绝密★启用前2024高考密训卷（一）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{1}M =，集合{|02}N x x =<<，则“x N ∈”是“x M N ∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有（）A.30种 B.60种C.72种D.114种3.若()sin()ln 1m x f x x x ϕ-⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭是偶函数，则cos m ϕ+=（）A.1 B.1- C.1± D.0或24.已知ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若sin 2sin c B b A =，且a ，b ，c 成等差数列，则cos A =（）A.1116B.312C.312-D.785.已知复数12ππcosisin 33z =+和复数2z 为方程220x bx c ++=（,b c ∈R ）的两根，则下列说法正确的是（）A.1b c == B.121z z ⋅=-C.22z -也为该方程的根D.1z 与2z 也为方程31x =的根6.宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm ，上面的花口盏是底面直径分别为8cm 和10cm 的圆台，下面的盏托由底面直径8cm 的圆柱和底面直径分别为12cm 和8cm 的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（）A.248π3cm B.274π3cm C.354π3cm D.370π3cm 7.若()sin f x x ax =-在(0,)π上的极大值大于1，则a 的取值范围为（）A.(,0)-∞ B.π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C.(1,0)-D.(0,1)8.已知O 为坐标原点，OA 与OB为单位向量，()32OA OB OB +⋅= ，C 在定直线l：y x =+上，不等式OA OB OC T ++恒成立，则实数T 的取值范围为（）A.(,2-∞+B.(,2-∞-C.(,-∞D.(-∞二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知圆Q ：222(3)()x y m m -+-=与y 轴相交于两点A ，B ，且与直线:2l x =-不相交．则下列选项正确的是（）A.||m 的取值范围是(3,5)B.O 为坐标原点，则||||OA OB +的最小值为6C.当圆Q 与直线l 相切时，||1OA =（A 在B 下方）D.若4m =，过l 上一点S 作圆Q 的切线ST （T 为切点），则切线长||ST 的最小值为310.已知00(,)A x y 是圆O ：222x y a +=（0a >）上一点，以x 轴非负半轴为始边，射线OA 为终边的角记为α，定义00()2f x y α=+，00()2g y x α=-．则下列选项正确的是（）A.若()2f a α=，则0x a=B.()f α取得最大值时，05x a =C.若将()f α的图象向右平移θ个单位可得到()g α的图象，则4tan 3θ=-D.(,)B B B x y 是圆O 上一点且||AB a =，则0||B y y -的最大值为12a11.长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD ==，1AA =，点M 为线段1A A 上的动点，且不与点A 重合，P 为平面ABCD 内一动点，将MAP △绕MA 旋转，得到圆锥MA ，则下列说法正确的是（）A.若1AM =，AP =π4B.若AP =，则存在点P ，使得直线1A P ∥平面11B CD C.若圆锥MA 表面积为6πD.若AM =AP =的小球三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.()5x m x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数为15-，则m =________．13.数列{}n a 满足21n na a +=，1e a =，数列{}nb 的前n 项和为22n n+，数列{}n c 满足ln ,,nn n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则其前2n 项和2n S =________．14.除数函数（divisor function ）()y d n =（*n ∈N ）的函数值等于n 的正因数的个数，例如(1)1d =，(4)3d =，则()2n d =________；()2024d =________．四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.（13分）已知1()e x f x a -=，()ln g x x x =，且()f x 在1x =处的切线l 与()g x 的交点横坐标为e ．（1）求a ；（2）记()()()h x f x g x =-，求()h x 的单调区间；（3）在（2）的条件下，证明：()0h x >．16.（15分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足121a a ==，数列2{}n a 的前n 项和为1n n a a +⋅．正项等比数列{}n b 满足13b a =，36b a =．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若211n n c b =-，证明：12312n c c c c ++++< ．17.（15分）如图所示的多面体PABCDE 中，PB ⊥平面ABCD ，3PB =，AB CD ∥，EC PD ∥，22DC AB ==，AD =，EC =3PD EC =．（1）若点F 为PE 中点，求证：AF ∥平面BEC ；（2）求直线BE 与平面ACE所成角的正弦值．18.（17分）椭圆C ：22221y x a b +=（0a b >>）中，离心率是2，右顶点A 到上顶点B 的距离为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左顶点为1A ，经过点2,05D ⎛⎫⎪⎝⎭的直线1l 与椭圆C 交于E ，F ，过点D 作AE 的平行线2l ，与1A F 交于点G ．判断G 是否在定直线上？若在，求出该直线；若不在，请说明理由．19.（17分）“由样本估计总体”是统计学中一种重要的思想方法，而我们利用一些样本去估计某一参数的值时，常采用最大似然估计的方法．最大似然估计是由高斯首次提出，费尔希推广并使之得到广泛应用的一种估计方法，其原理是从总体中抽出具有n 个值的采样12,,,n X X X ，求出似然函数()()1122,,,n n L p P X x X x X x ==== ，似然函数()L p 表示样本同时取得12,,,n x x x 的概率，当似然函数取得最大值时参数的取值即为该参数的最大似然估计值．（1）已知一工厂生产产品的合格率为p ，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中随机抽取20件进行检测，有2件不合格；（i ）估计该批次产品合格率；（ii ）若用随机变量X 表示产品是否合格，0X =表示不合格，1X =表示合格，求合格率p 的最大似然估计值，并判断与（i ）中估计值是否相等；（2）设一次试验中随机变量Y 的概率分布如下：Y 123P2x ()21x x -()21x -现做n 次独立重复试验，1Y =出现了1n 次，2Y =出现了2n 次，3Y =出现了3n 次，求x 的最大似然估计值；（3）泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为()()e 0,1,2,!k P X k X k λλ-===,设一次试验中随机变量X 的取值服从泊松分布，进行n 次试验后得到X 的值分别为12,,,n a a a ，已知λ的最大似然估计值为2，求数列{}n a 的前n 项和n S ．2024高考数学密训卷参考答案（一）一．单项选择题1.C因为{|02}M N x x N=<<=所以“x N ∈”是“x M N ∈”的充要条件故选：C ．2.B由题意知，即从5人中选出三人，分配到三个舱内共有3353C A 60=种不同的安排方案故选：B ．3.D因为()f x 是偶函数，所以它的定义域关于原点对称所以1m =，此时定义域为(1,1)-易求得1ln 1x y x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭是奇函数所以sin()y x ϕ=+是奇函数，于是k ϕ=π（k ∈Z ）此时cos 1ϕ=±，于是cos 0m ϕ+=或2故选：D ．4.D由sin 2sin c B b A =，及正弦定理sin sin b aB A=可得2bc ba =，即2c a=又a ，b ，c 成等差数列，则2a c b +=，所以32b a =于是cos A 2222b c a bc +-=22229443222a a a a +-=⨯⨯78=故选：D ．5.D由题可得，复数113i 22z =-+，213i22z =--由韦达定理可知1212b z z +=-=-，1212c z z ⋅==所以2b c ==，故A ，B 错误解方程可得213i 22z =--，则22113i z 22z =-+=，则2212z z z ≠≠-，故C 错误因为()()321110x x x x -=-++=，而1z 与2z 为方程210x x ++=的两根则1z 与2z 也为方程31x =的根，故D 正确故选：D ．6.D花口盏体积：()2211π64545122π3V =⨯⨯++⨯=3cm 盏托体积：()22221π46π64646248π3V =⨯⨯+⨯⨯++⨯=3cm 所以组合体的体积12370πV V V =+=3cm 故选：D ．7.C()cos f x x a=-'当1a 时，()0f x ' ，()f x 单调递减，无极值点当1a - 时，()0f x ' ，()f x 单调递增，无极值点当11a -<<时，因为(0)10f a =->'，(π)10f a =--<'而()f x '在(0,)π单调递减所以存在0(0,π)x ∈，使0()0f x '=在0(0,)x 上，()0f x '>，()f x 单调递增0(,π)x 上，()0f x '<，()f x 单调递减于是0x 是()f x 在(0,)π上的极大值点此时00()cos 0f x x a =-='，即0cos a x =由题意，0()1f x >，即000000()sin sin cos 1f x x ax x x x =-=->设()sin cos g x x x x =-，则()sin 0g x x x =>'于是()g x 在(0,)π上单调递增，又π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以0,2x π⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，0cos (1,0)a x =∈-故选：C ．8.B因为OA 与OB为单位向量，()32OA OB OB +⋅=所以1cos ,2OA OB =ñá，即OA ，OB 的夹角为3π易知点A ，B 为以原点为圆心的单位圆上的动点，且π3AOB ∠=令OG OA OB =+，则OG OA OB =+= 易知点G为半径的圆上的动点则OA OB OC ++ OG OC=+ 如图1，设直线l '：22y x =-，过点O 作OH ⊥直线l 于点H ，作OH '⊥直线l '于点H '则OH H O'= 可知如图2，当点C 在点H 处，点G 在线段OH '上时，OG OC+取得最小值此时'OG OC HG+=2=-所以2T 故选：B ．二．多项选择题9.CD由题可知，圆Q 的半径为||m ，且圆与x 轴相切由题意，3||3(2)m <-- ，即||m 的取值范围是(3,5]，故A 错误设圆Q 与x 轴的切点为C ，根据切割线定理2||||||9OA OB OC ⋅==于是||||6OA OB + ，当且仅当||||3OA OB ==时等号成立若||OA 和||OB 相等，则圆Q 与y 轴相切，与题意不符，故无法取得最小值，故B 错误当圆Q 与直线l 相切时，||5m =，过Q 作y 轴垂线QD （D 为垂足），连接QA ，如图1则QAD △为直角三角形，于是||4AD ==此时||||||541OA OD AD =-=-=，故C 正确对于D ，连接SQ ，TQ ，易知SQT △为直角三角形，如图2于是||ST ==当QS 与l 垂直时，||SQ 最小，即||ST 最小此时||5SQ =，||3ST ==所以||ST 的最小值为3，故D 正确故选：CD ．10.BC由题意，0cos x a α=，0sin y a α=所以()2cos sin f a a ααα=+，()sin 2cos g a a ααα=-对于A ，若()2f a α=，则2cos sin 2αα+=结合22sin sin 1αα+=可解得3cos 5α=或cos 1α=，即035x a =或0x a =，于是A 错误对于B ，()2cos sin f a a ααα=+可看成向量(2,)a a 与向量(cos ,sin )αα的数量积当且仅当(2,)a a 与(cos ,sin )αα同向时()f α取最大值易求得此时cos 5α=，于是05x a =，于是B 正确对于C，()2cos sin sin()f a a ααααϕ=+=+（0ϕ>且tan 2ϕ=）()sin 2cos sin()g a a ααααϕ=-=-（0ϕ>且tan 2ϕ=）若将()f α的图象向右平移θ个单位可得到()g α的图象，则22πk θϕ=+（k Z ∈）则22tan 4tan tan 21tan 3ϕϕθϕ===--，于是C 正确对于D ，若||AB a =，则易求得π3AOB ∠=要求0||B y y -的最大值，不妨设以OB 为终边的角为π3α+于是0||B y y -πsin sin 3a a αα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭πsin 3a α⎛⎫=- ⎪⎝⎭当5π6α=时，0||B y y -取得最大值a ，所以D 错误故选：BC ．11.AC对于A，所求几何体体积为2111ππ14434MA V 圆锥=⨯⨯⨯=，故A 正确对于B ，点P 在底面的轨迹为以A 为圆心，AP为半径的圆故线段1A P 的轨迹为以AP 为底面半径的圆锥1A A的侧面11tan 2AA P ∠==连结BD ，1A B ，1A D ，AC ，记AC BD E=易判断在长方体中，11A B D C ∥，11BD B D ∥故平面1A BD ∥平面11B CD 同时1A E BD ⊥，AE BD ⊥，BD AC ==故1A EA ∠为二面角1A BD A --的平面角又因为1A A ⊥平面ABD ，故1A AE △为直角三角形，则1AA E ∠即为直线1A A 与平面11B CD 所成夹角1tan AA E ∠1AE AA==3142=>1tan AA P ∠=故平面1A BD 与圆锥1A A 侧面无交线，即所有的直线1A P 均不与平面1A BD 平行则不存在点P ，使得1A P ∥平面11B CD ，故B 错误对于C ，设圆锥MA 的底面半径为r ，高为h ，母线长MP a=则其表面积为21π2π6π2r r a +⨯⋅=，h =可得6a rr=-则2211ππ33MA V r h r =⋅=⋅圆锥可得13MA V =圆锥1π3=当232r =，即2r =时，圆锥体积取得最大值，最大值为，故C 正确对于D ，此时圆锥MA 即圆锥1A A记圆锥1A A 在正方形ABCD 内与AC 相交于点F ，连11A C ，1AF易知圆锥、长方体均关于平面11A ACC 对称，若取到完全能放入的最大球，则只需考虑球心在平面11A ACC 内的情况取截面四边形11A FCC ，延长1A F ，1C C 交于点M显然F 为AC 中点，故直角三角形11A C M中，11A C =，1C M =故1A M =，故直角三角形11A C M=内切圆直径为，恰与梯形11A FCC 上下底同时相切的圆为梯形11A FCC 内能放入的最大圆的小球与圆锥侧面上直线1A F ，长方体侧棱1CC 相切，且与长方体上下底面相切但同时，长方体内完全放入的小球必不能与侧棱相切，故D 错误故选：AC ．三．填空题12.2()415C 1-()325C 115m +⋅-=-解得2m =故答案为：2．13.24133n n n ++-21n na a += 21ln ln 2ln n nna a a +∴==∴数列{ln }n a 为首项为1ln 1a =，公比为2的等比数列1ln 2n n a -∴= 数列{}n b 前n 项和为22n n +11b ∴=，且当2n 时，()()221122n n n n n b n -+-+=-=，11b =符合n b n∴=12,,n n n c n n -⎧∴=⎨⎩为奇数为偶数()()022********n n S n -∴=+++++++()()2114224121433nn n n n n ⋅-+=+=++--故答案为：24133n n n ++-．14.1n +；162n 的正因数为121,2,2,2n ，共1n +个故()21n d n =+20242221123=⨯⨯⨯⨯①从中选1个数相乘，有2,11,23共3种情况②从中选2个数相乘，有22,211,223,1123⨯⨯⨯⨯共4种情况③从中选3个数相乘，即有2个不选，同②为4种情况④从中选4个数相乘，即有1个不选，同①为3种情况⑤从中选5个数相乘，有2024以及1这个因数，共2种情况故(2024)3443216d =++++=故答案为：1n +；16．四．解答题15.（1）1()e x f x a -='，(1)f a '=，(1)f a=所以()f x 在1x =处的切线为(1)y a a x -=-，即y ax =由题意，e (e)ea g ==所以1a =（2）1()e ln x h x x x -=-的定义域为(0,)+∞1()e ln 1x h x x -=--'记()()h x l x ='，则11()e x l x x-=-'易得'()l x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0l '=于是在(0,1)上，()0l x '<，()l x 单调递减在(1,)+∞上，()0l x '>，()l x 单调递增所以()(1)0l x l = ，即()0h x ' 所以()h x 在(0,)+∞单调递增即()h x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间（3）当01x <<时，1e 0x ->，ln 0x x <，所以1()e ln 0x h x x x -=->当1x 时，因为()h x 在(0,)+∞单调递减所以()(1)10h x h => 综上，()0h x >16.（1）由题意可得211nn n n n a a a a a +-=-（2n ）所以211()nn n n a a a a +-=-因为0n a >所以11n n n a a a +-=-即11n n n a a a +-=+（2n ）所以31212a a a b =+==645233423323a a a a a a a a a a a a =+=+++=++++233238a a b =+==设等比数列{}n b 的公比为q （0q >）则231842b q b ===，2q =，2n n b =（2）21111121(21)(21)22121n n n n n n c ⎛⎫===- ⎪--+-+⎝⎭所以123n c c c c ++++ 1111111112335792121n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭ 1111111112337517921n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 12<17．如图，取DC 中点M ，连接AM ，FMAB CD ∥，22DC AB ==∴MC AB ∥，MC AB =∴四边形ABCM 为平行四边形∴AM BC∥又AM ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC∴AM ∥平面BECEC PD ∥，F ，M 分别是腰PE ，DC 的中点∴FM EC∥又FM ⊄平面BEC ，EC ⊂平面BEC∴FM ∥平面BEC又AM FM M=∴平面AFM ∥平面BEC ∴AF ∥平面BEC（2）连接BDPB ⊥平面ABCD ，3PB =，3PD EC ==，AD =，1AB =第13页（共16页）第14页（共16页）∴223BD PD PB =-=，所以222AB BD AD+=由勾股逆定理，可得AB BD ⊥，以B 为坐标原点，分别以BA ，BD ，BP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系有(0,0,0)B ，(1,0,0)A ，(0,3,0)D ，(0,0,3)P ，(2,3,0)C -由3DP CE=，得(2,2,1)E -设(),,x y z =m 为平面ACE 的一个法向量则有330320AC x y AE x y z⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩m m ，令1y =，得()1,1,1=m cos ,BE 〈〉 m ||||BEBE ⋅=⋅m m =9=所以直线BE 与平面ACE所成夹角的正弦值为3918.（1）由题意可得22222212c a b e a a -===，(22212a b +==解得28a =，24b =所以椭圆的标准方程为22184y x+=（2）在定直线265x =上，证明如下由题可得，(2,0)A ，1(2,0)A -设直线1l ：25x my =+，11(,)E x y ，22(,)F x y 直线1l 与椭圆C 联立可得228192(21)0525m y my ++-=显然0∆>，12285(21)m y y m +=-+，12219225(21)y y m =-+所以有121224()5y y y y m=+①直线2l ：11225y y x x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭②直线1A F l ：()2222y y x x =++③②③联立，消去y 可得()121222252y y x x x x ⎛⎫-=+ ⎪-+⎝⎭即112855y x my ⎛⎫- ⎪⎝⎭-()222125y x my =++即121222855y y x my y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭-()121212125y y x my y y =++第15页（共16页）第16页（共16页）即()12121212822555y y my y x my y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭将①代入得1236242555y y x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()122416255y y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭则252x x -+1212241655362455y y y y +=+23=，即265x =所以点G 在定直线265x =上19.（1）（i ）0.9P =（ii ）由题意得，似然函数()()21811L p p p =-()()()17112018L p p p p '=--当()0,0.9p ∈时，()10L p '>，()1L p 单调递增当()0.9,1p ∈时，()10L p '<，()1L p 单调递减则当()10.9p L p p =时，取得最大值，即的最大似然估计值为0.9，与（i ）中的估计值相等（2）()2L x ()()()31222211n n n xx x x ⎡⎤=--⎡⎤⎣⎦⎣⎦()322122221n n n n n x x ++=-令()f x ()2ln L x =()()()123222ln 2ln 1ln 2n n x n n x n =+++-+则()3212221n n n n f x x x ++=--'，令()0f x '=，解得12ˆ22n n nx +=易知()f x '在()0,1x ∈上单调递减，则当(),ˆ0x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(),1ˆx x∈时，()0f x '<，()f x 单调递减所以()2L x 在()0,ˆx 上单调递增，在()ˆ,1x 上单调递减则1222ˆn n x xn +==时，()2L x 取得最大值，所以x 的最大似然估计值为1222n nn+（3）()3L λ()11,,n n P X a X a ==⋅⋅⋅=1e !ia ni ia λλ-==∏11e !na i i n n ii a λλ∑=-==∏设()g λ()3ln L λ=11ln ln !n ni i i i a n a λλ==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑，则()11ni i g a nλλ='=-∑令()0g λ'=，1ˆnii anλ==∑易证ˆλ为()g λ极大值点则12ˆnii anλ===∑，即12ni n i a S n===∑。
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