人教版高中数学必修2《3.1.1+直线倾斜角与斜率》教案)
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（3）斜率公式表明，直线对于 x 轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线
的倾斜角；（即求斜率的第二种方法，还有用向量的观点求斜率。通过直线的方程求斜率，通过直线的位
置关系求斜率，等）
三、典例解析
例 1 已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
数的定义， tanα = y2 − y1 x2 − x1
( x1
≠
x2 ) ，即 k
=
y2 x2
− y1 − x1
( x ≠ x ) 新疆
1
2
王新敞 学案
P1
P
α
α
O
x
y
同样，当向量 P2 P1 的方向向上时也有同样的结论.
P2 P
P1
α
α
指出：（1）当 α ＝ 0 时，公式显然成立。当 x1 = x2 , y1 ≠ y2 （即直线
2
.
2
2
2
四、课堂练习
1. 求经过 A(3, m)、B(m2+1, 2)两点的直线的斜率 k 和倾斜角α．
解：当 m2+1=3，即 m=± 2 时，斜率 k 不存在，倾斜角α = π ；当 m2+1≠3，即 m≠± 2
当 tanα=k= 2 − m ≥0，即 m<- 2 或 2 <m≤2 时，α=arctan 2 − m ；
当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 0°。根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范
第三章 直线与方程（3.1 第 1 课时）
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高中数学教案（新课标）
第三章 直线与方程（3.1 第 1 课时）
α 围是 0°≤ ＜180°王新 新疆敞 学案
坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观
解：∵k= 3m 2 + 12m + 11 − 2 = 3 (m2+4m+3)=- 3 (m+2)2+ 3 ≤ 3 。即 tanα∈(-∞, 3 ], −3
而(-∞, 3 ]=(-∞, 0)∪[0, 3 ]，当 tanα(-∞, 0)时，由α∈[0, π ) ，得α∈( π ,π )； 2
当 tanα∈[0, 3 ]时，α∈[0， π ]。综上所述，所求直线 l 的倾斜角α∈[0， π ]∪( π , π)。
直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾．斜．角．.
指出：(1)在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转 到和直线重合时所转的最小正角记为 α ，那么α 就叫做直线的倾斜角.（定义二）
m −1
m −1
m −1
α=π+arctan 1 。 m −1
指出：（1）此题要求学生掌握已知直线上的两点的坐标求斜率的问题。
（2）此题还要求学生掌握已知斜率求倾斜角α 的问题，本质是解三角方程。应结合正切函数及反正切
函数的知识写出斜率在不同取值范围内所对应的倾斜角表达式：
① 当 k > 0 时，α = arctan k ；② 当 k = 0 时，α = 0° ；③ 当 k < 0 时，α = π − arctan k 王新新疆敞 学案
例 2 求过下列两点的直线的斜率 k 及倾斜角α ：
① P1(−2,0) 、 P2 (−5,3) ； ② P1(−2,3) 、 P2 (−2,8) ；
③ P1(5,−2) 、 P2 (−2,−2) ； ④ P1(−1,2) 、 P2 (3,−4) ； ⑤ P1(1,2) 、 P2 (m,3)
解：① k = 3 − 0 = −1，即 tanα = −1 ，∵ 0° ≤ α < 180°, ∴α = 135° 。所以这条直线的斜是 − 5 − (−2)
－1，倾斜角是135°.
② 斜率不存在，α = 90° 。
③ k = 0 ，α = 0° 。
④ k = − 3 ， α = π − arctan 3 。（重点：要画出图形，然后分析出结论，注意反正切函数的主值区
2
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间）
⑤ 当 m=1 时，K 不存在, α=90°；当 m>1 时，K= 1 ，α=arctan 1 ；当 m<1 时，K= 1 ，
高中数学教案（新课标）
第三章 直线与方程（3.1 第 1 课时）
课 题： 3.1 直线的倾斜角与斜率 教学内容： 3.1.1 直线倾斜角与斜率 教学目的： 理解和掌握直线的倾斜角和斜率的定义. 掌握经过两点 P1(x1,y1)和 P2(x2,y2)的直线斜率公式. 教学重点： 直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点： 直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式.
及|AD|的长.
m−2
解：D 点的坐标为(- 5 , m − 2 )，∴kAD= 22
2 − 5 =1.∴m=7.∴D 点坐标为(- 5 , 5 ).
− 5 −0
22
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第三章 直线与方程（3.1 第 1 课时）
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高中数学教案（新课标）
第三章 直线与方程（3.1 第 1 课时）
∴|AD|=
(5 )2 + (5 − 5 )2 = 5
地(从形的方面)表示了直线对 x 轴正方向的倾斜程度.
知识点 2 直线的斜率
倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k 表示.即 k = tanα 。
倾斜角是
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0°
的直线没有斜率 王新 新疆 敞
即
α
=
π
,k
不存在。(斜率是从数的方面刻划直线相对于
x 轴倾斜程度.)
学案
2
指出：（1）角的问题（几何）用角的函数（代数）来研究，为什么选择正切？（只涉及点的坐标，而
第三章 直线与方程（3.1 第 1 课时）
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高中数学教案（新课标）
第三章 直线与方程（3.1 第 1 课时）
解:直线 AB 的斜率 k1= 1 ＞0,所以它的倾斜角α是锐角; 直线 BC 的斜率 k2=-0.5＜0,所以它的倾斜角α 7
是钝角; 直线 CA 的斜率 k3=1＞0,所以它的倾斜角α是锐角.
∪
⎡ ⎢⎣
3 4
π,
π
⎞ ⎟ ⎠
。
指出：此题是已知斜率的范围求倾斜角α 范围的问题，它的本质是解简单的三角不等式。难点是含参
数，要注意对参数的讨论（关键是讨论的基点是什么。）以及要画出图形，形数结合的观点解题。
例 4 已知三角形的顶点 A(0,5)，B(1,-2)，C(-6,m)，BC 的中点为 D，当 AD 斜率为 1 时，求 m 的值
（求范围是难点，强调要画出两个图形，用形数结合的方法处理）
知识点 3
经过两点 P1 (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 ) 的直线的斜率公式:
k=
y2 − y1 x2 − x1
( x ≠ x ) 新疆
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王新敞 学案
分析：（1）只能借助于倾斜角 α
及k
=
tanα
，故要讨论。（2）当 α
=
π 2
例 3 （1）已知直线 l 经过 A(2, 1), B(1, m2)两点(m∈R)，求直线 l 的倾斜角的取值范围。 （2）已知直线 l 经过 A(cosθ, sin2θ) 和 B(0,1) 两点，求直线 l 的倾斜角的取值范围。 解: （1）因为直线经过A(2, 1), B(1, m2)，∴kAB= m2 − 1 =1-m2，又∵m∈R，∴k AB ∈(-∞, 1 ] ,∴倾
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五、备选习题 1. 已知 A(1,3 3 ),B(0,2 3 ),求直线 AB 的斜率及倾斜角.
解: kAB= 3
3−2
3 =
3 ,∵直线倾斜角的取值范围是 0°—180°,∴直线 AB 的倾斜角为 60°.
1− 0
2. 已知直线的倾斜角，求直线的斜率： (1)α=0°；（2）α=60°；(3)α=90°. 解：(1)∵tan0°=0，∴倾斜角为 0°的直线斜率为 0.
这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线 王新新疆 敞 学案
指出：在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念， 并通过方程来研究直线的有关问题.这就是解析几何的思想。（可举例） 提出问题
经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗?这些直线有什么联系和 区别呢?它们的倾斜程度不同 怎样描述直线的倾斜程度呢？ 引入新课 知识点 1 直线的倾斜角
二、讲解新课
（1）为什么学习解析几何？ （2）解析几何的桥梁是坐标系，理论根据是曲线的方程与方程的曲线的概念。
在初中，我们已经学习过一次函数：一次函数 y = kx + b ，它的图象是一条直线.对于一给定函数
y = kx + b ，作出它的图象的方法：由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点即可.这两点就是满足
m2 − m <0 时，即- 2 <m< 2 或 m>2 时，α=π-arctan m − 2 .
m2 − 2
m2 − 2
2 时，k= 2 − m ； m2 − 2
2. 直线 l 过点 M(0, 2)，N(- 3 , 3m2+12m+11)，求直线 l 的倾斜角α的范围。
函数式的两对 x, y 值.因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线：
它是以满足 y = kx + b 的每一对 x, y 的值为坐标的点构成的.由于函数式 y = kx + b 也可以看作二元一次
