3晶体的对称性-课讲义件PPT(精)

第二章 晶体的宏观对称
对称的概念
晶体对称的特点
对称要素和对称操作
晶体的对称定律
对称要素的组合
点群和对称型的概念及其推导
晶体的分类
对称型的国际符号和圣佛利斯符
号 2020/10/15
1
晶体学
2.5 对称要素的组合
任意两个对称要素同时存在一个晶体上时，将 产生新的对称要素，且产生的个数一定。
例：四方四面体
Li42L2 2P
2020/10/15
黄铜矿
Li4+
L2⊥(或P//)
=
Li4
10
2L22P
晶体学
五、32个对称型及其推导
晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶 体形态的对称型或点群。一般来说，当强调对称 要素时称对称型，强调对称操作时称点群。
为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可构 成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时 有一点不动，所以称为点群。
晶体学
对称要素的组合
2020/10/15
8
晶体学
对称要素组合定理：
定理3：Ln P LnP C （n为偶数） 逆定理： Ln C LnP C （n为偶数）
P C LnP C （n为偶数） 这一定理说明了Ln、P、C三者中任两个可以 产生第三者。
2020/10/15
正长石：
L2+P⊥
=
2020/10/15
14
晶体学
A类对称型（高次轴不多于一个）的推导
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为：Li1=C； Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组 合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能的 对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当 n 为 偶 数 时 Lin(n/2)L2(n/2)P 可 能 的 对 称 型 为 ： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。

；.
23
Ge 的能带图
GaAs能带图
导带 价带
L
X U,K
见黄昆书p213 tu4-35
；.
24
6.8 能态密度和费米面
一. 能态密度 二. 费米面
见黄昆书4.7节
与孤立原子中的本征能态形成一系列分立能级不同，固 体中电子的能级非常密集，形成准连续分布，和孤立原 子那样去标注每个能级是没有意义的，为了概括晶体中 电子能级的状况，我们引入“能态密度”的概念，这个 函数在讨论晶体电子的各种过程时特别在输运现象的分 析中是非常重要的。
于本征函数的结果，
n (r ) nk (r )
应为具有同样本征值的另一本征函数。
nk
(r
Rn
)
eik Rn
nk
(r)
又由于晶体点群操作应保持点乘积不变，则有：
A B (A B) AB
1A B 1A；. B AB
5
因此有：
n
(r
Rn
)
nk
[
(r
Rn
)]
eik Rn
nk
(r)
原胞是晶体点阵的最小重复单位，因此点阵具有的点群 对称性全部反映在原胞中是能够理解的。
；.
7
3. En (k ) En (k )
反演对称性
在晶体中电子运动的哈密顿算符
2
H 2 U r
2m
是实算符，H*＝H。
如果 nk(r) 是方程的解，那么 *nk(r) 也是方程的解，
且这两个解具有相同的能量本征值。即有
: k (0,0,0)
E1 0
X
:
k
0,
2
a
,
0

（不含高次轴） 斜方晶系（L2或P多于一个 ）
三方晶系（有一个L3 ）
三大晶族 中级晶族
四方晶系（有一个L4或L4i ）
（有一个高次轴） 六方晶系（有一个L6或L6i ）
高级晶族
等轴晶系（有4个L3）
（有多个高次轴）
根据晶体对称的特点可以对晶体进行合理的科学分类。 晶体分类体系：三大晶族、七大晶系、三十二晶类
对称中心以字母C来表示。
一个具有对称中心的图形，其相对应的面、棱、角
部体现为反向平行。如图I－4－10 a，C为对称中
心，ABD与A1B1D1为反向平行，图I－4－10b因 ABA’B’与A1B1A1'B1'各自尚存在对中心，所以两 者既为反向平行，也为正向平行。
注意
反伸操作”可与“反映操作”做对比， 两者不同之点仅在于反伸凭借一个点， 反映凭借一个面。
在进行对称操作时所凭借的辅助几何要素(点、
线、面)称为对称要素。
晶体外形可能存在的对称要素和相应的对称 操作如下：
1．对称面(P)
对称面是一个假想的平面；
相应的对称操作为对于比平面的反映。
它将图形平分为互为镜像的两个相等部分。
对称面以P表示，在晶体中可以无或有一个或 几个对称面（最多有9个，立方体中）。
二、 晶体对称的特点
1. 所有晶体均有对称性
因为晶体具有格子构造，格子构造本身就是 质点在三维空间周期性重复出现。
2. 晶体对称受空间格子构造规律的限制
3. 晶体对称不仅外形上对称，其物理、 化学性质也体现在对称上
三、对称操作和对称要素
欲使对称图形中相同部分重复，必须通过一
定的操作，这种操作就称之为对称操作。
一、对称的概念

ⅱ表示方法
圣夫利斯 国际记号 习惯记号 图示记号
对称操作 i
I
对称元素 i i C 。
ⅲ 举例
A B
C
C1
i
B1
A1
D B
C
A
i C1
B1 A1
D1
iv 反伸的对称变换矩阵
• 以对称心为坐标原点，建立坐标系
变换前（x,y,z） 则反伸后（－x,－y,－z）
x x y y z z
1 0 0
对称变换矩阵
对任一对称操作，都要唯一的对称变换矩阵与之对应
• 6 对称的表示法
熊夫利斯记号 （分子常用）
国际记号
（晶体常用）
习惯记号
图示记号
•4 晶体宏观对称操作和对称元素的类型
Ⅰ反伸操作和对称心
ⅰ定义
若对称图形具有对称中心，则对称图形中的任意一点，在与 中心点连线的反向延长线的等距离处，必有相同的点存在。
反伸的对称变换矩阵
0
1
0
0 0 1
v 晶体的对称心 • 晶体中若存在对称心，其晶
面必然两两平行且相等。
（判断晶体有无对称心的依据）
Ⅱ反映操作和镜面
ⅰ 表示方法
圣夫利斯 国际记号 习惯记号
图示记号
对称操作 σ
M
对称元素 σ m P
垂直纸面 平行纸面
ⅱ定义
使图形中的每一点都反映到该点到镜面 垂线的延长线上，在镜面另一侧等距离处 有相同的点存在。
A
A1
B C
B1
C1
P
ⅲ 反映的对称变换矩阵
• 对称面包含的坐标轴不同，点经对称面的操作 后，得到的点的坐标不同
• 以包含xy轴的平面为镜面

具有广泛的应用前景。
THANKS
1 2
3
X射线晶体学原理
利用X射线在晶体中的衍射现象，分析晶体结构。
应用领域
材料科学、化学、生物学等，用于研究分子结构和晶体结构 。
优势与局限性
能够提供晶体结构的精确信息，但需要大块、完整的晶体。
电子显微镜
电子显微镜原理
利用电子替代传统显微镜的光源，提高分辨率。
应用领域
材料科学、生物学等，用于观察微观结构和表面形貌。
晶体对称性的未来发展
新材料设计
新材料设计
随着科技的发展，人们将更加深入地研究和利用晶体的对称性，以设计出具有优异性能的新材料。例 如，利用特定对称性的晶体结构，可以制造出具有高强度、轻质、耐高温等特性的新型复合材料。
新型光电子器件
利用晶体的对称性，可以设计出新型的光电子器件，如光子晶体和量子点等。这些器件在光通信、光 计算等领域具有广泛的应用前景。
对称性与生物大分子的关系
生物大分子的对称性
许多生物大分子，如蛋白质和核酸等， 都具有特定的对称性。这种对称性与生 物大分子的结构和功能密切相关，对于 理解生物大分子的性质和行为具有重要 意义。
VS
对称性与生物大分子功能
研究生物大分子的对称性，可以帮助人们 更好地理解其功能和作用机制。例如，某 些对称性的蛋白质结构可以增强其稳定性 或改变其与其它分子的相互作用方式。
出的对称特性。
微观对称性可以通过晶体结构中 的对称元素来描述，如晶格点阵 中的对称中心、旋转轴、镜面等
。
微观对称性决定了晶体在微观尺 度上的物理性质，如力学、磁学
和化学性质。
晶体点群
01
晶体点群是指在晶体结构中，围绕一个点为中 心的对称操作集合。

n
n
第6页/共45页
…
C C
n1,
n
E
n
n
（2）对称轴
(Cn
)
和旋转操作
(Cn
)
对称轴符号
当α=3600时，n=1，为一次轴，国 际符号为1；同理，可得二、三、四和六 次轴，符号分别记为2，3，4和6。对称 轴的习惯符号用Ln表示。
晶体对称定律
在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、 三次、四次和六次的对称轴，二不可能存在 五次及高于六次的对称轴。
心点即是对称中心，通常称之为对称心。
C2 H 2Cl2
有对称中心
第11页/共45页
BF3
无对称中心
（5）旋转轴 (Sn )和旋转反映操作 (Sn )
如果晶体绕轴旋转一定角度后，再作垂直此轴的镜面 反映，可以产生晶体的等价结构，则将该轴和镜面组
合所得到的对称元素称为旋转轴。
Sn Cn s h s h Cn
2、点 群
3、平移群
第1页/共45页
每一次操作都能够产生一个和原来图形等 价的图
对称操作 形，经过一次或连续几次操作能使图形完全复原。
对称元素
对几何图形施行对称操作时，所依赖的几何要素 （点、线、面及其组合）。
转 120 o
第2页/共45页
在对称操作过程中保持空间至少一个不动点的操作。
点操作 常见的点操作有恒等操作、平面反映操作、旋转操
C nh
C n×s
h
…
…
E
C
,C n
2×s
n
,
C
2 n
h,
, ,
C
,
C
n n
1

第二节：晶体的宏观对称性
材料科学基础
• 对称性是晶体的基本性质之一，是晶体分类的基础。
• 对称：symmetry • Latin symmetria
• 拉丁语 symmetria
• from Greek summetria
• 源自 希腊语 summetria
• from summetros [of like measure]
• 为什么雪花的基本形态是六角形的片状和柱状呢?
雪的基本形状是六角形。但在不同的环境下， 却可表现出各种样的形态。
为什么雪花的基本形态是六角形的片状和柱状呢?
精选ppt
Hbqref@
材料科学基础
• 显然对称的图形必须由两个以上的相同的部分组成。
但是，只具有相同的部分还不一定是对称的图形。
• 受晶体对称定律（law of crystal symmetry）限 制。在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、 三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五 次及高于六次的对称轴。
精选ppt
Hbqref@
材料科学基础
• （4）倒转轴（rotoinversion axis, 符号Lni）：亦称旋 转反伸轴，又称反轴或反演轴（inversion axis）等。 是一种复合的对称要素。它的辅助几何要素有两个： 一根假想的直线和此直线上的一个定点。相应的对称 变换就是围绕此直线旋转一定的角度及对于此定点的 倒反（反伸）。
精选ppt
Hbqref@
自然界一些对称现象－植物 材料科学基础
•
木槿花
精选ppt
Hbqref@
毛茛
人为的对称图形
材料科学基础
精选ppt
Hbqref@
雪花
材料科学基础

6. 单斜–点阵符号后有唯一的镜面、滑移面、2次旋转或者螺旋轴，或者 轴/平面符号(即Cc、P2、P21/n)。
7. 三斜–点阵符号后是1或(- 1)。
从空间群符号确定点群
点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出： 1.把所有滑移面全部转换成镜面； 2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。 例如：
空间群= Pnma 点群= mmm 空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
1. 第一字母(L)是点阵描述符号，指明点阵带心类型： P， I， F， C， A， B， R。
2. 其于三个符号(S1S2S3)表示在特定方向（对每种晶系分别规定）上的对 称元素。
3. 如果没有二义性可能，常用符号的省略形式 (如Pm，而不用写成P1m1)。 * 由于不同的晶轴选择和标记，同一个空间群可能有几种不同的符号。如
C 滑移面
滑移面
2. 滑移面 n 称为对角滑移面 3.滑移面 d 称为金刚石滑移面
滑移面
4. 双滑移面 e －只出现在带心的晶胞中，2005年新定义的滑移面。
螺旋轴
先绕轴进行逆时针方向360/n度的旋转，接着作平行于该轴的平移，平移量为(p/n) t， 这里t是平行于转轴方向的最短的晶格平移矢量，符号为np， n称为螺旋轴的次数， (n可以取值2,3,4,6)，而p只取小于n的整数。所以可以有以下11种螺旋轴：
3. 六方–第1个对称符号： 6, `6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm)
4. 三方–第1个对称符号： 3, `3 ，31 或 32 (如： P31m, R3, R3c, P312)
5. 正交–点阵符号后的全部三个符号是镜面，滑移面，2次旋转轴或2次 螺旋轴 (即Pnma, Cmc21, Pnc2）

•对称中心（inversion center)： 图示
完整版课件ppt
27
定义
定义：对称物体或图形中，存在一定点，作通 过该点的任意直线，在直线上距该点等距离两 端，可以找到对应点，则该定点即为对称中心。
相应的动作：倒反
阶次：2
对称中心的惯用符号：C；国际符号：1；圣佛里斯符号：Ci
完整版课件ppt
反映面穿过两相对棱，相对棱有6 对，故反映面有6个。
立方体共 有9个反 映面
完整版课件ppt
16
•旋转轴（rotation axe）：
旋 转 轴 示的 一 些 图
完整版课件ppt
17
旋 转 轴 示的 一 些 图
2次轴
3次轴
完整版课件ppt
18
旋转轴的定义
定义：物体或图形中存在一直线，当图形围绕它旋转一 定角度后，可使图形相同部分复原，此直线即为旋转轴。
双手的反映对称
左右坐标系
完整版课件ppt
3
对映体
乳酸分子
酒石酸晶体
完整版课件ppt
4
许多晶体自身有反映面，这类晶体不会有对映体。
完整版课件ppt
5
•对称: 物体或图形的相同或等同部分有规 律的重复。
•对称动作（操作): 把对称图形中某一部 分的任意点变到一个等同部分相应点上 去的动作。
完整版课件ppt
n表示图形围绕旋转轴旋转一周过程中，图形相同部分 重复的次数，因此n定义为旋转轴的轴次。
完整版课件ppt
20
证明是最小的旋转角
‘
完整版课件ppt
21
❖晶体的对称性定律
晶体只能出现1，2，3，4，6次旋转轴。
完整版课件ppt

1)垂直並平分晶面；
2)垂直晶棱並通過它的中心，
3)包含晶棱。
對稱面以P表示，在晶體中可以無或有一個或 幾個對稱面。在描述中，一般把對稱面的數 目寫在符號P的前面，如立方體有九個對稱面， 記作9P。
2．對稱軸(Ln)
對稱軸是一根假想的直線；相應的對稱操 作是圍繞此直線的旋轉。當圖形圍繞此直 線旋轉一定角度後，可使相等部分重複。 旋轉一周重複的次數稱為軸次(N)。重複時 所旋轉的最小角度稱基轉角a，兩者之間 的關係為N＝360／a。
正是由於以上的特點，所以晶體的對稱 可以做為晶體分類的最好的依據。在礦 物學中，無論在礦物的內部結構，外部 形態或物理性質的研究中，晶體對稱性 都到了極為廣泛的應用。
水晶及黑鎢礦 八面體的螢石
金剛石
綠柱石：晶體柱狀，端部常呈小錐
狀。晶體柱面常有明顯的平行於長軸（縱 向）的條紋，可生成巨大晶體，發現過長 達5.5米的標本，此外還以塊狀、緻密狀和 柱狀集合體產出。顏色的變化很大，因此 對不同色彩的綠柱給以不同的名稱，無色、 白色、綠色、（祖母綠）、黃色（金綠 玉）、粉紅色（銫綠柱石）、紅色和藍色 （海藍寶石），條痕白色。透明到半透明， 玻璃光澤。成因 形成於偉晶岩和花崗岩， 以及一些區域變質岩中。鑒定特徵 很難熔 化，熔化時會在邊緣出現小碎片。
第四章 晶體的對稱
一、對稱的概念 對稱就是物體相同部分有規律的重複
二、晶體對稱的特點
晶體是具有對稱性的，晶體外形的對稱 表現為相同的晶面、晶棱和角頂作有規 律的重複。
晶體的對稱與其它物體的對稱不同。生 物的對稱是為了適應生存的需要，建築 物、用具和器皿的對稱是人為的，是為 了美觀和適用，而晶體的對稱是取決於 它內在的格子構造。
在結晶學及 礦物學的研 究中，熟練 地掌握三個 晶族、七個 晶系、三十 二個對稱型 這晶體分類 體系及其劃 分依據是十 分必要的。

43在旋转2个90度后移距2×3/4 T=1T+1/2T，旋 转3个90度后移距3×3/4 T=2T+1/4T。T的整数 倍移距相当于平移轴，可以剔除，所以， 43相当 于旋转270度移距1/4T，也即反向旋转90度移距 1/4T 。 所以，41和43是旋向相反的关系。
3/4
1/2
1/4
1/2
1/4 0
与点群不同，这些对称要素在晶胞中不 交于一点，相同的对称要素也不止存在一个。 同一方向可能存在多种对称要素。
最后的对称要素取最高的：
对称轴存在多个，取最高对称的一个； 对称面(滑移面)存在多个，取最简单的一种。
2．空间群的国际符号 空间群的符号由两部分组成：
格子类型 + 宏观和微观对称要素的组合，
晶系
点群
空间群
94 10 -4
75 P4 76 P41 77 P42 78 P43 79 I4 80 I41 81 P-4 82 I-4
11 12
13 四方晶系 Tetragonal
14
4/m
83 P4/m 84 P42/m 85 P4/n 86 P42/n 87I 4/m 88 I41/a
42(422) 4mm
-42m
111 P-42m 112 P-42c 113 P-421m 114P-421c 115 P-4m2 116 P-4c2 117 P-4b2 118 P-4n2
119 I-4m2 120 I-4c2 121 I-42m 122 I-42d
123 P4/mmm 124P4/mcc 125 P4/nbm 126 P4/nnc
P
三斜晶系
C
I
F
C=P
I=P