第一章 量子力学基础习题1

量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）(有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5:这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =】如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及,eVc e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

第一章量子力学基础一选择题（1）根据无限深势阱中电子的能级公式，近似估计：当宏观粒子变为纳米微粒时，HOMO与LUMO之间的能隙将发生什么变化：（A）变大（B）变小（C）不变（2）为了写出一个经典力学量对应的量子力学算符，若坐标算符取作坐标本身，动量应换成算符（以一维运动为例）（A） mv （B）ħƏ / i Ə x （C）-ħ2Ə2/ Əx2（3）电子的de broglie波长为（A）λ= h / p（B）λ= c/ υ（C）λ= ∆x∆px（4）丁二烯等共轭分子中的π电子的离域化可降低体系的能量，这与简单的一维势阱中的粒子模型是一致的，因为一维势阱中的粒子的能量（A）反比于势阱长度的平方（B）正比于势阱长度（C）正比于量子数（5）对于厄米算符，下面那些说法是对的：（A）厄米算符中必然不包含虚数（B）厄米算符的本征值必定是实数（C）厄米算符的本征函数中必然不包括虚数(6) 对于算符Ĝ的非本征态（A）不可能测量其本征值g（B）不可能测量其平均值<g>（C）本征值与平均值均可测量，且两者相等第二章原子结构（1）P2组态的原子光谱项为：（A）1D，3P，1S （B）3D ，1P ，3S （C）3D，3P ，1D（2）Hund规则适用于下列哪种情况：（A）求出激发组态下的能量最低谱项（B）求出基组态下的基谱项（C）在基组态下为谱项的能量排序（3）配位化合物中d→d跃迁一般都很弱，因为这种跃迁属于（A）g←∕→g (B)g↔u (C)u←∕→u（4）CI原子基态的光谱项为2P，其能量最低的光谱支项为：(A) 2P3/2 (B) 2P1/2(C) 2P第三章双原子分子结构与化学键理论（1）用线性变分法求出的分子基态能量比起基态真实能量，只可能（A）更高或相等（B）更低 (C) 相等（2）N2，O2，F2的键长递增是因为（A）核外电子数依次减少（B）键级依次增大（C）净成键电子数依次减少（3）根据O2与O2+的电子结构，可知（A）O2是单重态（B） O2+是三重态（C）O2+比O2的键长短（4）顺磁性分子中的电子（A）有的不成对（B）完全成对（C）完全不成对（5）下列哪一条属于所谓的“成键三原则”之一：（A）原子半径相似（B）对称性匹配（C）电负性相似（5）下列哪种说法是正确的：（A）原子轨道只能以同号重叠组成分子轨道（B）原子轨道以异号重叠组成非键分子轨道（C）原子轨道可以按同号重叠或异号重叠，分别组成成键或反键轨道（6）氧的O2+，O2，O2-，O22- 对应下列哪种键级顺序：（A）2.5，2.0，1.5，1.0 （B）1.0，1.5，2.0，2.5 （C）2.5，1.5，1.0，2.0（7）下列哪些分子或分子离子具有顺磁性：（A）O2 ，N2（B） N2，F2（C）O22+，NO+第四章分子对称性与群论初步（1）丙二烯属于D2d点群，表明它有（A）两个小π键（B）一个∏34两个（C）两个∏33（2）C60 ，NH3，立方烷的分子点群分别是（A）C1， C2 ，C3（B）D2，D4V ，Td（C）Ih，C3V ，Oh(3) 含有不对称C原子但能与其镜像重合的化合物是（A）内消旋化合物（B）外消旋化合物（C）不对称分子(4) 下列哪组点群的分子可能具有偶极距：（A）Oh ，Dn ，Cnh（B）Ci ，Td ，S4（C）Cn ，Cnv ，Cs(5) CCI4 PH3SF6的分子点群分别是（A）C4 C3C6（B）D2D3hTd（C）TdC3vOh(6 非极性分子的判据之一是(A) 所有对称元素交于唯一一点(B) 至少有两个对称元素只交于唯一一点(C) 两个对称元素相交(7) 下列那种分子可能具有旋光性：(A)丙二烯（B）六螺环烯（C） C60(8) [Co(NH3)4(H2O)2]3+能够有几种异构体：（A）2 （B）3 （C）6(9) 一个分子的分子点群是指：(A)全部对称操作的集合 (B)全部对称元素的集合（C）全部实对称操作的集合(10) 群中的某些元素若是可以通过相似变换联系起来，它们就共同组成(A)一个类（B）一个子群（C）一个不可约表示(11) 几个不可约表示的直积是(A) 可约表示（B）不可约表示（C）可约表示或不可约表示(12)水分子B1振动的基包括X和XZ，这种振动(A) 只有红外活性（B）只有拉曼活性（C）兼有红外和拉曼活性第五章多原子分子的结构与性质(1) 用VSEPR理论判断，IF5的几何构型是(A)三角双锥（B）正四棱锥（C）平面五边形（2）共轭有机分子的哪种原子上易发生游离基反应：(A)ρ较大的分子（B）F较大者（C）任意原子(3)己三烯电环化反应，在加热条件下保持什么对称性不变：(A)C2 （B）m （C）m和C2(4)根据分子轨道对称守恒原理，乙烯加氢反应是对称性禁阻的，由此判断(A)反应在热力学上必然属于吸热反应（B）平衡产率必然很低（C）反应活化能比较大(5)分子的下列反应哪些性质必须用离域分子轨道来描述(A)电子能谱，电子光谱（B）偶极距, 电荷密度（C）键长，键能第六章晶体的点阵结构与X射线衍射法(1)晶体等于(A)晶胞+点阵（B）特征对称要素+结构基元（C）结构基元+点阵（2）“六方晶系”这个名称表明其(A)晶胞形状为六棱柱（B）晶体有6次对称轴（C）晶胞中含有6个结构基元(3)下列哪两种晶体具有不同的点阵型式(A)NaCl与CsCl （B）NaCl与CaF2（C）NaCl与立方ZnS(4)Bravais格子不包含“四方底心”和“四方面心”，是因为它们其实分别是(A)四方简单和四方体心（B）四方体心和四方简单（C）四方简单和立方面心(5)某晶面与晶轴x,y,z轴相截，截数分别是4，2，1，其晶面指标是(A)（124）（B）（421）（C）（1/4，1/2，1）（6）下列哪种性质是晶态物质所特有的：(A)均匀性（B）各向异性（C）旋光性（7）与结构基元相对应的是(A)点阵点（B）素向量（C）复格子（8）点阵是(A)有规律地排布的一组点（B）按连接其中任意两点的向量平移而能复原的无限多个点（C）只沿特定方向平移而能复原的有限数目的点（9）金刚石与立方ZnS(A)点阵型式都是立方面心( B )点阵型式都是立方简单( C )点阵型式不同(10)在某立方晶体的X衍射粉末图上发现，h+k+l=奇数的衍射产生了系统消光，这种晶体具有下列哪种点阵（A）立方体心（B）立方简单（C）立方面心(11) “CsCl型晶体的点阵为立方体心点阵”这一表述（A）正确（B）不正确，因为立方体心不是一种点阵（C）不正确，因为CsCl型晶体的点阵为立方简单点阵（12）六方晶胞的形状是（A）六棱柱（B）6个顶点的封闭凸多面体（C）α=β=90°，γ=120°的平面六面体（13）空间格子共有多少种形状和型式（A）8，32（B）7，14（C）4，514）划分正当格子的第一标准是（A）平行六面体（B）尽可能高的对称性（C）尽可能少的点阵点（15）空间格子中，顶点，棱心，面心对格子的贡献分别为（A）1/8 ，1/4 ，1/2（B）1，1，1（C）1， 1/2 ，1/416）当Laue方程被满足时，空间点阵中被平移群Tmnp=ma +nb +pc所概括的任意两点阵点之间的波程差的波数为（A）mh+nk+pl（B）m+n+p(C)h+k+l(17)晶面作为等程面的条件是（A）h=nh*,k=nk*,l=nl*(n为整数)（B）h=mh*,k=nk*,l=pl*（m,n,p为整数）(C)h=rh*,k=sk*,l=tl*(r,s,t为分数)第七章金属晶体与离子晶体的结构（1）在离子晶体中，决定正离子配位数的关键因素是（A）正负离子的半径比（B）正负离子的电价比（C）负离子的电负性之比（2）对于二元离子晶体，下列哪一式成立：（A） n+/n-=Z-/Z+=CN-/CN+（B）n-/n+Z-/Z+=CN-/CN+（C）n+/n-=Z-/Z+=CN+/CN_（3）马德隆（madelung）常数与离子晶体的哪种因素有关：（A）化学组成（B）晶体结构型式（C）离子键长（4）Ge晶体（A4，即金刚石的结构）的空间利用率（堆积系数）小于W晶体（A2），它们的晶胞中的原子数目是：（A）Ge<W （B）Ge>W （C）Ge=W (5) NaCl与 CaF2晶体的相同之处是：（A）结构单元（B）负离子堆积方式（C）点阵型式（6）4：4是下列哪一种晶体的CN+/CN-：（A）CsCl （B）NaCl （C）六方ZnS（7）对于CaF2晶体，“简单立方”一词描述的是它的（A）负离子的堆积方式（B）点阵型式（C）正离子的堆积方式（8）某种离子晶体AB被称为NaCl型，这指的是（A）它的化学组成（B）它的结构型式（C）它的点阵型式（9）有的书说CaF2晶体是立方面心堆积中的全部四面体空隙被占据，有的书中却说是简单立方堆积中的半数立方体空隙被占据，说法不一的原因是（A）前一种说法错了（B）后一种说法错了（C）这是分别指正，负离子堆积。

第一章量子力学基础例题与习题一、练习题1．立方势箱中的粒子，具有的状态量子数，是A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。

解：(C)。

2．处于状态的一维势箱中的粒子，出现在处的概率是多少？A．B．C．D．E．题目提法不妥，以上四个答案都不对。

解：(E)。

3．计算能量为100eV光子、自由电子、质量为300g小球的波长。

( )解：光子波长自由电子300g小球。

4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的一维势箱中粒子的零点能效应。

解：。

5．链状共轭分子在波长方向460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估计该分子的长度。

解：6．设体系处于状态中，角动量和有无定值。

其值是多少？若无，求其平均值。

解：角动量角动量平均值7．函数是不是一维势箱中粒子的一种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？解：可能存在状态，能量没有确定值，8．求下列体系基态的多重性。

(2s+1) (1)二维方势箱中的9个电子。

(2)二维势箱中的10个电子。

(3)三维方势箱中的11个电子。

解：(1)2，(2)3，(3)4。

9．在0－a间运动的一维势箱中粒子，证明它在区域内出现的几率。

当，几率P怎样变？解：10．在长度l的一维势箱中运动的粒子，处于量子数n的状态。

求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒子的几率？(2)n为何值，上述的几率最大？(3)，此几率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？解：11．一含K个碳原子的直链共轭烯烃，相邻两碳原子的距离为a，其中大π键上的电子可视为位于两端碳原子间的一维箱中运动。

取l＝(K－1)a，若处于基组态中一个π电子跃迁到高能级，求伴随这一跃迁所吸收到光子的最长波长是多少？解：12．写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒子的薛定锷方程，求其解。

解：13．在什么条件下?解：14．已知一维运动的薛定锷方程为：。

和是属于同一本征值得本征函数，证明常数。

第一章 量子力学基础一．选择题1. 已知某色光照射到一金属表面、产生了光电效应，若此金属的逸出电势是0U （使电子从金属逸出需做功0eU ）则此单色光的波长λ必须满足： A（A ）0/eU hc ≤λ （B ）()o hc eU λ≥（C ）()()0/eU hc λ≤ （D ）()()0/eU hc λ≥2. 用强度为I ，波长为λ的X 射线（伦琴射线）分别照射锂（Z=3）和铁（Z=26），若在同一散射角下测得康普顿散射的X 射线波长分别Li λ和()11,Fe L F λλλλ>，它们对应的强度分别为1L I 和Fe I ，则（A ）11,L Fe L Fe I I λλ>< （B ）11,L Fe L Fe I I λλ== （C ）11,l Fe L Fe I I λλ=>（D ）11,L Fe L Fe I I λλ<> [ C ]3. 根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动时速度大小之比21:v v 是： （A ）1； （B ）19； （C ）3；（D ）9 。

[ C ]4. 若外来单色光将氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱的条数是： C （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ） 65. 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是0.40A ，则U 约为（A ）150V （B ）330V （C ）630V （D ）940V（普朗克常量34606310.h j s -=⨯） [ D ] 6. 若α粒子（电量为2e ）在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 （A ）()2h eRB （B ）()h eRB（C ）()12eRBh （D ）)1eRBh [ A ] 7. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()32x x a πφ=（-a ≤x ≤a ）那么粒子在x=5a/6处出现的几率密度为： （A ）1/（2a ） （B ）1/a（C） （D） [ ]解答：()2222531516cos cos 242ax a a aπρϕπ====， 故选（A ）。

1量子力学课后习题详解第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λT=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv ec hvd kThv vv 11833−⋅=πρ，（1）以及c v =λ，（2）λρρd dv v v −=，（3）有,118)()(5−⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=kT hcv v e hc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：201151186'=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⋅+−−⋅=−kThc kThce kT hc ehc λλλλλπρ⇒115=−⋅+−−kThc ekThc λλ⇒kThc ekThc λλ=−−)1(5如果令x=kThcλ，则上述方程为xe x =−−)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知Km T m ⋅×=−3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e µ<<动），那么ep E µ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0×，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λ3nmm mE c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=×=××××===−−µµ在这里，利用了meV hc ⋅×=−61024.1以及eVc e 621051.0×=µ最后，对Ec hc e 22µλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

一、是非题1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。

对否 解：不对2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。

试用测不准关系判断该模型是否合理。

解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。

二、选择题1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。

正交性的数学表达式为 a ，归一性的表达式为 b 。

()0,()1i i i i a d i jb ψψτψψ**=≠=⎰⎰2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E )(A) dxd(B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D )(A) xˆ 和 y ˆ (B) x∂∂和y ∂∂ (C) ˆx p和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx(C) e -ikx(D) 2e kx -(1) 哪些是dxd的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C )(3) 哪些是22dx d 和dxd的共同本征函数。

------------------------------ (B, C )5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ）(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）(A) de Bröglie (B) A.Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger7. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（ C ）(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 8. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（ AB）(Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理9. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（ D ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设三、填空题：1. 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。

结构化学章节习题（含答案）第⼀章量⼦⼒学基础⼀、单选题： 1、32/sinx l lπ为⼀维势箱的状态其能量是：（ a ） 22229164:; :; :; :8888h h h hA B C D ml ml ml ml 2、Ψ321的节⾯有（ b ）个，其中（ b ）个球⾯。

A 、3 B 、2 C 、1 D 、03、⽴⽅箱中2246m lh E ≤的能量范围内,能级数和状态数为( b ). A.5,20 B.6,6 C.5,11 D.6,174、下列函数是算符d /dx的本征函数的是：（ a ）；本征值为：（ h ）。

A 、e 2xB 、cosXC 、loge xD 、sinx 3E 、3F 、-1G 、1H 、2 5、下列算符为线性算符的是：（ c ）A 、sine xB 、C 、d 2/dx 2D 、cos2x6、已知⼀维谐振⼦的势能表达式为V = kx 2/2，则该体系的定态薛定谔⽅程应当为（ c ）。

A [-m 22 2?+21kx 2]Ψ= E ΨB [m 22 2?- 21kx 2]Ψ= E Ψ C [-m 22 22dx d +21kx 2]Ψ= E Ψ D [-m 22 -21kx 2]Ψ= E Ψ 7、下列函数中，22dx d ,dxd的共同本征函数是（ bc ）。

A cos kxB e –kxC e –ikxD e –kx2 8、粒⼦处于定态意味着:（ c ）A 、粒⼦处于概率最⼤的状态B 、粒⼦处于势能为0的状态C 、粒⼦的⼒学量平均值及概率密度分布都与时间⽆关系的状态.D 、粒⼦处于静⽌状态9、氢原⼦处于下列各状态 (1)ψ2px (2) ψ3dxz (3) ψ3pz (4) ψ3dz 2 (5)ψ322 ，问哪些状态既是M 2算符的本征函数，⼜是M z 算符的本征函数?( c )A. (1) (3)B. (2) (4)C. (3) (4) (5)D. (1) (2) (5) 10、+He 离⼦n=4的状态有（ c ）（A ）4个（B ）8个（C ）16个（D ）20个 11、测不准关系的含义是指（ d ） (A) 粒⼦太⼩，不能准确测定其坐标； (B)运动不快时，不能准确测定其动量(C) 粒⼦的坐标的动量都不能准确地测定；（D ）不能同时准确地测定粒⼦的坐标与动量12、若⽤电⼦束与中⼦束分别作衍射实验，得到⼤⼩相同的环纹，则说明⼆者（ b ） (A) 动量相同 (B) 动能相同 (C) 质量相同13、为了写出⼀个经典⼒学量对应的量⼦⼒学算符，若坐标算符取作坐标本⾝，动量算符应是(以⼀维运动为例) （ a ）(A) mv (B) i x ?? (C)222x ?-? 14、若∫|ψ|2d τ=K ，利⽤下列哪个常数乘ψ可以使之归⼀化：（ c ）(A) K (B) K 2 (C) 1/K15、丁⼆烯等共轭分⼦中π电⼦的离域化可降低体系的能量，这与简单的⼀维势阱模型是⼀致的，因为⼀维势阱中粒⼦的能量（ b ）(A) 反⽐于势阱长度平⽅ (B) 正⽐于势阱长度 (C) 正⽐于量⼦数16、对于厄⽶算符, 下⾯哪种说法是对的（ b ）(A) 厄⽶算符中必然不包含虚数 (B) 厄⽶算符的本征值必定是实数(C) 厄⽶算符的本征函数中必然不包含虚数17、对于算符?的⾮本征态Ψ（ c ）(A) 不可能测量其本征值g . (B) 不可能测量其平均值.(C) 本征值与平均值均可测量，且⼆者相等18、将⼏个⾮简并的本征函数进⾏线形组合，结果（ b ）(A) 再不是原算符的本征函数(B) 仍是原算符的本征函数，且本征值不变 (C) 仍是原算符的本征函数，但本征值改变19. 在光电效应实验中，光电⼦动能与⼊射光的哪种物理量呈线形关系：( B )A .波长B. 频率C. 振幅20. 在通常情况下，如果两个算符不可对易，意味着相应的两种物理量( A)A ．不能同时精确测定B ．可以同时精确测定C ．只有量纲不同的两种物理量才不能同时精确测定 21. 电⼦德布罗意波长为(C )A ．λ=E /h B. λ=c /ν C. λ=h /p 22. 将⼏个⾮简并的本征函数进⾏线形组合，结果( Ａ） A ．再不是原算符的本征函数B ．仍是原算符的本征函数，且本征值不变C ．仍是原算符的本征函数，但本征值改变23. 根据能量-时间测不准关系式，粒⼦在某能级上存在的时间τ越短，该能级的不确定度程度ΔE （Ｂ）A ．越⼩ B. 越⼤ C.与τ⽆关24. 实物微粒具有波粒⼆象性, ⼀个质量为m 速度为v 的粒⼦的德布罗意波长为:A .h/(mv)B. mv/hC. E/h25. 对于厄⽶算符, 下⾯哪种说法是对的 ( B )A ．厄⽶算符中必然不包含虚数B ．厄⽶算符的本征值必定是实数C ．厄⽶算符的本征函数中必然不包含虚数 26. 对于算符?的⾮本征态Ψ (A ) A ．不可能测得其本征值g. B ．不可能测得其平均值.C ．本征值与平均值均可测得，且⼆者相等 27. 下列哪⼀组算符都是线性算符：( C )A ． cos, sinB ． x, logC ． x d dx d dx,,22⼆填空题1、能量为100eV 的⾃由电⼦的德布罗依波波长为( 122.5pm )2、函数：①xe ，②2x ，③x sin 中，是算符22dxd 的本征函数的是（ 1，3 ），其本征值分别是（ 1，—1；）3、Li 原⼦的哈密顿算符，在（定核）近似的基础上是:（()23213212232221223222123332?r e r e r e r e r e r e mH +++---?+?+?-= ）三简答题1. 计算波长为600nm(红光),550nm(黄光),400nm(蓝光)和200nm(紫光)光⼦的能量。

第一章量子力学基础第八组：070601337刘婷婷 070601339黄丽英 070601340李丽芳070601341林丽云 070601350陈辉辉 070601351唐枋北【1．1】经典物理学在研究黑体辐射、光电效应与氢光谱时遇到了哪些困难？什么叫旧量子论？如何评价旧量子论？[解]：困难：（1）黑体辐射问题。

黑体就是理论上不反射任何电磁波的物体，黑体辐射是指这类物体的电磁波辐射，由于这类物体不反射,所以由它释放出来的电磁波都来自辐射，实验中在不同的能量区间对黑体辐射规律给出了不同的函数，然而这两个函数无法兼容，是完全不同的，而事实上黑体辐射本该遵循某个唯一的规律。

况且经典理论还无法说明这两个函数中的任意一个.这个问题研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或频率）的分布。

实验得出的结论是：热平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。

这一结果用经典理论无法解释。

（2）光电效应。

光照射到金属上时，有电子从金属中逸出。

实验得出的光电效应的有关规律同样用经典理论无法解释。

（3）按照经典电动力学，由于核外电子作加速运动，原子必然坍缩。

经典物理学不能解释原子的稳定性问题。

原子光谱是线状结构的，而按照经典电动力学，作加速运动的电子所辐射的电磁波的频率是连续分布的，这与原子光谱的线状分布不符。

定义：从1900年普朗克提出振子能量量子化开始，人们力图以某些物理量必须量子化的假定来修正经典力学，用于解释某些宏观现象，并且给出其微观机制。

这种在量子力学建立以前形成的量子理论称为旧量子论。

评价：旧量子论冲破了经典物理学能量连续变化的框框。

对于黑体辐射、光电效应与氢光谱等现象的解释取得了成功。

但是，旧量子论是一个以连续为特征的经典力学加上以分立为特征的量子化条件的自相矛盾的体系，本质上还是属于经典力学的范畴。

由于把微观粒子当作经典粒子，并把经典力学的运动规律应用于微观粒子，因而必然遭到严重的困难。

第一章量子力学基础知识1.填空题(1) Ψ是描述的波函数(北京大学1993年考研试题)(2) 实物粒子波动性假设由首先提出来的，实物粒子的波是波。

(3) 德布罗意假设首先由戴维逊和革末用实验证实的。

(4) 在一维无限深势阱中，粒子的活动范围宽度增大，能引起体系的能量。

(5)Planck提出，标志着量子理论的诞生。

(中山大学1998年考研试题)(6) 一维无限深势阱中的粒子，已知处于基态，在处概率密度最大。

(7) 边长为l的立方势箱中粒子的零点能为。

(北京大学1993年考研试题)(8) 边长为l的一维势箱中粒子的零点能为。

(9) 有一质量为m的粒子在一维势箱中运动，其Schrödinger方程为。

(中山大学1998年考研试题)(10) 一维势箱的长度增加，其粒子量子效应(填增强、不变或减弱)。

2. 选择题(1)粒子处于定态意味着：( )A、粒子处于静止状态B、粒子处于势能为0的状态C、粒子处于概率最大的状态D、粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态(2)波恩对波函数提出统计解释：在某一时刻t在空间某处发现粒子的概率与下面哪种形式的波函数成正比。

( )A、|Ψ|B、|Ψ |2C、|Ψ |1..5D、xy| Ψ|(3)指出下列条件，哪一个不是态函数的标准化条件？( )A、单值B、正交归一C、有限D、连续(4)微观粒子的不确定关系式，如下哪种表述正确？( )A、坐标和能量无确定值B、坐标和能量不可能同时有确定值C、若坐标准确量很小，则动量有确定值D、动量值越不正确，坐标值也越不正确(5)波长为662.6 pm 的光子和自由电子，光子的能量与自由电子的动能比为何值？( )A 、546 : 1B 、273 : 1C 、1 : 35D 、106 : 4515(6)一电子被1000 V 的电场所加速，打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相应的光波应落在什么区域？ ( )A 、X 光区(约10-10 m)B 、紫外区(约10-7 m)C 、可见光区(约10-6 m)D 、红外区(约10-5 m)(7)已知一维谐振子的势能表达式V = kx 2/2，则该体系的定态薛定谔方程应当为： ( )A 、ψψE kx dx d m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-222212 B 、ψψE kx dx d m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--222212 C 、ψψE kx m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-22212 D 、 ψψE kx m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∇22212 (8)由一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数n ，下面论述正确的是： ( )A 、可取任一整数B 、与势箱宽度一起决定节点数C 、能量与n 2成正比D 、对应于可能的简并态(9)立方势箱中在2246m l h E ≤的能量范围内，能级数和状态数为(中山大学1993年考研试题)： ( )A 、5,20B 、6,6C 、5, 11D 、6, 17(10)质量为2×10-31g 的粒子运动速度为3×106 m/s ，速度不确定度为10%，则其位置的不确定度至少为： ( )A 、1.11 nmB 、11.1 μmC 、111 pmD 、111 Å(11)金属钾的临阈频率为5.46×1015 s -1，把它当作光电池的阴极，下列哪种频率的光能使它产生光电效应？ ( )A 、5.0×1015 s -1B 、4.0×1015 s -1C 、5.64×1014 s -1D 、2.0×1016 s -1(12)运动速度为2.00×105m/s 的电子波长为 ( )A 、3.64 pmB 、36.4 nmC 、3.64 nmD 、34.6 pm(13)一维势箱中粒子的运动波函数φ5的节点数为 ( )A 、4B 、5C 、6D 、7(14)长度为a 的一维势箱中粒子(质量为m )从第3个能级跃迁到第4个能级所产生的吸收光谱频率为： ( )A 、28ml hB 、285ml hC 、287ml hD 、2812ml h (15)下列四种波中既不是机械波也不是电磁波的是： ( )A 、声波B 、光波C 、水波D 、实物粒子波(16)比较下列能量哪个最大？ ( )A 、1 cm -1B 、1 eVC 、1 kJ/molD 、1 a.u.(17)已知电子位置的不确定度为5×10-7m ，则电子运动速度的不确定度至少为： ( )A 、1.45×103 m s -1B 、1.45×104 m s -1C 、3.65×104 m s -1D 、3.65×105 m s -1(18)在长L=0.75 nm 的一维势箱中运动的H 原子，其de Broglie 波长的最大值是: ···( )A 、0.75 nmB 、1 nmC 、1.5 nmD 、2.0 nm3. 判断题(1)黑体辐射实验能用于经典物理学来解释。

第一章 绪论1.1. 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即b T m =λ(常量)并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字.解: 能量密度公式 581hc kT hc d d e λλπλρλλ=-则可由0=λρλd d 解得 m λ 05111186=⎪⎭⎫⎝⎛---=λλλλλλπλρkT hc kT hc kT hc e e kT hc e hc d d , 亦即0511=--λλλkT hc kT hc e e kT hc 若令 x kT hcm =λ, 则 0511=--xx e xe 即 015=-+-x e x这是个超越方程,用计算机做出()51x f x e x -=+-的函数图,容易看出当0,5x =附近近似地满足上述方程(舍去0x =的解),用计算机编程求出其数值解为显然 238236.62610 2.991028971.3810 4.9651m hc T kx λ--⨯⨯⨯===⨯⨯⋅⋅米度微米度绘图程序: >>clear x=0:0.01:8; y=exp(-x)+x/5-1; plot(x,y,'-k' ,'LineWidth',2)title('\fontsize{18}\rmf(x)=e^-^x+x/5-1的图像', 'Color','k') xlabel ('\fontsize{14}\rmx', 'Color','k') ylabel ('\fontsize{14}\rmf(x)', 'Color','k') axis ([0 8 -0.8 0.8]) grid on %end 计算程序:1.在文件编辑区建立待求方程组文件并保存： function F = myfun(x)F = exp(-x)+x/5-1 % Compute function values at x 2. 在MATLAB 的命令窗口求解： >>clearx0=1 %建立初始量题1.1图fsolve(@myfun,x0, optimset('fsolve')) %解非线性方程 ans = 0 >>clearx0=5 %建立初始量 fsolve(@myfun,x0, optimset('fsolve')) %解非线性方程 ans = 4.96511.2. 在K 0附近,钠的价电子能量约为3电子伏特,求其德布罗意波长. 解: 因 Eh ph μλ2==而 12121084106133--⨯=⨯⨯==..eV E (尔格)故()272780206.626107.0827107.08279.3466610A cm λ----⨯===⨯=⨯ 1.3. 氦原子的动能是kT E 23=(k 为波尔茨曼常数),求K T 1=时,氦原子的德布罗意波长. 解: 在c v <<的情况下,E p μ2=,故 Ehp h μλ2==. 对于氦原子16103812323-⨯⨯==.kT E (尔格),242410686106714--⨯=⨯⨯=..μ(克), 1.4. 利用波尔-索莫菲的量子化条件,求: (1) 一维谐振子的能量;(2) 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径.已知外磁场10=H 特斯拉,玻尔磁子24109-⨯=B M 焦耳/特斯拉,试计算动能的量子化间隔E ∆,并与K T 4=及K T 100=的热运动能量相比较.解: 波尔-索莫菲的量子化条件表示为 ⎰== 3210,,,n h n dq p i i i i(1) 求一维谐振子的能量一维谐振子的能量 222212q p E μωμ+= 整理为如下形式:这是椭圆方程,长短半轴b ,a 为E a μ2=, 22μωEb =.于是由最后一个等式,立即得到:(2) 求电子轨道的可能半径电子在垂直于磁场方向的平面里以某一确定的线速度v 作半径为R 的圆运动,则角动量就是广义动量对应的广义坐标为ϕ,则 由上式得Rnhv πμ2=(1) 另一方面,电子在均匀磁场中作圆周运动的力Rv 2μ来源于电子所受到的罗仑兹力evB ,即亦即eBRv μ=(2)比较(1)和(2),消去v 便得到现在来研究电子的能量.先讨论电子的动能：222222221112222B e B R e B n eT v nB nBM eB μμμμμμ===== (2B e M μ=波尔磁子) 其次讨论电子的势能. 电子作圆周运动相当于有一个磁矩μ，取磁场方向B 为正方向. 则磁矩 2v Rπ代表电子作圆周运动的频率，i 是电流强度，2A R π=是电流环的面积. 综合上述结果得 因此与磁场B 的作用能为所以带电粒子总能量为222B eBeE T V nnB nM B μμ=+===。

《物质结构导论》习题集第一章 量子力学基础1．K 的电子逸出功是2.2 eV ，Ni 的电子逸出功是5.0 eV ，而1 eV=1.6×10-12 erg ，波长为4000 Å的紫光能否引起金属K 和Ni 的光电效应？ 2．考虑相对论效应，则以速度υ运动的粒子的动能为2022201c c c T μυμ--=其中0μ为粒子的静止质量。

试证明当c <<υ时，2021T υμ≈。

3．计算红光λ=6000 Å和X 射线λ=1 Å的一个光子的能量、动量和质量。

4．试求下列各粒子的de Broglie 波长 (a) 100 eV 的自由电子。

(b) 0.1 eV ，质量为1g 的粒子。

5．质量为m 的粒子，在弹性力kx -作用下运动，试写出其Schrödinger 方程。

6．写出一个被束缚在半径为a 的圆周上运动的粒子的Schrödinger 方程，并求其解。

7．已知在一维方势阱中运动的粒子的波函数为⎪⎭⎫⎝⎛=x an a πψsin 2，其中a 为势阱的长度。

试计算： (a)粒子动量的平方。

(b)n 取何值时粒子在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 41,0的几率最大。

8．用不确定原理和virial 定理判断下列论断是否正确：中子是由相距小于10-13cm 的质子和电子用Coulomb 力结合起来的粒子。

9．证明kx e x =)(ψ是x P 的本征函数，并说明k 的取值情况。

10．试计算Li 2+离子s 2和p 2轨道上电子的电离能。

11．忽略电子的自旋轨道相互作用，但考虑电子的自旋状态，试确定主量子数是n 的氢原子电子能级的简并度。

12．在求解氢原子电子的Sc hrödinger 方程时，曾忽略了万有引力的作用。

质子和电子在万有引力作用下的势能为r GM V μ='其中万有引力常数G =6.67×10-8 cm 3.g -1.s -1。