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最新《弹塑性力学》第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答

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《弹塑性力学》第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答.ppt

《弹塑性力学》第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答.ppt

x
应力：r, ,r= r 应变：r, ,r= r
P
y
位移：u r , u
2020/10/9
3
§7-1平面极坐标下的基本公式
直角坐标与极坐标之间关系:
x=rcos, y=rsin
r cos sin
x r x x
r r
r sin cos
y r y y
r
r
2 r
r )( f r
r
f 1
r
fr 0 0 f
fr ) r
2＝ 2 1 1 2
r 2 r r r 2 2
力的边界条件如前所列。
2020/10/9
14
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.8 应力函数解法
当体力为零 fr=f=0时, 应力法基本方程中的应
力分量可以转为一个待求的未知函数 ( r, ) 表示,而应力函数 ( r, ) 所满足方程为
16
§7-2 轴对称问题
2.1 轴对称问题的特点
1.截面的几何形状为圆环、圆盘。
2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体 积力分量 f=0 ； 在边界上 r=r0 ：F 0， u （0 沿环向的受力和约束为零） 。
3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴 对称的：
2020/10/9
17
§7-2 轴对称问题
上式代入平衡微分方程可得到用位移表 示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。
r
r
1 r r
( r
r
)
Kr
0
r
r
1 r
2 r
r
K
0
力的边界条件也同样可以用位移表示。
2020/10/9

弹塑性力学 第07章平面问题的极坐标解答

弹塑性力学 第07章平面问题的极坐标解答

ϕ 改变，即与 ϕ 无关。由此可见，凡是轴
对称问题，总是使自变称的 物理量不能存在。
考擦应力函数 U 与 ϕ 无关的一种特殊情况，即轴对称， 此时极坐标形式的双调和方程变成常微分方程 ⎛ ∂2 1 ∂ 1 ∂ 2 ⎞⎛ ∂ 2U 1 ∂U 1 ∂ 2U ⎞ ⎜ ⎜ ∂ρ 2 + ρ ∂ρ + ρ 2 ∂ϕ 2 ⎟ ⎟⎜ ⎜ ∂ρ 2 + ρ ∂ρ + ρ 2 ∂ϕ 2 ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ d2 1 d ⎞⎛ d 2U 1 dU ⎞ ⎜ ⎜ d ρ 2 + ρ dρ ⎟ ⎟⎜ ⎜ dρ 2 + ρ dρ ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠⎝ ⎠
τ ρϕ = τ ϕρ
∂ ⎛ 1 ∂U ⎞ 1 ∂ 2U 1 ∂U ⎜ ⎟ =− + 2 =− ⎜ ∂ρ ⎝ ρ ∂ϕ ⎟ ρ ∂ρ∂ϕ ρ ∂ϕ ⎠
¾极坐标系中边界条件的处理： ①、对于由径向线和环向线所围成的弹性体，其边界面通常 均为坐标面，即ρ 面（ρ 为常数）和 ϕ 面（ϕ 为常数），使 边界的表示变得十分简单，所以边界条件也十分简单。 ②、对于应力边界条件，通常给定径向和切向面力值，可直 接与对应的应力分量建立等式（注意符号规定） 应力边界条件：
¾平面问题极坐标形式的几何方程
ερ =
∂u ρ
∂ρ u ρ 1 ∂uϕ εϕ = + ρ ρ ∂ϕ 1 ∂u ρ ∂uϕ uϕ + − γ ρϕ = ρ ∂ϕ ∂ρ ρ
平 面 应 变 问 题
⎧ 1 ⎪ε ρ = (σ ρ −ν 1σ ϕ ) E1 ⎪ ⎪ 1 ⎨ε ϕ = (σ ϕ −ν 1σ ρ ) E1 ⎪ ⎪ 2(1 +ν 1 ) γ τ ρϕ = ⎪ ρϕ E1 ⎩
¾平面问题极坐标形式的物理方程 平 面 应 力 问 题

弹塑性_塑性力学基本方程和解法

弹塑性_塑性力学基本方程和解法

在加载过程中物体各点处的偏应力分量 sij 保持比例不变。在工程允许精度下，也可推
广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材
料大量试验的验证。
z 强化规律 对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服
变形， Hα 也不变，于是
∂f ∂σ ij
除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图 7.7b），即，在强化过程中，屈
服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。还有些材料
在强化过程中随动强化与等向强化同时发生，称为混合强化。
由于在应力和强化参数空间中，表示应力状态的应力点只可能位于后继屈服面
（或加载面）上或其内，不可能位于曲面之外，若加载面是一个正则曲面，则有
⎯2⎯
研究生学位课弹塑性力学电子讲义
姚振汉
⎧ε = 0 ⎨⎩σ = σ s
当 σ <σs 当 ε >0
(2)
图 7.5 理想弹塑性和刚塑性
当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化 弹塑性模型来近似：
⎧σ = Eε
⎨⎩σ = σ s +E1 (ε − εs )
当 ε ≤εs 当 ε >εs
(5)
⎯3⎯
第七章 塑性力学的基本方程与解法
其中 k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的σ s 确定， k = σ s 2 。当不能确定主应力的 排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态 的应力空间为
σ1 −σ 2 ≤ 2k, σ 2 −σ 3 ≤ 2k, σ 3 −σ1 ≤ 2k

弹性力学直角坐标解答

弹性力学直角坐标解答

根据材料的本构关系， 引入物理方程来表达应 力分量与应变分量之间 的关系。
针对具体问题的边界条 件，如固定端、自由端 或受力边界等，对平衡 方程和几何方程进行适 当的处理。
根据问题的性质和复杂 程度，选择合适的求解 方法，如分离变量法、 积分变换法或数值方法 等，以求解平衡方程和 几何方程，得到应力分 量和位移分量的解答。
多场耦合问题
涉及多个物理场的相互作用，如热-力、电-力等耦 合问题，使得边界条件更加复杂。
处理复杂边界条件方法
坐标变换法
通过坐标变换将复杂边界转换为简单边界，从而简化问题的求解。
近似解法
采用近似函数逼近复杂边界条件，将问题转化为可求解的近似问题。
数值解法
利用数值计算方法（如有限元法、有限差分法等）对复杂边界条件 进行离散化处理，进而求解弹性力学问题。
直角坐标系下应力应变关系
应力分量
在直角坐标系下，一点的应力状态可以用六个应力分量来 表示，即三个正应力分量和三个剪应力分量。
应变分量
与应力分量相对应，一点的应变状态也可以用六个应变分 量来表示，即三个正应变分量和三个剪应变分量。
应力应变关系
在弹性力学中，应力和应变之间存在一定的关系，这种关 系可以用广义胡克定律来描述。对于各向同性材料，应力 应变关系可以简化为三个独立的方程。
03
空间问题直角坐标解答方 法
空间应力问题求解思路
应力分量求解
叠加原理应用
根据弹性力学基本方程，利用直角坐标 系下的应力分量表达式，通过给定的边 界条件和载荷，求解各应力分量。
对于多个载荷同时作用的情况，可利用 叠加原理将问题分解为多个简单问题分 别求解，再将结果叠加得到最终解。
应力函数引入

第七章弹塑性断裂力学简介详解

第七章弹塑性断裂力学简介详解

； xy =0
5
sx =s y =s
a 2r
=
K1
2p r
； xy =0
对于平面问题，还有： yz=zx=0；
sz=0 sz=(sx+sy)
则裂纹线上任一点的主应力为：
平面应力 平面应变
s1 =s 2 =
K1
2p r
；
s3=20 K1/
2p r
平面应力 平面应变
塑性力学中，von Mises屈服条件为：
sys
B A
假定材料为弹性-理想塑性，
D K
屈服区内应力恒为sys，应力分
o rp
x
布应由实线AB与虚线BK表示。 a
与原线弹性解(虚线HK) 相比较，少了HB部分大 于sys的应力。
8
TAhBeHs区im域pl表e a示na弹ly性sis材as料ab中o存ve在is
sy H
n的ot力st，ric但tl因y c为or应re力ct 不be能cau超se过it屈was
(s1 -s 2 )2 + (s 2 - s 3 )2 + (s 3- s1)2=2 sy2s
6
将各主应力代入Mises屈服条件，得到：
K1 / 2p rp = s ys (1- 2)K1/ 2prp = s ys
(平面应力) (平面应变)
故塑性屈服区尺寸rp为：
rp=
1 2p
(
sKy1s)2
rp = 21p(sKy1s)2(1-2)2
线弹性断裂力学给出的裂纹尖端附近的应力趋于 无穷大。然而，事实上任何实际工程材料，都不 可能承受无穷大的应力作用。因此，裂尖附近的 材料必然要进入塑性，发生屈服。
2

弹塑性力学第七章答案

弹塑性力学第七章答案

第七章 习题答案7.3 设123S S S 、、为应力偏量，试证明用应力偏量表示Mises 屈服条件时，其形式为：s σ= 证明：Mises 屈服条件为()()()22221223312s σσσσσσσ-+-+-=()()()()()()2221223312221231223312222123123231222S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S =-+-+-=++---⎡⎤=++-++⎢⎥⎣⎦左式()1232222123032s S S S S S S σ++=∴=++= 左式故有s σ= 7.4 试用应力张量不变量1J 和2J 表示Mises 屈服条件。

解：1123J σσσ=++ ()2122331J σσσσσσ=-++Mises 屈服条件：()()()22221223312s σσσσσσσ-+-+-=()()()()22212312233121221223312212223232s J J σσσσσσσσσσσσσσσσσσσ=++---⎡⎤=++-++⎣⎦=+=左式 故有 22123s J J σ+= 7.5 试用Lode 应力参数σμ表达Mises 屈服条件。

解：由定义：8max ττ======即()()1313312σσσσ=-- Mises 屈服条件为()()()22221223312s σσσσσσσ-+-+-=将上式代入，得：()13sσσσ-= 即：13s σσσ-=7.6 物体中某点的应力状态为21000002000/00300MN m -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，该物体在单向拉伸 时2190/s MN m σ=，试用Mises 和Tresca 屈服条件分别判断该点是处于弹性状态还是塑性状态，如主应力方向均作相反的改变（即同值异号），则对被研究点所处状态的判断有无变化?解：（1）Mises 屈服条件判断()()()()()22242122331242610/7.2210/sMN m MN mσσσσσσσ-+-+-=⨯=⨯故该点处于弹性状态 （2）Tresca 屈服条件判断213200/MN m σσ-=故该点处于塑性状态如果各应力均作为变号，则以上各式不变，所作判断没有变化。

弹塑性力学第7章—平面问题

弹塑性力学第7章—平面问题

2 2 2 ε γ xy ∂ ∂ ε ∂ y 应变协调方程： x + = 2 2 ∂y ∂x ∂y∂x
用应力表示应变，结合平衡方程，可得
⎛ ∂2 ∂2 ⎞ 1 ⎛ ∂Fbx ∂Fby ⎞ ⎜ ∂ 2 + ∂ 2 ⎟ (σ x + σ y ) = − − ⎜ ∂ + ∂ ⎟ x ⎠ 1 v⎝ x y ⎠ ⎝ y
本构方程 ：
7.1 平面问题的基本方程
7.1.1 平面应力问题
应变协调方程： ∂ ε x + 2 = 2 ∂y ∂x ∂y∂x
2
∂ 2ε y
∂ 2γ xy
用应力表示应变，结合平衡方程，可得
⎛ ∂2 ⎛ ∂Fbx ∂Fby ⎞ ∂2 ⎞ ⎜ ⎜ ∂x + ∂y ⎟ ⎟ ⎜ ∂y 2 + ∂x 2 ⎟ ⎟(σ x + σ y ) = −(1 + v )⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7.1 平面问题的基本方程
7.1.2 平面应力问题
本构方程 ：
1 ⎤=0 εz = ⎡ σ v σ σ − + 由 ( ) z x y ⎦ E⎣
可得
σ z = v (σ x + σ y )
代入一般情况下的广义胡克定律，得到
E v , v1 = 其中 E1 = 2 1− v 1− v
τ xy ⎫ 1 ε x = (σ x − v1σ y ) γ xy = ⎪ E1 G ⎪ ⎪ 1 ε y = (σ y − v1σ x ) γ yz = 0 ⎬ E1 ⎪ εz = 0 γ zx = 0 ⎪ ⎪ ⎭
f1 = C2 x3 + C3 x 2 + C4 x + C5
f 2 = C6 x3 + C7 x 2 + C8 x + C9

弹塑性力学课程作业 参考答案

弹塑性力学课程作业 参考答案

弹塑性力学课程作业1 参考答案一．问答题1. 答：请参见教材第一章。

2. 答：弹塑性力学的研究对象比材料力学的研究对象更为广泛，是几何尺寸和形态都不受任何 限制的物体。

导致这一结果的主要原因是两者研究问题的基本方法的不同。

3. 答：弹塑性力学与材料力学、结构力学是否同属固体力学的范畴，它们各自求解的主要问题都是变形问题，求解主要问题的基本思路也是相同的。

这一基本思路的主线是：（1）静 力平衡的受力分析；（2）几何变形协调条件的分析；（3）受力与变形间的物理关系分析； 4. 答：“假设固体材料是连续介质”是固体力学的一条最基本假设，提出这一基本假设得意义是为利用数学中的单值连续函数描述力学量（应力、应变和位移）提供理论依据。

5. 答：请参见本章教材。

6. 答：略（参见本章教材）7. 答：因为物体内一点某微截面上的正应力分量 σ 和剪应力分量τ 同材料的强度分析 问题直接相关，该点微截面上的全应力则不然。

8. 答：参照坐标系围绕一点截取单元体表明一点的应力状态，对单元体的几何形状并不做 特定的限制。

根据单元体所受力系的平衡的原理研究一点的应力状态。

研究它的目的是： 首先是了解一点的应力状态任意斜截面上的应力，进一步了解该点的主应力、主方向、 最大（最小）剪应力及其作用截面的方位，最终目的是为了分析解决材料的强度问题。

9．答：略（请参见教材和本章重难点剖析。

） 10. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。

）11. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。

） 这样分解的力学意义是更有利于研究材料的塑性变形行为。

12. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。

）纳唯叶 (Navier) 平衡微分方程的力学意义是：只有满足该方程的应力解和体力才是客观上可能存在的。

13. 答：弹塑性力学关于应力分量和体力分量、面力分量的符号规则是不一样的。

它们的区别请参见教材。

14、答：弹塑性力学的应力解在物体内部应满足平衡微分方程和相容方程（关于相容方程详见第3、5、6章），在物体的边界上应满足应力边界条件。

弹塑性力学_平面问题_2

弹塑性力学_平面问题_2

本构方程1
（7.16)
本构方程2
（7.17)
1。弹性力学问题的平面问题

平面应力问题的基本方程
2 2 2 x y xy 2 2 y x xy
协调方程
（7.18)
（7.19)
边界条件
（7.20)
1。弹性力学问题的平面问题

平面问题的基本解法
(1) 位移法
（5.13)
（5.14)
1。弹性力学问题的平面问题
(1) 位移法
平面应力问题
代入
代入
（7.21)
1。弹性力学问题的平面问题
（7.21)
这是平面应力位移法基本方程，也可写成：
（7.21a)
其中
1。弹性力学问题的平面问题
用位移表示的边界条件经过如下转换：
（7.22)
1。弹性力学问题的平面问题
（7.21a)
（7.23)
无体力问题
(1) 方便分析计算（齐次方程易求解）。 作用： (2) 实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。
面力变换公式： X X lXx, Y Y mYy 与坐标系的选取有关， 注意： 因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。
弹性力学问题的解法
对于全部给定外力的边值问题，应力解法可以避开 几何关系（5.2）直接解出工程中关心的应力分量。 但应力解法处理位移边界条件相当困难。 应力解法涉及六个二阶B-M方程，三个一阶平衡方 程和三个边界条件，对于几何形状或载荷分布较复杂 的问题比较困难。
（7.29a)
弹性力学问题的解法
(3) 应力函数解法
（7.29a)
（7.30a)
弹性力学问题的解法

弹性力学平面问题的极坐标解答课件

弹性力学平面问题的极坐标解答课件

b
a
2
ln
a
b2
a
2
0
位移的确定
H, I, K待定
u
1 E
(1 )
A
(1 3 )B
2(1 )B(ln
1)
2(1
)C
I
sin
K
cos
u
4B
E
H
I
cos
K
sin
左端固定：(u )0 0
0,
(u ) 0 0
0,
u
0
0
0
常数的确定：
H
I
0,
K
1 E
极坐标下的双调和方程
代入协调方程，得到应力函数U需满足
的双调和方程
2
2
1
1
2
2
2
2U
2
1
U
1
2
2U
2
0
§7-2 轴对称应力及其位移
应力函数与无关，双调和方程为
d2
d 2
1
d
d
d2 U
d 2
1
dU
d
0
4
d4 U
d 4
23
d3 U
d 3
2
d2 U
d 2
dU
问题描述 任一截面上的弯矩：
M () F cos R tan F R sin
应力函数：
U f () sin
O
m
ba
F
x
n
y
f()的求解及应力表达式
微分方程及其通解
d2
d 2
1
d
d
1
2
d2 f

弹塑性力学部分习题

弹塑性力学部分习题
2018/10/7 7
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
§6-3平面问题的基本解法
§6-4多项式应力函数运用举例
2018/10/7
8
第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题 §7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲 §7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
弹塑性力学
第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识
2018/10/7
1
参考书目
1.徐芝纶， 弹性力学：上册 .第三版,高等教育
w k x, y
其中 k 为待定常数，(x‚y)为待定函数， 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
2018/10/7
18
题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0,
1 g 2 2 w q h z h z 2G 2
2018/10/7
在 V上
16
题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
z l y
Fbz g
x
x
2018/10/7
17
题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u kyz
v kxz

弹性力学 第七章 平面问题的极坐标解

弹性力学 第七章 平面问题的极坐标解

第七章平面问题的极坐标解知识点极坐标下的应力分量极坐标下的应变分量极坐标系的Laplace算符轴对称应力分量轴对称位移和应力表达式曲梁纯弯曲纯弯曲位移与平面假设带圆孔平板拉伸问题楔形体问题的应力函数楔形体应力楔形体受集中力偶作用极坐标平衡微分方程几何方程的极坐标表达应力函数轴对称位移厚壁圆筒作用均匀压力曲梁弯曲应力曲梁作用径向集中力孔口应力楔形体边界条件半无限平面作用集中力一、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。

对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。

本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。

二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题§7.1 平面问题极坐标解的基本方程学习思路:选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。

本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。

由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。

应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。

学习要点：1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6、极坐标系的Laplace算符；7、应力函数。

1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD，其由两个相距dρ的圆柱面和互成dϕ的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用σρ 表示径向正应力，用σϕ 表示环向正应力,τϕρ 和τρϕ 分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，τϕρ ＝τρϕ 。

弹塑性力学_平面问题_3 (nov16_18_23)

弹塑性力学_平面问题_3 (nov16_18_23)

由梁端部的边界条件：
(2) x y dy M
h 2 h 2

x
12 M y h3
h 2 h 2
6dy 2 dy M
x
l
M y (h / 12)
3
2M d 3 h M (或d 3 ) h 2
x
M y I
l
M min 3dh
h 2
M x
1
max 3dh
(c)
将式（b）代入 几何方程得：
1 My E I My y E I xy 0
(d)
(b)
将式（c）前两式积分，得：
u
式中： f1 ( y ),
M xy f1 ( y ) EI M 2 v y f 2 ( x) 2 EI
f 2 ( x) 为待定函数。
xy
y
③
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ axy
2 a 应力分量： x y 0 xy xy
a a>
0
对应于矩形板纯剪切状态
7
三次式
fy 3
应力分量： 左、右边界：
X x 6 fy
Y xy 0
上下边界： X Y 0 左、右端面受线性分布面力作用；面力合力
4 0
（7.31a)
（7.31b)
应力函数 ( x, y ) 求解方法
（1）逆解法
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等）， 假设各种满足相容方程（7.36）的φ(x,y) 的形式； （2）然后利用应力分量计算式（7.31a），求出 然后利用应力分量计算式（7 31 ） 求出 x , y , xy （具有待定系数）； （3）再利用应力边界条件式（7.37），来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可 以求解什么问题。 —— 主要适用于简单边界条件的问题。

弹塑性力学课后习题答案

弹塑性力学课后习题答案

（I-4） （I-5）
★ 关于求和标号，即哑标有：
◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii2a121a222a323
（I-12）
(ai) i2(a 1 1a22 a3)3 2 （I-13）
aibjk cijk
（I-21）
◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配
律和结合律。例如：
( a i j b i) c j k a i c k j b i c k j； 或 ( a i b k j ) c m a i( b j k c m )
（I-22）
C、张量函数的求导：
◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都
◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需
三个分量来确定。
◆ 若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维
空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表 示成：
Mrn （Ⅰ—1）
◆ 现令n为这些物理量的阶次，并统一称这些物
理量为张量。
当n=0时，零阶张量，M=1，标量； 当n=1时，一阶张量，M=3，矢量；
（I-25 ）
4.张量的分解
张量一般是非对称的。若张量 aij的分量满足
aij a ji
（I-27）
则 aij 称为对称张量。 如果 的分aij量满足
aij aji
（I-28）
则称为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的
分量(也即主对角元素)为零，即 a11a22。a330
第二章 应力理论
七应变莫尔圆41弹性变形与塑性变形的特点塑性力学的附加假设42常用简化力学模型43弹性本构方程弹性应变能函数44屈服函数主应力空间常用屈服条件47塑性本构方程简介静不定问题的解答1静力平衡分析平衡微分方程2几何变形分析几何方程3物理关系分析物理方程表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时应力与应变以及应力率与应变率之间关系的物性方程称为本构方程关系

《弹塑性力学》第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答

《弹塑性力学》第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答

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§7-2 轴对称问题
应力分量与 (r)的关系：
1 d r r dr
d 2 dr
2
r 0
自然满足平衡微分方程，则应力函数 (r)应满 足的基本方程为相容方程，即
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30
§7-2 轴对称问题
1 d d 2 2 ( r ) ( 2 ) 0 r dr dr
（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物
体采用极坐标 (r,) 来解，因为此时边界条件 用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极 坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及 算例。
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2
§7-1平面极坐标下的基本公式
采用极坐标系则平面内任一 点的物理量为r, 函数。 o 体力：fr=Kr , f=K
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§7-1平面极坐标下的基本公式
1.6 按位移法求解
u r E E 1 u u r ( r ) ( ) 2 2 r r 1 1 r
r
E E 1 u r u u r ( ) 2(1 ) 2(1 ) r r r
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§7-2 轴对称问题
在V内
u=0，r=0，r=0, ur=ur(r)， r=r(r), = (r),
r=r (r), = (r) 。
各待求函数为r的函数（单变量的）
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§7-2 轴对称问题
2.2 轴对称平面问题的基本公式
1. 平面微分方程 （仅一个）：
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§7-1平面极坐标下的基本公式

工程弹塑性力学课件：第七章极坐标解答

工程弹塑性力学课件：第七章极坐标解答

Φ f (ρ)cos 2φ.
(d)
代入相容方程，
d4 f 2 d3 f 9 d2 f 9 d f cos2φ[ d ρ4 ρ d ρ3 ρ2 d ρ2 ρ3 d ρ ]0,
双向受拉压
除去 cos2φ ，为欧拉方程，得解
f
( ρ)
Aρ4
Bρ2
C
D ρ2
.
(e)
由式 (d)，(e) 得 Φ ，并求出应力。
PA线应变
0，（略去高阶小量）.
PB线应变
εφ
PB PB PB
(u
φ
uφ φ
dφ)
u
ρdφ
1 ρ
uφ φ
;
PA转角
α
DA
uφ ρ
d
ρ
uφ
,
PA d ρ ρ
几何方程
PB转角 变形前切线 OP,变形后切线 OP,
POP u .
（使直角扩大，为负值）
切应变为
u
u 。
几何方程
3.当 u和ρ 同uφ时存在时，几何方程为
平衡条件
平衡条件： 应用假定:（1）连续性，（2）小变形。
考虑通过微分体形心 C 的 , 向及矩的平
衡，列出3个平衡条件:
F 0, F 0, M c 0。
Fρ 0--通过形心C的 ρ向合力为0，
(
)(
d )d
d
(
d)d sin
d
2
d
sin
d
2
(
d)d cos
换，
E
1
E
2
,
。 1
边界条件
边界条件--应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：

弹性力学的平面问题解法

弹性力学的平面问题解法

弹性力学的平面问题解法摘要：本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下基础。

着眼于弹性力学求解方法中一些方法，通过其在平面问题中的应用来介绍几种方法的研究思路，研究方法以及优缺点。

弹性力学作为固体力学的一个重要分支，它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件,它是研究弹性固体由于受外力作用，边界约束或者温度改变及其他一种或多种外界条件作用下产生的应力、应变和位移。

它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件。

关键词：弹性力学；平面问题；解法前言：弹性力学是材料力学问题的精确解，是结构力学，塑性力学等力学学科的基础，其广泛应用于土木工程、航空航天工程及机械工程等多个学科领域。

并且随着科学技术手段的进步，电子计算机得以应用到弹性力学的计算分析中，这极大地促进了弹性力学问题的分析计算更加深入，促使了有限单元法得以实现。

本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下坚实的基础。

1 问题解法1.1解析法解析法是根据研究对象在结构中的静力平衡条件，几何关系和物理关系建立边界条件，平衡微分方程，几何方程和物理方程，并以此求解应力分量，应变分量和位移分量的一种平面问题的精确解法。

按求解时的基本未知量选取不同可分为按位移求解的位移法和按应力求解的应力法。

第一个位移法：以位移为基本未知量时的基本方程如下：位移边界条件如下从上面的公式可以看出位移法求解平面问题时的基本未知量只有两个，与应力法的三个基本未知量相比求解简单很多，并且不但能求解位移边界条件，还能求解应力边界条件与混合边界条件。

第二个应力法：应力法以应力分量作为基本未知量，由此平面问题的平衡微分方程，几何方程，物理方程以及边界条件经过推导可变为如下形式：基本方程：应力边界条件：值得注意的是按应力求解时边界条件应全部为应力边界条件。

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6. 按应力法解
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§7-2 轴对称问题
应力法基本方程
dr
dr
r
r
fr
0
2(r
)
(1)(dfr
dr
fr r
)平面应力问
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§7-2 轴对称问题
其中
2＝ddr22
1 r
d dr
边界条件为力的边界条件：
r Fr
（在
s
上） ）
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§7-2 轴对称问题
)( fx
x
f y y
)
其中
2＝x22
2 y2
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§7-1平面极坐标下的基本公式
在极坐标按应力求解的基本方程为 （平面应力问题）
其中
r 1
r r
r
r
2(r )
r
r
r
fr
0
1 r
2r
r
f
0
(1)(fr 1 f r r
fr r
)
2＝ r22 1 rrr12 22
2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体 积力分量 f=0 ； 在边界上 r=r0 ：F 0， u （0 沿环向的受力和约束为零） 。
3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴 对称的：
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§7-2 轴对称问题
在V内 u=0，r=0，r=0, ur=ur(r)， r=r(r), = (r), r=r (r), = (r) 。
《弹塑性力学》第七章 弹 性力学平面问题的极坐标系
解答
在平面问题中，有些物体的截面几何形状 （边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物
体采用极坐标 (r,) 来解，因为此时边界条件
用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极 坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及 算例。
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§7-1平面极坐标下的基本公式
7.按应力函数求解
当无体力时应力法基本方程为：
d r
dr
r
r
0
2 ( r ) 0
选取应力函数 = (r)——单变量的函数
1.6 按位移法求解
1 E 2 (r) 1 E 2 ( 1 r u u r r u r r)
r 2 (1 E )r 2 (1 E )(1 r u r u r u r )
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§7-1平面极坐标下的基本公式
上式代入平衡微分方程可得到用位移表 示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。
各待求函数为r的函数（单变量的）
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§7-2 轴对称问题
2.2 轴对称平面问题的基本公式
1. 平面微分方程 （仅一个）：
dr
r
r
r
fr
0
2. 几何方程（二个）：
r
du r dr
ur r
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§7-2 轴对称问题
3.变形协调方程（一个）：
r 1 2 22 r 1 r r 2 2(r) r 1 2 r 2(rr ) 1 r r r 0
23
§7-2 轴对称问题
5. 按位移法求解
位移法的基本方程为：
r
E (druur) 12 dr r
1E2(urr
dru)
dr
d d2u 2rr1 rd dru ru r2 r (1 E 2)fr 0
d dr1 rd d(rrru)(1 E 2)fr 0
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§7-2 轴对称问题
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§7-1平面极坐标下的基本公式
1.6 按位移法求解 基本未知函数为位移u r , u ，应变、应力
均由位移导出。平面应力问题时的应力由位移 表示：
r 1 E 2(r) 1 E 2 u r r(1 r u u r r)
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§7-1平面极坐标下的基本公式
1.5 边界 条 件
r c n o ,r ) s r c ( n o ,s ) K s r F ( r（在
r cn o ,r ) s r c(n o ,s ) K s ( F
s
上
）
环向边界
n /r /:r K r ,r K （r=r0）
径向边界 n /s ( /n r ):θ rK r , K （ =0 ）
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§7-1平面极坐标下的基本公式
而极坐标系下的应力分量r ,,,r 由 ( r, )
的微分求得, 即：
r
1 r2
2 2
1
r r
2
r 2
rr r(1 r )r1 2 1 r r2
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§7-2 轴对称问题
2.1 轴对称问题的特点
1.截面的几何形状为圆环、圆盘。
相应边界条件：轴对称问题边界 r=r0（常数）
位移边界条件： ur ur（在 su 上）
力的边界条件：r Fr（在 s 上）
平面应力问题的力边界条件用位移表示：
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§7-2 轴对称问题
12
E
(ddrururr)Fr（在
s
上）
当ur 由基本方程和相应边界条件求出后，则 相应应变、应力均可求出。
1 rdd22r(r)1 rddrr0
ddr(r)—r —变形协调方程
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§7-2 轴对称问题
3.变形协调方程（一个）：
ddr(r)r ——变形协调方程
由几何方程：
r ur ddr(r)ddurrr
或
d r
dr r
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§7-2 轴对称问题
4.物理方程(两个) 平面应力问题
rr1 r r(r r)K r0
rr1 r 2rrK 0
力的边界条件也同样可以用位移表示。
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§7-1平面极坐标下的基本公式
1.7 按应力法求解
在直角坐标
系中按应力求解 的基本方程为
(平面应力问题） 2 (
x
x
x
xy
x
y
xy
y
y
y
) (1
fx 0 fy 0
r E1(r ) E1( r)
或
r
E
12
(r
)
பைடு நூலகம்
E
12
(
r)
平面应变问题时弹性系数替换。
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§7-2 轴对称问题
5. 按位移法求解
将 r、 用ur 表示，并代入平衡微分方程，
对于平面应力问题
r
E (druur) 12 dr r
E (ur
12 r
dru)
dr
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力的边界条件如前所列。
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§7-1平面极坐标下的基本公式
1.8 应力函数解法
当体力为零 fr=f=0时, 应力法基本方程中的应
力分量可以转为一个待求的未知函数 ( r, ) 表示,而应力函数 ( r, ) 所满足方程为
4 ( r, ) = 0 或
(r221 rrr1222)20