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线性代数同步练习册第四章答案

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第四章线性方程组1、用消元法解下列线性方程组：(1)123123123123233 350433136 x x xx x xx x xx x x-+=⎧⎪+-=⎪⎨-+=⎪⎪+-=-⎩解：2133100131500102()41130011131360000-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→→⎪ ⎪-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A b解得1231,2,1x x x===(2)1234123412342121255x x x xx x x xx x x x-++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-+-=⎩.无解(3) 12312312312303203502230x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪--=⎪⎨-+=⎪⎪-++=⎩.解得 1230,0,0x x x ===(4) 123412341234123442020372031260x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎪⎨++-=⎪⎪--+=⎩.解得 12340,0,0,0x x x x ====2、用基础解系表示下列齐次线性方程组的全部解：（1）12341234123420363051050x x x xx x x xx x x x++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1112214321kkxxxx（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++33456223235432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解得：12312345115226100010001xxx k k kxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）123412341234220 2220430 x x x xx x x xx x x x+++=⎧⎪+--=⎨⎪---=⎩解为：1212345343221001xxk kxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪-⎪ ⎪=+ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）123451234512351234522023203503230x x x x xx x x x xx x x xx x x x x+-+-=⎧⎪++-+=⎪⎨+-+=⎪⎪++-+=⎩解为：12312345857534100010001xxx k k kxx--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5）123412341231234230 3205520 230 x x x xx x x xx x xx x x x++-=⎧⎪+++=⎪⎨++=⎪⎪++-=⎩解为：1234111xxkxx-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（6）12345134523451245220233025040x x x x xx x x xx x x xx x x x++++=⎧⎪+-+=⎪⎨++-=⎪⎪++-=⎩解为：12312451031111001xxx k kxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3、用基础解系表示下列非齐次线性方程组的全部解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=+++=+++-=++121224243214321431x x x x x x x x x x x解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2013801111k x（2）1234123412342212223x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩解：102111210x k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）123412341234221 245224x x x xx x x xx x x x+-+=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩解：121234221010101001xxk kxx--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=--=-+-=++--=+-4257245422222321321321321321xxxxxxxxxxxxxxx解：121312131011X k orX k⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（5）12345123512451234022 133 21 +2 1x x x x x x x x x x x x x x x x x +--+=⎧⎪+++=⎪⎨+-+=⎪⎪++=⎩解：特解和3个基础解系：0(1,0,0,0,1)a =-123(1,1,0,0,0),(2,0,1,0,3),(1,0,0,1,2)a a a =-=-=-所以原方程组的通解为 1122330:a k a k a k a a =+++（123,,k k k 为任意常数）（6）12341234134124212232335x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩解：121234211130010001x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4、求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλλ 只有零解的充要条件。

解为： .21-≠≠λλ且5、设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩是2，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13441α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23312α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=31303α是它的三个解，求它的通解。

解：=-+-+=)()(3122111αααααk k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-42743013134421k k 。

6.当 k 取何值时, 方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++156453423321321321x x x k x x x x x x 有解, 并求出此时的通解.解：3(,)546k kA b k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴ 当 k =6 时, 方程组有解且有无穷多解此时11161029(,)324301115546150000A b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∴01591121k X7. 已知方程组123412341234231355322322x x x x x x x x x x x x a -+-=⎧⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩，当a 为何值时方程组无解？当a 为何值时方程组有解？并求解．解:A 1231112311(,)3553201401232201402A b a a ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→--⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦123111051101401014010000100001a a -----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--→--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1) 1≠a 时，方程组无解； (2) 1=a 时，因为()(,)24==<r A r A b ，所以方程组有无穷多解。

取34,x x 为自由未知量，令340,0==x x得方程组的一个特解0(1,1,0,0)=--Tx ；令自由未知量为341,0==x x ，得其导出组基础解系中的一个解1(5,4,1,0)=T x ，令自由未知量为340,1==x x ，得其导出组基础解系中的另一个解2(1,0,0,1)=T x ，所以方程组的一般解为0112212(1,1,0,0)(5,4,1,0)(1,0,0,1)=++=--++T T T x x k x k x k k ，其中12,k k 为任意常数。

8. 求a,b 为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解、无解或有无穷多解？在有解时，求其通解．1111010111012210122101320010132110001022311,,,,0111---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⇒----+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-+--+⎧⎫≠⎨⎬---⎩⎭解：唯一解，a b a b a a b a a b b a a a a1,1,=≠-a b 无解1,1==-a b ，无穷多解.12111122010001-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦通解x k k9. 求两个四元线性方程组(I)⎩⎨⎧=-=+004221x x x x 和(II)⎩⎨⎧=+-=+-0432321x x x x x x 的所有非零公共解解：0,)1,2,1,1(≠-=k k x T 。

第四章 线性方程组 自测题一、选择题1、设n 元线性方程组AX =B 有解，则当()r A （ A ）n 时，AX =B 有无穷多解。

A. <B. ≤C. >D. ≥2、设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组AX =0仅有零解的充要条件是A 的（B ）.A. 列向量线性相关B. 列向量线性无关C. 行向量线性相关D. 行向量线性无关 3、m n >是n 维向量组12,,,m ααα线形相关的（ B ）条件。

A. 必要B. 充分C. 无关D. 充分必要 4、设12,ξξ为齐次线性方程组0Ax =的解，12,ηη为非齐次线性方程组Ax b =的解，则( C ).11.2A ξη+为0Ax =的解 12.B ηη+为Ax b =的解；12.C ξξ+为0Ax =的解； 12.D ηη-为Ax b =的解.5、设非齐次线性方程组Ax b =中，系数矩阵()i j m n A a ⨯=且()r A r =，则（ C ）。

A. 当m n =时，方程组Ax b =有惟一解；B. 当r n =时， 方程组Ax b =有惟一解；C. 当r m =时，方程组Ax b =有解；D. 当r n <时，方程组Ax b =有无穷多解。

二、填空题1、若n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r , 则当 r = n 时，方程组有唯一解；当 r < n 时，方程组有无穷多解。

2、设三元非齐次线性方程组b Ax =中，矩阵A 的秩为2，且T T )1,2,3(,)2,2,1(21==ξξ为b Ax =的两个解，则此非齐次方程组的全部解可表示为：(2,0,-1)(3,2,1)(2,0,1)(1,2,2)()T T T T k k k +-+或其中为任意常数。

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(完整版)线性代数练习册第四章习题及答案

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第四章 线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A 。

当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解;B 。

当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解;C 。

若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =; D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解,则λ= 1 ，μ= 0 。

2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程组有唯一解i x =iD D. 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=⎧⎨+=⎩解：832062D ==-≠123532D ==-,2821263D ==-所以，125,62D Dx y D D====- 2．123123123222310x x x x x x x x x -+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩解：213112112122130355011101r r D r r ---=--=-≠+---11222100511321135011011D r r ---=-+-=---,212121505213221310101101D r r --=-+-=-----， 3121225002112211511110D r r --=+=---所以, 3121231,2,1D D Dx x x D D D ======3．21241832x z x y z x y z -=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--, 31320101241204120182582D c c =-=--所以, 3121,0,1D D Dx y z D D D ====== 4．12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解：2131412131111111111214012322315053733121102181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---3214212325111511102221422518231523528110121101005110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----212314113231511151112140723222150123733021101518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231200100215215552502714251152604c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D Dx x x x D D D D========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）。

【最新试题库含答案】线性代数练习册第四章习题及答案

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线性代数练习册第四章习题及答案：篇一：线代第四章习题解答第四章空间与向量运算习题4.14-1-1、已知空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1? （1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形；（2）求点A与B之间的距离．解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0)(2)AB??4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出下列各点的特殊位置： A?3,4,0?; B?0,4,3? ； C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B（0，4，3）点在yoz面上C（3，0，0）在x轴上 D（0，－1，0）在y轴上 4-1-6. 设u?a?b?2c,v??3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c4-1-7. 试用向量证明：如果平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解：设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已知AO＝OC，DO＝OB 因为AB ＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以ABCD为平行四边形。

4-1-8. 已知向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．?解：.prju?u)?4*cos60＝4?r?rcos(r。

3＝23 24-1-9. 已知一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为（x,y,z）prjxAB?(2?x0)?4prjyAB?(?1?y)??4 prjzAB?(7?z0)?7解得：x??2y?3z0?04-1-12. 求下列向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位。

线性代数第四章练习题答案

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线性代数第四章练习题答案第一篇：线性代数第四章练习题答案第四章二次型练习4、11、写出下列二次型的矩阵2（1）f(x1,x2,x3)=2x12-x2+4x1x3-2x2x3；（2）f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2+2x1x3+2x1x4+2x3x4。

解：（1）因为⎛2f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3) 0 2⎝⎛2 所以二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为： 0 2⎝0-1-10-1-12⎫⎪-1⎪0⎪⎭⎛x1 x2 x⎝3⎫⎪⎪, ⎪⎭2⎫⎪-1⎪。

0⎪⎭（2）因为⎛0 f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4) 1 1⎝⎛0 1所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为： 1 1⎝***11⎫⎪0⎪1⎪⎪0⎪⎭⎛x1 x2 x 3 x⎝4⎫⎪⎪⎪，⎪⎪⎭1⎫⎪0⎪。

⎪1⎪0⎪⎭2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：⎛1 1（1） -2 1 ⎝212⎛01⎫⎪2⎪1 -2⎪；（2）2 ⎪-1⎪2⎪⎭0⎝12-11212-112012⎫0⎪⎪1⎪2⎪。

1⎪⎪2⎪1⎪⎪⎭-0-2T解：（1）设X=(x1,x2,x3)，则⎛1 f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3) -2 1 ⎝2-120-21⎫⎪2⎪-2⎪⎪⎪2⎪⎭⎛x1 x2 x⎝3⎫⎪⎪⎪⎭=x12+2x32-x1x2+x1x3-4x2x3。

（2）设X=(x1,x2,x3,x4)T，则⎛0 1f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2 -1 0⎝12-11212-11201 2⎫0⎪⎪1⎪2⎪1⎪⎪2⎪1⎪⎪⎭⎛x1 x2 x 3 x⎝4⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭2=-x2+x4+x1x2-2x1x3+x2x3+x2x4+x3x4。

练习4、21、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。

22（1）f(x1,x2,x3)=2x1+x2-4x1x2-4x2x3；（2）f(x1,x2,x3)=2x1x2-2x2x3；222（3）f(x1,x2,x3)=x1+2x2+3x3-4x1x2-4x2x3。

线代第4章习题答案

线代第4章习题答案

第4章1.（1）是；（2）是；（3）是；（4）否.2. 证：（1）假设零向量不唯一，即存在两个零向量120,0，但1200≠，则由10αα+=和20αα+=推出1200=，这与假设矛盾. （2）类似（1）中证明. （3）0()0k k k k αααα=-=-=， (1)(01)01ααααα-=-=-=-， 0()0k k k k αααα=-=-=. 3.（1）是；（2）是；（3）否；（4）否. 4. 证：设11223344k A k A k A k A O +++=，则有12341234123412340,0,0,0,k k k k k k k k k k k k k k k k ++-=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪---=⎩系数矩阵11111111111101011111001111110001A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦，则()4r A =， 故12340k k k k ====，即1234,,,A A A A 线性无关.又对任意一个11122122a a A a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若11223344k A k A k A k A A +++=， 则可得123411123412123421123422,,,,k k k k a k k k k a k k k k a k k k k a ++-=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪---=⎩解得唯一一组解为：()()()()1111221222111221223111221224111221221,41,41,41,4k a a a a k a a a a k a a a a k a a a a ⎧=+++⎪⎪⎪=-+-⎪⎨⎪=+--⎪⎪⎪=-++-⎩即任意一个A 都可以由这组矩阵线性表出，且表达式唯一，则22dim()4R ⨯=，且1234,,,A A A A 构成22R ⨯的一组基.5. 解：令123110100,,000011A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则由112233k A k A k A O ++=可解得1230k k k ===，即123,,A A A 线性无关. 又对任意一个A V ∈，a ab Ac c +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若112233k A k A k A A ++=，可解得唯一一组解为： 123,,k a k b k c ===，即任意一个A 都可以由123,,A A A 线性表出，且表达式唯一，则dim()3V =，且123,,A A A 构成V 的一组基. 6. 解：2()65f x x x =-+，故在这组基下的坐标为[]6,5,1T-.7. 解：（1）根据过渡矩阵C 的3个列向量分别是21,1,(1)x x ++在基21,,x x 下的坐标，可得111012001C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （2）新的基为：21,1,2x x x -+-+. 8. 解：（1）显然对加法和数乘封闭.（2）令1100A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，2010A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，…，001n A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ . 若1122n n k A k A k A O ++= ，显然可推出120n k k k ==== ，即12,,,n A A A 线性无关.又对任意一矩阵12A n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，若 1122n n k A k A k A A ++= ，可解得唯一一组解为：121,2,,n k k k n === .即任意一个A W ∈都可以由12,,,n A A A 线性表出，且表达式唯一，则dim()W n =，且12,,,n A A A 构成W 的一组基. 9. 解：11211121211101111103001301170000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()3r A =，故由1234,,,αααα 生成的子空间维数是3，一组基为123,,ααα（或124,,ααα）.11．解：过渡矩阵为：205133113C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦，若有一非零向量[],,T w x y z =，满足w Cw =，则可得方程组25,33,3,x x z y x y z z x y z =+⎧⎪=++⎨⎪=---⎩对系数矩阵经初等行变换后得阶梯形方程组50,0,x z y z +=⎧⎨-=⎩ 可解得一般解为： [5,,]w c c c =-，c 为任一非零常数.12. 证：已知()()()()112112212211,,313b a a b a a b a a b αβ-⎛⎫⎛⎫==-+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （1）()()()()112212,3,b a a b a a αββα=-+-+=；（2）()()()()()1112221122,33,,c a b a b c a b a b αβγαγβγ+=+--+--++=+； （3）()()()()112212,3,k kb a a kb a a k αβαβ=-+-+=；（4）()()()()22112212122,320a a a a a a a a a αα=-+-+=-+≥，若(),0αα=，当且仅当1220,0,a a a -=⎧⎨=⎩ 故120a a ==，即0α=.由于(),αβ满足定义4.6中的4个性质，故是2R 的内积.13. 解：（1）1||α=2||α=，3||α=.因为()2323,cos ||||10ααθαα==-，故arccos 10θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. （2）设与123,,ααα都正交的向量为()1234,,,b b b b β=，则可得12341234123420,230,220,b b b b b b b b b b b b +-+=⎧⎪++-=⎨⎪---+=⎩ 经过初等行变换可得阶梯形矩阵：123423420,330,b b b b b b b +-+=⎧⎨-+-=⎩ 解得一般解为()34343455,33,,Tb b b b b b β=-+-，其中34,b b 为自由变量，或者通解表达式为1255331001k k β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.14. 解：()111,0,1,1Tβα==，)1111,0,1,1||Tβγβ==. ()22211121,,1,,333Tβααγγ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，)2221,3,2,1||Tβγβ==--. ()()333113223112,,,,,5555Tβααγγαγγ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，)3333,1,1,2||Tβγβ==--. 15. 解：()110,0,1Tβα==，()10,0,1Tγ=. ()()22211,0,1,0T βααγγ=-=，()20,1,0Tγ=.()()()33311322,,1,0,0T βααγγαγγ=--=，()31,0,0Tγ=. 16. 证：（1）()()T T T T T AB AB B A AB B EB B B E ====.（2）A 正交，则||1A =±，*1*||A A A A -==±，则**1111()()()T T T A A A A A A E E ----====. 17. 解：已知1T X X =，则(2)(2)(2)(2)T T T T T T Q Q E XX E XX E XX E XX =--=-- 44()44T T T T T E XX X X X X E XX XX E =-+=-+=， 即Q 为正交矩阵.若T X =，则122122123221T Q E XX --⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 18. 解：73217737326a Q b c -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，通过T Q Q E =得 214960,1421180,621120,a bc abc -+-=⎧⎪-+=⎨⎪---=⎩解得626,,777a b c =-==-.19. 证：因为T Q Q E =，故对任意n X R ∈，有()()()22||,||TT T T QX QX QX QX QX X Q QX X X X =====，则一定有 ||||QX X =.20.（1）否；（2）是；（3）是；（4）否. 21. 解：（1）A 112(1,1,0)T εεε==+，A 212(1,1,0)T εεε=-=-， A 33(0,0,1)T εε==，所求矩阵为：110110001D ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2) A ()12110T,,ηη==，A()212002T,,ηη==，A ()31232012T,,ηηηη==-+，故所求的矩阵为022101001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.22. 解：（1）A 1123(2,3,5)235T εεεε==++,A 2ε=A 110⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ A 1123(1,3,5)35T εεεε=---=---,A 2ε=A 111⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ A 2ε-A 1123(1,1,1)T εεεε=--=-+-,故所求的矩阵为211331551A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.（2）已知1232αεεε=-+，则21124331110551114y AX --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.23. 解：010001000D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦24. 证：必要性：因为12,,,n εεε 是V 的标准正交基，则(,),1,i j ij i j n εεδ=≤≤. 因为A 是正交变换，则（A ()i ε，A ()j ε）ij δ=， 1,i j n ≤≤. 即A ()i ε，A ()j ε，…，A ()n ε是V 的标准正交基. P 40.3.(作业册)解：211111111111011312240000---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，解得4343423x x x X x x -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则解空间的解向量为[]10,1,1,0T α=，[]22,3,0,1Tα=-，通过Schmidt 标准正交化得]10,1,1,0T γ=，]24,3,3,2Tγ=--.。