量子力学基础习题思考题
- 格式：doc
- 大小：411.00 KB
- 文档页数：8
下载文档原格式
合集下载
量子力学习题集及解答
量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。
[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。
这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。
其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------y y y y y ye e e e e e ∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y ⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n nπ故⎰∞=⨯=-0443159061ππye dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学思考题
名词解释：波粒二象性、波函数的统计解释、束缚态、定态、宇称、自由粒子、算符、厄米共轭算符、厄米算符、对易式、力学量完全集、守恒量、位力定理、费米子、玻色子、全同粒子、表象、正常塞曼效应。
量子力学思考题（31道） 1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。
解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。
（2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。
如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(rψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(rψ而完全确定。
由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。
从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。
3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112ψψψc c +=确定，2ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2*21*21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。
《量子力学基础和原子、分子及晶体结构》习题和思考题教学文案
《量⼦⼒学基础和原⼦、分⼦及晶体结构》习题和思考题教学⽂案《量⼦⼒学基础和原⼦、分⼦及晶体结构》习题和思考题《结构化学》课程作业题 2009.1.15 第⼀部分：《量⼦⼒学基础和原⼦结构》思考题与习题1. 经典物理学在研究微观物体的运动时遇到过哪些困难？举例说明之。
如何正确对待归量⼦论？2. 电⼦兼具有波动性的实验基础是什么？宏观物体有没有波动性？“任何微观粒⼦的运动都是量⼦化的，都不能在⼀定程度上满⾜经典⼒学的要求”，这样说确切吗？3. 怎样描述微观质点的运动状态？为什么？波函数具有哪些重要性质？为什么？4. 简述薛定谔⽅程得来的线索。
求解该⽅程时应注意什么？5. 通过⼀维和三维势箱的解，可以得出哪些重要結論和物理概念？6. 写出薛定谔⽅程的算符表达式。
你是怎样理解这个表达式的？*7. 量⼦⼒学中的算符和⼒學量的关系怎样？8. 求解氢原⼦和类氢离⼦基态和激发态波函数的思想⽅法是怎样的？9. 通过氢原⼦薛定谔⽅程⼀般解的讨论明确四个量⼦数的物理意义。
10. 怎样根据波函数的形式讨论“轨道”和电⼦云图象？为什么不能说p+1和p-1就是分别代表p x和p y?11. 样来研究多电⼦原⼦的结构？作过哪些近似？⽤过哪些模型？试简单说明之。
12. 电⼦的⾃旋是怎样提出的？有何实验依据？在研究原⼦内电⼦运动时，我们是怎样考虑电⼦⾃旋的？*13. 哈特⾥-福克SCF模型考虑了⼀些什么问题？交换能有何意义？14. 怎样表⽰原⼦的整体状态？光谱项、光谱⽀项各代表什么含义？洪特规则、选择定则⼜是讲的什么内容？15. 原⼦核外电⼦排布的规律是什么？现在哪些问题你⽐过去理解得更加深⼊了？通过本部分的学习，你对微观体系的运动规律和特点掌握了多少？在思想⽅法上有何收获？16. 巴尔末起初分析氢原⼦光谱是⽤波长）（422-=n n c λ，其中c 为常数，n 为⼤于2的正整数，试⽤⾥德伯常数H R ~求出c 值。
17. 试计算氢原⼦中电⼦处于波尔轨道n = 1和n = 4时的动能（单位：J ）和速度（单位：m·s -1）。
量子力学思考题和讨论题
量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；
（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于可以忽略的体 系。
解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个 经典力学体系。
（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子 力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
与经典力学不同，量子力学不是像经典统计力学那样建立起来的宏观 理论，波函数的统计解释是量子力学的理论结构中的基本假设。
在传统的解释中，量子力学规律的统计性被认为是由波粒二象性所决 定的微观粒子的本质特性，是观测仪器对微观粒子的不可控制的作用 的结果。如类似经典粒子那样，进一步问：统计性的微观实质是什 么？依据是什么？则被认为是超出了基本假设限度，因而是没有意义 的，也是没有必要的。
类似地，它的动量的平均值也可表示为
若要求出上述积分，必须将p表示为x的函数，然而这是做不到的，因 为按不确定关系P(x)的表示是无意义的，因此不能直接在坐标表象中 用上式求动量平均值。我们可先在动量表象中求出动量平均值，然后 再转换到坐标表象中去。
利用有
作代换，并对积分得（推广到三维）
可见，要在坐标表象中计算动量平均值，那么动量矢量恰与算符相 当。实际上，任何一个力学量在非自身表象中计算平均值时，都与相 应的算符相当，自然会引入算符表示力学量的概念。 用算符表示力学量问题还可以从另一个角度来说明。我们知道，在量 子力学中，力学量之间的关系从其数值是否能同时确定来考虑，有相 互对易与不对易两种，而经典力学量之间都是对易的，因此经典力学 量的表示方法不能适用于量子力学，然而数学运算中算符与算符之间
定态的线性叠加 态中平均值与无关，所以叠加态是定态。
（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于可以忽略的体 系。
解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个 经典力学体系。
（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子 力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
与经典力学不同，量子力学不是像经典统计力学那样建立起来的宏观 理论，波函数的统计解释是量子力学的理论结构中的基本假设。
在传统的解释中，量子力学规律的统计性被认为是由波粒二象性所决 定的微观粒子的本质特性，是观测仪器对微观粒子的不可控制的作用 的结果。如类似经典粒子那样，进一步问：统计性的微观实质是什 么？依据是什么？则被认为是超出了基本假设限度，因而是没有意义 的，也是没有必要的。
类似地，它的动量的平均值也可表示为
若要求出上述积分，必须将p表示为x的函数，然而这是做不到的，因 为按不确定关系P(x)的表示是无意义的，因此不能直接在坐标表象中 用上式求动量平均值。我们可先在动量表象中求出动量平均值，然后 再转换到坐标表象中去。
利用有
作代换，并对积分得（推广到三维）
可见，要在坐标表象中计算动量平均值，那么动量矢量恰与算符相 当。实际上，任何一个力学量在非自身表象中计算平均值时，都与相 应的算符相当，自然会引入算符表示力学量的概念。 用算符表示力学量问题还可以从另一个角度来说明。我们知道，在量 子力学中，力学量之间的关系从其数值是否能同时确定来考虑，有相 互对易与不对易两种，而经典力学量之间都是对易的，因此经典力学 量的表示方法不能适用于量子力学，然而数学运算中算符与算符之间
定态的线性叠加 态中平均值与无关，所以叠加态是定态。
第一章 量子力学基础 例题与习题
第一章量子力学基础例题与习题一、练习题1．立方势箱中的粒子，具有的状态量子数，是A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。
解：(C)。
2．处于状态的一维势箱中的粒子，出现在处的概率是多少？A．B．C．D．E．题目提法不妥，以上四个答案都不对。
解：(E)。
3．计算能量为100eV光子、自由电子、质量为300g小球的波长。
( )解：光子波长自由电子300g小球。
4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的一维势箱中粒子的零点能效应。
解：。
5．链状共轭分子在波长方向460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估计该分子的长度。
解：6．设体系处于状态中，角动量和有无定值。
其值是多少？若无，求其平均值。
解：角动量角动量平均值7．函数是不是一维势箱中粒子的一种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？解：可能存在状态，能量没有确定值，8．求下列体系基态的多重性。
(2s+1) (1)二维方势箱中的9个电子。
(2)二维势箱中的10个电子。
(3)三维方势箱中的11个电子。
解：(1)2，(2)3，(3)4。
9．在0－a间运动的一维势箱中粒子，证明它在区域内出现的几率。
当，几率P怎样变？解：10．在长度l的一维势箱中运动的粒子，处于量子数n的状态。
求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒子的几率？(2)n为何值，上述的几率最大？(3)，此几率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？解：11．一含K个碳原子的直链共轭烯烃，相邻两碳原子的距离为a，其中大π键上的电子可视为位于两端碳原子间的一维箱中运动。
取l＝(K－1)a，若处于基组态中一个π电子跃迁到高能级，求伴随这一跃迁所吸收到光子的最长波长是多少？解：12．写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒子的薛定锷方程，求其解。
解：13．在什么条件下?解：14．已知一维运动的薛定锷方程为：。
和是属于同一本征值得本征函数，证明常数。
量子力学思考题
ˆ ,B ˆB ˆ ) ψ = (A ˆ )ψ = (A B − B A )ψ = 0 ˆ ]ψ = (A ˆ −B ˆA ˆ −B ˆA [A ∑ n ∑ ˆB ∑ n n n n n n
n n n
8. 以能量算符为例简要说明能量算符和能量之间的关系（华科大 02 考研） 在量子力学中，能量算符用表示 Hˆ ,当体系处于某个能量的本征态时，算符 Hˆ 对本征 态 φn 的作用是得到这一本征值，即 Hˆφn = E nφn ，若体系处于任意态ψ 时， Hˆ 作用于ψ
5. 如果算符 F 表示力学量 F，那么当体系处于算符 F 的本征态是，力学量 F 是否有确 定值？（华科大 03 考研）
ˆ 在本征态 ψ 的本征值 是，其确定值就是 F
6.如果一组算符有共同的本征函数，且这些函数组成完全系，问这组算符中的一个是 否与其余的算符对易（华科大 03 考研）
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 是 ， 设 这 组 算 符 为 A, B, C ， 完 全 系 为 {ψ n } ， 依 题 意 Aψ n = A n ψ n ， Bψ n = Bn ψ n ， ˆψ = C ψ C n n n ，………。则对任意波函数 ψ ，
i Jˆ 任何满足此式的算符所代表的力学 量子力学中，角动量是按下式定义 Jˆ × Jˆ =
ˆ r = ˆ× p ˆ 更具普遍性。 量，都可以认为是角动量。此定义较之角动量的仿佛经典定义 L
后者只能适用于轨道角动量而不能适用于自旋。 3.试比较经典角动量的相加与量子角动量的耦合，二者有什么区别？ 经典力学中，两角动量可按矢量相加法则简单地相加。它们相加的角度可以是任何的 （取决于体系的性质） ，因此得到的合动量其数值与取向也是连续变化的。 量子力学中，角动量总是一个量子化的量。不仅两个任意角动量的大小与取向是量子 化的，如果它们相互耦合。则合角动量的大小和与取向也是量子化的，因此两角动量 的耦合方式要受到限制，不能是任意的。例如，在量子力学中，两角动量的耦合满足 三角形关系，而按照经典方式描述，这种耦合的限制就相当于两角动量的夹角不能是 任意的，而是量子化的。 4.斯特恩-盖拉赫实验中，只有使用处于 s 态的中性原子，而不能使用电子，为什么？
基本习题和答案解析量子力学
WORD格式整理量子力学习题(一)单项选择题 1. 能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 0 0 0 0 A. 1.2 A. B. 1.5 A. C. 2.1 A. D. 2.5 A. 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 0 0 0 0 A.1.3 A. B. 0.9 A. C. 0.5 A. D. 1.8 A. 3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 0A.1.4 A.B.1.9 0C.1.17 10J 2 A.D. 2.04.温度T=1k 时, 具有动能 010J 2 A. 0 A. =—k B T ( k B 2 为Boltzeman 常数）的氦原子的DeBroglie 波长是 0 A.8 A. B. 5.6 5.用 Bohr-Sommerfeld 0 A. 0 A. D. 12.6 0A. A. E n 二 n ，.B.C. 10 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n 二0,1,2,…） E n = （n ：）；. 2 C. E n =（n 1） ? ■ .D. E n =2n •. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其 0 0A.5.2 A.B. 7.1 A.C. 8.4 De Broglie 波长是 0 A. 7. 钾的脱出功是2ev ，当波长为 最大能量为 A. 0.25 10J 8J. B. 1.25 C. 0.25 1046 J.D. 1.25 0A. D. 9.4 03500 A 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的 10」8J. 10J 6J. 8. 当氢原子放出一个具有频率--的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生 的频率改变为 h A. . B. 2 . C.2七 2心 9. C ompton 效应证实了A.电子具有波动性.B.C.光具有粒子性.D. -2 '2走.D. PC .光具有波动性• 电子具有粒子性. 10. D avisson 和Germer 的实验证实了 A.电子具有波动性.B.光具有波动性. C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. U （x ）斗0,0：X7中运动，设粒子的状态由 [°°,x E0,X11.粒子在一维无限深势阱 J(x)二Csin 描写，其归一化常数C 为aA ^r 1. B. . C. .a• a■ a12.设t(x)—(x)，在x-x ，dx 范围内找到粒子的几率为 22.D.13.设粒子的波函数为2A.屮（x, y, z） dxdydz.'■ （x, y,z），在x—x • dx范围内找到粒子的几率为2B.屮（x, y,z） dx.2 2C.( '- (x, y, z) dydz)dx .D. . dx dy dz'- (x, yz)14.设：Mx）和：2（x）分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c「i（x）dd）的几率分布为2 2A.|汕1 +对2 .2 2 *B. |G屮l| +C2屮2 +C1C2屮1屮2.2 2 *C.k 屮1 +C2 屮2 +2GC2屮1屮2.2 2 * * * *D.- c^;2 +。
量子力学思考题及解答
量子力学思考题1、以下说法就是否正确:(1)量子力学适用于微观体系,而经典力学适用于宏观体系;(2)量子力学适用于η不能忽略的体系,而经典力学适用于η可以忽略的体系。
解答:(1)量子力学就是比经典力学更为普遍的理论体系,它可以包容整个经典力学体系。
(2)对于宏观体系或η可以忽略的体系,并非量子力学不能适用,而就是量子力学实际上已经过渡到经典力学,二者相吻合了。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述,这里“完全”的含义就是什么？解答:按着波函数的统计解释,波函数统计性的描述了体系的量子态。
如已知单粒子(不考虑自旋)波函数)(r ϖψ,则不仅可以确定粒子的位置概率分布,而且如粒子的动量、能量等其她力学量的概率分布也均可通过)(r ϖψ而完全确定。
由于量子理论与经典理论不同,它一般只能预言测量的统计结果,而只要已知体系的波函数,便可由它获得该体系的一切可能物理信息。
从这个意义上说,有关体系的全部信息显然已包含在波函数中,所以说微观粒子的状态用波函数完全描述,并把波函数称为态函数。
3、以微观粒子的双缝干涉实验为例,说明态的叠加原理。
解答:设1ψ与2ψ就是分别打开左边与右边狭缝时的波函数,当两个缝同时打开时,实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ与2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示,可见态的叠加不就是概率相加,而就是波函数的叠加,屏上粒子位置的概率分布由222112ψψψc c +=确定,2ψ中出现有1ψ与2ψ的干涉项]Re[2*21*21ψψc c ,1c 与2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
4、量子态的叠加原理常被表述为:“如果1ψ与2ψ就是体系的可能态,则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也就是体系的一个可能态”。
(1)就是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=;(2)对其中的1c 与2c 就是任意与r ϖ无关的复数,但可能就是时间t 的函数。
《量子力学基础和原子、分子及晶体结构》习题和思考题(可编辑修改word版)
《结构化学》课程作业题2009.1.15第一部分：《量子力学基础和原子结构》思考题与习题1. 经典物理学在研究微观物体的运动时遇到过哪些困难？举例说明之。
如何正确对待归量子论？2. 电子兼具有波动性的实验基础是什么？宏观物体有没有波动性？“任何微观粒子的运动都是量子化的，都不能在一定程度上满足经典力学的要求”，这样说确切吗？3. 怎样描述微观质点的运动状态？为什么？波函数具有哪些重要性质？为什么？4. 简述薛定谔方程得来的线索。
求解该方程时应注意什么？5. 通过一维和三维势箱的解，可以得出哪些重要結論和物理概念？6. 写出薛定谔方程的算符表达式。
你是怎样理解这个表达式的？ *7. 量子力学中的算符和力學量的关系怎样？8. 求解氢原子和类氢离子基态和激发态波函数的思想方法是怎样的？ 9. 通过氢原子薛定谔方程一般解的讨论明确四个量子数的物理意义。
10. 怎样根据波函数的形式讨论“轨道”和电子云图象？为什么不能说 p +1 和 p -1 就是分别代表 p x 和 p y ? 11. 样来研究多电子原子的结构？作过哪些近似？用过哪些模型？试简单说明之。
12. 电子的自旋是怎样提出的？有何实验依据？在研究原子内电子运动时，我们是怎样考虑电子自旋的？ *13. 哈特里-福克 SCF 模型考虑了一些什么问题？交换能有何意义？14. 怎样表示原子的整体状态？光谱项、光谱支项各代表什么含义？洪特规则、选择定则又是讲的什么内容？15. 原子核外电子排布的规律是什么？现在哪些问题你比过去理解得更加深入了？通过本部分的学习，你对微观体系的运动规律和特点掌握了多少？在思想方法上有何收获？n 216. 巴尔末起初分析氢原子光谱是用波长= c （~里德伯常数 R H 求出 c 值。
n 2- 4 ），其中 c 为常数，n 为大于 2 的正整数，试用 17. 试计算氢原子中电子处于波尔轨道 n = 1 和 n = 4 时的动能（单位：J ）和速度（单位：m·s -1）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
.量子力学基础习题思考题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：习题22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。
解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式，222240E c p m c =+ 可得224222400011()K p E m c E m c m c c c =-=+-22012K K E m c E c=+ 2202K Kh chpE m c E λ==+83461923182619310 6.6310(1010 1.610)29.110(310)1010 1.610----⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯131.210m -=⨯（2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出：341527619h 6.63109.110m p 22 1.67101010 1.610h mE λ----⨯====⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。
解：（1）用非相对论公式：mmeU h mE h 123193134108.71025106.1101.921063.622p h ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====λ（2）用相对论公式：420222c m c p +=EeU E E k ==-20c mm eU eU c m hmEh 12220107.722ph-⨯=+===）（λ22-3．一中子束通过晶体发生衍射。
已知晶面间距nm 1032.72-⨯=d ，中子的动能eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长：34112719h 6.6310 1.410p 22 1.6710 4.2 1.610h m mE λ----⨯====⨯⨯⨯⨯⨯⨯再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ϕλ= 0,1,2k =…11111.410sin 0.095227.3210k d λϕ--⨯===⨯⨯ ， 5.48ϕ=o 22-4．以速度m/s 1063⨯=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速，为使电子波长οA 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？解：34103119h 6.6310110p 229.110 1.610h m mE Uλ----⨯====⨯⨯⨯⨯⨯可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。
22-5．设电子的位置不确定度为οA 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为keV 1，计算电子能量的不确定度。
解：由测不准关系： 3424101.0510 5.2510220.110h p x ---⨯∆===⨯∆⨯⨯ 由波长关系式：Ech =λ 可推出： E E c h ∆=∆λ2151.2410E E E J hc pcλ-∆∆===⨯∆ 22-6．氢原子的吸收谱线οA 5.4340=λ的谱线宽度为οA 102-，计算原子处在被激发态上的平均寿命。
解：能量hcE h νλ==，由于激发能级有一定的宽度ΔE ，造成谱线也有一定宽度Δλ，两者之间的关系为：2hcE λλ∆=∆由测不准关系，/2,E t ∆∆≥g h 平均寿命τ=Δt ，则22224t E hc c λλτλπλ=∆===∆∆∆h h 102112108(4340.510)510s 4 3.141010310----⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 22-7．若红宝石发出中心波长m 103.67-⨯=λ的短脉冲信号，时距为)s 10(ns 19-，计算该信号的波长宽度λ∆。
解：光波列长度与原子发光寿命有如下关系： x c t ∆=∆2224x x p λλπλλ∆==≈∆∆∆h722389(6.310) 1.32310nm 31010c t λλ---⨯∆===⨯∆⨯⨯22-8．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为h L ≥∆∆θ，式中L ∆为粒子角动量的不确定度，θ∆为粒子角位置的不确定度。
证明：当粒子做圆周运动时，半径为r ，角动量为：L=rmv=rp 其不确定度P r L ∆=∆ 而做圆周运动时： θ∆=∆r x利用：h x P ≥∆•∆ 代入，可得到：h L ≥∆∆θ。
22-9．计算一维无限深势阱中基态粒子处在0=x 到3/L x =区间的几率。
设粒子的势能分布函数为：⎩⎨⎧><∞=<<=L x x x U L x x U 和0,)(0,0)( 解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在0<x<l 之间运动时，其定态归一化的波函数为：⎪⎩⎪⎨⎧><=ψ<<=ψL x x x L x x ln l x nn 和0,0)(0,sin 2)(π概率密度为： L x x ln l x P n <<=0,sin 2)(2π粒子处在0=x 到3/L x =区间的几率：32sin 2131sin 2)(230πππn n x l n l x P ln -==⎰如果是基态，n=1，则3202112()sin sin 0.195323ln P x x l l πππ==-=⎰22-10．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽m 1014-=L 。
（1）质子的零点能量有多大？（2）由2=n 态跃迁到1=n 态时，质子放出多大能量的光子？解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：228n ma h E n = n=1时为零点能量：。
J mah E n 1321029.38-⨯== （2）由n=2态跃迁到n=1态时，质子放出光子的能量为：。
）（J mah E E E 132121087.9814-⨯=-=-=∆22-11．对应于氢原子中电子轨道运动，试计算3=n 时氢原子可能具有的轨道角动量。
解：当n=3，l 的可能取值为：0，1，2。
而轨道角动量h l l L ）（1+= 所以 L 的取值为：0，h 2，6h22-12．氢原子处于1,2==l n 的激发态时，原子的轨道角动量在空间有哪些可能取向？并计算各种可能取向的角动量与z 轴的夹角？ 解：l=1，所以轨道角动量：h h l l L 21=+=）（10±=，m 三个取向。
夹角分别为：20πθ==，z L 4πθ==，h L z 43πθ=-=，h L z思考题22-1．证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。
证明：分别看这两个内容是什么：玻尔理论中氢原于中的电子轨道：220202meh n r n r n πε== 电子德布罗意波长： 先求其能量：2204281hme n E n ε= 再代入德布罗意波长求解式子中：2202me h n mEhπελ== 可见：λn r n = 是它的整数倍。
22-2．为什么说电子既不是经典意义的波，也不是经典意义的粒子？答：因为单个的电子是不具有波动的性质的，所以它不是经典意义的波，同时对于经典意义的粒子它的整体行为也不具有波动性，而电子却具有这个性质，所以电子也不是经典意义的粒子。
22-3．图中所示为电子波干涉实验示意图，S 为电子束发射源，发射出沿不同方向运动的电子，F 为极细的带强正电的金属丝，电子被吸引后改变运动方向，下方的电子折向上方，上方的电子折向下方，在前方交叉区放一电子感光板A ，1S 、2S 分别为上、下方电子束的虚电子源，21SS S S =，底板A 离源S 的距离为D ，设a D >>，电子的动量为p ，试求：（1）电子几率密度最大的位置； （2）相邻暗条纹的距离（近似计算）。
答：（1）电子的德布罗意波长：ph=λ 类似于波的干涉现象，在两边的第一级明纹之间分布的电子最多，所以其几率最大的位置应该在apDh d D 2±=±λ之间。
（2）相邻暗条纹的距离：apDhd D x 2==∆λ22-4．在一维势箱中运动的粒子，它的一个定态波函数如图a 所示，对应的总能量为eV 4，若它处于另一个波函数（如图b 所示）的态上时，它的总能量是多少？粒子的零点能是多少？答：由一维无限深势阱粒子的能级表达式：20n E E n = 。
在a 图中，n=2，所以粒子的零点能E 0=1。
若它处于另一个波函数（n=3）的态上时，它的总能量是9320203===E n E E22-5．图中所示为一有限深势阱，宽为a ，高为U 。
（1）写出各区域的定态薛定谔方程和边界条件； （2）比较具有相同宽度的有限深势阱和无限深势阱中粒子的最低能量值的大小。
答：第I 区域定态薛定谔方程：0212212=+）（）（x hmE dx x d ψψ 第II 区域定态薛定谔方程：0222222=-+）（）（）（x h U E m dx x d ψψ边界条件：）（）（2221a a -=-ψψ ）（）（2221a a ψψ=22-6．在钠光谱中，主线系的第一条谱线（钠黄线）是由3s 3p -之间的电子跃迁产生的，它由两条谱线组成，波长分别为οA 963.58891=λ和οA 930.58952=λ。
试用电子自旋来解释产生双线的原因。
答：Na 光谱双线产生的原因是比电相互作用小的磁相互作用的结果，是自旋—轨道相互作用能，是一个小量。
即电子轨道运动产生的磁场和电子自旋磁矩的作用，使原子的能级发生改变，其中电子自旋磁矩S mes -=μ，在Z 方向投影有两条，所以Na 光谱产生了双线。