弹塑性力学 第七章 屈服条件

其中 OP 对应于应力状态的球张量 部分，即静水压力部分。
由于静水应力不影响屈服，即屈服与否与 OP无关。
因此当P点达到屈服时， 线上的任一点也都达到屈服。
屈服曲面是一个柱面，其母线平行于L直线。 换言之，这柱面垂直于 平面。
屈服条件
屈服曲线
屈服曲面与π平面相交所得的一条封闭曲线，或称屈服轨迹。
ij , ij , ij ,t , T 0
( 4 1)
受六个应力分量、应变分量、应变速率、时间、温度等因素的综合影响。
当不考虑时间效应且接近常温时，
在初始屈服前材料处于弹性状态，应力和应变间有一一对应的关系，
（4-1）式简化为
F ij 0
( 4 2)
屈服条件
塑性力学
第四章
屈服条件
§4.1 初始屈服条件 §4.2 两种常用的屈服条件 §4.3 屈服条件的实验验证 §4.4 后继屈服条件
屈服条件
§4.1 初始屈服条件
一、屈服条件
简单应力状态下的屈服极限：s复杂应力状态下，设作用于物体上的外载荷逐步增加，在其变形的初 始阶段，每个微元处于弹性阶段。 材料初始弹性状态的界限称为初始屈服条件，简称为屈服条件。 一般地：
1 xs ( 1 3 ) 2
xs 2k const
可见：在 30 0 30 0 的范围内，屈服曲线为与y轴平行的直线段。
屈服条件
§4.2 两种常用的屈服条件
一、Tresca屈服条件
由对称性拓展后，得到π平面上的一个正六边形。 （4-11）应写成： 如不规定 1 2 3
1 W 12 22 32 2 1 2 2 3 3 1 2E

在加载过程中物体各点处的偏应力分量 sij 保持比例不变。在工程允许精度下，也可推
广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材
料大量试验的验证。
z 强化规律 对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服
变形， Hα 也不变，于是
∂f ∂σ ij
除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图 7.7b），即，在强化过程中，屈
服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。还有些材料
在强化过程中随动强化与等向强化同时发生，称为混合强化。
由于在应力和强化参数空间中，表示应力状态的应力点只可能位于后继屈服面
（或加载面）上或其内，不可能位于曲面之外，若加载面是一个正则曲面，则有
⎯2⎯
研究生学位课弹塑性力学电子讲义
姚振汉
⎧ε = 0 ⎨⎩σ = σ s
当 σ <σs 当 ε >0
(2)
图 7.5 理想弹塑性和刚塑性
当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化 弹塑性模型来近似：
⎧σ = Eε
⎨⎩σ = σ s +E1 (ε − εs )
当 ε ≤εs 当 ε >εs
(5)
⎯3⎯
第七章 塑性力学的基本方程与解法
其中 k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的σ s 确定， k = σ s 2 。当不能确定主应力的 排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态 的应力空间为
σ1 −σ 2 ≤ 2k, σ 2 −σ 3 ≤ 2k, σ 3 −σ1 ≤ 2k

• 如假定单轴拉伸时 两个屈服面重合，则 Tresca六边形内接于 Mises圆；
外切Tresca六边形
• 如假定简单剪切 时两个屈服面重合， 则Tresca六边形外切 e' 于Mises圆
e'
Mises 圆
内接Tresca六边形
5.2.3 与静水压力有关的材料
• 岩石、混凝土、土等摩阻材料 • 在受拉状态下一般表现为脆性而几乎不产生
•
f
t
2c cos 1 sin
单轴拉伸屈服应力
•
fc
2c cos 1 sin
单轴压缩屈服应力
• Mohr-Coulomb条件过高地估计了脆性材料的 抗拉强度，可与最大拉应力条件联合运用。
Drucker-Prager条件： f I1 J2 k 0
偏平面上DP条件的屈服曲线
Drucker-Prager
J2 = +166([(2zrzr2r)2+(2rz)]=)162+23((pR/tz))22
13 = = pR/t
对于Mises屈服条件： p = 2st/R 对于Tresca屈服条件： p = 2st/R
对管的两端为固定的情况，屈服压力又如何？
2 r
2z)]
= 1 [2(pR/t)2]=
6
1
3 (pR/t)2
13 = = pR/t
对于Mises屈服条件: J2 = s2
p 3st / R
对于Tresca屈服条件: 13 =k=2s p = 2st/R
（2）管段的两端是封闭的：
应力状态为，z= pR/2t， = pR/t，r=0， zr=r=z=0
5.2 屈服准则
• 5.2.1 引言 • 5.2.2 与静水压力无关的材料 • 5.2.3 与静水压力有关的材料

第七章柱体的弹塑性扭转第七章等截面柱体的弹塑性扭转在船舶、航空、土建以及机械工程等的机械传动机构中，作为传递扭矩的柱体是个重要的部件。

所谓柱体的扭转，是指圆柱体和棱柱体只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量与柱体的轴线 z 的方向相重合。

扭转问题属于仅在端面上受力柱体的平衡问题，若严格地满足其边界条件，按弹塑性力学求解是比较困难的。

因此，利用圣维南原理，将边界条件放松，即认为柱体中间截面上的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关，这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。

即使对于圣维南问题，仍需要求解一组偏微分方程，并使其满足一定的边界条件。

但在实用上很少由直接积分其基本方程而得到解答，大部分工程问题用间接的或近似的方法得到。

在间接方法中，圣维南的半逆解法是很重要的。

即先在应力或位移分量中假设一部分未知函数，然后将这部分函数代入基本方程，求得另外一部分的未知函数，并使全部未知函数满足所给定的边界条件，则所假设的和求得的函数即为问题的解。

由于用应力作为基本未知函数用半逆法求解时可以导致比较简单的边界条件，因此求解比较方便。

7.1弹性柱体自由扭转的基本关系式与应力函数解在材料力学中曾经过讨论圆轴的扭转，其特点是扭转变形前后的截面都是圆形，而且每一个截而只作刚体转动，在小变形条件下，没有铀向位移，取坐标系为 x, y, z ，且柱体的轴线为z方向，z方向的位移为w，即w(x, y, z) 0。

这样，变形后截面的半径及圆轴长度基本不变。

非圆形截面柱体的情况要复杂得多。

由于截面的非对称性，在扭转过程中，截面不再保持为平面，而发生了垂直于截面的翘曲变形，即w(x, y, z)0 。

函数w(x, y, z) 称为翘曲函数。

下面讨论任意截面形状的棱柱体扭转基本方程。

设有任意截面形状的等截面棱柱体，柱体两端受纠扭矩 M T作用，如图7.1所示。

1.边界条件对于扭转问题，柱体侧面为自由表面，因此柱体侧面的边界条件为第七章柱体的弹塑性扭转x lxymxy l y m0(7.1-1)zx l zy m0式中 l cos( n, x), m cos( y, n) 。