2017_2018学年高中数学第二章变化率与导数4导数的四则运算法则教学案(含答案)北师大版选修2_2

“导数的四则运算法则”教学设计【课前学习活动设计】1.提前下发学案，让学生完成预案部分，让学生能带着问题研究学习，对课本内容有一个较好的初步掌握。

2.收缴预案，教师批阅学生预习案。

3.根据预案当中学生出现的问题，在课堂教学中预案反馈，针对性点评、分析，纠正学生的问题和错误。

4.对预案评优【教学过程设计】【当堂检测设计】本节课的当堂检测选用了两道题目，第1题是选择题，目的是考察学生对导数公式和求导法则的掌握情况，，第2题是应用导数的运算法则，根据导数的几何意义求曲线的切线方程，第1题是5分，第2题10分，共15分。

题目当堂完成，并进行学生提问检查，公布答案。

课下教师再收集学生学案，并进行评阅计分，同时了解各个同学的具体掌握情况及存在问题，为进一步提高打下基础。

【课外学习活动设计】由于课上时间有限，因此，在社团活动时间，组织各位同学多加练习，以求彻底掌握。

附：《导数的四则运算法则》学生导学案导数的四则运算法则【学习目标】1.知识目标：掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；能正确运用基本初等函数的导数公式和两个函数和、差、积、商的求导法则求一些简单函数的导数.2.能力目标：主动参与，小组合作交流，归纳出求导法则应用的规律与方法.3.情感、态度与价值观：激情投入，高效学习，形成缜密的数学思维品质.【重点】掌握函数的和、差、积、商的求导法则. 【难点】对函数的积和商的求导法则的理解和运用.【课前预习】一．复习回顾基本初等函数的导数公式(1)若()f x C = (C 为常数)，则()f x '＝ ； (2)若()()f x x Q αα=∈，则()f x '＝ ； (3)若()(0,1)xf x a a a =>≠，则()f x '＝ ； (4)若()x f x e =，则()f x '＝ ；(5)若()log (0,1,0)a f x x a a x =>≠>，则()f x '＝ ； (6)若()ln f x x =，则()f x '＝ ； (7)若()sin f x x =，则()f x '＝ ； (8)若()cos f x x =，则()f x '＝ 。

《导数的四则运算法则》教案导数的概念及其几何意义一、选择题1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +∆ B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆ 3. 函数y =f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0+⊿x 时，函数值的改变量⊿y 为（） A.f (x 0+⊿x ) B.f (x 0)+⊿x C. f (x 0)•⊿x D. f (x 0+⊿x )- f (x 0)4.已知函数y =f (x )=2x 2-1的图像上一点（1,1）及邻近一点（1+⊿x ，1+⊿y ），则等于（ ）A.4 x C.4+2⊿x D.4+2(⊿x )25. 一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A. 3Δt ＋6B. －3Δt ＋6C. 3Δt －6D. －3Δt －6 6.若函数y =f (x )在x 0处可导，则000()()limh f x h f x h的值（ ）x 0，h 有关 x 0有关，而与h 无关 C. 仅与h 有关，而与x 0无关 D. 与x 0，h都无关7. 函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是（ ）A.2B.1C.08.设函数f (x )=，则()()limx af x f a xa 等于( ) A.1aB.2aC.21aD.21a9. 下列各式中正确的是( )A. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x －Δx )－f (x 0)ΔxB. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )＋f (x 0)ΔxC. f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)ΔxD. f ′(x )＝li m Δx →0f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx 10. 设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A. f ′(1) B. 不存在 C. 13f ′(1) D. 以上都不对11. 设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A. 2 B. －2 C. 3 D. 不确定12. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A. 194B. 174C. 154D. 13413.曲线y=2x 2+1在点P （-1,3）处的切线方程是（ ） A.y =-4x -1 B.y =-4x -7 C.y =4x -1 D.y =4x -7 14.过点（-1,2）且与曲线y =3x 2-4x +2在点M （1,1）处的切线平行的直线方程是（ ） A.y =2x -1 B.y =2x +1 C.y =2x +4 D .y =2x -4 15. 下面四个命题：①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线； ②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在；③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在； ④曲线的切线和曲线有且只有一个公共点． 其中，真命题个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 316. 函数y ＝f (x )的导函数f ′(x 0)图像如图所示，则在y ＝f (x )的图像上A 、B 的对应点附近，有( )A. A 处下降，B 处上升B. A 处上升，B 处下降C. A 处下降，B 处下降D. A 处上升，B 处上升17. 曲线y ＝2x 2上有一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A.4 B. 16 C. 8 D. 218. 曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A. y ＝3x －4 B. y ＝－3x ＋2 C. y ＝－4x ＋3 D. y ＝4x －519.一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δx →0 ΔsΔt 为( )A ．在t 时刻该物体的瞬时速度B ．当时间为Δt 时物体的瞬时速度C ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度D ．以上说法均错误 20. (2012·宝鸡检测)已知函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2处的导数为f ′(2)＝11，则( ) A ．f ′(2)是函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2时对应的函数值 B ．f ′(2)是曲线f (x )＝x 3－x 在点x ＝2处的割线斜率C．f′(2)是函数f(x)＝x3－x在x＝2时的平均变化率D．f′(2)是曲线f(x)＝x3－x在点x＝2处的切线的斜率21.已知函数y＝f(x)的图像如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )A．f′(x A)＞f′(x B) B．f′(x A)＜f′(x B) C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定22.(2012·上饶检测)函数y＝3x2在x＝1处的导数为()A．2 B．3 C．6 D．1223.设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于()A．2 B．－2 C．3 D．－324.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )A．1 B.12C．－12D．－125．已知曲线y＝x24的一条切线斜率为12，则切点的横坐标为()A．1 B．2 C．3 D．426．一物体的运动方程是s＝12at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )A．at0 B．－at0 C.12at0 D．2at0二、填空题27. 在曲线y＝x2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx为____．28. 若质点M按规律s＝2t2－2运动，则在一小段时间[2,2＋Δt]内，相应的平均速度_．29.已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__．30．曲线y＝f(x)＝2x－x3在点(1，1)处的切线方程为________．31.函数y＝x2在x＝________处的导数值等于其函数值．32. (2012·南昌调研)若一物体的运动方程为s＝3t2＋2，求此物体在t＝1时的瞬时速度是33．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是___．34.函数f(x)=3x2-4x在x=-1处的导数是 .三、解答题35. 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率Δy Δx；(2)求当x1＝4，且Δx＝时，函数增量Δy和平均变化率Δy Δx；(3)求当x1＝4，且Δx＝时，函数增量Δy和平均变化率Δy Δx；36. 已知自由落体的运动方程为s＝12gt2，求：(1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；(2)落体在t0时的瞬时速度；(3)落体在t0＝2 s到t1＝2.1 s这段时间内的平均速度；(4)落体在t＝2 s时的瞬时速度．37. 求等边双曲线y＝1x在点⎝⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率，并写出切线方程．38. 在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角．39．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．40.(2012·榆林调研)已知曲线y＝13x3上一点P⎝⎛⎭⎪⎫2，83。

2.4 导数的四则运算法则教学过程：一、复习引入：常见函数的导数公式：0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=二、讲解新课：例1.求2y x x =+的导数.法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x =法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+证明：令()()y f x g x =，则=∆y ()f x x +∆()g x x +∆-()()f x g x()f x x =+∆()g x x +∆-()f x ()g x x +∆+()f x ()g x x +∆-()()f x g x ， =∆∆x y ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x ()()g x x g x x+∆-∆ 因为()g x 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时，()()g x x g x +∆→， 从而0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x 0lim →∆x ()()g x x g x x+∆-∆ '()()()'()f x g x f x g x =+，法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭三、讲解范例：例1 求下列函数的导数1、y =x 2+sin x 的导数.2、求2(23)(32)y x x =+-的导数．(两种方法) 3、求下列函数的导数 ⑴()sin h x x x = ⑵21()t s t t += 4、y =5x 10sin x －2x cos x －9，求y ′5、求y =xx sin 2的导数. 变式：(1)求y =332++x x 在点x =3处的导数. (2) 求y =x1·cos x 的导数. 例2求y =tan x 的导数.例3求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式四、课堂练习：1.求下列函数的导数：(1)y =x a x a +- (2)y =232x x + (3)y =x cos 11- 五、小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则(v u )′=2vv u v u '-'(v ≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住六、课后作业：。

(e +1)'(e -1)-(e +1)(e -1)'
(4)y'=
2
(e -1)
e (e -1)-(e +1)e
-2e
=
2
(e -1)
=
2
(e -1)
.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟应用导数的运算法则求函数导数的技巧
(1)解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正
“×”.
(1)在导数的运算法则中,f(x),g(x)不能是常数函数. ( × )
(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g'(x)在任何情况下都不成立. ( × )
(3)商的导数在一定情况下可以转化为乘积的导数. ( √ )
(4)[c·f(x)]'=c·f'(x). ( √ )
探究一
探究二
思维辨析
为
.
解析:因为y'=ex+xex+2,所以曲线在点(0,1)处切线的斜率
k=e0+0+2=3,所以所求切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.
答案:y=3x+1
探究一
探究二
思维辨析
因运算法则应用不恰当而造成失误
【典例】 求下列函数的导数.

2
2
2
(1)y=(x +1) ;(2)y=cos 2 .
易错分析:求导数一定要弄清楚函数的结构特征,分清是否能够
直接求导,若不能直接求导,则可先对函数解析式进行合理的恒等
变换,转化为易于求导的结构形式,再求导.如本例题(1)先展开,后求
导,例题(2)进行三角恒等变换后求导.