答案】C 9. 由实系数一元二次方程求根公式知i z i z 2321,232121−−=+−=，21,z z 是1的两个立方虚根， 则222123212321z i i z =−−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=(与21,z z 顺序无关），A 正确； 因为13231==z z ，所以03231=−z z ，B 正确；0122221≠−=−z z z z ，C 错误；2121111z z z z z ===，D 正确.【答案】ABD10．已知所有棱长都相等，不妨设为1.A ：过S 作直线l ∥AD ，则l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点E ，BC 中点F ，连接ES ，FS ， 则∠ESF 为二面角A-l -B 的平面角，连接EF ，在△EFS 中， cos∠ESF =(√3)2+(√3)2−12(√32)2 = 13≠0所以平面SAD 与平面SBC 不垂直，故A 错；B ：取SB 中点G ，SC 中点H ，连接OGH ，可知平面OGH ∥平面SAD ，所以当P ∈GH 时，OP ∥平面SAD ，这样的点P 有无穷多，故B 正确；C ：由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成的角最大， cos∠SEO =12√32=√33>12，所以∠SEO<π3，所以不存在Q 使得SQ 与底面ABCD 成的角为π3，故出错误；D ：作OI 垂直于MN ，连接SI ，则∠SIO 为二面角S-MN-O 的平面角，当MN 都无限向点B 靠拢时，∠SIO →π4；当M →A ，N →C 时，∠SHO →π2， 所以二面角S-MN-O 范围是(π4，π2)，故D 正确. 【答案】BD 11.A ：|a n |=1(n−c )2+1，|a n+1|=1(n+1−c )2+1，(n +1−c )2+1−[(n −c )2+1]=2n +1−2c因为c ≤1,n ∈N ∗，所以2n +1−2c >0 所以(n +1−c )2+1>(n −c )2+1 所以|a n+1|<|a n |，即数列{||}n a 单调递减，故A 正确； B ：a 1=−1(1−c )2+1<0当n 为偶数时，1n a a ≥必成立，c 任意；当n 为奇数且n ≥3时，1n a a ≥为−1(n−c )2+1≥−1(1−c )2+1 等价于(n −c )2+1≥(1−c )2+1 等价于c ≤n+12，而(n+12)min=2，所以c ≤2. 综上c ≤2，故B 错误；C ：显然当i,j 同奇或同偶时，必有0i j a a +≠当i 为奇数，j 为偶数时，a i +a j =−1(i −c )2+1+1(j −c )2+1=(i +j −2c )(i −j )[(i −c )2+1][(j −c )2+1]因为i+j 为奇数，2c 为偶数，*c ∈N ，所以i +j −2c ≠0， 所以0i j a a +≠，故C 正确；D ：先考虑最大项，最小项和为0，再调整： 若和为0，则c 必为相邻两整数正中间，如：上图是c=3.5情形，a 3+a 4=0；当c →3.4时，会有|a 3|>|a 4|,a 3+a 4<0,如下图——当c →3.6时，会有|a 3|<|a 4|,a 3+a 4>0,如下图——即c 靠近偶数时，{}n a 的最大项与最小项之和为正数，临界值为*1122,22k c k k −<<+∈N ，故D 正确.【答案】ACD12.3381log 16333313log 2,161118181log log 2log 22log 31616161616f f f f −<<−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 13.设点),(y x P ，由PA PB 2=得422=+y x ，若该圆上有且只有3个点直线:340l x y m ++=的距离为1，则圆心到直线的距离1==md ，解得5±=m .1,3,5,,21n +，42121212n n n C +++++21212n n C ++++210212n n C ++−−15．（1）因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin cos A B B A =……3分 sin 0B ≠，所以sin A A =，故tan 3A =−，23A π∠= ………………6分 （2）由题意可知ABD ACD ABC S S S ∆∆∆+=，即111sin 60sin 60sin120222c b bc +=，化简可得b c bc +=， ……………9分 在ABC ∆中，由余弦定理得()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +−−+−===−从而()2220122bc bc bc −−=−，解得5bc =或4bc =−（舍） ………………12分所以11sin 5sin12022534ABC S bc A ∆==⨯= ………………13分16.（1）当0a =时，()e x x f x =，则1()e x x f x −'=，(1)0f '=，1(1)ef =， 所以切线方程为1ey =………………3分 （2）当1a =时，()e e x xf x x −=−，21e ()(1)e e e x x x xx f x x −−−'=−−= ………………4分令2()1e x g x x =−−，2()12e 0x g x '=−−<故()g x 在R 上单调递减，而(0)0g =，因此0是()g x 在R 上的唯一零点即：0是()f x '在R 上的唯一零点 ………………6分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：()f x (,0)−∞ ………………8分 ()f x 的极大值为(0)1f =−，无极小值. ………………9分 （3）由题意知1−−≤−x x xeae xe，即x x x e e xe a 1−−−≥，即ee x a x 12−≥，设()e e x x m x 12−=，则()()x x x x e x e xe e x m 22222212−=−='， ………………………………11分令()0='x m ，解得21=x ， 当()()x m x m x ,0,21,>'⎪⎭⎫ ⎝⎛∞−∈单调递增，当()()x m x m x ,0,,21<'⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈单调递减， 所以()ee e m x m 2112121max −=−=⎪⎭⎫ ⎝⎛=， ……………………………………………14分 所以ea 21−≥. ………………………………………………………………………………15分17．（1）方法一：AB B A 2111= ,112222AA AB AA AD ∴⋅=⋅== ………………1分 1121AA AD A D −−=()()111121211AA AD AB AP A D P D −+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=+=∴λλλ ……………2分()()()AD AB AA AD AB AC P D +⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=⋅∴11121211λλλ()()()11221121211AA AD AA AB AD AB ⋅−+⋅−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=λλλλ()()0142121818=−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=λλλ,1AC P D ⊥∴即.1AC P D ⊥ ……………………………………………………5分（1）方法二：如图所示建立空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h ，则有 )A，)B，()C ，()D ，122A h ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，122C h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，122D h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0M()AC =−()()1(1),22222AP h λλλλ⎛⎫⎛⎫=−+−+−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132D A h ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭112222D P D A AP h h λ⎛⎫=+=−+−+− ⎪ ⎪⎝⎭………………………4分 故10AC D P ⋅=，所以1D P AC⊥………………………………………5分（2）方法一：确定正四棱台的高（传统法） 取OC 中点E ,则ABCD E C 平面⊥1，作AM EF ⊥，垂足为F ，连结F C 1，由三垂线定理得AM F C ⊥1，所以FE C 1∠为平面1AMC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为22=AB ，2324343=⨯==∆∆AMC AME S S , ……………………………………7分 10103,2321=∴=⋅∴EF AM EF ………………………………………………8分,3102tan ,73cos 11=∠∴=∠FE C FE C 即2,310211=∴=E C EF E C ………………11分 方法二：确定正四棱台的高（空间向量） 设平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =设平面1AMC 的法向量为(),,m x y z =，()AM =−，122AC h ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭则有10AM m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0022x y hz ⎧+=⎪⎨−++=⎪⎩，令x =，则()22,3m = ………………8分又题意可得3cos ,7m n ==，可得2h = ………………11分因为23λ=，经过计算可得40,0,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，1D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，142,3D P ⎛⎫= ⎪⎭ ………………13分 将2h =代入，可得平面1AMC 的法向量()42,2m = ………………14分 设直线DP 与平面1AMC 所成角的为θsin cos ,DP m θ===………………17分 18.（1）设(),B x y '，POP θ'∠=，则cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩， ……………3分消去θ得22163x y +=所以B '点轨迹Ω的方程22163x y += ……………5分 （2）方法一：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163x y y kx m⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去y 可得：()222124260k x kmx m +++−= ()()()22222441226488240km k m k m ∆=−+−=−+>，即2263m k <+ 从而122412kmx x k −+=+，21222612m x x k −=+1212121211112222AM AN y y kx m kx m k k x x x x −−+−+−⋅=⋅=⋅−−−−()()()()2212121212111242k x x k m x x m x x x x +−++−==−++整理得24210k km m ++−=，即()()()()2412121210k m k k k m −++=+−+= ………………8分当210k +=时，直线MN 的方程为12y x m =−+ 当210k m −+=时，直线MN 的方程为()21y k x =−+，恒过()2,1A 点，不合题意………………10分 设(),G G G x y ，将()11,M x y ，()22,N x y将M N 、两点代入到椭圆中22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得22221212063x x y y −−+=，即()()()()()()1212121212121212032602y y y y y y y y x x x x x x x x +⎛⎫−− ⎪−+⎝⎭==−+−+⎛⎫−− ⎪⎝⎭，12MN OG k k ⋅=−，故1OGk = ………………14分设OG 与y 轴负半轴所形成的夹角为α，因为1OG k =，所以4πα=设OA 与x 轴正半轴所形成的夹角为β，因为()2,1A，所以sin 5β=，cos 5β= cos cos 2AOG παβ⎛⎫∠=++ ⎪⎝⎭()()sin sin cos cos 1si 0n αβαβαβ=−+=−+=− …………17分方法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线AM 的方程为()21y k x =−+()2221163y k x x y ⎧⎪⎨+==−+⎪⎩消去y 可得：()()222212848840k x k k x k k +−−+−−= 从而21288412A k k x x k−−⋅=+，故21244212k k x k −−=+， 将1x 代入直线AM 的方程可得21244112k ky k −−=++，所以222244244,11212k k k k M k k ⎛⎫−−−−+ ⎪++⎝⎭又12AM AN k k ⋅=，将上式点M 中的k 换成12k 得到22224424,11212k k k N k k ⎛⎫−−−−+ ⎪++⎝⎭212112MN y y k x x −==−−，下面同方法一方法三： 以()2,1A 为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程()()2221163x y −−+=，在新坐标系下设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1mx ny +=将椭圆方程变形可得：224240x x y y +++=将直线MN 的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得()()224240x x mx ny y y mx ny +++++=整理得()()()224244140n y n m xy m x +++++=即：()()()24244140y y n n m m x x ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以1212141422AM AN y y m k k x x n +⋅=⋅==+，故2n m =， 直线MN 的方程为21mx my +=，12MN k =−，下面同方法一方法四：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163x y y kx m ⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去y 可得：()222124220k x kmx m +++−= 因为1x ，2x 是上述一元二次方程的两个根，所以()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++−=+−−①又1212111222AM AN y y k k x x −−⋅=⋅=−− 整理得：()()()()121222211x x y y −−−−− ()()21212112220m m x x k x x k k −−⎛⎫⎛⎫=−−−+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在①式中令2x =得：()()()()222124128221222kkm mk x x +++−=+−−②令1m x k −=得：()()()222212211111242212m m m m k km m k x x k k k k −−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++−=+−− ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③②+③()22k ⨯−可得：整理得24210k km m ++−=，下面同方法一（以上方法可酌情给分）19.（1）剔除第10天数据的()911 2.2100.4 2.499i i y y=⨯−===∑新，()12959t +++==新101118.73100.4114.73i i i t y =⎛⎫=−⨯= ⎪⎝⎭∑新；1022138510285i i t =⎛⎫=−= ⎪⎝⎭∑新所以12221114.7395 2.4673285956000ni ii nii b x y nx yxnx==−−⨯⨯===−⨯−∑∑故67322072.4560001200a =−⨯=，所以673220760001200y x =+. ……………4分 （以上每个新数据求解正确，可给1分）（2）由题意可知()1223355n n n P P P n −−=+≥，其中125P =，22231955525P =⨯+= ……6分 将此式变形可得112123232525555n n n n n n P P P P P P λλλλ−−−−−⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫−=−+=−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪−⎝⎭令3525λλ−=−，解得1λ=或35λ=− ………………8分方法一：当35λ=−时，则()11233355n n n n P P P P n −−−+=+≥，所以135n n P P −⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数列首项为2131932152555P P +=+⨯=，故()13125n n P P n −+=≥， 将()13125n n P P n −+=≥变形可得()15352858n n P P n −⎛⎫−=−−≥ ⎪⎝⎭所以58n P ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是以首项为1525985840P −=−=−，公比为35−的等比数列 故15938405n n P −⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭，即19354058n n P −⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭………………12分 方法二：当1λ=时，则()()112335n n n n P P P P n −−−−=−−≥， 所以{}1n n P P −−是以首项为21192925525P P −=−=，公比为35−的等比数列， 故()21932n n n P P n −−⎛⎫−=−≥ ⎪成立 ，25593255⎝⎭⎛⎫− ⎪⎝⎭累加可得 0121933325555n n P P −⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−+−++−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦213319139553254054015n n −−⎛⎫⎛⎫+−⨯− ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==−−+ ⎪⎛⎫⎝⎭−− ⎪⎝⎭故1113940540n n P P −⎛⎫=−−++ ⎪⎝⎭，即1935533=4058885n nn P −⎛⎫⎛⎫=−−++− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭………………12分 （3）解答：①当n 为偶数时，5335330885885nnn P ⎛⎫⎛⎫=+−=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，最大值为21925P =；当n 为奇数时，5335330885885nnn P ⎛⎫⎛⎫=+−=−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，最小值为125P =； 综上：数列{}n P 的最大值为1925，最小值为25. ………………………………14分②证明：对任意0ε>总存在正整数0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，（其中[]x 表示取整函数）当358log 13n ε⎡⎤⎛⎫>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦时，…………………………17分。

东北三省四市沈阳、大连、长春哈尔滨、第二次联合考试数学（文史类）参考公式：一般地，假设有两个变量X 和Y ，它们的可能取值分别为12{,}x x 和扫12{,}y y ，其样随机变量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={1，2}，则满足{1,2,3}A B =，的集合B 的个数是 （A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）82．若复数而312a ii++， （a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 （A ）-2 （B ）6 （C ）4 （D ）-63．已知向量m ，n 满足m=（2，0），3(,22n =．∆ABC ，AB = 2m+2n, 2AC =6m n -，D 为BC 边的中点，则||AD =（A ）2 （B ）4 （C ）6（D ）84．关于函数()sin cos f x x x =+下列命题正确的是（A ）函数()f x 最大值为2 （B ）函数()f x 的一条对称轴为4x π=（C ）函数()f x 的图象向左平移4π个单位后对应的函数是奇函数 （D ）函数产|()|y f x =的周期为2π5．如图给出的是计算1111 (3529)++++的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是（A ）2,15n n i =+= （B ）2,15n n i =+> （C ）1,15n n i =+= （D ）1,15n n i =+>6．两个平面α与β相交但不垂直，直线m 在平面α内，则在平面β内 （A ）一定存在直线与m 平行，也一定存在直线与m 垂直 （B ）一定存在直线与m 平行，但不一定存在直线与m 垂直 （C ）不一定存在直线与m 平行，但一定存在直线与m 垂直 （D ）不一定存在直线与m 平行，也不一定存在直线与m 垂直7．在2010年3月15日那天，哈市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其y是； 3.2y x a =-+，（参考公式：回归方程；,y bx a a y bx =+=-），则a =（ ） A ．-24 B ．35．6 C ．40．5 D ．408．已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b ，满足33a b =，32420b b b -=．则{}n a 前5项的和5S 为 （A ）5（B ）20 （C ）10（D ）409．已知点(,)P x y 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PA CB 的最小面积是2，则k 的值为（A（B ）2（C ） （D ）2 10．正方体ABCD 1111A B C D -中M ，N ，P 分别为11A B ，CD ，11B C 的中点，则下列中与直线AM 有关的正确命题是（A ）AM 与PC 是异面直线 （B ）AM PC ⊥（C ）AM //平面1BC N（D ）四边形AMC 1N 为正方形11．已知P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，12,F F 为双曲线的左右焦点，且12120,cos PF PF PF F =∠则此双曲线离心率是（A （B ）5 （C ） （D ）312．已知定义在（0，+∞）上的函数()f x 为单调函数，且1()[()]1f x f f x x+=，则(1)f =（A ）1 （B （C （D第II 卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分第13题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本题共4个小题。

数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁U A）∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，6}C．{1，2}D．{1，2，3，4，5} 2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若实数x、y满足，则y﹣x的最大值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣94．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．已知正项等比数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12B．8+log25C．5D．187．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1C．2D．38．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中心对称B．f（x）的极小值为C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）图象的一条对称轴为11．已知双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为．14．已知实数a、c满足c＜1＜a，关于x的不等式的解集为．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的方程为．16．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满足BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的面积S＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2•a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面P AD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当P A＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．19．2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，若函数f（x）与g（x）图象交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x2＞x1）两点，求实数a的取值范围21．已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB的面积为1，其中O为坐标原点．（Ⅰ）为定值；（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|•|AB|的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．（Ⅰ）当c＝5时，求的最小值；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁U A）∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，6}C．{1，2}D．{1，2，3，4，5}根据两个集合的交集，看出两个集合中都含有这两个元素，根据A的补集与B的交集的元素，看出B中不含有元素6，得到结果．因为集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁U A）∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，所以：3∈B，6∉B，1，2∈B，4，5∉B，4，5∉A；故集合B＝{1，2，3}．故选：A．本题考查子集与交集，并集的转换，是一个基础题，本题典型的解法是利用文恩图看出集合B中的元素．2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．因为a+2i＝（1﹣i）（1+bi）＝（1+b）+（b﹣1）i，∴a＝1+b且2＝b﹣1；所以：a＝4，b＝3；∴复数a﹣bi在复平面内对应的点（4，﹣3）所在的象限为第四象限．故选：D．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．若实数x、y满足，则y﹣x的最大值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣9画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至B时纵截距最大，z最大．画出的可行域如图：⇒B（6，6）．令z＝y﹣x变形为y＝x+z作直线y＝x将其平移至B（6，6）时，直线的纵截距最大，最大为：0．故选：B．本题主要考查利用线性规划求函数的最值，关键是将目标函数赋予几何意义．4．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．对于选项A：若α⊥β，则m∥β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m∥β，故错误．对于选项C：若m∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误．对于选项D，直线m⊂α，m⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确．故选：D．本题考查的知识要点：线面垂直和平行的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．乙C．丙D．丁根据题意判断其中两人说话矛盾，有人说话，其他人说真话，可推出．由乙说：“丁未完成作业，与丁说：“我完成作业了”，则乙丁有一人说谎，则甲丙说的真话，可知丙完成作业了，丁未完成作业，进而可以判断丁说了假话．故选：D．本题考查简单的合情推理，属于基础题．6．已知正项等比数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12B．8+log25C．5D．18本题先根据平行向量的坐标运算可得a2•a8＝16，再根据等比中项的知识，可计算出a5＝4，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项．由题意，向量，则8•2﹣a2•a8＝0，即a2•a8＝16，根据等比中项的知识，可得a2•a816，∵a5＞0，∴a5＝4，∴log2a1+log2a2+…+log2a9＝log2（a1a2 (9)＝log2[（a1a9）•（a2a8）•（a3a7）•（a4a6）•a5]＝log2a59＝9log24＝18．故选：D．本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题．考查了转化与化归思想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．7．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1C．2D．3由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，AB＝2，AD＝3，侧棱P A⊥底面ABCD，且P A＝1．再由棱锥体积公式求解．由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，AB＝2，AD＝3，侧棱P A⊥底面ABCD，且P A＝1．∴该几何体的体积V．故选：C．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．如图所示，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最小，求出最小值，没有最大值，即可得到结果．如图所示，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最小，此时，则||，而||没有最大值，故则的取值范围为[，+∞），故选：D．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．由已知结合同角平方关系，诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．∵，则sin（60°+α）＝sin（90°﹣30°+α）＝cos（α﹣30°）＝cos（30°﹣α），＝1﹣2sin2（15°﹣α）＝1．故选：A．本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中心对称B．f（x）的极小值为C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）图象的一条对称轴为借助于三角函数的性质逐项进行判断，选出正确选项．对于A选项，f（x）关于（0，1）中心对称，首先表达错误，应该说f（x）的图象关于某个点中心对称，其次f（x）+f（﹣x）＝2cos x+2不恒等于2，所以A错误；对于B选项，∵f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1∴f′（x）＝cos x﹣sin x+cos2x，令f′（x）＝0有sin x＝cos x或sin x+cos x＝﹣1．当sin x＝cos x＝±时，有f（x）＝±，当sin x+cos x＝﹣1时，两边平方可得1+2sin x cos x＝1，sin x cos x＝0，此时f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1＝0，所以f（x）的极小值不可能为，所以B错误；对于C选项，f（x+π）＝﹣sin x﹣cos x+sin x cos x+1≠f（x），所以π不是f（x）的最小正周期，所以C错误；对于D选项，∵f（）＝sin（）+cos（）+sin（）cos （）+1＝cos x+sin x+sin x cos x+1＝f（x），∴f（）＝f（x），所以f（x）图象的一条对称轴为x，故D正确．故选：D．本题考查三角函数的性质，属于中档题．11．已知双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．利用已知条件，推出a的关系式，即可求解结果．双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，可知MAOB是正方形，MO，所以双曲线的实半轴长的最大值为，所以a∈．故选：B．本题考查双曲线的简单性质，圆的切线性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．9把f（x）的零点转化为a﹣3的零点，令t＝3，t∈（0，+∞），可得方程9t2﹣（51+a）t+81＝0有两实根t1，t2，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得6，t1t2＝9，进一步得到t1＞3，3，结合x1＜1＜x2＜x3，可得3，3，33，则可知t1，3t2，则．f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2＝0⇒（a﹣3）（xlnx﹣3x2）＝﹣9（lnx）2⇒a﹣3，令t＝3，则，t∈[3，+∞），⇒a﹣3⇒9t2﹣（51+a）t+81＝0．设关于t的一元二次方程有两实根t1，t2，∴△＝（51+a）2﹣4×9×81＞0，可得a＞3或a＜﹣105．∴6，t1t2＝9．又∵t1+t2，当且仅当t1＝t2＝3时等号成立，由于t1+t2≠6，∴t1＞3，3（不妨设t1＞t2）．∵x1＜1＜x2＜x3，∴3，3，33．则可知t1，3t2．∴．故选：A．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根的分布，属难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为700．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x﹣2，2x﹣4．由题意可得2x+（2x﹣2）+（2x﹣4）＝36，∴x＝7．设我校高三年级的学生人数为N，再根据，求得N＝700，故答案为：700．本题主要考查分层抽样，属于基础题．14．已知实数a、c满足c＜1＜a，关于x的不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．由已知可转化为二次不等式即可求解．由题意可得（x﹣a）（x﹣c）≥0且x≠1，因为c＜1＜a，所以x≥a或x≤c，故不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．故答案为：{x|x≥a或x≤c}．本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的方程为y2＝4x．由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由向量的关系可得F为AM的中点，可得A的横坐标，代入抛物线的方程可得A的纵坐标，进而求出直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质可得AB的值，由题意可得p的值，进而求出抛物线的方程．由题意如图所示，因为，F为AM的中点，所以AF＝AA'＝NF＝2p，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以2p＝x1，所以x1，代入抛物线的方程可得y1p即A（，p）所以k AB，所以直线AB的方程为：y（x），直线与抛物线的方程联立可得：，整理可得：3x2﹣5px0，x1+x2，由抛物线的性质可得AB＝x1+x2+p p，解得p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x，故答案为：y2＝4x．本题考查向量与点的位置关系，以及抛物线的性质，属于中档题．16．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满足BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的面积S＝．（l）利用余弦定理容易求出B的大小；（2）引入角α＝∠DBC，根据BD＝DC得α＝C，再利用内角和定理将A用α表示出来，最后在△ABD中利用正弦定理可求出α，问题迎刃而解．（1）根据题意（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，化简得a2+c2﹣b2＝ac，所以cos B，∵B∈（0，π），∴B；（2）做出图形如下：由题意不妨设∠DBC＝α，则∠ABDα，∠C＝α，所以Aα，在△ABD中由正弦定理得，将AD＝1，BD＝2代入化简得，∴．∴A，C，易得AB．∴．故答案为：．本题考查三角形中的几何计算问题，涉及内角和定理、正余弦定理的应用，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2•a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．本题第（Ⅰ）题先根据数列是公差不为0的等差数列可知1，再列出、、关于d的表达式，根据a2•a3＝a8有•，代入表达式可得关于d的方程，解出d的值，即可得到等差数列的通项公式，进一步可得数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和S n．（Ⅰ）由题意，可知1，1+d，1+2d，1+7d，∵a2•a3＝a8，∴•，即（1+d）（1+2d）＝（1+7d），整理，得d2﹣2d＝0，解得d＝0（舍去），或d＝2．∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴a n＝（2n﹣1）2，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，[]，∴S n＝b1+b2+…+b n（1）（）[][1][1]．本题主要考查数列求通项公式的计算，以及运用裂项相消法计算前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，裂项相消法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面P AD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当P A＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．（Ⅰ）推导出BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，从而PD⊥平面P AB，由此能证明PD⊥PB；（Ⅱ）取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，证明PO⊥平面ABCD，再由棱锥体积公式求解．证明：（Ⅰ）∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD，∵平面ABCD⊥平面P AD，交线为AD，∴BA⊥平面P AD，从而BA⊥PD，∵∠APD＝90°，∴AP⊥PD，∵BA∩AP＝A，∴PD⊥平面P AB，∵PB⊂平面P AB，∴PD⊥PB；解：（Ⅱ）∵P A＝PD，取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，由平面ABCD⊥平面P AD，交线为AD，得PO⊥平面ABCD．又∠APD＝90°，AD＝2，得PO＝1，∴．即三棱锥P﹣BCD的体积为．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率．（Ⅰ）利用分层抽样法求出从亚洲、美洲、欧洲运动员中抽取的人数；（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．（Ⅰ）利用分层抽样法从亚洲运动员中抽取103（人），从美洲运动员中抽取102（人），从欧洲运动员中抽取105（人）；（Ⅱ）从“加拿大队、瑞士队、英国队、瑞典队和中国队”中任选两队，基本事件是{加拿大队，瑞士队}，{加拿大队，英国队}，{加拿大队，瑞典队}，{加拿大队，中国队}，{瑞士队，英国队}，{瑞士队，瑞典队}，{瑞士队，中国队}，{英国队，瑞典队}，{英国队，中国队}，{瑞典队，中国队}共有10种不同取法；其中中国队被选中的基本事件有4种，故所求的概率为P．本题考查了分层抽样方法与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，若函数f（x）与g（x）图象交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x2＞x1）两点，求实数a的取值范围（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调区间；（2）由已知分离参数可得a在（0，+∞）上有2个不同的零点，构造函数h（x），x∈（0，+∞），然后结合导数及函数的性质可求．（I），当x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，故f（x）的单调递增区间（﹣∞，1），单调递减区间（1，+∞）；（II）由题意可得在（0，+∞）上有2个不同的零点，即a在（0，+∞）上有2个不同的零点，令h（x），x∈（0，+∞），则，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，函数单调递增，当x＞1时，h′（x）＜0，函数单调递减，且h（0）＝﹣1，x→+∞时，h（x）＜0，h（x）max＝h（1），故﹣1．本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间及函数的零点个数的求解，体现了转化思想的应用．21．已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB的面积为1，其中O为坐标原点．（Ⅰ）为定值；（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|•|AB|的最大值．（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，代入椭圆方程求解|AB|，结合△AOB的面积为1求得m值，可得为定值4，当直线l的斜率存在时，设y＝kx+t，联立椭圆方程，可得A，B横坐标的和与积，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求得|OM|，结合△AOB的面积为1，可得1+4k2＝2t2，则的值可求，从而说明为定值；（Ⅱ）设M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM|，|AB|，则|OM|•|AB|＝2；当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）可得M的坐标，求得|OM|，写出|OM|•|AB|，结合1+4k2＝2t2转化为关于的二次函数求最值．（Ⅰ）当直线l的斜率不存在，设l：x＝m，代入椭圆方程可得y2＝1，由△AOB的面积为1，可得|m|•21，解得m＝±，则；当直线l的斜率存在，设y＝kx+t，联立椭圆方程可得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2，x1x2，|AB|•••，由△AOB的面积为1，可得••|AB|＝1，化简可得1+4k2＝2t2，则（）2﹣2•4，而4，综上可得，为定值4；（Ⅱ）设M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM|，|AB|，则|OM|•|AB|＝2；当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）可得x0，y0＝kx0+t，则|OM|，可得|OM|•|AB|•．∵，∴0．可知|OM|•|AB|＜2．综上，|OM|•|AB|的最大值为2．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用二次函数求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅰ）直线l的方程是y＝2，转换为极坐标方程为ρsinθ＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．（Ⅱ）点A（ρ1，α）是曲线C上一点，所以：，所以，点是直线l上一点，所以，所以，，当时，最大值为．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．（Ⅰ）当c＝5时，求的最小值；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．（Ⅰ）依题意，a+b＝1，将目标式化简可得，再利用基本不等式求最值即可；（Ⅱ）将不等式左边化简可得a2+b2﹣2b+c2﹣4c＝a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2﹣5，运用柯西不等式即可得证．（Ⅰ）当c＝5时，a+b＝1，∴，又（当且仅当a＝b时取等号），则，∴，即的最小值为9；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c＝a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2﹣5，由柯西不等式有，[a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2]•（1+1+1）≥（a+b﹣1+c﹣2）2（当且仅当a ＝b﹣1＝c﹣2时取等号），∴，又a+b+c＝6，∴a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2≥3，即a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2（当且仅当a＝1，b＝2，c＝3时取等号）．本题考查利用基本不等式求最值，以及柯西不等式的运用，考查不等式的证明，考查推理能力，属于基础题．。

2008年高三第二次联合模拟考试数学试卷（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共22题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生现将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

考试时间：2008.4.11 15：00—17：00一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．）1．已知{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则()U A B =I ðA ．{4,5}B ．{3,4,5}C ．{1,2,3}D ．{2,4,5} 2．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且38S S =，7k S S =，则k 的值是A ．2B ．11C ．4D ．123．集合101x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{||0}B x x b =-<，若A B =∅，则b 的取值范围是A ．20b -<…B ．02b <…C ．22b -刡?D ．2b …或2b -…4．若点(,)x y 在不等式组2010220x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩………表示的平面区域内运动，则t x y =-的取值范围是A ．[2,1]--B ．[2,1]-C ．[1,2]-D ．[1,2]5．O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u r，则ABC ∆的形状为A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．斜三角形D ．等边三角形 6．函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）满足(1)0f =，则A ．(1)f x -一定是偶函数B ．(1)f x -一定是奇函数C ．(1)f x +一定是偶函数D ．(1)f x +一定是奇函数 7．命题P ：若函数()f x 有反函数，则()f x 为单调函数；命题Q ：111222a b c a b c ==是不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>同解的充要条件，则以下是真命题的为 A ．P ⌝或Q B ．P 且Q C ．P ⌝且Q D ．P 或Q8．设椭圆22221x y m n +=，双曲线22221x y m n -=，抛物线22()y m n x =+（其中0m n >>）的离心率分别为123,,e e e ，则A ．123e e e <B ．123e e e >C ．123e e e =D ．以上情况均有可能9．已知函数1y =10x-剟）的反函数的图象是10．已知正四棱锥P ABCD -底面边长为a ，，侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成二面角的大小为哈师大附中 东北师大附中 辽宁实验中学A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π 11．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[1,0]-上是增函数，下面关于()f x 的判断：（1）()f x 是周期函数；（2）()f x 的图象关于直线1x =对称；（3）()f x 在[0,1]上是增函数；（4）()f x 在[1,2]上是减函数．其中所有正确的判断是 A ．（1）（4） B ．（1）（2） C ．（3）（4） D ．（2）（3）12．已知两个实数集合125{,,,}A a a a =，123{,,}B b b b =，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每个元素都有原象，且125()()()f a f a f a 厖?，则这样的映射共有 A ．8个 B ．4个 C ．12个 D ．6个、二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．圆心为(1,1)且与直线4x y -=相切的圆的方程为 . 14．22()n x x-的展开式中，常数项为240，则n = .15．在检查产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[,)a b 是其中一组，检查出的个体在该组上的频率为m ，该组的直方图的高为h ，则||a b -= . 16．设数列{}n x 满足212log 1log n n x x +=+，且1237x x x ++=，则456x x x ++= .三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，22sin )()sin A C a b B -=-（1）求角C 的大小．（2）求CA CB uu r uu rg 的最大值．18．（本小题满分12分）某一部机器在一天内发生故障的概率为15，机器发生故障时全天停止工作，进行维修，并能保证第二天正常投入工作，且各天是否发生故障互不影响． （1）求该机器三天内，恰有两天正常工作的概率（用数字作答）． （2）求该机器四天内，至少有三天连续正常工作的概率（用数字作答）． 19．（本小题满分12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PCD ∆为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，PB AC ⊥，E 为PD 中点． （1）求证：PB ∥平面AEC ．（2）求二面角E AC D --的大小．PAD BE C20．（本小题满分12分）把正偶数列{2}n 中的数按上小下大，左小右大的顺序排序成下图“三角形”所示的数表．设mn a 是位于这个三角形数表中从上到下的第m 行，从左到右的第n 列的数． （1）若记三角形数表中从上往下数第n 行各数之和为n b ，求数列{}n b 的通项公式．（2）记1(1)n n n c b n n -=+-（2n …），数列{}n c 的前n 项和为n S ．21．（本小题满分12分）点(2,2)P 在抛物线C ：22y px =（0p >）上，抛物线C 上动点A 、B 不同于原点O ． （1）求抛物线方程．（2）若0OA OB =u u r u u u rg ，求证：直线AB 过定点．（2）当直线AB 恒过定点(6,0)M ，求AOB ∠的最小值．22．（本小题满分12分）已知函数3211()132f x x ax bx =+++（a 、b R ∈，2b -…）在区间[单调递减，设2()3()6()g x f x mx x x R =-+-∈． （1）求函数()f x 的解析式．（2）若x R +∈时，/1()3g x …恒成立，求实数m 的取值范围．24681012141618202224262830L L2008年东北三省三校高三第二次联合考试 数学试卷（文科）参考答案及评分标准13．22(1)(1)8x y -+-= 14．6 15．mh16．16.56 三．解答题 17．（满分10分）解：（1）由正弦定理知sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===． 22(a b ⎤-=-⎥⎦ 222a c ab b -=-，∴222122a b c ab +-= ∴1cos 2C =，3C π= …………（5分）（2）cos CA CB b a C =11(22sin )2ab A B ==24sin sin()3A A π=-314sin (cos sin )2A A A =+2cos sin )A A A =+1cos 22)2A A -=+2sin(2)16A π=-+ …………（8分） ∵2(0,)3A π∈，∴72(,)666A πππ-∈-∴当262A ππ-=时，即3A π=时，max ()3CA CB =…………（10分）18．（满分12分）解：（1）该机器三天内，恰有两天正常工作的概率22134148()55125P C =⨯=． …………（6分）（2）四天内至少有三天连续正常工作的概率3424143842()()555625P =+=g g答：该机器三天内，恰有两天工作的概率为48125，该机器四天内，至少有三天连续正常工作的概率为384625．…………（12分） 19．（满分12分） 解：（1）连BD 交AC 于点O ，连结OE ， ∵E 为PD 中点，O 为BD 中点，∴OE ∥PB ∵OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ∴PB ∥平面AEC …………（4分） （2）设CD a =，AD b=，过P 作PH CD ⊥，垂足为H ，连结BH ，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PH ⊥平面ABCD ， ∵PB AC ⊥，∴BH AC ⊥ …………（6分） 取HD 中点G ，连结EG 、OG ，则EG ∥12PH ，OG ∥12BH ，∴OG AC ⊥ ∵PB ∥EO ，PB AC ⊥，∴EO AC ⊥ ∴EOG ∠为二面角E AC D --的平面角 …………（9分）∵BH AC ⊥，∴BHC ACB ∠=∠，∴BC AB CH BC =，∴2b aa b=，a12EG PH ==，EO = P ADB ECOHG∴sin EOG ∠=，∴4EOG π∠=，∴二面角E AC D --的大小为4π…………（12分） 20．（满分12分） 解：（1）若数列{}n x 的通项公式为2n x n =，则其前n 项和(1)n T n n =+ …………（2分）∴3(1)(1)(1)(1)112222n n n n n n n n n b n n ++--⎡⎤⎡⎤=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …………（6分） （2）13321(1)(1)n n n c n n n n n n n n -===++-++…………（8分）∴111(1)(2)12n c n n n n ==-++++∴1111111123341222n S n n n =-+-++-=-+++ …………（12分）21．（满分12分） 解：（1）∵(2,2)P 在抛物线22y px =上，∴422p =g ∴22p = ∴抛物线方程为22y x =…………（2分）（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212OA OB x x y y =+，且2112y x =，2222y x =∵0OA OB =∴221212022y y y y +=g∴1212(4)0y y y y += ∵120y y ≠ ∴124y y =- …………（4分）121222121212222AB y y y y k y y x x y y --===-+- ∴直线AB 方程为：11122()y y x x y y -=-+即2121121()22y y y y y y x x +--=- 又2112y x =，124y y =- ∴12()2(2)y y y x +=- ∴直线AB 过定点(2,0)…………（6分）（3）1112OA y k x y ==，2222OB y k x y == 不妨设120,0y y ><则AOB ∠为OB 到OA 的角，∴12211212222()tan 4141OA OBOA OBk k y y y y AOB k k y y y y ---∠===+++ …………（8分） ∵直线AB 过定点(6,0)M∴设直线AB 方程为：6x ay =+，代入22y x =得22120y ay --=，得1212y y =-…………（10分）1111122()1121tan ()212312444y y AOB y y --∠==+=-+…12y y ==，取等号）∴AOB ∠的最小值为3π． …………（12分）22．（满分12分）解：（1）/2()f x x ax b =++∵()f x在[递减 ∴[x ∈时，/()0f x …恒成立…………（2分） /20f b =+…①/(20f b =+…② ①+②得420b +… ∴2b -…又∵2b -… ∴2b =- ∴/2()2f x x ax =+- …………（4分）若02a-…即0a …时，则/220f =+-…，即0a … ∴0a =若02a->，即0a <时，则/(220f =--…，即0a …与0a <矛盾，∴舍去， 综上0a =∴31()213f x x x =-+…………（6分）（2）32321()3(21)633g x x x mx x x mx =--++-=-+- ∴/21()323g x x mx =-+…（x R ∈）在x R +∈时恒成立 …………（8分）∴21233mx x +… ∵0x > ∴11(3)23m x x +…在x R +∈时恒成立…………（10分）0x >时，1323x x +… 即133x x+的最小值为2∴122m g … 即1m ……………（12分）。

2021年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学第二次联考试卷（文科）（4月份）1.定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为A. 16B. 18C. 14D. 82.设复数其中i为虚数单位，则A. 1B. 3C. 5D. 63.命题p：，，则是A. ，B. ，C. ，D. ，4.已知，，，则A. B. C. D.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 86.等差数列的公差为d，前n项的和为，当首项和d变化时，是一个定值，则下列各数中也为定值的是A. B. C. D.7.一枚骰子连续掷两次分别得到的点数为m，n，则的概率为A. B. C. D.8.已知函数的图象如图，若，，且，则A. 1B. 0C.D.9.A，B是椭圆C长轴的两个端点，M是椭圆C上一点，，，则C的离心率为A. B. C. D.10.已知三棱雉的各条棱都相等，M为BC的中点.则AM与BD所成的角的余弦值为A. B. C. D.11.割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现.如图，揭示了刘微推导三角形积公式的方法，在三角形ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率A. B. C. D.12.已知函数，，若成立，则的最大值为A. B. C. D.13.______.14.已知向量，，若，则的最小值为______ .15.三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积为______ .16.在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程：；：，老师问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回答：甲：曲线关于对称；乙：曲线关于原点对称；丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积四位同学回答正确的有______ 选填“甲、乙、丙、丁”17.为等差数列的前n项和，，求数列的通项公式；设数列满足，求…18.如图，半圆柱中，平面过上、下底面的圆心，O，且，点C为半圆弧的中点，N是CO的中点.在线段上是否存在点M使平面，若存在，给出证明；若不存在，说明理由；求三棱锥的体积.19.新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分100分随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如下：100位男性居民评分频数分布表分组频数5156479合计100100位女性居民评分频数分布表分组频数3127285合计100根据100位男性居民评分的频率分布表估计男性居民评分的均值；若规定评分小于70分为不满意、评分大于等于70分为满意，请完成下列列联表，并判断能否有的把握认为居民是否满意与性别有关.满意不满意合计男性女性合计参考公式：，20.椭圆离心率为，过点求椭圆C的方程；过的直线交椭圆于A，B两点，A关于x轴对称点为E，求证：直线BE 过定点.21.已知函数若恒成立，求实数a的取值范围；求证：22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数，以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；设直线l交曲线于O，A两点，交曲线于O，B两点，求的长．23.已知解不等式；设的最大值为t，如果正实数m，n满足，求的最小值.答案和解析【答案】1. A2. C3. B4. D5. C6. D7. A8. B9. B10. D11. A12. A13.14. 615.16. 甲、乙、丙17. 解：等差数列中，，，解得，所以，所以数列的通项公式为；数列中，，所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列，所以……18. 解：在线段上存在点M使平面，M是的中点.证明如下：取的中点P，连接NP，，是CO的中点，，是的中点，，四边形是平行四边形，则，平面，平面，平面；19. 解：根据100位男性居民评分的频率分布表，计算平均值为；根据题意，填写列联表如下：满意不满意合计男性8020100女性8515100合计16535200计算，所以没有的把握认为居民是否满意与性别有关．20. 解：由题意可得，解得，，所以椭圆C的方程为；证明：设直线AB的方程为：，，，则，联立方程，消去x整理可得：，所以，，，所以直线BE的方程为：，令，则，所以直线BE过定点21. 解：，，，为增函数，，不恒成立，，，，，，在递增，在递减，，；证明：，，，即，设，，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故，而，故在递增，故，故，22. 解：直线l的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为：，所以直线的倾斜角为所以：，曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为：转换为极坐标方程为：，曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标的方程为：，整理得：，线l交曲线于O，A两点，则：，解得：，直线和曲线于O，B两点则：，解得：，所以：23. 解：①当时，，，②当时，，，③当时，，，不等式的解集为由得，当时，当时，，当时，，的最大值为3，即，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为【解析】1. 解：由，，可得：，2，3，4，6，集合，可得：所有元素之和，故选：由，，可得：，进而得出结论．本题考查了元素与集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 解：复数，则，故选：利用复数的运算法则、共轭复数的性质即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：命题p：“，，”是全称命题为：，故选：根据命题p：“，，”是全称命题，其否定定为其对应的特称命题，由变，结论变否定即可得到答案．本题主要考查全称命题与特称命题的互化．属基础题．4. 解：，，，，故选：利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得结论．本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．5. 【分析】本题考查空间几何体的三视图，求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题．画出几何体的直观图，然后利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意，几何体的直观图如图：是正方体去掉一个三棱锥的几何体，几何体的体积为：故选：6. 解：当首项和d变化时，是一个定值，是一个定值．故选：当首项和d变化时，利用等差数列的性质可得是一个定值，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 解：一枚骰子连续掷两次分别得到的点数为m，n，基本事件总数，包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个，则的概率为故选：基本事件总数，包含的基本事件有15个，由此能求出的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8. 解：由图象可知，，所以，由五点作图法可知，所以，所以，因为，，且，所以在区间上，关于中心对称，所以，所以故选：根据函数图象可求得A和周期T，从而可得的值，利用五点作图法可求得，利用函数的对称性即可求解的值．本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查函数值的求法，属于基础题．9. 解：设点M的坐标为，如图所示：因为，所以，又因为，所以，所以，因为，所以，则…①…②设椭圆方程为，代入①②可得：，化简可得，即，所以椭圆的离心率为，故选：利用已知求出M的坐标，进而可以求解．本题考查了椭圆的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．10. 解：取CD的中点N，连结MN，AN，如图所示，设正四面体的棱长为2，在正三角形ABC中，，同理可得，因为M，N分别为BC，CD的中点，所以且，所以即为AM与BD所成的角，在中，由余弦定理可得，所以AM与BD所成的角的余弦值为故选：取CD的中点N，连结MN，AN，利用正四面体的几何性质求出AM，MN，AM，由中位线定理可得，从而得到即为AM与BD所成的角，在三角形中由余弦定理求解即可．本题考查了异面直线所成角的求解，解题的关键是利用异面直线所成角的定义找到所求解的角，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．11. 解：根据题意可得长方形的长为三角形的底，长方形的宽为三角形的高的一半，故该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，故该点落在标记“盈”的区域的概率为，故选：根据题意可得该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，即可求出．本题考查了几何概型的概率公式，考查了数学文化知识，属于基础题．12. 解：不妨设，，，，即，，故，令，，，故在上是减函数，且，当时，，当时，，即当时，取得极大值同时也是最大值，此时，即的最大值为，故选：根据得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．本题主要考查导数的应用，利用换元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，属于中档题．13. 解：，故答案为：由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式化简所给的式子，可的结果．本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式，属于基础题．14. 解：向量，，由，得，所以，所以，当且仅当，即，时取“=”，所以的最小值为故答案为：根据平面向量的共线定理求出x、y的关系，再利用基本不等式求出的最小值．本题考查了平面向量的共线定理和利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题．15. 解：三棱锥中，，，如图，三棱锥扩展为长方体，设长方体的三度为x，y，z，由题意可得，，，3式相加可得：，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，所以外接球的半径为：，所以外接球的体积为：故答案为：由题意，三棱锥扩展为长方体，求出长方体的三度，然后求解外接球的半径，即可推出结果．本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16. 解：甲说法：对曲线，交换x，y得，方程不变，所以关于对称，故甲说法正确，乙说法：若在曲线上，即，所以，即点在曲线上，所以曲线关于原点对称，故乙说法正确，丙说法：选择作参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为，对，第一象限均有，，此时，，等号不能同时取得，所以，所以时，，且时，，所以曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积，故丙说法正确，丁说法：选择作为参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为，若，则，即，所以，即曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积，故丁说法错误，故答案为：甲、乙、丙．利用曲线的对称性判断甲、乙说法的正误，选择和作为参考，判断丙、丁说法的正误．本题主要考查了简单的合情推理，考查了曲线与方程、曲线与函数的关系，是中档题．17. 根据等差数列的通项公式与前n项和公式，计算即可；求出数列的通项公式，判断是等比数列，从而求得…的值．本题考查了等差数列与等比数列的定义与计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．18. 取M是的中点，取的中点P，连接NP，，证明四边形是平行四边形，得，由直线与平面平行的判定可得平面；直接利用等体积法求三棱锥的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．19. 根据频率分布表，计算平均值即可；根据题意填写列联表，计算，对照附表得出结论．本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．20. 根据已知建立方程组联立即可求解；设出直线AB的方程以及A，B，E点的坐标，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，然后根据B，E的坐标写出直线BE的方程，令，利用韦达定理化简即可求解．本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到证明直线过定点的问题，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．21. 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于a的不等式，解出即可；问题转化为，设，，根据函数的单调性求出函数的最值，证明结论成立即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题．22. 直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23. 用零点分段法去掉绝对值，求出各段的解集，再求并集即可．先求出的最大值3，得到，再变形后用基本不等式可求解．本题考查了绝对值不等式的解法，利用基本不等式求最值问题，属中档题．。

2010年东北三省四市长春、哈尔滨、沈阳、大连第二次联合考试长春市高中毕业班第三次调研测试数 学（文科）本试卷分I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟，其中第II 卷22—24题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，柱体体积公式：V Sh =，那么()()()P A B P A P B +=+． 其中S 表示柱体底面积的半径，h 表示柱体的高． 球表面积公式：24S R π= 锥体体积公式：13V Sh =， 球体积公式：343V R π=其中S 表示锥体的底面积，h 表示椎体的高．其中R 表示球的半径第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上。

） 1．设复数121,2z i z bi =+=+，若21z z 为纯虚数，则实数b =A ．2-B 1-C ．1D ．22．已知集合{}1,2M =，且()()M N MN ⊇，则N =A ．φB ．{}1C ．{}2D ．{}1,23．已知向量(2,1)a =，(1,)a b k +=，若a b ⊥，则实数k =A ．12B ．2-C ．7-D ．34．已知m ，n 为不同直线，α，β为不同平面，则下列选项：①//m n ，n α⊥；②m n ⊥，//n α；③//,m βαβ⊥；④,//m βαβ⊥，其中能使m α⊥成立的充分条件有A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④5．函数1()1f x gx x=-+的零点所在的区间是 A ．（0，1） B ．（1，10） C ．（10，100）D ．（100，+∞）6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S =A ．63B ．31C ．15D ．77．已知双曲线221x y -=的两个焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上的一点，且12F PF ∠=90°,则12PF PE =A ．12- B ．1C ．2D ．48．如图，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程为20x y -+=，则(1)'(1)f f +=A ．1B ．2C ．3D ．49．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且2cos 22A b c c+=，则ABC ∆一定是 A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定10．已知函数()sin()2f x x π=+，()cos()2g x x π=-，设()()()h x f x g x =，则下列说法不．正确．．的是A ．,()()2x R f x g x π∃∈+=B ．,()()2x R f x g x π∀∈-=C ．,()()x R h x h x ∀∈-=D ．,()()x R h x h x π∀∈+=11．一组数据共有7个数，记得其中有10，2，5，2，4，2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为A ．9B ．3C ．17D ．-1112．已知定义域为R 的函数()y f x =，则下列命题正确的是：A ．若(1)(1)0f x f x ++-=恒成立，则函数()y f x =的图像关于（1，0）点对称；B ．若(1)(1)f x f x -=-恒成立，则函数()y f x =的图像关于直线1x =对称；C ．函数(1)y f x =--的图像与函数(1)y f x =-的图像关于原点对称；D ．函数(1)y f x =-的图像与函数(1)y f x =-的图像关于y 轴对称；第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答。

高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（）A. A⊆BB. B⊆AC. A∪B=RD. A∩B=∅2.已知z-2=（z+2）i（i为虚数单位），则复数z=（）A. 1+2iB. 1-2iC. 2iD. -2i3.圆x2-4x+y2=0与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率为（）A. B. C. D.5.已知α是第三象限角，且cos（）=，则sin2α=（）A. B. C. D.6.已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，点E，F分别为BC，CD的中点，则=（）A. 3B. 1C.D.7.四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AB=2，则直线PB与平面PAC所成角为（）A. B. C. D.8.将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，且g（-x）=-g（x），则φ的一个可能值为（）A. B. C. D.9.双曲线C：=1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为其左，右焦点，其渐近线上一点G满足GF1⊥GF2，线段GF1与另一条渐近线的交点为H，H恰好为线段GF1的中点，则双曲线C的离心率为（）A. B. 2 C. 3 D. 410.已知函数f（x）=e x-e-x+，若f（lg m）=3，则f（lg）=（）A. -4B. -3C. -2D. -111.已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为（）A. B. C. D. 8π12.定义区间[a，b]，（a，b），（a，b]，[a，b）的长度为b-a．如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为m（其中m∈（0，e]，e为自然对数的底数），那么称这个函数为“m函数”．下列四个命题：①函数f（x）=e x+ln x不是“m函数”；②函数g（x）=ln x-e x是“m函数”，且me m=1；③函数h（x）=e x ln x是“m函数”；④函数φ（x）=是“m函数”，且m lnm=1．其中正确的命题的个数为（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=，则f（f（-e））=______．14.已x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为______．15.设△ABC的内角A，BC的对边分别为a，b，c，且b=6，c=4，A=2B，则a=______．16.以抛物线y2=2px（p＞0）焦点F为圆心，p为半径作圆交y轴于A，B两点，连结FA交抛物线于点D（D在线段FA上），延长FA交抛物线的准线于点C，若|AD|=m，且m∈[1，2]，则|FD|•|CD|的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知S n是数列{a n}的前n项和，S n=n2+2n，等比数列{b n}的公比为4，且a2=5b1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．18.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱B1C1的中点，AB=AC=，BC=BB1=2．（Ⅰ）求证：AC1∥平面A1BD；（Ⅱ）求点D到平面ABC1的距离．19.一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货．今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252．（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？20.椭圆C：=1，点A（2，0），动直线y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，已知直线AM的斜率为k1，直线AN的斜率为k2，且k1，k2的乘积为λ．（Ⅰ）若k=0，求实数λ的值；（Ⅱ）若，求证：直线MN过定点．21.已知函数f（x）=x+x lnx，g（x）=ax2-2（a-1）x+a-1．（Ⅰ）求证：曲线y=f（x）与y=g（x）在（1，1）处的切线重合；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）对任意x∈[1，+∞）恒成立．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：ln[（n+1）!•n!]＜（其中n∈N*）．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2=，直线l与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求|AB|．23.（Ⅰ）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，求证：a4+b4≥2；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，求a3+b3+c3+（）3的最小值，并写出取最小值时a，b，c的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A={x|x＜0，或x＞2}，且；∴A∪B=R．故选：C．容易求出集合A={x|x＜0，或x＞2}，从而可判断集合A，B的关系．考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及并集的概念．2.【答案】C【解析】解：∵z-2=（z+2）i，∴z（1-i）=2+2i，故z=．故选：C．先将式子化为z（1-i）=2+2i，再由复数的除法运算即可得出结果．本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型．3.【答案】D【解析】解：根据题意，圆x2-4x+y2=0，即（x-1）2+y2=4，其圆心坐标为（2，0）半径为2；圆x2+y2+4x+3=0，即圆（x+2）2+y2=1，其圆心坐标为（-2，0）半径为1；则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选：D．根据题意，把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而分析可得答案．本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数．解决的方法就是利用圆的标准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系．4.【答案】B【解析】解：将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率是P==．故选：B．此问题相当于进行3次独立重复试验恰好发生2次正面朝上的概率．本题考查了n次独立重复试验恰好发生k次的概率．5.【答案】A【解析】解：cos（）=，可得sinα=，∵sin2α+cos2α=1，α是第三象限角∴cosα=-=-，∴sin2α=2sinαcosα=．故选：A．由诱导公式可以求出角α的正弦值，再由同角的正弦值与余弦值的平方和为1这一关系，可求出α的余弦值，最后运用二倍角正弦公式求出sin2α．本题考查了三角函数的诱导公式、同角正弦函数与余弦函数的关系、二倍角公式．6.【答案】D【解析】解：点E为BC的中点，所以=+=+=+；点F为CD的中点，所以=+=+=+=-，可得•=（+）•（-）=•-2+2-•=•-||2+||2，因为菱形ABCD的边长为2，所以||=||=2，又因为∠DAB=60°，可得•=•=•2•2•cos60°=•4•=．故选：D．先确定一组基底，利用向量加法运算法则，用这对基底把，表示出来，然后进行数量积计算．本题考查了向量的数量积运算、向量的加法运算、菱形的几何性质，考查化简运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：连接AC交BD于点O，因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA，PA AC=A，因此BD⊥平面PAC；故BO⊥平面PAC；连接OP，则∠BPO即是直线PB与平面PAC所成角，又因PA=AB=2，所以PB=2，BO=．所以sin∠BPO==，所以∠BPO=．故选：A．连接AC交BD于点O，连接OP，证明BO⊥平面PAC，进而可得到∠BPO即是直线PB 与平面PAC所成角，根据题中数据即可求出结果．本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型．先由题意写出g（x）解析式，根据g（-x）=-g（x），可知g（x）为奇函数，进而可求出φ．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）=sin（2x-2φ+）的图象，又g（-x）=-g（x），所以g（x）为奇函数，∴-2φ+=kπ，k∈Z，∴可取φ=，故选：A．9.【答案】B【解析】解：由题意得双曲线C：=1（a＞0，b＞0），的渐近线方程为，焦点坐标为F1（-c，0），F2（c，0）；不妨令G在渐近线上，则H在y=-x上，设G（x，x），由GF1⊥GF2，得，即，解得x=a，所以G（a，b），又H恰好为线段GF1的中点，所以H（，），因H在y=-x上，所以，因此c=2a，故离心率为2．故选：B．根据题意得到双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为F1（-c，0），F2（c，0）；不妨令G在渐近线上，则H在y=-x上，设G（x，x），根据题意求出G点坐标，再得到H的坐标，将H坐标代入直线y=-，即可得出结果．本题主要考查双曲线的斜率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型．10.【答案】C【解析】解：根据题意，f（x）=e x-e-x+，则f（-x）=e-x-e x+，则f（x）+f（-x）=1，若f（lg m）=3，则f（lg）=f（-lg m）=1-f（lg m）=1-3=-2；故选：C．根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）+f（-x）=1，又由f（lg m）=3，则f（lg）=f（-lg m）=1-f（lg m），计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及对数的运算性质，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：根据三视图，在长方体中还原该三棱锥为P-ABC，且长方体的底面边长为2，高为；取AB中点为D，上底面中心为E，连接DE，EP，则DE=，EP=1，因为三角形ABC为直角三角形，所以D点为三角形ABC的外接圆圆心，因此三棱锥的外接球球心，必在线段DE上，记球心为O，设球的半径为R，则OB=OP=R，所以有OE==，OD==，因此，解得，所以该三棱锥的外接球表面积为4πR2=．故选：C．先在长方体中还原该三棱锥为P-ABC，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位置，设球的半径为R，列出方程即可求出结果．本题主要考查几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型．12.【答案】B【解析】解：命题①：f（x）定义域为（0，+∞），在定义域上f（x）是单调递增，显然这个区间没有长度，因此函数f（x）不是“m函数”，故命题①是真命题．命题②：g（x）的定义域为（0，+∞），g′（x）=-e x=当g′（x）＞0时，函数g（x）是增函数，∵x＞0，∴1-xe x＞0得＞e x，构造两个函数，v（x）=和u（x）=e x，图象如下图所示：通过图象可知当x∈（0，m），u（x）＞v（x）而v（1）=e＞u（1）=1，即m∈（0，1），u（m）=v（m），所以当x∈（0，m），时，函数g（x）是增函数，增区间的长度为m，又因为m∈（0，1），显然有m∈（0，e），成立，所以函数g（x）是“m函数”，∵u（m）=v（m），∴=e m即me m=1成立，故命题②是真命题．命题③：函数h（x）=e x ln x定义域为（0，+∞），h′（x）=e x（ln x+）显然x＞1时，h′（x）＞0，此时函数h（x）是单调递增函数，增区间为（1，+∞），而区间（1，+∞）没有长度，故函数h（x）=e x ln x不是“m函数”，故命题③是假命题．命题④：函数φ（x）=定义域（0，+∞），φ′（x）=当φ′（x）＞0时，φ（x）是增函数，故只需1-x lnx＞0成立，φ（x）是增函数，也就是＞ln x成立，φ（x）是增函数，构造两个函数，u（x）=，w（x）=ln x如下图所示：通过图象可知：当x∈（0，m）时，u（x）＞w（x），而u（e）=＜w（e）=1，所以m ＜e．从而有x∈（0，m）时，＞ln x时，函数φ（x）是增函数，显然区间（0，m），长度为m，而m＜e所以函数φ（x）=是“m函数”，又u（m）=w（m），即m lnm=1．故命题④是真命题．综上所述：正确的命题的个数为3个，故选：B．利用导数、函数的图象，结合“m函数”的定义，对四个命题逐一判断即可得到结论．本题考查命题的真假关系，考查了利用函数的导数、函数的图象找函数增区间的数学能力．重点考查了学生阅读能力、知识的迁移能力、数形结合的数学思想．综合性较强，有一定的难度．13.【答案】e【解析】【分析】本题考查求函数值，分段函数中的求函数值问题是比较常见的一种题型，属于基础题．根据题意，由函数的解析式求出f（-e）的值，进而又由f（f（-e））=f（1），计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=，则f（-e）=ln e=1，则f（f（-e））=f（1）=e1=e；故答案为：e．14.【答案】3【解析】解：根据约束条件可以画出可行域，如下图所示：由z=3x+y，可知直线y=-3x+z过A（1，0）时，z有最大值为3×1+0=3．故答案为：3．先根据约束条件画出可行域，求出各直线的交点，通过分析能求出目标函数的最大值．本题考查了线性归划问题．解决此类问题的关键是画出可行域，然后根据目标函数的几何意义求出最值．15.【答案】2【解析】解：根据题意，在△ABC中，b=6，c=4，A=2B；由正弦定理可得=，即=，变形可得cos B=，又由余弦定理可得cos B==，则有=，解可得a=2，故答案为：2．根据题意，由正弦定理可得=，即=，变形可得cos B=，又由余弦定理可得cos B==，联立可得=，解可得a的值，即可得答案．本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．16.【答案】32【解析】解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x=-，所以以F为圆心，p为半径的圆的方程为+y2=p2，因为A，B两点为圆+y2=p2与y轴的两个交点，不妨令A为y轴正半轴上的点，由x=0得，A（0，）；所以直线AF的斜率为k AF==-，因此直线AF的方程为y=-x+，由得C（-，p）；由得D（，），所以|FD|=+=，|CD|==p，|AD|==p，又|AD|=m，且m∈[1，2]，所以p∈[1，2]，即p∈[3，6]，因此|PD|•|CD|=p2≤32，当且仅当p=6时，取等号．故答案为：32．由题意得到以F为圆心，P为半径的圆的方程，再令A为y轴正半轴上的点，从而求出A点坐标，得到直线AF的方程，分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出C、D 两点坐标，即可用p表示出|FD|•|CD|，再由|AD|=m，且m∈[1，2]，求出p的范围，即可得出结果．本题主要考查抛物线的性质，通常需要联立直线与抛物线方程等求解，是中档题．17.【答案】解：（I）∵S n=n2+2n，n≥2，S n-1=（n-1）2+2（n-1），∴a n=2n+1．n=1时，a1=S1=3，对于上式也成立．∴a n=2n+1．a2=5b1．∵5b1=a2=5，解得b1=1．∴b n=4n-1．（II）∵a n•b n=（2n+1）•4n-1．∴T n=3+5×4+7×42+……+（2n+1）•4n-1．4T n=3×4+5×42+7×43+……+（2n-1）•4n-1+（2n+1）•4n．∴-3T n=3+2（4+42+……+4n-1）-（2n+1）•4n=3+2×-（2n+1）•4n，∴T n=-+•4n．【解析】（I）由S n=n2+2n，n≥2，S n-1=（n-1）2+2（n-1），可得a n．n=1时，a1=S1，可得a n．a2=5b1．解得b1．可得b n．（II）a n•b n=（2n+1）•4n-1．利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】（Ⅰ）证明：连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1的中点，连接OD，又D是B1C1的中点，∴OD∥AC1，∵OD⊂平面A1BD，AC1⊄平面A1BD，∴AC1∥平面A1BD．（Ⅱ）解：取BC的中点H，∵AB=AC，∴BC⊥AH，∵BB1⊥平面ABC，AH⊂平面ABC，∴BB1⊥AH，∵BC∩BB1=B，∴AH⊥平面BCC1B1．又AB=AC=，BC=2，∴AB⊥AC，AH=BC=1，∵BB1⊥C1D，∴S=C1D•BB1==1，∴V=V=S•AH==．∵AB⊥AC，AB⊥AA1，AC∩AA1=A，∴AB⊥平面AA1C1A，∴AB⊥AC1，∵AC1==，∴S==，设D到平面ABC1的距离为h，则V==，解得h=．∴点D到平面ABC1的距离为．【解析】（Ⅰ）连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1的中点，连接OD，则OD∥AC1，故而AC1∥平面A1BD；（Ⅱ）根据V=V计算点D到平面ABC1的距离．本题考查了线面平行的证法，一般有二种方法：一种是证明线线平行；一种是证明面面平行．同时本题也重点考查了点到面的距离的求解，如果直接法困难时，往往采用等积法来求解．19.【答案】解：（Ⅰ）四月前10天订单中百合需求量众数为255，平均数=（231+241+243+244+251+252+255+255+263+265）=250．频率分布直方图补充如下：（Ⅱ）设订单中百合花需求量为a（支），由（Ⅰ）中频率分布直方图，a可能取值为235，245，255，265，相应频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，∴20天中a=235，245，255，265相应的天数为2天，6天，8天，4天．①若空运250支，a=235，当日利润为235×2-250×1.6=70，a=245，当日利润为245×2-250×1.6=90，a=255，当日利润为255×2-250×1.6-15×1.8=101，a=265，当日利润为265×2-250×1.6-15×1.8=103，20天总利润为：70×2+90×6+101×8+103×4=1900元．②若空运255支a=235，当日利润为235×2-255×1.6=62，a=245，当日利润为245×2-255×1.6=82，a=255，当日利润为255×2-255×1.6=102，a=265，当日利润为265×2-255×1.6-10×1.8=104，20天总利润为：62×2+82×6+102×8+104×4=1848元．∵1900＞1848，∴每天空运250支百合花四月后20天总利润更大．【解析】（Ⅰ）根据众数的定义直接可求出众为255．利用平均数的公式可以求出平均数．根据给定的分组，通过计算完成频率分布直方图．（Ⅱ）设订单中百合花需求量为a（支），由（Ⅰ）中频率分布直方图，可以求出a可能取值、a每个可能取值相应频率，a每个可能取值相应的天数．分别求出空运250支，255支百合花时，销售总利润的大小，进行比较，得出结论．本题考查众数、平均数、频率分布直方图；重点考查了学生通过阅读，提取有用信息，用数学知识解决实际生活问题的能力，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）不妨设M（-2，m），N（2，m）k1=，k2=∴k1k2=-=，∴λ=．（Ⅱ）设联立得（1+4k2）x+8km+4m2-4=0，由题意△=16（4k2+1-m2）＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=-，x1x2=，∵k1k2=•==-∴4（kx1+m）（kx2+m）+3（x1-2）（x2-2）=0，∴（4k2+3）x1x2+（4km-6）（x1+x2）+4m2+12=0，∴（4k2+3）•+（4km-6）（-）+4m2+12=0，∴2k2+m2+2km=0，∴m=-k或m=-2k，均符合△＞0．若m=-2k，直线MN：y=k（x-2）过A（2，0），与已知矛盾．∴m=-k，直线MN：y=k（x-1）过定点（1，0）．【解析】本题主要考查椭圆的简单性质，以及椭圆中直线过定点的问题，熟记椭圆的性质，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理等求解，属于常考题型．（Ⅰ）先由k=0，设设M（-2，m），N（2，m），表示出k1，k2，进而可求出结果；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到k，m 的关系式，进而可得出直线所过的定点．21.【答案】解：（Ⅰ）证明：f′（x）=2+ln x，f′（1）=2，f（1）=1y=f（x）在（1，2）处的切线方程为y=2x-1．g′（x）=2a-2（a-1），g′（1）=2，g（1）=1y=g（x）在（1，1）处的切线方程为y=2x-1．所以切线重合．（Ⅱ）（1）令F（x）=g（x）-f（x）=ax2-2（a-1）x+a-1-x-x lnx（x≥1），则F′（x）=2a（x-1）-ln x，①当a≤0时，F′（x）≤0当且仅当x=1时，取等号，F（x）在[1，+∞）递减，F（x）≤F（1）=0，f（x）≤g（x）不成立．②当a＞0时，，（i）当0＜a＜时，时，F″（x）＜0，F′（x）递减，F′（x）＜F′（1）=0，F（x）在递减，F（x）≤F（1）=0，f（x）≤g（x）不恒成立．（ii）当a时，F″（x）≥0，F′（x）在[1，+∞）递增，F′（x）≥F′（1）=0，f（）x在[1，+∞）递增，F（x）≥F（1）=0，f（x）≤g（x）恒成立．综上实数a的取值范围为．（2）证明：由（1）知当a=时，f（x）≤g（x），∀x≥1恒成立．得，令x=1，2，…，n得n个不等式相加得，∴，∴∴．下面只要证明，即，再由不等式得，令得，取k=1，2，3，…，n得n个不等式累加得证明成立．故原不等式成立．【解析】（Ⅰ）先对函数f（x）求导，得到f′（1）=2，再由f（1）=1，根据直线的点斜式方程即可求出y=f（x）在点（1，1）处的切线方程；另外同理求出y=g（x）在（1，1）处的切线方程，即可得出结论成立；（Ⅱ）（1）先令F（x）=g（x）-f（x），对函数F（x）求导，通过讨论a≤0与、研究函数F（x）的单调性，即可得出结果；（2）先由（1）得到当时，f（x）≤g（x），∀x≥1恒成立，得，分别令x=1，2，…，n得个不等式相加得，整理化简得到只要证明即可得出结论成立．本题主要考查导数的几何意义以及导数的应用，通常需要对函数求导，通过研究函数单调等来处理，属于较难题目．22.【答案】解：（Ⅰ）易知直线l的方程为y=x+1，曲线C的方程为+=1．（Ⅱ）将（t参数），代入+=1中得7t2-6-18=0，△＞0设AB所对应的参数分别为t1，t2，t1+t2=，t1t2=-，|AB|=|t1-t2|==．【解析】（Ⅰ）由参数方程消去参数，可直接得出直线的普通方程；根据极坐标方程与直角坐标方程的互化，可直接得出曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将代入+=1得到关于t的一元二次方程，由韦达定理以及|AB|=|t1-t2|即可求出结果本题主要考查参数方程与普通方程的互化、以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式以及弦长公式等即可，属中档题．23.【答案】证明：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，∴a4+b4≥≥[]2=×4解（II）a＞0，b＞0，c＞0，∴a3+b3+c3+（）3≥3+（3）3≥2=18当且仅当a=b=c=时，原式取最小值18．【解析】（Ⅰ）由基本不等式可得，进而可证明出结论；（Ⅱ）由基本不等式可得，进而可得出结果．本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型．。

高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合，则（ ）A. A ⊆BB. B ⊆AC. A ∪B=RD. A ∩B =∅ 2. 已知 z -2=（z +2）i （i 为虚数单位），则复数 z =（）A. 1+2iB. 1-2iC. 2iD. -2i3. 圆 x -4x +y =0 与圆 x +y +4x +3=0 的公切线共有（ ）A. 1 条B. 2 条C. 3 条D.4 条4.将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2 次正面朝上，1 次反面朝上”的概率 为（）5.A.B. C.已知 α 是第三象限角，且 cos （）= ，则 sin2α=（）D.6.A.B. C. D.已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠DAB =60°，点 E ，F 分别为 BC ，CD 的中点，则 （）=A.3B.1C. D.7.8.四棱锥 P -ABCD 中，PA ⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 是正方形，且 PA =AB =2，则直线 PB 与平面 PAC 所成角为（ ）A.B. C. D.将函数 f （x ）=sin （2x + ）的图象向右平移 φ（φ＞0）个单位长度，得到函数 g （x ） 的图象，且 g （-x ）=-g （x ），则 φ 的一个可能值为（）9.A.双曲线 C ：B.C.D.=1（a ＞0，b ＞0），F ，F 分别为其左，右焦点，其渐近线上一点12G 满足 GF ⊥GF 1 2，线段 GF 与另一条渐近线的交点为 H ，H 恰好为线段 GF 的中点，1 1则双曲线 C 的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 410. 已知函数 f （x ）=e -e +，若 f （lg m ）=3，则 f （lg ）=（）A.-4B.-3C.-2D.-111. 已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为（）2 2 2 2 x -xA.B. C. D.8π12. 定义区间[a ，b ]，（a ，b ），（a ，b ]，[a ，b ）的长度为 b -a ．如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为 m （其中 m ∈（0，e ]，e 为自然对数的底数），那么称 这个函数为“m 函数”．下列四个命题：①函数 f （x ）=e +lnx 不是“m 函数”； ②函数 g （x ）=ln x -e 是“m 函数”，且 me =1； ③函数 h （x ）=e lnx 是“m 函数”；④函数 φ（x ）= 是“m 函数”，且 m lnm=1．其中正确的命题的个数为（ ）A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 函数 f （x ）=14. 已 x ，y 满足约束条件，则 f （f （-e ））=______．，则 z =3x +y 的最大值为______．15. 设△ABC 的内角 A ，BC 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b =6，c =4，A =2B ，则a =______． 16.以抛物线 y =2px （p ＞0）焦点 F 为圆心，p 为半径作圆交 y 轴于 A ，B 两点，连结FA 交抛物线于点 D （D 在线段 FA 上），延长 FA 交抛物线的准线于点 C ，若|AD |=m ， 且 m ∈[1，2]，则|FD |•|CD |的最大值为______．三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分）17. 已知 S n 是数列{a }的前 n 项和，S =n +2n ，等比数列{b }的公比为 4，且 a =5b ． nnn 2 1（Ⅰ）求数列{a }，{b }的通项公式； n n（Ⅱ）求数列{a •b }的前 n 项和 T ．n n n18. 如图，直三棱柱 ABC -AB C 中，点 D 是棱 B C 的中点， 1 1 1 1 1AB =AC = ，BC =BB =2． 1（Ⅰ）求证：AC ∥平面 A BD ；1 1（Ⅱ）求点 D 到平面 ABC 的距离．1x x m x 2 2第2 页，共16 页19. 一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货．今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252．（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？20. 椭圆C：=1，点A（2，0），动直线y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，已知直线AM的斜率为k，直线AN的斜率为k，且k，k的乘积为λ．1212（Ⅰ）若k=0，求实数λ的值；（Ⅱ）若，求证：直线MN过定点．21. 已知函数 f （x ）=x +xlnx ，g （x ）=ax -2（a -1）x+a -1． （Ⅰ）求证：曲线 y =f （x ）与 y =g （x ）在（1，1）处的切线重合； （Ⅱ）若 f （x ）≤g （x ）对任意 x ∈[1，+∞）恒成立．（1）求实数 a 的取值范围；（2）求证：ln[（n +1）!•n !]＜（其中 n ∈N *）．22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为ρ =，直线 l与曲线 C 交于 A ，B 两点．（Ⅰ）求直线 l （Ⅱ）求|AB |．的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； 23. （Ⅰ）已知 a ＞0，b ＞0，且 a +b =2，求证：a +b≥2；（Ⅱ）已知 a ＞0，b ＞0，c ＞0，求 a +b +c +（ ） 的最小值，并写出取最小值时 a ，b ，c 的值．2 2 4 43 3 33答案和解析1.【答案】C【解析】解：A ={x |x ＜0，或 x ＞2}，且 ；∴A ∪B =R ．故选：C ．容易求出集合 A ={x |x ＜0，或 x ＞2}，从而可判断集合 A ，B 的关系． 考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及并集的概念． 2.【答案】C【解析】解：∵z -2=（z +2）i ，∴z （1-i ）=2+2i ，故 z =．故选：C ．先将式子化为 z （1-i ）=2+2i ，再由复数的除法运算即可得出结果． 本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型． 3.【答案】D【解析】解：根据题意，圆 x -4x +y =0，即（x -1） +y =4，其圆心坐标为（2，0）半径 为 2；圆 x +y +4x +3=0，即圆（x +2） +y =1，其圆心坐标为（-2，0）半径为 1； 则两圆的圆心距为 4，两圆半径和为 3，因为 4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有 4 条． 故选：D ．根据题意，把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较 圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而分析可得答案． 本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数．解决的方法就是利用圆的标 准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系．4.【答案】B【解析】解：将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2 次正面朝上，1 次反面朝上”的概率是 P == ．故选：B ．此问题相当于进行 3 次独立重复试验恰好发生 2 次正面朝上的概率． 本题考查了 n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率． 5.【答案】A【解析】解：cos （）= ，可得 sin α=，∵sin α+cos α=1，α 是第三象限角∴cosα=-=- ，∴sin2α=2sin αcos α= ．故选：A ．由诱导公式可以求出角 α 的正弦值，再由同角的正弦值与余弦值的平方和为1 这一关系，2 2 2 22 2 2 2 2 2可求出α的余弦值，最后运用二倍角正弦公式求出sin2α．本题考查了三角函数的诱导公式、同角正弦函数与余弦函数的关系、二倍角公式．6.【答案】D【解析】解：点E为BC的中点，；所以= +=+=+点F为CD的中点，所以=+=+=+=-，可得•=（+）•（-）=•-2+-•=•-||+||，222因为菱形ABCD的边长为2，所以||=||=2，又因为∠DAB=60°，可得•=•= •2•2•cos60°=•4•=．故选：D．先确定一组基底，利用向量加法运算法则，用这对基底把，表示出来，然后进行数量积计算．本题考查了向量的数量积运算、向量的加法运算、菱形的几何性质，考查化简运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：连接AC交BD于点O，因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA，PA AC=A，因此BD⊥平面PAC；故BO⊥平面PAC；连接OP，则∠BPO即是直线PB与平面PAC所成角，又因PA=AB=2，所以PB=2，BO=．所以sin∠BPO==，所以∠BPO=．故选：A．连接AC交BD于点O，连接OP，证明BO⊥平面PAC，进而可得到∠BPO即是直线PB与平面PAC所成角，根据题中数据即可求出结果．本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型．先由题意写出g（x）解析式，根据g（-x）=-g（x），可知g（x）为奇函数，进而可求出φ．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）=sin（2x-2φ+）的图象，又g（-x）=-g（x），所以g（x）为奇函数，∴-2φ+=kπ，k∈Z，∴可取φ=，故选：A．9.【答案】B【解析】解：由题意得双曲线C：=1（a＞0，b＞0），的渐近线方程为，焦点坐标为F （-c，0），F（c，0）；不妨令G在渐近线12设G（x，x），上，则H在y=-x上，由GF⊥GF，得，即12又H恰好为线段GF的中点，所以H（1，解得x=a，所以G（a，b），，），因H在y=-x上，所以故选：B．，因此c=2a，故离心率为2．根据题意得到双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为F （-c，0），F（c，0）；12不妨令G在渐近线上，则H在y=-x上，设G（x，x），根据题意求出G点坐标，再得到H的坐标，将H坐标代入直线y=-，即可得出结果．本题主要考查双曲线的斜率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型．10.【答案】C【解析】解：根据题意，f（x）=e-e+，则f（-x）=e-e+，则f（x）+f（-x）=1，若f（lgm）=3，则f（lg）=f（-lg m）=1-f（lg m）=1-3=-2；故选：C．根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）+f（-x）=1，又由f（lg m）=3，则f（lg）=f （-lg m）=1-f（lg m），计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及对数的运算性质，属于基础题．11.【答案】Cx-x-x x【解析】解：根据三视图，在长方体中还原该三 棱锥为 P -ABC ，且长方体的底面边长为 2，高为 ；取 AB 中点为 D ，上底面中心为 E ，连接 DE ， EP ，则 DE = ，EP =1，因为三角形 ABC 为直角三角形，所以 D 点为三 角形 ABC 的外接圆圆心，因此三棱锥的外接球球心，必在线段 DE 上，记 球心为 O ，设球的半径为 R ，则 OB =OP =R ，所以有 OE ==，OD ==，因此，解得所以该三棱锥的外接球表面积为 4πR =．，故选：C ．先在长方体中还原该三棱锥为 P -ABC ，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位 置，设球的半径为 R ，列出方程即可求出结果．本题主要考查几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考 题型．12.【答案】B【解析】解：命题①：f （x ） 定义域为（0，+∞），在定义域上 f （x ）是单调递增，显 然这个区间没有长度，因此函数 f （x ）不是“m 函数”，故命题①是真命题．命题②：g （x ）的定义域为（0，+∞），g ′（x ）= -e =当 g ′（x ）＞0 时，函数 g （x ）是增函数，∵x ＞0，∴1-xe ＞0 得 ＞e ，构造两个函数，v （x ）= 和 u （x ）=e ，图象如下图所示：通过图象可知当 x ∈（0，m ），u （x ）＞v （x ）而 v （1）=e ＞u （1）=1，即 m ∈（0，1）， u（m ）=v （m ），所以当 x ∈（0，m ），时，函数 g （x ）是增函数，增区间的长度为 m ， 又因为 m ∈（0，1），显然有 m ∈（0，e ），成立，所以函数 g （x ）是“m 函数”，∵u （m ）=v （m ），∴ =e 即 me =1成立，故命题②是真命题．2 x x x x m m命题③：函数 h （x ）=e ln x 定义域为（0，+∞），h ′（x ）=e （ln x + ）显然 x ＞1 时，h ′（x ）＞0，此时函数 h （x ）是单调递增函数，增区间为（1，+∞）， 而区间（1，+∞）没有长度，故函数 h （x ）=e lnx 不是“m 函数”，故命题③是假命题．命题④：函数 φ（x ）=定义域（0，+∞），φ′（x ）=当 φ′（x ）＞0 时，φ（x ）是增函数，故只需 1-x lnx ＞0 成立，φ（x ）是增函数，也就是 ＞ln x 成立，φ（x ）是增函数，构造两个函数，u （x ）= ，w （x ）=ln x 如下图所 示：通过图象可知：当 x ∈（0，m ）时，u （x ）＞w （x ），而 u （e ）= ＜w （e ）=1，所以 m＜e ．从而有 x ∈（0，m ）时， ＞ln x 时，函数 φ（x ）是增函数，显然区间（0，m ）， 长度为 m ，而 m ＜e所以函数 φ（x ）=是“m 函数”，又 u （m ）=w （m ），即 m lnm=1．故命题④是真命题．综上所述：正确的命题的个数为 3 个， 故选：B ．利用导数、函数的图象，结合“m 函数”的定义，对四个命题逐一判断即可得到结论． 本题考查命题的真假关系，考查了利用函数的导数、函数的图象找函数增区间的数学能 力．重点考查了学生阅读能力、知识的迁移能力、数形结合的数学思想．综合性较强， 有一定的难度．13.【答案】e【解析】【分析】本题考查求函数值，分段函数中的求函数值问题是比较常见的一种题型，属于基础题． 根据题意，由函数的解析式求出 f （-e ）的值，进而又由 f （f （-e ））=f （1），计算可 得答案． 【解答】解：根据题意，f （x ）= 则 f （-e ）=ln e =1，则 f （f （-e ））=f （1）=e =e ；故答案为：e ．，第 9 页，共 16 页x x x 114.【答案】3【解析】解：根据约束条件可以画出可行域，如下图所示：由 z =3x +y ，可知直线 y =-3x +z 过 A （1，0）时，z 有最大值为 3×1+0=3． 故答案为：3．先根据约束条件画出可行域，求出各直线的交点，通过分析能求出目标函数的最大值． 本题考查了线性归划问题．解决此类问题的关键是画出可行域，然后根据目标函数的几 何意义求出最值．15.【答案】2【解析】解：根据题意， △在ABC 中，b =6，c =4，A =2B ；由正弦定理可得=，即=，变形可得 cos B= ，又由余弦定理可得 cos B = 则有= ，解可得 a =2 ， 故答案为：2 ．=，根据题意，由正弦定理可得=，即=，变形可得 c os B = ，又由余弦定理可得 cos B ==，联立可得= ，解可得 a 的值，即可得答案．本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型． 16.【答案】32【解析】解：由题意可得抛物线 y =2px （p ＞0）的焦点为 F （ ，0），准线方程为x =- ，所以以 F 为圆心，p 为半径的圆的方程为+y=p ，因为 A ，B 两点为圆+y =p 与 y 轴的两个交点，不妨令 A 为 y 轴正半轴上的点，2 2 2 2 2由 x =0 得，A （0， ）；所以直线 AF 的斜率为 k =AF=-，因此直线 AF 的方程为 y =- x +，由得 C （-，p ）；由得 D （ ， ），所以|FD |= + = ，|C D |== p ，|AD|== p ，又|AD |=m ，且 m ∈[1，2]，所以 p ∈[1，2]，即 p ∈[3，6]，因此|PD |•|CD |= p ≤32，当且仅当 p =6 时，取等号．故答案为：32．由题意得到以 F 为圆心，P 为半径的圆的方程，再令 A 为 y 轴正半轴上的点，从而求出 A 点坐标，得到直线 A F 的方程，分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出C 、D 两点坐标，即可用 p 表示出|FD |•|CD |，再由|AD |=m ，且 m ∈[1，2]，求出 p 的范围，即 可得出结果．本题主要考查抛物线的性质，通常需要联立直线与抛物线方程等求解，是中档题． 17.【答案】解：（I ）∵S =n +2n ，n ≥2，S =（n -1） +2（n -1）， ∴an =2n +1． n=1 时，a =S =3，对于上式也成立．1 1∴a n =2n +1． a =5b ． 2 1∵5b =a =5，解得 b =1． 1 21∴bn =4 ．（II ）∵a •b =（2n +1）•4 ． ∴T n =3+5×4+7×4 +……+（2n +1）•4 ．4T =3×4+5×4 +7×4 +……+（2n -1）•4 +（2n +1）•4 ． n∴-3T=3+2（4+4 +……+4 n）-（2n +1）•4 =3+2×-（2n +1）•4 n，∴T n=- +•4 ．【解析】（I ）由 S =n +2n ，n ≥2，S =（n -1） +2（n -1），可得 a ．n =1 时，a =S ，可 n n -1 n 1 1得 a ．a =5b ．解得 b ．可得 b ．n 2 1 1 n （II ）a •b =（2n +1）•4 ．利用错位相减法即可得出．n n本题考查了数列递推关系、等差数列等比数列的通项公式求和公 式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18.【答案】（Ⅰ）证明：连接 AB ，交 A B 于点 O ，则 O 为 AB1 1 1 的中点，2 2 2 n n -1n -1 n -1n n n -1 2n -1 n2 3 2 n -1 n n 2 2n -1 1 1 1第11 页，共16 页∴AC ∥平面 A 11BD ．（Ⅱ）解：取 BC 的中点 H ， ∵AB =AC ，∴BC ⊥AH ，∵BB ⊥平面 ABC ，AH ⊂平面 ABC ，∴BB ⊥AH ， 11∵BC ∩BB 1=B ，∴AH ⊥平面 BCC B ．又 AB =AC =，BC =2，∴AB ⊥AC ，AH= BC =1，∵BB ⊥C D ，∴S= C D •BB =11=1，∴V=V= S•AH== ．∵AB ⊥AC ，AB ⊥AA 1，AC ∩AA =A ， 1 ∴AB ⊥平面 AA C A ，∴AB ⊥AC ，∵AC 1= =，∴S ==，设 D 到平面 ABC 的距离为 h ，则 V1解得 h = ．∴点 D 到平面 ABC 的距离为 ． 1== ，【解析】（Ⅰ）连接 AB ，交 A B 于点 O ，则 O 为 AB 的中点，连接 OD ，则 OD ∥AC ， 故而 AC ∥平面 A 1 （Ⅱ）根据 V BD ； 1 =V计算点 D 到平面 ABC 的距离． 1 本题考查了线面平行的证法，一般有二种方法：一种是证明线线平行；一种是证明面面 平行．同时本题也重点考查了点到面的距离的求解，如果直接法困难时，往往采用等积 法来求解．19.【答案】解：（Ⅰ）四月前 10 天订单中百合需求量众数为 255，平均数 = （231+241+243+244+251+252+255+255+263+265）=250．频率分布直方图补充如下：（Ⅱ）设订单中百合花需求量为 a （支），由（Ⅰ）中频率分布直方图， a 可能取值为 235，245，255，265，相应频率分别为 0.1，0.3，0.4，0.2， ∴20 天中 a =235，245，255，265 相应的天数为 2 天，6 天，8 天，4 天．1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1①若空运 250 支，a =235，当日利润为 235×2-250×1.6=70， a =245，当日利润为 245×2-250×1.6=90，a =255，当日利润为 255×2-250×1.6-15×1.8=101， a =265，当日利润为 265×2-250×1.6-15×1.8=103，20 天总利润为：70×2+90×6+101×8+103×4=1900 元． ②若空运 255 支a =235，当日利润为 235×2-255×1.6=62， a =245，当日利润为 245×2-255×1.6=82， a =255，当日利润为 255×2-255×1.6=102，a =265，当日利润为 265×2-255×1.6-10×1.8=104，20 天总利润为：62×2+82×6+102×8+104×4=1848 元．∵1900＞1848，∴每天空运 250 支百合花四月后 20 天总利润更大．【解析】（Ⅰ）根据众数的定义直接可求出众为 255．利用平均数的公式可以求出平均 数．根据给定的分组，通过计算完成频率分布直方图．（Ⅱ）设订单中百合花需求量为 a （支），由（Ⅰ）中频率分布直方图，可以求出 a 可 能取值、a 每个可能取值相应频率，a 每个可能取值相应的天数．分别求出空运 250 支， 255 支百合花时，销售总利润的大小，进行比较，得出结论．本题考查众数、平均数、频率分布直方图；重点考查了学生通过阅读，提取有用信息， 用数学知识解决实际生活问题的能力，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）不妨设 M （-2 ，k =k =1 2∴k k =-= ，1 2∴λ=．，m ），N （2，m ）（Ⅱ）设联立得（1+4k ）x +8km +4m -4=0，由题 △意=16（4k +1-m ）＞0，设 M （x ，y ），N （x ，y ），1122∴x +x =-12，x x =1 2，∵k k =1 2•==-∴4（kx 1+m ）（kx +m ）+3（x -2）（x -2）=0，2 1 2 ∴（4k +3）x x +（4km -6）（x +x ）+4m +12=0，1 212∴（4k +3）•+（4km -6）（-）+4m +12=0，∴2k +m +2km =0，∴m =-k 或 m =-2k ，均符 △合＞0．若 m =-2k ，直线 MN ：y =k （x -2）过 A （2，0），与已知矛盾． ∴m =-k ，直线 MN ：y =k （x -1）过定点（1，0）．【解析】本题主要考查椭圆的简单性质，以及椭圆中直线过定点的问题，熟记椭圆的性 质，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理等求解，属于常考题型．2 2222 22 22 2（Ⅰ）先由k=0，设设M（-2，m），N（2，m），表示出k，k，进而12可求出结果；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，设M（x，y），N（x，y），根据韦达定理得到k，m1122的关系式，进而可得出直线所过的定点．21.【答案】解：（Ⅰ）证明：f′（x）=2+ln x，f′（1）=2，f（1）=1y=f（x）在（1，2）处的切线方程为y=2x-1．g′（x）=2a-2（a-1），g′（1）=2，g（1）=1y=g（x）在（1，1）处的切线方程为y=2x-1．所以切线重合．（Ⅱ）（1）令F（x）=g（x）-f（x）=ax-2（a-1）x+a-1-x-x lnx（x≥1），则F′（x）=2a（x-1）-ln x，①当a≤0时，F′（x）≤0当且仅当x=1时，取等号，F（x）在[1，+∞）递减，F（x）≤F（1）=0，f（x）≤g（x）不成立．②当a＞0时，，（i）当0＜a＜时，=0，时，F″（x）＜0，F′（x）递减，F′（x）＜F′（1）F（x）在（ii）当a递减，F（x）≤F（1）=0，f（x）≤g（x）不恒成立．时，F″（x）≥0，F′（x）在[1，+∞）递增，F′（x）≥F′（1）=0，f（）x在[1，+∞）递增，F（x）≥F（1）=0，f（x）≤g（x）恒成立．综上实数a的取值范围为．（2）证明：由（1）知当a= 时，f（x）≤g（x），∀x≥1恒成立．得，令x=1，2，…，n得n个不等式相加得，∴∴，∴．下面只要证明，即，再由不等式得，令得，2取 k =1，2，3，…，n 得 n 个不等式累加得证明成立．故原不等式成立．【解析】（Ⅰ）先对函数 f （x ）求导，得到 f ′（1）=2，再由 f （1）=1，根据直线的点 斜式方程即可求出 y =f （x ）在点（1，1）处的切线方程；另外同理求出 y =g （x ）在（1， 1）处的切线方程，即可得出结论成立；（Ⅱ）（1）先令 F （x ）=g （x ）-f （x ），对函数 F （x ）求导，通过讨论 a ≤0 与研究函数 F （x ）的单调性，即可得出结果；、（2）先由（1）得到当时，f （x ）≤g （x ），∀x ≥1 恒成立，得，分别令 x =1，2，…，n 得个不等式相加得，整理化简得到只要证明即可得出结论成立．本题主要考查导数的几何意义以及导数的应用，通常需要对函数求导，通过研究函数单 调等来处理，属于较难题目．22.【答案】解：（Ⅰ）易知直线 l的方程为 y =x +1，曲线 C 的方程为 + =1．（Ⅱ）将（t参数），代入 + =1 中得 7t -6-18=0 △，＞0设 AB 所对应的参数分别为 t ，t 12，t +t = 1 2，t t =- ， 1 2|AB |=|t -t |=1 2= ．【解析】（Ⅰ）由参数方程消去参数，可直接得出直线的普通方程；根据极坐标方程与 直角坐标方程的互化，可直接得出曲线 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将代入 + =1 得到关于 t的一元二次方程，由韦达定理以及|AB |=|t -t |1 2即可求出结果本题主要考查参数方程与普通方程的互化、以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟 记公式以及弦长公式等即可，属中档题．23.【答案】证明：（Ⅰ）∵a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥≥ [ ] = ×4解（II ）a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a +b +c +（ ）≥3+（3 ）≥2=18当且仅当 a =b =c =时，原式取最小值 18．【解析】（Ⅰ）由基本不等式可得，进而可证明出结论； （Ⅱ）由基本不等式可得，进而可得出结果．2 4 4 23 3 3 3 3本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型．。

东北三省三校2022届高三第二次联合模拟考试数学（文科）试题本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2log 1M x x =<，{}21N x x =≤，则M N ⋃=（ ）A ．(],1-∞B ．(),2-∞C ．[)1,2-D ．(]0,12．复数43i2iz -=-（其中i 为虚数单位）的模为（ ）A ．1B C ．D ．53．双曲线221169x y -=的渐近线方程是（ ）A ．34yx B ．35y x =±C ．43y x =±D ．53y x =±4．命题“2x ∀≥，2440x x -+≥”的否定是（ ） A ．2x ∀≥，2440x x -+< B ．2x ∃<，2440x x -+< C ．2x ∀<，2440x x -+<D ．2x ∃≥，2440x x -+<5．为研究变量x ，y 的相关关系，收集得到下面五个样本点（x ，y ）：若由最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为 3.2y x a =-+，则据此计算残差为0的样本点是（ ）A ．（9，11） B ．（10，8）C ．（10.5，6）D ．（11．5）6．将函数sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增B ．在区间（6π-，12π）上单调递减 C ．图象关于点（3π，0）对称D ．图象关于直线12x π=对称7．下列说法错误．．的是（ ） A ．由函数1y x x -=+的性质猜想函数1y x x -=-的性质是类比推理 B ．由ln10≤，ln 21<，ln32<…猜想()ln 1N*n n n ≤-∈是归纳推理 C ．由锐角x 满足sin x x <及0122ππ<<，推出sin1212ππ<是合情推理D ．“因为()cos cos x x -=恒成立，所以函数cos y x =是偶函数”是省略大前提的三段论 8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4a =，sin 2sin A C =，1cos 4A =-，则ABC 的面积S =（ ）A B ．C ．1 D9．已知圆锥的顶点为点S 倍，点A ，B 是底面圆周上的两点，当SAB △是等边三角形时面积为 ）AB ．C ．D ．10．定义域为R 的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-+，则()2022f =（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．不确定11．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为点F ，过原点O 的直线与椭圆交于P ，Q两点，若120PFQ ∠=︒，OF =OP =C 的离心率为（ ）A B C D 12．已知实数,,a b c 满足2a <，ln 2ln 22a a a -=-，b <ln b b b 12c >，111ln ln 222c c c -=-，则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a c b << D ．a b c <<二、填空题13．盒子中装有编号为0，1，2，3，4的五个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______．14．在爱尔兰小说《格列佛游记》里，有格列佛在小人国一顿吃了1728份小人饭的叙述，作者为什么要使用这么复杂的数字呢？许多研究者认为，之所以选用这个数字，跟英国人计数经常使用的十二进制有关系．中国文化中，十二进制也有着广泛应用，如12地支，12个时辰，12生肖…．十二进制数通常使用数字0—9以及字母A ，B 表示，其中A 即数字10，B 即数字11．对于下面的程序框图，若输入a=1728，k=12，则输出的数为________．15．在正六边形ABCDEF 中，点G 为线段DF （含端点）上的动点，若CG CB CD λμ=+（λ，μ∈R ），则λμ+的取值范围是________．16．如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF DE ∥，且2AB DE ==，1CF =，G 为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为棱DE 的中点时，GH ∥平面ABE ； ①存在点H ，使得GH AC ⊥； ①三棱锥B GHF -的体积为定值； ①三棱锥A BCF -的外接球表面积为9π．其中正确的结论序号为______．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题17．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，12BA BB ==，点D 是棱1AA 的中点．(1)求证：1BD B C ⊥； (2)求点B 到平面1DCB 的距离．18．五常市是黑龙江省典型农业大县（市）、国家重要的商品粮食基地，全国粮食生产十大先进县之一，也是全国水稻五强县之一，被誉为张广才岭下的“水稻王国”．五常大米受产区独特的地理、气候等因素影响，干物质积累多，直链淀粉含量适中，支链淀粉含量较高．由于水稻成熟期产区昼夜温差大，大米中可速溶的双链糖积累较多，对人体健康非常有益．五常大米根据颗粒、质地、色泽、香味等评分指标打分，得分在区间0,25，(]25,50，(]50,75，(]75,100内分别评定为四级大米、三级大米、二级大米、一级大米．某经销商从五常市农民手中收购一批大米，共400袋（每袋25kg ），并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图所示：(1)求a 的值，并用样本估计，该经销商采购的这批大米中，一级大米和二级大米的总量能否达到采购总量一半以上；(2)该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案：方案1：将采购的400袋大米不经检测，统一按每袋300元直接售出；方案2：将采购的400袋大米逐袋检测分级，并将每袋大米重新包装成5包（每包5kg ），检测分级所需费用和人工费共8000元，各等级大米每包的售价和包装材料成本如下表所示：该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？通过计算说明理由．19．已知等差数列{}n a 公差不为零，1235a a a a ++=，238a a a ⋅=，数列{}n b 各项均为正数，11b =，221132n n n n b b b b ++-=．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)若16n n a b λ++≥恒成立，求实数λ的最小值． 20．设函数()()()ln 12af x x a x x =+-+． (1)若2a =，过点()2,8A --作曲线()y f x =的切线，求切点的坐标； (2)若()f x 在区间()2,+∞上单调递增，求整数a 的最大值．21．已知点F 为抛物线E ：22y px =（0p >）的焦点，点P （−3，2），PF =，若过点P 作直线与抛物线E 顺次交于A ，B 两点，过点A 作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C ． (1)求抛物线E 的标准方程； (2)求证：直线BC 过定点；(3)若直线BC 所过定点为点Q ，①QAB ，①PBC 的面积分别为S 1，S 2，求12S S 的取值范围22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点,A B 的极坐标分别为5(2,),(2,)44A B ππ，圆1C 以AB 为直径，直线l 的极坐标方程为cos 64πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． (1)求圆1C 及直线l 的直角坐标方程； (2)圆1C经过伸缩变换2x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩得到曲线2C ，已知点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 距离的取值范围．23．已知函数()2121f x x x =--+的值域为[],M a b =． (1)若x M ∈，y M ∈，求证：22221644x y x y +≥+； (2)若2y az +<，1by z +<，求证：1z <．参考答案：1．C 【解析】 【分析】求出集合M ，N ，然后进行并集的运算即可. 【详解】①{}02M x x =<<，{}11N x x =-≤≤， ①[1,2)M N ⋃=-. 故选：C . 2．B 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算化简z ，再求其模长即可. 【详解】 因为43i 2iz -=-()()()()43i 2i 112i 112i 2i 2i 555-+-===--+，故z故选：B. 3．A 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求解. 【详解】因为双曲线方程为221169x y -=，所以a =4，b =3， 所以其渐近线方程是34y x ， 故选：A 4．D【解析】 【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果. 【详解】命题2x ∀≥，2440x x -+≥的否定是：2x ∃≥，2440x x -+<. 故选：D. 5．B 【解析】 【分析】先求出线性方程的样本中心点，从而可求得 3.240y x =-+，再根据残差的定义可判断. 【详解】 由题意可知，99.51010.511105x ++++==，111086585y ++++==所以线性方程的样本中心点为(10,8)， 因此有8 3.21040a a =-⨯+⇒=， 所以 3.240y x =-+，在收集的5个样本点中，(10,8)一点在 3.240y x =-+上，故计算残差为0的样本点是(10,8).故选：B 6．A 【解析】 【分析】根据函数的伸缩变换和平移变换得到()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，逐项判断.【详解】将函数sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位，得()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,662πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭x ，故A 正确；因为,612x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,062ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭x ，故B 错误；sin 2sin 103362ππππf ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；sin 2sin 00112126πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误； 故选：A 7．C 【解析】 【分析】根据类比推理、归纳推理、合情推理、演绎推理的概念判断. 【详解】A 中两个函数形式相似，因此可以根据前者的性质猜测后者的性质，是类比推理，A 正确；B 中，由特殊到一般的猜想推理，是归纳推理，B 正确；C 中是三段论的演绎推理，不属于合情推理，C 错；D 中，省略了大前提：函数()f x 满足()()f x f x -=恒成立，则()f x 是偶函数，D 正确. 故选：C. 8．D 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合余弦定理、三角形面积公式、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】根据正弦定理，由4a =，sin 2sin 22A C a c c =⇒=⇒=， 由余弦定理可知：222212cos 16422()4a b c bc A b b =+-⋅⇒=+-⋅⋅-，解得3b =，或4b =-（舍去），因为1cos 4A =-，所以si n A ==因此11sin 3222S bc A =⋅=⨯⨯=， 故选：D 9．D 【解析】【分析】根据SAB △是等边三角形时面积为径，然后由圆锥的侧面积公式求解. 【详解】解：设圆锥的高为h ，母线为l ，底面半径为r ，则由题意得h ，21sin 602l =，所以l =又222l h r =+，则2r =，所以圆锥的侧面积为S rl π==， 故选；D 10．A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式可以求出函数的周期，利用周期进行求解即可. 【详解】因为函数()f x 是奇函数， 所以()()f x f x -=-，所以由()()()()()()()2242f x f x f x f x f x f x f x =-+⇒-=+=-⇒+=-+()()4f x f x ⇒=+，所以该函数的周期为4，所以()()()()()20225054222200f f f f f ==-+=⨯+==， 故选：A 11．B 【解析】 【分析】设F '为椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性，得到,2PF QF m PF QF a m ''====-，分别在PQF △和FQF '，利用余弦定理列出方程组，求得3a =，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】解：设F '为椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性可知，四边形PFQF '为平行四边形， 令,2PF QF m PF QF a m ''====-，在PQF △中，22PQ OP == 则2222cos 28PF FQ PF FQ PFQ PQ +-∠==， 即22(2)(2)28m a x x a x +-+-=在FQF '中，18060FPF PFQ '∠=-∠=， 则2222cos 12PF PF PF PF FPF FF ''''+-∠==， 即22(2)(2)12m a x x a x +---=，联立方程组22)222)2((2)28((2)12a x a x m x a x m x a x --⎧++-=⎨+--=⎩，解得3a =，因为c OF ==c e a ==. 故选：B.12．D 【解析】 【分析】令()ln f x x x x =-，利用导数可求得()f x 的单调性，可知()()10f x t t =-<<有两个不等解12,x x ，并得到101x <<，21e x <<，根据()()()()212f a f f b f f c f ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩和()2f f>可确定,,a b c 的大小关系. 【详解】由题意得：ln 2ln 22ln 111ln ln 222a a a b b b c c c ⎧-=-⎪⎪-⎨⎪⎪-=-⎩令()ln f x x x x =-，则()ln f x x '=，∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>；()f x ∴在()0,1上的单调递减，在()1,+∞上单调递增；()()min 11f x f ∴==-；又()e 0f =，当()0,1x ∈时，()0f x <；∴方程()()10f x t t =-<<有两个不等解12,x x ，101x ∴<<，21e x <<； ()()()()212f a f f b f f c f ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，又1012e 2<<<<<，01a ∴<<，01b <<，1e c <<；又()2f f>，()()f a f b ∴>，a b ∴<；综上所述：a b c <<. 故选：D. 13．910##0.9 【解析】 【分析】列举出基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解. 【详解】盒子中装有编号为0，1，2，3，4的五个球，从中任意取出两个，有：01，02，03，04，12，13，14，23，24，34共10种，其中积为偶数的有：01，02，03，04，12，14，23，24，34共9种，故所取的这两个球的编号之积为偶数的概率是910p =. 故答案为：910. 14．1000 【解析】 【分析】利用程序框图，模拟程序框图的运行过程即可求解 【详解】输入a k ==172812，，q =÷=1728121440；a k ==14412，，q =÷=14412120；a k ==1212，，q =÷=121210；a k ==112，，q =÷=11201；所以输出的数为1000. 故答案为：1000. 15．[1,4] 【解析】 【分析】以正六边形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，根据已知条件，用点G 的横坐标表示λμ+，结合点G 横坐标的取值范围，即可求得结果.【详解】根据题意，不妨设正六边形ABCDEF 的边长为O 建立平面直角坐标系，如下所示：则可得())()),,,3F DC B--，设点G 的坐标为(),m n ，则()()()23,,3,3,3,3CG m n CB CD =-=--=-，由CG CB CD λμ=+可得：m -=，即2λμ+=+，数形结合可知：m ⎡∈-⎣，则[]21,4+∈，即λμ+的取值范围为[]1,4. 故答案为：[]1,4. 【点睛】本题考查用解析法处理平面向量中的范围问题，解决问题的关键是用点G 的坐标表达λμ+，属中档题.16．①①① 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合棱锥体积的计算公式，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可. 【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，因为,H M 分别为,ED EA 的中点， 故可得MH //AD ，12MH AD =， 根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =， 故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则HG //MB ，又MB ⊂平面,ABE HG ⊄平面ABE ， 故HG //面ABE ，故①正确；对①：因为ED ⊥平面,,ABCD DA DC ⊂平面ABCD ， 故,DE DA DE DC ⊥⊥， 又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：则()()()2,0,0,0,0,2,1,2,0A E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈， 若GH ①AE ，则()()1,2,2,0,20GH AE m ⋅=--⋅-=， 即220m +=，解得1m =-，不满足题意，故①错误； 对①：B GFH H BGF V V --=，因为,,B F G 均为定点，故BGFS为定值，又DE //,CF CF ⊂平面,BGF DE ⊄平面BGF ， 故DE //面BGF ，又点H 在DE 上运动，故点H 到平面BGF 的距离是定值， 故三棱锥B GFH -的体积为定值，则①正确；对①：由题可得CF ⊥平面ABCD ，又面ABCD 为正方形， ①,,AB BC CF AB BC CF C ⊥⊥⋂=，①AB ①平面BCF ，则AB ，BC ，CF 两两垂直， ①AF 为三棱锥A BCF -的外接球的直径， 又22222212219AF AB BC CF =++=++=， ①三棱锥A BCF -的外接球表面积为9π，故①正确. 故答案为：①①①. 17．(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）取AB 的中点为M ，连接1B M ，CM ，易知1B BM BAD △△≌，得到1BD B M ⊥，再由CM ⊥平面11ABB A ，得到BD CM ⊥，然后证明BD ⊥平面1B CM 即可；（2）设点B 到平面1DCB 的距离为h ，利用等体积法，由11113B DCB DCBC BDB V S h V --=⋅=△求解.(1)证明：如图所示：设AB 的中点为M ，连接1B M ，CM ， ①正方形11ABB A 中，1B B BA =，BM AD =，①1B BM BAD △△≌， ①1BD B M ⊥，①1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ， ①1AA CM ⊥，又AC BC =，M 为AB 中点， ①CM AB ⊥， ①1AB AA A ⋂=， ①CM ⊥平面11ABB A ， ①BD ⊂平面11ABB A ， ①BD CM ⊥，①1B M CM M ⋂=，1B M ⊂平面1B CM ，CM ⊂平面1B CM ， ①BD ⊥平面1B CM ， ①1B C ⊂平面1B CM ， ①1BD B C ⊥； (2)设点B 到平面1DCB 的距离为h ， ①11113B DCB DCBC BDB V S h V --=⋅=△，①1B D DC =1=BC ，①112DCB S =⨯=△由（1）CM ⊥平面11ABB A ，①2CM ==1C BDB -的高， 又112222BDB S =⨯⨯=△，①1123C BDB V -=⨯①13h =①h =故点B 到平面1DCB 18．(1)0.010a =，能达到(2)该经销商采用方案2所得利润更大，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1，求出a ，即可判断； （2）分别计算方案1和方案2的收入，即可判断. (1)①()0.0040.0120.014251a +++⨯=①0.010a = ①()0.0140.010250.60.5+⨯=>①估计经销商采购的这批大米中，一级大米和二级大米的总量能够达到采购总量的一半以上． (2)若经销商采用方案1，则收入为400300120000⨯=元． 若经销商采用方案2400袋大米中四级大米约4000.0042540⨯⨯=袋，405200⨯=包 三级大米约4000.01225120⨯⨯=袋，1205600⨯=包 二级大米约4000.01425140⨯⨯=袋，1405700⨯=包 一级大米约4000.01025100⨯⨯=袋，1005500⨯=包400袋大米共卖20055600687008550098160300⨯+⨯+⨯+⨯=元 400袋大米的包装袋成本为20026002700450056900⨯+⨯+⨯+⨯=元， ①收入为16030069008000145400--=元 ①145400120000>，且400袋大米成本相同， ①该经销商采用方案2所得利润更大．19．(1)21n a n =-，113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)181【解析】 【分析】（1）求数列{}n a 的通项公式，根据等差数列，利用基本量计算即可求解，求数列{}n b 的通项公式，先因此分解，得到数列{}n b 为等比数列后可求解； （2）根据（1）得273n n λ-≥，再令273nnn c -=，再研究其单调性可求解. (1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件，()()11111334,27,a d a d a d a d a d +=+⎧⎨++=+⎩ 解得100a d =⎧⎨=⎩，或112a d =⎧⎨=⎩，①0d ≠，①112a d =⎧⎨=⎩ ①1(1)221n a n n =+-⨯=-①2211320n n n n b b b b +++-=，①()()1130n n n n b b b b +++-=，①0n b >，①113n n b b +=又110b =≠，①0n b ≠，①113n n b b +=， ①{}n b 是以1为首项，13为公比的等比数列．①113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)①11,213n n n b a n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，①16n n a b λ++≥， 即62113nn λ+≥-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即273nn λ-≥恒成立， 设273n n n c -=，则11125274(4)333n nn n n n n n c c +++-----=-=， 即1,2,3n =时1n n c c +>；4n =时1n n c c +=；5,n n N *≥∈时1n n c c +<，①4n =或5时，181n c =为{}n c 的最大项． ①181λ≥，故实数λ的最小值为181．20．(1)切点坐标为()1,2-和()4,12ln 25- (2)8 【解析】 【分析】（1）设切点为()00,P x y ，表示出点P 处切线方程，将()2,8A --代入解得01x =，或04x =，求出切点坐标为()1,2-和()4,12ln 25-； （2）把题意转化为2x >时，()ln 102a ag x x x =++-≥恒成立，()221a x a g x x x x-'=-=.对a 分类讨论：i.2a ≤时，ii.2a >时，分别求出满足条件的整数a 的范围，即可求得. (1)2a =时，()()()2ln 1f x x x x =+-+，()()2ln 0f x x x x'=+>， 设切点为()00,P x y ，则点P 处切线方程为：()()()00000022ln 1ln y x x x x x x x ⎛⎫-+++=+- ⎪⎝⎭，将()2,8A --代入得：()()()000000282ln 1ln 2x x x x x x ⎛⎫--+++=+-- ⎪⎝⎭．即00472x x --=-，解得01x =，或04x =， 01x =时，()002y f x ==-；04x =时，()0012ln 25y f x ==-．①所求切点坐标为()1,2-和()4,12ln 25-． (2)()()()ln 12a f x x a x x =+-+．记()()()1ln 02a ag x f x x x x '==++-> ①()f x 在()2,+∞上单调递增，①2x >时，()ln 102a ag x x x =++-≥恒成立. ()221a x ag x x x x-'=-= i.20a -≥，即2a ≤时，2x >时，0x a ->，20x >，①()0g x '>，①()g x 在()2,+∞上单调递增， ①()()2ln 21ln 21022a ag x g >=++-=+>，故a Z ∈，2a ≤时满足条件． ii.20a -<，即2a >时．在()2,a 上，0x a -<，20x >，所以()0g x '<，()g x 单调递减； 在(),a +∞上，0x a ->，20x >，所以()0g x '>，()g x 单调递增， ①()()min ln 22ag x g a a ==+-， 记()ln 22a h a a =+-，在()2,+∞上()1102h a a '=-<，()h a 单调递减， ①()28ln82ln 20h e =->-=，()()()55111594ln 35ln81ln ln81ln 02222h e ⎛⎫⎛⎫=-=-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为a Z ∈，38a ≤≤时满足条件．由i 和ii 知，满足条件的整数a 的最大值为8． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 21．(1)24y x = (2)证明见解析 (3)(0,1) 【解析】 【分析】（1）利用,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭表示出||FP ，化简即可求出答案.（2）设出直线AB ，联立直线AB 与抛物线E ，利用韦达定理则可表示出AB 、两点的关系.再由点A 写出直线AC ，联立直线AC 与抛物线E ，利用韦达定理则可表示出A C 、两点的关系.写出直线BC 的方程，根据两个关系式消掉A 点，则可得出结论.（3）将1S 、2S 用、、A B C 点表示出来，再利用韦达定理用直线AB 的斜率k 表示出12S S ，最后化简即可得出答案. (1)焦点,0,||2p F FP ⎛⎫= ⎪⎝⎭①0p >，①2p =抛物线E 的标准方程为24y x = (2)显然．直线AB 斜率存在，设AB 的方程为2(3)y k x -=+由22(3)4y k x y x -=+⎧⎨=⎩，化简得：()2248120,0,163210ky y k k k k -++=≠∆=--+>， 设()()1122,,,A x y B x y ，则121248,12y y y y k k+==+，①()1212122y y y y -=+ ① 直线AC 的方程为2114y y y x -=-，由211244y y y x y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩化简得：()2221111440,Δ16440y y y y y y -+-==-->， 设()33,C x y 则134y y += ①由①①得()()323241224y y y y --=-+，①()2323220y y y y +=+ ①（①）若直线BC 没有斜率，则230y y +=，又()2323220y y y y +=+，①2320y =，①23354y x ==，①BC 的方程为5x =．（①）若直线BC 有斜率，为2323234y y x x y y -=-+， 直线BC 的方程为2222344y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()232340x y y y y y -++=，将①代入得()()232342200x y y y y y -+++-=，①()23(2)4(5)0y y y x +-+-=， 故直线BC 有斜率时过点(5,2)． 由（①）（①）知，直线BC 过点(5,2)．(3) 211121212111||2||||22218422PBQ PAQS SSPQ y PQ y PQ y y y y y y =-=⋅--⋅-=⋅-=⨯⨯-=-22323231211||844422S PQ yy y y y y y y=⋅-=⨯⨯-=-=+- 由（2）得121248,12y y y y k k +==+，12y y -==()20,163210k k k ≠∆=--+>，①113k -<<，且0k ≠，1212124y y SSy y -===+-设11,k u t u-==， 12S S ===①113k -<<，且0k ≠，①31,11,22t ⎛⎫⎛⎫∈---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,1)，故12S S 的取值范围是(0,1)． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程、直线过定点.属于难题.其中证明直线过定点，寻找坐标之间的关系进行消元是解题的关键. 22．(1)224x y +=，0x y --= (2)[4,8] 【解析】 【分析】（1）由题意得到2OAOB ==，求得1C 的极坐标方程为2ρ=，进而得到曲线1C 的直角坐标方程，化简直线l 的极坐标方程为cos sin 0ρθρθ--=，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解直线l 的直角坐标方程；（1）由题意得到x y y ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入224x y +=，求得曲线2C 的通方程，得到2C 的参数方程，设)P θθ，求得点P 到l 的距离为62cos 3d πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解. (1)解：由题意，点,A B 的极坐标分别为5(2,),(2,)44A B ππ， 可得极点O 为AB 的中点，且2OA OB ==，所以1C 的极坐标方程为2ρ=，又由ρ1C 的直角坐标方程为224x y +=，由cos 64πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得cos sin 0ρθρθ--=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l的直角坐标方程为0x y --=． (2)解：由2x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，可得x y y ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入224x y +=，可得224246x y ''+=， 即22126x y ''+=，所以曲线2C 的通方程为22126x y +=，则2C的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数)，设)P θθ为2C 上任意一点，点P 到l 的距离为d ，则62cos 3d πθ⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭， 所以当cos 13πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max 8d =；当cos 13πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，min 4d =，所以P 到l 的距离的取值范围是[4,8]. 23．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由绝对值三角不等式得2121(21)(21)2x x x x --+≤--+=，得到函数()f x 的值域为[2,2]-，又由不等式可化为()()22440y x --≥，即可求解；（2）由（1）得到|2|2,|2|1y z y z -<+<，则|5||(2)2(2)||2|2|2|z y z y z y z y z =+--≤++-，即可求解.(1)解：因为2121(21)(21)2x x x x --+≤--+=，当且仅当(21)(21)0x x -+≥，即12x ≤-或12x ≥时，等号成立，所以2|21||21|2x x -≤--+≤，即函数()f x 的值域为[2,2]-， 原不等式等价于 222244160x y x y --+≥，即()()2224440xyy -+-≥，所以()()22440y x --≥，因为22,22x y -≤≤-≤≤，所以()()22440y x --≥成立，所以22221644x y x y +≥+成立． (2)解：由（1）得2,2a b =-=，则不等式2y az +<，1by z +<，即为|2|2,|2|1y z y z -<+<， 所以|5||(2)2(2)||2|2|2|1225z y z y z y z y z =+--≤++-<+⨯=， 所以||1z <.。

2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二）数 学沈阳命题：沈阳市第一二〇中学 东北育才学校 沈阳铁路实验中学沈阳主审：沈阳市教育研究院本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3．考试结束后，考生将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}3|B x x x ==，则A B = （ ）A. {}1-B. {}1,1-C. {}0,1D. {}1,0,1-2. 抛物线2:y ax Γ=过点()2,1，则Γ的准线方程为（ ） A 1x =B. 1y =-C. 2x =-D. =2y -3. 已知向量()()2,4,3,1a b ==-，则“k =是“()()a kb a kb +⊥- ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知()0,πa ∈，且1sin cos 5a a +=，则tan2a =（ ） A.127B. 127-C.247D. 247-.5. 甲、乙、丙三人从事,,a b c 三项工作，乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（ ） A. ,,a b cB. ,,c a bC. ,,c b aD. ,,b c a6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A =“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B =“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则()P B A =（ ）A.516B.1132C.4163D.15647. 正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形ABCD 内一点（不含边界），记O 为正方形ABCD 的中心，直线1111,,,PA PB PC PD 与平面1111D C B A 所成角分别为123,,θθθ，4θ．若1324,θθθθ=>，则点P 在（ ） A. 线段OA 上B. 线段OB 上C. 线段OC 上D. 线段OD 上8. 在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A. 函数()e xy f x =⋅的最大值为1B. 函数()e xy f x =⋅最小值为1C. 函数()exf x y =的最大值为1的D. 函数()exf x y =最小值为1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 设方程210x x ++=在复数范围内的两根分别为12,z z ，则下列关于12,z z 的说法正确的有（ ） A. 212z z =B. 33120z z -=C. 22120z z -=D. 121z z =10. 已知正四棱锥S ABCD -的所有棱长均相等，O 为顶点S 在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ）A. 平面SAD ⊥平面SBCB. 侧面SBC 内存在无穷多个点P ，使得//OP 平面SADC. 在正方形ABCD 的边上存在点Q ，使得直线SQ 与底面所成角大小为π3D. 动点,M N 分别在棱AB 和BC 上（不含端点），则二面角S MN O --的范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭11. 已知数列{}n a 的通项公式为()()()2111,2,3,1nn a n n c =-⋅=+- ，则下列说法正确的有（）A. 若1c ≤，则数列{}n a 单调递减 B. 若对任意*n ∈N ，都有1n a a ≥，则1c ≤ C. 若*c ∈N ，则对任意*,i j ∈N ，都有0i j a a +≠ D. 若{}n a 的最大项与最小项之和为正数，则*1122,22k c k k -<<+∈N 第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14小题第一空2分，第二空3分，共15分．12. 已知函数()()3,02,0xx f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则31log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．13. 已知()()1,0,4,0,2A B PB PA --=，若平面内满足到直线:340l x y m ++=的距离为1的点P 有且只有3个，则实数m =________． 14. 有序实数组()()*12,,,n x x x n ⋅⋅⋅∈N称为n 维向量，12n xx x ++⋅⋅⋅+为该向量的范数，范数在度量向的量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n 维向量()12,,,n a x x x =⋅⋅⋅，其中{}0,1,2,1,2,,i x i n ∈=⋅⋅⋅．记范数为奇数的a的个数为n A ，则4A =______；21n A +=______．（用含n 的式子表示）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知sin cos a B A =，角A 的平分线交边BC 于点D ，且1AD =. （1）求角A 大小；（2）若BC =，求ABC 的面积. 16. 已知函数()e ,ex x xf x a a =-∈R ． （1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； （3）若对任意x ∈R ，有()1ex f x -≤恒成立，求a 的取值范围．17. 正四棱台1111ABCD A B C D -的下底面边长为1112A B AB =，M 为BC 中点，已知点P 满足()1112AP AB AD AA λλλ=-+⋅+，其中()0,1λ∈．（1）求证1D P AC ⊥；（2）已知平面1AMC 与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当23λ=时，求直线DP 与平面1AMC 所成角的正弦值．18.P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．的（1）求B '点轨迹Ω的方程；（2）点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．19. 入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t12345678910销售量y （千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：1011 2.210i i y y ===∑，101118.73i i i t y ==∑，1021385i i t ==∑． （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为25，选择B 套餐的概率为35，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()*N n P n∈．①求n P 最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a ．根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．的参考公式：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-． 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}3|B x x x ==，则A B = （ ）A. {}1-B. {}1,1-C. {}0,1D. {}1,0,1-【答案】D 【解析】【分析】化简集合B ，由集合的交集定义计算即可. 【详解】因为{}{}3|1,0,1B x x x ===-，所以{}1,0,1A B =- . 故选：D2. 抛物线2:y ax Γ=过点()2,1，则Γ的准线方程为（ ） A. 1x = B. 1y =- C. 2x =-D. =2y -【答案】B 【解析】【分析】把点()2,1代入抛物线方程，再求得准线方程. 【详解】把点()2,1代入抛物线方程2y ax =，得14a =，解得14a =， 所以抛物线方程为24x y =，准线方程为1y =-. 故选：B.3. 已知向量()()2,4,3,1a b ==-，则“k =是“()()a kb a kb +⊥- ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】【分析】计算()()a kb a kb +⊥-时k 的取值，再根据必要与充分条件的定义判断即可.【详解】当()()a kb a kb +⊥- 时，()()0a kb a kb +⋅-= ，即2220ak b -=，故()()2222224310k⎡⎤+-+-=⎣⎦，解得k =故“k =是“()()a kb a kb +⊥-”的充分不必要条件.故选：A4. 已知()0,πa ∈，且1sin cos 5a a +=，则tan2a =（ ） A.127B. 127-C.247D. 247-【答案】C 【解析】【分析】根据1sin cos 5a a +=结合()0,πa ∈可得sin ,cos a a 与tan a ，进而可得tan2a . 【详解】1sin cos 5a a +=则()21sin cos 12sin cos 25a a a a +=+=，即12sin cos 25a a =-，又因为()0,πa ∈，故sin 0a >，cos 0a <，π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()249sin cos 12sin cos 25a a a a -=-=，因为π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7sin cos 5a a -=，结合1sin cos 5a a +=可得4sin 5a =，3cos 5a =-，则4tan 3a =-.故2282tan 243tan21tan 7413a a a -===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故选：C5. 甲、乙、丙三人从事,,a b c 三项工作，乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（ ） A. ,,a b cB. ,,c a bC. ,,c b aD. ,,b c a【解析】【分析】根据题意合理进行推理，求解答案即可.【详解】由题意得丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，故从事b 工作的人不是丙， 又从事b 工作人年龄比甲的年龄小，故从事b 工作的人不是甲， 则推出从事b 工作的人一定是乙，又从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，故乙的年龄小于甲的年龄， 而乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，故从事c 工作的人是丙， 可反推出从事a 工作的人是甲，显然甲、乙、丙的职业分别是,,a b c . 故选：A6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A =“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B =“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则()P B A =（ ）A.516B.1132C.4163D.1564【答案】C 【解析】【分析】根据条件概率的公式，分析()(),P A P AB 求解即可.【详解】662163()264P A -==，事件AB =“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”， 则3456666C +C +C 41()264P AB ==，则()41()()63P AB P B A P A ==∣ 故选：C7. 正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形ABCD 内一点（不含边界），记O 为正方形ABCD 的中心，的直线1111,,,PA PB PC PD 与平面1111D C B A 所成角分别为123,,θθθ，4θ．若1324,θθθθ=>，则点P 在（ ） A. 线段OA 上 B. 线段OB 上C. 线段OC 上D. 线段OD 上【答案】B 【解析】【分析】根据线面角的定义可得直线1111,,,PA PB PC PD 与直线1111,,,AA BB CC DD 所成角大小关系，再根据1324,θθθθ=>判断即可.【详解】直线1111,,,PA PB PC PD 与平面1111D C B A 所成角大小分别为1234,,,θθθθ， 等价于直线1111,,,PA PB PC PD 与直线1111,,,AA BB CC DD 成角大小分别为1234ππππ,,,2222θθθθ----， 由13θθ=，可知P 在线段BD 上，又24θθ>，则241ππ,22PB θθ-<-与1BB 所成角更小， 则点P 在线段OB 上.故选：B.8. 在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A. 函数()e xy f x =⋅的最大值为1B. 函数()e xy f x =⋅的最小值为1C. 函数()exf x y =最大值为1D. 函数()exf x y =的最小值为1【答案】C 【解析】【分析】AB 选项，先判断出虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，求导得到()e xy f x =⋅在R上单调递增，AB 错误；再求导得到(,0)x ∈-∞时，()e x f x y =单调递增，当,()0x ∈+∞时，()e xf x y =单调递减，故C 正确，D 错误.【详解】AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数， 则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=， 实线部分为()y f x =，故()()()()()0e e e xxxy f x f x f x f x ='''=⋅+⋅+>⋅恒成立，故()e xy f x =⋅在R 上单调递增，则A ，B 显然错误，对于C ，D ，()2()e ()e ()()e e x xxx f x f x f x f x y ''--'==，由图像可知(,0)x ∈-∞，e ()()0x f x f x y '-=>'恒成立，故()e xf x y =单调递增，当,()0x ∈+∞，()()0e x f x f x y '-'=<，()exf x y =单调递减， 所以函数()e x f x y =在0x =处取得极大值，也为最大值，()010ef =，C 正确，D 错误. 故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 设方程210x x ++=在复数范围内的两根分别为12,z z ，则下列关于12,z z 的说法正确的有（ ） A. 212z z = B. 33120z z -=C. 22120z z -=D. 121z z =【答案】ABD的【解析】【分析】求解可得121122z z =-=--，再逐个选项判断即可.【详解】对A ，由实系数一元二次方程求根公式知121122z z =-=--，则22121122z z ⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭（与12,z z 顺序无关），故A 正确； 对B ，因为33121z z ==，所以33120z z -=，故B 正确； 对C ，由A ，2212210z z z z -=-≠，故C 错误；对D ，由韦达定理可得121z z =，故D 正确． 故选：ABD10. 已知正四棱锥S ABCD -的所有棱长均相等，O 为顶点S 在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ）A. 平面SAD ⊥平面SBCB. 侧面SBC 内存在无穷多个点P ，使得//OP 平面SADC. 在正方形ABCD 的边上存在点Q ，使得直线SQ 与底面所成角大小为π3D. 动点,M N 分别在棱AB 和BC 上（不含端点），则二面角S MN O --的范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】过S 作直线l AD ∥，则l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点,E BC 中点F ，连接,ES FS ，求得cos ESF ∠可判断A ；取SB 中点,G SC 中点H ，连接,,OG OH GH ，可得，P GH ∈，可判断B ；由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成的角最大，可得1cos 2SEO ∠>，判断C ；作OI 垂直于MN ，连接SI ，则SIO ∠为二面角S MN O --的平面角，求得二面角S MN O --范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，判断D . 【详解】已知所有棱长都相等，不妨设为1．对于A ：过S 作直线l AD ∥，因为BC AD ∥，所以l BC ∥， 所以l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点,E BC 中点F ，连接,ES FS ，由正四棱锥S ABCD -， 可得,SE AD SF BC ⊥⊥，所以,l AD l BC ⊥⊥， 所以ESF ∠为二面角A l B --的平面角，连接EF ，在EFS中，2211cos 03ESF +-∠==≠ 所以平面SAD 与平面SBC 不垂直，故A 错误；对于B ：取SB 中点,G SC 中点H ，连接,,OG OH GH ，因为,OG SD OH SA ，又,OG OH ⊄平面 SAD ，,SD SA ⊂平面SAD ， 所以//OG 平面SAD ，//OH 平面SAD ，又OG OH O = ，所以平面//OGH 平面SAD ，所以当P GH ∈时，//OP 平面SAD ，这样的点P 有无穷多，故B 正确； 对于C ：由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成角最大，1cos 2SEO ∠==>，所以π3SEO ∠<，所以不布存Q 使得SQ 与底面ABCD 成的角为3π，故C错误；对于D ：作OI 垂直于MN ，连接SI ，因为SO ⊥平面ABCD ，又MN ⊂平面ABCD ，所以SO MN ⊥，又SO OI O = ，所以MN ⊥平面SIO ，因为SI ⊂平面SIO ，所以MN ⊥SI ， 因为则SIO ∠为二面角S MN O --的平面角，的当MN 都无限向点B 靠拢时，π4SIO ∠→；当,M A N C →→时，π2SHO ∠→， 所以二面角S MN O --范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确． 故选：BD.11. 已知数列{}n a 的通项公式为()()()2111,2,3,1nn a n n c =-⋅=+- ，则下列说法正确的有（）A. 若1c ≤，则数列{}n a 单调递减B. 若对任意*n ∈N ，都有1n a a ≥，则1c ≤C. 若*c ∈N ，则对任意*,i j ∈N ，都有0i j a a +≠D. 若{}n a 的最大项与最小项之和为正数，则*1122,22k c k k -<<+∈N 【答案】ACD 【解析】【分析】对于选项A ，求出12211,()1(1)1n n a a n c n c +==-++-+，再作差判断两式分母的大小关系判断即可；对于选项B ，求解1a ，再分n 为奇数与偶数的情况讨论即可；对于选项C ，分n 为奇数与偶数的情况讨论，进而求和分析是否为0即可；对于选项D ，先将条件转化为：到c 距离最小的正奇数到c 的距离大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离，再分情况讨论即可. 【详解】对于选项A ，由条件知()211n a n c =+-，()12111n a n c +=-++，而()()()()22112112c n c n c n -+-+=--++，结合1c ≤，*N n ∈知212210n c n +-≥->，所以()()22111n c n c +>+--+， 所以1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减，故A 正确； 对于选项B ，首先有()121011a c =-<+-. 若2≤c ，则当n 为偶数时，()()122110111n a c a n c >---+=>=+，从而1n a a ≥必成立；而当n 为奇数且3n ≥时，由30n c c -≥->，知332341n c n c c c c c c -=-≥-=-+≥-+=-，31n c n c c c -=-≥->-，从而1c n c -≤-，即()()221c n c --≤，这意味着()()12211111n a c c a n -≥--+=-=+.所以只要2≤c ，就一定有1n a a ≥恒成立，所以由1n a a ≥恒成立不可能得到1c ≤，故B 错误； 对于选项C ，显然当,i j 同为奇数或同为偶数时，必有,i j a a 同号，故0i j a a +≠； 而当,i j 的奇偶性不同时，i j +为奇数，此时不妨设,i j 分别是奇数和偶数，则()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222221121111111111i ji j i j c a i c j c i c j c i c j c i c j c i c j c i c j c a +-+--+-+=-+===+++++++-----------+- 因为*c ∈N ，故2c 为偶数，而i j +为奇数，所以20i j c +-≠， 所以0i j a a +≠，故C 正确；对于选项D ，首先显然的是，最大项必定是某个第偶数项，最小项必定是某个第奇数项. 当1n n =为偶数时，要让()211n a n c =+-最大，即要让n c -最小；而当2n n =为奇数时，要让()211n n c a =--+最小，即要让n c -最小.设1n 和2n 分别是到c 距离最小的正偶数和正奇数，则条件相当于120n n a a +>. 而()()()()()()()()12222122221212111111n n n n a c a n n n n c c c c c =----+--+=-+++-，故条件等价于()()2221n c n c ->-，即21c n c n ->-.这表明，条件等价于，到c 距离最小的正奇数到c 的距离，大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离. 若1c ≤，则到c 距离最小的正奇数和正偶数分别是1和2，而由1110c -≥-=可知2211c c c c -≥->-=-，不符合条件；若1c >，c 是正奇数，则到c 距离最小的正奇数到c 的距离为0，不可能大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离，不符合条件；若1c >，且c 不是正奇数，设到c 的距离最近的正偶数为()*2k k ∈N，则2121k c k -<<+.此时到c 距离最小的正偶数到c 的距离为2k c -，从而到c 距离最小的正奇数到c 的距离大于2k c -，进一步知任意正奇数到c 的距离都大于2k c -.从而212k c k c +->-，212k c k c -->-，这意味着()()()22021********k c k c k c k c <+---=⋅+-=+-，()()()22021********k c k c k c c k <----=-⋅--=-+，所以112222k c k -<<+. 综上，112222k c k -<<+，*k ∈N ，故D 正确． 故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的数列通项中含有()1n-，这往往意味着我们需要对n 的奇偶性作分类讨论，分两种情况对数列进行讨论才可全面地解决问题.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14小题第一空2分，第二空3分，共15分．12. 已知函数()()3,02,0xx f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则31log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】8116【解析】【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可. 【详解】331log log 1616=-Q ，233163<<， 313log 216∴-<<-，381log 1633331118181log log 2log 22log 31616161616f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：811613. 已知()()1,0,4,0,2A B PB PA --=，若平面内满足到直线:340l x y m ++=的距离为1的点P 有且只有3个，则实数m =________．【答案】5或5- 【解析】【分析】设出动点P 的坐标，由2PB PA =求得其轨迹方程，由题意知，只需使圆心到直线:340l x y m ++=的距离等于1即可.【详解】设点(,)P x y ，由||2||PB PA == 两边平方整理得：224x y +=，即点P 的轨迹是圆,圆心在原点，半径为2. 若该圆上有且只有3个点到直线:340l x y m ++=的距离为1， 则圆心到直线的距离||15m d ==，解得5m =±． 故答案为：5或5-.14. 有序实数组()()*12,,,n x x x n ⋅⋅⋅∈N称为n 维向量，12n xx x ++⋅⋅⋅+为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n 维向量()12,,,n a x x x =⋅⋅⋅，其中{}0,1,2,1,2,,i x i n ∈=⋅⋅⋅．记范数为奇数的a的个数为n A ，则4A =______；21n A +=______．（用含n 的式子表示）【答案】 ①. 40 ②.21312n +- 【解析】【分析】根据乘法原理和加法原理即可求解4A ；根据21(21)n ++和21(21)n +-的展开式相减得到21n A +的通项公式.【详解】根据乘法原理和加法原理得到133444C 2C 240A =⋅+⋅=．奇数维向量，范数为奇数，则1i x =的个数为奇数，即1的个数为1，3，5，…，21n +， 根据乘法原理和加法原理得到123225242102121212121C 2C 2C 2C 2nn n n n n n n n A --++++++=++++L ，212102112222210212121213(21)C 2C 2C 2C 2n n n n n n n n n n +++-+++++=+=++++L 2102112222210212121211(21)C 2C 2C 2C 2n n n n n n n n n ++-+++++=-=-+--L两式相减得到2121312n n A ++-=.故答案为：2；21312n +-. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a B A =，角A 的平分线交边BC 于点D ，且1AD =. （1）求角A 的大小；（2）若BC =，求ABC 的面积. 【答案】（1）2π3（2 【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式以及正弦定理可得tan A =，可得结果；（2）由三角形面积公式并利用ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得b c bc +=，再由余弦定理即可求得5bc =,由三角形的面积公式可得结果. 【小问1详解】因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin cos A B B A =sin 0B ≠，所以sin A A =，故tan A =，2π3A =. 【小问2详解】由题意可知ABD ACD ABC S S S +=△△△， 即1π1π12πsin sin sin 232323c b bc +=，化简可得b c bc +=， 在ABC 中，由余弦定理得()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +--+-===-，从而()2220122bc bc bc--=-，解得5bc =或4bc =-（舍），所以11sin 5sin12022ABC S bc A ==⨯⨯︒=△.16. 已知函数()e ,ex x xf x a a =-∈R ． （1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； （3）若对任意x ∈R ，有()1e xf x -≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1ey =（2）()f x 的单调递增区间为：()0,∞+；递减区间为：(),0∞-，()f x 的极大值为1-，无极小值（3）12ea ≥- 【解析】【分析】（1）利用已知确定切点，导数的几何意义确定斜率，求出切线方程即可. （2）利用导数先求解单调性，再确定极值即可. （3）利用分离参数法结合导数求解参数范围即可. 【小问1详解】 当0a =时，()ex x f x =， 则()1e x xf x -'=，()10f '=，()11ef =， 所以切线方程为1ey =． 【小问2详解】当1a =时，()e e xxf x x -=-，()()21e 1e e exxxxx f x x -'--=--=． 令()21e xg x x =--，()212e0xg x =--<'，故()g x 在R 上单调递减，而()00g =，因此0是()g x 在R 上的唯一零点 即：0是()f x '在R 上的唯一零点当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(),0∞-()0,∞+()f x ' +-()f x极大值()f x 的单调递增区间为：()0,∞+；递减区间为：(),0∞- ()f x 的极大值为()01f =-，无极小值【小问3详解】 由题意知1ee exx x x a ---≤，即1e e ex x xx a ---≥，即21e e x x a ≥-， 设()21e e x x m x =-，则()()22222e 2e 12e e x x x x x x m x '--==， 令()0m x '=，解得12x =， 当1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x ，()0m x '>，()m x 单调递增，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0m x '<，()m x 单调递减， 所以()max 1e11122e 2e m x m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， 所以12ea ≥-17. 正四棱台1111ABCD A B C D -的下底面边长为1112A B AB =，M 为BC 中点，已知点P 满足()1112AP AB AD AA λλλ=-+⋅+，其中()0,1λ∈．（1）求证1D P AC ⊥；（2）已知平面1AMC 与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当23λ=时，求直线DP 与平面1AMC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）方法一运用空间向量的线性运算，进行空间位置关系的向量证明即可. 方法二：建立空间直角坐标系，进行空间位置关系的向量证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 方法一：∵1112A B AB =，∴112AA AB AA AD ⋅=⋅== ． ∵1112D A AD AA =--∴()()111111122D P D A AP AB AD AA λλλ⎛⎫=+=-+-+- ⎪⎝⎭∴()()()11111122D P AC AB AD AA AB AD λλλ⎡⎤⎛⎫⋅=-+-+-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()22111111122AB AD AB AA AD AA λλλλ⎛⎫=-+-+-⋅+-⋅ ⎪⎝⎭()()1181841022λλλ⎛⎫=-+-+-= ⎪⎝⎭．∴1D P AC ⊥，即1D P AC ⊥．方法二：以底面ABCD 的中心O 为原点，以OM 方向为y 轴，过O 点平行于AD 向前方向为x 轴， 以过点O 垂直平面ABCD 向上方向为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h ，则有)A，)B，()C，()D，1A h⎫⎪⎪⎭，1C h⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1D h⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()M，()AC=-()()()110,,,2AP h λλλλ⎛⎫⎛⎫=-+-+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1D A h⎫=-⎪⎪⎭，11D P D A AP h hλ⎛⎫=+=++-⎪⎪⎝⎭．故1AC D P⋅=，所以1D P AC⊥．【小问2详解】设平面ABCD的法向量为()0,0,1n=，设平面1AMC的法向量为(),,m x y z=，()AM=，1AC h⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，则有1AM mAC m⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即x y hz⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令x=，则(),3m=．又题意可得3cos,7m n==，可得2h=．因为23λ=，经过计算可得40,0,3P⎛⎫⎪⎝⎭，12D⎛⎫⎪⎪⎝⎭，143D P⎫=⎪⎭．将2h =代入，可得平面1AMC的法向量()m =． 设直线DP 与平面1AMC 所成角的为θsin cos ,DP θ=18.P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．（1）求B '点轨迹Ω的方程；（2）点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．【答案】（1）22163x y += （2） 【解析】【分析】（1）设(,),B x y POP θ''∠=，根据条件得到cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩，消元即可求出结果； （2）法一：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，联立直线MN 与椭圆方程得到()222124260k x kmx m +++-=，由韦达定理得2121222426,1212km m x x x x k k --+==++，根据题设得到直线MN 的方程为12y x m =-+，再利用点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，得到1OG k =，从而有OG与y轴负平轴所形成的夹角为π4α=，再求出OA 与x 正半轴所形成的夹角，即可解决问题；法二：设()()1122,,,M x y N x y ，直线AM 的方程为(2)1y k x =-+，直接求出,M N ，再根据条件求出12MN k =-，后面同法一；法三：建立新的坐标系，在新的坐标系中，得椭圆的方程为22(2)(1)163x y --+=，及直线MN 的方程为1mx ny +=，联立直线与椭圆，再结合条件得到2n m =，从而有12MN k =-，后面同法一；法四：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程得()222124220kxkmx m +++-=，进而得到()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++-=+--，通过令2x =，得到()()()()222124128221222k km m k x x +++-=+--，令1mx k-=，得到()()2222122(1)1111242212m m m m k km m k x x k k k k ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而有 24210k km m ++-=，下面同方法一.【小问1详解】设(,),B x y POP θ''∠=，则cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩，消去θ得22163x y +=，所以B '点轨迹Ω的方程为22163x y +=. 【小问2详解】方法一：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，22163y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()222124260k x kmx m +++-=， ()()22222Δ(4)41226488240km k mk m =-+-=-+>，即2263m k <+由韦达定理知2121222426,1212km m x x x x k k --+==++， ()()221212121212121212(1)(1)111112222242AM ANk x x k m x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +-++---+-+-⋅=⋅=⋅==-----++， 所以222222222(226)4(1)128(1)1226122114m k m k m k k m km k k m ++---++--++=++，整理得24210k km m ++-=， 即()241(21)(21)(21)0k m k k k m -++=+-+=， 当210k +=时，直线MN 的方程为12y x m =-+ 当210k m -+=时，直线MN 的方程为(2)1y k x =-+，恒过(2,1)A 点，不合题意 设(),G G G x y ，将()()1122,,,M x y N x y ，将M 、N 两点代入到椭圆得22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212063x x y y --+=， 即()()()()()()121212*********2032602y yy y y y y y x x x x x x x x +⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭==-+-+⎛⎫--⎪⎝⎭，所以12MN OG k k ⋅=-，故1OG k =，设OG与y 轴负平轴所形成的夹角为α，因为1OG k =，所以π4α=， 设OA与x 正半轴所形成的夹角为β，因为(2,1)A，所以sin ββ==πcos cos sin()(sin cos cos sin )2AOG αβαβαβαβ⎛⎫∠=++=-+=-+= ⎪⎝⎭方法二：设()()1122,,,M x y N x y ，直线AM 的方程为(2)1y k x =-+22(2)1163y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()()222212848840k x k k x k k +--+--=从而21288412A k k x x k --⋅=+，故21244212k k x k --=+，将1x 代入直线AM 的方程可得21244112k ky k --=++，所以222244244,11212k k k k M k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭， 又12AM ANk k ⋅=，将式点M 中的k 换成12k 得到22224424,11212k k k N k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭， 212112MN y y k x x -==--，下面同方法一方法三：以(2,1)A 为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程22(2)(1)163x y --+=，在新坐标系下设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为1mx ny += 将椭圆方程变形可得：224240x x y y +++=将直线MN 的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得224()24()0x x mx ny y y mx ny +++++=， 整理得22(42)(44)(14)0n y n m xy m x +++++=即：2(42)(44)(14)0y y n n m m x x ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以1212141422AM AN y y m k k x x n +⋅=⋅==+，故2n m =， 直线MN 的方程为121,2MN mx my k +==-，下面同方法一 方法四：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()222124220k x kmx m +++-= 因为12,x x 是上述一元二次方程的两个根，所以()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++-=+--①又1212111222AM AN y y k k x x --⋅=⋅=--整理得：()()()()121222211x x y y -----()()21212112220m m x x k x x k k --⎛⎫⎛⎫=---+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在①式中令2x =得：()()()()222124128221222kkm mk x x +++-=+--②令1m x k -=得：()()2222122(1)1111242212m m m m k km m k x x k k k k ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③()22k +⨯-②③可得：整理得24210k km m ++-=，下面同方法一【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）问，通过设出直线MN 的方程为y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线MN 与椭圆方程得到()222124260k x kmx m +++-=，由韦达定理得2121222426,1212km m x x x x k k--+==++，根据题设得到直线MN 的方程为12y x m =-+，再利用点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，得到1OG k =，从而将问题转化成πcos cos 2AOG αβ⎛⎫∠=++ ⎪⎝⎭解决，其中α为OG与y 轴负平轴所形成的夹角，β为OA与x 正半轴所形成的夹角.19. 入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t12345678910销售量y （千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：1011 2.210i i y y ===∑，101118.73i i i t y ==∑，1021385i i t ==∑． （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为25，选择B 套餐的概率为35，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()*N n P n ∈．①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a ．根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-． 【答案】（1）673220760001200y t =+ （2）533885nn P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1925，最小值为25；②证明见解析【解析】【分析】（1）利用最小二乘法，结合数据分析与公式的变换即可得解； （2）利用全概率公式得到1223(3)55n n n P P P n --=+≥，再两次利用构造法依次求得135n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭常数列，是58n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而得解；（3）①结合（2）中结论，分类讨论n 为偶数与n 为奇数，结合数列的单调性即可得解；②理解数列收敛的定义，取0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，从而得证.【小问1详解】剔除第10天数据的911 2.2100.4() 2.499i i y y =⨯-===∑新， 123456789()59t ++++++++==新，91118.73100.4114.73i i i t y =⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭∑新，922138510285i i t =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑新， 所以91292219()()114.7395 2.46732859560ˆ009()i i i i i x y t y b t t ==⎛⎫-⋅ ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新， 故67322072.4560001200a =-⨯=，所以673220760001200y t =+． 【小问2详解】由题意可知1223(3)55n n n P P P n --=+≥， 其中12222319,555525P P ==⨯+=， 所以11233(3)55n n n n P P P P n ---+=+≥，又2131932152555P P +=+⨯=， 所以135n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，故131(2)5n n P P n -+=≥， 所以1535(2)858n n P P n -⎛⎫-=--≥ ⎪⎝⎭，又1525985840P -=-=-， 所以58n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以首项为940-，公比为35-的等比数列，故15938405n n P -⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，即19355334058885n nn P -⎛⎫⎛⎫=-⋅-+=+⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【小问3详解】①当n 为偶数时，53353358858858n nn P ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，最大值为21925P =；当n 为奇数时，53353358858858nnn P ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，最小值为125P =； 综上：数列{}n P 的最大值为1925，最小值为25.②证明：对任意0ε>总存在正整数0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，（其中[]x 表示取整函数）， 当358log 13n ε⎡⎤⎛⎫>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦时，358log 353333338858585n n n P εε⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-=⋅<⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n P 收敛.【点睛】思路点睛：本题第2小问求n P 的常见思路是，利用独立事件的概率公式、条件概率公式或全概率公式等得到关于n P 的递推式，再利用数列的构造法即可得解.。

高三第二次联合考试 数学试题（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题~第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：球的表面积公式24S R π=，其中R 为球的半径．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0232=+-=x x x A ，{}log 42x B x ==，则A B = （ ）A ．{}2,1,2-B ．{}1,2C ． {}2D ．{}2,2-2．若复数i a a a z )3()32(2++-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ） A ．3- B ．3-或1 C ．3 或1- D ．1 3．下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况（单位：元），图中的数字7表示的意义是这台自动售货机的销售额为（ ）A ．7元B ．37元C ．27元D ．2337元4．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2a 、4a 是方程022=--x x 的两个实数根，则5S 的值为（ ）A ．25B ．5C ． 25- D ．5- 5．如果不共线向量,a b满足2a b = ，那么向量22a b a b +- 与的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π6．若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程2bx x=有不等实数根的概率为（ ）1 23 4028 02337 12448 238A ．14B ．12C ．34D ．257．设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件8．曲线x x y 2313-=在1=x 处的切线的倾斜角是（ ）A ．6πB ．43πC ．4πD ．3π9．已知点1F 、2F 分别为椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △ 的重心G 的轨迹方程为（ ）A ．221(0)3627x y y +=≠B ． 2241(0)9x y y +=≠C ． 22931(0)4x y y +=≠D ． 2241(0)3y x y +=≠ 10．已知某程序框图如右图所示，则该程序运行后，输出的结果为（ ） A ．53B ． 54C ．21D ．51 11．过双曲线)0(152222>=--a a y a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ． )5,2(B ．C ．D ．)2,1(12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A B C ∠∠∠、、的对边，三边a 、b 、c 成等差数列，且4B π=，则cos cos A C -的值为（ ）A ．BCD．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知tan 2α=，则sin()sin()23cos()cos()2ππααπαπα+-+++-的值为 ．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列，则数列{}n a 的通项公式n a = ．某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x 依次为1,2,3,4,5．现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下：（I ）若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，等级编号为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）在（I ）的条件下，将等级编号为4的3件产品记为123,,x x x ，等级编号为5的2件产品记为12,y y ，现从12312,,,,x x x y y 这5件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若[0,]2x π∈，求函数()f x 值域．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，四边形ABCD 为长方形，2AD AB =，点E 、F 分别是线段PD 、PC 的中点． （Ⅰ）证明：//EF 平面PAB ；（Ⅱ）在线段AD 上是否存在一点O ，使得⊥BO 平面PAC ，若存在，请指出点O 的位置，并证明⊥BO 平面PAC ；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）已知函数)(x f 在1=x 处取得极值，且对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围． 21．（本小题满分12分）如图，已知抛物线C ：()220y px p =>和⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线于,E F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为417． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时， 求直线EF 的斜率；（Ⅲ）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲已知AB 为半圆O 的直径，4AB =，C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD CD ⊥于D ，交半圆于点E ，1DE =． （Ⅰ）求证：AC 平分BAD ∠； （Ⅱ）求BC 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：)4sin(210πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数[]0,2απ∈．（Ⅰ）求点P 轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数a a x x f +-=2)(．（Ⅰ）若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1．B ；2．D ；3．C ；4．A ；5．C ；6．B ；7．C ；8．B ；9．C ；10．A ；11．B ； 12． D ． 二、填空题13．3-；14．13,(1)23.(2)n n n -=⎧⎨∙≥⎩；15． 29π；16．(,1)-∞． 三、解答题 17．解：（Ⅰ）由频率分布表得a ＋0．2＋0．45＋b ＋c ＝1，即0.35a b c ++=．2分因为抽取的20件轴承中，等级编号为4的恰有3件，所以30.1520b ==． 等级编号为5的恰有2件，所以20.120c ==． 4分从而0.350.1a b c =--=．所以0.1a =，0.15b =，0.1c =．6分（Ⅱ）从轴承123,,x x x ，12,y y 中任取两件，所有可能的结果为：{}{}{}{}{}{}121311122321,,,,,,,,,,,,x x x x x y x y x x x y{}{}{}{}22313212,,,,,,,x y x y x y y y ．8分设事件A 表示“从轴承123,,x x x ，12,y y 中任取两件，其等级编号相等”， 则A 包含的基本事件为：{}{}{}{}12132312,,,,,,,x x x x x x y y 共4个． 10分又基本事件的总数为10， 故所求的概率4()0.410P A ==． 12分18．解：（Ⅰ）211()cos 222sin 1cos 222222f x x x x x x =-+=--⋅=m n 1sin(2)6x π=-+． 4分所以其最小正周期为22T ππ==． 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1sin(2)6f x x π=-+，又 7[0,],2[,]2666x x ππππ∈∴+∈， 1sin(2)[,1]62x π+∈-．10分所以函数()f x 的值域为3[0,]2．12分19．证明：（Ⅰ）∵CD EF //，AB CD //，∴AB EF //，又∵⊄EF 平面PAB ,⊂AB 平面PAB ， ∴//EF 平面PAB ． 6分（Ⅱ） 在线段AD 上存在一点O ，使得⊥BO 平面PAC ，此时点O 为线段AD 的四等分点，且AD AO 41=，8分∵⊥PA 底面ABCD ，∴BO PA ⊥，又∵长方形ABCD 中，△ABO ∽△ACD ，∴BO AC ⊥， 10分又∵A AC PA = ，∴⊥BO 平面PAC ． 12分20．解：（Ⅰ）xax x a x f 11)(-=-='， 1分 当0≤a 时，0)(≤'x f 在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减， ∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点； 3分 当0>a 时，0)(≤'x f 得a x 10≤<，0)(≥'x f 得ax 1≥， ∴)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛a 1,0上递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1a 上递增，即)(x f 在a x 1=处有极小值． 5分∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． （Ⅱ）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， ∴b xxx bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(， 8分令xxx x g ln 11)(-+=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增，10分∴22min 11)()(e e g x g -==，即211b e ≤-． 12分21．解：（Ⅰ）∵点M 到抛物线准线的距离为=+24p 417， ∴21=p ，即抛物线C 的方程为x y =2． 2分 （Ⅱ）法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴HE HF k k =-， 设11(,)E x y ，22(,)F x y ， ∴1212H H H H y y y y x x x x --=---，∴ 12222212H H H H y y y y y y y y --=---， ∴1224H y y y +=-=-．5分212122212121114EF y y y y k x x y y y y --====---+． 7分 法二：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴60=∠AHB ，可得3=H A k ，3-=H B k ，∴直线HA 的方程为2343+-=x y ，联立方程组⎩⎨⎧=+-=x y x y 22343，得023432=+--y y ，∵23E y +=∴363-=E y ，33413-=E x ． 5分同理可得363--=F y ，33413+=F x ，∴41-=EF k ．7分（Ⅲ）法一：设),(),,(2211y x B y x A ，∵411-=x y k MA ，∴114y x k HA -=， 可得，直线HA 的方程为0154)4(111=-+--x y y x x ， 同理，直线HB 的方程为0154)4(222=-+--x y y x x ，∴0154)4(101201=-+--x y y y x ，0154)4(202202=-+--x y y y x ，9分∴直线AB 的方程为0154)4(020=-+--x yy y x ， 令0=x ，可得)1(154000≥-=y y y t ， ∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞单调递增， ∴11min -=t ．12分法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+．以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+， ①⊙M 方程：1)4(22=+-y x ． ②①-②得：直线AB 的方程为2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+． 9分当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m=-(1)m ≥， ∵t 关于m 的函数在[1,)+∞单调递增， ∴11min -=t12分22．解：（Ⅰ）连结AC ，因为OA OC =，所以OAC OCA ∠=∠， 2分因为CD 为半圆的切线，所以OC CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以OC ∥AD ，所以OCA CAD ∠=∠，OAC CAD ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠． 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC CE =， 6分连结CE ，因为ABCE 四点共圆，B CED ∠=∠，所以cos cos B CED =∠， 8分所以DE CBCE AB=，所以2BC =． 10分23．解：（Ⅰ）2cos ,2sin 2.x y αα=⎧⎨=+⎩且参数[]0,2απ∈，所以点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=． 3分（Ⅱ）因为)4sin(210πθρ-=，所以)104πθ-=，所以sin cos 10ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为100x y -+=． 6分法一：由（Ⅰ） 点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2．d ==，所以点P 到直线l 距离的最大值2．10分法二：)44d πα==++，当74πα=，max 2d =，即点P 到直线l距离的最大值2．10分24．解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =． 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()211f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-，则()124, 211212124, 22124, n 2n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞． 10分。