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量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）(有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5:这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =】如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及,eVc e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
第一章量子力学基础一选择题（1）根据无限深势阱中电子的能级公式，近似估计：当宏观粒子变为纳米微粒时，HOMO与LUMO之间的能隙将发生什么变化：（A）变大（B）变小（C）不变（2）为了写出一个经典力学量对应的量子力学算符，若坐标算符取作坐标本身，动量应换成算符（以一维运动为例）（A） mv （B）ħƏ / i Ə x （C）-ħ2Ə2/ Əx2（3）电子的de broglie波长为（A）λ= h / p（B）λ= c/ υ（C）λ= ∆x∆px（4）丁二烯等共轭分子中的π电子的离域化可降低体系的能量，这与简单的一维势阱中的粒子模型是一致的，因为一维势阱中的粒子的能量（A）反比于势阱长度的平方（B）正比于势阱长度（C）正比于量子数（5）对于厄米算符，下面那些说法是对的：（A）厄米算符中必然不包含虚数（B）厄米算符的本征值必定是实数（C）厄米算符的本征函数中必然不包括虚数(6) 对于算符Ĝ的非本征态（A）不可能测量其本征值g（B）不可能测量其平均值<g>（C）本征值与平均值均可测量，且两者相等第二章原子结构（1）P2组态的原子光谱项为：（A）1D，3P，1S （B）3D ，1P ，3S （C）3D，3P ，1D（2）Hund规则适用于下列哪种情况：（A）求出激发组态下的能量最低谱项（B）求出基组态下的基谱项（C）在基组态下为谱项的能量排序（3）配位化合物中d→d跃迁一般都很弱，因为这种跃迁属于（A）g←∕→g (B)g↔u (C)u←∕→u（4）CI原子基态的光谱项为2P，其能量最低的光谱支项为：(A) 2P3/2 (B) 2P1/2(C) 2P第三章双原子分子结构与化学键理论（1）用线性变分法求出的分子基态能量比起基态真实能量，只可能（A）更高或相等（B）更低 (C) 相等（2）N2，O2，F2的键长递增是因为（A）核外电子数依次减少（B）键级依次增大（C）净成键电子数依次减少（3）根据O2与O2+的电子结构，可知（A）O2是单重态（B） O2+是三重态（C）O2+比O2的键长短（4）顺磁性分子中的电子（A）有的不成对（B）完全成对（C）完全不成对（5）下列哪一条属于所谓的“成键三原则”之一：（A）原子半径相似（B）对称性匹配（C）电负性相似（5）下列哪种说法是正确的：（A）原子轨道只能以同号重叠组成分子轨道（B）原子轨道以异号重叠组成非键分子轨道（C）原子轨道可以按同号重叠或异号重叠，分别组成成键或反键轨道（6）氧的O2+，O2，O2-，O22- 对应下列哪种键级顺序：（A）2.5，2.0，1.5，1.0 （B）1.0，1.5，2.0，2.5 （C）2.5，1.5，1.0，2.0（7）下列哪些分子或分子离子具有顺磁性：（A）O2 ，N2（B） N2，F2（C）O22+，NO+第四章分子对称性与群论初步（1）丙二烯属于D2d点群，表明它有（A）两个小π键（B）一个∏34两个（C）两个∏33（2）C60 ，NH3，立方烷的分子点群分别是（A）C1， C2 ，C3（B）D2，D4V ，Td（C）Ih，C3V ，Oh(3) 含有不对称C原子但能与其镜像重合的化合物是（A）内消旋化合物（B）外消旋化合物（C）不对称分子(4) 下列哪组点群的分子可能具有偶极距：（A）Oh ，Dn ，Cnh（B）Ci ，Td ，S4（C）Cn ，Cnv ，Cs(5) CCI4 PH3SF6的分子点群分别是（A）C4 C3C6（B）D2D3hTd（C）TdC3vOh(6 非极性分子的判据之一是(A) 所有对称元素交于唯一一点(B) 至少有两个对称元素只交于唯一一点(C) 两个对称元素相交(7) 下列那种分子可能具有旋光性：(A)丙二烯（B）六螺环烯（C） C60(8) [Co(NH3)4(H2O)2]3+能够有几种异构体：（A）2 （B）3 （C）6(9) 一个分子的分子点群是指：(A)全部对称操作的集合 (B)全部对称元素的集合（C）全部实对称操作的集合(10) 群中的某些元素若是可以通过相似变换联系起来，它们就共同组成(A)一个类（B）一个子群（C）一个不可约表示(11) 几个不可约表示的直积是(A) 可约表示（B）不可约表示（C）可约表示或不可约表示(12)水分子B1振动的基包括X和XZ，这种振动(A) 只有红外活性（B）只有拉曼活性（C）兼有红外和拉曼活性第五章多原子分子的结构与性质(1) 用VSEPR理论判断，IF5的几何构型是(A)三角双锥（B）正四棱锥（C）平面五边形（2）共轭有机分子的哪种原子上易发生游离基反应：(A)ρ较大的分子（B）F较大者（C）任意原子(3)己三烯电环化反应，在加热条件下保持什么对称性不变：(A)C2 （B）m （C）m和C2(4)根据分子轨道对称守恒原理，乙烯加氢反应是对称性禁阻的，由此判断(A)反应在热力学上必然属于吸热反应（B）平衡产率必然很低（C）反应活化能比较大(5)分子的下列反应哪些性质必须用离域分子轨道来描述(A)电子能谱，电子光谱（B）偶极距, 电荷密度（C）键长，键能第六章晶体的点阵结构与X射线衍射法(1)晶体等于(A)晶胞+点阵（B）特征对称要素+结构基元（C）结构基元+点阵（2）“六方晶系”这个名称表明其(A)晶胞形状为六棱柱（B）晶体有6次对称轴（C）晶胞中含有6个结构基元(3)下列哪两种晶体具有不同的点阵型式(A)NaCl与CsCl （B）NaCl与CaF2（C）NaCl与立方ZnS(4)Bravais格子不包含“四方底心”和“四方面心”，是因为它们其实分别是(A)四方简单和四方体心（B）四方体心和四方简单（C）四方简单和立方面心(5)某晶面与晶轴x,y,z轴相截，截数分别是4，2，1，其晶面指标是(A)（124）（B）（421）（C）（1/4，1/2，1）（6）下列哪种性质是晶态物质所特有的：(A)均匀性（B）各向异性（C）旋光性（7）与结构基元相对应的是(A)点阵点（B）素向量（C）复格子（8）点阵是(A)有规律地排布的一组点（B）按连接其中任意两点的向量平移而能复原的无限多个点（C）只沿特定方向平移而能复原的有限数目的点（9）金刚石与立方ZnS(A)点阵型式都是立方面心( B )点阵型式都是立方简单( C )点阵型式不同(10)在某立方晶体的X衍射粉末图上发现，h+k+l=奇数的衍射产生了系统消光，这种晶体具有下列哪种点阵（A）立方体心（B）立方简单（C）立方面心(11) “CsCl型晶体的点阵为立方体心点阵”这一表述（A）正确（B）不正确，因为立方体心不是一种点阵（C）不正确，因为CsCl型晶体的点阵为立方简单点阵（12）六方晶胞的形状是（A）六棱柱（B）6个顶点的封闭凸多面体（C）α=β=90°，γ=120°的平面六面体（13）空间格子共有多少种形状和型式（A）8，32（B）7，14（C）4，514）划分正当格子的第一标准是（A）平行六面体（B）尽可能高的对称性（C）尽可能少的点阵点（15）空间格子中，顶点，棱心，面心对格子的贡献分别为（A）1/8 ，1/4 ，1/2（B）1，1，1（C）1， 1/2 ，1/416）当Laue方程被满足时，空间点阵中被平移群Tmnp=ma +nb +pc所概括的任意两点阵点之间的波程差的波数为（A）mh+nk+pl（B）m+n+p(C)h+k+l(17)晶面作为等程面的条件是（A）h=nh*,k=nk*,l=nl*(n为整数)（B）h=mh*,k=nk*,l=pl*（m,n,p为整数）(C)h=rh*,k=sk*,l=tl*(r,s,t为分数)第七章金属晶体与离子晶体的结构（1）在离子晶体中，决定正离子配位数的关键因素是（A）正负离子的半径比（B）正负离子的电价比（C）负离子的电负性之比（2）对于二元离子晶体，下列哪一式成立：（A） n+/n-=Z-/Z+=CN-/CN+（B）n-/n+Z-/Z+=CN-/CN+（C）n+/n-=Z-/Z+=CN+/CN_（3）马德隆（madelung）常数与离子晶体的哪种因素有关：（A）化学组成（B）晶体结构型式（C）离子键长（4）Ge晶体（A4，即金刚石的结构）的空间利用率（堆积系数）小于W晶体（A2），它们的晶胞中的原子数目是：（A）Ge<W （B）Ge>W （C）Ge=W (5) NaCl与 CaF2晶体的相同之处是：（A）结构单元（B）负离子堆积方式（C）点阵型式（6）4：4是下列哪一种晶体的CN+/CN-：（A）CsCl （B）NaCl （C）六方ZnS（7）对于CaF2晶体，“简单立方”一词描述的是它的（A）负离子的堆积方式（B）点阵型式（C）正离子的堆积方式（8）某种离子晶体AB被称为NaCl型，这指的是（A）它的化学组成（B）它的结构型式（C）它的点阵型式（9）有的书说CaF2晶体是立方面心堆积中的全部四面体空隙被占据，有的书中却说是简单立方堆积中的半数立方体空隙被占据，说法不一的原因是（A）前一种说法错了（B）后一种说法错了（C）这是分别指正，负离子堆积。
第一章量子力学基础例题与习题一、练习题1．立方势箱中的粒子，具有的状态量子数，是A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。
解：(C)。
2．处于状态的一维势箱中的粒子，出现在处的概率是多少？A．B．C．D．E．题目提法不妥，以上四个答案都不对。
解：(E)。
3．计算能量为100eV光子、自由电子、质量为300g小球的波长。
( )解：光子波长自由电子300g小球。
4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的一维势箱中粒子的零点能效应。
解：。
5．链状共轭分子在波长方向460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估计该分子的长度。
解：6．设体系处于状态中，角动量和有无定值。
其值是多少？若无，求其平均值。
解：角动量角动量平均值7．函数是不是一维势箱中粒子的一种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？解：可能存在状态，能量没有确定值，8．求下列体系基态的多重性。
(2s+1) (1)二维方势箱中的9个电子。
(2)二维势箱中的10个电子。
(3)三维方势箱中的11个电子。
解：(1)2，(2)3，(3)4。
9．在0－a间运动的一维势箱中粒子，证明它在区域内出现的几率。
当，几率P怎样变？解：10．在长度l的一维势箱中运动的粒子，处于量子数n的状态。
求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒子的几率？(2)n为何值，上述的几率最大？(3)，此几率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？解：11．一含K个碳原子的直链共轭烯烃，相邻两碳原子的距离为a，其中大π键上的电子可视为位于两端碳原子间的一维箱中运动。
取l＝(K－1)a，若处于基组态中一个π电子跃迁到高能级，求伴随这一跃迁所吸收到光子的最长波长是多少？解：12．写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒子的薛定锷方程，求其解。
解：13．在什么条件下?解：14．已知一维运动的薛定锷方程为：。
和是属于同一本征值得本征函数，证明常数。
第一章 量子力学基础一．选择题1. 已知某色光照射到一金属表面、产生了光电效应，若此金属的逸出电势是0U （使电子从金属逸出需做功0eU ）则此单色光的波长λ必须满足： A（A ）0/eU hc ≤λ （B ）()o hc eU λ≥（C ）()()0/eU hc λ≤ （D ）()()0/eU hc λ≥2. 用强度为I ，波长为λ的X 射线（伦琴射线）分别照射锂（Z=3）和铁（Z=26），若在同一散射角下测得康普顿散射的X 射线波长分别Li λ和()11,Fe L F λλλλ>，它们对应的强度分别为1L I 和Fe I ，则（A ）11,L Fe L Fe I I λλ>< （B ）11,L Fe L Fe I I λλ== （C ）11,l Fe L Fe I I λλ=>（D ）11,L Fe L Fe I I λλ<> [ C ]3. 根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动时速度大小之比21:v v 是： （A ）1； （B ）19； （C ）3；（D ）9 。
[ C ]4. 若外来单色光将氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱的条数是： C （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ） 65. 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是0.40A ，则U 约为（A ）150V （B ）330V （C ）630V （D ）940V（普朗克常量34606310.h j s -=⨯） [ D ] 6. 若α粒子（电量为2e ）在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 （A ）()2h eRB （B ）()h eRB（C ）()12eRBh （D ）)1eRBh [ A ] 7. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()32x x a πφ=（-a ≤x ≤a ）那么粒子在x=5a/6处出现的几率密度为： （A ）1/（2a ） （B ）1/a（C） （D） [ ]解答：()2222531516cos cos 242ax a a aπρϕπ====， 故选（A ）。
1量子力学课后习题详解第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λT=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式dv ec hvd kThv vv 11833−⋅=πρ，（1）以及c v =λ，（2）λρρd dv v v −=，（3）有,118)()(5−⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=kT hcv v e hc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：201151186'=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⋅+−−⋅=−kThc kThce kT hc ehc λλλλλπρ⇒115=−⋅+−−kThc ekThc λλ⇒kThc ekThc λλ=−−)1(5如果令x=kThcλ，则上述方程为xe x =−−)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知Km T m ⋅×=−3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e µ<<动），那么ep E µ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0×，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λ3nmm mE c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=×=××××===−−µµ在这里，利用了meV hc ⋅×=−61024.1以及eVc e 621051.0×=µ最后，对Ec hc e 22µλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
一、是非题1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。
对否 解：不对2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。
试用测不准关系判断该模型是否合理。
解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。
二、选择题1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。
正交性的数学表达式为 a ，归一性的表达式为 b 。
()0,()1i i i i a d i jb ψψτψψ**=≠=⎰⎰2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E )(A) dxd(B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D )(A) xˆ 和 y ˆ (B) x∂∂和y ∂∂ (C) ˆx p和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx(C) e -ikx(D) 2e kx -(1) 哪些是dxd的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C )(3) 哪些是22dx d 和dxd的共同本征函数。
------------------------------ (B, C )5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ）(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）(A) de Bröglie (B) A.Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger7. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（ C ）(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 8. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（ AB）(Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理9. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（ D ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设三、填空题：1. 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。
